Mål. MoD233 - Geir Hasle - Repetisjon 2

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Mål. MoD233 - Geir Hasle - Repetisjon 2"

Transkript

1 Repetson

2 Mål teoretsk forståelse, grunnleggende optmerng løsnngsmetoder LP og utvdelser algortmsk forståelse anvendelser LP og utvdelser modellerng og løsnng v.h.a. verktøy Innhold og forelesnngsplan Eksempler på LP Løsnngsprosess Praktsk relevans, produksonsstyrng Tvllngproblemer Lekson 2: Smpleksmetoden for løsnng av LP MoD233 - Ger Hasle - Repetson 2

3 Smpleksmetoden generell metode for å løse LP utgangspunkt: LP på standardform Intell basstabell Fase I for å skaffe ntell, brukbar løsnng Fase II: Iteratv prosess for å fnne optmal løsnng Pvoterng Valg av nngående varabel Valg av utgående varabel Pvoterngsregler Ubegrensede LP Spesaltlfeller genstår MoD233 - Ger Hasle - Repetson 3

4 ( k ) a ( k ) I ( k ) U ( k) B maksmal ( k ) b Sste spesaltlfelle - valg av utgående Degenerert basstabell, degenererert pvoterng Degenerert pvoterng kan g syklsk pvoterng Eneste tlfelle der Smpleksmetoden kke termnerer Det fns pvoterngsregler for å unngå sykler Den lekskografske metode Blands pvoterngregel ( k ) b = 0? Fundamentalteoremet for lneærprogrammerng Geometrsk tolknng - se læreboka 2.5, 3.6 MoD233 - Ger Hasle - Repetson 4

5 Fase I vser enten at problemet er nkonsstent eller gr brukbar bassløsnng Fase II vser enten at problemet er ubegrenset eller fnner optmal bassløsnng Det fns pvoterngsregler som garanterer termnerng MoD233 - Ger Hasle - Repetson 5

6 ! " " For et vlkårlg LP gelder følgende: Hvs problemet kke har optmal løsnng, er det enten nkonsstent eller ubegrenset Hvs problemet har en brukbar løsnng, så har det en brukbar bassløsnng Hvs problemet har en optmal løsnng, har det en optmal bassløsnng MoD233 - Ger Hasle - Repetson 6

7 Fundamentalteoremet for LP Smpleksmetoden (vsse varanter...) termnerer Beregnngsmessg effektvtet? verste fall gennomsntt Komplekstetsteor P, NP, P=NP? LP er polynomelt problem (Kachan 979)... men Smpleksmetoden har eksponensell tdskomplekstet verste fall patologsk eksempel (Klee-Mnty) for gtt varant åpent spørsmål om det alltd fns patologske eksempler åpent spørsmål om det fns polynomell varant av Smpleksmetoden gennomsntt er Smpleksmetoden svært effektv MoD233 - Ger Hasle - Repetson 7

8 Prmale LP n = n max ζ = c x slk at = a x b =,,m x 0 =,,n Duale LP m mn ξ = b y slk at m = = y a c =,,n y 0 =,,m Dualtetsteor Dualtet er symmetrsk Duale (tl prmal på standardform) kan tolkes som det å fnne mnmal øvre grense for prmale Svake dualtetssetnng n m ζ = c x ξ = = = b y MoD233 - Ger Hasle - Repetson 8

9 #$ %"" Det duale LP tl det duale er det prmale Prmale LP Duale LP n = n max ζ = c x slk at = a x b =,,m x 0 =,,n m = m mn ξ = b y slk at = y a c =,,n y 0 =,,m MoD233 - Ger Hasle - Repetson 9

10 # "" Hvs ( x x ),, n er brukbar for det prmale og ( y y ),, m er brukbar for det duale har v n m ζ = c x ξ = = = b y MoD233 - Ger Hasle - Repetson 0

11 "# "& " * ζ = n m * c x ξ = = = b y ζ ξ * ζ * ξ * ζ * ζ * ξ ξ Verder for brukbare prmalløsnnger Dualtetsgap Verder for brukbare dualløsnnger MoD233 - Ger Hasle - Repetson

12 "# En brukbar prmalløsnng og en brukbar dualløsnng med samme obektvverd må begge være optmale ζ ζ * ξ * ξ Verder for brukbare prmalløsnnger Dualtetsgap Verder for brukbare dualløsnnger Har at * * ζ ζ ξ ξ som gr * * ζ = ξ ζ = ζ ξ = ξ MoD233 - Ger Hasle - Repetson 2

13 # " Hvs det prmale LP har optmal løsnng ( * * x,, ) xn har dets duale LP optmal løsnng ( * * y,, ) ym og n m * * * ζ = c x = ξ = = = b y * MoD233 - Ger Hasle - Repetson 3

14 " Lneærprogrammerngsproblemer kommer par Det duale kan tolkes som det å fnne mnmal øvre grense Intet dualtetsgap LP Brukbar løsnng for prmal og dual med samme obektvverd er optmal for begge Smpleksmetoden løser prmal og dual samtdg Fleksbltet under løsnng MoD233 - Ger Hasle - Repetson 4

15 '" I en optmal løsnng er enten verd på varabel eller verd på dens korresponderende slakkvarabel 0. Dette gelder symmetrsk mellom prmal løsnng og dual løsnng MoD233 - Ger Hasle - Repetson 5

16 # '" La ( x x ),, n være brukbar prmalløsnng og ( y y ),, m være brukbar dualløsnng. Da er begge løsnnger optmale hvss: x z = 0, =,, n y w = 0, =,, m Der w,,, m z,,, n = er de prmale slakkvarable = er de duale slakkvarable MoD233 - Ger Hasle - Repetson 6

17 " V kan bruke prmale som representason for begge problemer Kan pvotere følge duale den prmale representason Kan betraktes som en ny pvoterngsregel Kalles Den duale Smpleksmetode MoD233 - Ger Hasle - Repetson 7

18 " Forutsetter dual brukbarhet dvs. alle koeffsenter prmal obektv er kkepostve ( optmal ) Velger utgående som den bassvarabel som har mest negatvt konstantledd Velger nngående ved å velge følge største negatve forhold mot koeffsenter obektvet Pvoterer som vanlg MoD233 - Ger Hasle - Repetson 8

19 "("!") Anta v ntelt verken har brukbar bassløsnng for prmale eller duale enkelt å modfsere prmalt obektv slk at tlsvarende dual har brukbar bassløsnng Kan bruke Dual Smpleks for å fnne optmal løsnng for det modfserte duale Vl kke (generelt) være optmal for orgnale problem, men g brukbar løsnng for orgnale slk at v kan fortsette med Prmal Smpleks Hvs modfserte duale er ubegrenset er det orgnale prmale nkonsstent Dual-prmal tlsvarende Prmal-dual MoD233 - Ger Hasle - Repetson 9

20 # Bevs Sterke dualtetssetnng Mulgheter - prmal og dual Teorem komplementær slakk bevs bruk Duale Smpleksmetode Dualbasert Fase I Dual Prmal - Prmal Dual Se boka for: Duale tl problemer på generell form Mer om ressursallokerngsproblemet Lagrange-dualtet MoD233 - Ger Hasle - Repetson 20

21 * " Se eksempel boka Dual smpleksmetode se boka To-fase metoder se boka Negatv transponert-egenskap se boka Neste gang: senstvtet parametrsk analyse ny varant av smpleksmetoden MoD233 - Ger Hasle - Repetson 2

22 +",-, ( k ) ( k ) max (k) T (k) c x ζ = (k) (k) c x (k) x (k) (k) (k) (k) x slk at B N = b, x 0 ( (k) ) T (k) ( ( ) k) T (k) max ζ = c x + c x slk at (k) (k) (k) (k) (k) B x + N x = b, x 0 MoD233 - Ger Hasle - Repetson 22

23 ""(""(. " ζ = ζ T (k) (k) (k) x { z } (k) (k) (k) (k) (k) = ( ) x x B N x ξ = ζ T (k) (k) (k) z { x } {( ) } T (k) (k) (k) (k) (k) = + z z B N z 0 z 0, z ( B ) N c c 0 (k) (k) (k) (k) (k) (k) = = = ( ) ( ) ξ = c B b = ζ T (k) (k) (k) (k) (k) 0 x 0, x b ( B ) b, 0 (k) (k) (k) (k) (k) (k) = = = = ζ = ( ) ( ) T (k) (k) (k) (k) c B b MoD233 - Ger Hasle - Repetson 23

24 " Iterason, så lenge hverken optmal eller ubegrenset fnne ny bass, nabo tl foregående (kun en ndeks ulk) slk at obektfunkson for tlhørende bassløsnng øker ζ = ζ T (k) (k) (k) x { z } (k) (k) (k) (k) (k) = ( ) x x B N x ξ = ζ T (k) (k) (k) z { x } {( ) } T (k) (k) (k) (k) (k) = + z z B N z,, I(k), U(k) (k) (k) (k) (k) MoD233 - Ger Hasle - Repetson 24

25 / Ofte behov for å løse mange relaterte LP Regnetd kan spares ved å bruke nformason fra tdlgere løsnnger Parametrsk analyse homotop-metoden Den Parametrske Selv-duale Smpleksmetoden ngen Fase I nødvendg konvergerer dersom LP er begrenset og konsstent skfter mellom prmal og dual pvoterng MoD233 - Ger Hasle - Repetson 25

26 0 Begreper nettverk / grafteor Mnmum-kost nettverksflyt Modellerng Spesalvarant av Smpleksmetoden Heltallghetsteoremet for nettverksflyt Köngs teorem Neste gang: Anvendelser nettverksflyt MoD233 - Ger Hasle - Repetson 26

27 %( Nettverk (rettede kanter) Tlgang/behov hver node Balanse! Forflytnngskostnad (pr. enhet) for hver kant b = { c } (, ) 0 Mål: Fnn bllgste flyt nettverket som tlfredsstller behov og tlgang hver node! 9 f a d MoD233 - Ger Hasle - Repetson 27 c b e 9 g

28 %( mn (, ) slk at x x = b, k k k k :(, k ) :( k, ) x c x 0, (, ) mn Ax = T c x b slk at Node-kant nsdensmatrsen x 0 MoD233 - Ger Hasle - Repetson 28

29 %2"3 I nettverksflytproblemer representerer bassløsnnger speselle strukturer nettverket. De utgøres av kantene såkalte spenntrær. a f c d 38 b e 9 g -2 5 Defnson: En st et nettverk: ( n nk ) ( n, n + ) ( ),, slk at n, n, =, k + ( f, g, b, a, e, d ) er st dette nettverket MoD233 - Ger Hasle - Repetson 29

30 %. 4"5,- Gtt konsstent nettverksflytproblem der alle tlganger og behov er heltallge. Da vl enhver bassløsnng, og speselt den optmale løsnng, ha heltallg flyt alle kanter. Bevs: Prmale bassløsnnger beregnes uten dvson og multplkason. MoD233 - Ger Hasle - Repetson 30

31 6,- Gtt en mengde med n enter og n gutter. Anta at hver ente kenner eksakt kn gutter og hver gutt kenner kn enter. Da er det mulg å parre alle enter med alle gutter slk at alle maker kenner hverandre. Bevs: Nettverksflyt bparttt graf (der noder for enter og gutter er separert). Kant mellom noder som kenner hverandre. Hver ente har behov, hver gutt har tlgang. Flyt /k på hver kant gr brukbar løsnng. Følger av ntegraltetsteoremet. MoD233 - Ger Hasle - Repetson 3

32 )" Vlkårlge (postve) kostnadskoeffsenter: veldefnert NFP Heltallghet Det fns brukbar løsnng (flyt /k på hver kant) Heltallghetsteoremet gr at det fns heltallg optmal løsnng Flyt heltallg løsnng må være 0 eller Hver node må ha en og kun en kant med flyt MoD233 - Ger Hasle - Repetson 32

33 9 "" " % Transport Skpnngsproblemet Transportproblemet Htchcocks transportproblem Tlordnngsproblemet Korteste-ve problemet Varanter av nettverksflyt Beskranknnger på flyt Maksmum flyt beskranket nettverk MoD233 - Ger Hasle - Repetson 33

34 " ( Nodene er partsonert klder og sluk: =, = Bparttt flytgraf: {(, ) : } MoD233 - Ger Hasle - Repetson 34

35 4:5::" ( Transportproblem med komplett graf (alle klder er forbundet med alle sluk) b = s 0, b = d 0, MoD233 - Ger Hasle - Repetson 35

36 4:5::" ( "" mn b = s 0, slk at x 0,, c x x = s x = d b = d 0, Flytbalanse ut fra hver klde Flytbalanse nn tl hvert sluk MoD233 - Ger Hasle - Repetson 36

37 ( "" = {,, m} personer = { m},, oppgaver hvs person allokeres tl oppgave x = 0 ellers mn c x slk at Alle personer får en og bare en oppgave x = = { } x 0,,, x Alle oppgaver får en og bare en person Heltallghetsførng! MoD233 - Ger Hasle - Repetson 37

38 ( 5"3"" Generelt kan kke heltallsførnger gnoreres gør slke førnger problemet langt hardere beregnngsmessg Det LP som fremkommer ved å gnorere heltallghetsførngene et optmerngsproblem med lneær kostnadsfunkson og lneære førnger kalles LP-relaksasonen tl problemet. LP-relaksasonen har bedre eller lke god løsnng som det orgnale problem. MoD233 - Ger Hasle - Repetson 38

39 ( % Tlgang lk på alle noder unntatt rotnoden Behov lk summen av tlgang (negert) rotnoden Kostnad lk lengden (eller resetd, - kostnad) på hver kant Korteste ve fra vlkårlg node lgger langs det optmale spenntre Lengden på korteste ve fra en gtt node er forskellen dual verd mellom rotnoden og denne noden f a c d b e 7 9 g -6 0 MoD233 - Ger Hasle - Repetson 39

40 v ( "" r = 0 { } { } v = mn c + v : (, ) r Getter på løsnng: v (0) r (0) = 0 { } v =, r Itererer fram bedre tlnærmnger, helt tl ngen endrng sker: v ( k + ) r = 0 ( k + ) ( ) 24 f a 56 { k } { } v = mn c + v : (, ) r c d b Antall terasoner: O( ) e 9 g 0 MoD233 - Ger Hasle - Repetson 40

41 ( ";" Så lenge { k } { } { } arg mn v : k for alle : (, ) hvs c + v < v så shv rof v c + v h a f c d b e 9 g 0 ås MoD233 - Ger Hasle - Repetson 4

42 %3" Kapastetsbegrensnnger på kanter mn (, ) k k k :(, k ) :( k, ) x c x slk at x x = b, k 0, (, ) Nye førnger: x u, (, ) 9 f MoD233 - Ger Hasle - Repetson 42 a c d Kan løses drekte med modfsert Nettverks Smpleks Kan reduseres tl Nettverksflyt uten begrensnnger! Skal vse Maksmal-flyt Mnmalt-kutt teoremet 38 b e 9 33 g 5

43 %3" "(. (&3" 3. Dersom 0<x k <u er det postv flyt på begge kanter: ( ) 0 < x < u x > 0 z = y + c y = 0 z = y y = 0 k y + c = y k k k k k Gelder også motsatt ve! For optmal løsnng på orgnalt problem har v: b c x = 0 y + c y x 0 x = u y + c y < x < u y + c = y b u MoD233 - Ger Hasle - Repetson 43 x k b c 0 = x u k x k = t b Vl bruke dette teorem for Maksmum-flyt problem + u

44 "%( = (, ) b s = s { s, d} b d = d x u,(, ) Nettverk Klde s og sluk d Øvre begrensnnger på (noen) kanter Mål: Presse så mye flyt som mulg gennom fra klde tl sluk! MoD233 - Ger Hasle - Repetson 44

45 "%( " "! s { s, d} d Kan omformes tl Mnmum-kostnad Nettverks Flyt med øvre begrensnnger { d s } c = 0, (, ) (, (, ) ) = c ds = u ds = b = 0, MoD233 - Ger Hasle - Repetson 45

46 Et kutt er en partsonerng av nodemengden to delmengder slk at klden er den ene delmengden og sluket den andre. Kuttet representeres av den delmengden som nneholder klden. s d Et kutt C MoD233 - Ger Hasle - Repetson 46

47 "" Kapasteten tl et kutt (kuttkapastet) defneres som den samlete kapasteten tl de kanter som spenner over kuttet rktg retnng. κ ( C) = u C C C C s d MoD233 - Ger Hasle - Repetson 47

48 !%("" C C s d x = x x κ ( C) ds C C C C Brukbar flyt MoD233 - Ger Hasle - Repetson 48

49 "% C C s d Teorem 4.: Maksmum-flyt Mnmum kutt Maksmum flyt er lk mnmal kuttkapastet for nettverket. x ds = mn κ ( C) alle C MoD233 - Ger Hasle - Repetson 49

50 ,'- 4"" Mange oppgaver den vrkelge verden kan modelleres som LP med heltallghetsførnger Dskrete valg, sekvenserng, kombnatorkk, logkk Tds- og ressursplanleggng, operasonsanalyse LP med heltallsførnger kalles Heltallsprogrammer Heltallsprogrammer er generelt langt vanskelgere å løse beregnngsmessg enn ordnære LP V skal se på: noen eksempler Generell løsnngsmetode: Forgrenng og begrensnng (Branch & Bound) MoD233 - Ger Hasle - Repetson 50

51 '5"" n = n max ζ = c x slk at = a x b =,,m x 0 =,, n n = n max ζ = c x slk at = a x b =,,m x 0 =,, n { } + x I,,n Blandete heltallsprogrammer (Mxed Integer Programs MIP) Rene heltallsprogrammer (Pure Integer Programs IP, PIP) 0- programmer { } I,,n { } I =,,n { } x 0, MoD233 - Ger Hasle - Repetson 5

52 !% " "",- " % m flyvnnger skal dekkes Har laget n alternatve tllatte flyturer Tlhørende kostnad for hver tur Koeffsenter som ser om flyvnng dekkes av tur Mengdedelngsproblemet (Set Parttonng Problem) hvs flyvnng er med rute a = 0 ellers Beslutnngsvarable hvs rute brukes planen x = 0 ellers mn { } n =,,m { } {,,n} MoD233 - Ger Hasle - Repetson 52 n = c x c a x =, =,, m x 0,

53 !% " "", - " " ". m flyvnnger skal dekkes,,m,,n Har laget n mulge tllatte flyturer Tlhørende kostnad for hver tur Koeffsenter som ser om flyvnng dekkes av tur Mengdedeknngsproblemet (Set Coverng Problem) hvs flyvnng er med rute a = 0 ellers Beslutnngsvarable hvs rute brukes planen x = 0 ellers mn n = { } { } { } MoD233 - Ger Hasle - Repetson 53 n = c x c a x, =,, m x 0,

54 5"",/- mn n = 0 n = 0 n n = 0 = 0 x = = 0,, n = = 0,, n t t + ( x ) n,, = 0,, n, x c x Anta det fns subturer. Se på en av subturene. La r> være antall kanter subturen. Summerer sste førng over alle kanter subturen. V får, ved å subtrahere t for alle nodene subturen: 0 r MoD233 - Ger Hasle - Repetson 54

55 " LP krever utgangspunktet lneær kostnadsfunkson Ofte er en lneær kostnadsmodell lte adekvat V skal se på to utvdelser fast ntalkostnad stykkevs lneær kostnad Dsse kan løses med heltallsutvdelser MoD233 - Ger Hasle - Repetson 55

56 !"" " Ser på kostnadsfunkson av typen: 0 hvs x = 0 Fast ntalkostnad c( x) = K + cx hvs x > 0 x 0 Innfører bnær varabel og modfserer problemet: c( x) = Ky + cx Øvre grense for x! x uy x 0 y { 0,} Trkset brukes for hver ntalkostnad! MoD233 - Ger Hasle - Repetson 56

57 %' ",- L w x L w =,, k 0 { } w =, w 0, =,, k x 0 =,, k w w =,, k w = w = L x L, =,, k w = w = 0 0 x 0, = 2,, k w = 0, w = 0 x L, = 2,, k x x 3 L 3 MoD233 - Ger Hasle - Repetson 57

58 '5"" T max c x slk at Ax b x 0, x har heltallge komponenter Generell, eksakt metode for løsnng: forgrenng og begrensnng (Branch & Bound) Genererer LP på en systematsk måte Løser LP-relaksason Forgrener to tlfeller Enumererngstre Avskærng Kan ta laaang td MoD233 - Ger Hasle - Repetson 58

59 ! ( Forgrenng x = x 2 =4 ζ=64 Bladnode LP MIP MIP0 x MIP0 LP0 x =.67 x 2 =3.33 ζ=68.33 MIP2 MIP0 x 2 LP2 x =2 x 2 =2.86 ζ=68.29 x =2.6 x 2 =2 ζ=63.89 LP3 MIP3 MIP2 x 2 2 MIP4 MIP2 x 2 3 LP4 Inkonsstent! Begrensnng MoD233 - Ger Hasle - Repetson 59

60 ! ( Generell, eksakt metode for løsnng av MIP Genererer LP på en systematsk måte et tre - enumererngstreet Løser LP-relaksasonen (LPR) av et MIP hver node Hvs LPR-løsnngen er heltallg, har v en brukbar løsnng og underestmat (maksmerng) for optmal løsnng Hvs kke heltallg løsnng, velges en kke-heltallg varabel og v forgrener to ved å legge på gensdg utelukkende ulkhetsførnger Hvs v får dårlgere verd på LP-relaksasonen enn beste heltallge løsnng funnet, kan v foreta avskærng (prunng) Ikke-tllatt løsnng en node gr også avskærng Enumererngstreet kan utforskes på mange måter bredde først dybde først (stort sett bedre, se boka sde 39) Det fnnes heurstkker (uformelle regler) for hvlke varabler det kan lønne seg å forgrene på MoD233 - Ger Hasle - Repetson 60

61 ! ( Kan ta svært lang td (eksponenselt antall noder) Vktg å få fram brukbar (heltallg) løsnng tdlg søket Tdlg brukbar løsnng kan g tdlgere avskærng LPene treet fra roten og nedover er svært lke tllegg/endrng av spesell type førng: grense på varabel Kan bruke løsnng fra LPen overlggende node tl å løse LPen nneværende node raskere Læreboka sde 39 MoD233 - Ger Hasle - Repetson 6

62 Heltallsprogrammerng (M)IP Mange problemer kan formuleres som MIP Operasonsanalyse Tdsplanleggng (skedulerng, schedulng) Handelsresende-problemet (TSP) Mer generelle kostnadsfunksoner Forgrenngs- og begrensnngsmetoden (Branch&Bound) MoD233 - Ger Hasle - Repetson 62

63 Takk for samarbedet Håper dere har lært ltt om optmerng... Tlbakemeldnger om kurset tas mot med takk... Lykke tl med eksamen! MoD233 - Ger Hasle - Repetson 63

MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 10 2

MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 10 2 Leksjon 10 Anvendelser nettverksflyt Transportproblemet Htchcock-problemet Tlordnngsproblemet Korteste-ve problemet Nettverksflyt med øvre begrensnnger Maksmum-flyt problemet Teorem: Maksmum-flyt Mnmum-kutt

Detaljer

Korteste-vei problemet Nettverksflyt med øvre begrensninger Maksimum-flyt problemet Teorem: Maksimum-flyt Minimum-kutt

Korteste-vei problemet Nettverksflyt med øvre begrensninger Maksimum-flyt problemet Teorem: Maksimum-flyt Minimum-kutt Lekson 11 Korteste-ve problemet Nettverksflyt med øvre begrensnnger Maksmum-flyt problemet Teorem: Maksmum-flyt Mnmum-kutt MoD233 - Ger Hasle - Lekson 11 2 Heltallsprogrammerng Tdsplanleggng (skedulerng,

Detaljer

Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering

Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering Lekson 3 Smpleksmetoden generell metode for å løse LP utgangspunkt: LP på standardform Intell basstabell Fase I for å skaffe ntell, brukbar løsnng løse helpeproblem hvs optmale løsnng gr brukbar løsnng

Detaljer

i B maksimal b Fundamentalteoremet for lineærprogrammering Den leksikografiske metode Blands pivoteringregel MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 4 2

i B maksimal b Fundamentalteoremet for lineærprogrammering Den leksikografiske metode Blands pivoteringregel MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 4 2 Lekso 4 ( k ) a ( k ) I ( k ) U ( k) B maksmal ( k ) b Sste spesaltlfelle - valg av utgåede Degeerert basstabell, degeererert pvoterg Degeerert pvoterg ka g syklsk pvoterg Eeste tlfelle der Smpleksmetode

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Hvlke problemer? Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton) på -tallet. Har ngen tng med programmerng å gøre. Dynamsk er et ord som kan aldr brukes negatvt. Skal v

Detaljer

IT1105 Algoritmer og datastrukturer

IT1105 Algoritmer og datastrukturer Løsnngsforslag, Eksamen IT1105 Algortmer og datastrukturer 1 jun 2004 0900-1300 Tllatte hjelpemdler: Godkjent kalkulator og matematsk formelsamlng Skrv svarene på oppgavearket Skrv studentnummer på alle

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton på -tallet. Programmerng betydnngen planlegge, ta beslutnnger. (Har kke noe med kode eller å skrve kode å gøre. Dynamsk for

Detaljer

ingen Fase I nødvendig konvergerer dersom LP er begrenset og konsistent skifter mellom primal og dual pivotering MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 8 2

ingen Fase I nødvendig konvergerer dersom LP er begrenset og konsistent skifter mellom primal og dual pivotering MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 8 2 Leksjon 8 Ofte behov for å løse mange relaterte LP Regnetid kan spares ved å bruke informasjon fra tidligere løsninger Parametrisk analyse homotopi-metoden Den Parametriske Selv-duale Simpleksmetoden ingen

Detaljer

Anvendelser. Kapittel 12. Minste kvadraters metode

Anvendelser. Kapittel 12. Minste kvadraters metode Kapttel Anvendelser I dette kaptlet skal v se på forskjellge anvendelser av teknkke v har utvklet løpet av de sste ukene Avsnttene og eksemplene v skal se på er derfor forholdsvs uavhengge Mnste kvadraters

Detaljer

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk.

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk. ECON 0 Forbruker, bedrft og marked Forelesnngsnotater 09.0.07 Nls-Henrk von der Fehr FORBRUK OG SPARING Innlednng I denne delen skal v anvende det generelle modellapparatet for konsumentens tlpasnng tl

Detaljer

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS Sde 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Fakultet for bygg- og mljøteknkk INSTITUTT FOR SAMFERDSELSTEKNIKK Faglg kontakt under eksamen: Navn Arvd Aakre Telefon 73 59 46 64 (drekte) / 73

Detaljer

TMA4240/4245 Statistikk Eksamen august 2016

TMA4240/4245 Statistikk Eksamen august 2016 Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA44/445 Statstkk Eksamen august 6 Løsnngssksse Oppgave a) Ved kast av to ternnger er det 36 mulge utfall: (, ),..., (6, 6). La Y

Detaljer

Appendiks 1: Organisering av Riksdagsdata i SPSS. Sannerstedt- og Sjölins data er klargjort for logitanalyse i SPSS filen på følgende måte:

Appendiks 1: Organisering av Riksdagsdata i SPSS. Sannerstedt- og Sjölins data er klargjort for logitanalyse i SPSS filen på følgende måte: Appendks 1: Organserng av Rksdagsdata SPSS Sannerstedt- og Sjölns data er klargjort for logtanalyse SPSS flen på følgende måte: Enhet År SKJEBNE BASIS ANTALL FARGE 1 1972 1 0 47 1 0 2 1972 1 0 47 1 0 67

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1410

Forelesning nr.3 INF 1410 Forelesnng nr. INF 40 009 Node og mesh-analyse 6.0.009 INF 40 Oerskt dagens temaer Bakgrunn Nodeanalyse og motasjon Meshanalyse 009 Supernode Bruksområder og supermesh for node- og meshanalyse 6.0.009

Detaljer

Veiledning til obligatorisk oppgave i ECON 3610/4610 høsten N. Vi skal bestemme den fordeling av denne gitte arbeidsstyrken som

Veiledning til obligatorisk oppgave i ECON 3610/4610 høsten N. Vi skal bestemme den fordeling av denne gitte arbeidsstyrken som Jon sle; oktober 07 Ogave a. elednng tl oblgatorsk ogave ECO 60/60 høsten 07 har nå at samlet arbedskraftmengde er gtt lk, slk at ressurskravet er. skal bestemme den fordelng av denne gtte arbedsstyrken

Detaljer

Forelesning 17 torsdag den 16. oktober

Forelesning 17 torsdag den 16. oktober Forelesnng 17 torsdag den 16. oktober 4.12 Orden modulo et prmtall Defnsjon 4.12.1. La p være et prmtall. La x være et heltall slk at det kke er sant at x 0 Et naturlg tall t er ordenen tl a modulo p dersom

Detaljer

Del A: Diskret optimering og heuristiske metoder Leksjon 8

Del A: Diskret optimering og heuristiske metoder Leksjon 8 Del A: Dskret optmerg og heurstske metoder Lekso 8 Sefsforsker Ger Hasle SINTEF Avedt matematkk, Oslo!"# Kategorserg av metaheurstkker Kostruktve heurstkker Mult-start baserte metaheurstkker Tlfeldg Restart

Detaljer

Balanserte søketrær. AVL-trær. AVL-trær. AVL-trær høyde AVL AVL. AVL-trær (Adelson-Velskii og Landis, 1962) Splay-trær (Sleator og Tarjan, 1985)

Balanserte søketrær. AVL-trær. AVL-trær. AVL-trær høyde AVL AVL. AVL-trær (Adelson-Velskii og Landis, 1962) Splay-trær (Sleator og Tarjan, 1985) alanserte søketrær VL-trær Et bnært tre er et VL-tre hvs ølgende holder: VL-trær delson-velsk og Lands, 96 play-trær leator og Tarjan, 98. orskjellen høyde mellom det høyre og det venstre deltreet er maksmalt,

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Tirsdag 15. mai 2001 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Tirsdag 15. mai 2001 Tid: 09:00 14:00 Norges teknsk naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Sde 1 av 9 Faglg kontakt under eksamen: Enar Rønqust, tlf. 73 59 35 47 EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Trsdag 15. ma 2001 Td:

Detaljer

Magnetisk nivåregulering. Prosjektoppgave i faget TTK 4150 Ulineære systemer. Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland

Magnetisk nivåregulering. Prosjektoppgave i faget TTK 4150 Ulineære systemer. Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland Magnetsk nvåregulerng Prosjektoppgave faget TTK 45 Ulneære systemer Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland Innholdsfortegnelse Innholdsfortegnelse... Innlednng... Oppgave

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteor Høsten 014 Rchard Wllamson 3. desember 014 Innhold Forord 1 Induksjon og rekursjon 7 1.1 Naturlge tall og heltall............................ 7 1. Bevs.......................................

Detaljer

Automatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning

Automatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning Bruksanvsnng System 2000 Art. Nr.: 0661 xx /0671 xx Innholdsfortegnelse 1. rmasjon om farer 2. Funksjon 2.1. Funksjonsprnspp 2.2. Regstrerngsområde versjon med 1,10 m lnse 2.3. Regstrerngsområde versjon

Detaljer

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden ato: 07.01.2008 aksbehandler: DH Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden Dette notatet presenterer en enkel framstllng av problemet med seleksjon mot uttakstdpunkt av alderspensjon av folketrygden.

Detaljer

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18).

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18). Econ 2130 HG mars 2012 Supplement tl forelesnngen 19. mars Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og ltt om heltallskorreksjon (som eksempel 5.18). Regel 5.19 ser at summer, Y = X1+ X2 + +

Detaljer

Løsningsforslag ST2301 Øving 8

Løsningsforslag ST2301 Øving 8 Løsnngsforslag ST301 Øvng 8 Kapttel 4 Exercse 1 For tre alleler, fnn et sett med genfrekvenser for to populasjoner, som gr flere heterozygoter enn forventa utfra Hardy-Wenberg-andeler for mnst én av de

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt parallelle kretser Krchhoffs

Detaljer

Del A: Diskret optimering og heuristiske metoder Leksjon 2

Del A: Diskret optimering og heuristiske metoder Leksjon 2 Del A: Dskret optmerg og heurstske metoder Leksjo 2 Sjefsforsker Ger Hasle SINTEF Avedt matematkk, Oslo! Kursformasjo Motvasjo Operasjosaalyse Kustg tellges Optmergsproblemer (dskrete) Matematsk program

Detaljer

Alternerende rekker og absolutt konvergens

Alternerende rekker og absolutt konvergens Alternerende rekker og absolutt konvergens Forelest: 0. Sept, 2004 Sst forelesnng så v på rekker der alle termene var postve. Mange av de kraftgste metodene er utvklet for akkurat den typen rekker. I denne

Detaljer

Løsningsforslag øving 10 TMA4110 høsten 2018

Løsningsforslag øving 10 TMA4110 høsten 2018 Løsnngsforslag øvng TMA4 høsten 8 [ + + Projeksjonen av u på v er: u v v u v v v + ( 5) [ + u v v u [ 8/5 6/5 For å fnne ut om en matrse P representerer en projeksjon, må v sjekke om P P a) b) c) [ d)

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>. ECON30: EKSAMEN 05 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt

Detaljer

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså:

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså: A-besvarelse ECON2130- Statstkk 1 vår 2009 Oppgave 1 A) () Antall kke-ordnede utvalg: () P(Arne nummer 1) = () Når 5 er bltt trukket ut, er det tre gjen som kan blr trukket ut tl den sste plassen, altså:

Detaljer

Eksamen ECON 2200, Sensorveiledning Våren Deriver følgende funksjoner. Deriver med hensyn på begge argumenter i e) og f).

Eksamen ECON 2200, Sensorveiledning Våren Deriver følgende funksjoner. Deriver med hensyn på begge argumenter i e) og f). Eksamen ECON 00, Sensorvelednng Våren 0 Oppgave (8 poeng ) Derver følgende funksjoner. Derver med hensyn på begge argumenter e) og f). (Ett poeng per dervasjon, dvs, poeng e og f) a) f( x) = 3x x + ln

Detaljer

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015 Fleksbelt arbedslv Befolknngsundersøkelse utført for Manpower September 015 Antall dager med hjemmekontor Spørsmål: Omtrent hvor mange dager jobber du hjemmefra løpet av en gjennomsnttsmåned (n=63) Prosent

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer 009 04 Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov 30.0.04 INF 4 Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt

Detaljer

EKSAMEN ny og utsatt løsningsforslag

EKSAMEN ny og utsatt løsningsforslag 8.. EKSAMEN n og utsatt løsnngsorslag Emnekode: ITD Dato:. jun Hjelpemdler: - To A-ark med valgrtt nnhold på begge sder. Emnenavn: Matematkk ørste deleksamen Eksamenstd: 9.. Faglærer: Chrstan F Hede -

Detaljer

ØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver

ØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver ØVINGER 017 Løsnnger tl oppgaver Øvng 1 7.1. Med utgangspunkt de n 5 observasjonsparene (x 1, y 1 ), (x, y ),..., (x 5, y 5 ) beregner v først mddelverdene x 1 5 Estmert kovarans blr x 3. ȳ 1 5 s XY 1

Detaljer

X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0.

X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0. UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Eksamen : Eksamensdag: 7. jun 2013. Td for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 8 sder. Vedlegg: Tllatte hjelpemdler: STK2120 LØSNINGSFORSLAG

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Deleksamen MAT-INF Modellerng og beregnnger. Eksamensdag: Onsdag 7. oktober 29. Td for eksamen: 5: 7:. Oppgavesettet er på 6 sder. Vedlegg:

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag . desember 6 EKSAMEN Løsnngsorslag Emnekode: ITD Emnenavn: Matematkk ørste deleksamen Dato:. desember 6 Hjelpemdler: - To A-ark med valgrtt nnold på begge sder. - Formelete. - Kalkulator som deles ut samtdg

Detaljer

Oppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Oppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Forelesnng 3 MET359 Økonometr ved Davd Kreberg Vår 0 Oppgaver Alle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Multple regresjon Oppgave.* Ta utgangspunkt

Detaljer

Vekst i skjermet virksomhet: Er dette et problem? Trend mot større andel sysselsetting i skjermet

Vekst i skjermet virksomhet: Er dette et problem? Trend mot større andel sysselsetting i skjermet Forelesnng NO kapttel 4 Skjermet og konkurranseutsatt vrksomhet Det grunnleggende formål med eksport: Mulggjøre mport Samfunnsøkonomsk balanse mellom eksport og mportkonkurrerende: Samme valutanntjenng/besparelse

Detaljer

Regler om normalfordelingen

Regler om normalfordelingen 1 HG Revdert mars 013 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg

Detaljer

EKSAMEN Ny og utsatt Løsningsforslag

EKSAMEN Ny og utsatt Løsningsforslag . jun 0 EKSAMEN Ny og utsatt Løsnngsorslag Emnekode: ITD50 Dato:. jun 0 Emne: Matematkk, deleksamen Eksamenstd: 09.00.00 Hjelpemdler: To A-ark med valgrtt nnhold på begge sder. Formelhete. Kalkulator er

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Optimalitetsprinsippet. Overlappende delproblemer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Optimalitetsprinsippet. Overlappende delproblemer ynask prograerng Metoden ble foralsert av Rchard Bellann (RAN Corporaton på -tallet. Prograerng betydnngen planlegge, ta beslutnnger. (Har kke noe ed kode eller å skrve kode å gøre. ynask for å ndkere

Detaljer

Fourieranalyse. Fourierrekker på reell form. Eksempel La. TMA4135 Matematikk 4D. En funksjon sies å ha periode p > 0 dersom

Fourieranalyse. Fourierrekker på reell form. Eksempel La. TMA4135 Matematikk 4D. En funksjon sies å ha periode p > 0 dersom TMA435 Matematkk 4D Foureranalyse Fourerrekker på reell form En funksjon ses å ha perode p > dersom f(x + p) = f(x) () for alle x defnsjonsmengden tl f. Den mnste p slk at () holder, kalles fundamentalperoden

Detaljer

Auksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet

Auksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet Auksjoner og mljø: Prvat nformasjon og kollektve goder Erk Romstad Handelshøyskolen Auksjoner for endra forvaltnng Habtatvern for bologsk mangfold Styresmaktene lyser ut spesfserte forvaltnngskontrakter

Detaljer

Fast valutakurs, selvstendig rentepolitikk og frie kapitalbevegelser er ikke forenlig på samme tid

Fast valutakurs, selvstendig rentepolitikk og frie kapitalbevegelser er ikke forenlig på samme tid Makroøkonom Publserngsoppgave Uke 48 November 29. 2009, Rev - Jan Erk Skog Fast valutakurs, selvstendg rentepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forenlg på samme td I utsagnet Fast valutakurs, selvstendg

Detaljer

Tillegg 7 7. Innledning til FY2045/TFY4250

Tillegg 7 7. Innledning til FY2045/TFY4250 FY1006/TFY4215 Tllegg 7 1 Dette notatet repeterer noen punkter fra Tllegg 2, og dekker detalj målng av degenererte egenverder samt mpulsrepresentasjonen av kvantemekankk. Tllegg 7 7. Innlednng tl FY2045/TFY4250

Detaljer

Heltallighetsteoremet for nettverksflyt Königs teorem Denne gang: Anvendelser nettverksflyt

Heltallighetsteoremet for nettverksflyt Königs teorem Denne gang: Anvendelser nettverksflyt Leksjon 9 Begreper nettverk / grafteori Minimum-kost nettverksflyt Moellering Spesialvariant av Simpleksmetoen Heltallighetsteoremet for nettverksflyt Königs teorem Denne gang: Anvenelser nettverksflyt

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statstkk og økonom, våren 7 Oblgatorsk oppgave Løsnngsforslag Oppgave Anta at forbruket av ntrogen norsk landbruk årene 987 99 var følgende målt tonn: 987: 9 87 988: 8 989: 8 99: 8 99: 79 99: 87 99: 9

Detaljer

Arbeid og potensiell energi

Arbeid og potensiell energi Arbed og potensell energ 4.3.5 Mdtveseksamen: 6.3. Pensum: Kap. boken flere lærer på data-lab YS-MEK 4.3.5 Konservatve krefter: v kan fnne en potensalfunksjon slk at: d d energbevarng vertkal kast: mg

Detaljer

Geometriske operasjoner

Geometriske operasjoner Geometrske operasjoner INF 23 27.2.27 Kap. 9 (samt 5.5.2) Geometrske operasjoner Affne transformer Interpolasjon Samregstrerng av blder Endrer på pkslenes possjoner ransformerer pkselkoordnatene (x,) tl

Detaljer

Regler om normalfordelingen

Regler om normalfordelingen HG mars 0 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette kurset.

Detaljer

system 16 mm / 25 mm / 32 mm MONTERINGSVEILEDNING

system 16 mm / 25 mm / 32 mm MONTERINGSVEILEDNING 16 mm / 25 mm / 32 mm MONTERINGSVEILEDNING Sdoprofl Monterngsprofl Murprofl (tllval) (A) (B) 1000 mm 20 mm mn. 50 mm Klck! Før du starter monterngen av dtt nye tak, bør du kontrollere at du har motatt

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Eksamen : STK1000 Innførng anvendt statstkk Eksamensdag: Trsdag 12. desember 2017 Td for eksamen: 14.30 18.30 Oppgavesettet er på 5 sder Tllatte

Detaljer

Arbeid og potensiell energi

Arbeid og potensiell energi Arbed og potensell energ 5.3.4 YS-MEK 5.3.4 Konservatve krefter: v kan fnne en potensalfunksjon slk at: d d energbevarng vertkal kast: mg d d mg fjær: k d k d atom krstall: b cos b b d d sn b YS-MEK 5.3.4

Detaljer

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Løsnnger lle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Hypotesetestng testng av enkelthypoteser Oppgave 1.* Når v tester enkelthypoteser ved hjelp

Detaljer

Regler om normalfordelingen

Regler om normalfordelingen 1 HG mars 2009 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette

Detaljer

Sluttrapport. utprøvingen av

Sluttrapport. utprøvingen av Fagenhet vderegående opplærng Sluttrapport utprøvngen av Gjennomgående dokumenterng fag- og yrkesopplærngen Februar 2012 Det å ha lett tlgjengelg dokumentasjon er en verd seg selv. Dokumentasjon gr ungedommene

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april)

Løsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april) HG Aprl 01 Løsnngsksse for oppgaver tl uke 15 (10.-13. aprl) Innledende merknad. Flere oppgaver denne uka er øvelser bruk av den vktge regel 5.0, som er sentral dette kurset, og som det forventes at studentene

Detaljer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer Sde: av 7 orsk akkredterng Dok.d.: VII..5 A Dok. 5: Angvelse av måleuskkerhet ved kalbrernger Utarbedet av: Saeed Behdad Godkjent av: ICL Versjon:.00 Mandatory/Krav Gjelder fra: 09.05.008 Sdenr: av 7 A

Detaljer

4 Energibalanse. TKT4124 Mekanikk 3, høst Energibalanse

4 Energibalanse. TKT4124 Mekanikk 3, høst Energibalanse 4 Energbalanse Innhold: Potensell energ Konservatve krefter Konserverng av energ Vrtuelt arbed for deformerbare legemer Vrtuelle forskvnngers prnspp Vrtuelle krefters prnspp Ltteratur: Irgens, Fasthetslære,

Detaljer

COLUMBUS. Lærerveiledning Norge og fylkene. ved Rolf Mikkelsen. Cappelen Damm

COLUMBUS. Lærerveiledning Norge og fylkene. ved Rolf Mikkelsen. Cappelen Damm COLUMBUS Lærervelednng Norge og fylkene ved Rolf Mkkelsen Cappelen Damm Innlednng Columbus Norge er et nteraktvt emddel som nneholder kart over Norge, fylkene og Svalbard, samt øvelser og oppgaver. Det

Detaljer

Løsning til seminar 3

Løsning til seminar 3 Løsnng tl semnar 3 Oppgave ) Investerngsfunksjonen Investerngene påvrkes hovesaklg av renta og av aktvtetsnvået økonomen. Når renta går opp øker kostnaen ve å fnansere nvesternger. V kan s at et lr relatvt

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen : ECON130 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 15.0.015 Sensur kunngjøres senest: 0.07.015 Td for eksamen: kl. 09:00 1:00 Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:

Detaljer

Tema for forelesningen var Carnot-sykel (Carnot-maskin) og entropibegrepet.

Tema for forelesningen var Carnot-sykel (Carnot-maskin) og entropibegrepet. FORELESNING I ERMOYNMIKK ONSG 29.03.00 ema for forelesnngen var arnot-sykel (arnot-maskn) og entropbegrepet. En arnot-maskn produserer arbed ved at varme overføres fra et sted med en øy temperatur ( )

Detaljer

INF 2310 Digital bildebehandling

INF 2310 Digital bildebehandling INF 30 Dgtal bldebehandlng FORELESNING 4 GRÅONE-RANSFORMASJONER Frtz Albregtsen emaer dag Hstogrammer Lneære gråtonetransformer t Standardserng av blder med lneær transform Ikke-lneære, parametrske transformer

Detaljer

Seminaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3))

Seminaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3)) 1 ECON 2130 2017 vår Semarpla fra og med uke 13 Semaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3)) (1) Fra eksame Eco 2130, 2004 høst: Oppgave 3: (Fel oppgave på ststuttets overskt over gamle eksamesoppgaver)

Detaljer

Terrasser TRAPPER OG REKKVERK LAG DIN EGEN UTEPLASS! VÅRE PRODUKTER HAR LANG LEVETID OG DU VIL HA GLEDE I DET DU HAR BYGGET I MANGE ÅR FREMOVER

Terrasser TRAPPER OG REKKVERK LAG DIN EGEN UTEPLASS! VÅRE PRODUKTER HAR LANG LEVETID OG DU VIL HA GLEDE I DET DU HAR BYGGET I MANGE ÅR FREMOVER Terrasser TRAPPER OG REKKVERK LAG DIN EGEN UTEPLASS! VÅRE PRODUKTER HAR LANG LEVETID OG DU VIL HA GLEDE I DET DU HAR BYGGET I MANGE ÅR FREMOVER Malmfuru terrasse Malmfuru er den mest mljøvennlge terrassen

Detaljer

Norske CO 2 -avgifter - differensiert eller uniform skatt?

Norske CO 2 -avgifter - differensiert eller uniform skatt? Norske CO 2 -avgfter - dfferensert eller unform skatt? av Sven Egl Ueland Masteroppgave Masteroppgaven er levert for å fullføre graden Master samfunnsøkonom Unverstetet Bergen, Insttutt for økonom Oktober

Detaljer

TMA4265 Stokastiske prosesser

TMA4265 Stokastiske prosesser orges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA4265 Stokastske prosesser Våren 2004 Løsnngsforslag - Øvng 6 Oppgaver fra læreboka 4.56 X n Antallet hvte baller urna Trekk tlf.

Detaljer

C(s) + 2 H 2 (g) CH 4 (g) f H m = -74,85 kj/mol ( angir standardtilstand, m angir molar størrelse)

C(s) + 2 H 2 (g) CH 4 (g) f H m = -74,85 kj/mol ( angir standardtilstand, m angir molar størrelse) Fyskk / ermodynamkk Våren 2001 5. ermokjem 5.1. ermokjem I termokjemen ser v på de energendrnger som fnner sted kjemske reaksjoner. Hver reaktant og hvert produkt som nngår en kjemsk reaksjon kan beskrves

Detaljer

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder.

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder. 40 Metoder for å måle avkastnng Totalavkastnngen tl Statens petroleumsfond blr målt med stor nøyaktghet. En vktg forutsetnng er at det alltd beregnes kvaltetsskret markedsverd av fondet når det kommer

Detaljer

Innkalling til andelseiermøte

Innkalling til andelseiermøte Tl andelseerne Holberg Global og Holberg Rurk Bergen, 24. november 2017 Innkallng tl andelseermøte Vedtektsendrnger verdpaprfondene Holberg Global og Holberg Rurk Forvaltnngsselskapet Holberg Fondsforvaltnng

Detaljer

Adaptivt lokalsøk for boolske optimeringsproblemer

Adaptivt lokalsøk for boolske optimeringsproblemer Adaptvt lokalsøk for boolske optmerngsproblemer Lars Magnus Hvattum Høgskolen Molde Lars.M.Hvattum@hmolde.no Arne Løkketangen Høgskolen Molde Arne.Lokketangen@hmolde.no Fred Glover Leeds School of Busness,

Detaljer

14 Systemer av differensiallikninger TMA4110 høsten 2018

14 Systemer av differensiallikninger TMA4110 høsten 2018 Systemer v fferensllknnger TMA høsten 8 I ette kptlet skl v ruke et v hr lært om lneær lger tl å løse fferensllknnger Det fnnes fferensllknnger for nesten lt, men et er kun e ller enkleste som er mulg

Detaljer

De normalfordelte: x og sd for hver gruppe. De skjevfordelte og de ekstremt skjevfordelte: Median og kvartiler for hver gruppe.

De normalfordelte: x og sd for hver gruppe. De skjevfordelte og de ekstremt skjevfordelte: Median og kvartiler for hver gruppe. STK H-26 Løsnngsforslag Alle deloppgaver teller lkt vurderngen av besvarelsen. Oppgave I et tlfeldg utvalg på normalvektge personer, og overvektge personer, måles konsentrasjonen av 2 ulke protener blodet.

Detaljer

Geometriske operasjoner

Geometriske operasjoner Geometrske operasjoner INF 23 29..28 Kap. 2.4.4 og 2.6.5 DIP Geometrske operasjoner Affne transformer Interpolasjon Samregstrerng av blder Endrer på pkslenes possjoner ransformerer pkselkoordnatene (x,)

Detaljer

Bente Halvorsen, Bodil M. Larsen og Runa Nesbakken

Bente Halvorsen, Bodil M. Larsen og Runa Nesbakken 2005/8 Rapporter Reports Bente Halvorsen, Bodl M. Larsen og Runa Nesbakken Prs- og nntektsfølsomet ulke usoldnngers etterspørsel etter elektrstet, fyrngsoler og ved Statstsk sentralbyrå Statstcs Norway

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Løsnngsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Eksamen : INF3 Dgtal bldebehandlng Eksamensdag : Trsdag 9. mars 3 Td for eksamen : 5: 9: Løsnngsforslaget er på : sder Vedlegg

Detaljer

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir)

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir) 2009/48 Notater Bjørn Gabrelsen, Magnar Lllegård, Bert Otnes, Brth Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdr) Notater Indvdbasert statstkk for pleeog omsorgstjenesten kommunene (IPLOS) Foreløpge resultater

Detaljer

NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL

NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL Norman & Orvedal, kap. 1-5 Bævre & Vsle Generell lkevekt En lten, åpen økonom Nærngsstruktur Skjermet versus konkurranseutsatt vrksomhet Handel og komparatve fortrnn

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>. ECON13: EKSAMEN 14V TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt >. Oppgave 1 Innlednng. Rulett splles på en rekke kasnoer

Detaljer

Sorterings- Algoritmer

Sorterings- Algoritmer Hva er sorterng? Sorterngs- Algortmer Algortmer og Datastrukturer Input: en sekvens av N nummer Output: reorganserng nput-sekvensen slk at: a < a < a... < a n- < a n V søker algortmer som gjør dette på

Detaljer

SIF5072 Stokastske prosesser Sde 2 av 6 b) Hva vl det s at en Markov-kjede er rredusbel? Er Markov-kjeden fx n g denne oppgaven rredusbel? Er den aper

SIF5072 Stokastske prosesser Sde 2 av 6 b) Hva vl det s at en Markov-kjede er rredusbel? Er Markov-kjeden fx n g denne oppgaven rredusbel? Er den aper Norges teknsk naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Sde 1 av 6 Faglg kontakt under eksamen: Bo Lndqvst 73 59 35 20 EKSAMEN I FAG SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER Mandag 13. august 2001 Td:

Detaljer

Seminaroppgaver for uke 13

Seminaroppgaver for uke 13 1 ECON 2130 2016 vår Semarpla fra og med uke 13 Semaroppgaver for uke 13 1) Fra eksame Eco 2130, 2004 høst: Oppgave 3: (Fel oppgave på ststuttets overskt over gamle eksamesoppgaver) La X og Y være to uavhegge

Detaljer

NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIDGE Av Hans-Wilhelm Mørch.

NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIDGE Av Hans-Wilhelm Mørch. NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIGE A Hans-Wlhelm Mørch. SANNSYNLIGHETER FOR HVORAN TRUMFEN(ELLER ANRE SORTER) ER FORELT Anta at du mangler n kort trumffargen. Ha er sannsynlgheten for at est har a a dem? La

Detaljer

Arbeid og potensiell energi

Arbeid og potensiell energi Arbed og potensell energ.3.7 YS- MEK.3.7 Konservatve krefter: v kan fnne en potensalfunksjon slk at: d energbevarng vertkal kast: mg d mg fjær: k k d atom krstall: b π cos π b b d π sn b YS- MEK.3.7 kraft

Detaljer

Medarbeiderundersøkelsen 2009

Medarbeiderundersøkelsen 2009 - 1 - Medarbederundersøkelsen 2009 Rapporten er utarbedet av B2S AS - 2 - Innholdsfortegnelse Forsde 1 Innholdsfortegnelse 2 Indeksoverskt 3 Multvarate analyser Regresjonsanalyse 5 Regresjonsmodell 6 Resultater

Detaljer

STK1000 Innføring i anvendt statistikk Eksamensdag: Tirsdag 12. desember 2017

STK1000 Innføring i anvendt statistikk Eksamensdag: Tirsdag 12. desember 2017 Eksamen : STK000 Innførng anvendt statstkk Eksamensdag: Trsdag 2. desember 207 Alle deloppgaver teller lkt vurderngen av besvarelsen. Lkke tl! Dette er et løsnngsforslag. Studenter som har kommet frem

Detaljer

LP. Leksjon 9: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.2

LP. Leksjon 9: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.2 LP. Leksjon 9: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.2 Vi tar siste runde om (MKS): minimum kost nettverk strøm problemet. Skal oppsummere algoritmen. Se på noen detaljer. Noen kombinatorisk anvendelser

Detaljer

Oppgave 3, SØK400 våren 2002, v/d. Lund

Oppgave 3, SØK400 våren 2002, v/d. Lund Oppgave 3, SØK400 våren 00, v/d. Lnd En bonde bonde dyrker poteter. Hvs det blr mldvær, blr avlngen 0. Hvs det blr frost, blr avlngen. Naboen bonde, som vl være tsatt for samme vær, dyrker også poteter,

Detaljer

Litt om empirisk Markedsavgrensning i form av sjokkanalyse

Litt om empirisk Markedsavgrensning i form av sjokkanalyse Ltt om emprsk Markedsavgrensnng form av sjokkanalyse Frode Steen Konkurransetlsynet, 27 ma 2011 KT - 27.05.2011 1 Sjokkanalyse som markedsavgrensnngsredskap Tradsjonell korrelasjonsanalyse av prser utnytter

Detaljer

Investering under usikkerhet Risiko og avkastning Høy risiko. Risikokostnad prosjekt Snøskuffe. Presisering av risikobegrepet

Investering under usikkerhet Risiko og avkastning Høy risiko. Risikokostnad prosjekt Snøskuffe. Presisering av risikobegrepet Investerng under uskkerhet Rsko og avkastnng Høy rsko Lav rsko Presserng av rskobegreet Realnvesterng Fnansnvesterng Rsko for enkeltaksjer og ortefølje-sammenheng Fnansnvesterng Realnvesterng John-Erk

Detaljer

TMA4265 Stokastiske prosesser

TMA4265 Stokastiske prosesser Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA65 Stokastske prosesser Våren Løsnngsforslag - Øvng Oppgaver fra læreboka.6 P er dobbelt stokastsk P j j La en slk kjede være rredusbel,

Detaljer

Samfunnsøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 18. mars 2002

Samfunnsøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 18. mars 2002 Samfunnsøkonom andre avdelng, mkroøkonom, Dderk Lund, 8. mars 00 Markeder under uskkerhet Uskkerhet vktg mange (de fleste? markeder Uskkerhet omkrng framtdge prser og leverngsskkerhet (f.eks. om leverandør

Detaljer

Alle deloppgaver teller likt i vurderingen av besvarelsen.

Alle deloppgaver teller likt i vurderingen av besvarelsen. STK H-26 Løsnngsforslag Alle deloppgaver teller lkt vurderngen av besvarelsen. Oppgave a) De normalfordelte: x og sd for hver gruppe. De skjevfordelte og de ekstremt skjevfordelte: Medan og kvartler for

Detaljer

Del A: Diskret optimering og heuristiske metoder Leksjon 3

Del A: Diskret optimering og heuristiske metoder Leksjon 3 Del A: Dskret optmerng og heurstske metoder Leksjon 3 Sjefsforsker Ger Hasle SINTEF Anvendt matematkk, Oslo!"# Eksempler på DOP Alternatve formulernger Defnsjon nabolag, -operator Lokalsøk Defnsjon lokalt

Detaljer

Trykkløse rørsystemer

Trykkløse rørsystemer Trykkløse rørsystemer har kabel- og avløpsrørsystemer PVC, PP og PE med komplette delespektre. PE benyttes trykkrør som utslppslednnger, som lednng dårlge masser (myr) og ved høy overdeknng og/eller høy

Detaljer