Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

Transkript

1 ECON 3 EKSAMEN VÅR TALLSVAR Det abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller lkt uasett varasjo vaskelghetsgrad. Svaree er gtt <<. Oppgave A. I e valg kortstokk på 5 kort er det fre ess ett av hver farge: hjerter, ruter, kløver og spar. V trekker et kort ret tlfeldg fra kortstokke. La A være begvehete at det uttruke kortet er et ess. La R være begvehete at det uttruke kortet er et rødt kort det vl s et hjerter-kort eller et ruter-kort. Det er alt 6 røde kort kortstokke. () F sasylghetee, PA ( ) og PA ( R). Er A og R dsjukte? Begru svaret. () Er A og R stokastsk uavhegge? Begru svaret. 4 << Svar: (): PA= ( ) =, PA ( R) = PA ( ) + PR ( ) PA ( R) = + = = Ma ka også resoere at A R omfatter 8 mulgheter av 5. Ne () Ja, PA ( R) = = = PAPR ( ) ( ). 6 3 B. V lager e m-kortstokk beståede av fem kort, spar-ess, spar-to, spar-tre, spar-fre og spar-fem. Fra m-kortstokke trekkes tlfeldg ett og ett kort ute tlbakeleggg tl esset dukker opp. La X være atall trekger som må tl før esset kommer. Hvs esset trekkes ut første trekg, får X verde, hvs esset kommer ae trekg, får X verde, osv. () Vs at X er uformt fordelt over tallee,,,,5. Med adre ord, vs at PX ( = x) =, x=,,, 5. 5 F EX ( ) og var( X ). << Svar: () La E j være ess j-te trekg. PX ( = ) = PE ( ) =, 5 4 PX ( = ) = PE ( E) = =, 5 4 5

2 4 3 PX ( = 3) = PE ( E E3) = = osv Ma ka også resoere: Om v stokker kortee og legger dem ved sde av hveradre med baksde opp, er det lke sasylg om esset lgger på første, adre, tredje osv. plass. Dette gjelder selv om v stokker kortee hver gag etter å ha plukket opp et kort pga symmetre EX var( X ) = 3 = ( ) = = = 3, EX ( ) = = = C. Å observere X e gag som beskrevet pukt B kaller v et spll. Hvs X får verde 4 eller 5, ser v at v har fått et lagt spll. () Hva er sasylghete for at et vlkårlg spll blr et lagt spll? Bereg sasylghete tlærmet for at mst 5 av 5 spll blr lage spll. Bruk heltallskorreksjo ved beregge. << Svar: () PX ( 4) = =.4 5 La Y være atall lage spll blat = 5 spll. Y ~ b( = 5, p=.4). 3 EY ( ) =, var( Y) = 5 =, som er stor ok tl at ormaltlærmelse skulle 5 5 være akseptabel. Med heltallskorreksjo (av regel 5. Løvås): 4,5 PY ( 5) = PY ( 4) G = G(,3) =,93 =, 968 (Ute heltallskorreksjo: PY ( 5) G(,5) =,8749 =,5 ) (Eksakt verd etter Excel:,98) Oppgave V er teressert å sammelge prsvået på hårklpp Oslo og oe adre større byer Norge basert på data fra 5 (publsert Forbrukerrapporte for oktober 5). De større byee udersøkelse er represetert ved Oslo, Trodhem, Berge, Krstasad og Tromsø. Materalet omfatter også tall fra oe mdre steder som v kke skal se på her. Prsee gjelder dameklpp og herreklpp som her betyr: Dameklpp - Vask, klpp (to-tre cetmeter) og fø av e kve med lagt hår og ormal tykkelse.

3 3 Herreklpp - Vask, klpp (to-tre cetmeter) og tørk av e ma med kort hår og ormal tykkelse. Ret tlfeldge utvalg på frsørsaloger ble trukket fra hver av de fem byee, og tervjuere, som utga seg for å være e valg kude, fkk prsee oppgtt ved hevedelse på telefo. Istedefor ett ret tlfeldg utvalg på 5 fra alle byee slått samme, har v altså her fem ret tlfeldge utvalg på ett fra hver av de fem byee. Resultatee kroer er gtt tabell. Tabell Prser kroer på dameklpp og herreklpp august 5 Adre byer OSLO TRONDHEIM BERGEN KRISTIANSAND TROMSØ Dame Herre Dame Herre Dame Herre Dame Herre Dame Herre I dee oppgave skal v utelukkede se på prsee for herreklpp de fre byee uder kategore adre byer. V har da = observasjoer. Dsse atas å være observasjoer av stokastske varable, Y, Y,, Y, som v atar er uavhegge og detsk fordelte (ud), med forvetg, EY ( ) =, og varas, var( Y ) =, for =,,,, der og oppfattes som ukjete populasjosstørrelser. tolkes som det gjeomsttlge prsvået geerelt på herreklpp adre byer. Merk at, på gru av måte utvalget er trukket på, så ebærer modelle e mplstt forutsetg om at prsvået for herreklpp er lke stort Trodhem, Berge, Krstasad og Tromsø. For å lette bereggee dee oppgave oppgs (der y, y,, y beteger de observerte herre-prsee fra Adre byer ): y = 795 og ( y y) = 3 4 A. () Forklar hvorfor ˆ = Y = Y er e forvetgsrett estmator for.

4 4 Sett opp e forvetgsrett estmator for var( ˆ ) og begru forvetgsretthete. [Ht: Du ka beytte resultatet at hvs ud-modelle gjelder for Y, Y,, Y der de felles populasjosvarase er S Y Y = ( ), gjelder E( S ). Du treger kke å vse dette.] = der () Bereg estmatet basert på ˆ, samt estmert stadardfel for ˆ. << Svar: (): Av regel 4. Løvås følger E( ˆ ) = E Y E Y EY ( ) = = = = S : Regel 4.7 gr var( ˆ ) = med som forvetgsrett estmator. Forvetgsretthete følger av regel 4.7 eller avregel 4.. () Estmat: ˆ obs = = 94.88, SE ( ˆ ) = var( ˆ ˆ ) obs = = B. () Sett opp e formel for et tlærmet 99% kofdestervall for. Bereg tervallet. << Svar:.5-kvatle N(, ) er.576. Et tlærmet 99% KI er dermed ˆ ± (.576) SE( ˆ ) = ˆ ± (.576) S ±.95 = [73.93, 35.83], eller [74, 36]. C. Nå er det kke skkert at prsvået for herreklpp er lkt de fre byee. La,, 3, 4betege prsvået de fre byee, der dekse står for Trodhem, for Berge, 3 for Krstasad og 4 for Tromsø. For å ta hesy tl mulghete for forskjellg prsvå, ka v edre ltt på modelle som følger: V atar fortsatt at Y, Y,, Y er uavhegge og med samme varas, var( Y ) =, me v lar forvetge varere med bye Y stammer fra. V atar at de første Y - ee stammer fra Trodhem, de este fra Berge osv. som framgår av tabell :

5 5 Tabell Ny modell for prser på herreklpp fra adre byer. By Varable EY ( ) var( Y ) Trodhem Y,, Y Berge Y,, Y Krstasad Y,, Y3 3 Tromsø Y3,, Y 4 () Vs at estmatore fra pukt A, ˆ = Y = Y, er e forvetgsrett estmator for = ( ) , der å er e y parameter defert som 4 gjeomsttet av,, 4. Vs at var( ˆ ) =. () Foreslå e estmator for som er forvetgsrett uder dee modelle. << Svar: () Av regel 4., E ( ˆ ) = ( ) = ( ) = 4 Av regel 4.7, var( ˆ ) = var Y var( ) Y = = = () Modelle er kke leger ud sde forvetgee varerer. Me de Y -ee fra hver ekelt by er ud. Hvs v beteger Y -ee fra by j som Y, =,,, j =,, 4, og Y j gjeomsttet by j, blr j 4 j = ( j j ) 9 j= S Y Y forvetgsrett for estmatore ˆ ( 3 4 ) for j =,, 4. De komberte = 4 S + S + S + S blr dermed forvetgsrett.

6 6 Oppgave 3 V øsker å sammelge prsvået på hårklpp Oslo med vået de adre byee, der stuasjoe er som beskrevet oppgave, og v vl beytte regresjosmodelle som formulert Løvås tl dette. V starter med prsee for herreklpp. For e vlkårlg frsørsalog som trekkes ut observeres to varable, x og Y, der Y er prse på herreklpp, og x e såkalt dkator-varabel for Oslo som får verde hvs saloge kommer fra Oslo og verde hvs saloge er fra e av de fre adre byee. V har alt = 5 observasjoer hvorav fra Oslo og fra adre byer. La Y være prse på herreklpp frsørsalog ( =,,, 5 ), og x er lk hvs salog r. er fra Oslo og lk ellers. V atar at Y, Y,, Y er uavhegge og ormalfordelte med samme ukjete varas, var( Y ) =, og forvetg, EY ( ) = ( x) = α + βx, =,,,. Regresjosfuksjoe, EY ( ) = ( x) = α + βx, er altså her bare defert for to verder av x ( x= og x= ). () tolkes som prsvået på herreklpp Oslo geerelt ( august 5), og () som prsvået de fre adre byee (det v atar at de fre byee har lkt prsvå). α og β ases som ukjete populasjosstørrelser. For å lette bereggee edefor, oppgs følgede mellomresultater tabell 3: Tabell 3 Mellomresultater for prsee på herreklpp fra tabell Formel Observert verd atall observasjoer 5 x x =, Y Y = 35,6 s ( x ) x x,633 S y ( Y Y) 678,89 S xy ( x x)( Y Y) 6,68 SS kvadratsum av resdualer 497,- E

7 7 A. () Sett opp formler for mste kvadraters estmatoree, ˆ α og ˆ β, og bereg estmatee. Forklar kort hva som er forskjelle på e estmator og et estmat. Estmer stadardfele tl ˆβ. () Hvor mage % av varasjoe av Y -ee data blr forklart av varabele x? << Svar: () ˆ Sxy ˆ 6.68 β = β.9 obs = =. sx.633 ˆ α = Y ˆ βx ˆ αobs = 35.6 (.9)(.) = Forskjelle på estmator og estmat er. SS 497 ˆ = E = ˆ ˆ 7.49 SE( β ) = = s x 49(.633) () r S xy =.5 r = 5% Ss y x B. () Forklar hvorfor β ka tolkes som forskjelle mellom prsvået på herreklpp Oslo og prsvået på herreklpp de fre adre byee. Tyder data på at prsvået på herreklpp er høyere Oslo e de fre adre byee?. Dvs. sett opp og gjeomfør e test for H : β mot alteratvet H : β >. Bruk sgfkasvå % og formuler e koklusjo. Merk: Hvs du kke fer akkurat de kvatle du treger tabellee de, foreslå e verd på øyemål basert på de ærmeste verdee tabelle. <<Svar: () Forskjell prsvå er () () = α + β α = β ˆ θ θ ˆ β Testobservatore er av forme T = = som er t-fordelt med 48 SE( ˆ θ) SE( ˆ β) frhetsgrader hvs β =. Med % vå og esdg test forkaster v H hvs T t48,.. Tabell D5 Løvås gr t 45,. =.4 og t 5,. =.3, så et aturlg forslag på t 48,. kue være.4.

8 8 ˆ β.9 Observert, T = = 4... SE( ˆ β ) Koklusjo: Forkast H - dvs det er sterk evdes data for at prsvået er høyere Oslo. C. V øsker å gjeomføre tlsvarede aalyse som pukt B for prsee på dameklpp. Problemet er altså om data tyder på at prsvået på dameklpp er høyere Oslo e de fre adre byee. V beytter samme modell som for herreprsee de eeste forskjelle er at Y å står for prse for dameklpp frsørsalog utvalget. Fra utskrfte tl e regresjoskjørg Excel heter v mste kvadraters estmater på regresjosparametree og deres stadardfel som referert tabell 4. Tabell 4 Regresjosestmater for prser på dameklpp fra Oslo og fre adre byer Regresjosparametre Estmat Stadardfel α 456,775,7776 β 9,55 6,3354 () Bereg verde av testobservatore du vlle bruke for å teste H : β mot H : β >. Bereg p-verde tlærmet for teste ved å beytte resultatet at ˆ β β SE( ˆ β ) tlærmet ~ N(, ) uasett hva de sae verde av β er. (Dette gjelder <<Svar: () år atall observasjoer er så stor som dette tlfellet). Kommeter p-verde lys av problemstllge. () Hva vlle p-verde bltt dersom problemet hadde vært å teste H : β = mot H : β? ˆ β 9.55 T = T ( ˆ obs = = SE β ) Hvs β = er følge det geerelle resultatet, P T G ( ) tlærmet T ~ N (, ), og p-verde blr p-verd = β = (.36).36 =.66 =.3594 (dvs ca 36%), som dkerer lte evdes for at prsvået for dameklpp er høyere Oslo e adre byer.

9 9 () V bruker samme testobservator med observert verd T obs =.36.. P-verde for det tosdge problemet blr da ( ) P T T = P ( T.36) (.36) =.7 (eller 7%). β= obs β=