ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Estimering. Målemodellen. Kp. 5 Estimering. Målemodellen.

Transkript

1 ÅMA0 Sasylghetsregg med statstkk, våre 006 Kp. 5 Estmerg. Målemodelle. Estmerg. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estmerg bomsk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.). (kp. 5.) 4. Estmere, estmat, estmator 5. Itervallestmerg (kofdestervall) (kp. 5.4) målemodell med a) ormalatakelse og kjet varas, eller med b) ormaltlærmg bomsk modell med ormaltlærmg Estmerg. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estmerg bomsk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.). (kp. 5.) 4. Estmere, estmat, estmator 5. Itervallestmerg (kofdestervall) (kp. 5.4) målemodell med a) ormalatakelse og kjet varas, eller med b) ormaltlærmg bomsk modell med ormaltlærmg

2 stkkpr. ormal, 5% Estmerg bomsk modell Dersom v har stuasjoe X~B(, p), og v vet verde på p (og ), ka v berege alle øskede sasylgheter og relaterte størrelser. I prakss er det ofte e eller flere ukjete parametere de sasylghetsmodelle som betraktes. 4 Estmerg bomsk modell I prakss er det ofte e eller flere ukjete parametere de sasylghetsmodelle som betraktes. Eks.: Kvaltetskotroll m/stkkprøver av løpede produksjo. E og ae ehet er defekt; ved ormal drft er 5% defekte ( det lage løp). 5 Estmerg bomsk modell Eks.: Stkkprøver: tlfeldg valgte eheter hver tme; la X være at. defekte stkkpr. r.. Ma ser på X /, for =,,,... 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0,

3 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0,00 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0, st k kpr. or mal, 5 % st k kpr. or mal, 5 % Estmerg bomsk modell Eks.: I slke stuasjoer er det ofte rmelg å ata: X ~B(, p ); p er å e ukjet parameter (X : tlfeldg varabel) 7 Estmerg bomsk modell Eks.: I slke stuasjoer er det ofte rmelg å ata: X ~B(, p ); p er å e ukjet parameter (X : tlfeldg varabel) p : uderlggede defektsasylghet på det tdspuktet stkkpr. r. blr tatt. p = 0.05: ormalt p > 0.05: kke ormalt, oe har forårsaket økt adel defekte (uormalt stor adel defekte) 8 Estmerg bomsk modell Eksempelet: ma estmerer verde på e ukjet parameter ( e sasylghetsmodell). Geerelle problemstllger hvorda gjøre estmat (grett eks.)? hva med uskkerhet estmatet? hvorda trekke koklusjoer på bakgru av estmatet? (kp. 6) 9

4 Estmerg bomsk modell s. 79, 80 og 8 otatee : Om estmerg bomsk modell 0 Estmerg bomsk modell Geerelt om estmerg: Estmat (tall) Estmator (tlfeldg varabel) forvetg og varas tl estmator Forvetgsrett estmator Best estmator Estmerg bomsk modell Estmerg av suksessasylghete bomsk modell: X ~ B(,p) Estmator for p : Forevtgsrett : X pˆ = E( pˆ ) = L = p Varas tl estamtor : p( p) Var( pˆ ) = L = 4

5 Estmerg. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estmerg bomsk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.). (kp. 5.) 4. Estmere, estmat, estmator 5. Itervallestmerg (kofdestervall) (kp. 5.4) målemodell med a) ormalatakelse og kjet varas, eller med b) ormaltlærmg bomsk modell med ormaltlærmg Målemodelle (kp. 5.) Ofte er stuasjoe at våre data er fra e kotuerlg varabel; f.eks. dataee x, x,..., x er målger av bruddstyrke målger av ph et va målger av blodsukkerhold for e perso... 4 Målemodelle (kp. 5.) Eks.: V har gjort =0 målger (x, x,..., x ) av ph Breavatet; 6.00, Gjeomstt: 5.7,00 4,00 5,00 6,00 7,00 5 5

6 Målemodelle (kp. 5.) Eks.: V har gjort =0 målger (x, x,..., x ) av ph Breavatet; 6.00, Gjeomstt: 5.7 Statstsk takegag: V oppfatter de 0 målgee som utfall av e (kotuerlg) fordelg:,00 4,00 5,00 6,00 7,00 målg x betraktes som utfall av tlfeldg varabel X 6 Målemodelle (kp. 5.) Eks.: V har gjort =0 målger (x, x,..., x ) av ph Breavatet; 6.00, Gjeomstt: 5.7 Statstsk takegag: V oppfatter de 0 målgee som utfall av e (kotuerlg) fordelg: Målemodelle: målger, x, x,..., x, betraktes som utfall av tlfeldge varable: X, X,..., X, og X, X,..., X atas å være uavhegge og detsk fordelte tlfeldge varable. (Ofte er fordelge tl X ee kotuerlg.),00 4,00 5,00 6,00 7,00 7 Målemodelle (kp. 5.) Målemodelle: Sde X, X,..., X er (atas å være) detsk fordelte, har alle samme forvetg og varas: Forvetg : E(X ) = μ Varas : Var(X ) = σ, for =, K,,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8 6

7 Målemodelle (kp. 5.) Eks.: V har gjort =0 målger (x, x,..., x ) av ph Breavatet; Gjeomstt: , Målemodelle, fortolkg: E(X ) = μ : vrkelg ph,00 4,00 5,00 6,00 7,00 Var(X : grad av ) = σ μ tlfeldg varasjo omkrg vrkelg verd 9 Estmerg. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estmerg bomsk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.). (kp. 5.) 4. Estmere, estmat, estmator 5. Itervallestmerg (kofdestervall) (kp. 5.4) målemodell med a) ormalatakelse og kjet varas, eller med b) ormaltlærmg bomsk modell med ormaltlærmg 0 Ukjete parametere målemodelle: forvetg og varas, μ og σ. Estmatorer: = X = L ( X + + X ) σˆ = S = = ( X X) 7

8 Eks.: V har gjort =0 målger (x, x,..., x ) av ph Breavatet; Gjeomstt: , Estmat av forvetg: 5.7 Estmat av varas: {( ) +...+(6.-5.7) }/9 = = 0.90 Eks.: V har gjort =0 målger (x, x,..., x ) av ph Breavatet; 6.00, Gjeomstt: 5.7 Estmat av forvetg: 5.7 Estmat av varas: {( ) +...+(6.-5.7) }/9 = = 0.90 Obs.: Estmatee er (valge) tall; Estmatoree er tlfeldge varable! Estmatoree og ˆ σ er forvetgsrette: E() = E = = ( X + L+ X ) { E(X ) + L+ E(X )} { μ + L+ μ} = μ = μ = 4 8

9 Fortolkg av forvetgsretthet? E( ) = μ,00 4,00 5,00 6,00 7,00 μ 5 Varas tl estmatore : Var() = Var ( X + L+ X ) = = { Var(X ) + L+ Var(X )} (kovaraser = 0) = { σ + L+ σ } σ = σ = 6 Estmatore σˆ er forvetgsrett: E = = = ( σˆ ) E ( X X) = L σ 7 9

10 Geerelt: V har målger, x, x,..., x, og tlhørede tlfeldge varable, X, X,..., X. La θ være e (ukjet) parameter fordelge tl X ee, og θˆ e estmator av θ. V ser θˆ er forvetgsrett for θ, dersom E( θˆ) = θ 8 Geerelt: V har målger, x, x,..., x, og tlhørede tlfeldge varable, X, X,..., X. La θ være e (ukjet) parameter fordelge tl X ee, og θˆ e estmator av θ. V ser θˆ er forvetgsrett for θ, dersom E( θˆ) = θ (Begrepet og defsjoe gjelder kke bare for målemodelle, aturlgvs også for bomsk modell, Possomodell, osv....) 9 Geerelt om best estmator: Dersom v ka velge mellom flere forvetgsrette estmatorer, velger v de med mst varas. 0 0

11 Det var plalagt 5 målger av ph et bestemt va. 0 målger med bra apparat; 5 målger med reserveapparat (mdre presst). Gj.s. av 0 første: 5.8 Gj.s. av 5 sste : 6. Det var plalagt 5 målger av ph et bestemt va. 0 målger med bra apparat; 5 målger med reserveapparat (mdre presst). Gj.s. av 0 første: 5.8 Gj.s. av 5 sste : 6. Er gjeomsttet (5.8+6.)/ = 6.0 det beste aslaget (estmatet) av vrkelg ph? Det er oppgtt fra målestrumetleveradøre at målger med bra app. har tlh. std.avvk =, og målger med det adre app. har tlh. std.avvk=4. 0 første målger: x,..., x 0 5 sste målger : y,..., y 5

12 0 første målger: x,..., x 0 ; 5 sste målger : y,..., y 5 ; Metoder: : ( x + y) = = x + y = 6.0 : 5 ( x + L+ x + y + L+ y ) 0 5 = 0 5 x + y = : x 5 + y = ph: 6.0, 6.06 eller 5.86???? Hva skal v rapportere? Hva skal begruelse for valget være? : ( x + y) = 0 5 : ( x + L+ x0 + y + L+ y5) = x + y = : = x + y = 6.0 x + y = Statstsk aalyse vha. målemodell (x) og estmergsteor! 6

13 Statstsk aalyse vha. målemodell (x) og estmergsteor! X, K,X 0 ; E(X ) = μ, SD(X ) = (0 uavhegge og detsk fordelte tlf.var.) Y, K,Y 5 ; E(Y ) = μ, SD(X ) = 4 (5 uavhegge og detsk fordelte tlf.var.) 7 X, K, X ; 0 E(X ) = μ, SD(X ) = (0 uavhegge og detsk fordelte tlf.var.) Y, K, Y ; V vl estmere forvetge, estmator! 5 E(Y ) = μ, (5 uavhegge og detsk fordelte tlf.var.) μ, med best SD(X ) = 4 De tre metodee aalyseres som tre estmatorer! 8 5 uavhegge tlfeldge varable: X,..., X 0, Y,..., Y 5 ; Estmatorer:

14 V ka vse at alle tre estmatoree er forvetgsrette. V bør da velge de som har mst varas. V får: Var Var ( ) ( ) = L = 0.9 = L = 0.40 Var ( ) = L = Med adre ord: estmator r. er de beste. V bør rapportere (og ha mest tllt tl) resultatet: x 5 + y = Var( ) = L = 0.9 Var( ) = L = 0.40 Var( ) = L = Med adre ord: estmator r. er de beste. V bør rapportere (og ha mest tllt tl) resultatet: x 5 + y = Var( ) = L = 0.9 FORTOLKNING Var( ) = L = 0.40 Var( ) = L =