OBLIGATORISK OPPGAVE 1 INF 3340/4340/9340 HØSTEN 2005

Transkript

1 OBLIGATORISK OPPGAVE INF 0/0/90 HØSTEN 005 Levergsfrst: 0. september 005 Arbedsform: Løses dvduelt Ileverg tl: Aja Bråthe Krstofferse Levergskrav: Det forutsettes at du er kjet med holdet dokumetet Besvarelse leveres e frste som epost eller paprform drekte tl foreleser. Oppgave Tre rettferdge terger: Ata at du har tre rettferdge terger (e rød, e grø og e blå. Kast terge tl alle tre vser forskjellge tall. Bereg sasylghete tl følgede hedelser: a De grøe terge vser 6. b Summe av verdee på de tre tergee er 6. c Summe av verdee på de tre tergee er mdre e. d Alle tergee vser et oddetall. Oppgave Bevs eller motbevs påstade: La A, B og C være tre hedelser med P(A > 0, P(B > 0, P(C > 0 og P(A B >0. Hvs P(C A > P(C og P(C B > P(C da vl P(C A B > P(C. Er påstade sa eller usa Bevset ka ete gjøres ved bruk av de reglee v har lært om sasylgheter for hedelser eller motbevs ved hjelp av et eksempel. Oppgave Evaluerg av e gtt sammestllg av to DNA sekveser. = = = 0 = La Z, Z, være uavhegge tlfeldge varable med P [ Z ] og P [ Z ] for alle. Tolkg: Z Z = hvs ukleotde possjo begge sekvesee er de samme. = 0 hvs ukleotdee possjo sekvesee er ulk.

2 Fordelge tl Z beskrver e bakgrusmodelle der ukleotdee hver av DNA sekvesee er uavhegge, tlfeldge, fordelte varable med lk sasylghet, p = ¼. V vl se på tre forskjellge skårgsmodeller: a Y = Z b Y = Z ( Z c Y = Z Z ( La S = Y + Y + K + Y være de kumulatve skåre tl e sammestllg av legde. For hver av skårgsmodellee, bereg: Ufallsrommee tl Y og S. Forvetgsverde tl S, E( S, for =, 0, 00 og 000. Stadard avvket tl S, σ( S, for =, 0, 00 og 000. Gjeta bereggee for e god sammestllg med % lkhet: = = P = 0 = for alle. P [ Z ] og [ Z ] Hvor stor må være for at forvetgsverde tl dee modelle og bakgrusmodelle helt klart er forskjellge Smuler 00 datasett fra bakgrusmodelle med = 0 og =000 (Bruk helst programpakke R for å gjøre dsse smulergee. For hver av skårgsmodellee lag et hstogram av verdee tl S og marker verdee tl E( S og E( S ± σ( S hstogrammet. Stemmer de smulerte dataee med de beregger Oppgave Smulerg av DNA sekveser Smuler e sekves med 000 ukleotder (a, t, c, g uavhegg fra e uform fordelg. Bereg adele av hver av ukleotdee blat de smulerte observasjoer. Bereg også adele av hver av 6 mulge etterfølgede par (aa, at, ac, ag, blat de 999 observerte etterfølgede par sekvese. Sjekk på dee måte produktregele for sasylgheter år observasjoee er uavhegge. Ser de ut tl å stemme Gjeta for ukleotder, observerer du oe forskjell

3 Hvlke fordelg vl varabele =atall a-er de smulerte sekvese av legde 000 følge Bereg E( og sammelg med verde x observert for e smulerg. Bereg også stadard avvket σ(. Utfør 00 smulerger av sekveser med legde 000 og f verde x for hver av smulergee. Bereg det observerte mdlet tl x ( og de observerte kvadratrotfele (stadard fele, SE: = + SE( = ( + ( ( Hvor lke er verdee tl og E( Hvor lke er verdee tl SE( og σ Lag et hstogram av observasjoee tl x,,x 00, hvor godt vl du s at SE( beskrver varase tl de observerte verdee av Oppgave 5 Hvlke estmator er best Posso fordelge P ( med parameter > 0 er gtt ved sasylghetsfuksjoe: 0 p k! k ( k = e for k = 0,,,. La,,, 0 være uavhegge tlfeldge varable med fordelg P 0 (. Det er foreslått to estmatorer ˆ (, K, og ˆ (, K, for. 0 0 ˆ + (,, 0 K 0 = og ˆ (, K, 0 = Hva er forvetgsverde og stadardavvket tl hver av estmatoree Vrker oe av estmatoree foruftge Hvorfor/hvorfor kke Sjekk koklusjoee de med smulerger.

4 Oppgave 6 Lkelhood La Z = hvs to gtte sekveser har lk ukleotde possjo, Z = 0 ellers. Ata at Z -ee er uavhegge med ukjet fordelg: = P [ Z = ]. a Bereg lkelhoodfuksjoe 0,,0,0,; for dataee z =0, z =, z =0, z =0, z 5 = og plot lkelhoode som e fuksjo av mellom 0 og. Gjeta for,,0,0,0;. Hva er maksmum lkelhoodverde tl, ˆml 0,,0,0,; Hva blr 0,,0,0,; Ka du tolke svaret b Smuler 50 uavhegge verder z, z,, z 50 av Z, Z,, Z 50 (tlsvarede to tlfeldge sekveser av legde 50 og lkhete mellom dsse år = (dvs. bakgrusmodelle. Plot lkelhoodfuksjoe z, z,, z 50 ; som e fuksjo av. Hva er maksmum lkelhoodverde tl, ˆml z, Kz50; Hva er z, ; Kz50 c Gjeta smulerge med 500 uavhegge verder. Plot lkelhoodfuksjoe z, z,, z 500 ; som e fuksjo av. Hva er maksmum lkelhoodverde tl, ˆml, å z, Kz500; Hva er z, ; Kz500 Oppgave 7 Hypotesetestg La Z = hvs to gtte sekveser har lk ukleotde possjo, Z = 0 ellers. Ata at Z -ee er uavhegge med ukjet fordelg: = P [ Z = ]. V skal å se på test statstkke

5 T(Z, Z,, Z = Z + Z + + Z slk at gtt P da vl T(Z, Z,, Z være bomalfordelt B(,. V lager oss vdere to hypoteser H 0 : = ¼ og H A : > ¼. Forkast H 0 tl fordel for H A hvs T(z, z,, z > c. c et hel tall, c (,0,, K, Hva testes hvs c = - Hva testes hvs c = Plot sgfkasvået, α, som e fuksjo av c. Plot styrke som e fuksjo av c år = / for hvert av tlfellee = 5, 50 og 500. Oppgave 8 V skal å studere e DNA sekves av legde L. Ata at possjoee sekvese er uavhegge av hveradre og at ukleotde A forekommer ehver possjo med samme sasylghet p. a La N være atall A-er sekvese. Hva er fordelge tl N Bereg E(N og Var(N. b Se på sekvese umddelbart etter e ukleotde A. La Y være atall A-er som følger etter e A, dermed ka Y være 0 (hvs este ukleotde er C, G eller T. Hva er fordelge tl Y Bereg E(Y og Var(Y. c Ata at p = ¼ og =0 uavhegge sekveser av A-er er gtt. De legste av dsse har legde Y max = 8. Vl du syes legde 8 er overraskede lag/kort