MOD 233 Konveksitet og optimering. Leksjon 1

Transkript

1 MOD 233 Koveksitet og optierig Leksjo

2 Mål ed kurset Forståelse av gruleggede optierigsteori Løsigsetoder Algoritisk forståelse Praktiske avedelser odellerig løsig ved bruk av verktøy MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 2

3 Nytt pesu vår 2003 Lite eller itet o koveksitet Mer o lieærprograerig og utvidelser Nettverksflyt trasportprobleer korteste-vei Heltallsprograerig tidsplaleggig hadelsreisede-probleet (T S P) forgreig- og begresig (Brach & Boud) MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 3

4 Kursihold () Optierig teori og praksis Optierigsprobleer Optierig uder føriger Eksepler Mateatisk forulerig Lieærprograerig (LP) Sipleksetode Fudaetalteoreet i LP Effektivitet av Sipleksetode MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 4

5 Kursihold (2) Dualitet Svake og sterke dualitetssetiger Kopleetær slakk Dual sipleksetode Praktisk løsig av LP for håd odellerig i algebraisk odellerigsspråk løsig ved bruk av verktøy, LP-løser MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 5

6 Kursihold (3) Sipleksetoder i atrisefor Sesitivitet og paraetrisk aalyse Paraetrisk selv-dual Sipleksetode MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 6

7 Kursihold (4) Avedelser av LP Nettverksflyt-probleer Miiu kostad ettverksflyt Avedelser av ettverksflyt-probleer trasportprobleet tilordigsprobleet korteste-vei probleet ettverksflyt ed øvre begresiger aksiu flyt MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 7

8 Kursihold (5) Heltallsoptierig T idsplaleggig Hadelsreisede-probleet (T S P) Ikke-lieære ålfuksjoer Geerell etode for å løse heltallsprobleer Forgreig og begresig (Brach & Boud) MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 8

9 Lærebøker Robert J. Vaderbei: Liear Prograig Foudatios ad Extesios Secod Editio 2000 ISBN Ikke tilgjegelig i Akadeika! Fourer, Gay, Kerigha: AMPL A Modellig Laguage for Matheatical Prograig Secod Editio MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 9

10 Forelesigspla 2/ Leksjo : Kap -2: Eksepel og Sipleksetode 28/ Leksjo 2: Kap 2: Sipleksetode (fortsatt) 4/2 Leksjo 3: Kap 3: Degeererig /2 Leksjo 4: Kap 4: Effektivitet av Sipleksetode 5: Dualitetsteori (5.-5.4) 8/2 Leksjo 5: Kap 5: Kopleetær slakk Duale Sipleksetode ( ) 25/2 Viterferie 4/3 Leksjo 6: Kap 6: Sipleksetode i atrisefor /3 Leksjo 7: Kap 7: Sesitivitet og paraetrisk aalyse 8/3 Leksjo 8: Kap 3: Nettverksflyt 25/3 Leksjo 9: Kap 4: Avedelser /4 Leksjo 0: Kap 22: Heltallsprograerig /4 Leksjo : Repetisjo 9/5 Skriftlig eksae Se kursets hjeeside MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 0

11 Dee leksjo Eksepel på LP Geerell ateatisk forulerig T rasforasjoer Stadardfor Sipleksetode for LP på stadardfor MOD233 - Geir Hasle - Leksjo

12 Eksepel på optierigsproble - Produksjosplaleggig i bedrift Widow s AS Fabrikk for produksjo av glassdører og viduer Fortjeeste for produktee kjet 3 produksjosalegg Alegg : dørraer Alegg 2: vidusraer Alegg 3: oterig Serier på f. eks. 00 eheter Kjet behov for arbeidskraft Kjet tilgag på arbeidskraft Hvorda skal vi produsere for å aksiere fortjeeste? MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 2

13 Data for produksjoe i Widows AS T ieverk/serie T ieverk/serie Kapasitet dør vidu tieverk Alegg (dørrae) - 4 Alegg 2 (vidusrae) Alegg 3 (oterig) Fortjeeste 3 kkr 5 kkr MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 3

14 Profittaksierig i Widows AS - ateatisk forulerig x x 2 atall serier viduer atall serier dører Beslutigsvariable aksier 3x + 5x 2 slik at x 4 2x 2 3x x 2 2, x x 8 Målfuksjo Føriger MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 4

15 Lieærprograerigsproble - LP Prograerig plaleggig Kotiuerlige beslutigsvariable x j j =,, Målfuksjo Objektfuksjo, objektiv Kostadsfuksjo Maksierig eller iierig I LP: lieær fuksjo ζ = c x + + c x = c x j j j= MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 5

16 LP (forts.) Føriger (beskrakiger) I LP: Lieære likheter, ulikheter ax + + a x = b a jx j = b j= MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 6

17 Trasforasjoer ζ = = i c x tils var er ax c ( ζ) ( ) j j j j= j= a x + + a x b a x + + a x b ( ) ( ) x j ax + + a x b ax + + a x + s = b, s 0 Slakkvariabel MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 7

18 Trasforasjoer a x + + a x = b ax + + a x b a x + + a x b ( ) ( ) ( ) a x + + a x b a x + + a x b x ka erstattes ed x = x + x, x +, x 0 Vilkårlig hvilke forer so velges Øskelig ed stadardfor for LP MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 8

19 LP på stadardfor j= j ax ζ = c x slik at j= j ij j i j a x b i =,, x 0 j =,, atall beslutigsvariable atall føriger MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 9

20 Teriologi (LP stadardfor) Et spesifikt forslag til verdier på (alle) beslutigsvariablee kalles e løsig e løsig kalles brukbar / tillatt derso de tilfredsstiller alle førigee e løsig kalles optial derso de er brukbar og oppår det øskete aksiu av objektfuksjoe Hvis probleet ikke har e brukbar løsig sies probleet å være ubrukbart eller ikosistet hvis probleet har løsiger ed vilkårlig stor verdi på objektivet, sies probleet å være ubegreset MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 20

21 Eksepel på ikosistet LP ax 5x + 4x slik at 2 x + x 2 2 2x 2x x, x 0 x + x MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 2

22 Eksepel på ubegreset LP ax x 4x slik at x + x x 2x 2 x, x 0 x = 0 : x 2 ka bli vilkårlig stor MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 22

23 Historikk Studiet av lieæ re ulikheter 826 Fourier age har bevist spesialtilfeller av dualitetssetige Avedelser Katorovich 939, ukjet i vest, ubeerket i øst 947 George Datzig Sipleksetode plaleggigsprobleer i US Air Force T. C. Koopas økooi LP odell i klas sisk økooi Nobelprise i økooi 975 til Katorovich og Koopas for deres bidrag til teorie o optial res sursallokerig I dag: Avedelser, Verktøyidustri Daglig løses LP ed tusevis av variable og tusevis av føriger MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 23

24 Sipleks-etode Geerell etode for å løse LP Iterativ Strategi starter ed brukbar løsig fier løsig ed bedre objektivverdi helt til ige forbedrig er ulig Fier ut o probleet er ubrukbart ubegreset Fier optial løsig hvis de fies Fudaetalteore for LP Beregigsessig kopleksitet? MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 24

25 Sipleks Geeraliserige av tetraeder i 3-roet til diesjoer de ekleste polytoper i et gitt -ro MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 25

26 Eksepel LP (fra boka) ax 5x + 4x + 3x slik at 2 3 2x + 3x + x x + x + 2x 2 3 3x + 4x + 2x x, x, x Stadardfor! MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 26

27 Legger til slakkvariable ax 5x + 4x + 3x slik at 2 3 2x + 3x + x x + x + 2x 2 3 3x + 4x + 2x x, x, x Ekvivalet forulerig Vil kalle dette basistabell basisliste (dictioary) ( ) ( ) w = 5 2x + 3x + x 2 3 w = 4x + x + 2x w = 8 (3x + 4x + 2x ) w, w, w ax ζ = 5x + 4x + 3x slik at 2 3 w = 5 2x 3x x 2 3 w = 4x x 2x w = 8 3x 4x 2x x, x, x, w, w, w MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 27

28 Treger tillatt (brukbar) løsig ax ζ = 5x + 4x + 3x slik at 2 3 w = 5 2x 3x x 2 3 w = 4x x 2x w = 8 3x 4x 2x ) x, x, x, w, w, w Avhegige variable Basisvariable Ekelt, vi ka sette frie variable til 0! Frie variable, ikke-basiske variable MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 28

29 Notasjo tilpasset iterasjoee i Sipleks-etode ( avviker fra boka!) (k) x j Verdi av variabele etter iterasjo k (k) x Løsigsvektor etter iterasjo k Iitiell løsig Iitiell objektivverdi x x x ζ ζ ζ (0) () (K) (0) () (K) Optial løsig Optial verdi MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 29

30 Tilbake til eksepelet ax ζ = 5x + 4x + 3x slik at 2 3 w = 5 2x 3x x 2 3 w = 4x x 2x w = 8 3x 4x 2x x, x, x, w, w, w Basistabell, basisliste (dictioary) ( x (0) (0) (0) (0) (0) (0) ) ( ) (0), x 2, x 3, w, w 2, w3 0,0,0,5,,8 = Lø sigsvektor ( x (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) ) ( ) (0), x 2, x 3, w, w 2, w 3,] = 0,0,0,5,,8, 0 Lø sigsvektor /objektivverdi De løsiger vi får ved å sette frie variable til 0 i basistabell kalles (brukbare, tillatte) basisløsiger. MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 30

31 I itiell løsig (etter 0-te iterasjo) ax ζ = 5x + 4x + 3x slik at 2 3 w = 5 2x 3x x 2 3 w = 4x x 2x w = 8 3x 4x 2x x, x, x, w, w, w w 0 x 2 w 2 0 x 4 8 w3 0 x 3 ( x (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) ) ( ) (0), x 2, x 3, w, w 2, w 3,] = 0,0,0,5,,8, 0 Brukbar basisløsig i basistabell r. 0 (etter 0-te iterasjo) Ka de forbedres? Øke verdier på variable ed positive koeffisieter i objektiv La oss velge e av de Passe på brukbarhet MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 3

32 I terasjo ax ζ = 5x + 4x + 3x slik at 2 3 w = 5 2x 3x x 2 3 w = 4x x 2x w = 8 3x 4x 2x x, x, x, w, w, w ax ζ = w x2 + x x = w x 2 x slik at w = + 2w + 5x w = + w + x x x, x, x, w, w, w ( 0, 0, 0,5,,8,0 ) (0) 5 3 x = w x x ,0,0,0,,, x 0 x3 5 w 2 0 : OK! () w3 0 x3 MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 32

33 I terasjo 2 ax ζ = w x 2 + x x = w x 2 x slik at w = + 2w + 5x w = + w + x x x, x, x, w, w, w , 0, 0, 0,,, () x3 = + 3w + x2 2w3 ax ζ = 3 w 3x w slik at 2 3 x = 2 2w 2x + w 2 3 w = + 2w + 5x 2 2 x = + 3w + x 2w x, x, x, w, w, w ( 2,0,,0,,0,3 ) (2) Ige forbedrig ulig! Dette å væ re optial løsig! MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 33

34 Eksepel: Produksjosstyrig - Geerell forulerig Produksjosbedrift Ka produsere produkter Bruker råvarer Statisk bilde Megde råvarer på lager Markedspris/verdi for råvarer Produktpriser {,, } {,, } b,, b { } ρ,, ρ { } σ,, σ { } MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 34

35 Produksjosstyrig - forts. Produkt j krever råvare i Produksjossjef vil aksiere fortjeeste Fortjeeste for produkt j: a ij c = σ a ρ, j =,, j j ij i i= MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 35

36 Produksjosstyrig - forts. Produksjossjefes proble Beslutigsvariable hvor ye skal produseres av hvert produkt? Maksial fortjeeste Råvarer på lager x,, x { } ax j= j= j a x b, i =,, ij j i x 0, j =,, j c x j slik at MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 36

37 Produksjosstyrig - forts. ax x 0, j =,, j c x + c x slik at a x + a x b a x + a x b Eksepel på LP Ressursallokerigsprobleet Profittaksierig Begresiger på råvarer MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 37

38 Produksjosstyrig - Kotrolleres proble Alterativ til produksjo: selge råvaree Hva er råvaree verdt? Miiere lagerbidigskostader Sette ehetspris på hver råvare Må væ re høyere e arkedspris Tapt ulig itekt ved lagerhold wi, i =,, w ρ, i =,, Tilsvarede pris for produktee å ikke væ re lavere e arkedsprise w a σ, j =,, i= i= MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 38 i b w i i ij j i i

39 Produksjosstyrig - Kotrolleres proble i i= i= i w a σ, j =,, w ρ, i =,, i i i ij j i b w slik at Forekler ved å iføre ye variable: y = w ρ, i =,, i i i MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 39

40 Produksjosstyrig - Kotrolleres proble i i i i i i= i= y a + ρ a σ, j =,, i ij i ij j i= i= y 0, i =,, i b y + b ρ slik at c = σ a ρ, j =,, j j ij i i= i i= i i i i i= i= y a c, j =,, i ij j y 0, i =,, i b y + b ρ slik at MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 40

41 Produksjosstyrig - De to probleer Produksjossjefe ax x 0, j =,, j c x + c x slik at a x + a x b a x + a x b Kotrollere i y 0, i =,, i b y + b y slik at a y + a y c a y + a y c MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 4

42 LP - Relevas og betydig Mage oppgaver ka foruleres so LP trasport produksjo logistikk økooi og fias geoetri statistikk Prosess: Modellerig, løsig, iverksettelse ka føre til store gevister Det fis eget effektive løsigsetoder illioer av variable illioer av føriger Koersielle verktøy (LP-løsere) Koersielle odellerigsverktøy MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 42

43 Leksjo - Oppsuerig Mål teoretisk forståelse, gruleggede optierig løsigsetoder LP og utvidelser algoritisk forståelse avedelser LP og utvidelser odellerig og løsig v.h.a. verktøy Ihold og forelesigspla Eksepler på LP Lø sigsprosess Praktisk relevas, produksjosstyrig Tvilligprobleer Leksjo 2: Sipleksetode for løsig av LP MOD233 - Geir Hasle - Leksjo 43