(ii) Anta vi vet om en observasjon av X at den ikke er større enn 5. Hva er da sannsynligheten for at den er lik 5? (Hint: Finn PX ( = 5 X 5) ).

Transkript

1 ECON3: EKSAMEN VÅR - UTSATT PRØVE Oppgave Ata er possofordelt med parameter λ = 5 (skrevet kort, ~ pos(5), jfr. defsjo 5.8 Løvås med t = ). A. () F P= ( 5) og P ( 5), for eksempel basert på tabell D. Løvås. () Ata v vet om e observasjo av at de kke er større e 5. Hva er da sasylghete for at de er lk 5? (Ht: F P ( = 5 5) ). B. Bereg P= ( 5) tlærmet ved bruk av ormaltlærmelse tl posso-fordelge med heltallskorreksjo. C. Ata at stokastske varable,,,,, er uavhegge og detsk possofordelte, alle med parameter λ = 5. Bereg () sasylghete for at ge av dsse () sasylghete for at akkurat av de () forvetet atall av de -ee som blr 5. -ee får verde 5, -ee blr 5, Oppgave (Som oppgave.9 Løvås - reprodusert og modfsert her:) La x, x,, x være observasjoer av e varabel. De valge formele for (emprsk) varas som er gtt defsjo.3 Løvås, er S = ( x x) der x = x. Dee = = formele ka være tugvt å bruke hvs du skal rege for håd. Vs at varase, S, også ka bereges med formele

2 S = x x ( ) Ht: Start med defsjoe (jamfør def..3 Løvås), og bruk regeregler for sum (for eksempel regel. Løvås). Tek på x som e kostat du ka kalle b. Oppgave 3 Det er mye tlfeldgheter som spller fotballkamper mellom lkeverdge lag. Det ka for eksempel vrke som at atall mål som et lag klarer å skåre e slk kamp er posso-fordelt. V skal dee oppgave se ltt ærmere på dee mulghete ved å studere resultatee fra gruppespllet uder VM fotball Frakrke 998 (der også Norge var med og slo Brasl - ). I gruppespllet var det 3 lag som alle splte 3 kamper - altså alt 96 forsøk der forsøk vser tl det at et lag deltar e kamp. Hver kamp omfatter således to forsøk, et for hvert lag. I hvert forsøk regstreres atall mål som det aktuelle laget skårer. Tabell vser resultatee for de 96 forsøkee. For eksempel, 6 forsøk resulterte mål. (Et av dsse forsøkee var Brasls kamp mot Norge som ga mål. Norge samme kamp represeterte et aet forsøk som ga mål.) Tabell Atall mål Sum Frekves A. La x, x,, x, der = 96, være observasjoee fra de 96 forsøkee oppsummert tabell. Forklar hvorda du vlle rege for å komme fram tl 96 x = 6 og = 96 = x = 34 B. La betege atall mål skåret -te forsøk, =,,, = 96, tolket som e stokastsk varabel. Som modell atar v at,,,, er uavhegge og detsk posso-fordelte, ~ pos( λ ), der λ = E ( ) er e ukjet parameter. () Vs at ˆ λ = = = er e forvetgsrett estmator for λ.

3 3 () F varase tl ˆλ uttrykt ved λ. () Bereg estmatet basert på ˆλ og data tabell. C. Det ka vses (som du kke treger å gjøre) at ˆ λ λ er tlærmet stadard ˆ λ ormalfordelt, N (, ), år er stor ( = 96 burde være tlstrekkelg). Bruk dette tl å utlede et (tlærmet) 95% kofdestervall for λ. Bereg tervallet ut fra data tabell. D. Tatt betraktg at ferdghetee tl de forskjellge lagee tross alt er forskjellge, ka forutsetge pukt B om uavhegge og detsk posso-fordelte varable syes tvlsom. V skal derfor se på om data ka g oe dkasjoer som taler mot dee atakelse. Ata ~ pos(,3), der parameterverde λ =,3 lgger ær de estmerte verde pukt B. Bereg sasylghetee P ( = x) for x =,,,3, samt P ( 4). Sammelg dsse 5 sasylghetee med tlsvarede relatve frekveser bereget ut fra tabell og kommeter. E. Iledg. V ka også sette opp e formell statstsk test for atakelse pukt B. La ull-hypotese, H, være at,,, er uavhegge og detsk possofordelte med parameter λ. Hvs H er rktg, vl -ee ha samme forvetg og varas, λ. Nå er S = ( ), geerelt e forvetgsrett estmator for = var( ) = σ. Sde σ = λ uder H, vl både ˆ λ = og S estmere samme parameter hvs H er sa. Dette mplserer at, hvs H er sa, så vl varabele S V = varere ærhete av. V ka derfor beytte V som testobservator og forkaste H hvs V får e verd tlstrekkelg lagt vekk fra. Med adre ord, forkast H hvs V c eller V c, der c, c er passede krtske verder. Oppgave. () Bestem de krtske verdee c, c slk at teste får sgfkasvå (tlærmet) 5%. [Ht. Det ka vses (som du kke treger å gjøre), at, hvs H er sa, så er V tlærmet ormalfordelt med forvetg og varas + λ, år er stor,

4 4 der de ukjete λ varase ka erstattes med estmatet, ˆλ, eller,3 om du vl. Bruk dette tl å bestemme de krtske verdee. ] () Gjeomfør teste ut fra data tabell og formuler e koklusjo.

5 ECON3: EKSAMEN VÅR - UTSATT PRØVE ENGLISH VERSION Problem Suppose that s posso dstrbuted wth parameter λ = 5 ( short, ~ pos(5), cf. defto 5.8 Løvås wth t = ). A. () Fd P= ( 5) ad P ( 5), for example based o table D. Løvås. () Suppose that we kow of a observato of that t s ot larger tha 5. What s the the probablty that t s equal to 5? (Ht: Fd P ( = 5 5) ). B. Calculate P= ( 5) approxmately usg the ormal approxmato to the posso dstrbuto wth cotuty correcto ( heltallskorreksjo ). C. Suppose that radom varables,,,,, are depedet ad detcally posso dstrbuted, all wth parameter λ = 5. Calculate () the probablty that oe of these () the probablty that exactly of the () the expected umber of the s get the value 5, s get the value 5, s that get the value 5. Problem (As exercse.9 Løvås reproduced ad modfed here:) Let x, x,, x be observatos of some varable. The usual formula for the sample varace, gve defto.3 Løvås, s S = ( x x) where x = x. Ths = =

6 formula may be cumbersome to calculate by had. Show that the varace, calculated by the smpler formula S = ( x x ) S, also ca be Ht: Start wth the defto (cf. def..3 Løvås), ad use rules vald for sums (for example regel. Løvås). Thk of x as a costat you may call b. Problem 3 There s a lot of radomess at play durg soccer matches betwee teams of smlar stregth. For example, t may look as f the umber of goals a partcular team maages to score durg such a match s posso dstrbuted. We wll look a lttle closer at ths possblty by studyg the results from the group plays from the World Cup soccer competto Frace 998 (where Norway partcpated ad eve maaged to beat Brazl ) Durg the group play there were 3 teams, each playg 3 games, gvg a total of 96 trals where tral refers to a partcular team partcpatg a game. Therefore, every match comprses two trals, oe for each team. I each tral the umber of goals the team questo maages to score s regstered. Table summarzes the results for the 96 trals. For example, 6 trals resulted goals. (Oe of these trals was Brazl s game agast Norway that resulted goals. Norway the same match represets aother tral resultg goals.) Table Number of goals Sum Frequecy A. Let x, x,, x, where = 96, be the observatos from the 96 trals summarzed table. Expla how you would calculate to arrve at 96 x = 6 ad = 96 = x = 34 B. Let deote the umber of goals scored the -th tral, =,,, = 96, terpreted as a radom varable. As our model we assume that,,,, are depedet ad detcally posso dstrbuted, ~ pos( λ ), where λ = E ( ) s a ukow parameter. () Show that ˆ λ = = =

7 3 s a ubased estmator for λ. () Fd the varace of ˆλ expressed by λ. () Calculate the estmate based o ˆλ ad the data table. C. It ca be show (whch you do ot eed to do) that ˆ λ λ s approxmately ˆ λ stadard ormally dstrbuted, N (, ), whe s large ( = 96 should be suffcet). Use ths result to derve a (approxmately) 95% cofdece terval for λ. Calculate the terval based o the data table. D. Cosderg that the stregth of the dfferet teams hardly ca be sad to be the same, the assumpto secto B about depedet ad detcally dstrbuted varables, may ot seem realstc. We wll, therefore, vestgate f the data cota ay dcatos agast ths assumpto. Suppose that ~ pos(,3), where the parameter value λ =,3 s ear the estmated value secto B. Calculate the probabltes P ( = x) for x =,,,3, as well as P ( 4). Compare these 5 probabltes wth the correspodg relatve frequeces based o table, ad commet o the results. E. Itroducto. We ca also costruct a formal statstcal test for the assumpto secto B. Let the ull hypothess, H, be that,,, are depedet ad detcally posso dstrbuted wth parameter λ. If H s true, the s must all have the same expectato ad varace, λ. Now the geeral theory says that S = ( ) =, s a ubased estmator for var( ) = σ uder these crcumstaces. Sce σ = λ uder H, both ˆ λ = ad S wll estmate the same S parameter f H s true. Ths mples that, f H s true, the varable V = wll vary somewhere ear. We may therefore use V as a test statstc ad reject H f V gets a value suffcetly far away from. I other words, reject H f V c or V c, where c, c are sutably chose crtcal values. Questos. () Determe c, c so that the test gets the level of sgfcace (approxmately) 5%.

8 4 [Ht. It ca be show (whch you do ot eed to do), that, f H s true, the V s approxmately ormally dstrbuted wth expectato ad varace + λ, whe s large, ad where the ukow λ the varace ca be replaced by the estmate, ˆλ, or by,3 f you wsh. Use ths to determe the crtcal values.] () Perform the test based o the data table ad formulate a cocluso.