Erling Siring INNHOLD
|
|
- Halfdan Arntzen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 IN 83/4 8. februar 983 ESTIMERING AV VEKTENE TIL EN KOMBINERT ESTIMATOR FOR FYLKESTALL Av Erlg Srg INNHOLD. Iledg 2. De optmale vektee og robusthetsegeskapee tl de komberte estmatore Problemet ved å estmere de optmale vektee 5 4. Forslag tl estmatorer ved e ett-trs utvalgspla 6 5. UtprOvg av estmatoree ved hjelp av smulergsforsok Opplegget for smulergsforsøkee Presetasjo av resultatee Forslag tl estmatorer ved Byråets utvalgspla 6. E geeralserg av estmatoree 4 7. Dfferase mellom fylkestall 6 8. Koklusjoer og oppsummerg Ltteratur..... Sde 8
2 . INNLEDNING I Srg og Thomse (98) er det beskrevet forskjellge metoder for estmerg av fylkestall år e har data fra e utvalgsudersøkelse. Tre av dsse metodee er: () Drekte estmerg () Sytetsk estmerg () Kombasjo av ( ) og (). Metode () går ut på at e aveder observasjoer fra et fylke drekte. Metode () går ut på at e bruker observasjoer fra hele ladet, og justerer for at fordelgee med hesy tl vsse demografske varable er aerledes et ekelt fylke e hele ladet. La D betege de drekte estmator og S e sytetsk estmator for et fylkestall. Metode () går ut DA at e komberer () og () pa folgede måte: K = cs + (-c) D K kaller v her for e kombert estmator. Det er vst at e ka oppå e reduksjo av bruttovarase med ærmere 50 Droset vsse tlfeller ved A bruke K stedet for S eller D som estmator for fylkestall. Gevste ved å avede K er bl.a. avhegg av valget av c-verd. De verd av c som mmerer bruttovarase tl K, er e fuksjo av bruttovarasee tl S oa D som er ukjete år e ku har data fra e utvalgsudersøkelse. I dette otatet skal v behadle problemet med å estmere de optmale c-verd, som heretter vl bl kalt c* I kap. 2 skal v studere c* og egeskapee tl de komberte estmatore K. I kap. 3 skal v se på vaskelghetee ved d estmere c*. E framgagsmåte for å kue estmere c* oreseteres kw). 4. Vdere blr det dette kaptlet presetert kokrete forslag tl estmatorer for c* år e har e ett-trs utvalgspla. I avstt 5.3. preseteres estmatorer for c* som ka brukes ved Byråets utvalgspla. For A kue vurdere kvaltete tl de komberte estmatore forhold tl D og S, har v foretatt oe smulergsforsok. Dsse forsøkee er bltt gjort ved hjelp av data fra folketellge 970. Resultatee preseteres kap. 5. Folketellgee gr bl.a. tall for sysselsettg forskjellge ærger. V har her kosetrert oss om estmerg av adele av befolkge som er sysselsatt e ekelte araer. Dette betyr at estmatoree for c* er utvklet for dkotome varable. Ved A modfsere dem oe ka de mdlertd også brukes år e har kotuerlge varable. Dette blr behadlet kap. 6. DE OPTIMALE VEKTENE OG ROBUSTHETSEGENSKAPENE TIL DEN KOMBINERTE ESTIMATOREN La p betege de parametere som skal estmeres for fylke r., og la D, og K betege heholdsvs de drekte, de sytetske og de komberte estmatore for fylke r.. K c S + (-c ) D. V forutsetter at c-verde ka varere fra fylke tl fylke. V lar c* betege de c -verde som mmerer E (K - p0 2 3dvs. bruttovarase tl K. () I Srg og Thomse (98) er det vst at: cs5 - E (D-p) 2 - E (D.-p.) (S.-p.) E(D -p ) 2 -- E (S - ) 2-2E (D.-D)S- ) vt: ka også skrves DA folgede form: (2) c*_ var D. + (ED -D.) 2 - coy (D, S ) - (ED - ) (ES- p) var D. + var S + (ES -p) 2 + (ED -p) 2-2 coy (D,S) - 2(ES -0.) (ED.-0 ) Fra () ser v at hvs bruttovarase tl D. er mye større e bruttovarase tl S, vl lage ær og K vl bl tlærmet lk S. Omvedt ser v at hvs bruttovarase tl S er mye starre e bruttovarase tl D, vl c* lgge ær 0, og K vl bl tlærmet lk D. Fra (2) ser
3 2 v at skjevhetee tl D. og S går formlee for Som evt ledge har v her kosetrert oss om estmerg av adele av befolkge som er sysselsatt e forskjellge ærger. De drekte estmatore, D, blr da de observerte frekvese for fylke r. utvalget. Som reoresetat for klasse av sytetske estmatorer har v her valgt å bruke de aller ekleste av de sytetske estmatoree, emlg frekvese hele det ladsomfattede utvalget. Dee estmatore kaller v p, og forvetge tl kaller v p. De komberte estmatore blr da: K.. c + (-c.) D.. V ka eve tre årsaker tl at v har brukt stedet for e mer "avasert" sytetsk estmator eller e regresjosestmator som Fay og Herrot (979): () () Det har medfort mdre regearbed. I Laake og Lagva (976) er det presetert resultater som dkerer at det har moderat effekt å utytte data om kjøs- og aldersfordelge hvert fylke ved estmerg av sysselsettgstall. () V har lagt mer vekt på å fe fram tl e metode for å kue estmere c e A søke etter e "optmal" estmator for p. Tl tross for () tror v at e mage tlfeller vl kue fe e lagt bedre sytetsk estmator e 3. E vl da kue kostruere e bedre kombert estmator e de som blr presetert her. Gevste ved å avede e kombert estmator stedet for e drekte estmator vl derfor kue bl storre e resultatee dette otatet dkerer. For A forekle regearbedet og for det hele tatt å mulggjøre smulergsforsøkee som er beskrevet kap. 5, skal v å forutsette at v har e utvalgsola der v trekker ekle, tlfeldge utvalg fra hvert fylke. Vdere skal v forutsette at atall persoer som trekkes fra hvert fylke, er proporsjoalt med folketallet fylket. Forutsetgee som er beskrevet over, gr: ( 3 ) ED = p cov(d, -) var D. der,. er atall observasjoer fra fylke r. og er atall observasjoer fra hele ladet. (l-p.) Vdere har v at var D. p. ^ 00-) ogatvar Ved å sette dette (2) og rege ltt fer e så: (4) C * ( -2P-(-p.) P(-PHP-P) 2. Når e skal estmere c *, er det vktg å vte hvor robust kvaltete tl K. er for forskjellge valg av C. Fgur, 2 og 3 vser hvorda bruttovarase tl K. varerer med c. for forskjellge relasjoermellorlbruttovaraseetlp.og P. De horsotale ljee fguree markerer brutto varasee tl D. og fs. Bruttovarase tl K. er bl.a. e fuksjo av kovarase tl D. og 6. I fguree har v satt coy (D.,f3) var D. 9 sde gjeomsttsverder tl - = 9 (jfr. (3)). Hvs v hadde forutsatt at coy (D) hadde vært større, vlle kurvee ha vært oe flatere. Dette betyr at år coy (Dr;) er storre e forutsatt her, er gevste ved å avede e kombert estmator mdre e fauree atyder. Dersom v her hadde brukt e ae sytetsk estmator e 6, vlle kurvee ha vært de samme så sat kovarasee hadde vært lke store som forutsatt. Dersom v hadde forutsatt at Byråets utvalgspla hadde vært brukt, vlle også kurvee ha vært omtret de samme.
4 3 Fgur. Bruttovarase tl K som fuksjo av c år bruttovarase tl D er lk bruttovarase tl p (c * = 0,5) E(K -p ) 2 A E(D.-p.) 2 =E ( P- P ) 2 0,53 E ( -p) 2 0, 0,2 0,4 c *0,6 0,8,0 Fgur 2. Bruttovarase tl de komberte estmatore som fuksjo av c år E( p-p.) 2 = 2E(D -p ) 2 E ( -p.) 2 E(D. 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 c.
5 4 Fgur 3. Bruttovarase tl de komb!rte estmatore 0 som fuksjo av C. år E(-p) 5 E(K-p ) 2 E(p-) tt I I t 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 c. La K. = c * + ( - c) D., dvs. le! er de K. (som fuksjo av c.) som har mst bruttovaras. Fur, 2 og 3 llustrerer ekelte av de geerelle egeskapee tl de komberte estmatore. Når bruttovarasee tl D og 6 er lke store, er bruttovarase tl KT bare om lag halvparte så stor som bruttovarasee tl D. og P. Gevste ved å bruke Kt stedet for de beste av estmatoree D. og p avtar år forskjelle bruttovaras mellom D. og r3 oker. Reduksjoe bruttovaras ved A bruke K! stedet for de beste av estmatoree o og D lgger alltd et sted mellom 0 ()a 50 proset, avhegg av forholdet mellom bruttovarasee tl p ogd. prakss vl e kke kue bruke estmatore Kt sde c* er ukjet. Fguree llustrerer Ç mdlertd at e kke er avhegg av A bruke de eksakte Cå kue tjee på å bruke e kombert estmator. I fgur ser v at de komberte estmatore er bedre e både D og 6 for alle verder av c. mellom 0 og år D og D har lke stor bruttovaras. Geerelt har de komberte estmatore mdre bruttovaras e både D ; r-( 0,24) for ce (OW hvs c E (2c -,) for c.* E (,l) Bredde på dsse tervallee blr kortere og kortere ettersom forskjelle bruttovaras mellom og D. oker. Dette er llustrert fguree. I Schable (978) og Royall (979) er det mer om dette. I de evte artkler er det også vst at bruttovaraskurve tl K. er svært flat området omkrg c7. Dette betyr altså at kvaltete tl K er svært robust overfor forskjellge valg av c området omrkg ct. Selv om e bruker e 'dårlg" estmator for ct, ka e altså de fleste tlfeller reae med a oopå e gevst ved å ta bruk e kombert estamtor. I Schable, Broch og Schack (977) oa Schable (979) er det oresetert emorske resultater som dkerer at dette er rktg. I ekelte stuasjoer har det mdlertd ge heskt A avede e kombert estmator. Hvs f.eks. de ee av de to estmatoree D eller P har mye mdre bruttovaras e de adre, ka de komberte estmtore ved et uheldg vala av c bl dårlgere e de beste kompoetestmatore. Hvs e vet at e er e slk stuasjo, belt- e derfor bruke de beste av de to komooetestmatoree framfor A bruke e kombert estmator. De absolutt maksmale aevst ved a erstatte de beste kompoetestmatore med e kombert estmator er å få redusert bruttovarase med 50 oroset. I de fleste tlfeller vl gevste være laot mdre. Hvs begge de to komboetestmatoree er av uakseptabel dårlg kvaltet, er det derfor tvlsomt om e kombert estmator vl vare av tlfredstllede kvaltet.
6 5 3. PROBLEMET VED A ESTIMERE DE OPTIMALE VEKTENE I dette kaptlet skal v se på vaskelahetee ved A estmere c. Vdere skal v presetere ekelte mslykkede forslag tl estmatorer for c. Fra(2)servatc.erefuksjoavvaraseeogskjevheteetlD.og S, samt av kovara- se mellom de to estmatoree. I e praktsk stuasjo vl det som regel være mulg å fe brukbare estmatorer for var D, var S og coy (D,S ). Dermot vl det by Da problemer å fe e brukbar estmator for skjevhete tl S, dvs. ES.-p.. V skal gje begrese oss tl de stuasjoe som er beskrevet kap. 2, emlg at v bruker P som represetat for de sytetske estmatorer og at v har e ett-trs utvalgspla. E forvetgsrett estmator for p-p er ; - D. Dee estmatore har mdlertd høy varas. I tllegg er det eget- gkkep-p verteressertaestmere,me(p-p. 2. Gjeom de forslag tl estmatorer for e! som v skal vurdere, vl v se at dee størrelse er problematsk å estmere. Fra (4) har v: (,4) 2.4" -- P( - P) Et aturlg forslag tl estmator for c * blr da: ( - ) D.(-D.) C l (-2) -T ),(-D) + (-3) + ( f)-d ) 2 Hvs v ser på de ekelte leddee Cl, har v at E(--6-) D( -D) ( F) E(-2 ) D.(-D.) (-2.--) -Fr E o(-p) p(-p) og E (p- ) 2 = ^ E ( -.+0 o -D.) 2. E(D.-p.) 2 + E( p-p.) 2 2E(D.-0.) ( 3-0.) = ' hele evere e (jfr. ()). V har altså at E;3-D ) 2 >(p- p) 2. VedbrukavestmatoreC.vllesasylgvsc.bl kraftg uderestmert. Sde E ( )- D)2 = evere c'. er det ærlggede A vurdere folgede estmator for c.: C ( --I.) D.(-D.) - D)2
7 6 Estmatore C. er tlærmet forvetgsrett. 2 J' La C. =' C. hvs C 2 > 3 2 hvs C. < 2 V har testet estmatore C 3 samme med de foreslåtte estmatoree kap. 4. Sammelget med dsse estmatoree gjorde C 3 det dårlg smulerasforsokee. C 3 hadde rett og slett for høy varas. E ae mulghet v har vurdert, er å estmere p. c' med K. dvs. v har vurdert å lose lkg (5) m.h.p. c, og bruke losge som estmator for c.. (- K (c0[-k(c )] ( 5 ) c. = (-2- ) K.(c.)[-K(c)J +- F b(-3) + [ K. (5) ka loses ved teratve metoder. Ill/ Leddet [K (c )-t;] 2 = (l-c ) 2 (D - P) 2 er tekt å skulle estmere ge tl dette leddet fer v: ^, E[K.(c )-p] 2 = (-c ) 2 x evere c * * ( Do) 2 ( ) 2. Hvs v ser på forvet- V har derfor at c.-e(e) som tlfredstller (5) har e forvetg som kke er garatert å lgge ærhete av c. La C 4 være losge av (5). I smulergsforsokee har v testet C 4. Det vste seg at dee estmatore fugerte dårlg. Hvs e forutsetter at alle p.-ee er forskjellge, og at det kke er oe fuksjoell samme- heg mellom dem, tvler v på at det er mulg å fe e brukbar estmator for c!. V skal derfor gå over tl å betrakte det hele fra e ae sysvkel. 4. FORSLAG TIL ESTIMATORER VED EN ETT-TRINNS UTVALGSPLAN I dette kaptlet skal v komme fram tl estmatorer for c * ved A gjøre modellforutsetger om p.-ee. Estmatoree som blr presetert dette kaptlet, er utvklet uder forutsetg av at e bruker de utvalgsplae som er beskrevet kap. 2, og har derfor begreset praktsk betydg. Modellee og framgagsmåte som er beskrevet dette kaptlet, er mer teressate e estmatoree seg selv. Estmatoree er utvklet for a avedes smulergsforsøkee som er beskrevet este kapttel, og er spesaltlfeller av de mer geerelle estmatoree som er beskrevet kap. 6. I avstt 5.3 er det presetert utgaver av estmatoree som er bereget tl bruk ved Byråets utvalgspla. V skal å komme fram tl estmatorer for c * ved å ta utgagspukt folgede to modeller: Modell : E( P- p) 2 er kostat for alle fylker ^ Modell 2: E(p- ) 2 + E(D.-p.) 2-2E(D.-0.)(3- er kostat for alle fylker. Ut fra erfarg ka e s at bruttovarase tl o, E(p -p) 2 de fleste tlfeller er domert av kvadratet av skjevhete, dvs. (p-o) 2. Modell baseres da DA forutsetge om at absoluttverde av skjevhete tl IS, p-p varerer lte fra fylke tl fylke. E begruelse for dee forutsetge ka være: Hvs e kke har oe forhådskuskaper om oe av fylkee, er det lte gru tl a påstå at. p - p er storre eller mdre e p-p for fylkee og j.
8 7 Modell er testet Schable (979) og Schable, Brock og Schack (977). I evte artkler har e egetlg tatt utgagsukt de mer geerelle modelle som er beskrevet kap. 6. Ut fra modell har e laget e kombert estmator, og laget estmater for forskjellge varable ved hjelp av data fra de amerkaske helseudersokelsee (969-7). Dsse estmatee er så bltt sammelget med folketelldsdata fra 970. La P betege e estmator for parametere p område r.. Sommål for kvaltete tl tore p har e brukt Q = E ().-o.) 2. Med hesy Då målet Q var de komberte estmatore overleget bedre e kompoetestmatoree. I Schable (979) er det tllegg presetert resultater som vser at de komberte estmatore er robust overfor avvk modelle. Når det gjelder modell 2, vrker dee urealstsk, og det er vaskelg å g oe teoretsk begruelse for de. Modell 2 er egetlg kommet tl ved at v laget e estmator for c som var ekel å berege, og som har gjort det bra uder de emprske forsøkee som er beskrevet kapttel 5. V skal å ta utgagspukt modell og utvkle e estmator for c. Fra (4) har v: (.. ) ( - c *, ( - 2--L) 2 p ( - p ) E( - P ) V skal lage e estmator for c ved å lage estmatorer for de tre leddee c hver for seq. Som estmator for p. ( - p.) bruker v p(-). Grue tl at v kke bruker estmatore T- D4, 0) -), er at -- p. (-D. er robust overfor varasjoer p, og at det er eklere bereggs, ' ) A A A messg A bruke estmatore -- p (-p). I tllegg har p kke vært særlg dårlgere e D. som estmator for o smulergsforsokee som er beskrevet kap. 5. Dette gjelder speselt for smd utvalgsstorrelser. A 2 2. Sde E(p-T.). evere c. har v at (5-D) - (-2- ) 3(-P) er e tlærmet for A vetgsrett est mator -For E(p-) 2. Modell gr at også ^ 2-2-) 9 (P-D'). 4) vl være e tlærmet forvetgsrett estmator for E(P- p)2. Sstevte estmator har lagt mdre varas e førstevte. E tlærmet forvetgsrett estmator for evere c. blr da: 9 f., ^ (P- D.) (-2-) ^( ^ j= P,-P) f 9 - I 7 / Z-D. - P(- -) b)\ 9 j=.
9 E estmator for c. uder modell blr:. (--r-- ) 7-:- 9 L( D.- P )Lo + f)(-3),. g Hvs modell gjelder, vl c være e tlærmet forvetgsrett estmator for c. Uder modell 2 vl folgede estmator for c. være tlærmet forvetgsrett:. B(-D c. ^ E(D-) 2 c har e del lkhetstrekk med kostate c de klassske James-Ste estmatore (James og Ste (96)). Ata at.-ee er lke. La.=k for alle. c. blr da c. - E(D.-P) 2 3 C James-Ste estmatore vlle være: C og c er utoklet uder forskjellge forutsetger og e ka kke kokludere med a c. geerelt overestmerer c.. hvs c. < 0 La å:.= c. hvs c. E [0, hvs C; > I og 2* C. hvs c. E [0,] hvs c. ). Vårt forslag tl e kombert estmator blr da uder modell og 2 heholdsvs: K l = l p + (-6 0 K 2 = 2 -,- (-6 2 ) D
10 9 V skal det folgede sammelge 5 estmatorer for K og K K er de komberte estmatore med de optmale vekte c.. *- K. = c.p 4- (-c *) D. c. er bereget ved hjelp av folketellgsdata fra 970. V har sammelget de 5 estmatoree ved hjelo av smulergsforsøk basert på folketellgsdata fra 970. Opplegget for forsøkee blr beskrevet este avstt. 5. UTPRØVING AV ESTIMATORENE VED HJELP AV SIMULERINGSFORSØK 5.. Opplegget for smulergsforsøkee Som evt kapttel 2 forutsetter v at v aveder e utvalgspla som er slk at det trekkes ekle, tlfeldge utvalg fra hvert fylke. Vdere forutsetter v at atall persoer som trekkes fra hvert fylke er proporsjoalt med folketallet fyket. I e slk utvalgspla vl D være tlærmet ormalfordelt med forvetq p og varas..frafolketellge970harvfuetfram"p.-er" for sysselsettge ekelte ærger. Hvs v hadde hatt "D.-er" fra e utvalgsudersøkelse, kue v brukt dsse estmatee og målt tlpasge tl de "sae p -ee" for forskjellge estmatorer. Sde v kke hadde passede data fra e utvalgsudersøkelse, har v laget kustge "D.-er". Dette er gjort ved a trekke tall fra e stadardsert ormalfordelg. Tallee er trukket fra boke "A Mllo Radom Dgts wth Normal Devates". Ata at v har trukket tallet X. Vår D er da bereget på folgede måte \ /P ( - ) D. = X V. E har da at D. N(p. (-p.)., ) For hver varabel, hver utvalgsstørrelse og hvert fylke har v trukket tre forskjellge X-er, og altså "laget" tre forskjellge D.-er (smulergsforsøk I, II og III) Presetasjo av resultatee La være e estmator for p. SommålforestMatorestlpasgtlo.-ee har v brukt 9 Q = (P--P.) 2 - = Dee storrelse har v bereget for estmatoree D, e% K / og K 2 for forskjellge varable og forskjellge utvalgsstørrelser. Tabellee uder vser resultatee.
11 Tabell. p = adele sysselsatt totalt av persoer over 5 år fylke r.. Bereget verd av Q 0 Estmator for forskjellge estmatorer og forskjellge utvalgsstorrelser Smulerasforsok r. I II III Utvalgsstørrelse hele ladet: Gjeoms. av I, II og III Ill/ K, D 9, , , , p 0, ,995.0, , K l 2, , , , K, ,699'0-2,75'0 2,258'0-2 IC 0, , , ,76.0 Utvalgsstorrelse hele ladet: D2,783'0-2 2,93'0-2, ' ,- l02 ;,034'0-2-, , ,026' ,7'0-2 0,746'0-2 0, , K 0, , , , K* 0,560'0-2 0, ,8402 0, Utvalgsstørrelse hele ladet: D 0, , , , , - _ D, ,70'0-2,80-02, K 0, ,430'0-2 0, ,. 44 0, K 2 0, , , , ,44'00, , ,26 - Tabell 2. p. = adele sysselsatt dustr m.v. av persoer over 5 år fylke r.. Bereget verd av Q for forskjellge estmatorer og forskjellge utvalgsstørrelser Estmator Smulergsforsøk r. Gjeoms. av I, II og III Utvalgsstørrelse hele ladet: 5 000,024-0 D., , , P 2, , , , K l 0, ,740'0-2 0, , K 2 0, , , , lec0, , , , D 0, ,206'0-2 Utvalgsstorrelse hele ladet: , ,285'0-2!r; 2, , ,62'0-2 2,2.0-2 K l 0, ,224'0-2 0, , K 0, ,256'0-2 0, ,346'0 K* 0, , , ,93.0-2
12 Tabell 3. p.. adele sysselsatt varehadel av persoer over 5 år fylke r.. Bereget verd Estmator av Q for forskjellge estmatorer. Utvalgsstorrelse: fra hele ladet Smulergsforsøk r. II III Gjeoms. av I, II og III (7 (Q I +Q II +Q III )) D,75'0,0560,67.0,475'0-3 3 p 5, , , , K 0,9260 -,48 ; l, K 2 0,9860-3, , , , l,0290 Med hesy på målet Q er e de estmatore som har wart de beste forsøkee. Kl og K2 som eromtretlqegode,erdårlgereee, :me bedre e D. og p. Når det gjelder varabele"sysse- settg alt", er p bedre e D for små utvalgsstørrelser, mes D er bedre e f-) for store utvalgsstorrelser. Q-verde tl P varerer lte med utvalgsstorrelse. Dette har utvlsomt sammeheg med at kvadratet av skjevhete tl s) domerer bruttovarase. I samsvar med de teoretske resultatee kap. 2 ser v at det er mest å tjee på å bruke e kombert estamtor år kompoetestmatoree er omtret lke gode. I tlfeller der de ee kompoetestmatore er overleget bedre e de adre, bor e bruke de beste kompoetestmatore framfor å bruke e av de komberte estmatoree Kl og K2. A Kl og K2 er bedre e p utatt ved estmerg av adele sysselsatte alt med utvalgsstorrelse Dette dkerer at e for utvalgsstørrelser større e boy- foretrekke e kombert estmator framfor e sytetsk estmator. Når e kommer opp så store utvalgsstørrelser som , ser det ut tl at det kke er oe å tjee PA å bruke e av estmatoree Kl eller K2 stedet for D. 0 I forsøkee er det lte som skller Kl og K2. Resultatee dkerer mdlertd at Kl kaskje er oebedre e K2. For å udersøke dette ærmere har v sammelget :.( :s.-c.) * 2 med :..(5.-c.) * 2 2 (jfr. kap. 4) for forskjellge varable og forskjellge utvalgsstorrelser. De første kvadratsumme vste seg alle tlfellee å være oe mdre e de sste. Dette skulle dkere at Kl er oe bedre e K2. Grue tl at det har vært så lte forskjell mellom Kl og K2 forsøkee, er utvlsomt at K er robust overfor varasjoer c Forslag tl estmatorer ved Byråets utvalgspla Byråets utvalgspla er e totrs utvalgspla som kke er kostruert for å g fylkestall. Hvs "D -ee" hadde framkommet ved Byråets utvalgspla, vlle de hattstorre varas e forsøkee. I tllegg vlle de ha vært forvetgsskjeve. Dette medfører at (IV) "Ord:fale c." blr e ae ved Byråets utvalasola e forsøkee. V skal dette avsttet presetere estmatorer for de "optmale c " som ka brukes ved Byråets utvalgspla. La å EB var cov og betege heholdsvs forvetg, varas, kovaras og de "optmale ' B' B C. ved Byråets utvalgspla. Fra () har v: (D - 0.) 2 - E (.-Q )( 6-P ) B E B. B ) 2 +Es(3 _, p A EB(D-p ) 2 _ 2EB(D-p)(o-p)
13 2 Bruttovarase tl P som estmator for p er de fleste tlfeller domert av kvadratet av skjevhete. Sde skjevhete tl p er de samme ved Byråets utvalgspla som ved de utvalgsplae som er beskrevet kap. 2, vl v de fleste tlfeller ha at E tr( A- yv f. ) 2Med E mees forvet- " l ge ved utvalgsplae som er beskrevet kap. 2. V skal forutsette at tlærmelse gjelder, og at c oy E (D.-D.)2' B E(D-o) 2 desgeffekte tl D.. Fra (4) og 6) har v da:. e ( ) 2-- e. 4 p(lp) I prakss har v este alltd at e B * *,, som gje medfører at v este alltd har at C > c, ger c er sal (4)-DettekatYcletlatdeforeslåtteestmatøreec. og c. uderestmerer c ved Byråets utvalgspla. V skal se æremer på dette: r-.,.. (l-- 5(-5) * E E c. B s B A,,,E(D.-p 2. E (- ) E B- z(d-f5)2 7 jj ) ( ) r. Z{E (D.-p.)2 + E (5-p.) j J 2E (D - P )(3- Pj) Hvs modell 2 gjelder, har v at E B CT TIT' P ( ) 2 E (D- p. B ) (3-P)2-2E 3 -p.) ( 3-p.) j j C. e B < C. B Når det gjelder forvetge tl êt ved Byråets utvalgspla, er sammehege mellom dee og C ltt mer komplsert. Det ka mdlertd vses at v de fleste tlfeller vl ha: e C. A* R < - EBC.< C- 7- er e størrelse som varerer med fylke, varabel og utvalgsstorrelse. V har bereget for
14 3 Troms og Fmark for forskjellge varable og utvalgsstorrelser. Resultatee er gjeatt tabell 4 og 5. Tabell 4. Desgeffekte tl D. for Fmark for forskjellge varable og utva gsstorrelser Nærg Utvalgsstorrelse hele ladet Sysselsettg alt Idustr m v Varehadel Jord og skog Fske og hvalfagst Bygg og alegg Samferdsel Tjeesteytede Tabe5.DesgeffektetlD.for Troms for forskjellge varable og utvalgsstorreser Nærg Utvalgsstørrelse hele ladet Sysselsettg alt Idustr m v Varehadel Jord og skog Fske og hvalfagst Bygg og alegg Samferdsel Tjeesteytede Itabelleeservate.varerer gaske mye med både varabel og utvalasstorrelse. V ka der B for kke abefale oe bestemt tall for e som ka brukes ved estmerg av c.. (jfr. ct og E* kap. 4): B Ved Byråets utvalgspla foreslår v følgede estmatorer for c. uder heholdsvs modell og 2. e.(--) - p(-p) B a) C. -, 7.75.E(D.-3) 2 + e.kl-p)e- - E ---). 9. I, 3 3 uder modell b) c.. e. c'f uder modell 2. e er et tall som e bør fe et aslag for hvert ekelt tlfelle.
15 4 La å hvs C.0 (5, B B,c. hvs c E[0 -,] hvs C. > lc. hvs c E[0,] hvs C B > V foreslår følgede komberte estmatorer uder heholdsvs modell og :. K. = + (-6. K. = + Et aturlg spørsmål å stlle å er hvorda smulergsforsøkee kap. 5 vlle ha forløpt hvs v hadde avedt Byråets utvalgspla og brukt estmatoree K og K. Som evt tdlgere meer v at p som estmator for p vlle ha vært av omtret samme kvaltet som kap. 5, mes D vlle ha vært e del dårlgere. K og K meer v vlle ha vært av oe dårlgere kvaltet e K og K2 var forsøkee. V reger med at forrgelse kvaltet vlle ha vært mdre for de komberte estmatoree e for de drekte estmatore. V ka oppsummere dette med at hvs Byråets utvalgspla hadde daet grulag for smulergsforsøkee, tror v at D vlle ha kommet dårlgere ut forhold tl IS og de komberte estmatoree e det som var tlfellet. Når det gjelder forholdet mellom p og de komberte estmatoree, tror v at de komberte estmatoree vlle ha gjort det ltt dårlgere e forsøkee. 6. EN GENERALISERING AV ESTIMATORENE Ata at v er teressert å estmere gjeomsttet y populasjoe fylke r. = j :Xj være gjeomsttet av observasjoee e utvalasude sokelse fra fylke r.. Xj er det " som er observert for perso r. j fylke r.. V teker oss at X j ka være e dkotom varabel, e kategorsk varabel eller e kotuerlg varabel. La S være e sytetsk estmator for fylke r.. E kombert estmator er da: K = c S + (-c ) De optmale verd av c., kaller v som for c.. V har: c * = E( -Y) 2 - E( 5-( - Y)(S -Y.) - - E( -y) 2 -.) 2 + E(S -y.) 2-2E(X -y.)(s.-y.
16 5 La (a 2 = var 5-( og 2 7 (S ) = var S V atar at EX y. V har da: 0. ( X.) - cov 2 - c. (X., S.) 2 () a (X ) + a 2 (S ) + (ES -y ) 2-2 coy (5" La s (X), s (S ) og C(5.( S) være estmatorer for heholdsvs a (X ), (S) q COV (R V skal avede geeralserte utgaver av modellee og 2 som er defert kap. 4. La å: Modell : E(S -y.) 2 er kostat for alle fylker Modell 2: E(S.-y ) 2 + E(R.-y ) 22E(X.-v.)(S.-y.) er kostat for alle fylker. Vårtforslagtlestmatorforc.uder modell blr da: = k - C. 9,S, (SX ) 2 2C ( XS)}. 40 s20-() 2C(., _ s 2 ( T(.. Uder modell 2 har v folgede forslag tl estmator for c: A * s (X.) -C(X.,S.) c= 9-2 E j= 3,3 A* 0, hvs C 0 La å = hvs 0 E* 4 hvs C > og la (5 = c hvs 0 C * Lhvs c > Vårt forslag tl e kombert estmator uder modell og 2 blr da heholdsvs K = 6 S + ( -6 ') R = "S + V tror at estmatore K.' er oe bedre e estmatore K.". K." har mdlertd de fordel at de er lettere A berege. P.g.a. robusthetsegeskapee tl de komberte estmatore, meer v at det vl være lte forskjell mellom K.' og K." prakss.
17 6 7. DIFFERANSEN MELLOM FYLKESTALL Ata at v er teressert å sammelke to fylker, og at v er teressert å estmere dfferase p- Sde p. de komberte estmatore delvs er basert pa observasjoer fra hele ladet, er det aturlg å spørre seg om de komberte estmatoree er eget ved sammelkg av fylkestall. V øsker å sammelke estmatore K -Kj med D -D som estmator for V ser på folgede dfferas: A.)]2 ErK -(p.-p.)2 = E(D - p ) 2 + E(D.-P. J E(D -p E(K -p ) 2 - E(Kj -p ) 2 + 2E(K -p )(Kj -pj ) Leddet E(D. -0.)(E) -0) vl være lte forhold tl de adre leddee. I de fleste tlfellee vl det j wee 0, så v setter det lk O. For leddet E(K.-p.)(K.-p.) har v: J E(K -.)(K.-p.) E(K -EK)(K -Ey + (EK -o )(EKj - P) coy (KK) +c cj (ES - p )( ESj -pj ) V ka skrve A på følgede form: A = [ E(D -p ) 2 - E(K - p) 2 ] + [E(Dj - P) 2 - E(K - o) 2 ] + coy (KK) + c cj (ES -P )(ESj - P) persomc lggerarc.0gclgaerrer c j.har, v: A coy (KK) + c c (ES -p XESj -pj ) Koklusjoe v ka trekke av dette er at dersom de sytetske estmatoree S og S begge overestmerer eller begge uderestmerer se respektve estmader (P og p), vl K -K 3 være e bedre estmator for p -p e D.-D. Dersom de ee av de sytetske estmatoree uderestmerer fylkesadele og de adre overestmerer fylkesadele, er det uskkert hvlke av estmatoree K -Kj eller D-D som er best. j 8. KONKLUSJONER OG OPPSUMMERING I kap. 2 studerte v egeskapee tl de komberte estmatore som vste seg å være robust overfor valg av vekter. I kap. 3 ble koklusjoe at det lkevel er problematsk å estmere de optmale vekte, c., drekte. I dette otatet har v fuet fram tl e framgagsmåte for å estmere c. ved å ta utgagspukt to alteratve modeller. Framgagsmåte s mest geerelle form er beskrevet kap. 6. De modelle, som v har kalt modell, har v egetlg hetet fra Schable, Brock og Schack (977). I evte artkkel og Schable (979) er det oresetert resultater som dkerer at det fugerer bra prakss å avede dee modelle. Ved å ta utgagsoukt modellee har v kommet fram tl forslag tl estmatorer for c både ved e ett-trs utvalgspla, ved Byråets utvalgspla og ved mer geerelle stuasjoer. For hver estmator for c har v laget e kombert estmator. Ved A gjeomføre oe smulergsforsøk har v sammelget de komberte estmatoree med de drekte og de sytetske estma-,. tore, p. Som mål for estmatorees kvaltet har v brukt målet Q som er defert kap. 5. Med hesy Da dette målet var våre foreslåtte komberte estmatorer bedre forsøkee e de drekte og
18 7 de sytetske estmatore. I forsøkee våre måtte v av praktske gruer forutsette at v hadde e ett-trs utvalgspla, mes Byråets utvalgspla er e totrs utvalgspla. V meer lkevel at forsøkee dkerer at e ved "valge" utvalgsstørrelser vl oppå e gevst ved å bruke e av våre foreslåtte komberte estmatorer framfor å bruke de drekte- eller e sytetsk estmator ved estmerg av fylkestall. De geerelle egeskapee tl de komberte estmatoree dkerer det samme. Hvs e prmært er teressert å estmere forskjeller mellom fylker, vser resultatee kap. 7 at det mage tlfeller er uskkert om e vl oppå e gevst ved å bruke e kombert estmator framfor de drekte estmatore.
19 8 9. LITTERATUR Carter, G.M. ad Rolph, J.E. (974): "Emprcal Bayes Methods Appled to Estmatg Fre Alarm Probabltes". Joural of the Amerca Statstcal Assocato, 69, Fay, R.E. ad Herrot, R.A. (979): "Estmates of Icome for Small Places: A Applcato of James- Ste Procedures to Cesus Data". Joural of the Amerca Statstcal Ass., 74, p Laake, P. ad Logva, H. K. (976): "Estmerg av sysselsettg geografske regoer, om estmatorees skjevhet, varas og bruttovaras". Statstsk Setralbyrå. Artkler 88. Royall, R. M. (979): "Predcto Models Small Area Estmato". NIDA Resarh Moograph 24. Papers preseted at a workshop coducted by Respose Aalyss, Prceto, New Jersey, uder NIDA Cotract No Schable, W. L., Brock, D. B. ad Schack, G. A.: "A emprcal comparso of the smple flato, sythetc ad composte estmators for small area statstcs". Proceedgs of the Amerca Statstcal Assocato, Socal Statstcs Secto: 07-02, 977. Schable, W. L. (978): "Choosg Weghts for Composte Estmators for Small Area Statstcs" R prt from the 978 Proceedgs of the Secto o Survey Research Methods. Schable, W. L. (979): "A Composte Estmator for Small Area Statstcs". NIDA Research Moograph 24. Papers preseted at a workshop coducted by Respose Aalyss, Prceto, New Jersey, uder NIDA Cotract No Srg, E. og Thomse, I. (98): "Metoder for estmera av tall for fylker vha. utvalgsudersokelser". Rapporter 8/6. Statstsk Setralbyrd.
Om enkel lineær regresjon II
1 ECON 13 HG, revdert aprl 17 Notat tl kapttel 7 Løvås Om ekel leær regresjo II Merk: Det ka løe seg først å lese avstt 4 regresjo-i-otatet på ytt. Regresjosmodelle. La Y være e stokastsk varabel (som
DetaljerForelesning 19 og 20 Regresjon og korrelasjons (II)
STAT111 Statstkk Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 19 og 0 Regresjo og korrelasjos (II) 1. Kofdestervall (CI) og predksjostervall (PI) I uka 14, brukte v leær regresjo for å fage leær sammehege mellom Y og
Detaljersom vi ønsker å si noe om basert på data Eksempel. Uid-modellen: X1, X ,,,
HG Eco30 07 9/3-07 Supplemet tl forelesg uke 0 (6 mars) (Det jeg kke rakk å ta på forelesg) Termolog (estmerg) Data (kokrete tall), x, x, er ervasjoer av stokastske varable, X, X, De statstske modelle
DetaljerRegler om normalfordelingen
1 HG Revdert mars 013 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg
DetaljerSTK1100 våren Estimering. Politisk meningsmåling. Svarer til sidene i læreboka. The German tank problem. Måling av lungefunksjon
STK00 våre 07 Estmerg Svarer tl sdee 33-339 læreboka Poltsk megsmålg Sør et tlfeldg utvalg å 000 ersoer hva de vlle ha stemt hvs det hadde vært valg 305 vlle ha stemt A A's oslutg er Ørulf Borga Matematsk
DetaljerDet anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.
ECON 3 EKSAMEN VÅR TALLSVAR Det abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller lkt uasett varasjo vaskelghetsgrad. Svaree er gtt
DetaljerRegler om normalfordelingen
1 HG mars 2009 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette
DetaljerNotat 1: Grunnleggende statistikk og introduksjon til økonometri
Notat : Gruleggede statstkk og troduksjo tl økoometr Gruleggede statstkk Populasjo vs. utvalg Statstsk feres gjør bruk av formasjoe et utvalg tl å trekke koklusjoer (el. slutger) om populasjoe som utvalget
DetaljerRegler om normalfordelingen
HG mars 0 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette kurset.
DetaljerOm enkel lineær regresjon II
ECON 3 HG, revdert aprl Notat tl kapttel 7 Løvås Om ekel leær regresjo II Merk: Det ka løe seg først å lese avstt 4 regresjo-i-otatet på ytt. Regresjosmodelle. La Y være e stokastsk varabel (som v kaller
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Sannsynlighetsregning med statistikk
ÅMA0 Sasylghetsregg med statstkk, våre 00 Kp. 5 Estmerg. Målemodelle. Estmerg. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estmerg bomsk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (Pukt)Estmerg målemodelle (kp. 5.3)
DetaljerOversikt over tester i Econ 2130
1 HG Revdert aprl 217 Overskt over tester Eco 213 La være e ukjet parameter (populasjos-størrelse) e statstsk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av populasjoe er ukjet. Når v setter
DetaljerOm enkel lineær regresjon II
ECON 3 HG, aprl Notat tl kapttel 7 Løvås Om ekel leær regresjo II Merk: Det ka løe seg først å lese avstt 4 regresjo-i-otatet på ytt. Regresjosmodelle. La Y være e stokastsk varabel som v kaller resposvarabele
DetaljerEcon 2130 uke 19 (HG) Inferens i enkel regresjon og diskrete modeller
Eco 3 uke 9 (HG) Iferes ekel regresjo og dskrete modeller De ekle regresjosmodelle. Resultater fra 5m og 5m for me fra EM på skøyter Heerevee 4. ( er 5m-tde og y 5m-tde sekuder for løper.) Spredgdagram
DetaljerOversikt over tester i Econ 2130
HG Revdert aprl 2 Overskt over tester Eco 23 La θ være e ukjet parameter (populasjos-størrelse e statstsk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av θ populasjoe er ukjet. Når v setter
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen august 2014
Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Løsgssksse Oppgave a) Y 5 PY > 53) PY 53) P ) 53 5 Φ5) 933 668 Vekte av e fylt flaske, X + Y, er e leærkombasjo av uavhegge ormalfordelte
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen mai 2016
Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Løsgssksse Oppgave a) Lar X være kvadratprse. Har da at X N(µ, σ 2 ), med µ 30 og σ 2 2, 5 2. P (X < 30) P (X < µ) 0.5 ( X 30 P (X > 25)
DetaljerForelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011
Forelesg 3 MET359 Økoometr ved Davd Kreberg Vår 0 Dverse oppgaver Oppgave. E vestor samler følgede formasjo om markedsavkastge og avkastge på det som ser ut tl å være et attraktvt aksjefod År Aksjefodets
DetaljerForelesning Enveis ANOVA
STAT111 Statstkk Metoder ushu.l@ub.o Forelesg 14 + 15 Eves ANOVA 1. troduksjo a. Z-, t- test Uka 1: tester for forvetgsdfferase to populasjoer (grupper) b. ANOVA (aalyss of varace): tester om det er forskjeller
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Estimering. Målemodellen. Kp. 5 Estimering. Målemodellen.
ÅMA0 Sasylghetsregg med statstkk, våre 006 Kp. 5 Estmerg. Målemodelle. Estmerg. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estmerg bomsk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.). (kp. 5.) 4. Estmere, estmat, estmator
DetaljerEcon 2130 uke 15 (HG)
Eco 130 uke 15 (HG) Kofdestervall Løvås: 6.1., 6.3.1 3. (Avstt 6.3.4 6 leses på ege håd. Se også overskt over kofdestercvall ekstra otat på ettet.) 1 Defsjo av kofdestervall La θ være e ukjet parameter
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007
ÅMA0 Sasylghetsregg med statstkk, våre 007 Kp. 5 Estmerg. Målemodelle. Estmerg. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estmerg bomsk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (Pukt)Estmerg målemodelle (kp. 5.3)
DetaljerForelesning 25 og 26 Introduksjon til Bayesiansk statistikk
Yushu.@hh.o Forelesg 5 og 6 Itroduksjo tl Bayesask statstkk 1. Itroduksjo Fortsatt atar v har stokastsk varabel X (X ka være stokastsk varabel vektor) kommer fra e fordelg med parametere ( ka være parameter
DetaljerAnalyse av sammenhenger
Kapttel 7.-7.3: Aalyse av sammeheger Korrelasjo og regresjo E vktg avedelse av statstkk er å studere sammeheger mellom varabler: Avgjøre om det er sammeheger. Beskrve hvorda evetuelle sammeheger er. Eksempler:
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i Statistikk Nov 2001 Oppgave 1 a) Det fins 8 mulige kombinasjoner. Disse finnes ved å utelate ett og ett tall.
Løsgsforslag Eksame Statstkk Nov 00 Oppgave a) Det fs 8 mulge kombasjoer. Dsse fes ved å utelate ett og ett tall. Atall utvalg av størrelse 7 blat m er ( m 7 ). b) Prs Atall Rekker 3 kr. ( 7 ) 3 kr....
DetaljerTALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.
ECON: EKAMEN TALLVAR. et abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller lkt uasett varasjo vaskelghetsgrad. varee er gtt
DetaljerLøsningskisse seminaroppgaver uke 17 ( april)
HG Aprl 14 Løsgsksse semaroppgaver uke 17 (.-5. aprl) Oppg. 5.6 (begge utgaver) La X = atall bar utvalget som har lærevasker. Adel bar med lærevasker populasjoe av bar atas å være p.15. Utvalgsstørrelse
DetaljerForelesning 21 og 22 Goodness of fit test and contingency table ( 2 test og krysstabell)
STAT111 Statstkk Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 1 Goodess of ft test ad cotgecy table ( test krysstabell 1.Goodess of ft test ( test Ata at v har et utvalg med observasjoee fra e stokastsk varabel X. Goodess-of-ft
DetaljerForelesning Ordnings observatorer
Yushu.L@ub.o Forelesg 6 + 7 Ordgs observatorer. Oppsummerg tl Forelesg 4 og 5.) Fuksjoer (trasformasjoer) av flere S.V...) Smultafordelg tl to ye S.V. Ata at v har to S.V., med smultafordelg f ( x, x )
DetaljerEksempel 1 - Er gjennomsnittshøyden for kvinner i Norge økende?
ECON 3 HG a 3 Supplemet tl sste forelesg 3 vår 4 eksempler på test-dskusjoer klusve ltt om p-verder Eksempel - Er gjeomsttshøyde for kver Norge økede? et er velkjet at gjeomsttshøyde for meesker Europa
DetaljerAvdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 14.12.2007
Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 4..7 UTATT PRØVE I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).
DetaljerMakroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. B. Makroøkonomi. Mundells trilemma går ut på følgende:
B. Makroøkoom Oppgave: Forklar påstades hold og drøft hvlke alteratv v står overfor: Fast valutakurs, selvstedg retepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forelg på samme td. Makroøkoom Iledg Mudells trlemma
DetaljerOversikt over konfidensintervall i Econ 2130
1 HG Mars 017 Overskt over kofdestervall Eco 130 Merk at dee overskte kke er met å leses stedefor framstllge Løvås, me som et supplemet. De eholder tabeller med formler for kofdestervaller for stuasjoer
DetaljerSeminaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3))
1 ECON 2130 2017 vår Semarpla fra og med uke 13 Semaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3)) (1) Fra eksame Eco 2130, 2004 høst: Oppgave 3: (Fel oppgave på ststuttets overskt over gamle eksamesoppgaver)
Detaljer1. Konfidens intervall for
Forelesg 0 + Yushu.@ub.o Kofdes tervall og Bootstrap. Kofdes tervall for ) Kofdes tervall [ ˆ, ˆ ] dekker de ukjete parametere med høy grad av skkerhet (kofdesvå): P( ˆ ˆ ), er f.eks 0.0 eller 0.05, eller
DetaljerSeminaroppgaver for uke 13
1 ECON 2130 2016 vår Semarpla fra og med uke 13 Semaroppgaver for uke 13 1) Fra eksame Eco 2130, 2004 høst: Oppgave 3: (Fel oppgave på ststuttets overskt over gamle eksamesoppgaver) La X og Y være to uavhegge
DetaljerSTK1110 høsten Lineær regresjon. Svarer til avsnittene i læreboka (med unntak av stoffet om logistisk regresjon)
TK høste 9 Eksempel.5 (CO og vekst av furutrær Leær regreso varer tl avsttee..4 læreboka (med utak av stoffet om logstsk regreso Ørulf Borga Matematsk sttutt Uverstetet Oslo V vl bestemme sammehege mellom
DetaljerForelesning Punktestimering
STAT Statst Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 8 + 9 Putestmerg. Fra sasylghetsteor tl statst feres ) Sasylghetsberegg sasylghetsteor: v jeer parametere som besrver modellee, f.es. p boms modell, ormal fordelg,
DetaljerAvdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007
Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 9. ma 7 EKSAMEN I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).
DetaljerDet ble orientert i plenum under eksamensdagen om følgende endringer i forhold til oppgaven:
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN 4 MAI 007 MET00 STATISTIKK GRUNNKURS Det ble oretert pleum uder eksamesdage om følgede edrger forhold tl oppgave: Oppgave b går ut. Det vl da bl 9 oppgaver og alle oppgaver teller
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. Innleveringssted: Ekspedisjonen i 12. etasje (mellom ) OG Fronter (innen klokken 15).
Øvelsesoppgave : ECON3 Statstkk Dato for utleverg: 4.3.7 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Dato for leverg: 3.3.7 e kl. 5. Ilevergssted: Ekspedsjoe. etasje (mellom.5-5.) OG Froter (e klokke 5).
DetaljerSTK1100 våren Konfidensintevaller
STK00 våre 07 Kofdestevaller Svarer tl avstt 8. læreboka Ørulf Borga Matematsk sttutt Uverstetet Oslo Eksempel E kjemker er teressert å bestemme kosetrasjoe µ av et stoff e løsg Hu måler kosetrasjoe fem
DetaljerPositive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004
Postve rekker Forelest: 3. Sept, 004 V skal tde utover fokusere på å teste om e rekke kovergerer, og skyve formler for summerg bakgrue. Dette er gje ford det første målet vårt er å lære hvorda v ka fe
DetaljerOversikt over tester i Econ 2130
1 HG Revdert aprl 213 Overskt ver tester Ec 213 La θ være e ukjet parameter (ppulasjs-størrelse) e statstsk mdell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av θ ppulasje er ukjet. Når v setter pp
DetaljerMer om Hypotesetesting (kap 5) Student t-fordelingen. Eksamen. Fordelingene blir like ved stor n:
Mer om Hypotesetestg kap 5 Overskt: Små utvalg og Studet s t-fordelg Hypotesetestg for populasjosgjeomsttet, μ Med tlfeldg og stort utvalg er fordelge tl testobservatore motvert av SGT Hva skjer dersom
DetaljerStatistikk med anvendelse i økonomi
A-6 og A-6-G, 6. ma 08 Emekode: Emeav: A-6 og A-6-G tatstkk med avedelse økoom Dato: 6. ma 08 Varghet: 0900-300 Atall sder kl. forsde 0 Tllatte hjelpemdler: erkader: Kalkulator med tømt me og ute kommukasjosmulgheter.
DetaljerLøsningsforslag (ST1201/ST , kontinuasjonseksamen) ln L. X i = 2n.
Løsgsforslag ST20/ST620 205, kotuasjoseksame. a Rmelghetsfuksjoe blr Logartme Derverer Løser lgge Løsge er SME: L = 2 e l L = 2 l X X. X + l X. l L = 2 + 2 X = 2. ˆ = 2 X. X. b Her ka ma beytte trasformasjosformele,
Detaljer(ii) Anta vi vet om en observasjon av X at den ikke er større enn 5. Hva er da sannsynligheten for at den er lik 5? (Hint: Finn PX ( = 5 X 5) ).
ECON3: EKSAMEN VÅR - UTSATT PRØVE Oppgave Ata er possofordelt med parameter λ = 5 (skrevet kort, ~ pos(5), jfr. defsjo 5.8 Løvås med t = ). A. () F P= ( 5) og P ( 5), for eksempel basert på tabell D. Løvås.
DetaljerEKSAMEN løsningsforslag
5. aprl 017 EKSAMEN løsgsforslag Emekode: ITD0106 Emeav: Statstkk og økoom Dato:. ma 016 Eksamestd: 09.00 13.00 Hjelpemdler: - Alle trykte og skreve. - Kalkulator. Faglærer: Chrsta F Hede Om eksamesoppgave
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
TMA440 Statstkk Høst 06 Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Abefalt øvg 0 Løsgssksse Oppgave a Estmatore for avstade a er gjeomsttet av uavhegge detsk fordelte målger, x; a,
DetaljerOBLIGATORISK OPPGAVE 1 INF 3340/4340/9340 HØSTEN 2005
OBLIGATORISK OPPGAVE INF 0/0/90 HØSTEN 005 Levergsfrst: 0. september 005 Arbedsform: Løses dvduelt Ileverg tl: Aja Bråthe Krstofferse (ajab@f.uo.o Levergskrav: Det forutsettes at du er kjet med holdet
DetaljerOppgave 1 ECON 2130 EKSAMEN 2011 VÅR
ECON 30 EKSAMEN 0 VÅR Oppgave E bedrf øsker å fordele koraker e vesergsprosjek hel lfeldg på 3 frmaer, A, B og C. Uvelgelse skjer ved loddrekg. Loddrekge er slk a hver av frmaee A, B og C, har e mulghe
DetaljerFormler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler
Formler og regler statstkk følge lærebok Guar Løvås: tatstkk for uversteter og høgskoler Kap. Hva er fakta om utvalget etralmål Meda: mdterste verd etter sorterg Modus: hyppgst forekommede verd Gjeomstt:
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen 21. mai 2013
TMA445 Statstkk Eksame ma 03 Korrgert 0 ju 03 Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Løsgssksse Oppgave Et plott av sasylghetstetthee er gtt fgur Vdere har v og PX = Φ = 08849
DetaljerMer om utvalgsundersøkelser
Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse
DetaljerForelesning 3 mandag den 25. august
Forelesg adag de 5 august Merkad 171 For å bevse e propossjo o heltall so volverer to eller flere varabler, er det typsk ye lettere å beytte duksjo på e av varablee e duksjo på oe av de adre Det er for
DetaljerIntroduksjon til økonometri, kap 8, 9.1 og 9.2. Hva er formålet med økonometri? Utvalgskorrelasjoner To-variabel regresjoner
Itroduksjo tl økoometr, kap 8, 9.1 og 9. Hva er formålet med økoometr? Utvalgskorrelasjoer To-varabel regresjoer Iformasjo fra data Målet med økoometr er å lære oe fra data Øke vår kuskap ved å oppdage
DetaljerEcon 2130 uke 13 (HG)
Eco 30 uke 3 (HG) Iførg regresjo I deskrptv aalse (Løvås kap. 7. 7.3.3) DATA: Resultater fra 500m og 5000m for me fra EM på skøter Heerevee 004. Obs 5000m 500m Obs 5000m 500m r. Td Sekuder Td Sekuder r.
DetaljerOversikt 1. forelesning. ECON240 Statistikk og økonometri. Visuell/grafisk presentasjon av data. Datainnsamling; utdanning og inntekt
Overskt. forelesg ECON40 Statstkk og økoometr Arld Aakvk, professor Isttutt for økoom Hva er statstkk og økoometr? Hvorfor studerer v fagområdet? Statstkk Metoder, tekkker og verktøy tl å produsere lettfattelg
DetaljerTALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.
1 ECON130: EKSAMEN 013 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller likt uasett variasjo i vaskelighetsgrad. Svaree er gitt i
DetaljerIllustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18).
Econ 2130 HG mars 2012 Supplement tl forelesnngen 19. mars Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og ltt om heltallskorreksjon (som eksempel 5.18). Regel 5.19 ser at summer, Y = X1+ X2 + +
Detaljeri B maksimal b Fundamentalteoremet for lineærprogrammering Den leksikografiske metode Blands pivoteringregel MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 4 2
Lekso 4 ( k ) a ( k ) I ( k ) U ( k) B maksmal ( k ) b Sste spesaltlfelle - valg av utgåede Degeerert basstabell, degeererert pvoterg Degeerert pvoterg ka g syklsk pvoterg Eeste tlfelle der Smpleksmetode
DetaljerEcon 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering
Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor
DetaljerOm enkel lineær regresjon I
1 ECON 130 HG, revdert 017 Notat tl kapttel 7.1 7.3.3 Løvås (Jfr. forelesg uke 11) Om ekel leær regresjo I (deskrptv aalse og ltt om regresjosmodelle tl slutt) 1 Iledg Ekel regresjosaalse dreer seg om
DetaljerOppgave 1 Det er oppgitt i oppgaveteksten at estimatoren er forventningsrett, så vi vet allerede at E(ˆµ) = µ. Variansen til ˆµ er 2 2 ( )
Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Abefalt øvg Løsgssksse Oppgave Det er oppgtt oppgavetekste at estmatore er forvetgsrett, så v vet allerede at Eˆµ µ. Varase tl ˆµ er τ Varˆµ
DetaljerRandi Johannessen. Mikroindeksformel i konsumprisindeksen. 2001/64 Notater 2001
2/64 Notater 2 Rad Johaesse Mkrodeksformel kosumprsdekse Avdelg for økoomsk statstkk/sekso for økoomske dkatorer Emegruppe: 8.2. Ihold. Bakgru og kokluso...3 2. Levekostadsdekser...4 2.. Kosumetes tlpasg...4
DetaljerOm enkel lineær regresjon I
ECON 30 HG, revdert 0 Notat tl kapttel 4 Løvås Om ekel leær regresjo I Iledg Ekel regresjosaalse dreer seg om å studere sammehege mellom e resposvarabel,, og e forklargsvarabel,, basert på et datamaterale
DetaljerKapittel 1: Beskrivende statistikk
Kapttel : Bekrvede tattkk Defjoer: Populajo og utvalg Populajo: Alle mulge obervajoer v ka gjøre (,,, N ). Utvalg: Delmegde av populajoe (,,, der
DetaljerEnveis variansanalyse (One-way ANOVA, fixed effects model) (Notat til Kap. 12 i Rosner)
Eves varasaalyse (Oe-way ANOVA, fxed effects model) (Notat tl Kap. Roser) V reaptulerer først t-teste for to uavhegge utvalg. Stuasjoe var at v hadde to grupper, f.es. G og G og et sett uavhegge og dets
DetaljerDel A: Diskret optimering og heuristiske metoder Leksjon 2
Del A: Dskret optmerg og heurstske metoder Leksjo 2 Sjefsforsker Ger Hasle SINTEF Avedt matematkk, Oslo! Kursformasjo Motvasjo Operasjosaalyse Kustg tellges Optmergsproblemer (dskrete) Matematsk program
DetaljerX = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 11, blokk II Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som
DetaljerH 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2
TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave 1 Vi øsker å fie ut om et ytt serum ka stase leukemi. 5 mus får serumet, 4
DetaljerOppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort?
ECON EKSAMEN 8 VÅR TALLSVAR Oppgave Vi har e kortstokk beståede av 6 kort. På av disse står det skrevet JA på forside mes det står NEI på forside av de adre kortee. Hvis ma får se kortet med bakside vedt
Detaljer(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså:
A-besvarelse ECON2130- Statstkk 1 vår 2009 Oppgave 1 A) () Antall kke-ordnede utvalg: () P(Arne nummer 1) = () Når 5 er bltt trukket ut, er det tre gjen som kan blr trukket ut tl den sste plassen, altså:
DetaljerTALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.
ECON30: EKSAMEN 05 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: STK2100 Løsigsforslag Eksamesdag: Torsdag 14. jui 2018. Tid for eksame: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 11 Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som vil være ormalfordelt
DetaljerSTK1100 våren 2017 Estimering
STK1100 våre 017 Estimerig Svarer til sidee 331-339 i læreboka Ørulf Borga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Politisk meigsmålig Spør et tilfeldig utvalg på 1000 persoer hva de ville ha stemt hvis
DetaljerEstimering 1 -Punktestimering
Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer
DetaljerSimpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering
Lekson 3 Smpleksmetoden generell metode for å løse LP utgangspunkt: LP på standardform Intell basstabell Fase I for å skaffe ntell, brukbar løsnng løse helpeproblem hvs optmale løsnng gr brukbar løsnng
DetaljerMetoder for politiske meningsmålinger
Metoder for politiske meigsmåliger AV FORSKER IB THOMSE STATISTISK SETRALBYRÅ Beregigsmetodee som brukes i de forskjellige politiske meigsmåliger har vært gjestad for mye diskusjo i dagspresse det siste
DetaljerEstimering 1 -Punktestimering
Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer
DetaljerAnne Vedø Estimering av materialfordelingen til husholdningsavfall i 2004 Dokumentasjon av estimeringsmetoder
Notater 38/00 Ae Vedø Estmerg av materalfordelge tl usoldgsavfall 004 Dokumetaso av estmergsmetoder Statstsk setralbrå Statstcs Norwa Oslo Kogsvger Notater I dee sere ublseres dokumetaso metodebeskrvelser
DetaljerIntroduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians
Hypotesetestig / iferes (kap ) Itroduksjo Populasjo og utvalg Statistisk iferes Utvalgsfordelig (samplig distributio) Utvalgsfordelige til gjeomsittet Itroduksjo Vi øsker å få iformasjo om størrelsee i
Detaljer) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013
TMA4240 Statistikk Vår 2008 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b5 Løsigsskisse Oppgave 1 a) X 1,...,X 16 er u.i.f. N(80,18 2 ). Setter Y = X. i) P(X 1 >
DetaljerForelesning 2 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011
Forelesg MET359 Økoomer ved Davd Kreberg Vår 0 Dverse oppgaver Oppgave. Aa følgede o varabler: gpa: (Grade Po Average) Gjeomsskaraker for amerkaske sudeer. gpa fes ervalle [0;4], hvor 0 er lavese gjeomsskaraker
DetaljerForelesning Z-, t-test, test for forventningsdifferanser
STAT Sttstkk Metoder ushu.l@ub.o Forelesg + 3 Z-, t-test, test for forvetgsdfferser. Sttstsk hypotesetestg ullhypotese): ypotese so først ttt å være st *Forålet ed e test er å udersøke o dtterlet gr grulg
DetaljerARBEIDSNOTAT ARBEIDSNOTAT
A r b e d s o t a t e r f r a H øg s k o l e B u s k e r u d r. 67 ARBEIDSNOTAT ARBEIDSNOTAT Avedt statstkk Jo Reertse Arbedsotater fra Høgskole Buskerud Nr. 67 Avedt statstkk Av Jo Reertse Høefoss 8
DetaljerKonfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo.
Kofidesitervall Notat til STK1110 Ørulf Borga, Igrid K. Glad og Aders Rygh Swese Matematisk istitutt, Uiversitetet i Oslo August 2007 Formål E valig metode for å agi usikkerhete til et estimat er å berege
DetaljerEcon 2130 Forelesning uke 11 (HG)
Eco 130 Forelesig uke 11 (HG) Mer om ormalfordelige og setralgreseteoremet Uke 1 1 Fra forrige gag ~ betyr er fordelt som. ~ N( µσ, ) E( ) = µ, og var( ) = σ Normalfordelige er symmetrisk om μ og kotiuerlig
DetaljerGråtonehistogrammer. Histogrammer. Hvordan endre kontrasten i et bilde?
INF 3 råtoe-trasforasjoer Hovedsakelg fra ka. 3.-3. DIP Hstograer Leære gråtoetrasforer Stadardserg av blder ed leær trasfor Ikke-leære, araetrske trasforer Hvorda edre kotraste et blde?? Neste uke: Hstograbaserte
DetaljerKapittel 8: Estimering
Kaittel 8: Estimerig Estimerig hadler kort sagt om hvorda å aslå verdie å arametre som,, og dersom disse er ukjete. like arametre sier oss oe om oulasjoe vi studerer (dvs om alle måliger av feomeet som
DetaljerMedisinsk statistikk, del II, vår 2008 KLMED Lineær regresjon, Rosner Regresjon?
Medssk statstkk, del II, vår 008 KLMED 8005 Erk Skogvoll Førsteamauess dr. med. Ehet for Avedt klsk forskg Det medsske fakultet Leær regresjo, Roser..6 Bakgru (.) Modell (.) Estmerg av parametre modelle
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Høst 205 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Løsigsskisse Oppgave a) X bi(, p) fordi: Udersøker uavhegige delar av DNA-strukture. Fi for kvar del
DetaljerOppgaver fra boka: X 2 X n 1
MOT30 Statistiske metoder, høste 00 Løsiger til regeøvig r 3 (s ) Oppgaver fra boka: 94 (99:7) X,, X uif N(µ, σ ) og X,, X uif N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige Atar videre at σ = σ = σ og ukjet Kodesitervall
DetaljerMedisinsk statistikk, del II, vår 2009 KLMED 8005
Medssk statstkk, del II, vår 009 KLMED 8005 Erk Skogvoll Førsteamauess dr. med. Ehet for Avedt klsk forskg Det medsske fakultet Leær regresjo, Roser..6 Bakgru (.) Modell (.) Estmerg av parametre modelle
DetaljerSeleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden
ato: 07.01.2008 aksbehandler: DH Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden Dette notatet presenterer en enkel framstllng av problemet med seleksjon mot uttakstdpunkt av alderspensjon av folketrygden.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Utsatt eksamen : ECON130 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 15.0.015 Sensur kunngjøres senest: 0.07.015 Td for eksamen: kl. 09:00 1:00 Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:
DetaljerOppgaver fra boka: Med lik men ukjent varians antatt har vi fra pensum at. t n1 +n 2 2 under H 0 (12 1) (12 1)
MOT30 Statistiske metoder, høste00 Løsiger til regeøvig r. 5 (s. ) Oppgaver fra boka: Oppgave 0.36 (0.0:8) Dekkslitasje X,..., X u.i.f. N(µ, σ ) og X,..., X u.i.f. N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige.
Detaljer