i B maksimal b Fundamentalteoremet for lineærprogrammering Den leksikografiske metode Blands pivoteringregel MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 4 2
|
|
|
- Hans-Petter Gustavsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Lekso 4
2 ( k ) a ( k ) I ( k ) U ( k) B maksmal ( k ) b Sste spesaltlfelle - valg av utgåede Degeerert basstabell, degeererert pvoterg Degeerert pvoterg ka g syklsk pvoterg Eeste tlfelle der Smpleksmetode kke termerer Det fs pvotergsregler for å ugå sykler De lekskografske metode Blads pvotergregel ( k ) b = 0? Fudametalteoremet for leærprogrammerg MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 2
3 Det å løse helpeproblemet (om ødvedg) og derved fe brukbar løsg for det opprelge problem, evetuelt at det er ubrukbart, kalles Smpleksmetode Fase I Det å fortsette Smpleksmetode med de brukbare løsg fra Fase I mot optmal løsg, eller etablerg av at problemet er ubegreset, kalles Smpleksmetode Fase II MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 3
4 ( k ) x = x I k Velg gåede varabel ( ) med postv koeffset obektfukso (f.eks. maksverd) { ( k ) ( k ) } I( k) Ν : c > 0 ( k ) x = x U ( k ) Velg utgåede varabel som skrer brukbarhet år gåede varabel økes mest mulg ( k ) a ( k ) I ( k ) U ( k) B maksmal ( k ) b Edrge gr y basstabell, prosesse kalles pvoterg Mulghet for valg av ugåede og utgåede blat flere kaddater (me slk at kravee oppfylles) Valgkrterer kalles pvotergsregler Ulke valgkrterer gr varater av Smpleksmetode MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 4
5 !! Ved valg av utgåede varabel skal brukbarhet skres år gåede varabel økes mest mulg a U k B ( k ) ( k ) I ( k ) ( ) maksmal ( k ) b ( k ) a I ( k ) < 0? Hva om alle x = b a x 0 B : a > 0 ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) I ( k ) I ( k ) I ( k ) Hvss alle ( k ) I ( k ) 0 a er det ge begresger på x I ( k ) Problemet er da ubegreset! Hva om e ( k ) b = 0? MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 5
6 !! E basstabell (k) ζ = ζ + Ν ( k ) c (k) x x = b a x, Β (k) (k) (k) ( k ) Ν ses å være degeerert dersom Β = (k) (k) : b 0 MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 6
7 !! Ka skape problemer pvoterg, me kke ødvedgvs Eksempel (fra boka, kompakt basstabell) ζ = 5 + x x 3 x = 5 + 2x 3x 2 3 x = 7 4x x 4 = x 5 Ubegreset problem, treger kke berege for valg av utgåede! Degeerert basstabell MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 7
8 " E pvoterg ses å være degeerert dersom e av brøkee beregg av utgåede varabel er + ( k ) a ( k ) I ( k ) U ( k) B maksmal ( k ) b x = b a x 0 B : a > 0 ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) I ( k ) I ( k ) I ( k ) Degeerert pvoterg ka skape problemer! MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 8
9 ! #$%$& x = x w 2 2 w = x x + 5w (0) ζ = 3 x + 2x2 w ( 0,0,,0,0, 3) (0) (0) a (0) I (0) U (0) B maksmal ( 0) b 0 = 0 0 = + Degeerert basstabell Utgåede er w 2 Degeerert pvoterg V ka kke øke gåede Pvoterer lkevel! MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 9
10 ! #$%& x = x w 2 2 x = x w + w () ζ = 3+ x 2w 2 + w ( 0,0,,0,0, 3) () Igåede er x Utgåede er Samme løsg! x 3 MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 0
11 ! #$%& (2) ζ = 6 3x3 2w 2 w x = 2 2x w 3 x = 2 2x w ( ) (2) 2, 2,0,0,0,6 Optmal løsg! Degeerert pvoterg brakte oss vdere! Det er valg, me kke alltd tlfelle... MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4
12 ! ' Degeererte pvoterger ka brge oss tlbake tl e tdlgere basstabell Dette kalles syklsk pvoterg Smpleksmetode vl da gå evg løkke Uder vsse pvotergsregler ka Smpleksmetode g syklsk pvoterg Eksempel: gåede: største (postve) koeffset utgåede: mste deks Syklsk pvoterg for et problem med optmal løsg ka bare ske med problemer med mst 6 varable og 3 førger Se eksempel boka MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 2
13 ()$ ( Hvs Smpleksmetode kke termerer, må de ha syklsk pvoterg Bevs: Tlstade Smpleksmetode er fullstedg bestemt av hvlke m varable som er basske (og hvlke som er kke-basske) Det er et edelg atall mulge tlstader + m + m = m MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 3
14 Vl kke øke verd på obektv (ford v kke ka øke verd på gåede) Hvs kke verd øker e pvoterg, må de være degeerert Hvs v har syklsk pvoterg, må alle pvoterger som går sykele være degeererte Hvorfor? x = b a x 0 B : a > 0 ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) I ( k ) I ( k ) I ( k ) MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 4
15 Valg Syklsk pvoterg er uvalg Mage verktøy tar kke hesy tl syklg Det fs pvotergsregler som garatert ugår syklsk pvoterg MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 5
16 ! *" %$& Spesfkk pvotergsregel Garaterer at syklsk pvoterg kke sker Utgagspukt: Syklsk pvoterg sker ford Strateg: Sørge for at Hvorda? ( k ) b 0 b = ( k ) MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 6 0
17 ! *" %& (k) ζ = ζ + Ν ( k ) c (k) x x = b a x, Β (k) (k) (k) ( k ) Ν Legge tl små, tlfeldge, uavhegge perturbasoer høyresdee basstabelle Ka gøres, me v velger ae løsg: Legger tl fkserte, små tall hver førg, med ulk størrelsesorde MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 7
18 ! *" %& (k) ζ = ζ + Ν ( k ) (k) (k) (k) (k) = + ε Β ( k ) Ν x b a x, (k) (k) (k) = m + ε m m m m Β ( k ) Ν x b a x, 0 < ε << ε << ε << alle kos ta ter problemet m m c x V forutsetter: Ige leærkombaso av perturbasoee ka produsere tall samme størrelsesorde som data problemet Perturbaso på ett vå ka kke eskalere tl tall på høyere vå MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 8
19 ! *" %+& Behadler perturbasoee som symbolske parametre (kostater) Tar de med pvoterg Vl aldr få valg pvoterge (vel...) Vl da aldr få degeerert basstabell Se eksempel læreboka ζ = ζ + (0) (0) (0) Ν x = b + ε a x, Β (0) (0) (0) (0) Ν x = b + ε a x, Β (0) (0) (0) m m m m m (0) Ν 0 < ε << ε << ε << alle data problemet m m c x MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 9
20 " ζ = ζ + (0) (0) (0) Ν x = b + ε a x, Β (0) (0) (0) (0) Ν x = b + ε a x, Β (0) (0) (0) m m m m m (0) Ν 0 < ε << ε << ε << alle data problemet m m c x Når perturbasoer av dee type behadles som parametre og tas med pvoterge, ses pvoterge å følge de lekskografske metode Valg av gåede varabel blr kke edret Valg av utgåede vl alltd g etydg svar MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 20
21 () "' Smpleksmetode med de lekskografske metode gr aldr syklsk pvoterg Korollar: Smpleksmetode med de lekskografske metode termerer alltd MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 2
22 , - Ved flertydghet valg av gåede eller utgåede varabel, velg alltd de varabel som har mst deks MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 22
23 (), Smpleksmetode med Blads pvotergsregel termerer alltd MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 23
24 ()., Ad absurdum V atok at Smpleksmetode med Blads regel kue g syklsk pvoterg Med dee atakelse klarte v å produsere e selvmotsgelse Altså ka kke Smpleksmetode med Blads regel g syklsk pvoterg! MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 24
25 " Fase I vser ete at problemet er kosstet eller gr brukbar bassløsg Fase II vser ete at problemet er ubegreset eller fer optmal bassløsg Det fs pvotergsregler som garaterer termerg MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 25
26 ()+ For et vlkårlg LP gelder følgede: Hvs problemet kke har optmal løsg, er det ete kosstet eller ubegreset Hvs problemet har e brukbar løsg, så har det e brukbar bassløsg Hvs problemet har e optmal løsg, har det e optmal bassløsg MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 26
27 Bereggsmessg effektvtet av Smpleksmetode Dualtetsteor MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 27
28 #" Vet at (varater av) Smpleksmetode alltd termerer... me hvor fort? geomstt verste tlfelle Komplekstetsteor etablert på 970-tallet hvlke problemtyper lar seg løse effektvt? effektv løsbarhet - polyomelle algortmer verste fall se Garey & Johso 977, referase læreboka IN20 (INF 3200) - Algortmer og effektvtet Eksakte metoder Approksmasosmetoder Med garater (e.g. polyomelle approksmasosskema) Heurstske metoder (INF HEUR - Lokalsøk og Metaheurstkker kombatorsk optmerg) MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 28
29 Regetd for e type problemer beste algortme utvklg ft problemstørrelse Ekspoesell vekst er grusom Parallelltet og utvklg regekraft Effektv løsbarhet kyttes tl polyomelle algortmer Verste fall MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 29
30 ! "/ ! ! ! ! MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 30
31 #" Hvorda utvkler regetde seg med størrelse på problemet? polyomelt? ekspoeselt? Hvorda måler v størrelse av LP? Atall varable og atall førger Mmal bt-represetaso Hvorda måler v regetd? CPU-td på stadardsert dator Atall elemetære regeoperasoer Atall terasoer MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 3
32 #" 0!0! For pvotergsregler som kke garaterer kke-syklsk oppførsel: For pvotergsregler som garaterer kke-syklsk oppførsel: Maksmal verd: Har at: m m MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 32
33 #" 2 Klee & Mty, 972 varable og førger atall pvoterger: 2 MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 33
34 !' Komplekstetsklasser P NP NP-komplett NPC P NP P NP NP P Cook s formodg: \ SAT NPC TSP NPC Cook (97) Karp (972) LP P Kacha (979) MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 34
35 '! " max 0 = x =,, = s a x x x 0 =,, MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 35
36 '! 0 % 3& max 000x + 00x + x 2 3 s. a. x x 20x + x x + 20x + x =,,3 Førgee er esseselt øvre greser Hyperkube (Klee-Mty hyperkube) MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 36
37 '! max 0 = =,, = x 0 =,, x s a x x -dmesoal hyperkube har 2 hører Problemet er laget slk at Smpleksmetode med største koeffset regel for gåede vl besøke alle hører hyperkube før optmal løsg fes 2 - pvoterger (oppgave læreboka) MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 37
38 '! " max 0 0 x = 2 = = = s. a. 2 0 x + x 0 b + b =,, x 0 =,, = b << << b geeralserg av høyresdee (parametre) Lte perturbaso høyresdee kostat lagt tl obektvet b MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 38
39 '! 0 4 max 0 0 x = 2 = = = s. a. 2 0 x + x 0 b + b =,, x 0 =,, = b << << b b se eksempel (=3) læreboka hver pvoterg vl e varabel og slakkvarabel med samme deks bytte plass ku forteg kostatleddee skfter optmaltet ka ås med e pvoterg! MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 39
40 Fes pvotergsregel slk at Smpleksmetode har polyomell regetd verste fall? Åpet spørsmål! Skalauavhegge algortmer Smpleksmetode med største koeffset kke skalauavhegg det fs skalauavhegge pvotergsregler Det er fuet Klee-Mty type problemer for de fleste pvotergsregler Ige har fuet pvotergsregler som garaterer polyomell regetd Ige har bevst at polyomell varat av Smpleksmetode kke fes me LP er et polyomelt problem (Kachas ellpsodemetode) Smpleksmetode er altså kke de beste, ut fra verste fall betraktger I geomstt er Smpleksmetode meget effektv Tdskomplekstet, atall pvoterger (+m)/2 Læreboka kapttel 2 MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 40
41 V husker produksossefe og kotrollere og deres problemer Ehver LP har e tvllg - dets duale LP De duale tl de duale er de orgale E brukbar løsg på de duale gr e øvre grese for verde på de orgale De optmale løsg på e LP og dets duale er ært relatert MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 4
42 '! Produksossefe max m m m x 0, =,, c x + c x slk at a x + + a x b a x + + a x b Kotrollere m m m m m m y 0, =,, m b y + + b y slk at a y + + a y c a y + + a y c m Tvllgproblemer, duale problemer Nær sammeheg! MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 42
43 "-" / " Eksempel fra boka: max 4x + x + 3x slk at 2 3 x + 4x 2 3x x + x x, x, x Ehver brukbar løsg er e edre grese på optmal verd Hvor god? Hvs v klarer å fe øvre grese, har v et overestmat på hvor lagt ua optmum v er! øskelg med mmal øvre grese ζ = 4x + x + 3x w = x 4x w = 3 3x + x x (,0,0, 4 ) ( 0,0,3,9 ) MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 43
44 / # max ζ = 4x + x + 3x slk at Kombaso av førgee gr: 2 3 x + 4x + x 2 3 3x x + x x, x, x Ifører ye, kke-egatve varable (ehetsprser for råvarer), e for hver førg ( ) ( ) y x + 4x + x y 2 3 y 3x x + x 3y x, x, x y, y 0 2 ( ) ( ) ( ) y + 3y x + 4y y x + y + y x y + 3y For å få overestmat setter v: ( + 3y ) ( ) ( + y ) y 2 x 4x 4y y x MoD233 - Ger Hasle - Lekso x y x 3x 2 3 y + 3y 4 2 4y y 2 y + y 3 2
45 / # y + 3y 4 2 4y y 2 y + y 3 2 ( ) ( ) ( ) ζ = 4x + x + 3x y + 3y x + 4y y x + y + y x y + 3y ( y + 3y ) x + ( 4y y ) x + ( + ) 2 2 y + 3y 2 = ξ y y x Øsker å mmere overestmatet: m y + 3y 4 2 4y y 2 y + y 3 2 y, y 0 2 ξ = y + 3y 2 s.a. MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 45
46 / # max ζ = 4x + x + 3x slk at 2 3 x + 4x + x 2 3 3x x + x x, x, x m ξ = y + 3y s.a. y + 3y 4 2 4y y 2 y + y 3 2 y, y Prmale LP Duale LP MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 46
47 5 " Prmale LP = max ζ = c x slk at = a x b =,,m x 0 =,, Duale LP m = m m ξ = b y slk at = y a c =,, y 0 =,,m MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 47
48 (6)7 ' Det duale LP tl det duale er det prmale Prmale LP Duale LP = max ζ = c x slk at = a x b =,,m x 0 =,, m = m m ξ = b y slk at = y a c =,, y 0 =,,m MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 48
49 (6)7, Skrver det duale på stadardform: Prmale LP Duale LP = max ζ = c x slk at = a x b =,,m x 0 =,, m m ξ = b y slk at m = = y a c =,, y 0 =,,m m ( ) = m = ( ) max ξ = b y slk at a y c =,, y 0 =,,m ( ) = ( ) m ψ = c z slk at = a z b =,, m z 0 =,,m = max ψ = c z slk at = a z b =,,m z 0 =,,m MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 49
50 (6)$ Hvs ( x x ),, er brukbar for det prmale og ( y y ),, m er brukbar for det duale har v m ζ = c x ξ = = = b y MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 50
51 6)$)$ * * ζ = m * c x ξ = = = b y ζ ξ * ζ * ξ * ζ * ζ * ξ ξ Verder for brukbare prmalløsger Dualtetsgap Verder for brukbare dualløsger MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 5
52 6)$) E brukbar prmalløsg og e brukbar dualløsg med samme obektvverd må begge være optmale ζ ζ * ξ * ξ Verder for brukbare prmalløsger Dualtetsgap Verder for brukbare dualløsger Har at * * ζ ζ ξ ξ som gr * * ζ = ξ ζ = ζ ξ = ξ MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 52
53 (6)$, Prmale LP Duale LP max ζ = c x slk at = = a x b =,,m x 0 =,, m m ξ = b y slk at m = = y a c =,, y 0 =,,m ζ = c x y a x = y a x = m = y m m m = = = = = = = b = ξ y a x MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 53
54 (6) Hvs det prmale LP har optmal løsg ( * * x,, ) x har dets duale LP optmal løsg ( * * y,, ) ym og m * * * ζ = c x = ξ = = = b y * MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 54
55 - ζ Verder for brukbare prmalløsger * * ζ = ξ Itet dualtetsgap ξ Verder for brukbare dualløsger MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 55
56 -, Lekso 5! MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 56
57 + Fudametalteoremet for LP Smpleksmetode (vsse varater...) termerer Bereggsmessg effektvtet? verste fall geomstt Komplekstetsteor P, NP, P=NP? LP er polyomelt problem (Kacha 979)... me Smpleksmetode har ekspoesell tdskomplekstet verste fall patologsk eksempel (Klee-Mty) for gtt varat åpet spørsmål om det alltd fs patologske eksempler åpet spørsmål om det fs polyomell varat av Smpleksmetode geomstt er Smpleksmetode svært effektv MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 57
58 + Prmale LP = max ζ = c x slk at = a x b =,,m x 0 =,, Duale LP m m ξ = b y slk at m = = y a c =,, y 0 =,,m Dualtetsteor Dualtet er symmetrsk Duale (tl prmal på stadardform) ka tolkes som det å fe mmal øvre grese for prmale Svake dualtetssetg m ζ = c x ξ = = = b y MoD233 - Ger Hasle - Lekso 4 58
Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering
Lekson 3 Smpleksmetoden generell metode for å løse LP utgangspunkt: LP på standardform Intell basstabell Fase I for å skaffe ntell, brukbar løsnng løse helpeproblem hvs optmale løsnng gr brukbar løsnng
Innhold og forelesningsplan Eksempler på LP Begreper Løsning av enkelt eksempel Praktisk relevans Leksjon 2: Simpleksmetoden for løsning av LP
Lekso 2 Mål for kurset teoretisk forståelse, gruleggede optimerig løsigsmetoder LP og utvidelser algoritmisk forståelse avedelser LP og utvidelser modellerig og løsig v.h.a. verktøy Ihold og forelesigspla
Del A: Diskret optimering og heuristiske metoder Leksjon 8
Del A: Dskret optmerg og heurstske metoder Lekso 8 Sefsforsker Ger Hasle SINTEF Avedt matematkk, Oslo!"# Kategorserg av metaheurstkker Kostruktve heurstkker Mult-start baserte metaheurstkker Tlfeldg Restart
Mål. MoD233 - Geir Hasle - Repetisjon 2
Repetson Mål teoretsk forståelse, grunnleggende optmerng løsnngsmetoder LP og utvdelser algortmsk forståelse anvendelser LP og utvdelser modellerng og løsnng v.h.a. verktøy Innhold og forelesnngsplan Eksempler
Del A: Diskret optimering og heuristiske metoder Leksjon 2
Del A: Dskret optmerg og heurstske metoder Leksjo 2 Sjefsforsker Ger Hasle SINTEF Avedt matematkk, Oslo! Kursformasjo Motvasjo Operasjosaalyse Kustg tellges Optmergsproblemer (dskrete) Matematsk program
Forelesning 19 og 20 Regresjon og korrelasjons (II)
STAT111 Statstkk Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 19 og 0 Regresjo og korrelasjos (II) 1. Kofdestervall (CI) og predksjostervall (PI) I uka 14, brukte v leær regresjo for å fage leær sammehege mellom Y og
Løsningsforslag Eksamen i Statistikk Nov 2001 Oppgave 1 a) Det fins 8 mulige kombinasjoner. Disse finnes ved å utelate ett og ett tall.
Løsgsforslag Eksame Statstkk Nov 00 Oppgave a) Det fs 8 mulge kombasjoer. Dsse fes ved å utelate ett og ett tall. Atall utvalg av størrelse 7 blat m er ( m 7 ). b) Prs Atall Rekker 3 kr. ( 7 ) 3 kr....
Regler om normalfordelingen
HG mars 0 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette kurset.
Regler om normalfordelingen
1 HG mars 2009 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette
Oversikt over tester i Econ 2130
1 HG Revdert aprl 213 Overskt ver tester Ec 213 La θ være e ukjet parameter (ppulasjs-størrelse) e statstsk mdell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av θ ppulasje er ukjet. Når v setter pp
Regler om normalfordelingen
1 HG Revdert mars 013 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg
Oversikt over tester i Econ 2130
HG Revdert aprl 2 Overskt over tester Eco 23 La θ være e ukjet parameter (populasjos-størrelse e statstsk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av θ populasjoe er ukjet. Når v setter
som vi ønsker å si noe om basert på data Eksempel. Uid-modellen: X1, X ,,,
HG Eco30 07 9/3-07 Supplemet tl forelesg uke 0 (6 mars) (Det jeg kke rakk å ta på forelesg) Termolog (estmerg) Data (kokrete tall), x, x, er ervasjoer av stokastske varable, X, X, De statstske modelle
Om enkel lineær regresjon II
ECON 3 HG, aprl Notat tl kapttel 7 Løvås Om ekel leær regresjo II Merk: Det ka løe seg først å lese avstt 4 regresjo-i-otatet på ytt. Regresjosmodelle. La Y være e stokastsk varabel som v kaller resposvarabele
Om enkel lineær regresjon II
1 ECON 13 HG, revdert aprl 17 Notat tl kapttel 7 Løvås Om ekel leær regresjo II Merk: Det ka løe seg først å lese avstt 4 regresjo-i-otatet på ytt. Regresjosmodelle. La Y være e stokastsk varabel (som
Analyse av sammenhenger
Kapttel 7.-7.3: Aalyse av sammeheger Korrelasjo og regresjo E vktg avedelse av statstkk er å studere sammeheger mellom varabler: Avgjøre om det er sammeheger. Beskrve hvorda evetuelle sammeheger er. Eksempler:
MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 10 2
Leksjon 10 Anvendelser nettverksflyt Transportproblemet Htchcock-problemet Tlordnngsproblemet Korteste-ve problemet Nettverksflyt med øvre begrensnnger Maksmum-flyt problemet Teorem: Maksmum-flyt Mnmum-kutt
Det ble orientert i plenum under eksamensdagen om følgende endringer i forhold til oppgaven:
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN 4 MAI 007 MET00 STATISTIKK GRUNNKURS Det ble oretert pleum uder eksamesdage om følgede edrger forhold tl oppgave: Oppgave b går ut. Det vl da bl 9 oppgaver og alle oppgaver teller
TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2016
Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Løsgssksse Oppgave a) Lar X være kvadratprse. Har da at X N(µ, σ 2 ), med µ 30 og σ 2 2, 5 2. P (X < 30) P (X < µ) 0.5 ( X 30 P (X > 25)
Om enkel lineær regresjon II
ECON 3 HG, revdert aprl Notat tl kapttel 7 Løvås Om ekel leær regresjo II Merk: Det ka løe seg først å lese avstt 4 regresjo-i-otatet på ytt. Regresjosmodelle. La Y være e stokastsk varabel (som v kaller
1. Konfidens intervall for
Forelesg 0 + Yushu.@ub.o Kofdes tervall og Bootstrap. Kofdes tervall for ) Kofdes tervall [ ˆ, ˆ ] dekker de ukjete parametere med høy grad av skkerhet (kofdesvå): P( ˆ ˆ ), er f.eks 0.0 eller 0.05, eller
TMA4240 Statistikk Høst 2016
TMA440 Statstkk Høst 06 Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Abefalt øvg 0 Løsgssksse Oppgave a Estmatore for avstade a er gjeomsttet av uavhegge detsk fordelte målger, x; a,
TMA4245 Statistikk Eksamen 21. mai 2013
TMA445 Statstkk Eksame ma 03 Korrgert 0 ju 03 Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Løsgssksse Oppgave Et plott av sasylghetstetthee er gtt fgur Vdere har v og PX = Φ = 08849
Oversikt over tester i Econ 2130
1 HG Revdert aprl 217 Overskt over tester Eco 213 La være e ukjet parameter (populasjos-størrelse) e statstsk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av populasjoe er ukjet. Når v setter
Econ 2130 uke 15 (HG)
Eco 130 uke 15 (HG) Kofdestervall Løvås: 6.1., 6.3.1 3. (Avstt 6.3.4 6 leses på ege håd. Se også overskt over kofdestercvall ekstra otat på ettet.) 1 Defsjo av kofdestervall La θ være e ukjet parameter
Seminaroppgaver for uke 13
1 ECON 2130 2016 vår Semarpla fra og med uke 13 Semaroppgaver for uke 13 1) Fra eksame Eco 2130, 2004 høst: Oppgave 3: (Fel oppgave på ststuttets overskt over gamle eksamesoppgaver) La X og Y være to uavhegge
STK1110 høsten Lineær regresjon. Svarer til avsnittene i læreboka (med unntak av stoffet om logistisk regresjon)
TK høste 9 Eksempel.5 (CO og vekst av furutrær Leær regreso varer tl avsttee..4 læreboka (med utak av stoffet om logstsk regreso Ørulf Borga Matematsk sttutt Uverstetet Oslo V vl bestemme sammehege mellom
Seminaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3))
1 ECON 2130 2017 vår Semarpla fra og med uke 13 Semaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3)) (1) Fra eksame Eco 2130, 2004 høst: Oppgave 3: (Fel oppgave på ststuttets overskt over gamle eksamesoppgaver)
TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014
Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Løsgssksse Oppgave a) Y 5 PY > 53) PY 53) P ) 53 5 Φ5) 933 668 Vekte av e fylt flaske, X + Y, er e leærkombasjo av uavhegge ormalfordelte
Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler
Formler og regler statstkk følge lærebok Guar Løvås: tatstkk for uversteter og høgskoler Kap. Hva er fakta om utvalget etralmål Meda: mdterste verd etter sorterg Modus: hyppgst forekommede verd Gjeomstt:
Econ 2130 uke 19 (HG) Inferens i enkel regresjon og diskrete modeller
Eco 3 uke 9 (HG) Iferes ekel regresjo og dskrete modeller De ekle regresjosmodelle. Resultater fra 5m og 5m for me fra EM på skøyter Heerevee 4. ( er 5m-tde og y 5m-tde sekuder for løper.) Spredgdagram
Oppgave 1 Det er oppgitt i oppgaveteksten at estimatoren er forventningsrett, så vi vet allerede at E(ˆµ) = µ. Variansen til ˆµ er 2 2 ( )
Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Abefalt øvg Løsgssksse Oppgave Det er oppgtt oppgavetekste at estmatore er forvetgsrett, så v vet allerede at Eˆµ µ. Varase tl ˆµ er τ Varˆµ
Korteste-vei problemet Nettverksflyt med øvre begrensninger Maksimum-flyt problemet Teorem: Maksimum-flyt Minimum-kutt
Lekson 11 Korteste-ve problemet Nettverksflyt med øvre begrensnnger Maksmum-flyt problemet Teorem: Maksmum-flyt Mnmum-kutt MoD233 - Ger Hasle - Lekson 11 2 Heltallsprogrammerng Tdsplanleggng (skedulerng,
Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004
Postve rekker Forelest: 3. Sept, 004 V skal tde utover fokusere på å teste om e rekke kovergerer, og skyve formler for summerg bakgrue. Dette er gje ford det første målet vårt er å lære hvorda v ka fe
OBLIGATORISK OPPGAVE 1 INF 3340/4340/9340 HØSTEN 2005
OBLIGATORISK OPPGAVE INF 0/0/90 HØSTEN 005 Levergsfrst: 0. september 005 Arbedsform: Løses dvduelt Ileverg tl: Aja Bråthe Krstofferse (ajab@f.uo.o Levergskrav: Det forutsettes at du er kjet med holdet
Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011
Forelesg 3 MET359 Økoometr ved Davd Kreberg Vår 0 Dverse oppgaver Oppgave. E vestor samler følgede formasjo om markedsavkastge og avkastge på det som ser ut tl å være et attraktvt aksjefod År Aksjefodets
Forelesning Ordnings observatorer
Yushu.L@ub.o Forelesg 6 + 7 Ordgs observatorer. Oppsummerg tl Forelesg 4 og 5.) Fuksjoer (trasformasjoer) av flere S.V...) Smultafordelg tl to ye S.V. Ata at v har to S.V., med smultafordelg f ( x, x )
Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 14.12.2007
Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 4..7 UTATT PRØVE I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).
Introduksjon til økonometri, kap 8, 9.1 og 9.2. Hva er formålet med økonometri? Utvalgskorrelasjoner To-variabel regresjoner
Itroduksjo tl økoometr, kap 8, 9.1 og 9. Hva er formålet med økoometr? Utvalgskorrelasjoer To-varabel regresjoer Iformasjo fra data Målet med økoometr er å lære oe fra data Øke vår kuskap ved å oppdage
STK1100 våren Estimering. Politisk meningsmåling. Svarer til sidene i læreboka. The German tank problem. Måling av lungefunksjon
STK00 våre 07 Estmerg Svarer tl sdee 33-339 læreboka Poltsk megsmålg Sør et tlfeldg utvalg å 000 ersoer hva de vlle ha stemt hvs det hadde vært valg 305 vlle ha stemt A A's oslutg er Ørulf Borga Matematsk
Forelesning Enveis ANOVA
STAT111 Statstkk Metoder ushu.l@ub.o Forelesg 14 + 15 Eves ANOVA 1. troduksjo a. Z-, t- test Uka 1: tester for forvetgsdfferase to populasjoer (grupper) b. ANOVA (aalyss of varace): tester om det er forskjeller
Forelesning Z-, t-test, test for forventningsdifferanser
STAT Sttstkk Metoder ushu.l@ub.o Forelesg + 3 Z-, t-test, test for forvetgsdfferser. Sttstsk hypotesetestg ullhypotese): ypotese so først ttt å være st *Forålet ed e test er å udersøke o dtterlet gr grulg
Notat 1: Grunnleggende statistikk og introduksjon til økonometri
Notat : Gruleggede statstkk og troduksjo tl økoometr Gruleggede statstkk Populasjo vs. utvalg Statstsk feres gjør bruk av formasjoe et utvalg tl å trekke koklusjoer (el. slutger) om populasjoe som utvalget
Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. B. Makroøkonomi. Mundells trilemma går ut på følgende:
B. Makroøkoom Oppgave: Forklar påstades hold og drøft hvlke alteratv v står overfor: Fast valutakurs, selvstedg retepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forelg på samme td. Makroøkoom Iledg Mudells trlemma
Forelesning 25 og 26 Introduksjon til Bayesiansk statistikk
Yushu.@hh.o Forelesg 5 og 6 Itroduksjo tl Bayesask statstkk 1. Itroduksjo Fortsatt atar v har stokastsk varabel X (X ka være stokastsk varabel vektor) kommer fra e fordelg med parametere ( ka være parameter
STK1100 våren Konfidensintevaller
STK00 våre 07 Kofdestevaller Svarer tl avstt 8. læreboka Ørulf Borga Matematsk sttutt Uverstetet Oslo Eksempel E kjemker er teressert å bestemme kosetrasjoe µ av et stoff e løsg Hu måler kosetrasjoe fem
Kapittel 1: Beskrivende statistikk
Kapttel : Bekrvede tattkk Defjoer: Populajo og utvalg Populajo: Alle mulge obervajoer v ka gjøre (,,, N ). Utvalg: Delmegde av populajoe (,,, der
Løsningsforslag (ST1201/ST , kontinuasjonseksamen) ln L. X i = 2n.
Løsgsforslag ST20/ST620 205, kotuasjoseksame. a Rmelghetsfuksjoe blr Logartme Derverer Løser lgge Løsge er SME: L = 2 e l L = 2 l X X. X + l X. l L = 2 + 2 X = 2. ˆ = 2 X. X. b Her ka ma beytte trasformasjosformele,
Gråtonehistogrammer. Histogrammer. Hvordan endre kontrasten i et bilde?
INF 3 råtoe-trasforasjoer Hovedsakelg fra ka. 3.-3. DIP Hstograer Leære gråtoetrasforer Stadardserg av blder ed leær trasfor Ikke-leære, araetrske trasforer Hvorda edre kotraste et blde?? Neste uke: Hstograbaserte
Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.
ECON 3 EKSAMEN VÅR TALLSVAR Det abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller lkt uasett varasjo vaskelghetsgrad. Svaree er gtt
Forelesning 2 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011
Forelesg MET359 Økoomer ved Davd Kreberg Vår 0 Dverse oppgaver Oppgave. Aa følgede o varabler: gpa: (Grade Po Average) Gjeomsskaraker for amerkaske sudeer. gpa fes ervalle [0;4], hvor 0 er lavese gjeomsskaraker
Forelesning Punktestimering
STAT Statst Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 8 + 9 Putestmerg. Fra sasylghetsteor tl statst feres ) Sasylghetsberegg sasylghetsteor: v jeer parametere som besrver modellee, f.es. p boms modell, ormal fordelg,
Forelesning 21 og 22 Goodness of fit test and contingency table ( 2 test og krysstabell)
STAT111 Statstkk Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 1 Goodess of ft test ad cotgecy table ( test krysstabell 1.Goodess of ft test ( test Ata at v har et utvalg med observasjoee fra e stokastsk varabel X. Goodess-of-ft
Løsningskisse seminaroppgaver uke 17 ( april)
HG Aprl 14 Løsgsksse semaroppgaver uke 17 (.-5. aprl) Oppg. 5.6 (begge utgaver) La X = atall bar utvalget som har lærevasker. Adel bar med lærevasker populasjoe av bar atas å være p.15. Utvalgsstørrelse
TMA4265 Stokastiske prosesser
Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA65 Stokastske prosesser Våren Løsnngsforslag - Øvng Oppgaver fra læreboka.6 P er dobbelt stokastsk P j j La en slk kjede være rredusbel,
Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130
1 HG Mars 017 Overskt over kofdestervall Eco 130 Merk at dee overskte kke er met å leses stedefor framstllge Løvås, me som et supplemet. De eholder tabeller med formler for kofdestervaller for stuasjoer
Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet
Dynamsk programmerng Hvlke problemer? Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton) på -tallet. Har ngen tng med programmerng å gøre. Dynamsk er et ord som kan aldr brukes negatvt. Skal v
Statistikk med anvendelse i økonomi
A-6 og A-6-G, 6. ma 08 Emekode: Emeav: A-6 og A-6-G tatstkk med avedelse økoom Dato: 6. ma 08 Varghet: 0900-300 Atall sder kl. forsde 0 Tllatte hjelpemdler: erkader: Kalkulator med tømt me og ute kommukasjosmulgheter.
TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.
ECON: EKAMEN TALLVAR. et abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller lkt uasett varasjo vaskelghetsgrad. varee er gtt
FORELESNINGSNOTATER I SPILLTEORI Geir B. Asheim, våren 2001 (oppdatert ).
OREESNINGSNOTATER I SPITEORI Ger B. Ashem, våre 00 (odatert 000.0.03. 3. STATISKE SPI MED UUSTENDIG INORMASJON (Statske Bayesaske sll Statsk sll: Sllere trekker samtdg. Ufullstedg formasjo: Mst é sllere
Alternerende rekker og absolutt konvergens
Alternerende rekker og absolutt konvergens Forelest: 0. Sept, 2004 Sst forelesnng så v på rekker der alle termene var postve. Mange av de kraftgste metodene er utvklet for akkurat den typen rekker. I denne
Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden
ato: 07.01.2008 aksbehandler: DH Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden Dette notatet presenterer en enkel framstllng av problemet med seleksjon mot uttakstdpunkt av alderspensjon av folketrygden.
Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007
Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 9. ma 7 EKSAMEN I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).
Forelesning 3 mandag den 25. august
Forelesg adag de 5 august Merkad 171 For å bevse e propossjo o heltall so volverer to eller flere varabler, er det typsk ye lettere å beytte duksjo på e av varablee e duksjo på oe av de adre Det er for
Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer
Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer 009 04 Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov 30.0.04 INF 4 Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt
MA1301 Tallteori Høsten 2014
MA1301 Tallteor Høsten 014 Rchard Wllamson 3. desember 014 Innhold Forord 1 Induksjon og rekursjon 7 1.1 Naturlge tall og heltall............................ 7 1. Bevs.......................................
Econ 2130 uke 13 (HG)
Eco 30 uke 3 (HG) Iførg regresjo I deskrptv aalse (Løvås kap. 7. 7.3.3) DATA: Resultater fra 500m og 5000m for me fra EM på skøter Heerevee 004. Obs 5000m 500m Obs 5000m 500m r. Td Sekuder Td Sekuder r.
Anvendelser. Kapittel 12. Minste kvadraters metode
Kapttel Anvendelser I dette kaptlet skal v se på forskjellge anvendelser av teknkke v har utvklet løpet av de sste ukene Avsnttene og eksemplene v skal se på er derfor forholdsvs uavhengge Mnste kvadraters
Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18).
Econ 2130 HG mars 2012 Supplement tl forelesnngen 19. mars Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og ltt om heltallskorreksjon (som eksempel 5.18). Regel 5.19 ser at summer, Y = X1+ X2 + +
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Sannsynlighetsregning med statistikk
ÅMA0 Sasylghetsregg med statstkk, våre 00 Kp. 5 Estmerg. Målemodelle. Estmerg. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estmerg bomsk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (Pukt)Estmerg målemodelle (kp. 5.3)
TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.
ECON30: EKSAMEN 05 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt
IT1105 Algoritmer og datastrukturer
Løsnngsforslag, Eksamen IT1105 Algortmer og datastrukturer 1 jun 2004 0900-1300 Tllatte hjelpemdler: Godkjent kalkulator og matematsk formelsamlng Skrv svarene på oppgavearket Skrv studentnummer på alle
Randi Johannessen. Mikroindeksformel i konsumprisindeksen. 2001/64 Notater 2001
2/64 Notater 2 Rad Johaesse Mkrodeksformel kosumprsdekse Avdelg for økoomsk statstkk/sekso for økoomske dkatorer Emegruppe: 8.2. Ihold. Bakgru og kokluso...3 2. Levekostadsdekser...4 2.. Kosumetes tlpasg...4
MOD 233 Konveksitet og optimering. Leksjon 1
MOD 233 Koveksitet og optierig Leksjo Mål ed kurset Forståelse av gruleggede optierigsteori Løsigsetoder Algoritisk forståelse Praktiske avedelser odellerig løsig ved bruk av verktøy MOD233 - Geir Hasle
Kapittel 1: Beskrivende statistikk
Kapttel : Bekrvede tattkk Defjoer: Populajo og utvalg Populajo: Alle mulge obervajoer v ka gjøre, (,,, N ). Utvalg: Delmegde av populajoe (,,,, der
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. Innleveringssted: Ekspedisjonen i 12. etasje (mellom ) OG Fronter (innen klokken 15).
Øvelsesoppgave : ECON3 Statstkk Dato for utleverg: 4.3.7 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Dato for leverg: 3.3.7 e kl. 5. Ilevergssted: Ekspedsjoe. etasje (mellom.5-5.) OG Froter (e klokke 5).
Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov
Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt parallelle kretser Krchhoffs
Tema for forelesningen var Carnot-sykel (Carnot-maskin) og entropibegrepet.
FORELESNING I ERMOYNMIKK ONSG 29.03.00 ema for forelesnngen var arnot-sykel (arnot-maskn) og entropbegrepet. En arnot-maskn produserer arbed ved at varme overføres fra et sted med en øy temperatur ( )
X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0.
UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Eksamen : Eksamensdag: 7. jun 2013. Td for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 8 sder. Vedlegg: Tllatte hjelpemdler: STK2120 LØSNINGSFORSLAG
UNIVERSITETET I OSLO
UIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: ST 105 - Iførig i pålitelighetsaalyse Eksamesdag: 8. desember 1992 Tid til eksame: 0900-1500 Tillatte hjelpemidler: Rottma: "Matematische
Oppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011
Forelesnng 3 MET359 Økonometr ved Davd Kreberg Vår 0 Oppgaver Alle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Multple regresjon Oppgave.* Ta utgangspunkt
Vekst i skjermet virksomhet: Er dette et problem? Trend mot større andel sysselsetting i skjermet
Forelesnng NO kapttel 4 Skjermet og konkurranseutsatt vrksomhet Det grunnleggende formål med eksport: Mulggjøre mport Samfunnsøkonomsk balanse mellom eksport og mportkonkurrerende: Samme valutanntjenng/besparelse
Oppgave 1 ECON 2130 EKSAMEN 2011 VÅR
ECON 30 EKSAMEN 0 VÅR Oppgave E bedrf øsker å fordele koraker e vesergsprosjek hel lfeldg på 3 frmaer, A, B og C. Uvelgelse skjer ved loddrekg. Loddrekge er slk a hver av frmaee A, B og C, har e mulghe
Diskretisering av et kontinuerlig problem vedbruk av prinsippet om minimum potensiell energi. For et lineært elastisk material:
ME 5 Eergmetoder Dskretserg a et kotuerg probem edbruk a prsppet om mmum potese eerg otese eerg for et eastsk system: Oerfatekrefter traksoer pr. fateehet Idre oum-krefter Forskyger Fu Fy Fz w dv u y z
Om enkel lineær regresjon I
1 ECON 130 HG, revdert 017 Notat tl kapttel 7.1 7.3.3 Løvås (Jfr. forelesg uke 11) Om ekel leær regresjo I (deskrptv aalse og ltt om regresjosmodelle tl slutt) 1 Iledg Ekel regresjosaalse dreer seg om
Om enkel lineær regresjon I
ECON 30 HG, revdert 0 Notat tl kapttel 4 Løvås Om ekel leær regresjo I Iledg Ekel regresjosaalse dreer seg om å studere sammehege mellom e resposvarabel,, og e forklargsvarabel,, basert på et datamaterale
Løsningsforslag øving 10 TMA4110 høsten 2018
Løsnngsforslag øvng TMA4 høsten 8 [ + + Projeksjonen av u på v er: u v v u v v v + ( 5) [ + u v v u [ 8/5 6/5 For å fnne ut om en matrse P representerer en projeksjon, må v sjekke om P P a) b) c) [ d)
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007
ÅMA0 Sasylghetsregg med statstkk, våre 007 Kp. 5 Estmerg. Målemodelle. Estmerg. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estmerg bomsk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (Pukt)Estmerg målemodelle (kp. 5.3)
EKSAMEN løsningsforslag
5. aprl 017 EKSAMEN løsgsforslag Emekode: ITD0106 Emeav: Statstkk og økoom Dato:. ma 016 Eksamestd: 09.00 13.00 Hjelpemdler: - Alle trykte og skreve. - Kalkulator. Faglærer: Chrsta F Hede Om eksamesoppgave
TMA4265 Stokastiske prosesser
orges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA4265 Stokastske prosesser Våren 2004 Løsnngsforslag - Øvng 6 Oppgaver fra læreboka 4.56 X n Antallet hvte baller urna Trekk tlf.
Mer om Hypotesetesting (kap 5) Student t-fordelingen. Eksamen. Fordelingene blir like ved stor n:
Mer om Hypotesetestg kap 5 Overskt: Små utvalg og Studet s t-fordelg Hypotesetestg for populasjosgjeomsttet, μ Med tlfeldg og stort utvalg er fordelge tl testobservatore motvert av SGT Hva skjer dersom
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Utsatt eksamen : ECON130 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 15.0.015 Sensur kunngjøres senest: 0.07.015 Td for eksamen: kl. 09:00 1:00 Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:
01. Til hvilke deler av naturen benyttes kvantefysikk som beskrivende verktøy?
Ka Kvatefykk. Tl vlke deler av ature beytte kvatefykk o bekrvede verktøy?. Nev oe etrale ateatkk-eer o går kvatefykke.. Hva kalle de eleetee Hlbert-roet o bekrver tltader tl et yte?. Hva kalle de ateatke
Chapter 2 - Discrete Mathematics and Its Applications. Løsningsforslag på utvalgte oppgaver
Chpter - Dscrete Mthemtcs d Its pplctos Løsgsforslg på utvlgte oppgver vstt Oppgve Gtt 7 ) E mtrse med rder og koloer er e mtrse Geerelt hr v t e m mtrse er e mtrse med m rder og koloer Uttrykket m klles
Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet
Dynamsk programmerng Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton på -tallet. Programmerng betydnngen planlegge, ta beslutnnger. (Har kke noe med kode eller å skrve kode å gøre. Dynamsk for
EKSAMEN ny og utsatt løsningsforslag
8.. EKSAMEN n og utsatt løsnngsorslag Emnekode: ITD Dato:. jun Hjelpemdler: - To A-ark med valgrtt nnhold på begge sder. Emnenavn: Matematkk ørste deleksamen Eksamenstd: 9.. Faglærer: Chrstan F Hede -
Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo.
Kofidesitervall Notat til STK1110 Ørulf Borga, Igrid K. Glad og Aders Rygh Swese Matematisk istitutt, Uiversitetet i Oslo August 2007 Formål E valig metode for å agi usikkerhete til et estimat er å berege
MA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA0 Grukurs Aalyse I Høst 07 Løsigsforslag Øvig..b) Vi skriver om 7 = 4 4 7 Korollar.. gir at 7 4 er irrasjoal (side vi vet 7 4 er
EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Tirsdag 15. mai 2001 Tid: 09:00 14:00
Norges teknsk naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Sde 1 av 9 Faglg kontakt under eksamen: Enar Rønqust, tlf. 73 59 35 47 EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Trsdag 15. ma 2001 Td: