UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 Løsnngsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Eksamen : INF3 Dgtal bldebehandlng Eksamensdag : Trsdag 9. mars 3 Td for eksamen : 5: 9: Løsnngsforslaget er på : sder Vedlegg : Ingen Tllatte hjelpemdler: Ingen Det er 7 oppgaver dette oppgavesettet. Les gjennom hele oppgavesettet før du begynner å løse oppgavene. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare det. Dersom du savner opplysnnger en oppgave kan du selv legge dne egne forutsetnnger tl grunn og gjøre rmelge antagelser så lenge de kke bryter med oppgavens "ånd". Gjør såfall rede for forutsetnngene og antagelsene du gjør. Det er tlsammen delspørsmål og det lønner seg å dsponere tden slk at man får besvart alle oppgavene. Hvs du står fast på enkeltoppgaver gå vdere slk at du får gtt et kort svar på alle oppgaver. Alle svar skal begrunnes. Gjør rede for bruken av eventuelle teoremer prnspper eller forutsetnnger slk at en tredjeperson kan følge dne resonnementer.

2 Mdtveseksamen INF3 trsdag 9. mars 3. Samplng og kvantserng a Anta at et avbldnngssystem gr en punktsprednngsfunksjon der avstanden fra maksmum tl første mnmum er /3 μm bldeplanet. V skal altså kunne sklle punktklder som lgger /3 μm fra hverandre det analoge bldet. Hva er den mnste samplngsraten (frekvensen v kan benytte ved dgtalserngen av dette bldet følge samplngsteoremet og hvor store kan detektorene være? Vær press med benevnngene! Svar: Samplngsteoremet krever T s < ½ T der T her er /3 μm. Følgelg må samplngsfrekvensen være f s > */T 6 μm -. Med en samplngsfrekvens på 6 detektorer per μm kan hver detektor maksmalt være /6 μm 67 μm hvs de lgger kant kant. b Hva mener v med begrepene alasng alasng-frekvens og ant-alasng? Svar: Romlg alasng er en frekvensforvrengnng som oppstår når man sampler med en lavere samplngsrate enn Nyqust-raten dvs ganger den høyeste romlge frekvensen som fnnes et bånd-begrenset blde. En alasng-frekvens er en frekvens fa som oppstår eller styrkes det samplede bldet p.g.a. alasng og er gtt ved fa fs f når f < fs < f der fs er samplngsfrekvensen og f er den sanne romlge frekvensen. Ant-alasng er teknkker for å dempe eller fjerne alasng for eksempel ved å fltrere bort høye frekvenser før samplng. c Istedenfor bts som kan lagre to verder ( og kan v ta bruk trts som kan lagre tre verder (- og. På samme måte kan v bruke en tryte 6 trts stedenfor byte 8 bts. Hvs v utgangspunktet har en tryte per pksel et blde og så halverer antall trts per pksel hvor mange kvantserngsnvåer vl v da mste? Svar: Med T trts har v 3 T kvantserngsnvåer. Etter halverngen av antall trts per pksel har v 3 (T/. Altså har v 3 T - 3 (T/ færre nvåer. For T 6 vl dette s at v mster nvåer.

3 Mdtveseksamen INF3 trsdag 9. mars 3. Kvantserng og hstogram Anta at du har et 4-bts gråtoneblde med normalsert hstogram som skssert tl høyre. Bldet nneholder en bakgrunn med to gråtoner og tre typer objekter. a V ønsker å rekvantsere bldet tl bts per pksel det vl s tl et blde med 4 verder fra tl 3. Sksser den gråtonetransformen T( dette svarer tl og vs hvordan det normalserte hstogrammet tl utbldet vlle bltt. Svar: b Anta at orgnalbldet er 4*4 pksler og at v kke benytter kompresjon. Hvor stor lagerplass tar da dette bldet uttrykt MB? Svar: Veldg enkelt: 4/8 / byte per pksel gr ½ MB. c Anta at du skal rekonstruere det rekvantserte bldet tl et 8 bts gråtoneblde. Hvlke verder vlle du brukt som rekonstruksjonsverder for at bldets normalserte hstogram skal fylle gråtoneskalaen på omtrent samme måte som orgnal-bldet? Svar: Det er en faktor 6 mellom gråtoneskalaen orgnalbldet og gråtoneskalaen det rekvantserte bldet. Bruker v 5*64 som rekonstruksjonsnvå for ; 6*696 for ; 95*65 for og 4*6 4 for 3 så får v hstogrammet nedenfor. 3

4 Mdtveseksamen INF3 trsdag 9. mars 3 3. Interpolasjon og fltrerng a Gtt pkselverdene fre nabopksler er f( f(3 f(3 f(9. V gjør blneær nterpolasjon for å fnne en nterpolert pkselverd punktet (xy (.5.5. Hvlken pkselverd får v? Vs hvordan du går fram. Svar: Ved nterpolasjon fnner man f( som rundes av tl. Dette kan fnnes på mnst to måter begge hentet fra en forelesnngsfol: Interpoler først x-retnng. Interpoler deretter y-retnng. Altså: f ( x y ( y f ( x + y f ( x der f ( x ( x f ( + x f ( og f ( x ( x f ( + x f ( f ( x y ( x( y f ( + x( y f ( + ( x y f ( + x y f ( Eller matrsenotasjon: f ( x y f ( f ( f ( ( y f ( y [( x x] b En gtt baklengs geometrsk transform forskyver bldet ½ pksel horsontal og vertkal retnng og blneær nterpolasjon benyttes tl å fnne nye pkselverder. Deretter forskyves bldet tlbake og gjen benyttes blneær nterpolasjon. Hvlket konvolusjons-flter anvendt på det opprnnelge bldet gr samme resultat som denne fram-og-tlbake transformen med to blneære nterpolasjoner? Forklar! (Du kan se bort fra problemer nær kanten av bldet. Svar: Blneær nterpolasjon tl mdtpunktet mellom fre pksler gr mddelverden av de fre pkselverdene. Altså lavpassflteret 4 Ved tlbake-forskyvnngen skjer det samme en gang tl og v får 3x3-flteret c Anta at forskyvnngen fram og tlbake er gtt ved x y N + k der N er et heltall og ½ < k. Vl resultatbldet da bl skarpere eller mer uskarpt enn resultatet av de to forskyvnngene deloppgave b? Forklar! Svar: Man kan kanskje tro at større forskyvnng gr mer uskarpt blde men mest uskarpt resultat får v når k / som gr en lavpassfltrerng med det flteret som er løsnng på deloppgave b. N påvrker kke resultatet bortsett fra de problemene som oppstår nær kanten av bldet. For ½ < k vl v komme nærmere det motstående pkslet et x utsntt av bldet og dette motstående pkslet får større vekt dess nærmere k kommer tl som vst fguren tl høyre og bldet blr lke skarpt som orgnalen. Fltervekter gtt for sentrum av 3x3 fltret (S sum av langsdene (L og sum av hjørnene (H. 4

5 Mdtveseksamen INF3 trsdag 9. mars 3 4. Gråtonetransformer I fguren tl høyre er det gtt tre forskjellge gråtonetransformer A B og C. Horsontal og vertkal akse fguren er hhv gråtone nnbldet ( og gråtone utbldet (s. V regner her med 5 bts gråtoneblder. Lgnngene for de tre transformene er vlkårlg rekkefølge: L : L : L 3 : s k log( + ; γ s a ; a ( s b k b ( 3 / b γ 4 b b ( [ + tanh( d( T ] / ; d T ( / der b er antall bts og tanh(x er en ant-symmetrsk sgmod-funksjon som er lk for x og som går mot - for negatve x og + for postve x. a Hvlken effekt har transformene A B og C på et gtt nnblde? Forklar resonnementene! Svar: A vl mnske kontrasten de mørke delene av et blde og øke kontrasten de lyse delene av bldet. Utbldet blr mørkere enn nnbldet. B vl mnske kontrasten både de lyse og de mørke delene av bldet og øke kontrasten omkrng mdten av gråtoneskalaen. Lysheten endres kke for nnblder der alle gråtonene forekommer lke ofte eller mer generelt der nnbldets hstogram er symmetrsk om T. Generelt vl utbldet kunne være enten lysere eller mørkere enn nnbldet avhengg av hvordan gråtonene nnbldet er. C vl øke kontrasten de mørke delene av bldet og mnske den de lyse delene. Utbldet blr lysere enn nnbldet. b Hvlken lgnng svarer tl hvlken av transformene A B og C? Forklar resonnementene! Svar: C er en logartmsk gråtonetransform gtt ved lgnng L-. I argumentet har v (+ for at v skal unngå problemer med logartmen av. Dermed får v s[] mens faktoren k skrer at s[ 5 ] 5. A er en eksponensell gråtonetransform gtt ved lgnng L- med γ4. Skalerngsfaktoren a skal bare sørge for at s[ 5 ] 5. B er lgnng L-3. [+tanh(x] skrer at resultatet lgger mellom og. Her er argumentet flyttet tl mdt på gråtoneskalaen med parameteren T og skalert med parameteren d. Tl slutt er s skalert slk at s[ 5 ] 5 - c Hva blr effekten av å endre på parametrene γ T og d? Forklar resonnementene! Svar: γ > 4 vlle gtt enda høyere kontrast de lyse delene av bldet og enda lavere kontrast de mørke delene av bldet. Lavere γ vl g mndre kontrastforsterknng de lyse delene av bldet ned tl γ som er en denttetsmappng. γ < gr motsatt effekt; økt kontrast mørke deler av bldet og mnsket kontrast lyse deler av bldet. T bestemmer hvor på gråtoneskalaen v vl sentrere kontrastforsterknngen og d bestemmer hvor bratt sgmos-kurven skal være; høy d gr et lte ntervall lav d gr et bredt ntervall. 4 5

6 Mdtveseksamen INF3 trsdag 9. mars 3 5. Hstogramtransformer Anta at v har følgende 4x5 gråtoneblde med en 3 bts gråtoneskala a Fnn det normalserte hstogrammet og det normalserte kumulatve hstogrammet. [3//3//3//3//]; [3/5/8//3/5/8/] b Vs hvordan du går fram for å utføre en hstogramutjevnng av dette bldet tl et utblde med bare 4 gråtoner fra gråtone tl gråtone 3. Vs også resultatbldet. Sett nn verder transform-arrayet T[] Round((L-*c[]+k med L4 og k for G- der G8. p( c( T( (Tabellen er en del av løsnngsforslaget Gå deretter gjennom bldet pksel for pksel og sett g(xy T[(xy]. Resultatet blr da (Tabellen er en del av løsnngsforslaget 6

7 Mdtveseksamen INF3 trsdag 9. mars 3 c Beskrv en alternatv metode som gr et resultatblde med flatt hstogram for akkurat dette nnbldet. Begrunn valget av metode. Vs resultatblde og hstogram og sammenlgn med resultatet av hstogramutjevnngen. Det speselle med dette nnbldet er at det har et tlnærmet flatt hstogram. Dessuten har v bedt om en reduksjon fra 8 tl 4 gråtoner. V kan altså ganske enkelt redusere antall bts fra 3 tl hver gråtone. V får da følgende LUT LUT Og resultatblde med hstogrammer: Som faktsk er ltt bedre enn resultatet av hstogramutjevnngen: 7

8 Mdtveseksamen INF3 trsdag 9. mars 3 6. Kantdeteksjon med LoG-fltrerng Merk: Deloppgave a og b ber deg beregne konvolusjoner og majorteten av poengene som gs tl dsse deloppgavene lgger å utføre dsse korrekt. I denne oppgaven skal du fnne kantskller følgende én-dmensjonale blder: f f Det er to kantskller for f og ett kantsklle for f. Alle tre kantskllene lgger mdt mellom to pksler og er markert med ekstra fet cellekant bldene over. Tl å fnne kantskllene skal du bruke følgende én-dmensjonale Laplacan-of- Gaussan-fltre (LoG-fltre også kalt LoG-operatorer: h h h Alle fltre er sentrert d.v.s. at flterets senterpksel er orgo. Når v denne oppgaven ber deg beregne en konvolusjon så trenger du bare å beregne responsen for pkslene der bldet og flteret overlapper alle possjoner d.v.s. de pkselene der hele flteret lgger nnenfor bldet når flterets orgo er plassert pkselet man ønsker å beregne responsen for. Når v denne oppgaven snakker om en nullgjennomgang resultatet av en LoG-fltrerng så mener v punktet mdt mellom to nabo-pksler som har motsatt fortegn resultatet av LoG-fltrerngen og der begge LoG-responsene er ulk. 8

9 Mdtveseksamen INF3 trsdag 9. mars 3 a Beregn konvolusjonen av f og hvert av fltrene h h og h 3 d.v.s. f *h f *h og f *h 3 og ang nullgjennomgangene hvert resultat av de tre fltrerngene. Sden bldet består av bare -ere utenom én possjon der det er så vl konvolusjonen av bldet og et flter være flteret selv. V får dermed at: f *h f *h f *h når v begrenser størrelsen av responsen tl possjonene med full overlapp. Nullgjennomgangene hvert fltrerngsresultat er markert med ekstra fet cellekant. b Beregn konvolusjonen av f og hvert av fltrene h og h d.v.s. f *h og f *h og ang nullgjennomgangene hvert resultat av de to fltrerngene. f *h Ingen nullgjennomgang dette fltrerngsresultatet (bare ett nullplatå. f *h Nullgjennomgangen dette fltrerngsresultatet er markert med ekstra fet cellekant. c Drøft hvordan standardavvket tl Gauss-funksjonen et LoG-flter som gr bredden av LoG-kjernen og antyder størrelsen av LoG-flteret generelt sett bør velges for at nullgjennomgangene resultatet av LoG-fltrerngen skal g alle og korrekte kantskller for strukturer og ramper. Bruk gjerne fltrerngene fra deloppgave a og b som eksempler men kke begrens drøftngen tl bare dsse eksemplene. Upresst sagt gr nullgjennomgangene korrekte kantskller dersom LoG-kjernen er smalere enn strukturen. Mer presst: - Dersom en struktur er mndre enn halvparten av LoG-kjernen er v garantert at nullgjennomgangene er lenger ute enn de korrekte kantskllene. Dette skjedde da v konvolverte f med h 3. - Dersom en struktur er større enn halvparten av LoG-flteret er v garantert at nullgjennomgangene gr de korrekte kantskllene. - Dersom en struktur er større enn halvparten av LoG-kjernen men mndre enn halvparten av flteret så vl det avhenge av dskretserngen og tlnærmngen av LoG-flteret om nullgjennomgangene gr korrekte kantskller. Konvolusjonene f *h og f *h faller begge nnenfor dette tlfellet. Etter akkurat dsse to konvolusjonene endte v opp med korrekte kantskller. For at LoG-fltrerngen skal nneholde en nullgjennomgang for ramper så må LoGflteret være større enn rampen. Sden h er én pksel mndre enn rampen f så nneholdt kke f *h noen nullgjennomgang men sden h er én pksel større enn rampen f så nneholdt f *h en nullgjennomgang (og denne blr lokalsert korrekt. Standardavvket tl Gauss-funksjonen et LoG-flter må altså velges lte nok for å g korrekte kantskller for smale strukturer og samtdg stort nok for å g nullgjennomgang (og dermed et kantsklle for brede ramper. 9

10 Mdtveseksamen INF3 trsdag 9. mars 3 7. Fltrerng for deteksjon av horsontale kanter a Anta v ønsker å fremheve horsontale kanter et blde ved å bruke et konvolusjonsflter som tlnærmer den derverte vertkal retnng d.v.s. tlnærmer den partell-derverte med hensyn på varabelen tl den vertkale aksen x. Oppg et slk konvolusjonsflter og forklar hvordan det tlnærmer den derverte vertkal retnng når det konvolveres med et blde. Du kan oppg et vlkårlg konvolusjonsflter som tlnærmer den derverte vertkal retnng f.eks.: - Fra asymmetrsk D-operator: h x eller h x - Fra symmetrsk D-operator: h x eller h x - Fra Prewtt-operatoren: h x - Fra Sobel-operatoren: h x - Fra Fre-Chen-operatoren: h x Forklarng: Den derverte vertkal retnng er gtt som: Konvolusjonsflteret tlnærmer dette ved å beregne dfferansen vertkal retnng av nærlggende pksler noe som tlsvarer å sette h lknngen over. h y x f y h x f y x x f h ( ( lm ( +

11 Mdtveseksamen INF3 trsdag 9. mars 3 b Beregn en mer støyrobust versjon av konvolusjonsflteret du oppga deloppgave a. Konvolusjonsflter fra deloppgave a skal nngå beregnngen og det mer støyrobuste flteret skal også være et konvolusjonsflter. Her skal du konvolvere flteret du oppgav deloppgave a med et lavpassflter. Hvs du oppga flteret fra den symmetrske D-operatoren deloppgave a kan du nå konvolvere det med f.eks. en x3-tlnærmng av et Gauss-flter: h ( j [ ] c Hvordan har v lært at et Laplace-flter også kalt en Laplace-operator kan gjøres mer støyrobust? Hva kaller v det resulterende konvolusjonsflteret? Et Laplace-flter kan gjøres mer støyrobust ved å konvolvere flteret med et Gauss-flter. Det resulterende konvolusjonsflteret kalles et Laplacan-of- Gaussan-flter (LoG-flter og en LoG-operator. Takk for oppmerksomheten!