TMA4240 Statistikk Høst 2016

Transkript

1 TMA440 Statstkk Høst 06 Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Abefalt øvg 0 Løsgssksse Oppgave a Estmatore for avstade a er gjeomsttet av uavhegge detsk fordelte målger, x; a, σ G. Eâ Varâ EX a a. VarX σ G σ G. Estmatore er e leærkombasjo av Gaussske Normalfordelte tlfeldge varable, og er derfor Gausssk; â; a, σg. b Sde stadardavvket σ G er ukjet, er T â a Dermed er S G / Pr t,0.05 < T < t, Pr t,0.05 < t-fordelt med frhetsgrader. â a S G / < t, Prâ t,0.05 S G < a < â + t,0.05 S G Da er et 95% kofdestervall for a gtt ved [ â t,0.05 S G, â + t,0.05 S G ]. Oppgave Det er oppgtt oppgavetekste at estmatore er forvetgsrett, så v vet allerede at Eˆµ µ. Varase tl ˆµ er τ Varˆµ 0 σ τ0 + VarX + 0 σ 0 τ0 + VarY σ 0 τ 0 4σ 0 + σ4 0 τ 0 τ0 + τ 0 + σ 0 τ 0 σ 0 σ 0 τ0 + σ 0 τ 0 σ 0 τ0 +, σ 0 ab0-lsf-b 7. oktober 06 Sde

2 TMA440 Statstkk Høst 06 og ford ˆµ er e leærkombasjo av ormalfordelte varable, er de ormalfordelt. Altså har v Z ˆµ µ N0,, σ0 τ 0 τ0 +σ 0 slk at v får et 00% kofdestervall fra P ˆµ z / σ 0 τ 0 τ 0 + σ 0 P z / Z z / σ0 µ ˆµ + z τ 0 / τ0 +. σ 0 Itervallet er altså ] σ0 [ˆµ τ 0 σ0 z/ τ0 +, ˆµ + z τ 0 / σ 0 τ0 +. σ 0 Oppgave 3 a For å fe sasylghetstetthete tl Z ka v bruke trasformasjosformele fra teorem 7.3 læreboka Walpole, Myers, Myers og Ye. La Z λt ut, som er e stregt mooto og derverbar fuksjo for alle T. V har T Z/λ wz og w Z /λ. Dette gr g Z z fwz w z λe λz/λ /λ { e z/, z > 0 0, ellers b V har λt χ. Dersom levetde tl kompooetee T er uavhegg, ka v bruke følgede resultat λt χ λ T χ V fer et kofdestervall fra P χ /, < λ t < χ /, χ /, P t < λ < χ /, t c V ka evaluere sasylghetsmaksmergsestmatore som oppgtt oppgave, ˆλ 500/ 500 T, på følgede måte Matlab: t load levetder.txt ; % laste data legtht; % atall observasjoer ab0-lsf-b 7. oktober 06 Sde

3 lambdahat / sumt; % rege ut SME fprtf SME %.4f\,lambdahat % skrve SME tl kosoll TMA440 Statstkk Høst 06 V får at ˆλ Alteratvt kue v ha brukt de ebygde Matlab-fuksjoe expftt - merk at dee fer SME tl forvetgsverde /λ, kke rate λ som v bruker her. Fra oppgave b har v at λ 500 T χ 000. V ka derfor rege ut kofdestervallet som følger: alpha.; % df *; % atall frhetsgrader sum_t sumt; % Berege greser edre_grese chvalpha/, df / * sum_t; ovre_grese chv-alpha/, df / * sum_t; kof_t [edre_grese, ovre_grese]; kof_tsprtf %d, kof_t; fprtf Kofdestervall: %s\, kof_t V får følgede 90% kofdestervall for λ: [0.0090, 0.004]. Oppgave 4 a Kumulatv fordelg: Bruk substtusjoe u s med du sds: P X x x 0 x 0 e x fsds x 0 s e s [ e u du e u ds ] x 0 Betget fordelg: V har at P X > x P X x e x. P X > 5 X > 0 P X > 5 X > 0 P X > 0 5 e 5 e P X > 5 P X > 0 ab0-lsf-b 7. oktober 06 Sde 3

4 TMA440 Statstkk Høst 06 b Rmelghetsfuksjoe er gtt ved: Tar logartme: L; x,..., x fx,..., x ; fx ; fx ; x x e x e x x x e x. l; x,..., x l [L] l + lx x x l l + lx x x. F maksmumspukt ved å dervere l-rmelghetsfuksjoe og sette lk 0. l ˆ SME for blr da ˆ X. Vser at ˆ er forvetgsrett: x. x 0 E[ˆ] E[ X ] E[X ]. For å rege ut varase tl ˆ treger v først varase tl X. La Y X. Bruker at Var[Y ] E[Y ] E[Y ]. Dermed er Var[X ] Var[Y ] E[Y ] E[Y ] E[X 4 ] E[X ]. Da får v: Var[ˆ] Var[ X ] Var[X ]. ab0-lsf-b 7. oktober 06 Sde 4

5 TMA440 Statstkk Høst 06 c Setralgreseteoremet ser at hvs Y,..., Y er uavhegge og detsk fordelte, så er gjeomsttet tlærmet ormalfordelt. Mer presst er Z Ȳ E[Ȳ ] Var[ Ȳ ] tlærmet stadard ormalfordelt år er stor 30. I vårt tlfelle er Y X uavhegge og Ȳ X ˆ. Vdere er som fuet forrge pukt 3b, EȲ og VarȲ. Dermed blr Z tlærmet ormalfordelt år er stor. X V fer så et 95% kofdestervall med Sett Ȳ X. Bruker at Pr z Z z Pr z Ȳ z Pr z Pr z Pr + z Pr Et tlærmet 95% kofdestervall for blr da [ X Ȳ z Ȳ + z Ȳ z Ȳ Ȳ + z z + z, 0.05 X z 0.05 ] Sde p e 00 er e mootot stgede fuksjo av, har v at Pr X + z X z Et tlærmet 95% kofdestervall for e 00 Pr e 00 ˆ L e 00 e 00 ˆ U blr da [ ] e 00 ˆ L, e 00 ˆ U ab0-lsf-b 7. oktober 06 Sde 5

6 TMA440 Statstkk Høst 06 Oppgave 5 a De kumulatve fordelgsfuksjoe F x P X x bereger v ved å tegrere sasylghetstetthete fx. Dvs. F x x ftdt x βt β dt β [t β] x [ ] β x β x β. Sasylghete for at det går mer e uker mellom to påfølgede fel, år β 3, er P X > P X F β Sasylghete for at ettet svkter før det er gått 3.5 uker, gtt at det har gått mst uker sde sste fel, er med β 3 P X 3.5 X > P X 3.5 X > P X > F 3.5 F F P X 3.5 P X P X > b Sasylghetsmaksmergsestmatore, SME for β: Smultatetthete for X,..., X er fx,..., x ; β uavh. fx ; β βx β. Rmelghetsfuksjoe er smultafordelge sett på som fuksjo av β, og ka skrves som Lx,..., x ; β β x β. SME er de verde for β som maksmerer Lx,..., x ; β. Dee verde fer v ved først å ta logartme, så dervere og sette lk 0: lx,..., x ; β l Lx,..., x ; β l dlx,..., x ; β dβ β lβ + l lβ + x β β x β β + lx lβ β + β lx 0 lx lx Dette gr at SME for β er ˆβ ˆβ l X. Når v setter de observerte verdee får v følgede estmat for β: ab0-lsf-b 7. oktober 06 Sde 6

7 TMA440 Statstkk Høst 06 ˆβ ˆβ l x c V skal først vse at β lx er kjkvadratfordelt med frhetsgrader som er det samme som e ekspoesalfordelg. La Y β lx. V ka fe sasylghetsfordelge tl Y ved å bruke trasformasjosformele v ser her bort fra dekse utledge. La y ux β lx, slk at x wy exp y β. La f Y y være sasylghetstetthete tl Y. Trasformasjosformele ser da at f Y y f X wy w y. V derverer wy og får w y β exp y. Sasylghetstetthete tl Y blr da β f Y y f X wy w y βexp y β β β exp y β exp β y β exp y β exp β y β y β + y β exp y. Uttrykket for f Y y ka skrves f Y y / Γ/ y/ exp y, sde Γ/ Γ. Dette er sasylghetstetthete for e kjkvadratfordelt stokastsk varabel med frhetsgrader. Dermed har v vst at Y β lx er kjkvadratfordelt med frhetsgrader, dvs. Y χ. La Z β lx. Med Y β lx har v at Z β lx β lx Y. V har vst at Y χ, og sde e sum av uavhegge kjkvadratfordelte stokastske varabler er kjkvadratfordelt, med summe av frhetsgradee, er Z β lx kjkvadratfordelt med frhetsgrader. Kofdestervall for β: V bruker at Z β lx χ. La V får da at P χ /, < Z < χ /, P χ /, < β lx < χ /, χ /, P lx < β < χ /, lx ab0-lsf-b 7. oktober 06 Sde 7

8 TMA440 Statstkk Høst 06 Et 95% kofdestervall for β blr da [ ] χ 0.05, lx < β < χ 0.05, lx Isatt observerte verder får v [ < β < ] [.4, 5.04] Oppgave 6 Dekgssasylghet for kofdestervall a Utvalgsgjeomsttet X er ormalfordelt, Vdere er S kjkvadratfordelt, S X N µ, σ. X X χ. V får dermed e t-fordelt tlfeldg varabel ved å ta T X EX VarX X µ S / t. V ka da skrve P t,0.05 T t, P t,0.05 X µ S / t, S S P X t,0.05 µ X + t, b Trekker e vektor med uavhegge, ormalfordelte elemeter x,..., x ved hjelp av ormrd. Reger så ut x og s. Reger tl slutt ut L og U. mu 3; sg ; 0; x ormrdmu,sg,[,]; xbar sumx/; ssq sumx-xbar.^/-; qt cdf t,0.95,-; L xbar - qt*sqrtssq/; U xbar + qt*sqrtssq/; ab0-lsf-b 7. oktober 06 Sde 8

9 Sjekker om µ er eholdt tervallet ved å evaluere følgede uttrykk. L < mu & mu < U TMA440 Statstkk Høst 06 c Setter kode fra pukt a e for-løkke som går fra tl 0 000, og kremeterer tellevarabele Cout år et kofdestervall eholder µ. B 0000; Cout 0; for b :B x ormrdmu,sg,[,]; xbar sumx/; ssq sumx-xbar.^/-; qt cdf t,0.95,-; L xbar - qt*sqrtssq/; U xbar + qt*sqrtssq/; f L < mu & mu < U Cout Cout + ; ed ed Skrver ut de emprske dekgssasylghete med følgede kommado. fprtf Emprsk dekgssasylghet: %.4f\\,Cout/B Dee blr ær 0.9. ab0-lsf-b 7. oktober 06 Sde 9