Oversikt over tester i Econ 2130

Transkript

1 1 HG Revdert aprl 217 Overskt over tester Eco 213 La være e ukjet parameter (populasjos-størrelse) e statstsk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av populasjoe er ukjet. Når v setter opp e statstsk modell (som represeterer populasjoe v trekker data fra), atar v utgagspuktet at modelle er sa for e vss (ukjet) verd av parametere og usa for alle adre verder. Aførselstegee rudt sa ovefor skyldes at begrepet sa parameterverd ku gr god meg dersom forutsetgee som er foretatt modelle er realstske forutsetger om populasjoe. I dette kurset har de hypotesee v tester om (de sae ukjete verde av) tre alteratve former beskrevet tabelle uder. Merk at står for e kjet (!) hypotetsk verd som er bestemt av de uderlggede problemstllge: De sae verde av ka godt være lk, me behøver slett kke være det! Problemet er ettopp at v kke vet hvor de sae verde av befer seg. Alteratvt problem H H Type Esdg problem Esdg problem Tosdg problem La ˆ ˆ være e passede estmator for, slk at W er tlærmet (evetuelt eksakt) N(,1) -fordelt ( oe tlfeller t-fordelt), uasett hva de ukjete verde av θ er, og der er e eller ae estmert versjo av stadardfele tl ˆ. V bruker W tl å lage et 1 kofdestervall for θ. Vår testobservator, Z ˆ får v da ved å bytte ut med W. Z ka brukes som testobservator alle de tre alteratve problemee.

2 2 Merk (NB!) forskjelle mellom Z og W: W er e kke-observerbar stokastsk varabel med samme (tlærmet) kjete fordelg uasett hva de sae verde av er. Z, dermot, er e observerbar (sde er e kjet verd bestemt av problemet) stokastsk varabel som er (tlærmet) N(, 1) -fordelt (eller t-fordelt) bare hvs (for så fall, og bare da, er Z W ). Hvs de sae verde er forskjellg fra, har Z e ae sasylghetsfordelg. Sde ˆ er e estmator for de ukjete (sae) verde av, har v ˆ, dvs. ˆ faller ærhete av θ, hvorav Z ˆ faller ærhete av som er > hvs og < hvs. Derfor bør v forkaste H problem-alteratv 1 hvs Z er tlstrekkelg stor postv ( Z c1 ). I alteratv 2 bør v forkaste H hvs Z er tlstrekkelg stor egatv ( Z c2 ), og alteratv 3 bør v forkaste H hvs Z ete er tlstrekkelg stor egatv eller tlstrekkelg stor postv ( Z c3 eller Z c4 ). c1, c2, c3, c 4 er passede krtske verder. Som det beste kompromss mellom to motstrdede krav tl kotroll av sasylghete for fel av type I og fel av type II, vser det seg at de krtske verdee c1, c2, c3, c 4 alle de tre alteratvee ekelt ka bestemmes som løsge av lgge P ( ), der er det valgte sgfkasvået.. Merk at sasylghete lgge ku bereges det speselle tlfellet at. Da er Z (tlærmet) N(,1) -fordelt. For eksempel alteratv 3 får v P ( ) P ( Z c ) P ( Z c ). Velger v 2 for begge sasylghetee (som ka vses er det beste valget) får v 3 4 c3 z 2 og c4 z 2..

3 3 Tabell 1 Strukture av Z-tester (Jfr. stuasjo 1 og 3 tabell 2 og alle tre stuasjoer tabell 3) Alteratv H H 1 Testobservator 1 Z 2 3 -vå test: hvs P verd z er observert verd av Z) ˆ Z z P ( ) Z z o Z ˆ Z z P ( Z z ) o Z ˆ Z z 2 eller Z z 2 2 P ( Z z ) o Mer kokret skrver v ut edefor hvorda Z-testee ser ut for alteratv 1 forskjellge modell-stuasjoer tabell 2 og 3. Alle testee er såkalte Z-tester. Eeste utak er stuasjo 2 tabell 2 (t-test) der eeste forskjell er at N(,1) -fordelge er byttet ut med t 1 -fordelge. ( o Tester om forskjellge varater av ud-modelle I alle ud modellee går forutsetge: (*) X1, X 2,, X er uavh. og detsk fordelte med EX ( ) og var( X ) 2

4 4 Tabell 2 Tester for H: mot H1: (som er alteratv 1 tabell 1) år ud-forutsetge (*) gjelder pluss forskjellge atakelser om fordelge tl hver ekelt X (Jfr. regel 6.18 og 6.19 Løvås.) Tlsvarede for alteratv 2 og 3 tabell 1 - der samme testobservator brukes me med forkastgskrterer som beskrevet tabell 1. ˆ Testobservator Forkastgkrterum Sgfkas- ( zo, t P verd Stuasjo Forutsetger (modell) W ~ N(, 1) ( ˆ ) o er Z (alteratv 1 vå uasett θ observert tabell 1) (grulag for KI) 1 (*) pluss atakelse: X ~ N(, ), 1,2,, 2 (*) pluss atakelse: X ~ N(, ), 1,2,, 3 Bare (*) der X er vlkårlg fordelt 4 Bare (*) der X er vlkårlg fordelt verd av ZT), Vlkårlg Kjet X X Z z ~ N(, 1) Z Eksakt P ( ) Z z o Vlkårlg Ukjet X X T t Eksakt ~ t 1, P 1 T ( ) T t o S S stor, Ukjet X tlærmet X Z z 3 ~ N(, 1) Z Tlærmet P ( ) Z z o S S (tl ød 2) lte Ukjet Ikke pesum (kke-parametrske metoder f.eks. Løvås avs. 8.5) Merkad 1. I prakss er atakelg stuasjo 3 de vktgste/valgste. Løvås er dessverre ltt kapp omtale av dee. Ha ever de ku avsttet etter regel Merkad 2. Styrkefuksjoe er hos Løvås bare agtt stuasjo 1. De ka aturlgvs også bestemmes de adre stuasjoee, me er ltt mer komplserte og kke pesum.

5 5 Merkad 3. Når det gjelder de to regresjosparametree, og, regresjosmodelle, E( Y ) x, er møsteret for testg det samme som ovefor. Hvs står for e av dsse to parametree og ˆ er (mste kvadraters) estmator, blr W ( ˆ ) / ( ˆ ) t-fordelt med 2 frhetsgrader (merk 2-tallet!) for små ( 3), og tlærmet N(, 1) fordelt hvs er stor ( 3 ). Det sste gjelder selv om Y -ee kke er ormalfordelte. Av dette ka v lage kofdestervall for, ˆ t ˆ 2, 2 ( ), (kke samme som regresjoslja), og lage testobservator Z ( ˆ ˆ ) / ( ), som brukes på samme måte som ovefor. For eksempel, hvs H :, H1 :, forkastes H på vå (kke samme som kostatleddet regresjoslja) hvs Z t2, (eller Z z hvs 3 som gr tlærmet vå ). Detaljer om beregg av ˆ og ( ˆ ) ka fes regresjo II otatet på ettet. Regeeksempel 1 Er et gtt felt drvverdg for utvg av kadmum? V har data fra = 3 steprøver: La X være % kadmum prøve, 1,2,,3. Ata det er evdes data for at X kke er ormalfordelt. Sde er så stor som 3, treger v kke å vte oe om fordelge tl X for å kue gjeomføre e test. 2 MODELL: X1, X 2,, X er ud med E( X ) (ukjet), var( X ) (ukjet), der er gjeomsttlg % kadmum feltet. Feltet reges drvverdg hvs 8. V øsker å teste H : 8 ( ) mot H1 : 8 ( ), der altså hypotese at feltet er drvverdg ( 8 ) er lagt alteratvet ( H 1 ). X tlærmet Testobservator Z ~ N(,1) hvs 8. (der v altså har erstattet de ukjete σ med S og utytter det matematske resultatet fra S X vderegåede teor at de stokastske varabele W er tlærmet stadard ormalfordelt for 3 uasett hva de ukjete verde av µ S er. Dee egeskape tl W brukte v tl å lage et 1 kofdestervall for µ.).

6 6 tabell E4 Løvås Velg vå.1 z (krtsk verd). (Tlærmet) 1%-vå test blr dermed: " hvs Z z 2.326". Data gr:.1.1 X obs , X obs 9.6, Sobs 3.1 Zobs S obs Koklusjo: (dvs. v har sterk evdes (vå 1%) for at feltet er drvverdg). Noe tester for dskrete modeller (bomsk, hypergeometrsk og posso) basert på tlærmg tl ormalfordelge. Se tabell 3 uder:

7 7 Tabell 3 Z-tester for alteratv 1 ( H : mot H1 : ) tabell 1, basert på regel 5.2 (ormaltlærmg for bomsk, hypergeometrsk og posso fordelg). Sgfkasvå tlærmet. (Tlsvarede for problem-alteratv 2 og 3 tabell 1 med samme testobservator, Z, og krtske verder som beskrevet tabell 1). Modell Estmator ˆ ˆ tlærmet W ~ N(, 1) uasett θ (følger av regel 5.2) Testobservator ( ˆ ) Z Betgelse for ormaltlærmelse Forkastgkrterum P verd ( z o er observert verd av Z ) X ~ b(, p ) X var( X ) 5 ( p(1 p) 5 p p(1 p) tlærmet ~ N(,1) Z p p (1 p ) Z P ( Z z ) z p p o X ~ hypergeom. (, M, N) ( p M N) X var( X ) 5 p p(1 p) N N 1 tlærmet ~ N(,1) Z p p(1 p) N N 1 Z P ( Z z ) z p p o X ~ pos( t) 1 ˆ X t var( X ) 5 ( t 5) ˆ tlærmet t ~ N(, 1) ˆ Z Z z P t ( ) p p Z zo Merkad 4 Merk at v (som Løvås) har brukt p og stedet for ormalfordelge lgge P ( ) og ˆ evere på Z. Dette er for å forbedre tlærmelse tl tl bestemmelse av de krtske verde. (Derfor treger v kke å estmere 1 Husk at otasjoe X ~ pos( m ) er valgt slk at det som står på m s plass alltd er lk EX ( ) (som også er lk var( X ) posso-fordelge). Hvs det for eksempel e oppgave fremgår at X ~ pos(3,7), følger automatsk at E( X ) var( X ) 3,7. Av modelle tabelle følger således at E( X ) var( X ) t.

8 8 her.) E alteratv test (kke evt pesum) er å bruke og ˆ stedefor p og. De test-varate har tlærmet de samme egeskapee som de foreslåtte og dukker av og tl opp ltterature. Regeeksempel 2 Tosdg test e bomsk modell Ata v er teressert å sjekke om e gtt terg er rettferdg med hesy på å produsere seksere. V kaster terge 1 gager og regstrerer atall seksere v får. La X være atall seksere v får. E åpebart (hvorfor?) rmelg modell er: X ~ b(, p ) der p er sasylghete for å få sekser et ekelt kast, og 1. Hvs terge er rettferdg m.h.p. seksere, er p 16. Dette 2 vl utgjøre vår ullhypotese, H. Hvs p 16aser v terge kke rettferdg m.h.p. seksere. V skal altså teste H : p p mot H : p p 1 der p 16. V er å e stuasjo beskrevet tabell 3 testoverskte kombert med alteratv 3 tabell 1. I det geerelle opplegget er ˆ X ˆ p(1 p) p, ˆ p 1 6, p og ( ) hvs 3 p p Betgelse for å kue beytte ormaltlærmelse, var( X ) 5 er klart oppfylt sde var( X ) 1 p(1 p) er godt over 5 for p ærhete av 1/6. Testobservatore er ˆ X p X p X p Z ( ˆ ) p(1 p) p(1 p) p (1 p) tlærmet som er (tlærmet) stadard ormalfordelt, Z ~ N (, 1), hvs p p. Velger v sgfkasvå 5%, får v de to krtske verdee, z z, fra N(,1) -fordelge. Testkrteret for vår 5%-vå test blr dermed (jamfør tabell 1 testoverskte) hvs Z 1.96 eller Z Ved tosdge problemer plasseres alltd lkhetsalteratvet ( ) H. V har altså ved tosdge problemer kke det samme dlemmaet som oppstår esdge problemer om hvlke av de to hypotesee som skal utgjøre H. 3 Jamfør merkad 4 etter tabell 3.

9 9 eller X p X p hvs 1.96 eller 1.96 p (1 p ) p (1 p ) V kue ha stoppet her. Imdlertd, for å få e mer praktsk avedelg forkastgsregel dette tlfellet, ka det være e de å overføre krteret tl et krterum for X drekte som følger: Krteret er klart ekvvalet med hvs X p 1.96 p (1 p ) eller X p 1.96 p (1 p) som ved settg av 1 og p 1 6 gr hvs X 9.36 eller X eller, sde X bare ka ta hele tall som verder, (*) hvs X 9 eller X 24 V har å overført teste på e ekel form. V har fått e regel som ser at X-verder blat tallee1,11,12,,23 er foreelg med hypotese at terge er rettferdg m.h.p. seksere, mes X-verder utefor dsse gr sterk evdes (med vå tlærmet 5%) for at terge kke er rettferdg. Det omelle vået v har brukt,.5, er pga dverse tlærmelser og tlpasger, bare tlærmet. Sde Excel ka berege bomske sasylgheter, ka v å bestemme sgfkasvået for teste (*) mer eksakt. La betege det sae vået for teste, som er sasylghete s Pp 1/6(forkaste H). Ved hjelp av BINOM.DIST-fuksjoe Excel fer v (sjekk selv): P (forkaste H ) P ( X 9) P ( X 24) P ( X 9) 1 P ( X 23) s p1/6 p1/6 p1/6 p1/6 p1/ V ser at det omelle vået (5%) gr e rmelg god tlærmg tl det sae vået (5.9%) dette tlfellet. s