Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler

Transkript

1 Formler og regler statstkk følge lærebok Guar Løvås: tatstkk for uversteter og høgskoler Kap. Hva er fakta om utvalget etralmål Meda: mdterste verd etter sorterg Modus: hyppgst forekommede verd Gjeomstt: predgsmål Varas: s tadardavvk: s Varasjoskoeffsset 00%. stadardavk/gjeomstt Kap 3. asylghetsregg Utfallsrom: Megde av alle mulge utfall et førsøk. Hedelse: Udermegde beståede av et eller flere mulge utfall av et forsøk. Uform sasylghet: atall gustge utfall for hedelse / atall mulge utfall Relatv frekves atall gager har har truffet / totalt atall forsøk Megdelære : utfallsrommet Ø: tom megde ge elemeter Uo: alle elemeter som er eller eller begge tt: alle elemeter som er både og Komplemet: holder alle elemeter som kke er Dsjukte megder: og er dsjukte hvs der kke har oe felles elemeter asylgheter og dsjukte 0,,... er parvs dsjukte FO4N tatstkk, Mattekologsk utdag, MMT, HT høst 006 sde av

2 etgede sasylgheter Def. Multplkajo: Total sasylghet: E og bare e av hedelsee,,...., vl treffe. Da gjelder... ayes lov: et: Uavhegge hedelser Regel: og er uavhegge Multplkasjo: Hedelsee,,...., er uavhegge. Da gjelder Kombatorkk roduktregel: Forsøk k etapper hvor hver etappe har m mulge utfall. tall mulge utfall for hele forsøket blr m. m.... m k. otesregel: Trekker k eheter av merkede eheter med tlbakeleggg. tall mulge ordede utvalg blr k. ermutasjoer: Trekker k eheter av merkede eheter ute tlbakeleggg. tall mulge ordede utvalg blr!!..., k k k Fakultet: forskjellge elemeter ka orgaseres...! atall rekkefølger dvs. atall ordede utvalg av merkede eheter tall kombasjoer: Trekker k eheter av merkede eheter ute tlbakeleggg. Totalt atall mulge kke-ordede kombasjoer blr!!!, k k k C k Merk at per defefsjo er: 0! 0 0, 0, C FO4N tatstkk, Mattekologsk utdag, MMT, HT høst 006 sde av

3 Kap 4. tokastske varabler tokastsk varabel: E stokastsk varabel kytter et bestemt tall tl et hvert utfall utfallsrommet Verdmegde V f : Megde av alle tallverder e stokastsk varabel ka ata. Dskret: V f består av et edelg eller tellbart megde tall Kotuerlg: V f består av alle tall et gtt tervall Dskrete sasylghetsfordelger lle verder verdmegde opptrer med e gtt puktsasylghet. uktsasylghet: er sasylghet for at de stokastske varabele får verde Egeskap: alle Kumulatv fordelgsfuksjo: F < Regler: V f <a Fa > a - <a Fa a < < b < b - < a Fb Fa Forvetgsverd: µ E Varas: E[- µ ] tadardavvk: alle alle V f µ V f alle V f µ Kotuerlge sasylghetsfordelger asylghete er gtt ved sasylghetstetthetfuksjo f som oppfyller at f d Kumulatv fordelgsfuksjo: F < f d Regler: <a Fa > a - <a Fa a < < b < b - < a Fb Fa Forvetgsverd: µ E f d Varas: E[- µ ] tadardavvk: µ f d f d µ ummasjo av stokastske varabler Regel 4. og 4.7 Gtt stokastske varaber,,... og kostater a, a,... a og b. Da gjelder alltd: Ea a... a b a E a E... a E b Hvs varablee,,... tllegg er statstsk uavhegge, gjelder også: Vara a... a b a Var a Var... a Var FO4N tatstkk, Mattekologsk utdag, MMT, HT høst 006 sde 3 av

4 Kap 5. Valge sasylghetsmodeller 5. omsk modell parametre: atall forsøk p sasylghet for suksess hvert forsøk tokastsk varabel: atall suksesser, 0 uktsasylghet: p p Forvetg og varas: E p Var p-p Typske eksempler: atall tergkast : atall 6-ere p /6 Trekg fra ure med tlbakeleggg 5.3 Hypergeometrsk modell 3 parametre: N totalt atall eheter M eheter med spes. egeskap utvalg tokastsk varabel: uktsasylghet: atall eheter utvalget med spes. egeskap M N M N Forvetg og varas: E p Var p-p N N p M/N Typske eksempler: - N atall eheter på lager M atall eheter med defekt atall stkkprøver atall stkkprøver med defekt 5.5 ossofordelge - Trekg fra ure ute tlbakeleggg lotto É parameter: tokastsk varabel: eller λ forvetet atall hedelser pr. ehet kke td λt λ er forvetet atall hedelser pr. tdsehet, t er tdstervall atall hedelser gtt ehet/tdstervall uktsasylghet: λ λ e eller! λt λt e! Forvetg og varas: E λ Var λ eller E λt Var λt Typske eksempler: tall arop tl e setral pr. mutt tall reker e boks rekesalat Tlærger hypergeomtrskn,m, bomsk,p med p M/N år N>0 bomsk,p possoλ med λ p år >0 og p< 0, FO4N tatstkk, Mattekologsk utdag, MMT, HT høst 006 sde 4 av

5 5.7 Normalfordelge er ormalfordelt med forvetgsverd µ og stadardavvk : ~ Nµ, asylghetstetthetsfuksjo: f µ e π Kumulatv sasylghetsfordelg: F < f d Egeskaper: ymmetr omkrg µ: Fµ- Fµ 68 % sasylghet for eheter tervallet [µ-,µ] 95 % [µ-,µ] 99,7 % [µ-3,µ3] tadard ormalfordelg: Z er stadard ormalfordelt med forvetgsverd µ 0 og stadardavvk, Z ~ N0, Kumulatv stadard ormafordelg Gz Z<z fes tabeller D.3 sde 48 lærebok Regel: gtt ormalfordelt med forvetgsverd µ og stadardavvk : ~ Nµ, µ Varabele Z vl da være stadard ormalfordelt Z ~ N0, eregger: gtt ormalfordelt med forvetgsverd µ og stadardavvk : ~ Nµ, a µ <a Fa G b µ a µ a<<b Fb Fa G - G a µ >a - Fa - G Kvatler z α tabell D.4 sde 48 lærebok: Gtt e sasylghet α., z α kalles da α-kvatlet og er defert som verde z α som gr sasylgete for at e tlfeldg varabel Z ~ N0, er større e z α er lk α: Z> z α α predgstervall: Gtt ormalfordelt med forvetgsverd µ og st.avvk : ~ Nµ, 00-α% av verdee fes da tervallet µ ± z α/ 00-α% av verdee er større e µ z α. 00-α% av verdee er mdre e µ z α. ummasjo av ormalfordelte varabler: Gtt,,... uavhegge og ormalfordelte varabler ~ Nµ,,,.., og a, a,... a er kostater. Varabele Y a a... a er da ormalfordelt Y ~ Nµ, med µ a µ a µ... a µ og a a... a pesaltlfeller summasjo: umme av eheter av samme ormalfordelte varabel Nµ, vl være ormalfordelt Nµ, Gjeomsttet av eheter av samme ormalfordelte varabel ~ Nµ, vl være ormalfordelt ~ Nµ,/ FO4N tatstkk, Mattekologsk utdag, MMT, HT høst 006 sde 5 av

6 5.8 etralgreseteoremet etralgreseteoremet er et svært vktg resultat og et meget yttg verktøy statstkke. Det ka bevses matematsk at hvs ma summerer flere varabler fra samme sasylghetsfordelg vl dee summe ærme seg e ormalfordelg. Dette gjelder uasett hvlke fordelg de opprelge varabele tlhørte. Regel 5.8 La,,... være uavhegge varabler fra samme sasylghetsfordelg med forvetg µ og stadardavkk. Da er... tlærmet ormalfordelt ~ N µ, Regel 5.9 La,,... være uavhegge varabler fra samme sasylghetsfordelg med forvetg µ og stadardavkk. Da er summe Y... tlærmet ormalfordelt Y ~ Nµ, Normaltlærmg Ved tlstrekkelg store tall ka omalfrodelge yttes som e tlærmg tl adre kjete fordelger: Regel 5.0 Hvs er bomsk, hypergeometrsk elle possofordelt med forvetg µ og stadardavkk, da er tlærmet ormalfordelt år v forusetter at > 5. Da gjelder < F omsk: Hypergeomertsk: µ G µ p p-p µ p N p-p N p M/N osso: µ λ λ alt. µ λ t λ t Tlleggsbetgelser: - omsk fordelg: p bør kke være for ær 0 eller - Hypergeometrsk: N mye større e, og p M/N bør kke være for ær 0 eller - ossofordelg: bør helst ha oppfylt at λt > 0 Heltallskorreksjo: ved ormaltlærmg tl e dskret heltallsvarabel oppås best tlærg ved å erstatte med 0,5 kumulatv stadard ormalfordelg G. FO4N tatstkk, Mattekologsk utdag, MMT, HT høst 006 sde 6 av

7 Kap 6. Estmerg og hypotesetestg uktestmatorer Forvetgsverd: µ... gjeomstt Varas: tadardavvk: asylghet p: p {at. gustge utfall / totalt atall forsøk} Rate λ: λ {at. hedelser tdsrom t / t } t Kofdestervaller. Gtt observasjoer,,... fra fordelg med ukjet µ og kjet. 00-α% kofdestervall for forvetgsverde µ er da gtt ved: z z α /, α / - z α / er α/-kvatle stadard ormalfordelg - forutsetter ormalfordelt eller > 0. tall observasjoer for å oppå tervallegde L: z L α /. Gtt observasjoer,,... fra fordelg med ukjet µ og ukjet. 00-α% kofdestervall for forvetgsverde µ er da gtt ved: t t α /, α / - t α / er α/-kvatle t-fordelge med - frhetsgrader - forutsetter ormalfordelt eller > 30. tall observasjoer for å oppå tervallegde L: z L α / { fra plotstude} FO4N tatstkk, Mattekologsk utdag, MMT, HT høst 006 sde 7 av

8 C. omsk modell med forsøk og gustge utfall 00-α% tlærmet kofdestervall for sasylghete p er gtt ved: p z p p, p z α / α / p p - z α / er α/-kvatle stadard ormalfordelg p - forutsetter at er tlærmet ormalfordelt p p > 5 tall observasjoer for å oppå tervallegde L: z α / L D. ossofordelg med hedelser tdsrom t 00-α% tlærmet kofdestervall for rate λ er gtt ved: λ z λ α /, λ zα / t λ t λ t - z α / er α/-kvatle stadard ormalfordelg - forutsetter at er tlærmet ormalfordelt λ > 0 t Hypotesetestg p-verd sgfkassasylghet: sasylghete, hvs ullhypotese H 0 er sa, for å få et resultat lk det observerte eller legre bort fra ullhypotese. Geerelt gjelder at hvs ma fer p < α, så ka ullhypotese H 0 forkastes med sgfkasvå α.. Hypotesetest av µ år er kjet Z-test kal teste forvetgsverd tl et materale forhold tl e gtt verd µ 0. Gtt observasjoer,,..., med forutsetg om at er ormalfordelt eller > 0, og valgt sgfkasvå α. µ - Testobservator Z 0 - Fer z α α-kvatle stadard ormalfordelge eller z α/ α/-kvatle for -sdg test Test : H 0 : µ < µ 0 H : µ > µ 0 Forkast H 0 hvs Z > z α p GZ Test : H 0 : µ > µ 0 H : µ < µ 0 Forkast H 0 hvs Z <-z α p GZ Test 3: H 0 : µ µ 0 H : µ µ 0 Forkast H 0 hvs Z > z α/ p GZ hvs Z<0 p G-Z hvs Z>0 FO4N tatstkk, Mattekologsk utdag, MMT, HT høst 006 sde 8 av

9 . Hypotesetest av µ år er ukjet t-test kal teste forvetgsverd tl et materale forhold tl e gtt verd µ 0. Gtt observasjoer,,..., med forutsetg om at er ormalfordelt eller > 30, og valgt sgfkasvå α. - uktestmatorer for forvetg og stadardavvk og µ 0 - Testobservator T - Fer t α α-kvatle t-fordelge med - frhetsgrader Test : H 0 : µ < µ 0 H : µ > µ 0 Forkast H 0 hvs T > t α p < α hvs T > t α Test : H 0 : µ > µ 0 H : µ < µ 0 Forkast H 0 hvs T <-t α p < α hvs T < - t α Test 3: H 0 : µ µ 0 H : µ µ 0 Forkast H 0 hvs T > t α/ p < α hvs T > t α/ C. Hypotesetest av sasylghet p kal teste sasylghet p e bomsk modell forhold tl e gtt verd p 0. Gtt forsøk med atall øskede resultat, med forutsetg om at er tlærmet ormalfordelt <> p-p > 5, og valgt sgfkasvå α. - uktestmator for sasylghet p {at. gustge utfall / totalt atall forsøk} p p0 p0 - Testobservator Z p 0 p0 p0 p0 - Fer z α α-kvatle stadard ormalfordelge eller z α/ α/-kvatle for -sdg test sgfkassasylghet p-verd Test : H 0 : p < p 0 H : p > p 0 Forkast H 0 hvs Z > z α p GZ Test : H 0 : p > p 0 H : p < p 0 Forkast H 0 hvs Z <-z α p GZ Test 3: H 0 : p p 0 H : p p0 Forkast H 0 hvs Z > z α/ p GZ hvs Z<0 p G-Z hvs Z>0 FO4N tatstkk, Mattekologsk utdag, MMT, HT høst 006 sde 9 av

10 Kap 7. alyse av sammeheger Korrelasjo Gtt observasjospar,y,,y,...,,y. Kovaras samvarasjo bereges ved Y Y Y Korrelasjoskoeffsete r eller R utrykker grade av leær rettljet samsvar mellom - og Y verder, og bereges ved Y r Y Y Y Y Y For r gjelder: o verde er alltd mellom og r <,0 o r ær 0 agr ge eller lte leær sammeheg, r ær agr sterk leær sammeheg o r < 0 agr at Y avtar med voksede r > 0 agr at Y øker med voksede Korrelasjo utrykkes ofte ved r eller R, eksempler: r -0,7 > r 0,49 r 0,9 > r 0,8 Ekel leær regresjo Mste kvadraters rette lje Gtt observasjospar,y,,y,...,,y. Mste kvadraters metode gr de lje som er best tlpasset observasjoee ved Y a b med b Y Y og a Y b r Y Kap 8. ammelgg av grupper Radomserg: skre represetatvt utvalg for aalyse ved tlfeldg utvalg og rekkefølge, aoymserg, bld og dobbelt bld udersøkelse. arg og blokkg: Idelg av observasjoee par, eller grupper som represeter blokker. alyser av ormalfordelte data: - T-test: paret eller uparet sammelgg av forvetgsverd to grupper - Varasaalyse NOV: sammelgg av forvetgsverd flere e to grupper alyser av kke ormalfordelte data: Ma-Whtey-Wlcoo, aret Wlcoo, Fortegstest, Kruskal-Walls og Fredma alyse av gruppelkhet krysstabeller spørreudersøkelser: Kj-kvadrattest FO4N tatstkk, Mattekologsk utdag, MMT, HT høst 006 sde 0 av

11 T-test for sammelgg av forvetet gjeomstt for to grupper Gtt observasjoer,,... og Y, Y,... Y med forutsetg om at -er og Y-er er ormalfordelte stokastske varabler. kal udersøke om gruppees gjeomstt, µ for og µ for Y, er forskjellge.. Uparet t-test med atatt lke varaser tagelse: og Y har samme varas Iterpolert varas: Testobservator: p T Y p Forkastgsgrese: t α α-kvatle t-fordelge med frhetsgrader eller t α/ α/-kvatle for -sdg test. Uparet t-test med atatt ulke varaser Forutsetg: > 30 og > 30 Testobservator: T Y Forkastgsgrese: t α α-kvatle t-fordelge med frhetsgrader eller t α/ α/-kvatle for -sdg test C. aret t-test Forutsetg: Data par, Y for,.., Dfferaser: D - Y Testobservator: D T D Forkastgsgrese: t α α-kvatle t-fordelge med - frhetsgrader eller t α/ α/-kvatle for -sdg test Test : H 0 : µ < µ H : µ > µ Forkast H 0 hvs T > t α p < α hvs T > t α Test : H 0 : µ > µ H : µ < µ Forkast H 0 hvs T <-t α p < α hvs T < - t α Test 3: H 0 : µ µ H : µ µ Forkast H 0 hvs T > t α/ p < α hvs T > t α/ pped: Overskt over statstkkfuksjoer på kalkulator hp 30 [mode] - TT - -VR: gr og mm. [mode] - TT - -VR: gr r, a og b mm. korrelasjo og regresjo [mode] - TT - CLR-DT: ullstller statstkkmet [R] gr kombatorkk: r,r Cr C,r! fakultet r FO4N tatstkk, Mattekologsk utdag, MMT, HT høst 006 sde av