PLASS og TID IN 106, V-2001 KOMPRESJON OG KODING 30/ Fritz Albregtsen METODER ANVENDELSER

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "PLASS og TID IN 106, V-2001 KOMPRESJON OG KODING 30/ Fritz Albregtsen METODER ANVENDELSER"

Transkript

1 IN 106, V-2001 PLASS og TID Digitale bilder tar stor plass Eksempler: a bits 3 farger bits KOMPRESJON OG KODING 30/ b mm fargefilm digitalisert ( x = y=12µm) bits bits c røntgenbilde ( x = y=50µm) bits bits d LANDSAT TM, 6 ikke-termiske kanaler bits bits Fritz Albregtsen Overføring av digitale bilder tar tid FA 30/04/2001 FA/IN106/kompr-01 ANVENDELSER METODER Kompresjon og koding benyttes for å redusere antall bits som skal til for å beskrive bildet (eller en god approksimasjon til bildet) Anvendelser innen data-lagring og data-overføring: - televideo-konferanser - fjernanalyse / meteorologi - overvåking / fjern-kontroll - telemedisin / PACS - dokumenthåndtering / FAX - multimedia / nettverk - Tidsforbruket ved kompresjon er ikke særlig viktig Dekompresjons-tiden er langt viktigere Ved sanntids data-overføring er tidsforbruket kritisk Anta at vi har piksler pr bilde Med 8 bits/piksel for hver farge (RGB) og 30 bilder pr sekund får vi ca bits/sek Det er flere opplagte måter å redusere denne data-raten på; 8 bits kromatisitet + 8 bits luminositet gir 3:2 kompresjon (tidl forelesning) kvantisering (færre gråtoner) sub-sampling (færre piksler) interlacing kompresjon og koding Vi bruker koding for kompresjon, ikke for kryptering FA/IN106/kompr-02 FA/IN106/kompr-03

2 INTERLACING INTERLACING - 2 For å unngå flimrende TV-bilder må viha en oppfrisknings-rate på 50-60Hz For å fange opp bevegelse trenger vi bilder pr sekund Vi oppnår en 2:1 kompresjon ved å filme (og overføre) i 30 Hz, og så ha en refresh -rate på 60Hz Repetisjon av hvert bilde krever lokal lagring ( frame store ) Man vil observere hopp i bildet, men ikke flimmer Interlacing gir bedre resultat Hvert bilde deles i to felter, bestående av hhv like og odde linjer Hvert felt vises så fram i halv refresh-rate (30Hz) Får ca 37% kompresjon i forhold til et non-interlaced system med samme subjektive visuelle kvalitet Metoden virker fordi vi har dårlig respons for simultan høy frekvens i rom og tid Bruker også vertikal linje- interlacing innenfor hvert felt Virker bra hvis vi ikke har simultan høy frekvens horisontalt og vertikalt Bruk ikke fiskebeins-dress på TV! Høy-kvalitets bilder bør vises i 60 Hz non-interlaced FA/IN106/kompr-04 FA/IN106/kompr-05 KOMPRESJON BILDE-KVALITET Kompresjon kan deles inn i tre steg transform (mapping) kvantisering koding Hvis vi velger en irreversibel kompresjonsmetode må vi kontrollere at kvaliteten på resultat-bildet er god nok Gitt et N M inn-bilde f(x, y) oget komprimert/dekomprimert ut-bilde g(x, y) = ˆf(x, y) Feilen vi har introdusert er e(x, y) =g(x, y) f(x, y) RMS-avviket mellom de to bildene er da Vi skiller mellom Feilfri, lossless, reversibel kompresjon Irreversibel, lossy kompresjon Det finnes en mengde metode-varianter og metode-kombinasjoner Teknikkene er ofte problem-orienterte 1/2 1 N M e rms = e 2 (x, y) N M x=1 y=1 Vi kan også betrakte feilen som støy Midlere kvadratisk signal-støy-forhold (SNR) er N [ M (SNR) ms = x=1 y=1 g 2 (x, y) ] N M x=1 y=1 [e 2 (x, y)] Mange representasjons-metoder er egentlig transformer feks kjedekode, run-length kode, y-linje kode Koding bygger ofte på sannsynlighetsfordeling RMS-verdien av SNR er da (SNR) RMS = N M x=1 y=1 [g 2 (x, y)] N M x=1 y=1 [e 2 (x, y)] FA/IN106/kompr-06 FA/IN106/kompr-07

3 BILDE-KVALITET - 2 TRANSFORMER Alternativt kan vi angi peak -verdien av SNR: (SNR) p = [max(g(x, y)) min(g(x, y))] 2 N x=1 M y=1 [e 2 (x, y)] Run-length kode (løpe-lengde kode) Er tidligere omtalt under bilderepresentasjon Dette er i vårt begreps-apparat en reversibel transformasjon SNR uttrykkes ofte i decibel Λ = 10 log 10 (SNR) Eksempel (24 byte) (3,6)(5,10)(4,2)(7,6) (8 byte) (gråtone, antall) Objektive mål slår ofte sammen alle feil over hele bildet Vårt syns-system har forskjellig toleranse for feil (støy) i flate, homogene områder og feil (støy) nær kanter/linjer i bildet Setter gjerne en maksimal-verdi M =2 m 1 på run-lengden I to-nivå bilder trenger vi bare å angi run-lengden Fler-komponent feil-mål er bedre (Del opp bildet etter lokal aktivitet) Run-lengde histogrammet er oftest ikke flatt Benytter da en kode som gir et kort kode-ord til de hyppigste run-lengdene FA/IN106/kompr-08 FA/IN106/kompr-09 LINEÆR TRANSFORMER Gitt lineær-transformasjonen y = Ax ; y 1 y n = a 11 a n1 a 1n a nn x 1 x n Denne kan være nyttig hvis elementene (x 1,, x n ) er sterkt korrelerte, og A er valgt slik at (y 1,, y n ) blir mindre korrelerte Da kan y kodes mer effektivt enn x Det er viktig at A har en invers KVANTISERING - 1 Vi vet at øyet oppfatter gråtoner 2:1 kompresjon ved å redusere fra 256 til 16 gråtoner (fra 8 til 4 bits) Enkleste (og dårligste) løsning er å heltallsdividere alle pikselverdier med 16 (uniform kvantisering) Dette introduserer ofte falske konturer Bedre løsning å re-kvantisere slik at vi får omtrent like mange piksler for hver gråtone i ut-bildet Vi får en differanse-transform hvis A = dvs y 1 = x 1, y i = x i x i 1 for i [2,, n] Dette er en reversibel transform y får da dobbelt så mange mulige verdier som x, men histogrammet er mer konsentrert Anta at vi har et 4-bits 8 8 bilde med histogram: 2, 2, 9, 10, 9, 4, 5, 8, 9, 6 Vi ønsker 2 bits 1625 piksler/gråtone De beste verdiene blir da: piksler, median = piksler, median = piksler, median = piksler, median = 8 FA/IN106/kompr-10 FA/IN106/kompr-11

4 KVANTISERING - 2 Denne teknikken er irreversibel Den gir alltid et informasjons-tap Den ligner på histogram-utjevning Flere varianter finnes Anvendes også på fler-kanals bilder se på colorquant ixshow KVANTISERING - 3 Anta at vi har benyttet en lineær transform y 1 y n = a 11 a n1 a 1n a nn y i = n a ij x j j=1 x 1 x n Hvis x j kan ha 2 m forskjellige verdier (m bits), så kan nå y i ha(2 m ) n =2 mn forskjellige verdier Denne transformen kan være reversibel Siden vi ønsker kompresjon, kan vi bli nødt til å avrunde y i til færre enn 2 mn lovlige verdier (irreversibelt!) Vi skiller mellom uniform kvantisering (like store bins ), og ikke-uniform kvantisering (feks like mange piksler pr bin ) Bruker vi differanse-transform, dropper vi ofte kvantiseringen, benytter feks Huffman-kode, og får en reversibel kompresjon FA/IN106/kompr-12 FA/IN106/kompr-13 KODING Koding skal være reversibel Naturlig bit-koding er et eksempel på koder der alle kode-ord er like lange (eks: 8 mulige verdier) SYMBOL-FREKVENS It isn t ETAOIN SHRDLU; it s ETAONI RSHDLC, or ETANOI SRHLDC! i w i c i 1 w w w Unikt dekodbare koder har den egenskap at en mottatt sekvens av kode-ord kan dekodes på én og bare én måte Anta c 1 =0,c 2 =1,c 3 = 01, c 4 =10 Hva betyr {0011}? Er det {c 1 c 1 c 2 c 2 } eller {c 1 c 3 c 2 }? Naturlig bit-kode er optimal bare hvis alle verdiene i inn-bildet er like sannsynlige For ulike sannsynligheter er koder med variabel lengde på kode-ordene bedre hyppige symboler får korte kode-ord (feks Morse-alfabetet) FA/IN106/kompr-14 FA/IN106/kompr-15

5 Data og informasjon ENTROPI Vi vil lagre / overføre informasjon ved bruk av færre data Redundante data må bort Kompresjonsrate angis som CR = i c i=bits i original, c=bits i komprimert bilde Relativ redundans R D =1 1 CR =1 c i percentage removed = 100(1 c/i) Bits per piksel : Gitt et M N bilde med G gråtoner, der grånivå r k finnes n k ganger, og representeres med l(r k ) bits Sannsynligheten for r k (norm histogram): P r (r k )= n k, k =0,1,, G 1 NM Gjennomsnittlig antall bits per piksel L avg = G 1 l(r k )P r (r k ) k=0 Et b-bits bilde består av piksler med gråtoner fra et alfabet med 2 b symboler For et gitt bilde kan vi finne sannsynligheten for hvert tegn i alfabetet: p i = h(i) NM, 2b 1 i=0 p i =1 Vi er interessert i gjennomsnittlig informasjon pr piksel Intuitivt har vi at en mindre sannsynlig hendelse gir mer informasjon enn en mer sannsynlig hendelse Definerer informasjons-innholdet I(s i ) i hendelsen s i ved 1 I(s i ) = log p(s i ) Basis for logaritmen gjenspeiler den enheten som vi uttrykker informasjonsmengden i log 2 (1/p(s i )) gir informasjons-innholdet i bits FA/IN106/kompr-19 FA/IN106/kompr-20 ENTROPI - 2 ENTROPI - 3 Midler vi over alle symboler s i i bildets alfabet, får vi gjennomsnittlig informasjon pr symbol 1 ordens entropi: H(s) = 2b 1 i=0 p(s i )I(s i )= 2b 1 i=0 p(s i ) log 2 (p(s i )) Hvis hvert symbol s i har en sannsynlighet p i,og vi konstruerer en kode c = {c 1,, c i,, c m } såer det gjennomsnittlige antall bits pr piksel etter koding gitt ved R = m β i p i i=1 Hvis alle gråtoner er like sannsynlige: der β i er lengden (i bit) av kodeordet c i H(s) = 2b 1 1 i=0 2 log 2( 1 b 2 b)=b Hvis bare én verdi (α) forekommer: H(s) = 2b 1 0 log 2 (0) 1 log 2 (1) = 0 i=0,i α Entropien representerer en nedre grense for hvor kompakt et bilde kan komprimeres hvis vi bare ser på pikslene hver for seg H er en nedre grense for R Eksempel: w i p(w i ) c i β i p i log 2 (p i ) β i p i w w w w w w Vi ser her at R = m β i p i >H i=1 FA/IN106/kompr-21 FA/IN106/kompr-22

6 HUFFMAN-KODING - 1 Gitt et bilde med m gråtoner 1) Sortér gråtonene etter sannsynlighet 2) Slå sammen de to minst sannsynlige gråtonene i én gruppe, og sortér igjen 3) Gjenta 2) inntil det bare er to grupper igjen - Gi kodene 0 og 1 til de to gruppene - Traversér bakover, og legg til 0 og 1 i kodeordet for de to minst sannsynlige gruppene i hvert steg Et eksempel: HUFFMAN-KODING - 2 EKSEMPEL 1 si pi ci s i p i c i s i p i c i s i p i c i s i p i c i s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s Gjennomsnittlig antall bits pr piksel blir her R = ( ) = 22 Mens vi for dette bildet har H=21543 FA/IN106/kompr-23 FA/IN106/kompr-24 HUFFMAN-KODING - 3 EKSEMPEL 2 Ingen kode-ord danner prefiks i en annen kode Dette sikrer at en sekvens av kodeord kan dekodes entydig, uten at man trenger ende-markører I eksemplet nedenfor vil bli delt opp til og tolkes til eiaiouoou HUFFMAN-KODING - 4 Vi ser at den ideelle binære kode-ord lengden for symbol s i er β i = log 2 (p(s i )) Siden bare heltalls ord-lengder er mulig, er det bare p(s i )= 1 2 k som tilfredsstiller dette kravet Eksempel: Hvis vi har s i p i c i s 1 05 o s s s s s så blir gjennomsnittlig antall bits pr piksel R = H =19375 FA/IN106/kompr-25 FA/IN106/kompr-26

7 SHIFT - KODER Sortér gråtone-verdier etter sannsynlighet Hvis vi bruker 2 bits kan vi lage 4 distinkte 2 bits kode-ord {c 1,c 2,c 3,c 4 } (S 2 -kode) Tre av disse tilordnes symbolene s 1,s 2,s 3 c 4 benyttes til åangi at s i ligger utenfor dette området Hvis dette er tilfelle, shifter vi de tre kode-ordene 3 plasser opp i s, og bruker c 4 som prefiks Eksempel: c(s 9 )=c 4 c 4 c 3 Med samme eksempel-valg som tidligere får vi nå s i p i S 2 c i s 1 04 c 1 00 s 2 03 c 2 01 s 3 01 c 3 10 s c 4 c s c 4 c s c 4 c og gjennomsnittlig antall bits pr piksel blir DIFFERANSE - KODING Gitt en scan-linje i et bilde med intensiteter x i {0,, 2 m 1} Transformér (reversibelt) til x 1,x 2 x 1,x 3 x 2,, x n x n 1 Vi trenger nå (m+1) bits hvis vi skal tilordne like lange binære koder til alle mulige verdier I differanse-histogrammet vil de fleste verdiene samle seg om 0, feks mellom -8 og +8 Lag feks en 16 ords naturlig kode c 1 = 0000,, c 16 = 1111 Tilordne 14 av disse ordene til differansene 7, 6,, 1, 0, 1,, 5, 6 c 1 og c 16 brukes til å indikere at x < 7og x>+7 (to-sidet shift-kode) x =22 c 16 c 16 c 3 x = 22 c 1 c 1 c 15 R = β i p i = =24 FA/IN106/kompr-27 FA/IN106/kompr-29 DIFFERANSE - KODING LEMPEL - ZIV Alle kode-ord brukes ikke like hyppig En ulik-lengde kode er da bedre Premierer mønstre i dataene Bygger opp en symbolstreng-liste både under kompresjon og dekompresjon Denne listen skal ikke lagres eller sendes Det eneste man trenger er et standard alfabet Mottaker kjenner bare alfabetet, og lager nye fraser i sin liste ved å ta nest siste streng pluss første symbol i sist tilsendte streng, inntil listen er full Eks: Anta at alfabetet er {a, b, c} {1,2,3}, og la dataene være {ababcbababaaaaabab} Merk at c 1 og c 16 forekommer relativt hyppig, og har forholdsvis korte kode-ord ser sender liste mottar tolker liste a =1 a=1 b=2 b=2 c=3 c=3 a 1 ab =4 1 a b 2 ba =5 2 b ab =4 ab 4 abc =6 4 ab ba =5 c 3 cb =7 3 c abc =6 ba 5 bab =8 5 ba cb =7 bab 8 baba =9 8 bab bab =8 a 1 aa =10 1 a baba =9 aa 10 aaa =11 10 aa aa =10 aa 10 aab =12 10 aa aaa =11 bab 8 8 bab aab =12 FA/IN106/kompr-30 FA/IN106/kompr-31

Løsningsforslag, Ukeoppgaver 10 INF2310, våren 2011 kompresjon og koding del II

Løsningsforslag, Ukeoppgaver 10 INF2310, våren 2011 kompresjon og koding del II Løsningsforslag, Ukeoppgaver 10 INF2310, våren 2011 kompresjon og koding del II 1. En fax-oppgave: a. Et ark med tekst og enkle strektegninger skal sendes pr digital fax over en modemlinje med kapasitet

Detaljer

Lempel-Ziv-koding. Lempel-Ziv-koding. Eksempel på Lempel-Ziv. INF 2310 Digital bildebehandling. Kompresjon og koding Del II

Lempel-Ziv-koding. Lempel-Ziv-koding. Eksempel på Lempel-Ziv. INF 2310 Digital bildebehandling. Kompresjon og koding Del II Lempel-Ziv-koding INF 2310 Digital bildebehandling Kompresjon og koding Del II LZW-koding Aritmetisk koding JPEG-kompresjon av gråtonebilder JPEG-kompresjon av fargebilder Rekonstruksjonsfeil i bilder

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 4. juni 2008 Tid for eksamen : 14:30 17:30 (3 timer) Oppgavesettet er på

Detaljer

TDT4105/TDT4110 Informasjonsteknologi grunnkurs:

TDT4105/TDT4110 Informasjonsteknologi grunnkurs: 1 TDT4105/TDT4110 Informasjonsteknologi grunnkurs: Uke 38 Digital representasjon, del 2 - Representasjon av lyd og bilder - Komprimering av data Rune Sætre satre@idi.ntnu.no 2 Digitalisering av lyd Et

Detaljer

INF2810: Funksjonell Programmering. Huffman-koding

INF2810: Funksjonell Programmering. Huffman-koding INF2810: Funksjonell Programmering Huffman-koding Stephan Oepen Universitetet i Oslo 1. mars 2016 Tema 2 Sist Trær som lister av lister Trerekursjon Mengder som trær I dag Hierarkisk og symbolsk data Eksempel:

Detaljer

Løsningsforslag til kapittel 15 Fargerom og fargebilder

Løsningsforslag til kapittel 15 Fargerom og fargebilder Løsningsforslag til kapittel 15 Fargerom og fargebilder Oppgave 1: Representasjon av et bilde Under har vi gitt et lite binært bilde, der svart er 0 og hvit er 1. a) Kan du skrive ned på et ark binærrepresentasjonen

Detaljer

MIK 200 Anvendt signalbehandling, 2012. Prosjekt 2, Diskret kosinus-transformasjon.

MIK 200 Anvendt signalbehandling, 2012. Prosjekt 2, Diskret kosinus-transformasjon. Stavanger, 25. januar 2012 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet MIK 200 Anvendt signalbehandling, 2012. Prosjekt 2, Diskret kosinus-transformasjon. Vi skal i dette miniprosjektet se litt på bruk av

Detaljer

Informasjonsteori Skrevet av Joakim von Brandis, 18.09.2003

Informasjonsteori Skrevet av Joakim von Brandis, 18.09.2003 Informasjonsteori Skrevet av Joakim von Brandis, 18.09.200 1 Bits og bytes Fundamentalt for informasjonsteori er at all informasjon (signaler, lyd, bilde, dokumenter, tekst, etc) kan representeres som

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 4. juni 2008 Tid for eksamen : 14:30 17:30 (3 timer) Oppgavesettet er på

Detaljer

DV - CODEC. Introduksjon

DV - CODEC. Introduksjon DV - CODEC EN KORT PRESENTASJON I INF 5080 VED RICHARD MAGNOR STENBRO EMAIL: rms@stenbro.net 21. April 2004 Introduksjon Dv-codecen ble utviklet spesielt for bruk i både profesjonelle og konsumer kamera.

Detaljer

KAPITTEL 10 Flerskala-analyse og kompresjon av lyd

KAPITTEL 10 Flerskala-analyse og kompresjon av lyd KAPITTEL 10 Flerskala-analyse og kompresjon av lyd Vi kan lagre dokumenter av mange forskjellige typer på en datamaskin. Vi kan for eksempel ha en datafil der innholdet er tall, vi kan ha en tekstfil,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Bokmål UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF1040 Digital representasjon Eksamensdag : Torsdag 7. desember 2006 Tid for eksamen : 09.00 12.00 Oppgavesettet er

Detaljer

Bildetransformer Lars Aurdal

Bildetransformer Lars Aurdal Bildetransformer Lars Aurdal FORSVARETS FORSKNINGSINSTITUTT Lars Aurdal. Forsvarets forskningsinstitutt (FFI), Kjeller. 5 ansatte. Ca. 3 forskere og ingeniører. Tverrfaglig institutt med vekt på arbeide

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 3: Ukeoppgaver fra kapittel 2 & 3 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 31. januar 2008 Oppgave 2.7 - Horners metode (a) 7216 8 : 7 8+2 58

Detaljer

Kapittel 3. Basisbånd demodulering/deteksjon. Avsnitt 3.1-3.2

Kapittel 3. Basisbånd demodulering/deteksjon. Avsnitt 3.1-3.2 Kapittel 3 Basisbånd demodulering/deteksjon Avsnitt 3.1-3.2 Basisbånd demodulering & deteksjon Basisbånd: Ingen bærebølgefrekvens Også en modell med ideell oppkonvertering av frekvens i senderen, og ideell

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden

Detaljer

Analog. INF 1040 Sampling, kvantisering og lagring av lyd. Kontinuerlig. Digital

Analog. INF 1040 Sampling, kvantisering og lagring av lyd. Kontinuerlig. Digital INF 14 Sampling, kvantisering og lagring av lyd Temaer i dag : 1. Analog eller digital, kontinuerlig eller diskret 2. Sampling, kvantisering, digitalisering 3. Nyquist-Shannon teoremet 4. Oversampling,

Detaljer

Morfologiske operasjoner på binære bilder

Morfologiske operasjoner på binære bilder Digital bildebehandling Forelesning 13 Morfologiske operasjoner på binære bilder Andreas Kleppe Repetisjon av grunnleggende mengdeteori Fundamentale operatorer Sammensatte operatorer Eksempler på anvendelser

Detaljer

Bruker- og vedlikeholdsveiledning

Bruker- og vedlikeholdsveiledning Vekkerklokke Time Flash med Lisa mottaker Bruker- og vedlikeholdsveiledning Vekkerklokke Time Flash, analog Vekkerklokke Time Flash med Lisa mottaker HMS art. nr.: 135472 Best. nr.: 1104875 INNHOLD Vekkerklokke

Detaljer

Plan for dagen. Vprg 4. Dagens tema - filbehandling! Strømmer. Klassen FilLeser.java. Tekstfiler

Plan for dagen. Vprg 4. Dagens tema - filbehandling! Strømmer. Klassen FilLeser.java. Tekstfiler Plan for dagen Vprg 4 LC191D Videregående programmering Høgskolen i Sør-Trøndelag Avdeling for informatikk og e-læring Anette Wrålsen Del: Intro til tekstfiler Del II: Mer om tekstfiler, Scanner-klassen

Detaljer

Ordliste. Adaptiv filtrering (adaptive filtering) Et filter som endrer oppførsel etter det lokale innholdet i bildet eller signalet.

Ordliste. Adaptiv filtrering (adaptive filtering) Et filter som endrer oppførsel etter det lokale innholdet i bildet eller signalet. Ordliste Dette er et forsøk på å gi forklaringer til ord og uttrykk som brukes i forbindelse med lyd, bilder og kompresjon i kurset INF1040 høsten 2004. En del av nøkkelordene er IKKE brukt i kurset INF1040,

Detaljer

Representasjon av tall på datamaskin Kort innføring for MAT-INF1100L

Representasjon av tall på datamaskin Kort innføring for MAT-INF1100L Representasjon av tall på datamaskin Kort innføring for MAT-INF00L Knut Mørken 3. desember 204 Det er noen få prinsipper fra den første delen av MAT-INF00 om tall som studentene i MAT-INF00L bør kjenne

Detaljer

Sampling, kvantisering og lagring av lyd

Sampling, kvantisering og lagring av lyd Litteratur : Temaer i dag: Neste uke : Sampling, kvantisering og lagring av lyd Cyganski kap 11-12 Merk: trykkfeilliste legges på web-siden Sampling av lyd Kvantisering av lyd Avspilling av samplet og

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

Neste to forelesninger. Bildefiler - bildeformater De aller fleste bildeformater 3/18/2009. Digitale bilder med spesielt fokus på medisinske bilder

Neste to forelesninger. Bildefiler - bildeformater De aller fleste bildeformater 3/18/2009. Digitale bilder med spesielt fokus på medisinske bilder 3/8/29 Digitale bilder med spesielt fokus på medisinske bilder Karsten Eilertsen Radiumhospitalet Neste to forelesninger Torsdag 29/: Enkel innføring i digitale bilder Eksempler på noen enkle metoder for

Detaljer

Introduksjon til lyd. Det ytre øret. Fra lydbølger til nerveimpulser. INF1040 - Digital representasjon 23.09.2009: Introduksjon til lyd.

Introduksjon til lyd. Det ytre øret. Fra lydbølger til nerveimpulser. INF1040 - Digital representasjon 23.09.2009: Introduksjon til lyd. Foreleser: INF1040 - Digital representasjon 23.09.2009: Introduksjon til lyd Martin Giese Kontakt: martingi@ifi.uio.no, 22852737 Det blir en del stoff per forelesning Er det matematikk eller praktisk regning?

Detaljer

IT1101 Informatikk basisfag 4/9. Praktisk. Oppgave: tegn kretsdiagram. Fra sist. Representasjon av informasjon binært. Ny oppgave

IT1101 Informatikk basisfag 4/9. Praktisk. Oppgave: tegn kretsdiagram. Fra sist. Representasjon av informasjon binært. Ny oppgave IT Informatikk basisfag 4/9 Sist gang: manipulering av bits I dag: Representasjon av bilde og lyd Heksadesimal notasjon Organisering av data i hovedminne og masselager (elektronisk, magnetisk og optisk

Detaljer

Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe.

Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe. Endelige grupper Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. En gruppe er en mengde S sammen med en binær operasjon definert på S, betegnes (S, ), med følgende egenskaper: 1. a, b S, a b S 2. det

Detaljer

Deteksjon av ringformede fotgrøfter i høyoppløselige satellittbilder av jordbruksområder

Deteksjon av ringformede fotgrøfter i høyoppløselige satellittbilder av jordbruksområder Deteksjon av ringformede fotgrøfter i høyoppløselige satellittbilder av jordbruksområder Øivind Due Trier (NR), Anke Loska (Riksantikvaren), Siri Øyen Larsen (NR) og Rune Solberg (NR) Samarbeidspartnere:

Detaljer

INF 1040 Digital representasjon 2006 Utkast til - Obligatorisk oppgave nr 3

INF 1040 Digital representasjon 2006 Utkast til - Obligatorisk oppgave nr 3 INF 1040 Digital representasjon 2006 Utkast til - Obligatorisk oppgave nr 3 Utlevering: fredag 3. november 2006, kl. 12:00 Innlevering: fredag 17. november 2006, kl. 23:59:59 Formaliteter Besvarelsen skal

Detaljer

MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 1

MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 1 6. februar, MAT-INF 36: Obligatorisk oppgave Oppgave I denne oppgaven skal vi sammenligne effektiviteten av FFT-algoritmen med en mer rett frem algoritme for DFT. Deloppgave a Lag en funksjon y=dftimpl(x)

Detaljer

Emnekode: SO 380E. Dato: I L{. aug. 2003. -Antall oppgaver: -4

Emnekode: SO 380E. Dato: I L{. aug. 2003. -Antall oppgaver: -4 høgskoln oslo!emne Gruppe"(r) 2ET Eksamensoppgaven består av: TELETEKN KK [Antall sider (inkf forsiden): -4 Emnekode: SO 380E Dato: L{. aug. 2003 -Antall oppgaver: -4 Faglig veileder: Hermann Fylling Knut

Detaljer

Statistikk 1. Nico Keilman. ECON 2130 Vår 2014

Statistikk 1. Nico Keilman. ECON 2130 Vår 2014 Statistikk 1 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Pensum Kap 1-7.3.6 fra Løvås «Statistikk for universiteter og høgskoler» 3. utgave 2013 (eventuelt 2. utgave) Se overspringelsesliste på emnesiden Supplerende

Detaljer

Avanserte flytalgoritmer

Avanserte flytalgoritmer Avanserte flytalgoritmer Magnus Lie Hetland, mars 2008 Stoff hentet fra: Network Flows av Ahua m.fl. (Prentice-Hall, 1993) Graphs, Networks and Algorithms, 2. utg., av Jungnickel (Springer, 2005) Repetisjon

Detaljer

Euklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 )

Euklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 ) For å finne største felles divisor (gcd) kan vi begrense oss til N, sidenfor alle a, b Z, harvi gcd(a, b) =gcd( a, b ). I prinsippet, dersom vi vet at a = p t 1 kan vi se at 1 p t 2 2 p t n og b = p s

Detaljer

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Microsoft Excel Innhold 1 Om Excel 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2

Detaljer

Olaf Christensen 27.09.2010. Digitale Bilder

Olaf Christensen 27.09.2010. Digitale Bilder Olaf Christensen Digitale Bilder 27.09.2010 1) Vi har to måter å fremstille grafikk på. Den ene er ved hjelp av rastergrafikk (bildepunkter). Den andre er ved hjelp av vektorgrafikk (koordinater). Disse

Detaljer

INF 1040 løsningsforslag til kapittel 17

INF 1040 løsningsforslag til kapittel 17 INF 1040 løsningsforslag til kapittel 17 Oppgave 1: Bilder og histogrammer Her ser du pikselverdiene i et lite bilde. Kan du regne ut histogrammet til bildet, dvs. lage en tabell over hvor mange piksler

Detaljer

Avdeling for ingeniørutdanning

Avdeling for ingeniørutdanning Avdeling for ingeniørutdanning Fag TELETEKNIKK Fagnr: SO653E Faglig veileder: K. H. NygArd, H. Fylling Gruppe(r): 2ET Dato: 16.08.01 Eksamenstid. fra-til: 0900_1400 Eksamensoppgaven består av Tillatte

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Tips til arbeidet med obligatorisk oppgave 2 i MAT-INF 1100 høsten 2004

Tips til arbeidet med obligatorisk oppgave 2 i MAT-INF 1100 høsten 2004 Tips til arbeidet med obligatorisk oppgave 2 i MAT-INF 1100 høsten 2004 Knut Mørken 3. november 2004 Etter samtale med noen av dere de siste dagene skjønner jeg at noen strever med del 2 av oblig2. Problemene

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Resymé: I denne leksjonen blir de viktigste tallsystemer presentert. Det gjelder det binære, heksadesimale og desimale tallsystem.

Resymé: I denne leksjonen blir de viktigste tallsystemer presentert. Det gjelder det binære, heksadesimale og desimale tallsystem. Geir Ove Rosvold 23. august 2012 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Resymé: I denne leksjonen blir de viktigste tallsystemer presentert. Det gjelder det binære, heksadesimale og desimale tallsystem.

Detaljer

KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi

KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi Ove Øyås Sist endret: 17. mai 2011 Repetisjonsspørsmål 1. Hva er varmekapasitet og hva er forskjellen på C P og C? armekapasiteten til et stoff er en målbar fysisk størrelse

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Chapter 6 - Discrete Mathematics and Its Applications. Løsningsforslag på utvalgte oppgaver

Chapter 6 - Discrete Mathematics and Its Applications. Løsningsforslag på utvalgte oppgaver Avsnitt 6. Chapter 6 - Discrete Mathematics and Its Applications Løsningsforslag på utvalgte oppgaver Oppgave a) Valget av en fra matematikk og en fra data er uavhengig av hverandre. Dermed blir det 35

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 3. JUNI 2009 KL. 09.00 13.00

EKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 3. JUNI 2009 KL. 09.00 13.00 Side 1 av 5 EKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 3. JUNI 2009 KL. 09.00 13.00 Oppgavestillere: Kvalitetskontroll: Richard Blake Jo Skjermo Torbjørn Hallgren Kontakt under eksamen: Richard Blake tlf.

Detaljer

Kapittel 6: Lenkelaget og det fysiske laget

Kapittel 6: Lenkelaget og det fysiske laget Kapittel 6: Lenkelaget og det fysiske laget I dette kapitlet ser vi nærmere på: Lenkelaget Oppgaver på lenkelaget Konstruksjon av nettverk Aksessmekanismer Det fysiske laget Oppgaver på det fysiske laget

Detaljer

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1 Oppgave 1 Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 Løsningsskisser DEL 1 I et koordinatsystem med origo O 0,0 har vi gitt punktene A 1,3, B 3,2 og C t,5. 1. Bestem t slik at AB AC. 2. Bestem t slik at AB AC. 3. Bestem

Detaljer

Turingmaskiner en kortfattet introduksjon. Christian F Heide

Turingmaskiner en kortfattet introduksjon. Christian F Heide 13. november 2014 Turingmaskiner en kortfattet introduksjon Christian F Heide En turingmaskin er ikke en fysisk datamaskin, men et konsept eller en tankekonstruksjon laget for å kunne resonnere omkring

Detaljer

Obligatorisk oppgave nr 4 FYS-2130. Lars Kristian Henriksen UiO

Obligatorisk oppgave nr 4 FYS-2130. Lars Kristian Henriksen UiO Obligatorisk oppgave nr 4 FYS-2130 Lars Kristian Henriksen UiO 23. februar 2015 Diskusjonsoppgaver: 3 Ved tordenvær ser vi oftest lynet før vi hører tordenen. Forklar dette. Det finnes en enkel regel

Detaljer

Høgskolen i Molde Institutt for Informatikk Prøveeksamen 1 in270: Datakommunikasjon Våren 2003 Skisse til svar:

Høgskolen i Molde Institutt for Informatikk Prøveeksamen 1 in270: Datakommunikasjon Våren 2003 Skisse til svar: 1 1 Høgskolen i Molde Institutt for Informatikk Prøveeksamen 1 in270: Datakommunikasjon Våren 2003 Skisse til svar: bokmål 1 Hjelpemidler: Kalkulator Oppgavesettet består av to (2) sider inkludert forsiden

Detaljer

Matematisk Morfologi Lars Aurdal

Matematisk Morfologi Lars Aurdal Matematisk Morfologi Lars Aurdal FORSVARETS FORSKNINGSINSTITUTT Motivasjon. Plan Grunnleggende setteori. Grunnleggende operasjoner. Dilasjon. Erosjon. Sammensatte operasjoner Åpning Lukning Algoritmer.

Detaljer

Digitale bilder. Det er i hovedsak to måter å representere digitale bilder på: rastergrafkk (punkter) og vektorgrafkk (linjer og fater).

Digitale bilder. Det er i hovedsak to måter å representere digitale bilder på: rastergrafkk (punkter) og vektorgrafkk (linjer og fater). Høgskolen i Østfold Digital Medieproduksjon Oppgave T4/Digitale bilder Uke 38/23.09.10 Jahnne Feldt Hansen Digitale bilder Det er i hovedsak to måter å representere digitale bilder på: rastergrafkk (punkter)

Detaljer

Overføring og koding av informasjon

Overføring og koding av informasjon Overføring og koding av informasjon To problem: Alt for mange megabyte Alt for mange feil i overføringa To enkle idear Informasjonsmengd kan målast Mesteparten av den informasjonen me sender og mottek

Detaljer

Dagens tema. C-programmering. Nøkkelen til å forstå C-programmering ligger i å forstå hvordan minnet brukes.

Dagens tema. C-programmering. Nøkkelen til å forstå C-programmering ligger i å forstå hvordan minnet brukes. Dagens tema Dagens tema C-programmering Nøkkelen til å forstå C-programmering ligger i å forstå hvordan minnet brukes. Adresser og pekere Parametre Vektorer (array-er) Tekster (string-er) Hvordan ser minnet

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Høgskolen i Molde Institutt for Informatikk Eksamen in270: Datakommunikasjon Våren 2003 Skisse til svar:

Høgskolen i Molde Institutt for Informatikk Eksamen in270: Datakommunikasjon Våren 2003 Skisse til svar: Høgskolen i Molde Institutt for Informatikk Eksamen in27: Datakommunikasjon Våren 23 Skisse til svar: Dato: 4.6.23, 6 timer skriftlig Hjelpemidler: Kalkulator (tomt minne) Oppgavesettet består av tre (3)

Detaljer

Læreplan, nivå 1. Innhold / tema. Hovedområde Kompetansemål Elevene skal kunne: Tall og algebra:

Læreplan, nivå 1. Innhold / tema. Hovedområde Kompetansemål Elevene skal kunne: Tall og algebra: Kartlegging / vurdering av nivå Begynn året med et kort kurs i tall-lære og matematiske symboler. Deretter kartlegging som plasserer elevene i nivågruppe. De som kan dette, jobber med tekstoppgaver / problemløsning.

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Slides til 12.1 Formelt språk og formell grammatikk

Slides til 12.1 Formelt språk og formell grammatikk Slides til 12.1 Formelt språk og formell grammatikk Andreas Leopold Knutsen April 6, 2010 Introduksjon Grammatikk er studiet av reglene som gjelder i et språk. Syntaks er læren om hvordan ord settes sammen

Detaljer

Algoritmer - definisjon

Algoritmer - definisjon Algoritmeanalyse Algoritmer - definisjon En algoritme er en beskrivelse av hvordan man løser et veldefinert problem med en presist formulert sekvens av et endelig antall enkle, utvetydige og tidsbegrensede

Detaljer

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og

Detaljer

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 5 - Delkapittel 5.4

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 5 - Delkapittel 5.4 Delkapittel 5.4 Huffmantrær Side 1 av 50 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 5 - Delkapittel 5.4 5.4 Huffmantrær 5.4.1 Datakomprimering D. Huffman Et Huffmantre er et fullt binærtre med spesielle egenskaper

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 10

RF5100 Lineær algebra Leksjon 10 RF5100 Lineær algebra Leksjon 10 Lars Sydnes, NITH 11. november 2013 I. LITT OM LYS OG FARGER GRUNNLEGGENDE FORUTSETNINGER Vi ser objekter fordi de reflekterer lys. Lys kan betraktes som bølger / forstyrrelser

Detaljer

Lokale operasjoner. Omgivelser/naboskap/vindu. Bruksområder - filtrering. INF 2310 Digital bildebehandling FILTRERING I BILDE-DOMÈNET I

Lokale operasjoner. Omgivelser/naboskap/vindu. Bruksområder - filtrering. INF 2310 Digital bildebehandling FILTRERING I BILDE-DOMÈNET I Lokale operasjoner INF 30 Digital bildebehandling FILTRERING I BILDE-DOMÈNET I Naboskaps-operasjoner Konvolusjon og korrelasjon Kant-bevarende filtre Ikke-lineære filtre GW Kap. 3.4-3.5 + Kap. 5.3 Vi skal

Detaljer

Løsning del 1 utrinn Vår 10

Løsning del 1 utrinn Vår 10 /15/016 Løsning del 1 utrinn Vår 10 - matematikk.net Løsning del 1 utrinn Vår 10 Contents Oppgave 1 4 + 465 = 799 854 8 = 56 c) d) 64 :4 = 66 Oppgave c) d)650 g = 650 : 1000 kg = 6,50kg Oppgave 4, 7 =

Detaljer

Matematisk morfologi IV

Matematisk morfologi IV Matematisk morfologi IV Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no. desember 3 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Oversikt, kursdag Geodesi-transformasjoner: Geodesi-dilasjon. Geodesi-erosjon. Geodesi-rekonstruksjon.

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Kompleksitetsteori reduksjoner

Kompleksitetsteori reduksjoner Kompleksitetsteori reduksjoner En slags liten oversikt, eller huskeliste, for kompleksitetsteorien i INF 4130. Ikke ment å være verken fullstendig eller detaljert, men kanskje egnet til å gi noen knagger

Detaljer

Idag. Hvis bildet f(x,y) er reelt og symmetrisk, vil Fourier transformen bestå av reelle koeffisienter korresponderende til cosinus leddene.

Idag. Hvis bildet f(x,y) er reelt og symmetrisk, vil Fourier transformen bestå av reelle koeffisienter korresponderende til cosinus leddene. Slide Slide Idag Cosinus transform Cosinus transform Sinus transform Hvis bildet f(,y) er reelt og symmetrisk, vil Fourier transformen bestå av reelle koeffisienter korresponderende til cosinus leddene.

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Kalkulus Kapittel 1 Oppgave 1. a) en funksjon b) en funksjon c) ikke en funksjon d) ikke en funksjon Oppgave 2. a) 12,1 b) 4 c)

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007 Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007 eksamensoppgaver.org September 17, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Bruksanvisning. Samtaleforsterker MAXI. Vestfold Audio AS. Art.nr. BE2020. HMS art.nr. 160893

Bruksanvisning. Samtaleforsterker MAXI. Vestfold Audio AS. Art.nr. BE2020. HMS art.nr. 160893 Bruksanvisning Samtaleforsterker MAXI Art.nr. BE2020 HMS art.nr. 160893 Vestfold Audio AS Innholdsfortegnelse Teknisk informasjon... 2 Innledning... 3 Dette bør du lese... 3 Enhetens kontroller og tilkoblinger...

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Digitalstyring sammendrag

Digitalstyring sammendrag Digitalstyring sammendrag Boolsk algebra A + A = 1 AA = 0 A + A = A AA = A A + 0 = A A 1 = A A + 1 = 1 A 0 = 0 (A ) = A A + B = B + A AB = BA A + (B + C) = (A + B) + C A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB + AC

Detaljer

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014 Eneboerspillet del 2 Håvard Johnsbråten, januar 2014 I Johnsbråten (2013) løste jeg noen problemer omkring eneboerspillet vha partall/oddetall. I denne parallellversjonen av artikkelen i vil jeg i stedet

Detaljer

Konvolusjon og filtrering og frevensanalyse av signaler

Konvolusjon og filtrering og frevensanalyse av signaler Høgskolen i Østfold Avdeling for informasjonsteknologi Fag IAD33505 Bildebehandling og mønstergjenkjenning Laboppgave nr 2 Konvolusjon og filtrering og frevensanalyse av signaler Sarpsborg 21.01.2005 20.01.05

Detaljer

Grafisk. design. Grafisk

Grafisk. design. Grafisk Grafisk profil Hvordan den brukes i en bedrift og hvorfor det er så viktig å ha en tydelig profil på bedriften. Grafisk profilering er arbeidet med visuell markedsføring av en virksomhet eller et produkt

Detaljer

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3 Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert

Detaljer

TMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger

TMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger TMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Kontinuerlig uniform fordeling f() = B A, A B. En kontinuerlig størrelse (vekt, lengde, tid), som aldri kan bli mindre enn

Detaljer

EKSAMEN. Informasjon og publiseringsteknologi. INNFØRING MED PENN, evt. trykkblyant som gir gjennomslag

EKSAMEN. Informasjon og publiseringsteknologi. INNFØRING MED PENN, evt. trykkblyant som gir gjennomslag KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Informasjon og publiseringsteknologi IMT1041 EKSAMENSDATO: 07.12.2005 SENSURFRIST: 28.12.2005 KLASSE: 05HBINFA, 05HBINDA/T, 05HBMEDA, 05HBMEMAA, 05HBMETEA TID:

Detaljer

Statistisk beskrivelse av enkeltvariabler. SOS1120 Kvantitativ metode. Disposisjon. Datamatrisen. Forelesningsnotater 6. forelesning høsten 2005

Statistisk beskrivelse av enkeltvariabler. SOS1120 Kvantitativ metode. Disposisjon. Datamatrisen. Forelesningsnotater 6. forelesning høsten 2005 SOS110 Kvantitativ metode Forelesningsnotater 6 forelesning høsten 005 Statistisk beskrivelse av enkeltvariabler (Univariat analyse) Per Arne Tufte Disposisjon Datamatrisen Variabler Datamatrisen Frekvensfordelinger

Detaljer

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi

Detaljer

Vekkerklokke DS-1/RF, digital

Vekkerklokke DS-1/RF, digital Vekkerklokke DS-1/RF, digital Bruker- og vedlikeholdsveiledning Vekkerklokke DS-1/RF, digital Vekkerklokke DS-1/RF med mottaker HMS art. nr.: 148483 Best. nr.: 1104816 INNHOLD Vekkerklokke DS-1/RF, digital...

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO 1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : IN 115 Eksamensdag : Lørdag 20 mai, 2000 Tid for eksamen : 09.00-15.00 Oppgavesettet er på : 5 sider Vedlegg : Intet. Tillatte

Detaljer

Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at

Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF 4.1: La X være

Detaljer

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29 MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt

Detaljer

Algoritmeanalyse. (og litt om datastrukturer)

Algoritmeanalyse. (og litt om datastrukturer) Algoritmeanalyse (og litt om datastrukturer) Datastrukturer definisjon En datastruktur er den måten en samling data er organisert på. Datastrukturen kan være ordnet (sortert på en eller annen måte) eller

Detaljer

Tabell 1: Beskrivende statistikker for dataene

Tabell 1: Beskrivende statistikker for dataene Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7, blokk II Løsningsskisse Oppgave 1 a) Utfør en beskrivende analyse av datasettet % Data for Trondheim: TRD_mean=mean(TRD);

Detaljer

Bomann stereoanlegg MC 1012 CD CB

Bomann stereoanlegg MC 1012 CD CB Bomann stereoanlegg MC 1012 CD CB Generelle forsiktighetsregler - For å minske sjansen for brann eller elektrisk sjokk, må du holde spilleren borte fra vann og fuktighet. Spilleren bør ikke stå i umiddelbar

Detaljer

Optimal kontrollteori

Optimal kontrollteori Optimal kontrollteori 1. og 2. ordens differensialligninger Klassisk variasjonsregning Optimal kontrollteori er en utvidelse av klassisk variasjonsregning, som ble utviklet av Euler og Lagrange. Et vanlig

Detaljer

Inf109 Programmering for realister Uke 5. I denne leksjonen skal vi se på hvordan vi kan lage våre egne vinduer og hvordan vi bruker disse.

Inf109 Programmering for realister Uke 5. I denne leksjonen skal vi se på hvordan vi kan lage våre egne vinduer og hvordan vi bruker disse. Inf109 Programmering for realister Uke 5 I denne leksjonen skal vi se på hvordan vi kan lage våre egne vinduer og hvordan vi bruker disse. Før du starter må du kopiere filen graphics.py fra http://www.ii.uib.no/~matthew/inf1092014

Detaljer

Litteratur : I dag og neste uke: Cyganski kap. 5-6

Litteratur : I dag og neste uke: Cyganski kap. 5-6 Bilder Litteratur : I dag og neste uke: Cyganski kap. 5- -dimensjonal virkelighet Kamera og optikk fokallengde f Bildet blir en 2-dimensjonal projeksjon av objektet Temaer : Hvordan dannes bilder? Hvordan

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for Kjemi

Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for Kjemi S. 1 (av 7) IV. Gasskromatografi B. Gass-væske-kromatografi (GLC) 0. Gasskromatografen.8 Signal - integrering V. B. Gass-væske-kromatografi (engelsk: Gas-Liquid Chromatography, GLC, ofte bare Gas Chromatography,

Detaljer

Kapittel 12. Spredt spektrum

Kapittel 12. Spredt spektrum Kapittel 12 Spredt spektrum 12.1 s. 719 Hva er spredt spektrum? Spredt spektrum er å bruke mye større båndbredde enn nødvendig Båndbredde W SS = G p W min Nødvendig båndbredde W min R Spredefaktor (processing

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er

Detaljer