Erling Siring INNHOLD

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Erling Siring INNHOLD"

Transkript

1 IN 83/4 8. februar 983 ESTIMERING AV VEKTENE TIL EN KOMBINERT ESTIMATOR FOR FYLKESTALL Av Erlg Srg INNHOLD. Iledg 2. De optmale vektee og robusthetsegeskapee tl de komberte estmatore Problemet ved å estmere de optmale vektee 5 4. Forslag tl estmatorer ved e ett-trs utvalgspla 6 5. UtprOvg av estmatoree ved hjelp av smulergsforsok Opplegget for smulergsforsøkee Presetasjo av resultatee Forslag tl estmatorer ved Byråets utvalgspla 6. E geeralserg av estmatoree 4 7. Dfferase mellom fylkestall 6 8. Koklusjoer og oppsummerg Ltteratur..... Sde 8

2 . INNLEDNING I Srg og Thomse (98) er det beskrevet forskjellge metoder for estmerg av fylkestall år e har data fra e utvalgsudersøkelse. Tre av dsse metodee er: () Drekte estmerg () Sytetsk estmerg () Kombasjo av ( ) og (). Metode () går ut på at e aveder observasjoer fra et fylke drekte. Metode () går ut på at e bruker observasjoer fra hele ladet, og justerer for at fordelgee med hesy tl vsse demografske varable er aerledes et ekelt fylke e hele ladet. La D betege de drekte estmator og S e sytetsk estmator for et fylkestall. Metode () går ut DA at e komberer () og () pa folgede måte: K = cs + (-c) D K kaller v her for e kombert estmator. Det er vst at e ka oppå e reduksjo av bruttovarase med ærmere 50 Droset vsse tlfeller ved A bruke K stedet for S eller D som estmator for fylkestall. Gevste ved å avede K er bl.a. avhegg av valget av c-verd. De verd av c som mmerer bruttovarase tl K, er e fuksjo av bruttovarasee tl S oa D som er ukjete år e ku har data fra e utvalgsudersøkelse. I dette otatet skal v behadle problemet med å estmere de optmale c-verd, som heretter vl bl kalt c* I kap. 2 skal v studere c* og egeskapee tl de komberte estmatore K. I kap. 3 skal v se på vaskelghetee ved d estmere c*. E framgagsmåte for å kue estmere c* oreseteres kw). 4. Vdere blr det dette kaptlet presetert kokrete forslag tl estmatorer for c* år e har e ett-trs utvalgspla. I avstt 5.3. preseteres estmatorer for c* som ka brukes ved Byråets utvalgspla. For A kue vurdere kvaltete tl de komberte estmatore forhold tl D og S, har v foretatt oe smulergsforsok. Dsse forsøkee er bltt gjort ved hjelp av data fra folketellge 970. Resultatee preseteres kap. 5. Folketellgee gr bl.a. tall for sysselsettg forskjellge ærger. V har her kosetrert oss om estmerg av adele av befolkge som er sysselsatt e ekelte araer. Dette betyr at estmatoree for c* er utvklet for dkotome varable. Ved A modfsere dem oe ka de mdlertd også brukes år e har kotuerlge varable. Dette blr behadlet kap. 6. DE OPTIMALE VEKTENE OG ROBUSTHETSEGENSKAPENE TIL DEN KOMBINERTE ESTIMATOREN La p betege de parametere som skal estmeres for fylke r., og la D, og K betege heholdsvs de drekte, de sytetske og de komberte estmatore for fylke r.. K c S + (-c ) D. V forutsetter at c-verde ka varere fra fylke tl fylke. V lar c* betege de c -verde som mmerer E (K - p0 2 3dvs. bruttovarase tl K. () I Srg og Thomse (98) er det vst at: cs5 - E (D-p) 2 - E (D.-p.) (S.-p.) E(D -p ) 2 -- E (S - ) 2-2E (D.-D)S- ) vt: ka også skrves DA folgede form: (2) c*_ var D. + (ED -D.) 2 - coy (D, S ) - (ED - ) (ES- p) var D. + var S + (ES -p) 2 + (ED -p) 2-2 coy (D,S) - 2(ES -0.) (ED.-0 ) Fra () ser v at hvs bruttovarase tl D. er mye større e bruttovarase tl S, vl lage ær og K vl bl tlærmet lk S. Omvedt ser v at hvs bruttovarase tl S er mye starre e bruttovarase tl D, vl c* lgge ær 0, og K vl bl tlærmet lk D. Fra (2) ser

3 2 v at skjevhetee tl D. og S går formlee for Som evt ledge har v her kosetrert oss om estmerg av adele av befolkge som er sysselsatt e forskjellge ærger. De drekte estmatore, D, blr da de observerte frekvese for fylke r. utvalget. Som reoresetat for klasse av sytetske estmatorer har v her valgt å bruke de aller ekleste av de sytetske estmatoree, emlg frekvese hele det ladsomfattede utvalget. Dee estmatore kaller v p, og forvetge tl kaller v p. De komberte estmatore blr da: K.. c + (-c.) D.. V ka eve tre årsaker tl at v har brukt stedet for e mer "avasert" sytetsk estmator eller e regresjosestmator som Fay og Herrot (979): () () Det har medfort mdre regearbed. I Laake og Lagva (976) er det presetert resultater som dkerer at det har moderat effekt å utytte data om kjøs- og aldersfordelge hvert fylke ved estmerg av sysselsettgstall. () V har lagt mer vekt på å fe fram tl e metode for å kue estmere c e A søke etter e "optmal" estmator for p. Tl tross for () tror v at e mage tlfeller vl kue fe e lagt bedre sytetsk estmator e 3. E vl da kue kostruere e bedre kombert estmator e de som blr presetert her. Gevste ved å avede e kombert estmator stedet for e drekte estmator vl derfor kue bl storre e resultatee dette otatet dkerer. For A forekle regearbedet og for det hele tatt å mulggjøre smulergsforsøkee som er beskrevet kap. 5, skal v å forutsette at v har e utvalgsola der v trekker ekle, tlfeldge utvalg fra hvert fylke. Vdere skal v forutsette at atall persoer som trekkes fra hvert fylke, er proporsjoalt med folketallet fylket. Forutsetgee som er beskrevet over, gr: ( 3 ) ED = p cov(d, -) var D. der,. er atall observasjoer fra fylke r. og er atall observasjoer fra hele ladet. (l-p.) Vdere har v at var D. p. ^ 00-) ogatvar Ved å sette dette (2) og rege ltt fer e så: (4) C * ( -2P-(-p.) P(-PHP-P) 2. Når e skal estmere c *, er det vktg å vte hvor robust kvaltete tl K. er for forskjellge valg av C. Fgur, 2 og 3 vser hvorda bruttovarase tl K. varerer med c. for forskjellge relasjoermellorlbruttovaraseetlp.og P. De horsotale ljee fguree markerer brutto varasee tl D. og fs. Bruttovarase tl K. er bl.a. e fuksjo av kovarase tl D. og 6. I fguree har v satt coy (D.,f3) var D. 9 sde gjeomsttsverder tl - = 9 (jfr. (3)). Hvs v hadde forutsatt at coy (D) hadde vært større, vlle kurvee ha vært oe flatere. Dette betyr at år coy (Dr;) er storre e forutsatt her, er gevste ved å avede e kombert estmator mdre e fauree atyder. Dersom v her hadde brukt e ae sytetsk estmator e 6, vlle kurvee ha vært de samme så sat kovarasee hadde vært lke store som forutsatt. Dersom v hadde forutsatt at Byråets utvalgspla hadde vært brukt, vlle også kurvee ha vært omtret de samme.

4 3 Fgur. Bruttovarase tl K som fuksjo av c år bruttovarase tl D er lk bruttovarase tl p (c * = 0,5) E(K -p ) 2 A E(D.-p.) 2 =E ( P- P ) 2 0,53 E ( -p) 2 0, 0,2 0,4 c *0,6 0,8,0 Fgur 2. Bruttovarase tl de komberte estmatore som fuksjo av c år E( p-p.) 2 = 2E(D -p ) 2 E ( -p.) 2 E(D. 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 c.

5 4 Fgur 3. Bruttovarase tl de komb!rte estmatore 0 som fuksjo av C. år E(-p) 5 E(K-p ) 2 E(p-) tt I I t 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 c. La K. = c * + ( - c) D., dvs. le! er de K. (som fuksjo av c.) som har mst bruttovaras. Fur, 2 og 3 llustrerer ekelte av de geerelle egeskapee tl de komberte estmatore. Når bruttovarasee tl D og 6 er lke store, er bruttovarase tl KT bare om lag halvparte så stor som bruttovarasee tl D. og P. Gevste ved å bruke Kt stedet for de beste av estmatoree D. og p avtar år forskjelle bruttovaras mellom D. og r3 oker. Reduksjoe bruttovaras ved A bruke K! stedet for de beste av estmatoree o og D lgger alltd et sted mellom 0 ()a 50 proset, avhegg av forholdet mellom bruttovarasee tl p ogd. prakss vl e kke kue bruke estmatore Kt sde c* er ukjet. Fguree llustrerer Ç mdlertd at e kke er avhegg av A bruke de eksakte Cå kue tjee på å bruke e kombert estmator. I fgur ser v at de komberte estmatore er bedre e både D og 6 for alle verder av c. mellom 0 og år D og D har lke stor bruttovaras. Geerelt har de komberte estmatore mdre bruttovaras e både D ; r-( 0,24) for ce (OW hvs c E (2c -,) for c.* E (,l) Bredde på dsse tervallee blr kortere og kortere ettersom forskjelle bruttovaras mellom og D. oker. Dette er llustrert fguree. I Schable (978) og Royall (979) er det mer om dette. I de evte artkler er det også vst at bruttovaraskurve tl K. er svært flat området omkrg c7. Dette betyr altså at kvaltete tl K er svært robust overfor forskjellge valg av c området omrkg ct. Selv om e bruker e 'dårlg" estmator for ct, ka e altså de fleste tlfeller reae med a oopå e gevst ved å ta bruk e kombert estamtor. I Schable, Broch og Schack (977) oa Schable (979) er det oresetert emorske resultater som dkerer at dette er rktg. I ekelte stuasjoer har det mdlertd ge heskt A avede e kombert estmator. Hvs f.eks. de ee av de to estmatoree D eller P har mye mdre bruttovaras e de adre, ka de komberte estmtore ved et uheldg vala av c bl dårlgere e de beste kompoetestmatore. Hvs e vet at e er e slk stuasjo, belt- e derfor bruke de beste av de to komooetestmatoree framfor A bruke e kombert estmator. De absolutt maksmale aevst ved a erstatte de beste kompoetestmatore med e kombert estmator er å få redusert bruttovarase med 50 oroset. I de fleste tlfeller vl gevste være laot mdre. Hvs begge de to komboetestmatoree er av uakseptabel dårlg kvaltet, er det derfor tvlsomt om e kombert estmator vl vare av tlfredstllede kvaltet.

6 5 3. PROBLEMET VED A ESTIMERE DE OPTIMALE VEKTENE I dette kaptlet skal v se på vaskelahetee ved A estmere c. Vdere skal v presetere ekelte mslykkede forslag tl estmatorer for c. Fra(2)servatc.erefuksjoavvaraseeogskjevheteetlD.og S, samt av kovara- se mellom de to estmatoree. I e praktsk stuasjo vl det som regel være mulg å fe brukbare estmatorer for var D, var S og coy (D,S ). Dermot vl det by Da problemer å fe e brukbar estmator for skjevhete tl S, dvs. ES.-p.. V skal gje begrese oss tl de stuasjoe som er beskrevet kap. 2, emlg at v bruker P som represetat for de sytetske estmatorer og at v har e ett-trs utvalgspla. E forvetgsrett estmator for p-p er ; - D. Dee estmatore har mdlertd høy varas. I tllegg er det eget- gkkep-p verteressertaestmere,me(p-p. 2. Gjeom de forslag tl estmatorer for e! som v skal vurdere, vl v se at dee størrelse er problematsk å estmere. Fra (4) har v: (,4) 2.4" -- P( - P) Et aturlg forslag tl estmator for c * blr da: ( - ) D.(-D.) C l (-2) -T ),(-D) + (-3) + ( f)-d ) 2 Hvs v ser på de ekelte leddee Cl, har v at E(--6-) D( -D) ( F) E(-2 ) D.(-D.) (-2.--) -Fr E o(-p) p(-p) og E (p- ) 2 = ^ E ( -.+0 o -D.) 2. E(D.-p.) 2 + E( p-p.) 2 2E(D.-0.) ( 3-0.) = ' hele evere e (jfr. ()). V har altså at E;3-D ) 2 >(p- p) 2. VedbrukavestmatoreC.vllesasylgvsc.bl kraftg uderestmert. Sde E ( )- D)2 = evere c'. er det ærlggede A vurdere folgede estmator for c.: C ( --I.) D.(-D.) - D)2

7 6 Estmatore C. er tlærmet forvetgsrett. 2 J' La C. =' C. hvs C 2 > 3 2 hvs C. < 2 V har testet estmatore C 3 samme med de foreslåtte estmatoree kap. 4. Sammelget med dsse estmatoree gjorde C 3 det dårlg smulerasforsokee. C 3 hadde rett og slett for høy varas. E ae mulghet v har vurdert, er å estmere p. c' med K. dvs. v har vurdert å lose lkg (5) m.h.p. c, og bruke losge som estmator for c.. (- K (c0[-k(c )] ( 5 ) c. = (-2- ) K.(c.)[-K(c)J +- F b(-3) + [ K. (5) ka loses ved teratve metoder. Ill/ Leddet [K (c )-t;] 2 = (l-c ) 2 (D - P) 2 er tekt å skulle estmere ge tl dette leddet fer v: ^, E[K.(c )-p] 2 = (-c ) 2 x evere c * * ( Do) 2 ( ) 2. Hvs v ser på forvet- V har derfor at c.-e(e) som tlfredstller (5) har e forvetg som kke er garatert å lgge ærhete av c. La C 4 være losge av (5). I smulergsforsokee har v testet C 4. Det vste seg at dee estmatore fugerte dårlg. Hvs e forutsetter at alle p.-ee er forskjellge, og at det kke er oe fuksjoell samme- heg mellom dem, tvler v på at det er mulg å fe e brukbar estmator for c!. V skal derfor gå over tl å betrakte det hele fra e ae sysvkel. 4. FORSLAG TIL ESTIMATORER VED EN ETT-TRINNS UTVALGSPLAN I dette kaptlet skal v komme fram tl estmatorer for c * ved A gjøre modellforutsetger om p.-ee. Estmatoree som blr presetert dette kaptlet, er utvklet uder forutsetg av at e bruker de utvalgsplae som er beskrevet kap. 2, og har derfor begreset praktsk betydg. Modellee og framgagsmåte som er beskrevet dette kaptlet, er mer teressate e estmatoree seg selv. Estmatoree er utvklet for a avedes smulergsforsøkee som er beskrevet este kapttel, og er spesaltlfeller av de mer geerelle estmatoree som er beskrevet kap. 6. I avstt 5.3 er det presetert utgaver av estmatoree som er bereget tl bruk ved Byråets utvalgspla. V skal å komme fram tl estmatorer for c * ved å ta utgagspukt folgede to modeller: Modell : E( P- p) 2 er kostat for alle fylker ^ Modell 2: E(p- ) 2 + E(D.-p.) 2-2E(D.-0.)(3- er kostat for alle fylker. Ut fra erfarg ka e s at bruttovarase tl o, E(p -p) 2 de fleste tlfeller er domert av kvadratet av skjevhete, dvs. (p-o) 2. Modell baseres da DA forutsetge om at absoluttverde av skjevhete tl IS, p-p varerer lte fra fylke tl fylke. E begruelse for dee forutsetge ka være: Hvs e kke har oe forhådskuskaper om oe av fylkee, er det lte gru tl a påstå at. p - p er storre eller mdre e p-p for fylkee og j.

8 7 Modell er testet Schable (979) og Schable, Brock og Schack (977). I evte artkler har e egetlg tatt utgagsukt de mer geerelle modelle som er beskrevet kap. 6. Ut fra modell har e laget e kombert estmator, og laget estmater for forskjellge varable ved hjelp av data fra de amerkaske helseudersokelsee (969-7). Dsse estmatee er så bltt sammelget med folketelldsdata fra 970. La P betege e estmator for parametere p område r.. Sommål for kvaltete tl tore p har e brukt Q = E ().-o.) 2. Med hesy Då målet Q var de komberte estmatore overleget bedre e kompoetestmatoree. I Schable (979) er det tllegg presetert resultater som vser at de komberte estmatore er robust overfor avvk modelle. Når det gjelder modell 2, vrker dee urealstsk, og det er vaskelg å g oe teoretsk begruelse for de. Modell 2 er egetlg kommet tl ved at v laget e estmator for c som var ekel å berege, og som har gjort det bra uder de emprske forsøkee som er beskrevet kapttel 5. V skal å ta utgagspukt modell og utvkle e estmator for c. Fra (4) har v: (.. ) ( - c *, ( - 2--L) 2 p ( - p ) E( - P ) V skal lage e estmator for c ved å lage estmatorer for de tre leddee c hver for seq. Som estmator for p. ( - p.) bruker v p(-). Grue tl at v kke bruker estmatore T- D4, 0) -), er at -- p. (-D. er robust overfor varasjoer p, og at det er eklere bereggs, ' ) A A A messg A bruke estmatore -- p (-p). I tllegg har p kke vært særlg dårlgere e D. som estmator for o smulergsforsokee som er beskrevet kap. 5. Dette gjelder speselt for smd utvalgsstorrelser. A 2 2. Sde E(p-T.). evere c. har v at (5-D) - (-2- ) 3(-P) er e tlærmet for A vetgsrett est mator -For E(p-) 2. Modell gr at også ^ 2-2-) 9 (P-D'). 4) vl være e tlærmet forvetgsrett estmator for E(P- p)2. Sstevte estmator har lagt mdre varas e førstevte. E tlærmet forvetgsrett estmator for evere c. blr da: 9 f., ^ (P- D.) (-2-) ^( ^ j= P,-P) f 9 - I 7 / Z-D. - P(- -) b)\ 9 j=.

9 E estmator for c. uder modell blr:. (--r-- ) 7-:- 9 L( D.- P )Lo + f)(-3),. g Hvs modell gjelder, vl c være e tlærmet forvetgsrett estmator for c. Uder modell 2 vl folgede estmator for c. være tlærmet forvetgsrett:. B(-D c. ^ E(D-) 2 c har e del lkhetstrekk med kostate c de klassske James-Ste estmatore (James og Ste (96)). Ata at.-ee er lke. La.=k for alle. c. blr da c. - E(D.-P) 2 3 C James-Ste estmatore vlle være: C og c er utoklet uder forskjellge forutsetger og e ka kke kokludere med a c. geerelt overestmerer c.. hvs c. < 0 La å:.= c. hvs c. E [0, hvs C; > I og 2* C. hvs c. E [0,] hvs c. ). Vårt forslag tl e kombert estmator blr da uder modell og 2 heholdsvs: K l = l p + (-6 0 K 2 = 2 -,- (-6 2 ) D

10 9 V skal det folgede sammelge 5 estmatorer for K og K K er de komberte estmatore med de optmale vekte c.. *- K. = c.p 4- (-c *) D. c. er bereget ved hjelp av folketellgsdata fra 970. V har sammelget de 5 estmatoree ved hjelo av smulergsforsøk basert på folketellgsdata fra 970. Opplegget for forsøkee blr beskrevet este avstt. 5. UTPRØVING AV ESTIMATORENE VED HJELP AV SIMULERINGSFORSØK 5.. Opplegget for smulergsforsøkee Som evt kapttel 2 forutsetter v at v aveder e utvalgspla som er slk at det trekkes ekle, tlfeldge utvalg fra hvert fylke. Vdere forutsetter v at atall persoer som trekkes fra hvert fylke er proporsjoalt med folketallet fyket. I e slk utvalgspla vl D være tlærmet ormalfordelt med forvetq p og varas..frafolketellge970harvfuetfram"p.-er" for sysselsettge ekelte ærger. Hvs v hadde hatt "D.-er" fra e utvalgsudersøkelse, kue v brukt dsse estmatee og målt tlpasge tl de "sae p -ee" for forskjellge estmatorer. Sde v kke hadde passede data fra e utvalgsudersøkelse, har v laget kustge "D.-er". Dette er gjort ved a trekke tall fra e stadardsert ormalfordelg. Tallee er trukket fra boke "A Mllo Radom Dgts wth Normal Devates". Ata at v har trukket tallet X. Vår D er da bereget på folgede måte \ /P ( - ) D. = X V. E har da at D. N(p. (-p.)., ) For hver varabel, hver utvalgsstørrelse og hvert fylke har v trukket tre forskjellge X-er, og altså "laget" tre forskjellge D.-er (smulergsforsøk I, II og III) Presetasjo av resultatee La være e estmator for p. SommålforestMatorestlpasgtlo.-ee har v brukt 9 Q = (P--P.) 2 - = Dee storrelse har v bereget for estmatoree D, e% K / og K 2 for forskjellge varable og forskjellge utvalgsstørrelser. Tabellee uder vser resultatee.

11 Tabell. p = adele sysselsatt totalt av persoer over 5 år fylke r.. Bereget verd av Q 0 Estmator for forskjellge estmatorer og forskjellge utvalgsstorrelser Smulerasforsok r. I II III Utvalgsstørrelse hele ladet: Gjeoms. av I, II og III Ill/ K, D 9, , , , p 0, ,995.0, , K l 2, , , , K, ,699'0-2,75'0 2,258'0-2 IC 0, , , ,76.0 Utvalgsstorrelse hele ladet: D2,783'0-2 2,93'0-2, ' ,- l02 ;,034'0-2-, , ,026' ,7'0-2 0,746'0-2 0, , K 0, , , , K* 0,560'0-2 0, ,8402 0, Utvalgsstørrelse hele ladet: D 0, , , , , - _ D, ,70'0-2,80-02, K 0, ,430'0-2 0, ,. 44 0, K 2 0, , , , ,44'00, , ,26 - Tabell 2. p. = adele sysselsatt dustr m.v. av persoer over 5 år fylke r.. Bereget verd av Q for forskjellge estmatorer og forskjellge utvalgsstørrelser Estmator Smulergsforsøk r. Gjeoms. av I, II og III Utvalgsstørrelse hele ladet: 5 000,024-0 D., , , P 2, , , , K l 0, ,740'0-2 0, , K 2 0, , , , lec0, , , , D 0, ,206'0-2 Utvalgsstorrelse hele ladet: , ,285'0-2!r; 2, , ,62'0-2 2,2.0-2 K l 0, ,224'0-2 0, , K 0, ,256'0-2 0, ,346'0 K* 0, , , ,93.0-2

12 Tabell 3. p.. adele sysselsatt varehadel av persoer over 5 år fylke r.. Bereget verd Estmator av Q for forskjellge estmatorer. Utvalgsstorrelse: fra hele ladet Smulergsforsøk r. II III Gjeoms. av I, II og III (7 (Q I +Q II +Q III )) D,75'0,0560,67.0,475'0-3 3 p 5, , , , K 0,9260 -,48 ; l, K 2 0,9860-3, , , , l,0290 Med hesy på målet Q er e de estmatore som har wart de beste forsøkee. Kl og K2 som eromtretlqegode,erdårlgereee, :me bedre e D. og p. Når det gjelder varabele"sysse- settg alt", er p bedre e D for små utvalgsstørrelser, mes D er bedre e f-) for store utvalgsstorrelser. Q-verde tl P varerer lte med utvalgsstorrelse. Dette har utvlsomt sammeheg med at kvadratet av skjevhete tl s) domerer bruttovarase. I samsvar med de teoretske resultatee kap. 2 ser v at det er mest å tjee på å bruke e kombert estamtor år kompoetestmatoree er omtret lke gode. I tlfeller der de ee kompoetestmatore er overleget bedre e de adre, bor e bruke de beste kompoetestmatore framfor å bruke e av de komberte estmatoree Kl og K2. A Kl og K2 er bedre e p utatt ved estmerg av adele sysselsatte alt med utvalgsstorrelse Dette dkerer at e for utvalgsstørrelser større e boy- foretrekke e kombert estmator framfor e sytetsk estmator. Når e kommer opp så store utvalgsstørrelser som , ser det ut tl at det kke er oe å tjee PA å bruke e av estmatoree Kl eller K2 stedet for D. 0 I forsøkee er det lte som skller Kl og K2. Resultatee dkerer mdlertd at Kl kaskje er oebedre e K2. For å udersøke dette ærmere har v sammelget :.( :s.-c.) * 2 med :..(5.-c.) * 2 2 (jfr. kap. 4) for forskjellge varable og forskjellge utvalgsstorrelser. De første kvadratsumme vste seg alle tlfellee å være oe mdre e de sste. Dette skulle dkere at Kl er oe bedre e K2. Grue tl at det har vært så lte forskjell mellom Kl og K2 forsøkee, er utvlsomt at K er robust overfor varasjoer c Forslag tl estmatorer ved Byråets utvalgspla Byråets utvalgspla er e totrs utvalgspla som kke er kostruert for å g fylkestall. Hvs "D -ee" hadde framkommet ved Byråets utvalgspla, vlle de hattstorre varas e forsøkee. I tllegg vlle de ha vært forvetgsskjeve. Dette medfører at (IV) "Ord:fale c." blr e ae ved Byråets utvalasola e forsøkee. V skal dette avsttet presetere estmatorer for de "optmale c " som ka brukes ved Byråets utvalgspla. La å EB var cov og betege heholdsvs forvetg, varas, kovaras og de "optmale ' B' B C. ved Byråets utvalgspla. Fra () har v: (D - 0.) 2 - E (.-Q )( 6-P ) B E B. B ) 2 +Es(3 _, p A EB(D-p ) 2 _ 2EB(D-p)(o-p)

13 2 Bruttovarase tl P som estmator for p er de fleste tlfeller domert av kvadratet av skjevhete. Sde skjevhete tl p er de samme ved Byråets utvalgspla som ved de utvalgsplae som er beskrevet kap. 2, vl v de fleste tlfeller ha at E tr( A- yv f. ) 2Med E mees forvet- " l ge ved utvalgsplae som er beskrevet kap. 2. V skal forutsette at tlærmelse gjelder, og at c oy E (D.-D.)2' B E(D-o) 2 desgeffekte tl D.. Fra (4) og 6) har v da:. e ( ) 2-- e. 4 p(lp) I prakss har v este alltd at e B * *,, som gje medfører at v este alltd har at C > c, ger c er sal (4)-DettekatYcletlatdeforeslåtteestmatøreec. og c. uderestmerer c ved Byråets utvalgspla. V skal se æremer på dette: r-.,.. (l-- 5(-5) * E E c. B s B A,,,E(D.-p 2. E (- ) E B- z(d-f5)2 7 jj ) ( ) r. Z{E (D.-p.)2 + E (5-p.) j J 2E (D - P )(3- Pj) Hvs modell 2 gjelder, har v at E B CT TIT' P ( ) 2 E (D- p. B ) (3-P)2-2E 3 -p.) ( 3-p.) j j C. e B < C. B Når det gjelder forvetge tl êt ved Byråets utvalgspla, er sammehege mellom dee og C ltt mer komplsert. Det ka mdlertd vses at v de fleste tlfeller vl ha: e C. A* R < - EBC.< C- 7- er e størrelse som varerer med fylke, varabel og utvalgsstorrelse. V har bereget for

14 3 Troms og Fmark for forskjellge varable og utvalgsstorrelser. Resultatee er gjeatt tabell 4 og 5. Tabell 4. Desgeffekte tl D. for Fmark for forskjellge varable og utva gsstorrelser Nærg Utvalgsstorrelse hele ladet Sysselsettg alt Idustr m v Varehadel Jord og skog Fske og hvalfagst Bygg og alegg Samferdsel Tjeesteytede Tabe5.DesgeffektetlD.for Troms for forskjellge varable og utvalgsstorreser Nærg Utvalgsstørrelse hele ladet Sysselsettg alt Idustr m v Varehadel Jord og skog Fske og hvalfagst Bygg og alegg Samferdsel Tjeesteytede Itabelleeservate.varerer gaske mye med både varabel og utvalasstorrelse. V ka der B for kke abefale oe bestemt tall for e som ka brukes ved estmerg av c.. (jfr. ct og E* kap. 4): B Ved Byråets utvalgspla foreslår v følgede estmatorer for c. uder heholdsvs modell og 2. e.(--) - p(-p) B a) C. -, 7.75.E(D.-3) 2 + e.kl-p)e- - E ---). 9. I, 3 3 uder modell b) c.. e. c'f uder modell 2. e er et tall som e bør fe et aslag for hvert ekelt tlfelle.

15 4 La å hvs C.0 (5, B B,c. hvs c E[0 -,] hvs C. > lc. hvs c E[0,] hvs C B > V foreslår følgede komberte estmatorer uder heholdsvs modell og :. K. = + (-6. K. = + Et aturlg spørsmål å stlle å er hvorda smulergsforsøkee kap. 5 vlle ha forløpt hvs v hadde avedt Byråets utvalgspla og brukt estmatoree K og K. Som evt tdlgere meer v at p som estmator for p vlle ha vært av omtret samme kvaltet som kap. 5, mes D vlle ha vært e del dårlgere. K og K meer v vlle ha vært av oe dårlgere kvaltet e K og K2 var forsøkee. V reger med at forrgelse kvaltet vlle ha vært mdre for de komberte estmatoree e for de drekte estmatore. V ka oppsummere dette med at hvs Byråets utvalgspla hadde daet grulag for smulergsforsøkee, tror v at D vlle ha kommet dårlgere ut forhold tl IS og de komberte estmatoree e det som var tlfellet. Når det gjelder forholdet mellom p og de komberte estmatoree, tror v at de komberte estmatoree vlle ha gjort det ltt dårlgere e forsøkee. 6. EN GENERALISERING AV ESTIMATORENE Ata at v er teressert å estmere gjeomsttet y populasjoe fylke r. = j :Xj være gjeomsttet av observasjoee e utvalasude sokelse fra fylke r.. Xj er det " som er observert for perso r. j fylke r.. V teker oss at X j ka være e dkotom varabel, e kategorsk varabel eller e kotuerlg varabel. La S være e sytetsk estmator for fylke r.. E kombert estmator er da: K = c S + (-c ) De optmale verd av c., kaller v som for c.. V har: c * = E( -Y) 2 - E( 5-( - Y)(S -Y.) - - E( -y) 2 -.) 2 + E(S -y.) 2-2E(X -y.)(s.-y.

16 5 La (a 2 = var 5-( og 2 7 (S ) = var S V atar at EX y. V har da: 0. ( X.) - cov 2 - c. (X., S.) 2 () a (X ) + a 2 (S ) + (ES -y ) 2-2 coy (5" La s (X), s (S ) og C(5.( S) være estmatorer for heholdsvs a (X ), (S) q COV (R V skal avede geeralserte utgaver av modellee og 2 som er defert kap. 4. La å: Modell : E(S -y.) 2 er kostat for alle fylker Modell 2: E(S.-y ) 2 + E(R.-y ) 22E(X.-v.)(S.-y.) er kostat for alle fylker. Vårtforslagtlestmatorforc.uder modell blr da: = k - C. 9,S, (SX ) 2 2C ( XS)}. 40 s20-() 2C(., _ s 2 ( T(.. Uder modell 2 har v folgede forslag tl estmator for c: A * s (X.) -C(X.,S.) c= 9-2 E j= 3,3 A* 0, hvs C 0 La å = hvs 0 E* 4 hvs C > og la (5 = c hvs 0 C * Lhvs c > Vårt forslag tl e kombert estmator uder modell og 2 blr da heholdsvs K = 6 S + ( -6 ') R = "S + V tror at estmatore K.' er oe bedre e estmatore K.". K." har mdlertd de fordel at de er lettere A berege. P.g.a. robusthetsegeskapee tl de komberte estmatore, meer v at det vl være lte forskjell mellom K.' og K." prakss.

17 6 7. DIFFERANSEN MELLOM FYLKESTALL Ata at v er teressert å sammelke to fylker, og at v er teressert å estmere dfferase p- Sde p. de komberte estmatore delvs er basert pa observasjoer fra hele ladet, er det aturlg å spørre seg om de komberte estmatoree er eget ved sammelkg av fylkestall. V øsker å sammelke estmatore K -Kj med D -D som estmator for V ser på folgede dfferas: A.)]2 ErK -(p.-p.)2 = E(D - p ) 2 + E(D.-P. J E(D -p E(K -p ) 2 - E(Kj -p ) 2 + 2E(K -p )(Kj -pj ) Leddet E(D. -0.)(E) -0) vl være lte forhold tl de adre leddee. I de fleste tlfellee vl det j wee 0, så v setter det lk O. For leddet E(K.-p.)(K.-p.) har v: J E(K -.)(K.-p.) E(K -EK)(K -Ey + (EK -o )(EKj - P) coy (KK) +c cj (ES - p )( ESj -pj ) V ka skrve A på følgede form: A = [ E(D -p ) 2 - E(K - p) 2 ] + [E(Dj - P) 2 - E(K - o) 2 ] + coy (KK) + c cj (ES -P )(ESj - P) persomc lggerarc.0gclgaerrer c j.har, v: A coy (KK) + c c (ES -p XESj -pj ) Koklusjoe v ka trekke av dette er at dersom de sytetske estmatoree S og S begge overestmerer eller begge uderestmerer se respektve estmader (P og p), vl K -K 3 være e bedre estmator for p -p e D.-D. Dersom de ee av de sytetske estmatoree uderestmerer fylkesadele og de adre overestmerer fylkesadele, er det uskkert hvlke av estmatoree K -Kj eller D-D som er best. j 8. KONKLUSJONER OG OPPSUMMERING I kap. 2 studerte v egeskapee tl de komberte estmatore som vste seg å være robust overfor valg av vekter. I kap. 3 ble koklusjoe at det lkevel er problematsk å estmere de optmale vekte, c., drekte. I dette otatet har v fuet fram tl e framgagsmåte for å estmere c. ved å ta utgagspukt to alteratve modeller. Framgagsmåte s mest geerelle form er beskrevet kap. 6. De modelle, som v har kalt modell, har v egetlg hetet fra Schable, Brock og Schack (977). I evte artkkel og Schable (979) er det oresetert resultater som dkerer at det fugerer bra prakss å avede dee modelle. Ved å ta utgagsoukt modellee har v kommet fram tl forslag tl estmatorer for c både ved e ett-trs utvalgspla, ved Byråets utvalgspla og ved mer geerelle stuasjoer. For hver estmator for c har v laget e kombert estmator. Ved A gjeomføre oe smulergsforsøk har v sammelget de komberte estmatoree med de drekte og de sytetske estma-,. tore, p. Som mål for estmatorees kvaltet har v brukt målet Q som er defert kap. 5. Med hesy Da dette målet var våre foreslåtte komberte estmatorer bedre forsøkee e de drekte og

18 7 de sytetske estmatore. I forsøkee våre måtte v av praktske gruer forutsette at v hadde e ett-trs utvalgspla, mes Byråets utvalgspla er e totrs utvalgspla. V meer lkevel at forsøkee dkerer at e ved "valge" utvalgsstørrelser vl oppå e gevst ved å bruke e av våre foreslåtte komberte estmatorer framfor å bruke de drekte- eller e sytetsk estmator ved estmerg av fylkestall. De geerelle egeskapee tl de komberte estmatoree dkerer det samme. Hvs e prmært er teressert å estmere forskjeller mellom fylker, vser resultatee kap. 7 at det mage tlfeller er uskkert om e vl oppå e gevst ved å bruke e kombert estmator framfor de drekte estmatore.

19 8 9. LITTERATUR Carter, G.M. ad Rolph, J.E. (974): "Emprcal Bayes Methods Appled to Estmatg Fre Alarm Probabltes". Joural of the Amerca Statstcal Assocato, 69, Fay, R.E. ad Herrot, R.A. (979): "Estmates of Icome for Small Places: A Applcato of James- Ste Procedures to Cesus Data". Joural of the Amerca Statstcal Ass., 74, p Laake, P. ad Logva, H. K. (976): "Estmerg av sysselsettg geografske regoer, om estmatorees skjevhet, varas og bruttovaras". Statstsk Setralbyrå. Artkler 88. Royall, R. M. (979): "Predcto Models Small Area Estmato". NIDA Resarh Moograph 24. Papers preseted at a workshop coducted by Respose Aalyss, Prceto, New Jersey, uder NIDA Cotract No Schable, W. L., Brock, D. B. ad Schack, G. A.: "A emprcal comparso of the smple flato, sythetc ad composte estmators for small area statstcs". Proceedgs of the Amerca Statstcal Assocato, Socal Statstcs Secto: 07-02, 977. Schable, W. L. (978): "Choosg Weghts for Composte Estmators for Small Area Statstcs" R prt from the 978 Proceedgs of the Secto o Survey Research Methods. Schable, W. L. (979): "A Composte Estmator for Small Area Statstcs". NIDA Research Moograph 24. Papers preseted at a workshop coducted by Respose Aalyss, Prceto, New Jersey, uder NIDA Cotract No Srg, E. og Thomse, I. (98): "Metoder for estmera av tall for fylker vha. utvalgsudersokelser". Rapporter 8/6. Statstsk Setralbyrd.

Om enkel lineær regresjon II

Om enkel lineær regresjon II 1 ECON 13 HG, revdert aprl 17 Notat tl kapttel 7 Løvås Om ekel leær regresjo II Merk: Det ka løe seg først å lese avstt 4 regresjo-i-otatet på ytt. Regresjosmodelle. La Y være e stokastsk varabel (som

Detaljer

Forelesning 19 og 20 Regresjon og korrelasjons (II)

Forelesning 19 og 20 Regresjon og korrelasjons (II) STAT111 Statstkk Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 19 og 0 Regresjo og korrelasjos (II) 1. Kofdestervall (CI) og predksjostervall (PI) I uka 14, brukte v leær regresjo for å fage leær sammehege mellom Y og

Detaljer

som vi ønsker å si noe om basert på data Eksempel. Uid-modellen: X1, X ,,,

som vi ønsker å si noe om basert på data Eksempel. Uid-modellen: X1, X ,,, HG Eco30 07 9/3-07 Supplemet tl forelesg uke 0 (6 mars) (Det jeg kke rakk å ta på forelesg) Termolog (estmerg) Data (kokrete tall), x, x, er ervasjoer av stokastske varable, X, X, De statstske modelle

Detaljer

Regler om normalfordelingen

Regler om normalfordelingen 1 HG Revdert mars 013 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg

Detaljer

STK1100 våren Estimering. Politisk meningsmåling. Svarer til sidene i læreboka. The German tank problem. Måling av lungefunksjon

STK1100 våren Estimering. Politisk meningsmåling. Svarer til sidene i læreboka. The German tank problem. Måling av lungefunksjon STK00 våre 07 Estmerg Svarer tl sdee 33-339 læreboka Poltsk megsmålg Sør et tlfeldg utvalg å 000 ersoer hva de vlle ha stemt hvs det hadde vært valg 305 vlle ha stemt A A's oslutg er Ørulf Borga Matematsk

Detaljer

Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>. ECON 3 EKSAMEN VÅR TALLSVAR Det abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller lkt uasett varasjo vaskelghetsgrad. Svaree er gtt

Detaljer

Regler om normalfordelingen

Regler om normalfordelingen 1 HG mars 2009 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette

Detaljer

Notat 1: Grunnleggende statistikk og introduksjon til økonometri

Notat 1: Grunnleggende statistikk og introduksjon til økonometri Notat : Gruleggede statstkk og troduksjo tl økoometr Gruleggede statstkk Populasjo vs. utvalg Statstsk feres gjør bruk av formasjoe et utvalg tl å trekke koklusjoer (el. slutger) om populasjoe som utvalget

Detaljer

Regler om normalfordelingen

Regler om normalfordelingen HG mars 0 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette kurset.

Detaljer

Om enkel lineær regresjon II

Om enkel lineær regresjon II ECON 3 HG, revdert aprl Notat tl kapttel 7 Løvås Om ekel leær regresjo II Merk: Det ka løe seg først å lese avstt 4 regresjo-i-otatet på ytt. Regresjosmodelle. La Y være e stokastsk varabel (som v kaller

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Sannsynlighetsregning med statistikk

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Sannsynlighetsregning med statistikk ÅMA0 Sasylghetsregg med statstkk, våre 00 Kp. 5 Estmerg. Målemodelle. Estmerg. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estmerg bomsk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (Pukt)Estmerg målemodelle (kp. 5.3)

Detaljer

Oversikt over tester i Econ 2130

Oversikt over tester i Econ 2130 1 HG Revdert aprl 217 Overskt over tester Eco 213 La være e ukjet parameter (populasjos-størrelse) e statstsk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av populasjoe er ukjet. Når v setter

Detaljer

Om enkel lineær regresjon II

Om enkel lineær regresjon II ECON 3 HG, aprl Notat tl kapttel 7 Løvås Om ekel leær regresjo II Merk: Det ka løe seg først å lese avstt 4 regresjo-i-otatet på ytt. Regresjosmodelle. La Y være e stokastsk varabel som v kaller resposvarabele

Detaljer

Econ 2130 uke 19 (HG) Inferens i enkel regresjon og diskrete modeller

Econ 2130 uke 19 (HG) Inferens i enkel regresjon og diskrete modeller Eco 3 uke 9 (HG) Iferes ekel regresjo og dskrete modeller De ekle regresjosmodelle. Resultater fra 5m og 5m for me fra EM på skøyter Heerevee 4. ( er 5m-tde og y 5m-tde sekuder for løper.) Spredgdagram

Detaljer

Oversikt over tester i Econ 2130

Oversikt over tester i Econ 2130 HG Revdert aprl 2 Overskt over tester Eco 23 La θ være e ukjet parameter (populasjos-størrelse e statstsk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av θ populasjoe er ukjet. Når v setter

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014

TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014 Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Løsgssksse Oppgave a) Y 5 PY > 53) PY 53) P ) 53 5 Φ5) 933 668 Vekte av e fylt flaske, X + Y, er e leærkombasjo av uavhegge ormalfordelte

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2016 Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Løsgssksse Oppgave a) Lar X være kvadratprse. Har da at X N(µ, σ 2 ), med µ 30 og σ 2 2, 5 2. P (X < 30) P (X < µ) 0.5 ( X 30 P (X > 25)

Detaljer

Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Forelesg 3 MET359 Økoometr ved Davd Kreberg Vår 0 Dverse oppgaver Oppgave. E vestor samler følgede formasjo om markedsavkastge og avkastge på det som ser ut tl å være et attraktvt aksjefod År Aksjefodets

Detaljer

Forelesning Enveis ANOVA

Forelesning Enveis ANOVA STAT111 Statstkk Metoder ushu.l@ub.o Forelesg 14 + 15 Eves ANOVA 1. troduksjo a. Z-, t- test Uka 1: tester for forvetgsdfferase to populasjoer (grupper) b. ANOVA (aalyss of varace): tester om det er forskjeller

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Estimering. Målemodellen. Kp. 5 Estimering. Målemodellen.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Estimering. Målemodellen. Kp. 5 Estimering. Målemodellen. ÅMA0 Sasylghetsregg med statstkk, våre 006 Kp. 5 Estmerg. Målemodelle. Estmerg. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estmerg bomsk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.). (kp. 5.) 4. Estmere, estmat, estmator

Detaljer

Econ 2130 uke 15 (HG)

Econ 2130 uke 15 (HG) Eco 130 uke 15 (HG) Kofdestervall Løvås: 6.1., 6.3.1 3. (Avstt 6.3.4 6 leses på ege håd. Se også overskt over kofdestercvall ekstra otat på ettet.) 1 Defsjo av kofdestervall La θ være e ukjet parameter

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA0 Sasylghetsregg med statstkk, våre 007 Kp. 5 Estmerg. Målemodelle. Estmerg. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estmerg bomsk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (Pukt)Estmerg målemodelle (kp. 5.3)

Detaljer

Forelesning 25 og 26 Introduksjon til Bayesiansk statistikk

Forelesning 25 og 26 Introduksjon til Bayesiansk statistikk Yushu.@hh.o Forelesg 5 og 6 Itroduksjo tl Bayesask statstkk 1. Itroduksjo Fortsatt atar v har stokastsk varabel X (X ka være stokastsk varabel vektor) kommer fra e fordelg med parametere ( ka være parameter

Detaljer

Analyse av sammenhenger

Analyse av sammenhenger Kapttel 7.-7.3: Aalyse av sammeheger Korrelasjo og regresjo E vktg avedelse av statstkk er å studere sammeheger mellom varabler: Avgjøre om det er sammeheger. Beskrve hvorda evetuelle sammeheger er. Eksempler:

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk Nov 2001 Oppgave 1 a) Det fins 8 mulige kombinasjoner. Disse finnes ved å utelate ett og ett tall.

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk Nov 2001 Oppgave 1 a) Det fins 8 mulige kombinasjoner. Disse finnes ved å utelate ett og ett tall. Løsgsforslag Eksame Statstkk Nov 00 Oppgave a) Det fs 8 mulge kombasjoer. Dsse fes ved å utelate ett og ett tall. Atall utvalg av størrelse 7 blat m er ( m 7 ). b) Prs Atall Rekker 3 kr. ( 7 ) 3 kr....

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>. ECON: EKAMEN TALLVAR. et abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller lkt uasett varasjo vaskelghetsgrad. varee er gtt

Detaljer

Løsningskisse seminaroppgaver uke 17 ( april)

Løsningskisse seminaroppgaver uke 17 ( april) HG Aprl 14 Løsgsksse semaroppgaver uke 17 (.-5. aprl) Oppg. 5.6 (begge utgaver) La X = atall bar utvalget som har lærevasker. Adel bar med lærevasker populasjoe av bar atas å være p.15. Utvalgsstørrelse

Detaljer

Forelesning 21 og 22 Goodness of fit test and contingency table ( 2 test og krysstabell)

Forelesning 21 og 22 Goodness of fit test and contingency table ( 2 test og krysstabell) STAT111 Statstkk Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 1 Goodess of ft test ad cotgecy table ( test krysstabell 1.Goodess of ft test ( test Ata at v har et utvalg med observasjoee fra e stokastsk varabel X. Goodess-of-ft

Detaljer

Forelesning Ordnings observatorer

Forelesning Ordnings observatorer Yushu.L@ub.o Forelesg 6 + 7 Ordgs observatorer. Oppsummerg tl Forelesg 4 og 5.) Fuksjoer (trasformasjoer) av flere S.V...) Smultafordelg tl to ye S.V. Ata at v har to S.V., med smultafordelg f ( x, x )

Detaljer

Eksempel 1 - Er gjennomsnittshøyden for kvinner i Norge økende?

Eksempel 1 - Er gjennomsnittshøyden for kvinner i Norge økende? ECON 3 HG a 3 Supplemet tl sste forelesg 3 vår 4 eksempler på test-dskusjoer klusve ltt om p-verder Eksempel - Er gjeomsttshøyde for kver Norge økede? et er velkjet at gjeomsttshøyde for meesker Europa

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 14.12.2007

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 14.12.2007 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 4..7 UTATT PRØVE I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).

Detaljer

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. B. Makroøkonomi. Mundells trilemma går ut på følgende:

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. B. Makroøkonomi. Mundells trilemma går ut på følgende: B. Makroøkoom Oppgave: Forklar påstades hold og drøft hvlke alteratv v står overfor: Fast valutakurs, selvstedg retepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forelg på samme td. Makroøkoom Iledg Mudells trlemma

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Mars 017 Overskt over kofdestervall Eco 130 Merk at dee overskte kke er met å leses stedefor framstllge Løvås, me som et supplemet. De eholder tabeller med formler for kofdestervaller for stuasjoer

Detaljer

Seminaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3))

Seminaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3)) 1 ECON 2130 2017 vår Semarpla fra og med uke 13 Semaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3)) (1) Fra eksame Eco 2130, 2004 høst: Oppgave 3: (Fel oppgave på ststuttets overskt over gamle eksamesoppgaver)

Detaljer

1. Konfidens intervall for

1. Konfidens intervall for Forelesg 0 + Yushu.@ub.o Kofdes tervall og Bootstrap. Kofdes tervall for ) Kofdes tervall [ ˆ, ˆ ] dekker de ukjete parametere med høy grad av skkerhet (kofdesvå): P( ˆ ˆ ), er f.eks 0.0 eller 0.05, eller

Detaljer

Seminaroppgaver for uke 13

Seminaroppgaver for uke 13 1 ECON 2130 2016 vår Semarpla fra og med uke 13 Semaroppgaver for uke 13 1) Fra eksame Eco 2130, 2004 høst: Oppgave 3: (Fel oppgave på ststuttets overskt over gamle eksamesoppgaver) La X og Y være to uavhegge

Detaljer

STK1110 høsten Lineær regresjon. Svarer til avsnittene i læreboka (med unntak av stoffet om logistisk regresjon)

STK1110 høsten Lineær regresjon. Svarer til avsnittene i læreboka (med unntak av stoffet om logistisk regresjon) TK høste 9 Eksempel.5 (CO og vekst av furutrær Leær regreso varer tl avsttee..4 læreboka (med utak av stoffet om logstsk regreso Ørulf Borga Matematsk sttutt Uverstetet Oslo V vl bestemme sammehege mellom

Detaljer

Forelesning Punktestimering

Forelesning Punktestimering STAT Statst Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 8 + 9 Putestmerg. Fra sasylghetsteor tl statst feres ) Sasylghetsberegg sasylghetsteor: v jeer parametere som besrver modellee, f.es. p boms modell, ormal fordelg,

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 9. ma 7 EKSAMEN I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).

Detaljer

Det ble orientert i plenum under eksamensdagen om følgende endringer i forhold til oppgaven:

Det ble orientert i plenum under eksamensdagen om følgende endringer i forhold til oppgaven: LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN 4 MAI 007 MET00 STATISTIKK GRUNNKURS Det ble oretert pleum uder eksamesdage om følgede edrger forhold tl oppgave: Oppgave b går ut. Det vl da bl 9 oppgaver og alle oppgaver teller

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. Innleveringssted: Ekspedisjonen i 12. etasje (mellom ) OG Fronter (innen klokken 15).

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. Innleveringssted: Ekspedisjonen i 12. etasje (mellom ) OG Fronter (innen klokken 15). Øvelsesoppgave : ECON3 Statstkk Dato for utleverg: 4.3.7 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Dato for leverg: 3.3.7 e kl. 5. Ilevergssted: Ekspedsjoe. etasje (mellom.5-5.) OG Froter (e klokke 5).

Detaljer

STK1100 våren Konfidensintevaller

STK1100 våren Konfidensintevaller STK00 våre 07 Kofdestevaller Svarer tl avstt 8. læreboka Ørulf Borga Matematsk sttutt Uverstetet Oslo Eksempel E kjemker er teressert å bestemme kosetrasjoe µ av et stoff e løsg Hu måler kosetrasjoe fem

Detaljer

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004 Postve rekker Forelest: 3. Sept, 004 V skal tde utover fokusere på å teste om e rekke kovergerer, og skyve formler for summerg bakgrue. Dette er gje ford det første målet vårt er å lære hvorda v ka fe

Detaljer

Oversikt over tester i Econ 2130

Oversikt over tester i Econ 2130 1 HG Revdert aprl 213 Overskt ver tester Ec 213 La θ være e ukjet parameter (ppulasjs-størrelse) e statstsk mdell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av θ ppulasje er ukjet. Når v setter pp

Detaljer

Mer om Hypotesetesting (kap 5) Student t-fordelingen. Eksamen. Fordelingene blir like ved stor n:

Mer om Hypotesetesting (kap 5) Student t-fordelingen. Eksamen. Fordelingene blir like ved stor n: Mer om Hypotesetestg kap 5 Overskt: Små utvalg og Studet s t-fordelg Hypotesetestg for populasjosgjeomsttet, μ Med tlfeldg og stort utvalg er fordelge tl testobservatore motvert av SGT Hva skjer dersom

Detaljer

Statistikk med anvendelse i økonomi

Statistikk med anvendelse i økonomi A-6 og A-6-G, 6. ma 08 Emekode: Emeav: A-6 og A-6-G tatstkk med avedelse økoom Dato: 6. ma 08 Varghet: 0900-300 Atall sder kl. forsde 0 Tllatte hjelpemdler: erkader: Kalkulator med tømt me og ute kommukasjosmulgheter.

Detaljer

Løsningsforslag (ST1201/ST , kontinuasjonseksamen) ln L. X i = 2n.

Løsningsforslag (ST1201/ST , kontinuasjonseksamen) ln L. X i = 2n. Løsgsforslag ST20/ST620 205, kotuasjoseksame. a Rmelghetsfuksjoe blr Logartme Derverer Løser lgge Løsge er SME: L = 2 e l L = 2 l X X. X + l X. l L = 2 + 2 X = 2. ˆ = 2 X. X. b Her ka ma beytte trasformasjosformele,

Detaljer

(ii) Anta vi vet om en observasjon av X at den ikke er større enn 5. Hva er da sannsynligheten for at den er lik 5? (Hint: Finn PX ( = 5 X 5) ).

(ii) Anta vi vet om en observasjon av X at den ikke er større enn 5. Hva er da sannsynligheten for at den er lik 5? (Hint: Finn PX ( = 5 X 5) ). ECON3: EKSAMEN VÅR - UTSATT PRØVE Oppgave Ata er possofordelt med parameter λ = 5 (skrevet kort, ~ pos(5), jfr. defsjo 5.8 Løvås med t = ). A. () F P= ( 5) og P ( 5), for eksempel basert på tabell D. Løvås.

Detaljer

EKSAMEN løsningsforslag

EKSAMEN løsningsforslag 5. aprl 017 EKSAMEN løsgsforslag Emekode: ITD0106 Emeav: Statstkk og økoom Dato:. ma 016 Eksamestd: 09.00 13.00 Hjelpemdler: - Alle trykte og skreve. - Kalkulator. Faglærer: Chrsta F Hede Om eksamesoppgave

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 TMA440 Statstkk Høst 06 Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Abefalt øvg 0 Løsgssksse Oppgave a Estmatore for avstade a er gjeomsttet av uavhegge detsk fordelte målger, x; a,

Detaljer

OBLIGATORISK OPPGAVE 1 INF 3340/4340/9340 HØSTEN 2005

OBLIGATORISK OPPGAVE 1 INF 3340/4340/9340 HØSTEN 2005 OBLIGATORISK OPPGAVE INF 0/0/90 HØSTEN 005 Levergsfrst: 0. september 005 Arbedsform: Løses dvduelt Ileverg tl: Aja Bråthe Krstofferse (ajab@f.uo.o Levergskrav: Det forutsettes at du er kjet med holdet

Detaljer

Oppgave 1 ECON 2130 EKSAMEN 2011 VÅR

Oppgave 1 ECON 2130 EKSAMEN 2011 VÅR ECON 30 EKSAMEN 0 VÅR Oppgave E bedrf øsker å fordele koraker e vesergsprosjek hel lfeldg på 3 frmaer, A, B og C. Uvelgelse skjer ved loddrekg. Loddrekge er slk a hver av frmaee A, B og C, har e mulghe

Detaljer

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler Formler og regler statstkk følge lærebok Guar Løvås: tatstkk for uversteter og høgskoler Kap. Hva er fakta om utvalget etralmål Meda: mdterste verd etter sorterg Modus: hyppgst forekommede verd Gjeomstt:

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen 21. mai 2013

TMA4245 Statistikk Eksamen 21. mai 2013 TMA445 Statstkk Eksame ma 03 Korrgert 0 ju 03 Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Løsgssksse Oppgave Et plott av sasylghetstetthee er gtt fgur Vdere har v og PX = Φ = 08849

Detaljer

Mer om utvalgsundersøkelser

Mer om utvalgsundersøkelser Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse

Detaljer

Forelesning 3 mandag den 25. august

Forelesning 3 mandag den 25. august Forelesg adag de 5 august Merkad 171 For å bevse e propossjo o heltall so volverer to eller flere varabler, er det typsk ye lettere å beytte duksjo på e av varablee e duksjo på oe av de adre Det er for

Detaljer

Introduksjon til økonometri, kap 8, 9.1 og 9.2. Hva er formålet med økonometri? Utvalgskorrelasjoner To-variabel regresjoner

Introduksjon til økonometri, kap 8, 9.1 og 9.2. Hva er formålet med økonometri? Utvalgskorrelasjoner To-variabel regresjoner Itroduksjo tl økoometr, kap 8, 9.1 og 9. Hva er formålet med økoometr? Utvalgskorrelasjoer To-varabel regresjoer Iformasjo fra data Målet med økoometr er å lære oe fra data Øke vår kuskap ved å oppdage

Detaljer

Econ 2130 uke 13 (HG)

Econ 2130 uke 13 (HG) Eco 30 uke 3 (HG) Iførg regresjo I deskrptv aalse (Løvås kap. 7. 7.3.3) DATA: Resultater fra 500m og 5000m for me fra EM på skøter Heerevee 004. Obs 5000m 500m Obs 5000m 500m r. Td Sekuder Td Sekuder r.

Detaljer

Oversikt 1. forelesning. ECON240 Statistikk og økonometri. Visuell/grafisk presentasjon av data. Datainnsamling; utdanning og inntekt

Oversikt 1. forelesning. ECON240 Statistikk og økonometri. Visuell/grafisk presentasjon av data. Datainnsamling; utdanning og inntekt Overskt. forelesg ECON40 Statstkk og økoometr Arld Aakvk, professor Isttutt for økoom Hva er statstkk og økoometr? Hvorfor studerer v fagområdet? Statstkk Metoder, tekkker og verktøy tl å produsere lettfattelg

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>. 1 ECON130: EKSAMEN 013 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller likt uasett variasjo i vaskelighetsgrad. Svaree er gitt i

Detaljer

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18).

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18). Econ 2130 HG mars 2012 Supplement tl forelesnngen 19. mars Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og ltt om heltallskorreksjon (som eksempel 5.18). Regel 5.19 ser at summer, Y = X1+ X2 + +

Detaljer

i B maksimal b Fundamentalteoremet for lineærprogrammering Den leksikografiske metode Blands pivoteringregel MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 4 2

i B maksimal b Fundamentalteoremet for lineærprogrammering Den leksikografiske metode Blands pivoteringregel MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 4 2 Lekso 4 ( k ) a ( k ) I ( k ) U ( k) B maksmal ( k ) b Sste spesaltlfelle - valg av utgåede Degeerert basstabell, degeererert pvoterg Degeerert pvoterg ka g syklsk pvoterg Eeste tlfelle der Smpleksmetode

Detaljer

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor

Detaljer

Om enkel lineær regresjon I

Om enkel lineær regresjon I 1 ECON 130 HG, revdert 017 Notat tl kapttel 7.1 7.3.3 Løvås (Jfr. forelesg uke 11) Om ekel leær regresjo I (deskrptv aalse og ltt om regresjosmodelle tl slutt) 1 Iledg Ekel regresjosaalse dreer seg om

Detaljer

Oppgave 1 Det er oppgitt i oppgaveteksten at estimatoren er forventningsrett, så vi vet allerede at E(ˆµ) = µ. Variansen til ˆµ er 2 2 ( )

Oppgave 1 Det er oppgitt i oppgaveteksten at estimatoren er forventningsrett, så vi vet allerede at E(ˆµ) = µ. Variansen til ˆµ er 2 2 ( ) Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Abefalt øvg Løsgssksse Oppgave Det er oppgtt oppgavetekste at estmatore er forvetgsrett, så v vet allerede at Eˆµ µ. Varase tl ˆµ er τ Varˆµ

Detaljer

Randi Johannessen. Mikroindeksformel i konsumprisindeksen. 2001/64 Notater 2001

Randi Johannessen. Mikroindeksformel i konsumprisindeksen. 2001/64 Notater 2001 2/64 Notater 2 Rad Johaesse Mkrodeksformel kosumprsdekse Avdelg for økoomsk statstkk/sekso for økoomske dkatorer Emegruppe: 8.2. Ihold. Bakgru og kokluso...3 2. Levekostadsdekser...4 2.. Kosumetes tlpasg...4

Detaljer

Om enkel lineær regresjon I

Om enkel lineær regresjon I ECON 30 HG, revdert 0 Notat tl kapttel 4 Løvås Om ekel leær regresjo I Iledg Ekel regresjosaalse dreer seg om å studere sammehege mellom e resposvarabel,, og e forklargsvarabel,, basert på et datamaterale

Detaljer

Kapittel 1: Beskrivende statistikk

Kapittel 1: Beskrivende statistikk Kapttel : Bekrvede tattkk Defjoer: Populajo og utvalg Populajo: Alle mulge obervajoer v ka gjøre (,,, N ). Utvalg: Delmegde av populajoe (,,, der

Detaljer

Enveis variansanalyse (One-way ANOVA, fixed effects model) (Notat til Kap. 12 i Rosner)

Enveis variansanalyse (One-way ANOVA, fixed effects model) (Notat til Kap. 12 i Rosner) Eves varasaalyse (Oe-way ANOVA, fxed effects model) (Notat tl Kap. Roser) V reaptulerer først t-teste for to uavhegge utvalg. Stuasjoe var at v hadde to grupper, f.es. G og G og et sett uavhegge og dets

Detaljer

Del A: Diskret optimering og heuristiske metoder Leksjon 2

Del A: Diskret optimering og heuristiske metoder Leksjon 2 Del A: Dskret optmerg og heurstske metoder Leksjo 2 Sjefsforsker Ger Hasle SINTEF Avedt matematkk, Oslo! Kursformasjo Motvasjo Operasjosaalyse Kustg tellges Optmergsproblemer (dskrete) Matematsk program

Detaljer

X = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er

X = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 11, blokk II Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som

Detaljer

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2 TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave 1 Vi øsker å fie ut om et ytt serum ka stase leukemi. 5 mus får serumet, 4

Detaljer

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort?

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort? ECON EKSAMEN 8 VÅR TALLSVAR Oppgave Vi har e kortstokk beståede av 6 kort. På av disse står det skrevet JA på forside mes det står NEI på forside av de adre kortee. Hvis ma får se kortet med bakside vedt

Detaljer

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså:

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså: A-besvarelse ECON2130- Statstkk 1 vår 2009 Oppgave 1 A) () Antall kke-ordnede utvalg: () P(Arne nummer 1) = () Når 5 er bltt trukket ut, er det tre gjen som kan blr trukket ut tl den sste plassen, altså:

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>. ECON30: EKSAMEN 05 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: STK2100 Løsigsforslag Eksamesdag: Torsdag 14. jui 2018. Tid for eksame: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 11 Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som vil være ormalfordelt

Detaljer

STK1100 våren 2017 Estimering

STK1100 våren 2017 Estimering STK1100 våre 017 Estimerig Svarer til sidee 331-339 i læreboka Ørulf Borga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Politisk meigsmålig Spør et tilfeldig utvalg på 1000 persoer hva de ville ha stemt hvis

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering

Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering Lekson 3 Smpleksmetoden generell metode for å løse LP utgangspunkt: LP på standardform Intell basstabell Fase I for å skaffe ntell, brukbar løsnng løse helpeproblem hvs optmale løsnng gr brukbar løsnng

Detaljer

Metoder for politiske meningsmålinger

Metoder for politiske meningsmålinger Metoder for politiske meigsmåliger AV FORSKER IB THOMSE STATISTISK SETRALBYRÅ Beregigsmetodee som brukes i de forskjellige politiske meigsmåliger har vært gjestad for mye diskusjo i dagspresse det siste

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

Anne Vedø Estimering av materialfordelingen til husholdningsavfall i 2004 Dokumentasjon av estimeringsmetoder

Anne Vedø Estimering av materialfordelingen til husholdningsavfall i 2004 Dokumentasjon av estimeringsmetoder Notater 38/00 Ae Vedø Estmerg av materalfordelge tl usoldgsavfall 004 Dokumetaso av estmergsmetoder Statstsk setralbrå Statstcs Norwa Oslo Kogsvger Notater I dee sere ublseres dokumetaso metodebeskrvelser

Detaljer

Introduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians

Introduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians Hypotesetestig / iferes (kap ) Itroduksjo Populasjo og utvalg Statistisk iferes Utvalgsfordelig (samplig distributio) Utvalgsfordelige til gjeomsittet Itroduksjo Vi øsker å få iformasjo om størrelsee i

Detaljer

) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013

) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013 TMA4240 Statistikk Vår 2008 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b5 Løsigsskisse Oppgave 1 a) X 1,...,X 16 er u.i.f. N(80,18 2 ). Setter Y = X. i) P(X 1 >

Detaljer

Forelesning 2 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Forelesning 2 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Forelesg MET359 Økoomer ved Davd Kreberg Vår 0 Dverse oppgaver Oppgave. Aa følgede o varabler: gpa: (Grade Po Average) Gjeomsskaraker for amerkaske sudeer. gpa fes ervalle [0;4], hvor 0 er lavese gjeomsskaraker

Detaljer

Forelesning Z-, t-test, test for forventningsdifferanser

Forelesning Z-, t-test, test for forventningsdifferanser STAT Sttstkk Metoder ushu.l@ub.o Forelesg + 3 Z-, t-test, test for forvetgsdfferser. Sttstsk hypotesetestg ullhypotese): ypotese so først ttt å være st *Forålet ed e test er å udersøke o dtterlet gr grulg

Detaljer

ARBEIDSNOTAT ARBEIDSNOTAT

ARBEIDSNOTAT ARBEIDSNOTAT A r b e d s o t a t e r f r a H øg s k o l e B u s k e r u d r. 67 ARBEIDSNOTAT ARBEIDSNOTAT Avedt statstkk Jo Reertse Arbedsotater fra Høgskole Buskerud Nr. 67 Avedt statstkk Av Jo Reertse Høefoss 8

Detaljer

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo.

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo. Kofidesitervall Notat til STK1110 Ørulf Borga, Igrid K. Glad og Aders Rygh Swese Matematisk istitutt, Uiversitetet i Oslo August 2007 Formål E valig metode for å agi usikkerhete til et estimat er å berege

Detaljer

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG)

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG) Eco 130 Forelesig uke 11 (HG) Mer om ormalfordelige og setralgreseteoremet Uke 1 1 Fra forrige gag ~ betyr er fordelt som. ~ N( µσ, ) E( ) = µ, og var( ) = σ Normalfordelige er symmetrisk om μ og kotiuerlig

Detaljer

Gråtonehistogrammer. Histogrammer. Hvordan endre kontrasten i et bilde?

Gråtonehistogrammer. Histogrammer. Hvordan endre kontrasten i et bilde? INF 3 råtoe-trasforasjoer Hovedsakelg fra ka. 3.-3. DIP Hstograer Leære gråtoetrasforer Stadardserg av blder ed leær trasfor Ikke-leære, araetrske trasforer Hvorda edre kotraste et blde?? Neste uke: Hstograbaserte

Detaljer

Kapittel 8: Estimering

Kapittel 8: Estimering Kaittel 8: Estimerig Estimerig hadler kort sagt om hvorda å aslå verdie å arametre som,, og dersom disse er ukjete. like arametre sier oss oe om oulasjoe vi studerer (dvs om alle måliger av feomeet som

Detaljer

Medisinsk statistikk, del II, vår 2008 KLMED Lineær regresjon, Rosner Regresjon?

Medisinsk statistikk, del II, vår 2008 KLMED Lineær regresjon, Rosner Regresjon? Medssk statstkk, del II, vår 008 KLMED 8005 Erk Skogvoll Førsteamauess dr. med. Ehet for Avedt klsk forskg Det medsske fakultet Leær regresjo, Roser..6 Bakgru (.) Modell (.) Estmerg av parametre modelle

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Høst 205 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Løsigsskisse Oppgave a) X bi(, p) fordi: Udersøker uavhegige delar av DNA-strukture. Fi for kvar del

Detaljer

Oppgaver fra boka: X 2 X n 1

Oppgaver fra boka: X 2 X n 1 MOT30 Statistiske metoder, høste 00 Løsiger til regeøvig r 3 (s ) Oppgaver fra boka: 94 (99:7) X,, X uif N(µ, σ ) og X,, X uif N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige Atar videre at σ = σ = σ og ukjet Kodesitervall

Detaljer

Medisinsk statistikk, del II, vår 2009 KLMED 8005

Medisinsk statistikk, del II, vår 2009 KLMED 8005 Medssk statstkk, del II, vår 009 KLMED 8005 Erk Skogvoll Førsteamauess dr. med. Ehet for Avedt klsk forskg Det medsske fakultet Leær regresjo, Roser..6 Bakgru (.) Modell (.) Estmerg av parametre modelle

Detaljer

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden ato: 07.01.2008 aksbehandler: DH Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden Dette notatet presenterer en enkel framstllng av problemet med seleksjon mot uttakstdpunkt av alderspensjon av folketrygden.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen : ECON130 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 15.0.015 Sensur kunngjøres senest: 0.07.015 Td for eksamen: kl. 09:00 1:00 Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:

Detaljer

Oppgaver fra boka: Med lik men ukjent varians antatt har vi fra pensum at. t n1 +n 2 2 under H 0 (12 1) (12 1)

Oppgaver fra boka: Med lik men ukjent varians antatt har vi fra pensum at. t n1 +n 2 2 under H 0 (12 1) (12 1) MOT30 Statistiske metoder, høste00 Løsiger til regeøvig r. 5 (s. ) Oppgaver fra boka: Oppgave 0.36 (0.0:8) Dekkslitasje X,..., X u.i.f. N(µ, σ ) og X,..., X u.i.f. N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige.

Detaljer