ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

Transkript

1 ÅMA0 Sasylghetsregg med statstkk, våre 007 Kp. 5 Estmerg. Målemodelle. Estmerg. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estmerg bomsk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (Pukt)Estmerg målemodelle (kp. 5.3) 4. Estmere, estmat, estmator 5. Itervallestmerg (kofdestervall) (kp. 5.4) målemodell med a) ormalatakelse og kjet varas, eller med b) ormaltlærmg bomsk modell med ormaltlærmg 3 Estmerg bomsk modell Dersom v har stuasjoe ~B(, p), og v vet verde på p (og ), ka v berege alle øskede sasylgheter og relaterte størrelser. I prakss er det ofte e eller flere ukjete parametere de sasylghetsmodelle som betraktes. 4

2 stkkpr. ormal, 5% Estmerg bomsk modell I prakss er det ofte e eller flere ukjete parametere de sasylghetsmodelle som betraktes. Eks.: Kvaltetskotroll m/stkkprøver av løpede produksjo. E og ae ehet er defekt; f.eks.: 5% defekte ( det lage løp) ases som ormalt. 5 Estmerg bomsk modell Eks.: Stkkprøver: tlfeldg valgte eheter hver tme; la være at. defekte stkkpr. r.. Ma ser på /, for =,, 3,... 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 stkkpr. ormal, 5% 0,0 0, Estmerg bomsk modell Eks.: I slke stuasjoer er det ofte rmelg å ata: ~B(, p ); p er å e ukjet parameter ( : tlfeldg varabel) p : uderlggede defektsasylghet på det tdspuktet stkkpr. r. blr tatt. 0, p = 0.05: ormalt 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 p > 0.05: kke ormalt, oe har forårsaket økt adel defekte (uormalt stor adel defekte) 0,

3 stkkpr. ormal, 5% Estmerg bomsk modell Eksempelet: ma estmerer verde på e ukjet parameter ( e sasylghetsmodell). Geerelle problemstllger hvorda gjøre estmat (grett eks.)? hva med uskkerhet estmatet? hvorda trekke koklusjoer på bakgru av estmatet? (kp. 6) 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0, Estmerg bomsk modell La = atall defekte e stkkprøve på eheter. V har da: ~B(, p); Resultatet, x, av stkkprøve ses på som et utfall av p = defektsasylghet (ukjet) Estmat : x ( tall som er et aslag på p) Estmator : pˆ (tlfeldg varabel) Estmerg bomsk modell Estmatore pˆ er forvetgsrett for p. E( pˆ) p Fortolkg: gjeomsttsresultatet av mage (tekte) repetsjoer ærmer seg vrkelg p. Bevs : E( pˆ) E E p p 4

4 Estmerg bomsk modell Mål på statstsk uskkerhet: Var( pˆ) p( p) SD( pˆ) p( p) Bevs : Var(pˆ) Var Var p( p) p( p) 6 Estmerg bomsk modell Eks.: 7 defekte av =00. Estmat av p:... Estmat av stadardavvk tlhørede estmatet:... 7 Estmerg bomsk modell Eks.: Megsmålg 400 av 00 spurte vl stemme på et bestemt part. Resultat av megsmålg: (400 av 00 er 30%) 30% oppslutg om partet Statstsk uskkerhet??? 0

5 Estmerg bomsk modell Eks.: Megsmålg 400 av 00 spurte vl stemme på et bestemt part. Statstsk tekg: tlfeldg utvalg fra de N populasjoe (der M vl stemme på partet) De vrkelge oppslutge M er adele. N Estmerg bomsk modell Eks.: Megsmålg 400 av 00 spurte vl stemme på et bestemt part. Statstsk tekg: Resultatet av megsmålge ka oppfattes som et utfall e tlfeldg varabel, Y, der Y er hypergeometrsk fordelt (N, M, ), (=00). Y er et estmat av de M vrkelge er adele. N 4 Estmerg bomsk modell Eks.: Megsmålg 400 av 00 spurte vl stemme på et bestemt part. Statstsk aalyse: er lte forhold tl N. Derfor er Y tlærmet bomsk fordelt: Y er tlærmet ~ B( 00, p ), der M p. N 5

6 Estmerg bomsk modell Eks.: Megsmålg 400 av 00 spurte vl stemme på et bestemt part. Statstsk aalyse: estmat av p: y Estmator : pˆ Y stadardavvk tl estmator : ; SD( pˆ) p( p) estmat av stadardavvk tl estmator : 0.3( 0.3) Estmerg bomsk modell Geerelt om estmerg: Estmat (tall) Estmator (tlfeldg varabel) forvetg og varas/std.avvk tl estmator estmert std.avvk tl estmator Forvetgsrett estmator Best estmator (seere) 8 Estmerg bomsk modell Estmerg av suksessasylghete bomsk modell: ~ B(,p) Estmator for p : Forevtgsrett : E pˆ pˆ p Varas tl estamtor : Var pˆ p( p) 9

7 Estmerg. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estmerg bomsk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (Pukt)Estmerg målemodelle (kp. 5.3) 4. Estmere, estmat, estmator 5. Itervallestmerg (kofdestervall) (kp. 5.4) målemodell med a) ormalatakelse og kjet varas, eller med b) ormaltlærmg bomsk modell med ormaltlærmg 30 Målemodelle (kp. 5.3) Ofte er stuasjoe at våre data er fra e kotuerlg varabel; f.eks. dataee x, x,..., x er målger av bruddstyrke målger av ph et va målger av blodsukkerhold for e perso... 3 Målemodelle (kp. 5.3) Eks.: V har gjort =0 målger (x, x,..., x ) av ph Breavatet; 6.00, Gjeomstt: 5.7 Statstsk takegag: V oppfatter de 0 målgee som utfall av e (kotuerlg) fordelg: 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 målg x betraktes som utfall av tlfeldg varabel 33

8 Målemodelle (kp. 5.3) Eks.: V har gjort =0 målger (x, x,..., x ) av ph Breavatet; 6.00, Gjeomstt: 5.7 Statstsk takegag: V oppfatter de 0 målgee som utfall av e (kotuerlg) fordelg: Målemodelle: målger, x, x,..., x, betraktes som utfall av tlfeldge varable:,,...,, og,,..., atas å være uavhegge og detsk fordelte tlfeldge varable. 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 (Ofte er fordelge tl ee kotuerlg.) 34 Målemodelle (kp. 5.3) Målemodelle: Sde,,..., er (atas å være) detsk fordelte, har alle samme forvetg og varas: Forvetg : Varas for,, E( ) : Var( ), 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 35 Målemodelle (kp. 5.3) Eks.: V har gjort =0 målger (x, x,..., x ) av ph Breavatet; 6.00, Gjeomstt: 5.7 Målemodelle, fortolkg: ) E( : vrkelg ph : grad av tlfeldg varasjo omkrg vrkelg verd 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 Var( ) 36

9 Estmerg. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estmerg bomsk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (Pukt)Estmerg målemodelle (kp. 5.3) 4. Estmere, estmat, estmator 5. Itervallestmerg (kofdestervall) (kp. 5.4) målemodell med a) ormalatakelse og kjet varas, eller med b) ormaltlærmg bomsk modell med ormaltlærmg 37 (Pukt)Estmerg målemodelle Ukjete parametere målemodelle: forvetg og varas, og. Estmatorer: ˆ ˆ S 38 (Pukt)Estmerg målemodelle Eks.: V har gjort =0 målger (x, x,..., x ) av ph Breavatet; 6.00, Gjeomstt: 5.7 Estmat av forvetg: 5.7 Estmat av varas: {( ) +...+(6.-5.7) }/9 = = Obs.: Estmatee er (valge) tall; Estmatoree er tlfeldge varable! 40

10 4 (Pukt)Estmerg målemodelle Estmatoree er forvetgsrette: ˆ og ˆ ) E( E( ) E E(ˆ) 4 (Pukt)Estmerg målemodelle Fortolkg av forvetgsretthet? 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 ˆ) E( 43 (Pukt)Estmerg målemodelle Varas tl estmatore : ˆ 0) (kovaraser ) Var( Var( ) Var Var(ˆ)

11 (Pukt)Estmerg målemodelle Estmatore ˆ er forvetgsrett: E ˆ E 44 (Pukt)Estmerg målemodelle Geerelt: V har målger, x, x,..., x, og tlhørede tlfeldge varable,,,...,. La være e (ukjet) parameter fordelge tl ee, og ˆ e estmator av. ˆ V ser er forvetgsrett for, dersom E( ˆ) 45 (Pukt)Estmerg målemodelle Geerelt: V har målger, x, x,..., x, og tlhørede tlfeldge varable,,,...,. La være e (ukjet) parameter fordelge tl ee, og ˆ e estmator av. ˆ V ser er forvetgsrett for, dersom E( ˆ) (Begrepet og defsjoe gjelder kke bare for målemodelle, aturlgvs også for bomsk modell, Possomodell, osv....) 46

12 (Pukt)Estmerg målemodelle Geerelt om best estmator: Dersom v ka velge mellom flere forvetgsrette estmatorer, velger v de med mst varas. 47 (Pukt)Estmerg målemodelle Eks., Best estmator: Det var plalagt 5 målger av ph et bestemt va. 0 målger med bra apparat; 5 målger med reserveapparat (mdre presst). Gj.s. av 0 første: 5.83 Gj.s. av 5 sste : (Pukt)Estmerg målemodelle Eks., Best estmator: Det var plalagt 5 målger av ph et bestemt va. 0 målger med bra apparat; 5 målger med reserveapparat (mdre presst). Gj.s. av 0 første: 5.83 Gj.s. av 5 sste : 6. Er gjeomsttet ( )/ = 6.03 det beste aslaget (estmatet) av vrkelg ph? 49

13 (Pukt)Estmerg målemodelle Eks., Best estmator: Det er oppgtt fra målestrumetleveradøre at målger med bra app. har tlh. std.avvk =, og målger med det adre app. har tlh. std.avvk=4. 0 første målger: x,..., x 0 5 sste målger : y,..., y 5 50 (Pukt)Estmerg målemodelle Eks., Best estmator: 0 første målger: x,..., x 0 ; 5 sste målger : y,..., y 5 ; Metoder: : x y x y 6.03 : 5 x x 0 y y 5 0 x 5 5 y : 3 35 x 3 35 y (Pukt)Estmerg målemodelle Eks., Best estmator: ph: 6.03, 6.06 eller 5.86???? Hva skal v rapportere? Hva skal begruelse for valget være? : x y : 5 3: x x y y x y x y x 35 3 y

14 (Pukt)Estmerg målemodelle Eks., Best estmator: Statstsk aalyse vha. målemodell (x) og estmergsteor!,, 0 ; E( ), (0 uavhegge og detsk SD( ) fordelte tlf.var.) Y,,Y 5 ; E(Y ), SD( ) 4 (5 uavhegge og detsk fordelte tlf.var.) 54 (Pukt)Estmerg målemodelle Eks., Best estmator:,, 0 ; E( ), SD( ) (0 uavhegge og detsk fordelte tlf.var.) Y,, Y ; 5 E(Y ), SD( ) 4 (5 uavhegge og detsk fordelte tlf.var.) V vl estmere forvetge, estmator!, med best De tre metodee aalyseres som tre estmatorer! 55 (Pukt)Estmerg målemodelle Eks., Best estmator: 5 uavhegge tlfeldge varable:,..., 0, Y,..., Y 5 ; Estmatorer: ˆ ˆ 0 5 Y 5 Y 5 ˆ Y 35 56