Løsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april)

Transkript

1 HG Aprl 01 Løsnngsksse for oppgaver tl uke 15 ( aprl) Innledende merknad. Flere oppgaver denne uka er øvelser bruk av den vktge regel 5.0, som er sentral dette kurset, og som det forventes at studentene behersker tl eksamen. Les også eksempel 5.18 boka nøye, som vser et trkk (såkalt heltallskorreksjon) for å forbedre tlnærmelsen av en heltallsfordelng tl normalfordelngen 1. Dette er nyttg stuasjoner der krteret for tlnærmelse tl normalfordelngen (dvs. at varansen σ 5) så vdt er oppfylt. Hvs varansen er vesentlg større enn 5, er trkket overflødg. Tlnærmngen kan oppsummeres som følger: La X være en heltallsvarabel med en fordelng som angtt regel 5.0. La µ og σ betegne forventnng og varansen tl X henholdsvs, og la Gz ( ) være den kumulatve fordelngsfunksjonen N(0, 1)-fordelngen. Tlnærmngen har da følgende form: Uten heltallskorreksjon (brukt når x µ PX ( x) G σ Med heltallskorreksjon (brukt når x + 0,5 µ PX ( x) G σ σ er betydelg større enn 5): σ er større og relatvt nær 5): Oppg Oppgaven nneholder en lten felle. Merk at X er defnert som antall frø som sprer - kke antall mlloner frø. Dvs. enheten er et enkelt frø og kke en mllon frø. Derfor må v omgjøre tallene oppgaven tl rktg enhet. Forøvrg synes forutsetnngene for en bnomsk modell å være rmelge (dskuter selv). Modell: X~ bn( np, ) der n = og p = P(et vlkårlg frø sprer) = 0,8. 1 Se også supplement tl forelesnngen 19. mars sentralgrenseteoremet.

2 :I denne modellen er E( X ) = np og var( X ) = np(1 p). V skal fnne PX ( ). I følge regel 5.0 er X tlnærmet normalfordelt hvs np(1 p) 5 og p kke er for nær 0 eller 1. Dette er klart oppfylt her. Dermed: tlnærmet ~ ( ( ), var( ) ) = (, (1 ) ) = ( ; 1073,313) X N E X X N np np p N hvorav (ved hjelp av Gz ( ) = PZ ( z) der Z ~ N (0, 1) ) PX ( ) G = G( 968,96) = ,313 Den sste lkheten følger av tabellen (D.3) boka sden v vet at Gzer ( ) en kkeavtagende funksjon av z samtdg som Gz ( ) 1for alle z. Dermed blr nemlg tabell D.3 1 G(968,96) G(3, 09) = 0,9990. Mao., 0,9990 G(968,96) 1, og v kan sette G (968,96) = 1 som er tlstrekkelg nøyaktg for praktske formål. Merknad. Som et kurosum (uten praktsk betydnng) kan nevnes at G (968,96) lgger veldg mye nærmere 1 enn grensen 0,9990 fra tabell D.3 skulle tls. Vderegående metoder utenfor pensum gr faktsk at tall G(968,96) = 1 10 = 0, Oppg Populasjonen består av N = 6400 elger, hvorav M = 1400 er merket. Andelen av merkete elger populasjonen er dermed M p = = 0, 1875 N Utvalgsstørrelsen er n = 800 og X er antall merkete elger utvalget. V ønsker å beregne sannsynlghetene PX ( 00) og P(160 X 185) = P(159 < X 185) = PX ( 185) PX ( 159).

3 3 Oppgaven har flere (akseptable) løsnnger: Versjon 1: V antar at utvalget kan anses å være rent tlfeldg trukket fra populasjonen. I så fall er X hypergeometrsk fordelt, og v kan utnytte regel 5.0 for å fnne sannsynlghetene tlnærmet (betngelsen for dette er klart oppfylt): Regel 5.0 gr da tlnærmet X ~ N E X X N np np p N N 1 N n ( ( ), var( ) ) =, (1 ) = ( 175; 10,9384) hvorav (ved hjelp av Gz ( ) = PZ ( z) der Z ~ N (0, 1) ): PX ( 00) G = G(, 9) = 0,989 10,9384 og P(160 X 185) G G G(0,91) G( 1, 46) 0,8186 0,071 10,9384 = = 10,9384 = 0,7465 Versjon : Sden populasjonen er relatvt stor, kunne v som en forenklng, uten vesentlg tap av realsme, utgangspunktet anta at X er bnomsk (n,p)-fordelt. Regel 5.0 gr så fall tlnærmet ~ ( ( ), var( ) ) = (, (1 ) ) = ( 175; 11,697) X N E X X N np np p N som gr PX ( 00) 0,984 tabell D.3 P(160 X 185) G(0,86) G( 1,37) = 0,7198 (Fasten tyder på at Løvås antakelg har valgt versjon. Små avvk for øvrg kan skyldes avrundng) Oppg La X = antall dødsulykker en gtt måned. Som modell antar v at X er posson-fordelt, X ~ pos(1) (som bl.a. nnebærer at EX ( ) = 1). Punktsannsynlghetene er gtt ved

4 4 V får da 1 1 PX x e x x! e x! x 1 ( = ) = = for = 0,1,, 1 1 PX ( = 0) = 0,368 og PX ( ) 0,184 e = = = e = La Y være antall dødsulykker et helt år. Hvs posson-forutsetnngene gjelder hele året, kan v anta Y ~ pos(1 1) = pos(1). Denne fordelngen omfattes av tabell D. som gr og PY ( = 6) = PY ( 6) PY ( 5) = 0,046 0,00 = 0,06 PY ( 8) = 0,155 Oppg La X være antall dskotekbranner løpet av et år og Y = antall personer som omkommer dskotekbranner et år. Oppgaven hevder det er rmelg å anta en posson-fordelng for X, og spør om hvorfor det samme er en urmelg antakelse for Y. Da må v se på de grunnleggende forutsetnngene som mplserer posson-fordelngen. Forutsetnngen om neglsjerbar sannsynlghet for opphopnng av begvenheter et kort tdsrom, vrker åpenbart urmelg sden det gjerne er flere omkomne samme dskotekbrann. Derfor vrker possonmodellen klart som en dårlg modell for Y. Merknad. Også posson-modellen for X, kan naturlgvs dskuteres. En trussel mot den modellen kan være avskreknngseffekten som en større dskotekbrann kan ha. Etter en slk katastrofe kan man godt tenke seg at mange dskoteker fokuserer mer på skkerhet, hvert fall en perode etterpå. Dette vlle så fall føre tl at forutsetnngen om uavhengghet mellom hendelser kke-overlappende tdsntervaller sprekker. Hvs avskreknngseffekten er sterk, vl således posson-modellen også være dårlg for X. Oppg. 5.0 Tdsenheten denne oppgaven er måned (se merknad slutten av oppgaven). La X være antall døde av hjerte- og karsykdommer et gtt år. De tre forutsetnngene for possonfordelngen synes rmelge her. (Er du eng? Sjekk selv). V antar at derfor at X er

5 5 possonfordelt, X ~ pos(1 λ ) der lambda ( λ ) er forventet dødsrate pr. mnd λ = E( X 1) ), som oppgaven antas å være kjent lk (dvs. Betngelsen for tlnærmng tl normalfordelngen er klart oppfylt sden var( X ) = er godt over 5. Det er heller kke aktuelt med noen heltallskorreksjon som eksempel 5.18 for å forbedre tlnærmngen sden v lgger så langt over grensen (5) for akseptabel tlnærmng. V har dermed tlnærmet ~ ( ( ), var( ) ) = ( 1 λ, 1λ) = ( ; 189,737) X N EX X N N V fnner (det v gnorerer ytterlgere tlnærmelser som skyldes avrundng) PX ( < ) = PX ( ) G = G( 1,06) = 0, ,737 For å fnne hvor mange dødsfall v kan forvente pr. dag, er det lurt å defnere en stokastsk varabel, Y = antall dødsfall en vlkårlg dag løpet av det aktuelle året. V er altså ute etter EY ( ). Sden (en dag) = (et år)/365 og posson-modellen er antatt å gjelde det aktuelle året, følger at 1 Y ~ pos 1λ 365 [Merk at dette uttrykket fortsatt har formen pos( tλ 1) der λ1 = 1λ nå er forventet dødsrate pr. år, og t = 1/365.] Dermed følger av egenskapene for possonfordelngen at 1 EY ( ) = λ = Merknad. Tdsenheten måned er åpenbart upress og med at antall dager en måned varerer ltt. I oppgaven regner v mdlertd som om hver måned består av et fast antall dager, 365/1 = 30, 4 dager. I prakss er det kke bryet verdt å pressere dette sden månedslengden varerer så lte. Merk at X 1 er observert dødsrate pr mnd. et vlkårlg år, som er en stokastsk varabel som varerer fra år tl år, mens forventet dødsrate, E( X 1) λ =, er en konstant.

6 6 Oppg. 5.7 T = badetemperaturen på Mallorca jul neste år. Som modell antas T ~ N (4.8,.) V skal fnne en grenseverd, c, slk at det er 99.9% skkert at temperaturen kommer over denne grensen. M.a.o., bestem c slk at PT ( > c) = Sden PT ( > c) = 1 PT ( c), er dette det samme som at PT ( c) = Sden PT ( = c) = 0, er dette det samme som å s PT ( < c) = For å kunne bruke tabellene (D3 eller D4) boka, må v overføre T 4.8 lgnngen tl en lgnng om Z =, som er ~ N (0, 1) :. T 4.8 c 4.8 c = PT ( < c) = P < = P Z<... I henhold tl tabell D4. ser v at PZ> ( 3.090) = Da må også PZ< ( 3.090) = sden N(0, 1) -fordelngen er symmetrsk om Y-aksen (jfr. fguren tl tabell D4, der det skraverte flatennholdet må være lkt det tlsvarende flatennholdet spelet om Y-aksen). Derfor må v ha c =, som gr. c = 4.8 (3.09)(.) = dvs. v er 99.9% skre på at badetemperaturen blr over 18 grader celsus. Oppg Regel 5.14 følger av defnsjon Denne defnsjonen nneholder bl.a. en regel (setnng), som kan bevses, og burde vært formulert som en egen regel, nemlg 3 : X µ X~ N EX ( ), var( X) = N( µσ, ) ~ N(0,1) σ (*) ( ) Kall den stokastske varabelen X µ for Z. I følge (*) er altså Z ~ N (0, 1). σ 3 Jfr. det andre eksemplet under regel R1 notatet tl kapttel 5 om normalfordelngen (på nettet).

7 7 La de kumulatve fordelngsfunksjonene for X og Z være gtt ved Fx ( ) = PX ( x) og Gz ( ) = PZ ( z) Da har v fra (*) (*) X µ x µ x µ x µ F( x) = P( X x) = P = P Z = G σ σ σ σ som var det v skulle vse. Ekstraoppgave Dette er en ren regneoppgave (med lette tall) for å vende seg ltt tl formlene. A. Sprednngsdagrammet blr B. Beregnnger: x y ( x x) y ( x x)( y y) ( y ) Sum

8 8 Av dette får v x = y = 0 5 = 4 sx = 0 4 = 5 sy = 18 4 = 4.5 sxy = 14 4 = 3.5 sxy 3.5 C. V fnner b = = = 0.7 og a = y bx = 4 ( 0.7) 4 = 6.8 sx 5 Mnste kvadraters lnje blr da Inntegnet: yˆ = a + bx = x D. De emprske korrelasjonskoeffsenten blr sxy 3.5 r = = = , som gr ss 5 (4.5) x y r = , slk at 54.4% av varasjonen av y data blr forklart av x. E. Lnjen ŷ = a + bx skjærer y-aksen når x = 0, som gr yˆ = a+ b 0 = a= 6.8 Lnjen skjærer x-aksen når y ˆ = 0, dvs. når a + bx = 0, som skjer for a 6.8 x = = = b 0.7

9 9