Gradient-operatorer. 1D Laplace-operator. Laplace-operatoren. INF 2310 Digital bildebehandling. Laplace-operatoren er gitt ved:

Transkript

1 radent-operatorer INF 3 Dgtal bldebehandlng Naboskaps-operasoner - II Laplace-operatoren Lo-operatoren Kant-bevarende ltre Ikke-lneære ltre radent-operatorer gr en bred respons Hvor bred responsen blr vl avhenge av både kant-prolen og lterstørrelsen. En step edge : Bredden på responsen er avhengg av størrelsen på lteret. En bred kant glattet med [ 3 ]: Bredden på responsen er avhengg av bredden på kanten. step [- ] [- - ] smooth [- ] Eord kap Fnn eksakt hvor kanten går: Fnn maksmum dervert? Bruke. dervert? [- - ] F6..7 INF 3 F6..7 INF 3 Laplace-operatoren D Laplace-operator Laplace-operatoren er gtt ved: Kontnuerlg Dgtalt I D er ekvvalent med. derverte Den endrer ortegn der har et nleksons-punkt / vendepunkt. har to ekstremverder det v passerer en kant markerer kant-posson. Kantens eksakte posson nnes ved nullgennomgangen. Dette gr kke brede kanter. V nner bare magntude kke retnng. smooth [- -] [- -] [--] - [---] --- Av smmetr-hensn ltter v operatoren slk at den er sentrert om. Dessuten btter v ortegn: --- F6..7 INF 3 3 F6..7 INF 3

2 F6..7 INF 3 5 D Laplace-operator Anvend D Laplace begge retnnger: Dette oppnår v ved å konvolvere med F6..7 INF 3 6 Flere Laplace-operatorer Merk at Laplace-operatorene kan uttrkkes som senter-verd mnus et veet mddel over et lokalt naboskap. D D pluss D kvadrat F6..7 INF 3 7 Laplace på et.grads polnom La ntensteten omkrng være gtt ved polnomet k k k 3 k k 5 k 6 I et 33 område rundt har v da ntenstetene Den korrekte Laplace-verden er gtt ved Både -nabo og -nabo masken gr korrekt estmat! k k k 3 k k 5 k 6 k k 3 k 6 k -k k 3 k -k 5 k 6 k k k k k -k k k k -k 3 k -k 5 k 6 k -k 3 k 6 k -k -k 3 k k 5 k k k F6..7 INF 3 Laplace vs. Sobel Sobel-ltrert > bred kant Laplace-ltrert > dobbelt-kant

3 F6..7 INF 3 9 Step-edge lnes En lne har to kanter. Sobel venstre gr lke stor respons på ørste pksel utenor og ørste pksel nnenor kanten. -pksels lne gr dobbel respons utenor lna. Laplace høre gr rktge null-gennomganger. F6..7 INF 3 Implementasoner av en 5 5 Laplace-operator Laplace-operatoren er kke separabel. Men den kan skrves som som gen kan skrves som Separason gr den raskeste mplementasonen: Krever 5 operasoner [ ] [ ] [ ] [ ] T T * 6 6 ltrene Sobel med dervason ganger ved nnes kan at ser V Krever operasoner F6..7 INF 3 Fra Laplace tl Lo V gorde gradent-operatorene stø-robuste ved å bgge nn en lavpassltrerng. Eksempel: Sobel-operator V kan gøre det samme med Laplace-operatoren V bruker et auss-lter Og sden konvoluson er kommutatv år v Der Lo er resultatet av å anvende Laplace-operatoren på en auss-unkson. [ ] [ ] h h Lo F6..7 INF 3 Lo- : : : π π π e Derverer mhp e Derverer mhp e D unksonen auss Summen av dsse gr oss : mht.dervert :. π π π e e e mht dervert

4 Laplacan-o-aussan Lo Et Lo-lter π er standard-avvket tl w er bredden av den postve toppen tl Lo-operatoren. I de leste tleller er størrelsen av operatoren 3w.5 Da er Lo e En kvadrant av et Lo-lter Laplace - operatoren π A k e Bruk en verd av k slk at e summen nnenor masken blr. A skalerer verdene slk at v kan bruke heltall. kan mplementeres som en samplng av ved heltalls verder av og Lo F6..7 INF 3 3 F6..7 INF 3 Lo Lo-lter Dette kan splttes opp se ol T T [ 6 ] *[ ] [ 6 ] *[ ] 5 5 og * [ ] *[ ] T Bruk av Lo Laplace-operatoren detekterer kanter men også stø bldet. Ote må man glatte stø ør Laplace-utøres. Lo-operatoren gør begge dsse operasonene ett. I homogene områder vl Lo-operatoren g respons. Den vl ha et postvt utslag på den ene sden av kanten selve kanten og et negatvt utslag på den andre sden. Prol over en kant Lo-respons or prolen F6..7 INF 3 5 F6..7 INF 3 6

5 Flater kanter og lner Kant-tper En homogen late er et område der alle pkselverdene er omtrent lke. En kant denerer v som overgangen mellom to områder med orskellg mddelverd. Kanten er ørste pksel nnenor overgangen. En rampe er et område der gradenten er konstant. Kanten er ørste pksel nnenor mdtpunktet på rampen. Step edge Ramp edge Roo edge Merk at en lne består av to kanter. Lne Nos edge F6..7 INF 3 7 F6..7 INF 3 Legg merke tl at... Robust kant-detekson En struktur som er smalere enn Lo-kernen gr to nullgennomganger. Kernen bestemmer avstanden mellom dem. Hvs strukturen er bredere enn kernen men smalere enn lteret blr kantene rktg detektert. På en rampe som er bredere enn kernen men smalere enn lteret nner Lo en nullgennomgang mdt på. På ramper som er bredere enn lteret nner kke Lo noen nullgennomgang bare et null-platå. Vanlgvs tre steg robust kant-detekson:. Stø-redukson der v orsøker å erne så me stø som mulg uten å smøre ut kanten lavpasslter.. Kant-ltrerng der v anvender høpass-ltere gradent-operatorer e.l. 3. Kant-lokalserng der v etterbehandler resultatet ra kant-ltrerngen or å nne eksakte kant-possoner. F6..7 INF 3 9 F6..7 INF 3

6 Stø-ernng V vl erne mest mulg stø uten å ødelegge normasonen bldet. De seldne hendelsen kanter og lner bærer mer normason enn homogene later. For å avgøre om et pksel er et kant-pksel eller kke kan v bruke en gradent- eller Laplace-operator. V kan også se på verden på senterpkselet og nabo-pkslene et vndu kant-bldet. Har alle relatvt lk verd kan v regne med at vnduet kke nneholder en kant. Er senter-pkselet svært orskellg ra alle naboer kan v regne med at det er et stø-pksel. Hvs nabo-pkslene er svært ulke kan det gå et kant gennom vnduet. Hvordan skal v glatte stø men bevare kanter bldet. Hva er en god kant-detektor? Bare de relevante kantene bør nnes Possonen tl detektert kant bør samsvare med der kanten nnes bldet. En kant skal kun g en enkelt respons. Den bør være robust or ltt stø. F6..7 INF 3 F6..7 INF 3 Cann s kant-detektor En optmal kant-detektor som gr oss et best mulg kompromss mellom støredukson og kantlokalserng. Den er optmal orhold tl tre krterer: od kant-lokalserng En enkelt respons Best mulg detekson Lavpass-ltrerng med auss-unkson gtt. Fnner gradent-magntude og retnng etter lavpassltrerng. Kan dsse stegene kombneres? F6..7 INF 3 3 Cann s krterer or god kantdetekson Lokalserngs-krteret: Kvadratavstanden mellom den detekterte kanten og den sanne kanten skal mnmeres. Falsk-maksmum-krteret: Hvordan nne kun de sterkeste null-krsnngene or den. derverte? Cann laget et krterum som maksmerer avstanden mellom null-krsnnger. Deteksons-krteret: Fnn et stø-lter som maksmerer sgnal-tl-stø orholdet or step-kanter stø ved gtt varans. F6..7 INF 3

7 Detalert Cann-algortme I Cann s algortme gøres kant-lokalserng slk: Tnnng non-mamal suppresson: Hvs et pksel har en nabo med høere pkselverd settes pkselverden ned. Hsterese-tersklng to terskler T h og T l Vanskelg å nne en god gradent-terskel or hele bldet.. Merk alle pksler der >T h. Scan alle pksler der [T l T h ] 3. Hvs et slkt pksel er nabo tl et merket pksel så merkes dette pkselet også.. enta ra trnn tl konvergens. F6..7 INF nput mage s - smoothed mage ater aussan lterng wth varance E - output edge mage MA - gradent magntude DIR - gradent drecton TL TH - thresholds or hsteress threshold procedure Cannmage varance s smoothmage computerobertssmadir SuppressMamumMADIRTLTH EdgeDetectMATLTHE end F6..7 INF 3 6 procedure SuppressNonmamaMADIR dene Del[]- dene -Del[]----- or to MaX- or to MaY- drectondirπ/ mod π/; MA MA[Del[drecton]] then MA; MA MA[-Del[dr]] then MA; endor end procedure EdgeDetectMATLTHE or to MaX- or to MaY- MA TH then FollowEdgeMATLTHE endor end procedure FollowEdgeMATLTHE E; whle MAuv TL or some -neghbor uv og Euv; uv; end F6..7 INF 3 7 F6..7 INF 3

8 Kant-bevarende støltrerng V ltrerer or å erne stø bldene. Det nnes et utall av kantbevarende ltre. Men det er et sstem galskapen: V kan ha to pksel-populasoner vnduet Da er det sub-optmalt å bruke alle pkslene V kan sortere pkslene Radometrsk eometrsk Både radometrsk og geometrsk Rang-ltrerng V lager en en-dmensonal lste av alle pkselverdene nnenor vnduet. V sorterer lsten stgende rekkeølge. V velger en pksel-verd ra en bestemt posson den sorterte lsten Denne pksel-verden er resultatet av ltrerngen og skrves ut tl tlsvarende pksel-posson ut-bldet. F6..7 INF 3 9 F6..7 INF 3 3 Medan-lter g medan av verdene et vndu rundt nn-pkslet. Medan den mdterste verden sortert lste. Vndu: kvadrat rektangel pluss. Rask mplementason kan gøres vha. hstogram med hstogram-oppdaterng etter hvert som vnduet lttes. Et av de mest brukte kant-bevarende stø-ltre. Speselt godt tl å erne mpuls-stø salt og pepper Problemer: Tnne kanter kan orsvnne Hørner kan rundes av Obekter kan bl ltt mndre Valg av vndus-størrelse og orm er vktg! Mddelverd eller medan? Mddelverd-lter: beregn mddelverd vndu. od stø-redukson blurrng av kanter. Medan-lter: nn medanen vnduet. Dårlgere støredukson bedre kant-bevarng. Fungerer speselt godt på salt-og-pepper stø. F6..7 INF 3 3 F6..7 INF 3 3

9 Medan og hørner Medan ved hstogram-oppdaterng. Skal oppdatere medan-verden mens v ltter et vndu med m rader og n kolonner rundt bldet. Sett thmn/.. Sett vduet ved venstre bldekant sorter og nn medanen MED og antall pksler med gråtone MED LE_MED. Fnn også hstogrammet or vnduet. Med kvadratsk vndu rundes hørnet av Med pluss -vndu bevares hørnet 3. or -m to m do begn --H[-n-] -n-<med then --LE_MED end. Fltt vnduet et pksel tl høre: or -m to m do begn H[n-] n-<med then LE_MED end F6..7 INF 3 33 F6..7 INF 3 3 Trmmet medan g mddelverd av alle pksler nnenor vnduet hvs gråtone-verd lgger nnenor et ntervall omkrng medan-verden. For et nn vndu sentrert om med pkselverder år v utverden g n n W M g n n W M { } K n { M } M medan n MAD medan K n n hvs M k MAD W M ellers F6..7 INF 3 35 K Nearest Neghbor-lteret g gennomsntt eller medan av de K pkslene vnduet som lgner mest på senterpkslet gråtone-verd. Kan sees som en modkason av mddelverd-ltret eller medan-ltret der man kun tar med de K mest aktuelle av nabo-pkslene. Problem: K er konstant or hele bldet. Hvs v velger or lten K erner v lte stø. Hvs v velger or stor K ernes lner og hørner I n n-vndu : K: ngen eekt K<n: bevarer tnne lner K<n/ : bevarer hørner K<n/n: bevarer rette kanter F6..7 INF 3 36

10 K Nearest Connected Neghbor lterng Opererer uten noe vndu For alle pksler bldet: Selected pel current pel Whle # selected pels < K Add - or - neghbors o recentl selected pel Sort lst o pel values Select pel most smlar to current pel Compute mean o K selected pels Dette vl bevare kanter og tnne lner uansett orm. F6..7 INF 3 37 Ma-homogentet Lavpassltrerng et stort vndu kan smøre ut kanter. Et enkelt trks: Del opp vnduet lere overlappende sub-vnduer; slk at alle nneholder senterpkslet lere mulgheter Det mest homogene vnduet nneholder mnst kanter. Beregn µ hvert subvndu. Bruk µ ra det sub-vnduet som har lavest. F6..7 INF 3 3 Sgma-ltret Ut-verdmddelverden av alle pksler nnen vnduet hvs gråtonerverd lgger ntervallet ± t t er en parameter og er estmert homogene områder bldet.eks. som et lavt percentl ra hstogram over ra alle vnduer. m n w m n g m n w hvs t w ellers Mnner om KNN der lteret selv nner K or hvert vndu. Ferner kke solerte stø-pksler. Dette kan også kses! m n MMSE-lteret MMSE MnmalMeanSquareError-lteret: Anta at v har et estmat på stø-varans n V estmerer lokal stø et vndu rundt pksel : og lokal mddelverd. Pkslene ut-bldet nnes ra: n g [ ] I homogene områder blr resultatet nær Nær en kant vl være større enn n og resultatet blr nær. F6..7 INF 3 39 F6..7 INF 3

11 Mn og Ma ltre Dsse ltrene nner hhv. laveste og høeste pkselverd nnenor et vndu. Begge gr en kke-lneær blurrng av bldet. De krever kke sorterng av pkslene bldet. Raskere enn ull sorterng n- sammenlgnnger mot nlog n Ma-Mn lter Også kalt Range-lter Ut-verd er deransen mellom høeste og laveste pkselverd nnenor et lokalt vndu. Raskt lter Fungerer som en kant-detektor uten retnngsangvelse. Kan kombneres med tnnng og hsteresetersklng tl rask pseudo-cann. Kan brukes tl hgh-boost. Bør kke brukes med store vnduer. F6..7 INF 3 F6..7 INF 3 Kombnasoner av Mn og Ma ltre La mn w t og ma w bet den mnste og største verden har nnenor et vndu w sentrert om. La vnduet ltte seg gennom alle mulge possoner bldet. Da vl to-pass operasonen g mamn erne topper som er mndre enn vnduet. Operasonen g mnma ller daler som er mndre enn vnduet. For å orsterke alle strukturer som er mndre enn vnduet: ga-mamn-mnma Mn og Ma-operasonene på et m n vndu er separable den orstand at de kan utøres to pass med et n vndu og et m vndu. Mode-lter Ut-verd hppgst orekommende verd et vndu rundt nn-pkslet. Hvordan er dette orskellg ra medan? Implementeres vha. hstogram-oppdaterng Anvendes mest på segmenterte eller klassserte blder or å erne solerte pksler. Forutsetter noen å mulge verder deror brukes det selden på gråtone-blder. F6..7 INF 3 3 F6..7 INF 3

12 Adaptv ltrerng Adaptve ltere beregner gråtone-statstkk ra et vndu rundt hvert pksel og lar lter-parametere avhenge av dette. Et pksel kan betraktes som stø dersom det er sgnkant orskellg ra sne naboer: Men hvordan setter v t og nner hva som er sgnkant orskellg? Multskala-ltrerng Det er vanskelg å nne kanter et stølt blde. En lten kant-detektor slår kratg ut på både kanter og stø men en stor gr mndre utslag på stø. Hoved-de: Beregn gradent ulke retnnger med små og store matrser. Beregn produktet av gradentene ra matrser med ulke størrelser samme retnng. Kant-strke Maproduktene ulke retnnger. F6..7 INF 3 5 F6..7 INF 3 6 En oppsummerng av ltere og bruk Merk: v har kke gennomgått alle dsse Oppsummerng Laplace-operatoren gr press lokalserng av kanten men orsterker stø. Lo-operatoren er en mer robust verson av Laplace som nkluderer glattng. Flterets størrelse må passe tl oppgaven! Cann gr et kompromss mellom støredukson og kantlokalserng. Medan bevarer kanter bedre enn mddelverd. Det nnes en mengde kke-lneære ltre. F6..7 INF 3 7 F6..7 INF 3