Komprimering av bilder

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Komprimering av bilder"

Transkript

1 Ltteratur : IF 3 Dgtal ldeehandlng Forelesnng nr Komprmerng av lder Efford, kap. Data Kompresjon oen egreper Lagrng eller oversendng Kompresjonsalgortme Dekompresjonsalgortme Dekompresjon Temaer : Hvor mye nformasjon nneholder en meldng? Hvor mange t trenger v for å lagre meldngen? Overflødg/redundant nformasjon Hvordan fjerne overflødg nformasjon? Entrop og Huffman-kodng Unversell kodng Kompresjon av lder og ldesekvenser Kompresjon estår å pakke nformasjonsnnholdet dataene (tekst, lde, lydsgnale etc.) på en så kompakt måte at redundant nformasjon kke lagres. Dataene komprmeres, så lagres de. år de senere skal leses, må v dekomprmere dem. Kodng er en del av kompresjon, men v koder for å lagre effektvt, kke for å hemmelgholde eller skjule nformasjon (krypterng). IF3-Kompresjon- IF3-Kompresjon- Kompresjon Plass og td Kompresjon kan deles nn tre steg: Transformasjon - representer sekvensen på en mer kompakt måte. Kvantserng Kodng Kompresjons kan gjøres eksakt/tapsfr ( loss-less ), eller kke-tapsfr ( lossy ). Ved tapsfr kompresjon kan v rekonstruere den orgnale meldngen eksakt. Dette kan v kke ved kke-tapsfr kompresjon. Resultatet kan lkevel være godt nok. Det fnnes en mengde ulke metoder for egge kategorer kompresjon. ange av dsse er asert på å representere en tekst/lde/lydsgnal på en annen måte, altså transformer av orgnal-dataene. Eks. kjedekode, løpelengder/run-length, dfferansetransform. Hvs v kvantserer orgnal-dataene, så kan kke dette reverseres. Kodng ygger ofte på sannsynlghetsfordelnger, dvs hstogrammer. V gjentar: V ruker kodng for kompresjon, kke for krypterng! Dgtale data kan ta stor plass Speselt lder og vdeo Eksempler :. Dgtalt lde: 5 x 5 x 8 t x 3 farger t. Røntgenlde: 7 x 8636 x t pr. pksel t Overførng av data tar td: Lnje med 64 kts/sek:. ca. mn. 38 s.. ca. 3 tmer mn. Lnje med ts/sek:. ca. 6 s.. ca. mn. IF3-Kompresjon-3 IF3-Kompresjon-4

2 Overførngskapastet og ps En lnje kan overføre en estemt mengde t sekundet. Lnjens kapastet uttrykkes som ps (ts per second), kps 4 ps 4 t sekundet ps 4 kps t sekundet Kapastet for noen typer lnjer: Analogt modem: f.eks. 56 kps ADSL (Asymmetrc Dgtal Suscrer Lne): - ps GS-telefonlnje: 9.6 kps Anvendelser Kompresjon og kodng enyttes for å redusere antall ts som skal tl for å eskrve ldet (eller en god approksmasjon tl ldet). Anvendelser nnen data-lagrng og data-overførng Televdeo-konferanser Fjernanalyse / meteorolog Overvåkng / fjernkontroll Telemedsn / medsnske arkver (PACS) Dokumenthåndterng / FAX ultmeda /nettverk ol kommunkasjon Tdsforruket ved off-lne kompresjon er kke særlg vktg. Dekompresjons-tden er langt vktgere. Ved sanntds data-overførng er tdsforruket krtsk. IF3-Kompresjon-5 IF3-Kompresjon-6 Fra lder tl vdeo Fra Edson tl moderne kno år v lukker øynene, forsvnner ldet gradvs fra retna. Det er en kort perode da v kke kan ta nn ny nformasjon -- selv om øynene er åpne. Dette kan v teste med perodske lyslnk. Det vser seg at crtcal flcker fuson frequency øker logartmsk med økende lumnans. CFFF er ca 4 s - for lave lysstyrker. Den er ca 6 s - for kraftg lysstyrke, og konvergerer mot 8 s -. år lyslnkene kommer tett nok etter hverandre td, vl de oppfattes som et jevnt lys, uten flcker. Thomas Alva Edson laget flmfremvsere med lder/sekund. Dette var (nesten) tlstrekkelg tl å g en llusjon om kontnuerlg evegelse. Prolemet med at tlskuerne le sltne av lumnance flcker le løst ved å vse fram hvert lde 3 ganger, altså en 3 flash-per-second presentasjon. Flmndustren vdereutvklet dette tl 4 lder/sekund, som gr en mye edre llusjon om kontnuerlg evegelse. For å fjerne opplevelsen av flmmer lr ldene vst ganger, noe som gr en llusjon om 48 lder/sekund. IF3-Kompresjon-7 IF3-Kompresjon-8

3 Interlacng På en TV-skjerm enytter man seg av nterlacng. Hvert lde deles to separate felter Det første estår av lnjene,3,5,7,9, (oddetalls lnjer) Det andre estår av lnjene,4,6,8,, (partalls lnjer) 3 ganger sekundet skfter lnje,3,5,... og mdt mellom hvert av dsse skftene skfter lnje,4,6.... Tlsammen skftes ldet 6 ganger sekundet, men man trenger kke å overføre mer enn 3 lder pr sekund tl TV-skjermen. Dette er en teknkk for flmmerfr framvsnng med halv åndredde. Hvert felt kan splttes I odde- og partalls kolonner ( doule nterlace ). Bruk kke klær med fskeens-mønster på TV! Redundans V kan ruke ulke mengder data tl å lagre/overføre samme meldng. Et lde av et 5-tall (5 x 5 pksler a 8 ts ts) Teksten fem 8 ts ISO (4 ts) ISO tegnet 5 (8 ts) Et nært heltall (3 ts) Begrepet redundans ser noe om hvor stor del av datamengden v kan fjerne uten at v mster nformasjonen dataene. Eks: v skal lagre tallet, men hvordan lagres det faktsk: Bnært en yte: - 8 t med Standard 7 ts ASCII kode for Vet v at v are skal lagre tallet, trenger v are t. Ved smart komprmerng og dekomprmerng kan v fjerne redundante ts. IF3-Kompresjon-9 IF3-Kompresjon- Ulke typer redundans etodene forklares mer detaljert senere forelesnngen. Kodngs-redundans Eks: Huffman-kodng ruker færrest t på å kode 5-tallet, som forekommer ofte, og flere t for 6-tallet. Intersampel redundans Eks: 66 kan run-length kodes som (,4),(,3),(6,),(,) Psykovsuell redundans Fjern nformasjon v kke kan oppfatte vsuelt. Interlde redundans For vdeokodng: En vdeo estår av en sekvens av stlllder. V kan kode første lde sekvensen, og deretter are endrngene fra ett lde tl det neste. Kompresjonsrate og redundans V vl lagre en gtt nformasjonsmengde ved ruk av færre data. Redundante data må ort. Kompresjonsraten angs som CR /c, der er antall t pr. sampel orgnalt, og c er antall t pr. sampel det komprmerte datasettet. Relatv redundans: c R CR percentage removed (-c/) % IF3-Kompresjon- IF3-Kompresjon-

4 Bldekvaltet Bldekvaltet - Hvs v velger rreversel kompresjon må v kontrollere at kvalteten på ut-ldet er god nok. Alternatvt kan v ang peak -verden av SR: Gtt et x nn-lde f(x, og et komprmert/dekomprmert ut-lde y(x,. Felen er da e( x, g( x, f ( x, RS-avvket mellom de to ldene er V kan også etrakte felen som støy. dlere kvadratsk sgnal-støy-forhold (SR) er [ g ( x, ] x y ( SR) S [ ] RS-verden av SR er da x e ( x, y ( SR) RS e x RS y x y [ g ( x, ] [ e ( x, ] x y e ( x, ( SR) peak SR uttrykkes ofte decel: x y [ max( g( x, ) mn( g( x, ) ] x y [ e ( x, ] Alle kvaltetsmål ovenfor slår sammen alle fel over hele ldet. Vårt synssystem har forskjellg toleranse for fel (stø flate, homogene områder og fel (stø nær kanter/lnjer ldet. Flere-komponent kvaltetsmål er edre! Del opp ldet etter lokal aktvtet! Λ log ( SR ) IF3-Kompresjon-3 IF3-Kompresjon-4 Kompresjon av lder Løpelengde-transform (run-length) Hvorfor ehandles kompresjon av lder speselt: Generelt så er det en mengde redundant nformasjon lder, åde ellom pksler på samme lnje ellom ulke lnjer ldet Ofte nneholder lder ojekter som kan representeres mer kompakt. V kan også ta etraktnng psykovsuelle effekter. Er også omtalt under lderepresentasjon Dette er en reversel transformasjon. Anta at (x,x,, x ) er alle pkslene en rad ldet. Etter en segmenterng har v k segmenter med lengde l og gråtone g. Dette kan representeres ved parene ( g, l ), l k ( x,..., x ) ( g, l),( g, l ),...,( gk, lk ) k l Eksempel: (4 yte) (3,6), (5,), (4,), (7,6) (8 yte) Hvor mange t v ruker pr. tall, avhenger av kodngen. IF3-Kompresjon-5 IF3-Kompresjon-6

5 Løpelengder nære lder I to-nvå lder trenger v are å ang løpelengden, l, for hvert run, forutsatt at v vet om lnjen starter med et hvtt eller et svart run. V trenger kodeord for EOL og EOI. Run-lengde hstogrammet er ofte kke flatt. Benytter da en kode som gr korte kode-ord tl de hyppgste run-lengdene. En standard (CCITT) Huffmann kode asert på dokument-statstkk rukes for dokument-overførng pr fax. Egen kodeok for svarte og hvte runs. De første 64 run-lengder har egne kodeord. For runlengder l mellom 64 og 78 setter v l 64k+, og overfører kodeordet for k som et UC ( makeup-codeword ), fulgt av kodeordet for. 78 svarer tl en A4-lnje dp oppløsnng. Vertkalt er oppløsnngen 7,7 lnjer/mm. READ er en D utvdelse av D RLE. Gray code Er den konvensjonelle nære representasjonen av gråtoner optmal? Et ett-ånds gråtone-lde med ts kan sees som et -ånds nært lde, v ser at ldet har t-plan. Det kan være ønskelg med mnst mulg komplekstet hvert t-plan, for da kan v effektvt komprmere hvert t-plan separat, det v utnytter store unforme områder. Konvensjonell nær representasjon gr høy t-plan komplekstet. Eksempel: områder ldet der gråtoneverden fluktuerer mellom k og k- vl k+ ts skfte: 7 8 I Gray Code skfter alltd are ett t når gråtonen endres med. Overgangen fra nær kode tl gray code er en transformasjon, men åde konvensjonell nær og gray code er egentlg kodng. IF3-Kompresjon-7 IF3-Kompresjon-8 Gray Code transformasjoner Transformasjon fra Bnary Code tl Gray Code :. Start med SB BC og ehold alle nntl du treffer. eholdes, men alle følgende ts komplementeres nntl du treffer 3. komplementeres, men alle følgende ts eholdes nntl du treffer 4. Gå tl. Fra GC tl BC:. Start med SB GC og ehold alle nntl du treffer. eholdes, men alle følgende ts komplementeres nntl du treffer 3. komplementeres, men alle følgende ts eholdes nntl du treffer 4. Gå tl. Dfferansetransform Gtt en lnje ldet med gråtoner x,...x, x -. Transformer (reverselt) tl x, x -x, x 3 -x,...,x -x -. V trenger nå + ts hvs v skal tlordne lke lange nære koder tl alle mulg verder. en, dfferansehstogrammet vl de fleste verdene samle seg rundt, f.eks. mellom -8 og 8. Derfor er det kke slk at en naturlg t-kodng av dfferansene er det optmale. IF3-Kompresjon-9 IF3-Kompresjon-

6 Ltt mer om dfferansetransform Lneære transformer Lag f.eks. en 6 ords naturlg kode c, c,... c 6 og tlordne de 4 kode-ordene c,... c 5 tl dfferansene -7, -6,..., -,,,,..., 5, 6 Kodene c og c 6 kan rukes tl å ndkere om dfferansen x < -7 eller om x 7 (to-sdet shft-kode) x > c 6 c 6 c 3 x - > c c c 5 Alternatvt kan v kode dfferansene ved hjelp av andre kodeteknkker. Gtt lneær-transformasjonen y A x, der x er pkselverder ldet. y a L an x O yn an L ann xn Denne kan være nyttg hvs x ene er sterkt korrelerte, og A er valgt slk at y ene lr mndre korrelerte. Da kan y kodes mer effektvt enn x. Det er vktg at A har en nvers. V får en dfferanse-transform dersom Dette er en reversel transform. A y får doelt så mange mulge verder som x, men hstogrammet er mer konsentrert. L L IF3-Kompresjon- IF3-Kompresjon- Kvantserng Kvantserng - V vet at øyet oppfatter 5-6 gråtoner. : kompresjon ved å redusere fra 56 tl 6 gråtoner. Enkleste (og dårlgste) løsnng er å heltallsdvdere alle pkselverder med 6 (unform kvantserng). Dette ntroduserer falske konturer. Bedre løsnng å rekvantsere slk at v får omtrent lke mange pksler for hver gråtone ut-ldet (hstogram-utjevnng tl færre ts). Denne teknkken er rreversel gr alltd nformasjonstap. Kan også anvendes på flerkanals lder. Anta at v har enyttet en lneær-transformasjon y a L an x O y yn an L ann xn Hvs x kan ha m verder (m ts), så kan nå y ha ( m ) n mn verder. Denne transformasjonen kan være reversel. Sden v ønsker kompresjon, kan v l nødt tl å avrunde y tl færre enn mn lovlge verder (rreverselt!). V skller mellom unform kvantserng (lke store ns), og kke-unform kvantserng (for eksempel lke mange pksler pr n). Bruker v dfferanse-transformen, dropper v ofte kvantserngen, enytter for eksempel Huffmann-kodng, og får en reversel kompresjon. n j a j x j IF3-Kompresjon-3 IF3-Kompresjon-4

7 Informasjonsteor og kodng Kompresjon/kodng ygger på nformasjonsteor og sannsynlgheter. Hvs et symol forekommer ofte, ør v lagre det med et lte antall t for å ruke mnst mulg lagerplass tlsammen. Et symol som forekommer sjeldent, kan v tllate oss å ruke mange t på å lagre. V ruker da et varaelt antall t pr. symol. Dette skller seg fra lagrng med lke mange t pr symol. Kodng Kodng skal alltd være reversel. Fra koden skal v kunne rekonstruere det orgnale symolet. Unkt dekodare koder har den egenskap at en mottatt sekvens av kode-ord kan dekodes på en og are en måte. Anta c, c, c 3 og c 4 Hva etyr {}? Er det {c c c c } eller {c c 3 c }? aturlg nær-kodng: Alle kode-ord er lke lange. år er dette optmalt? år sannsynlghetene for symolene kke er lke, er varael lengde på kodeordene edre. Hyppge symoler > korte kode-ord. Eks.: orse-alfaetet. IF3-Kompresjon-5 IF3-Kompresjon-6 aturlg nær-kodng av gråtoner Eks: v har 8 mulge verder Entrop en lten forsmak Symol nr. Symol Kode c s s aturlg nærkodng er are optmal hvs alle verdene sekvensen er lke sannsynlge. For ulke sannsynlgheter er koder med varael lengde på kodeordene edre Hyppgere symoler kortere kode-ord. Sjeldne symoler lengere kode-ord. Dette var forretnngs-deen tl Samuel orse. 3 s 3 4 s 4 5 s 5 6 s 6 7 s 7 8 s 8 Har v en sekvens av tall eller tegn som lagres med t pr. sampel, så kan v s v har et alfaet med mulge symoler. Entrop er et matematsk mål på gjennomsnttlg nformasjonsmengde en sekvens av tegn eller tall. Intutvt har v at en mndre sannsynlg hendelse gr mer nformasjon enn en mer sannsynlg hendelse Informasjon er relatert tl mengden redundans eller overraskelse. IF3-Kompresjon-7 IF3-Kompresjon-8

8 Gjennomsnttlg antall t pr. pksel V har x pksler med mulge gråtoner. Tell opp antall ganger gråtonen s forekommer og la n være dette antallet. Dette er det samme som hstogrammet tl gråtoneldet. Sannsynlgheten tl gråtoneverdene fnnes da som: p n / ( x ) Altså det normalserte hstogrammet V konstruerer en kode c,...c, slk at gråtone s kodes med c. er lengden t av kodeordet c. Gjennomsnttlg antall t pr. pksel for denne koden er: Entropen H er en nedre grense for R. R p + p Entropen H setter en grense for kompresjonen, hvs v are ser på hvert pksel for seg. p p Informasjonsnnhold og entrop Defner nformasjonsnnholdet I(s ) hendelsen s ved I s ) log ( p( s log (x) er -er logartmen tl x log (x) log (x) / log () ) log (/p(s )) gr oss nformasjonsnnholdet den hendelsen det er at symolet s forekommer en gang, uttrykt t. IF3-Kompresjon-9 IF3-Kompresjon-3 er om entrop Øvre og nedre grense for entrop Hvs alle symoler lke sannsynlge > entrop lk antall t. Hvs v tar gjennomsnttet over alle symoler s alfaetet, får v gjennomsnttlg nformasjon pr. symol. Entrop H: H p( s ) I( s ) p( s )log( p( s )) Entropen setter en nedre grense for hvor kompakt sekvensen kan representeres Dette gjelder hvs v are ser hvert symol for seg, altså hvs v are ser på kodngsredundans Det er symoler, og sannsynlgheten for hvert av dem er p(s )/. Da lr entropen H log ( ) log Husk at: Hvs det er symoler som alle er lke sannsynlge, så kan v kke representere dem mer kompakt enn med ts pr symol. Hvs alle pkslene er lke > entrop lk. Hvs are ett symol forekommer, er sannsynlgheten for dette symolet lk, og alle andre sannsynlgheter er lk. H log () ( ) IF3-Kompresjon-3 IF3-Kompresjon-3

9 ts of data ts of nformaton Et nært lde med * pkseler nneholder t per pksel. Det er * ts data ldet, men hvor mye nformasjon er det ldet? Hvs det er lke mange som ldet, så er det lke stor sannsynlghet for at neste pksel er som. Informasjonsnnholdet hver mulg hendelse er da lke stort, og entropen tl et nytt symol er t. H log ( ) + log( ) *+ * / / Hvs det er 3 ganger så mange som ldet, så er det mndre overraskende å få en, og det skjer oftere. Entropen er da mndre: 3 3 H log ( ) + log ( ) *+ * /4 4 3/4 4 4 I et gråtonelde med G gråtoner er det på samme måte det normalserte hstogrammet som estemmer entropen, dvs det gjennomsnttlge nformasjonsnnholdet pr pksel, målt ts: H G p log p ( ) IF3-Kompresjon-33 Huffman-kodng Huffman-kodng er en algortme for optmal kodng med varael-lengde koder. Huffman-kodng er asert på at v kjenner sannsynlgheten for at hvert av symolene forekommer. Huffman-koden er unkt dekodar. IF3-Kompresjon-34 Framgangsmåte - Huffman-kodng Eksempel - Huffman-kodng Gtt en sekvens med symoler:. Sorter symolene etter sannsynlghet, slk at de mnst sannsynlge kommer sst.. Slå sammen de to mnst sannsynlge symolene en gruppe, og sorter gjen etter sannsynlghet. 3. Gjenta tl det are er to grupper gjen. 4. G kodene og tl de to gruppene. Kode tl den mest og tl den mnst sannsynlge av de to 5. Traverser akover, og legg tl og kodeordet for de to mnst sannsynlge gruppene hvert steg. Gtt 6 egvenheter A, B, C, D, E, F med sannsynlgheter Begvenhet Sannsynlghet A Slå sammen de to mnst sannsynlge, slå også sammen sannsynlgheten deres Fnn så de to som nå er mnst sannsynlge, og slå dem sammen på samme måte Fortsett tl det er are to gjen.6 B C.5 D.4 E..5 F.5 IF3-Kompresjon-35 IF3-Kompresjon-36

10 Eksempel - Huffman-kodng Gtt 6 egvenheter A, B, C, D, E, F med sannsynlgheter Dette gr følgende kodeok Kodeoken Begvenhet Sannsynlghet A.3 Gå aklengs gjennom strukturen og tlordne eller tl hver gruppe. (F. eks. kode tl den mest sannsynlg og kode tl den mnst sannsynlge).6 Kode B.3 C.3.5 D. E..4 Kode.5 F.5 Begvenhet Kode ed sannsynlghetene lr gjennomsnttlg antall t pr. symol (R) for denne koden: (se fol 9) R p + p p p Entropen H er mndre enn R (se fol 3): H A B C p( s ) log ( p( )).34 s D E F IF3-Kompresjon-37 IF3-Kompresjon-38 Om Huffman-kodng Ingen kode-ord danner prefks en annen kode Dette skrer at en sekvens av kodeord kan dekodes entydg, uten at man trenger ende-markører. Dette etyr at mottatt kode er nstantant (øyelkkelg) dekodar. Lengden av en Huffman kodeok er høyst G erk at kodeoken må overføres! Det lengste kodeordet kan ha opptl G ts. Er Huffman-kodng optmal? Den deelle nære kode-ord lengden for symol s er - log (p(s )) Sden are heltalls ordlengder er mulg, er det are p( s ) k for heltall k som tlfredsstller dette. Eksempel: hvs v har Symol Sannsynlghet Kode s.5 lr gjennomsnttlg ordlengde R.9375 H. s.5 s 3.5 s 4.65 s 5.35 s 6.35 IF3-Kompresjon-39 IF3-Kompresjon-4

11 Hvert av de G symolene s med kodeord c har sannsynlghet p. β er lengden av kodeord c ( ts) Etter kodng er det gjennomsnttlge antall ts per symol gtt ved G R β p ens entropen er gtt ved H G p log p ( ) H er en nedre grense for R V ser her at R G Et eksempel s β p > H P(s ) c -p log (p ) S S S S S s G β p log ( p ) H.543 β p R. Unversell kodng Huffman-kodng ygger på at man fnner antall forekomster av hvert symol teksten, og lager kodene utfra dette. Kodene må lages fra gang tl gang, og kodeoken må også oversendes. Er det mulg å fnne en unversell kode som tar hensyn tl hvor mange ganger et symol forekommer? V kan f.eks. se på forekomster av ulke okstaver norsk eller engelsk tekst. e forekommer oftest, z, x og q er sjeldne. Eller v kan ygge opp kodestrenger etter hvert som v ser gjentatte mønstre. Lempel-Zv kodng er et eksempel på unversell kodng av symoler (f.eks. en tsekvens). IF3-Kompresjon-4 IF3-Kompresjon-4 Lempel-Zv-kodng Premerer mønstre dataene, ser på samforekomster av symoler. Bygger opp en symolstreng-lste åde under kompresjon og dekompresjon. Denne lsten skal kke lagres eller sendes, for mottakeren kan ygge lsten av den symolstrengen han mottar. Det eneste man trenger er et standard alfaet (f.eks ASCII). ottaker kjenner are alfaetet, og lagrer nye fraser ved å ta nest sste streng pluss første symol sst tlsendte streng, nntl lsten er full (det er en praktsk grense her!). En ulempe er at man av og tl lager kodeord som man kke får ruk for. Eksempel på Lempel-Zv Anta at alfaetet er a, og c som tlordnes kodene, og 3. La dataene være aacaaaaaaaa sender: ny frase sendt streng pluss neste usendte symol mottaker: ny frase nest sste streng pluss første symol sst tlsendte streng Ser a a c a a a aa aa a Sender Senders lste a,,c3 a4 a5 ac6 c7 a8 aa9 aa aaa aa ottar Tolker a a c a a a aa aa a ottakers lste a,, c3 a4 a5 ac6 c7 a8 aa9 aa aaa aa IF3-Kompresjon-43 IF3-Kompresjon-44

12 JPEG-kodng (tapsfr) JPEG (Jont Photographc Expert Group) er et av de vanlgste ldeformatene med kompresjon. JPEG-standarden har varanter åde for tapsfr og kke-tapsfr kompresjon. JPEG kan ruke enten Huffman-kodng eller en varant av unversell kodng kalt artmetsk kodng. Predktv kodng rukes for å predkere at neste pksel på samme lnje har lgnende verd som forrge pksel å predkere at et pksel har lgnende verd som pkslet på lnjen over å predkere at neste pksel på lnjen har lgnende verd som de tre nærmest pkslene Typen kodng estemmes fra lde tl lde Ikke-tapsfr (loss kompresjon For å få høye kompresjonsrater, er det ofte nødvendg med kke-tapsfr kompresjon. Ulempen er at man kke kan rekonstruere det orgnale ldet, ford et nformasjonstap har skjedd. Enkle metoder for kke-tapsfr kompresjon er rekvantserng tl færre antall gråtoner, eller resamplng tl dårlgere romlg oppløsnng. Andre enkle metoder er flterng der f.eks. 3x3 pksler erstatter med ett nytt pksel som er enten mddelverden eller medanverden av de opprnnelge pkselverdene. S enytter lavere oppløsnng kromas-komponentene. IF3-Kompresjon-45 IF3-Kompresjon-46 Ikke-tapsfr JPEG-kompresjon Bldet deles opp lokker på 8x8 pksler, og hver lokk kodes separat. Hver lokk transformeres med DCT (Dskret Cosnus Transform), som gr reelle koeff. og transformkoeffsentene kvantseres. Skk-sakk-scannng ordner koeffsentene D-rekkefølge. ange koeffsenter vl rundes av tl null. Løpelengde-transform av koeffsentene, fulgt av Huffman-kodng. Ved JPEG-kodng kan man velge en kvaltetsparameter som lgger mellom og (prøv xv eller gmp). For de speselt nteresserte: dette gjelder den gamle JPEGstandarden, kke JPEG, som ruker wavelets. Oppsummerng - kompresjon Henskten med kompresjon er mer kompakt lagrng eller rask oversendng av nformasjon. Kompresjon er asert på nformasjonsteor. Antall t. pr. sampel er sentralt, og varerer med kompresjonsmetodene og dataene. Sentrale metoder: Huffman-kodng lag sannsynlghetstaell, send kodeok Unversell kodng utnytter mønstre sender kke kodeok Før kodng: løpelengde- eller dfferanse-transform. IF3-Kompresjon-47 IF3-Kompresjon-48

INF1040-Kompresjon-2. (tekst, bilde, lydsignaler etc.) på en så kompakt måte. at redundant informasjon ikke lagres.

INF1040-Kompresjon-2. (tekst, bilde, lydsignaler etc.) på en så kompakt måte. at redundant informasjon ikke lagres. IF 4 Komresjon og kodng Tema dag :. oen begreer. Redundans 3. Dfferanse- og løelengdetransformer 4. Gray kode 5. Entro 6. Shannon-Fano og Huffman kodng 7. Lemel-Zv kodng 8. JPEG kodng Pensumltteratur:

Detaljer

INF2310 Digital bildebehandling

INF2310 Digital bildebehandling INF30 Dgtal bldebehandlng Forelesnng 0 Kompresjon og kodng I Andreas Kleppe Tre steg kompresjon Redundanser Kodng og entrop Shannon-Fano-kodng Huffman-kodng Artmetsk kodng Kompendum: 8-8.3, 8.5-8.7., 8.7.4

Detaljer

Anvendelser. Plass og tid. INF2310 Digital bildebehandling. Eksempler: Plassbehov uten kompresjon. Forelesning 10. Kompresjon og koding I

Anvendelser. Plass og tid. INF2310 Digital bildebehandling. Eksempler: Plassbehov uten kompresjon. Forelesning 10. Kompresjon og koding I Anvendelser INF231 Dgtal bldebehandlng Forelesnng 1 Kompresjon og kodng I Ole Marus Hoel Rndal, foler av Andreas Kleppe. Tre steg kompresjon Redundanser Kodng og entrop Shannon-Fano-kodng Huffman-kodng

Detaljer

Kompresjon. Noen begreper. Plass og tid. Kompresjon. Digitale data kan ta stor plass. Eksemper : Overføring av data tar tid: Dekompresjonsalgoritme

Kompresjon. Noen begreper. Plass og tid. Kompresjon. Digitale data kan ta stor plass. Eksemper : Overføring av data tar tid: Dekompresjonsalgoritme Kompresjon Noen egreper Kompresjonsalgoritme Dekompresjonsalgoritme Litteratur : Cyganski kap. 7 Compressing Information kap. 8 Image Compression kap. 9 Digital Video Data Kompresjon Lagring eller oversending

Detaljer

INF 1040 Digital video digital bildeanalyse. Noen begreper. Kompresjon. Kompresjon. Dekompresjonsalgoritme. Kompresjonsalgoritme

INF 1040 Digital video digital bildeanalyse. Noen begreper. Kompresjon. Kompresjon. Dekompresjonsalgoritme. Kompresjonsalgoritme INF 4 Digital video digital ildeanalyse Tema i dag :. Hvor mye informasjon inneholder en melding?. Redundans 3. Differanse- og løpelengdetransformer 4. Gray kode 5. Entropi 6. Shannon-Fano og Huffman koding

Detaljer

INF 1040 Kompresjon og koding. Noen begreper. De tre stegene i kompresjon. Kompresjon. Dekompresjonsalgoritme. Kompresjonsalgoritme

INF 1040 Kompresjon og koding. Noen begreper. De tre stegene i kompresjon. Kompresjon. Dekompresjonsalgoritme. Kompresjonsalgoritme INF 4 Kompresjon og koding Noen egreper Kompresjonsalgoritme Dekompresjonsalgoritme Tema i dag :. Noen egreper. Redundans Data Kompresjon Lagring eller oversending Dekompresjon Data. Differanse- og løpelengdetransformer

Detaljer

INF 1040 Kompresjon og koding. Noen begreper. De tre stegene i kompresjon. Kompresjon. Dekompresjonsalgoritme. Kompresjonsalgoritme

INF 1040 Kompresjon og koding. Noen begreper. De tre stegene i kompresjon. Kompresjon. Dekompresjonsalgoritme. Kompresjonsalgoritme INF 4 Kompresjon og koding Noen egreper Kompresjonsalgoritme Dekompresjonsalgoritme Tema i dag :. Noen egreper. Redundans Data Kompresjon Lagring eller oversending Dekompresjon Data. Differanse- og løpelengdetransformer

Detaljer

Anvendelser. Noen begreper. Kompresjon

Anvendelser. Noen begreper. Kompresjon Anvendelser INF 30 Digital it ildeehandling dli 7.04.0 Kompresjon og koding Del I Tre steg i kompresjon Redundans Bildekvalitet Transformer Koding og entropi Shannon-Fano og Huffman GW: Kap. 8 unntatt

Detaljer

Anvendelser. Kompresjon. Noen begreper. INF 2310 Digital bildebehandling

Anvendelser. Kompresjon. Noen begreper. INF 2310 Digital bildebehandling Anvendelser IF 3 Digital ildeehandling Kompresjon og koding Del I Tre steg i kompresjon Redundanser Transformer Koding og entropi Shannon-Fano og Huffman GW: Kap. 8 unntatt 8..7, 8.., 8..6, 8.., 8.3 Kompresjon

Detaljer

Geometriske operasjoner

Geometriske operasjoner Geometrske operasjoner INF 23 29..28 Kap. 2.4.4 og 2.6.5 DIP Geometrske operasjoner Affne transformer Interpolasjon Samregstrerng av blder Endrer på pkslenes possjoner ransformerer pkselkoordnatene (x,)

Detaljer

Anvendelser. Kapittel 12. Minste kvadraters metode

Anvendelser. Kapittel 12. Minste kvadraters metode Kapttel Anvendelser I dette kaptlet skal v se på forskjellge anvendelser av teknkke v har utvklet løpet av de sste ukene Avsnttene og eksemplene v skal se på er derfor forholdsvs uavhengge Mnste kvadraters

Detaljer

Geometriske operasjoner

Geometriske operasjoner Geometrske operasjoner INF 23 27.2.27 Kap. 9 (samt 5.5.2) Geometrske operasjoner Affne transformer Interpolasjon Samregstrerng av blder Endrer på pkslenes possjoner ransformerer pkselkoordnatene (x,) tl

Detaljer

Anvendelser. Noen begreper. Kompresjon. INF 2310 Digital bildebehandling

Anvendelser. Noen begreper. Kompresjon. INF 2310 Digital bildebehandling Anvendelser INF 30 Digital ildeehandling Kompresjon og koding Del I Tre steg i kompresjon Redundanser Transformer Koding og entropi Shannon-Fano og Huffman Kompendium: Frem t.o.m. 8.7. + Appendiks B Kompresjon

Detaljer

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18).

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18). Econ 2130 HG mars 2012 Supplement tl forelesnngen 19. mars Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og ltt om heltallskorreksjon (som eksempel 5.18). Regel 5.19 ser at summer, Y = X1+ X2 + +

Detaljer

INF 2310 Digital bildebehandling

INF 2310 Digital bildebehandling INF 30 Dgtal bldebehandlng FORELESNING 4 GRÅONE-RANSFORMASJONER Frtz Albregtsen emaer dag Hstogrammer Lneære gråtonetransformer t Standardserng av blder med lneær transform Ikke-lneære, parametrske transformer

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO øsnngsforslag UNIVERSIEE I OSO Det matematsk-naturvtenskaelge fakultet Eksamen : INF3 Dgtal bldebehandlng Eksamensdag : Onsdag 6. jun d for eksamen : 9: 3: øsnngsforslaget er å : sder Vedlegg : Ingen llatte

Detaljer

TMA4240/4245 Statistikk Eksamen august 2016

TMA4240/4245 Statistikk Eksamen august 2016 Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA44/445 Statstkk Eksamen august 6 Løsnngssksse Oppgave a) Ved kast av to ternnger er det 36 mulge utfall: (, ),..., (6, 6). La Y

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statstkk og økonom, våren 7 Oblgatorsk oppgave Løsnngsforslag Oppgave Anta at forbruket av ntrogen norsk landbruk årene 987 99 var følgende målt tonn: 987: 9 87 988: 8 989: 8 99: 8 99: 79 99: 87 99: 9

Detaljer

PLASS og TID INF Fritz Albregtsen. Tema: komprimering av bilder ANVENDELSER METODER

PLASS og TID INF Fritz Albregtsen. Tema: komprimering av bilder ANVENDELSER METODER PLASS og TID INF 60-30042002 Fritz Albregtsen Tema: komprimering av bilder Litteratur: Efford, DIP, kap 2 Digitale bilder tar stor plass Eksempler: a 52 52 8 bits 3 farger 63 0 6 bits b 24 36 mm fargefilm

Detaljer

Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering

Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering Lekson 3 Smpleksmetoden generell metode for å løse LP utgangspunkt: LP på standardform Intell basstabell Fase I for å skaffe ntell, brukbar løsnng løse helpeproblem hvs optmale løsnng gr brukbar løsnng

Detaljer

IT1105 Algoritmer og datastrukturer

IT1105 Algoritmer og datastrukturer Løsnngsforslag, Eksamen IT1105 Algortmer og datastrukturer 1 jun 2004 0900-1300 Tllatte hjelpemdler: Godkjent kalkulator og matematsk formelsamlng Skrv svarene på oppgavearket Skrv studentnummer på alle

Detaljer

PLASS og TID IN 106, V-2001 KOMPRESJON OG KODING 30/ Fritz Albregtsen METODER ANVENDELSER

PLASS og TID IN 106, V-2001 KOMPRESJON OG KODING 30/ Fritz Albregtsen METODER ANVENDELSER IN 106, V-2001 PLASS og TID Digitale bilder tar stor plass Eksempler: a 512 512 8 bits 3 farger 63 10 6 bits KOMPRESJON OG KODING 30/4 2001 b 24 36 mm fargefilm digitalisert ( x = y=12µm) 2000 3000 8 3

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>. ECON30: EKSAMEN 05 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt

Detaljer

FORELESNING 11. KOMPRESJON OG KODING I Andreas Kleppe. Tre steg i kompresjon Redundanser Transformer Koding og entropi Shannon-Fano og Huffman

FORELESNING 11. KOMPRESJON OG KODING I Andreas Kleppe. Tre steg i kompresjon Redundanser Transformer Koding og entropi Shannon-Fano og Huffman Anvendelser INF30 Digital ildeehandling FORELESNING KOMPRESJON OG KODING I Andreas Kleppe Tre steg i kompresjon Redundanser Transformer Koding og entropi Shannon-Fano og Huffman Kompendium: Frem t.o.m.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Løsnngsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Eksamen : INF3 Dgtal bldebehandlng Eksamensdag : Trsdag 9. mars 3 Td for eksamen : 5: 9: Løsnngsforslaget er på : sder Vedlegg

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Hvlke problemer? Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton) på -tallet. Har ngen tng med programmerng å gøre. Dynamsk er et ord som kan aldr brukes negatvt. Skal v

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton på -tallet. Programmerng betydnngen planlegge, ta beslutnnger. (Har kke noe med kode eller å skrve kode å gøre. Dynamsk for

Detaljer

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS Sde 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Fakultet for bygg- og mljøteknkk INSTITUTT FOR SAMFERDSELSTEKNIKK Faglg kontakt under eksamen: Navn Arvd Aakre Telefon 73 59 46 64 (drekte) / 73

Detaljer

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså:

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså: A-besvarelse ECON2130- Statstkk 1 vår 2009 Oppgave 1 A) () Antall kke-ordnede utvalg: () P(Arne nummer 1) = () Når 5 er bltt trukket ut, er det tre gjen som kan blr trukket ut tl den sste plassen, altså:

Detaljer

ØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver

ØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver ØVINGER 017 Løsnnger tl oppgaver Øvng 1 7.1. Med utgangspunkt de n 5 observasjonsparene (x 1, y 1 ), (x, y ),..., (x 5, y 5 ) beregner v først mddelverdene x 1 5 Estmert kovarans blr x 3. ȳ 1 5 s XY 1

Detaljer

Auksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet

Auksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet Auksjoner og mljø: Prvat nformasjon og kollektve goder Erk Romstad Handelshøyskolen Auksjoner for endra forvaltnng Habtatvern for bologsk mangfold Styresmaktene lyser ut spesfserte forvaltnngskontrakter

Detaljer

Løsningsforslag, Ukeoppgaver 9 INF2310, våren kompresjon og koding del I

Løsningsforslag, Ukeoppgaver 9 INF2310, våren kompresjon og koding del I Løsningsforslag, Ukeoppgaver 9 INF2310, våren 2009 6. Vi har gitt følgende bilde: kompresjon og koding del I 1 0 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 1 1 3 3 3 1 0 1 1 2 2 2 3 3 2 1 2 2 3 2 3 4 4 2 1 2 3 2 2 3 4 4 2

Detaljer

Løsningsforslag ST2301 Øving 8

Løsningsforslag ST2301 Øving 8 Løsnngsforslag ST301 Øvng 8 Kapttel 4 Exercse 1 For tre alleler, fnn et sett med genfrekvenser for to populasjoner, som gr flere heterozygoter enn forventa utfra Hardy-Wenberg-andeler for mnst én av de

Detaljer

Appendiks 1: Organisering av Riksdagsdata i SPSS. Sannerstedt- og Sjölins data er klargjort for logitanalyse i SPSS filen på følgende måte:

Appendiks 1: Organisering av Riksdagsdata i SPSS. Sannerstedt- og Sjölins data er klargjort for logitanalyse i SPSS filen på følgende måte: Appendks 1: Organserng av Rksdagsdata SPSS Sannerstedt- og Sjölns data er klargjort for logtanalyse SPSS flen på følgende måte: Enhet År SKJEBNE BASIS ANTALL FARGE 1 1972 1 0 47 1 0 2 1972 1 0 47 1 0 67

Detaljer

Automatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning

Automatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning Bruksanvsnng System 2000 Art. Nr.: 0661 xx /0671 xx Innholdsfortegnelse 1. rmasjon om farer 2. Funksjon 2.1. Funksjonsprnspp 2.2. Regstrerngsområde versjon med 1,10 m lnse 2.3. Regstrerngsområde versjon

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteor Høsten 014 Rchard Wllamson 3. desember 014 Innhold Forord 1 Induksjon og rekursjon 7 1.1 Naturlge tall og heltall............................ 7 1. Bevs.......................................

Detaljer

Alternerende rekker og absolutt konvergens

Alternerende rekker og absolutt konvergens Alternerende rekker og absolutt konvergens Forelest: 0. Sept, 2004 Sst forelesnng så v på rekker der alle termene var postve. Mange av de kraftgste metodene er utvklet for akkurat den typen rekker. I denne

Detaljer

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015 Fleksbelt arbedslv Befolknngsundersøkelse utført for Manpower September 015 Antall dager med hjemmekontor Spørsmål: Omtrent hvor mange dager jobber du hjemmefra løpet av en gjennomsnttsmåned (n=63) Prosent

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>. ECON13: EKSAMEN 14V TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt >. Oppgave 1 Innlednng. Rulett splles på en rekke kasnoer

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Tirsdag 15. mai 2001 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Tirsdag 15. mai 2001 Tid: 09:00 14:00 Norges teknsk naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Sde 1 av 9 Faglg kontakt under eksamen: Enar Rønqust, tlf. 73 59 35 47 EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Trsdag 15. ma 2001 Td:

Detaljer

Løsning til seminar 3

Løsning til seminar 3 Løsnng tl semnar 3 Oppgave ) Investerngsfunksjonen Investerngene påvrkes hovesaklg av renta og av aktvtetsnvået økonomen. Når renta går opp øker kostnaen ve å fnansere nvesternger. V kan s at et lr relatvt

Detaljer

INF 2310 Digital bildebehandling

INF 2310 Digital bildebehandling Bruksområder - ltrerng INF 30 Dgtal bldebeandlng Fltrerng blde-domenet - Naboskaps-operasjoner Konvolusjon og korrelasjon Kant-bevarende ltre Ikke-lneære ltre GW Kap 3.4-3.5 + Kap 5.3 Av de mest brukte

Detaljer

Oppgave 3, SØK400 våren 2002, v/d. Lund

Oppgave 3, SØK400 våren 2002, v/d. Lund Oppgave 3, SØK400 våren 00, v/d. Lnd En bonde bonde dyrker poteter. Hvs det blr mldvær, blr avlngen 0. Hvs det blr frost, blr avlngen. Naboen bonde, som vl være tsatt for samme vær, dyrker også poteter,

Detaljer

Rayleigh-kriteriet. INF 2310 Digital bildebehandling. Hvor små detaljer kan en linse oppløse? Samplingsteoremet (Shannon/Nyquist)

Rayleigh-kriteriet. INF 2310 Digital bildebehandling. Hvor små detaljer kan en linse oppløse? Samplingsteoremet (Shannon/Nyquist) IN 3 Dgtal bldebehandlng Ralegh-krteret Oppsummerng II våren : Avbldnng Samplng og kvantserng Geometrske operasjoner Gråtonemappng og hstogramoperasjoner ltrerng blde-doménet ltrerng rekvens-doménet Kompresjon

Detaljer

INF 1040 Kompresjon og koding

INF 1040 Kompresjon og koding INF 1040 Kompresjon og koding Tema i dag : 1. Hvor mye informasjon inneholder en melding? 2. Redundans 3. Differanse- og løpelengdetransformer 4. Gray kode 5. Entropi 6. Shannon-Fano og Huffman koding

Detaljer

Studieprogramundersøkelsen 2013

Studieprogramundersøkelsen 2013 1 Studeprogramundersøkelsen 2013 Alle studer skal henhold tl høgskolens kvaltetssystem være gjenstand for studentevaluerng mnst hvert tredje år. Alle studentene på studene under er oppfordret tl å delta

Detaljer

Fourieranalyse. Fourierrekker på reell form. Eksempel La. TMA4135 Matematikk 4D. En funksjon sies å ha periode p > 0 dersom

Fourieranalyse. Fourierrekker på reell form. Eksempel La. TMA4135 Matematikk 4D. En funksjon sies å ha periode p > 0 dersom TMA435 Matematkk 4D Foureranalyse Fourerrekker på reell form En funksjon ses å ha perode p > dersom f(x + p) = f(x) () for alle x defnsjonsmengden tl f. Den mnste p slk at () holder, kalles fundamentalperoden

Detaljer

MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 10 2

MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 10 2 Leksjon 10 Anvendelser nettverksflyt Transportproblemet Htchcock-problemet Tlordnngsproblemet Korteste-ve problemet Nettverksflyt med øvre begrensnnger Maksmum-flyt problemet Teorem: Maksmum-flyt Mnmum-kutt

Detaljer

INF 1040 Kompresjon og koding

INF 1040 Kompresjon og koding INF 1040 Kompresjon og koding Tema i dag : 1. Noen begreper 2. Redundans 3. Differanse- og løpelengdetransformer 4. Gray kode 5. Entropi 6. Shannon-Fano og Huffman koding 7. Lempel-Ziv koding 8. JPEG koding

Detaljer

Løsning av øvingsoppgaver, INF2310, 2005, kompresjon og koding

Løsning av øvingsoppgaver, INF2310, 2005, kompresjon og koding Løsning av øvingsoppgaver, INF230, 2005,. Vi har gitt følgende bilde: kompresjon og koding 0 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 0 2 2 2 3 3 2 2 2 3 2 3 4 4 2 2 3 2 2 3 4 4 2 2 2 3 3 3 4 3 4 a. Finn Huffman-kodingen av

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>. ECON: EKSAMEN 6 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt

Detaljer

INF 1040 Kompresjon og koding

INF 1040 Kompresjon og koding INF 1040 Kompresjon og koding Tema i dag : 1. Noen begreper 2. Redundans 3. Differanse- og løpelengdetransformer 4. Gray kode 5. Entropi 6. Shannon-Fano og Huffman koding 7. Lempel-Ziv koding 8. JPEG koding

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer 009 04 Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov 30.0.04 INF 4 Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt

Detaljer

INF 2310 Digital bildebehandling

INF 2310 Digital bildebehandling INF 2310 Dgtal bldebehandlng FORELESNING 4 GRÅTONE-TRANSFORMASJONER Frtz Albregtsen 1 Temaer dag Hstogrammer Lneære gråtonetransformer t Standardserng av blder med lneær transform Ikke-lneære, parametrske

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen : ECON130 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 15.0.015 Sensur kunngjøres senest: 0.07.015 Td for eksamen: kl. 09:00 1:00 Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:

Detaljer

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Løsnnger lle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Hypotesetestng testng av enkelthypoteser Oppgave 1.* Når v tester enkelthypoteser ved hjelp

Detaljer

TMA4265 Stokastiske prosesser

TMA4265 Stokastiske prosesser orges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA4265 Stokastske prosesser Våren 2004 Løsnngsforslag - Øvng 6 Oppgaver fra læreboka 4.56 X n Antallet hvte baller urna Trekk tlf.

Detaljer

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk.

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk. ECON 0 Forbruker, bedrft og marked Forelesnngsnotater 09.0.07 Nls-Henrk von der Fehr FORBRUK OG SPARING Innlednng I denne delen skal v anvende det generelle modellapparatet for konsumentens tlpasnng tl

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt parallelle kretser Krchhoffs

Detaljer

Innkalling til andelseiermøte

Innkalling til andelseiermøte Tl andelseerne Holberg Global og Holberg Rurk Bergen, 24. november 2017 Innkallng tl andelseermøte Vedtektsendrnger verdpaprfondene Holberg Global og Holberg Rurk Forvaltnngsselskapet Holberg Fondsforvaltnng

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Deleksamen MAT-INF Modellerng og beregnnger. Eksamensdag: Onsdag 7. oktober 29. Td for eksamen: 5: 7:. Oppgavesettet er på 6 sder. Vedlegg:

Detaljer

Investering under usikkerhet Risiko og avkastning Høy risiko. Risikokostnad prosjekt Snøskuffe. Presisering av risikobegrepet

Investering under usikkerhet Risiko og avkastning Høy risiko. Risikokostnad prosjekt Snøskuffe. Presisering av risikobegrepet Investerng under uskkerhet Rsko og avkastnng Høy rsko Lav rsko Presserng av rskobegreet Realnvesterng Fnansnvesterng Rsko for enkeltaksjer og ortefølje-sammenheng Fnansnvesterng Realnvesterng John-Erk

Detaljer

Oversikt 1. forelesning. ECON240 Statistikk og økonometri. Utdanning og lønn. Forskning. Datainnsamling; utdanning og inntekt

Oversikt 1. forelesning. ECON240 Statistikk og økonometri. Utdanning og lønn. Forskning. Datainnsamling; utdanning og inntekt Overskt. forelesnng ECON40 Statstkk og økonometr Arld Aakvk, professor Insttutt for økonom Hva er statstkk og økonometr? Hvorfor studerer v fagområdet? Statstkk Metoder, teknkker og verktøy tl å produsere

Detaljer

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden ato: 07.01.2008 aksbehandler: DH Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden Dette notatet presenterer en enkel framstllng av problemet med seleksjon mot uttakstdpunkt av alderspensjon av folketrygden.

Detaljer

Løsningsforslag øving 10 TMA4110 høsten 2018

Løsningsforslag øving 10 TMA4110 høsten 2018 Løsnngsforslag øvng TMA4 høsten 8 [ + + Projeksjonen av u på v er: u v v u v v v + ( 5) [ + u v v u [ 8/5 6/5 For å fnne ut om en matrse P representerer en projeksjon, må v sjekke om P P a) b) c) [ d)

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen : ECON13 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 11.8.16 Sensur kunngjøres senest: 6.8.16 Td for eksamen: kl. 9: 1: Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:

Detaljer

Gradient-operatorer. 1D Laplace-operator. Laplace-operatoren. INF 2310 Digital bildebehandling. Laplace-operatoren er gitt ved:

Gradient-operatorer. 1D Laplace-operator. Laplace-operatoren. INF 2310 Digital bildebehandling. Laplace-operatoren er gitt ved: 55-55 - 6 6 5 5 radent-operatorer INF 3 Dgtal bldebehandlng Naboskaps-operasoner - II Laplace-operatoren Lo-operatoren Kant-bevarende ltre Ikke-lneære ltre radent-operatorer gr en bred respons Hvor bred

Detaljer

Forelesning 17 torsdag den 16. oktober

Forelesning 17 torsdag den 16. oktober Forelesnng 17 torsdag den 16. oktober 4.12 Orden modulo et prmtall Defnsjon 4.12.1. La p være et prmtall. La x være et heltall slk at det kke er sant at x 0 Et naturlg tall t er ordenen tl a modulo p dersom

Detaljer

Sluttrapport. utprøvingen av

Sluttrapport. utprøvingen av Fagenhet vderegående opplærng Sluttrapport utprøvngen av Gjennomgående dokumenterng fag- og yrkesopplærngen Februar 2012 Det å ha lett tlgjengelg dokumentasjon er en verd seg selv. Dokumentasjon gr ungedommene

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april)

Løsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april) HG Aprl 01 Løsnngsksse for oppgaver tl uke 15 (10.-13. aprl) Innledende merknad. Flere oppgaver denne uka er øvelser bruk av den vktge regel 5.0, som er sentral dette kurset, og som det forventes at studentene

Detaljer

system 16 mm / 25 mm / 32 mm MONTERINGSVEILEDNING

system 16 mm / 25 mm / 32 mm MONTERINGSVEILEDNING 16 mm / 25 mm / 32 mm MONTERINGSVEILEDNING Sdoprofl Monterngsprofl Murprofl (tllval) (A) (B) 1000 mm 20 mm mn. 50 mm Klck! Før du starter monterngen av dtt nye tak, bør du kontrollere at du har motatt

Detaljer

STK desember 2007

STK desember 2007 Løsnngsfrslag tl eksamen STK0 5. desember 2007 Oppgave a V antar at slaktevektene tl kalkunene fra Vrgna er bserverte verder av stkastske varabler X, X 2, X, X 4 sm er uavhengge g Nµ, σ 2 -frdelte, g at

Detaljer

TMA4300 Mod. stat. metoder

TMA4300 Mod. stat. metoder TMA4300 Mod stat metoder Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Løsnngsforslag - Eksamen jun 2007 Oppgave Pseudokode for å evaluere θ: Generer uavhengge realsasjoner x,,x

Detaljer

Balanserte søketrær. AVL-trær. AVL-trær. AVL-trær høyde AVL AVL. AVL-trær (Adelson-Velskii og Landis, 1962) Splay-trær (Sleator og Tarjan, 1985)

Balanserte søketrær. AVL-trær. AVL-trær. AVL-trær høyde AVL AVL. AVL-trær (Adelson-Velskii og Landis, 1962) Splay-trær (Sleator og Tarjan, 1985) alanserte søketrær VL-trær Et bnært tre er et VL-tre hvs ølgende holder: VL-trær delson-velsk og Lands, 96 play-trær leator og Tarjan, 98. orskjellen høyde mellom det høyre og det venstre deltreet er maksmalt,

Detaljer

Jobbskifteundersøkelsen Utarbeidet for Experis

Jobbskifteundersøkelsen Utarbeidet for Experis Jobbskfteundersøkelsen 15 Utarbedet for Expers Bakgrunn Oppdragsgver Expers, ManpowerGroup Kontaktperson Sven Fossum Henskt Befolknngsundersøkelse om holdnnger og syn på jobbskfte Metode Webundersøkelse

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1410

Forelesning nr.3 INF 1410 Forelesnng nr. INF 40 009 Node og mesh-analyse 6.0.009 INF 40 Oerskt dagens temaer Bakgrunn Nodeanalyse og motasjon Meshanalyse 009 Supernode Bruksområder og supermesh for node- og meshanalyse 6.0.009

Detaljer

Norske CO 2 -avgifter - differensiert eller uniform skatt?

Norske CO 2 -avgifter - differensiert eller uniform skatt? Norske CO 2 -avgfter - dfferensert eller unform skatt? av Sven Egl Ueland Masteroppgave Masteroppgaven er levert for å fullføre graden Master samfunnsøkonom Unverstetet Bergen, Insttutt for økonom Oktober

Detaljer

Sorterings- Algoritmer

Sorterings- Algoritmer Hva er sorterng? Sorterngs- Algortmer Algortmer og Datastrukturer Input: en sekvens av N nummer Output: reorganserng nput-sekvensen slk at: a < a < a... < a n- < a n V søker algortmer som gjør dette på

Detaljer

1653B/1654B. Installasjonstest på et IT anlegg i drift

1653B/1654B. Installasjonstest på et IT anlegg i drift 65B/654B Installasjonstest på et IT anlegg drft Utførng av testene Spennngsmålnger Testeren kan brkes som et ac voltmeter hvor spennng og frekvens kan vses samtdg ved å sette rotasjonsbryteren tl V. Alle

Detaljer

X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0.

X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0. UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Eksamen : Eksamensdag: 7. jun 2013. Td for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 8 sder. Vedlegg: Tllatte hjelpemdler: STK2120 LØSNINGSFORSLAG

Detaljer

MSKOMNO. kó=ñê~w. pfabufp=ud. aáöáí~ä=ê åíöéå=l=îáçéçjëçñíï~êé=j=sfabufp hçêí=äêìâë~åîáëåáåö= kçêëâ

MSKOMNO. kó=ñê~w. pfabufp=ud. aáöáí~ä=ê åíöéå=l=îáçéçjëçñíï~êé=j=sfabufp hçêí=äêìâë~åîáëåáåö= kçêëâ kó=ñê~w MSKOMNO pfabufp=ud aáöáí~ä=ê åíöéå=l=îáçéçjëçñíï~êé=j=sfabufp hçêí=äêìâë~åîáëåáåö= kçêëâ 0123 Dette produktet bærer CE-merket overensstemmelse med bestemmelsene drektvet 93/42EEC av 14 jun 1993

Detaljer

Oppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Oppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Forelesnng 3 MET359 Økonometr ved Davd Kreberg Vår 0 Oppgaver Alle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Multple regresjon Oppgave.* Ta utgangspunkt

Detaljer

14 Systemer av differensiallikninger TMA4110 høsten 2018

14 Systemer av differensiallikninger TMA4110 høsten 2018 Systemer v fferensllknnger TMA høsten 8 I ette kptlet skl v ruke et v hr lært om lneær lger tl å løse fferensllknnger Det fnnes fferensllknnger for nesten lt, men et er kun e ller enkleste som er mulg

Detaljer

Magnetisk nivåregulering. Prosjektoppgave i faget TTK 4150 Ulineære systemer. Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland

Magnetisk nivåregulering. Prosjektoppgave i faget TTK 4150 Ulineære systemer. Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland Magnetsk nvåregulerng Prosjektoppgave faget TTK 45 Ulneære systemer Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland Innholdsfortegnelse Innholdsfortegnelse... Innlednng... Oppgave

Detaljer

Løsningsskisse til eksamen i TFY112 Elektromagnetisme,

Løsningsskisse til eksamen i TFY112 Elektromagnetisme, Løsnngssksse tl eksamen TFY11 Elektromagnetsme, høst 003 (med forbehold om fel) Oppgave 1 a) Ved elektrostatsk lkevekt har v E = 0 nne metall. Ellers bruker v Gauss lov med gaussflate konsentrsk om lederkulen.

Detaljer

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir)

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir) 2009/48 Notater Bjørn Gabrelsen, Magnar Lllegård, Bert Otnes, Brth Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdr) Notater Indvdbasert statstkk for pleeog omsorgstjenesten kommunene (IPLOS) Foreløpge resultater

Detaljer

Spenningsforsterkningen til JFET kretsen er gitt ved A = g

Spenningsforsterkningen til JFET kretsen er gitt ved A = g øsnngsforslag tl FY-IN 204 eksaen 200. Oppgae I C A a) Transkonduktansen g for BJT er : g 40S. VT 25V Spennngsforsterknngen tl BJT kretsen er gtt ed A g 40S 5kΩ 200 VBJT C. Spennngsforsterknngen tl JFET

Detaljer

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. Mundells trilemma 1 går ut på følgende:

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. Mundells trilemma 1 går ut på følgende: Makroøkonom Innlednng Mundells trlemma 1 går ut på følgende: Fast valutakurs, selvstendg rentepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forenlg på samme td Av de tre faktorene er hypotesen at v kun kan velge

Detaljer

Filtrering i bildedomenet. 2D-konvolusjons-eksempel. 2D-konvolusjon. INF2310 Digital bildebehandling FORELESNING 8

Filtrering i bildedomenet. 2D-konvolusjons-eksempel. 2D-konvolusjon. INF2310 Digital bildebehandling FORELESNING 8 Fltrerng bldedomenet INF3 Dgtal bldebeandlng FORELESNING 8 REPETISJON: FILTRERING I BILDEDOMENET Andreas Kleppe Fltrerng og konvoluson Lavpassfltrerng og kant-bevarng Høpassfltrerng: Bldeforbedrng og kantdetekson

Detaljer

NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL

NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL Norman & Orvedal, kap. 1-5 Bævre & Vsle Generell lkevekt En lten, åpen økonom Nærngsstruktur Skjermet versus konkurranseutsatt vrksomhet Handel og komparatve fortrnn

Detaljer

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder.

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder. 40 Metoder for å måle avkastnng Totalavkastnngen tl Statens petroleumsfond blr målt med stor nøyaktghet. En vktg forutsetnng er at det alltd beregnes kvaltetsskret markedsverd av fondet når det kommer

Detaljer

Lokale operasjoner. Omgivelser/naboskap/vindu. Bruksområder - filtrering. INF 2310 Digital bildebehandling

Lokale operasjoner. Omgivelser/naboskap/vindu. Bruksområder - filtrering. INF 2310 Digital bildebehandling Lokale operasjoner INF 3 Dtal bldebehandln Naboskaps-operasjoner - I Lneær fltrern Konvolusjon Korrelasjon Gradent-operatorer Efford kap. 7.-7.. V skal bare se på teknkker blde-domenet Blde-domenet refererer

Detaljer

Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<, >>, Oppgave 1

Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<, >>, Oppgave 1 ECON 213 EKSAMEN 26 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å vee lke mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet nn mellom , Oppgave 1 I en by med 1 stemmeberettgete nnbyggere

Detaljer

INF2310 Digital bildebehandling

INF2310 Digital bildebehandling INF2310 Digital bildebehandling Forelesning 11 Kompresjon og koding I Andreas Kleppe Tre steg i kompresjon Redundanser Transformer Koding og entropi Shannon-Fano og Huffman Kompendium: Frem t.o.m. 18.7.2

Detaljer

Løsningsforslag, Ukeoppgaver 10 INF2310, våren 2011 kompresjon og koding del II

Løsningsforslag, Ukeoppgaver 10 INF2310, våren 2011 kompresjon og koding del II Løsningsforslag, Ukeoppgaver 10 INF2310, våren 2011 kompresjon og koding del II 1. En fax-oppgave: a. Et ark med tekst og enkle strektegninger skal sendes pr digital fax over en modemlinje med kapasitet

Detaljer

IN1 Projector. Innføring og hurtigreferanse

IN1 Projector. Innføring og hurtigreferanse IN Projector Innførng og hurtgreferanse Les heftet med skkerhetsnstruksjoner før du konfgurerer projektoren. Pakk ut av esken Innhold: A/V-kabler følger kke med. Dsse kan kjøpes fra www.nfocus.com/store

Detaljer

Korteste-vei problemet Nettverksflyt med øvre begrensninger Maksimum-flyt problemet Teorem: Maksimum-flyt Minimum-kutt

Korteste-vei problemet Nettverksflyt med øvre begrensninger Maksimum-flyt problemet Teorem: Maksimum-flyt Minimum-kutt Lekson 11 Korteste-ve problemet Nettverksflyt med øvre begrensnnger Maksmum-flyt problemet Teorem: Maksmum-flyt Mnmum-kutt MoD233 - Ger Hasle - Lekson 11 2 Heltallsprogrammerng Tdsplanleggng (skedulerng,

Detaljer

EKSAMEN ny og utsatt løsningsforslag

EKSAMEN ny og utsatt løsningsforslag 8.. EKSAMEN n og utsatt løsnngsorslag Emnekode: ITD Dato:. jun Hjelpemdler: - To A-ark med valgrtt nnhold på begge sder. Emnenavn: Matematkk ørste deleksamen Eksamenstd: 9.. Faglærer: Chrstan F Hede -

Detaljer

Alvdal Royal kledning

Alvdal Royal kledning Klednng STORT UTVALG AV KLEDNINGSPRODUKTER UNIK BEHANDLING AV HVERT PROSJEKT FOKUS PÅ MILJØVENNLIGE LØSNINGER Alvdal Royal klednng Vår bestselger når det gjelder kvaltet, levetd og prs. Lang levetd Begrenset

Detaljer

Litt om empirisk Markedsavgrensning i form av sjokkanalyse

Litt om empirisk Markedsavgrensning i form av sjokkanalyse Ltt om emprsk Markedsavgrensnng form av sjokkanalyse Frode Steen Konkurransetlsynet, 27 ma 2011 KT - 27.05.2011 1 Sjokkanalyse som markedsavgrensnngsredskap Tradsjonell korrelasjonsanalyse av prser utnytter

Detaljer