UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

Transkript

1 Eksame : ECON0 tatstkk Exam: ECON0 tatstcs UNIVERITETET I OLO ØKONOMIK INTITUTT Eksamesdag: 050 esur blr aosert: 0060 ate for exam: 050 Grades wll be gve: 0060 Td for eksame: kl 0 70 Tme for exam: 0 70 Oppgavesettet er på sder The problem set covers pages Eglsh verso o page 7 Tllatte hjelpemddel: Alle trkte og skreve hjelpemddel samt lommekalkulator Resources allowed: All prted ad wrtte resources, as well as calculator Eksame blr vurdert etter ECT-skalae A-F, der A er beste karakter og E er dårlgste ståkarakter F er kke bestått The grades gve: A-F, wth A as the best ad E as the weakest passg grade F s fal

2 Bokmål Oppgave Et større amerkask fagbok-forlag som blat aet publserer lærebøker statstkk, deler se publserte lærebøker statstkk (dsjukte) suksess-kategorer ettersom hvorda bøkee lkkes markedet uksess-kategoree er: (meget suksessfull), (suksessfull), (mddels suksessfull) og (mslkket) Basert på legre tds markedserfarg fra tdlgere publserte lærebøker statstkk opererer forlaget med følgede saslgheter (se tabell ) for forskjellge suksess-kategorer for et vlkårlg tt bokmauskrpt som kommer tl forlaget for publkasjo: Tabell Kategor P ( j ) Før publserg av et tt mauskrpt lar alltd forlaget mauskrptet gjeomgå e fagfellevurderg Resultatet av dee klassfseres som ete god (G) eller svak (dvs kke-god, eller med smbol, G ) Basert på erfarg fra publserte lærebøker aslår forlaget følgede saslgheter (se tabell ) for G de forskjellge suksess-kategoree: Tabell Kategor P( G j ) A Bestem P( ) og P( ) Forklar ved Ve-dagram, eller på ae måte, at G G ( G ) F P( G ) B Ata at et tt bok-mauskrpt som kommer tl forlaget faktsk får god fagfellevurderg (G) Hva blr da saslghetee for at boka faller de forskjellge suksess-kategoree markedet? (Ht: F saslghetee P( j G) for j,,, )

3 Oppgave Regjerge har tlselatede hatt e tedes tl å aslå løsvekste Norge lavere e de faktsk realserte løsvekste Afteposte hadde et oppslag om dette fjor, 0 ma 0, der det blat aet sto, tat Afteposte: Regjerge og Fasdepartemetet har lag prakss å spå for lav løsvekst Fasmster gbjør Johse har se revderte asjoalbudsjetter udervurdert løsvekste hvert år sde 006 Artkkele uderbgger påstade med data gtt tabell, der varabele x beteger regjerges spådom et vlkårlg år, de realserte (gjeomsttlge) løsvekste samme år og d dfferase x Tek deg at du befer deg ma 0 og at de faktske løsvekste for 0 eå kke er kjet Tabell Løsvekst % Observasjo År lk spådde regjerge x lk gkk det fferase d x For å lette regge seere oppgave oppgs oe deskrptve størrelser tabell Klde Revdert asjoalbudsjett og rapporter fra et Tekske bereggsutvalg for tektsoppgjøree 0 og 00

4 Tabell Noe deskrptve størrelser for perode (atall observasjospar) x x d d 0708 s ( x x ) x s ( ) 0890 s ( d d ) d 0066 s ( x x )( ) x 0606 A Bereg de emprske korrelasjoskoeffsete, r, mellom x og basert på data tabell Gjør kort rede for hva r uttrkker B Ata å at x, og d er observasjoer av stokastske varable, X, Y og Y X, der paree ( X, Y ),,,,, atas å være uavhegge av hveradre og detsk fordelte Beteg forvetgee med X, Y og heholdsvs og varasee med X, Y og heholdsvs I tllegg atar v at,,, er uavhegge og detsk ormalfordelte, ~ N(, ) for,,, Forklar hvorda sammehege d x tabell følger av regeregler for summer brukt på tall tabell Forklar hvorfor Y X es du at det vlle være rmelg å forutsette e sammeheg Y X mellom varasee, eller ses du kke det? Begru svaret dtt ette ebærer at X -er og Y -er fra forskjellge par er uavhegge være avhegge X og Y fra samme par ka mdlertd

5 C ett opp e forvetgsrett estmator for og begru forvetgsretthete ett opp e test for hpotese H : 0 0 mot H : 0 med sgfkasvå 5% Gjeomfør teste ut fra data tabell og og formuler e koklusjo Kommeter resultatet V øsker å uttte dee tedese tl å korrgere regjerges spådom (75) for 0 E ekel måte å gjøre dette er å postulere e regresjosmodell for Y med x som (kkestokastsk) forklargsvarable V atar altså () Y x e for,,, der restleddee e, e,, e atas uavhegge og detsk ormalfordelte med forvetg 0 og varas La Y betege realsert løsvekst et vlkårlg år der regjerge spår e løsvekst på x% Bereg et estmat for regresjosfuksjoe, E( Y) ( x) x, basert på mste kvadraters estmatorer for og Bruk regresjosaalse pukt tl å foreslå et korrgert estmat på forvetet løsvekst 0, basert på regjerges spådom 75 E Bereg et 95% kofdestervall for forvetet løsvekst 0 basert på regresjosmodelle og dtt korrgerte estmat pukt Oppgave E ae måte å se på regjerges tedes tl å udervurdere løsvekste, er å betrakte hvert år som et bomsk forsøk der v deferer suksessbegvehete () som begvehete at regjerges spådom lgger uder de realserte løsvekste Ata at saslghete for at regjerges spådom lgger uder de realserte, er kostat lk p, og at forskjellge år er uavhegg av hveradre La X være atall gager treffer løpet av e perode på år V atar således at X er bomsk fordelt, X ~ b(, p ) I dee modelle ka tedese tl å udervurdere løsvekste uttrkkes ved hpotese p 05, mes fravær av e slk tedes uttrkkes ved p 05 om kurostet ka eves at et tekske bereggsutvalget for tektsoppgjøree seere på året fastsatte gjeomsttlg løsvekst 0 tl % 5

6 I dee oppgave skal v ata 0 år (dvs ku se på perode 00-0) (ette for å kue uttte tabellee Løvås) A V øsker å teste H : p 05 mot 0 H : 05 p basert på X Følgede test blr foreslått: () Forkast H 0 hvs X 7 Bereg sgfkasvået for teste () tlærmet basert på ormaltlærmelse tl bomske fordelger med heltallskorreksjo Bereg sgfkasvået for teste () eksakt ved bruk av tabeller over de bomske fordelge Gjeomfør teste basert på perode 00-0 tabell ( oppgave ) og formuler e koklusjo B Bereg både saslghete for fel av tpe I og saslghete for fel av tpe II hvs de sae verde av p er 0 Gjør det samme hvs de sae p = 05 og hvs p = 07 u ka selv velge om du vl bruke eksakt beregg (tabell Løvås) eller ormaltlærmelse 6

7 ENGLIH Problem A large Amerca publshg compa specalzg, amog other thgs, publshg text books statstcs, dvdes ts publshed text books to (dsjot) success categores accordg to ther performace the market The success categores are: (ver successful), (successful), (medum successful) ad (usuccessful) Based o experece from prevous market tme for publshed text books statstcs, the Publsher operates wth the followg probabltes (see table ) for the dfferet success categores whe faced wth a arbtrar ew mauscrpt that s submtted to the Publsher for publcato Table Categor P ( j ) Before publshg a ew scrpt the Publsher lets the mauscrpt alwas udergo a peer revew The result of ths s classfed as ether "good" (G) or "weak" (e, "ot good", wth smbol G ) Based o experece from prevous publshed textbooks the Publsher has establshed the followg probabltes (see table ) for G the dfferet success categores: Table Categor P( G j ) A Fd P( ) ad P( ) Expla b a Ve-dagram, or some other wa, that G G ( G ) Fd P( G ) B uppose a ew book mauscrpt comg to the Publsher actuall gets good peer revew (G) What are the probabltes that the book fall to the dfferet success categores the market? (Ht: fd the probabltes P( j G) for j,,, ) 7

8 Problem The Govermet has apparetl had a tedec to estmate wage growth Norwa lower tha the actual realzed wage growth (kow later the ear) Afteposte was posted about ths last ear, 0 Ma 0, whch t, ter ala, stood, Quote Afteposte: The Govermet ad the Mstr of Face shows a extesve practce predctg too low wages Mster of face gbjør Johse has the revsed atoal budgets uder-estmated wage growth each ear sce 006 The artcle substatates the asserto wth data gve table, where the varable x deotes the Govermet s predcto a arbtrar ear,, the realzed (average) wage growth that ear, ad d the dfferece x uppose ou fd ourself Ma 0 ad that the actual wage growth for 0 s ot et kow Table Wage Growth % Observato Year Predcted b the Govermet x Realzed Wage Growth fferece d x I order to facltate later calculatos, some descrptve quattes are gve table ource The Revsed Natoal Budget ad reports from et Tekske bereggsutvalg for tektsoppgjøree 0 og 00 8

9 Table ome descrptve quattes for the perod (umber of observato pars) x x d d 0708 s ( x x ) x s ( ) 0890 s ( d d ) d 0066 s ( x x )( ) x 0606 A Calculate the emprcal correlato coeffcet, r, betwee x ad, based o data table Expla brefl what r meas B uppose ow that x, og d are observatos of the radom varables, X, Y ad Y X, where the pars ( X, Y ),,,, are assumed to be depedet 5 ad detcall dstrbuted eote the expectatos b X, Y, ad respectvel, ad the varaces b,, ad respectvel I addto, we assume X Y that,,, are depedet ad detcall ormall dstrbuted, ~ N(, ) for,,, Expla how the relatoshp d x table follows from the rules for sums used o the umbers table Expla wh Y X o ou thk that t would be reasoable to assume a relatoshp Y X betwee the varaces, or do ou ot thk so? Gve a reaso for our aswer 5 Ths meas that X s ad Y s from dfferet pars are depedet depedet 9 X s ad Y s from the same par ma be

10 C et up a ubased estmator for ad gve reaso(s) for the ubasedess et up a test of the hpothess H : 0 0 agast H : 0 wth a level of sgfcace 5% Carr out the test based o the data table ad ad formulate a cocluso Commet o the result We wat to take advatage of ths tedec to correct the Govermet's predcto (75) for 0 A smple wa to do ths s to postulate a regresso model for Y wth x as fxed (o-stochastc) explaator varable We, hece, assume that () Y x e for,,, where the error terms, e, e,, e, are assumed to be depedet ad detcall ormall dstrbuted wth expectato 0 ad varace Let Y deote the realzed growth rate a ear whch the Govermet predcts the growth rate for wages to be x% Calculate a estmate for the regresso fucto, E( Y) ( x) x, based o the least squares estmators for og Use the regresso aalss secto to propose a corrected estmate of expected growth rate wages 0, based o the Govermet's predcto, 75 E Compute a 95% cofdece terval for the expected growth rate 0 based o the regresso model ad our corrected estmate paragraph 6 Problem Aother wa to look at the Govermet's tedec to uderestmate the wage growth s to look at ever ear as a bomal expermet where we defe the success evet () as the evet that the Govermet's predcto s less tha the realzed wage growth Assume that the probablt that the Govermet's predcto s less tha the realzed oe s a costat equal to p, ad the evet dfferet ears are depedet of each other 6 As a curost ca be metoed that et tekske bereggsutvalget for tektsoppgjøree later the ear establshed the average growth rate of wages 0 to % 0

11 Let X be the umber of tmes that occurs durg a perod of ears We thus assume that X s bomall dstrbuted, X ~ b(, p ) I ths model, the tedec to uderestmate the wage growth ma be expressed b the hpothess, p 05, whle the absece of such a tedec s expressed b p 05 I ths problem we wll assume 0 ears (e, just look at the 00-0 perod) (Ths s order to be able to use the tables Løvås) A We wat to test H : p 05 agast 0 H : 05 p based o X The followg test s proposed: () Reject H 0 f X 7 Calculate the sgfcace level of the test () approxmatel based o the ormal approxmato wth teger correcto (heltallskorreksjo) to bomal dstrbutos Calculate the sgfcace level of the test () exactl usg the tables of the bomal dstrbuto Carr out the test based o the 00-0 perod table ( problem ) ad formulate a cocluso B Calculate both the probablt of a error of tpe I ad the probablt of a error of tpe II f the true value of p s 0 o the same f the true p = 05 ad f p = 07 You ca choose ourself whether to use the exact calculato (table Løvås) or the ormal approxmato