Regler om normalfordelingen

Transkript

1 1 HG Revdert mars 013 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette kurset. Reglee er stort sett gtt kapttel 5 Løvås, me ltt ufullstedg og usammehegede. Jeg vl derfor dette otatet samle og utfylle de vktgste reglee som må kues, samt g oe eksempler på bruk av dem. Reglee er stort sett gtt ute bevs (som er relatvt tekske). Defsjo: V skrver kort X ~ N ( µσ, ) for e modell der X er ormalfordelt med forvetg, EX ( ) = µ, og stadardavvk, σ = var( X) = SD( X). De speselle ormalfordelge N (0, 1), kalles stadard ormalfordelg og Løvås bruker symbolkke Gz ( ) = PZ ( z) for de kumulatve fordelgsfuksjoe hvs Z ~ N (0, 1). Eksempel: Hvs du for eksempel e oppgave får oppgtt at X ~ N( 1, ), så følger speselt at EX ( ) = 1 og var( X ) = 4. Merkad. Du treger kke å kjee formele for sasylghetstetthete for X ~ N ( µσ, ) dette kurset, me for fullstedghetes skyld skrver jeg de opp her 1 ( x µ ) σ 1 f( x) = e for < x< π σ (kke pesum) Det du må vte om dee fordelge (utover det som står defsjoe) er: X er kotuerlg fordelt slk at PX ( = x) = 0 for alle x. Fordelge (grafe tl f( x )) er etoppet, klokkeformet med maksmumsverd for x = µ. Og de er symmetrsk rudt x = µ slk at de dele av f( x ) som lgger tl vestre for x = µ er et øyaktg spelblde av dele som lgger tl høyre for x = µ (jfr. fgur 5.14 Løvås). Dette mplserer bl.a. at, hvs a er et tall > 0, er PX ( µ a) = PX ( µ + a) (llustrer på e fgur!).

2 Regel R1 (står kke Løvås, me brukes mplstt flere steder): Hvs X ~ N ( µσ, ) og Y = a + bx, der a og b er kostater, er også Y ormalfordelt ( ) Y ~ N E( Y ), SD( Y ) = N( a + bµ, b σ) (Merk at uttrykkee N tl høyre følger av regler for forvetg og varas kapttel 4.) Eksempler som følger av regel R1 (sjekk): Hvs X ~ N( 1, ), er () Y = 1 X ~ N( E( Y ), SD( Y )) = N(, ). X 1 () ~ N,1 og () X ~ N ( 997, 6) +. X µ µ 1 Hvs X ~ N ( µσ, ), er Z = ~ N(0, 1) (sett a = og b = σ σ σ R1). La Gx ( ) være de kumulatve fordelgsfuksjoe for Z, dvs Gx ( ) = PZ ( x), som er tabulert tabell D.3 Løvås. Av dette får v regel 5.14 Løvås: X µ x µ x µ x µ PX ( x) = P = P Z = G σ σ σ σ Hvs X ~ N( 1, ), er, sde PX= ( 0) = 0, PX ( < 0) = PX ( 0) = G = G = 0,6915 Løvås. følge tabell D.3 Merkad. Sasylgheter e ormalfordelg ka også reges ut Excel: Bruk NORM.DIST fuksjoe Excel 010 (heter NORMDIST Excel 007). Prøv det for PX< ( 0) sste eksempel og sammelg med tabell D.3. Regel R. Summer av ormalfordelte varable (regel 5.17 Løvås pressert) La X1, X,, X være uavhegge og ormalfordelte varable slk at X ~ N ( µ, σ ) for = 1,,,. ( X - ee behøver altså kke å være detsk fordelte). La a1, a,, a være vlkårlge kostater. Da er Y= ax 1 1+ ax + + ax også ormalfordelt: ( ) = ( µ + µ + + ) 1 1 µ σ + σ σ Y~ N EY ( ), var( Y) N a a a, a a a der uttrykkee N tl høyre følger av regler om forvetg og varas kapttel 4.

3 3 Av regel R følger drekte e vktg regel om gjeomstt av ormalfordelte varable (brukt flere gager kurset, me kke satt opp eksplstt som e regel Løvås). Regel R3. Gjeomsttet av ormalfordelte varable er (eksakt) ormalfordelt. La 1 X, X,, X være uavhegge og detsk ormalfordelte varable slk at X ~ N ( µσ, ) for = 1,,,. Da er Y = X = ( X1+ X + + X) også ormalfordelt: ( ) Y~ N EY ( ), var( Y) = N µ, Bevs: R3 følger drekte av R: La R, µ 1 = µ = = µ = µ, σ1 = σ = = σ = σ (sde alle fordelgee for X1, X,, X er lke, må alle forvetger være lke og alle 1 stadardavvk være lke). La a1 = a = = a =. Da ser v at Y = X omfattes av regel R, og v ka slutte at Y er ormalfordelt. Parameterverdee de aktuelle ormalfordelge er σ gtt ved EY ( ) og var( Y ) som er fuet før kapttel 4: EY ( ) = µ og var( Y ) =. Alteratvt, kue ma få fram dsse parameterverdee fra formlee sste uttrykk regel R: a1µ 1+ aµ + + aµ = µ + µ + + µ = µ = µ σ a1σ1 + aσ + + aσ = σ + σ + + σ = σ = σ = Bevs slutt. Eksempler på bruk av R1-R3: Ata X og Z er uavhegge og ormalfordelte der X ~ N( 1, ) og Z ~ N (0, 1). F PY< ( 0) der Y = X Z. Løsg: I følge regel R er Y ormalfordelt (sett for eksempel X1 = X, X = Z, a1 = 1, a = 1 og = ). Parameterverdee fer v som EY ( ) = 1 0= 1 og regel 4.17 var( Y) = var( X) + var( Z) = = 5 Dermed er Y ~ N( 1, 5), og det adre eksemplet etter regel R1 gr: 0 ( 1) PY ( < 0) = PY ( 0) = G = G(0,45...) = 0,6736 (altså ltt 5 mdre e sasylghete fuet ovefor (= 0,6915) for at X selv

4 4 får egatv verd. Mao. å trekke fra (eller legge tl) Z på X-e er som å tlføre støy på X.). Ata X1, X,, X er uavhegge og detsk ormalfordelte med X ~ N( 1, ) for = 1,,,. For e vlkårlg har v fra R3 at gjeomsttet er ormalfordelt, X ~ N 1,. Sde spredge dee fordelge avtar med, er det rmelg å forvete at sasylghete for at X skal få egatve verder øker med. Dette bekreftes av tabell 1 uder. Som før bruker v det adre eksemplet etter R1 og fer: 0 ( 1) PX ( < 0) = G = G hvorav, følge tabell D.3 Løvås (sjekk tallee!), Tabell 1 Gjelder hvs hver X er N(-1, ) fordelt PX< ( 0) 1 0,50 0, ,1 0, ,58 0,949 0,4 0, ,74 0, ,54 > 0,9990 Egeskape tl gjeomsttet som er beskrevet regel R3 bygger på forutsetge at ekeltobservasjoee er ormalfordelte. Dette er tlsyelatede e sterk forutsetg som bare utaksvs er realstsk prakss. Imdlertd, hvs atall observasjoer () kke er for lte (v bør ha 0 som e tommelfgerregel), vl koklusjoe at gjeomsttet er ormalfordelt fortsatt gjelde tlærmet uasett hvlke fordelg ekeltobservasjoee er trukket fra. Dette er det berømte setralgreseteoremet (kjet sde hudretallet). Løvås serverer setralgreseteoremet to versjoer, regel 5.18 og 5.19, samlet regel R4 edefor. Dette betyr eksemplet ovefor at, selv om v kke vet oe mer om fordelge tl X utover at EX ( ) = 1og var( X ) =, så ka v lkevel slutte at X er tlærmet N 1, 0 ( 1) PX ( < 0) G = G fordelt år 0, slk at

5 5 (merk at de første lkhete er erstattet med ) og tabell 1 ka hvert fall delvs fylles ut: Tabell. PX< ( 0) år hver X har e vlkårlg fordelg med forvetg 1 og stadardavvk. PX< ( 0) 1 0, , , ,4 0, ,74 0, ,54 > 0,9990 Merk at v her kke ka ag oe verder for PX< ( 0) tlfellee = 1, 5 og 10 ute at v vet mer om fordelge tl ekeltobservasjoee. Det er også verdt å merke seg at tlærmelse tl ormalfordelge blr bedre og bedre dess større er. Regel R4 Setralgreseteoremet La X1, X,, X være uavhegge varabler fra samme sasylghetsfordelg (kke ødvedgvs ormalfordelg!) med forvetg, EX ( ) = µ, og stadardavvk, var( X ) = σ. Hvs er stor ( 0 ases valgvs tlstrekkelg), gjelder X ~ N EX ( ), var( X) = N µ, tlærmet (a) (regel 5.18) ( ) tlærmet (b) (regel 5.19) Y= X1 + + X ~ N( EY ( ), var( Y) ) = N( µ, σ) Merk at (b) (regel 5.19) stregt tatt er overflødg år v har tlgag tl (a) og regel R1. For, hvs X er tlærmet N µ, fordelt, følger (hvorfor?) av regel R1 at Y = X også er tlærmet ormalfordelt: tlærmet Y ~ N ( E( X ), var( X ) ) = N ( E( X ), var( X ) ) = N µ, = N ( µ, σ). I tllegg tl dsse reglee er regel 5.0 Løvås vktg som vser at ormalfordelge ofte (kke alltd) ka brukes som tlærmg tl bomske, hypergeometrske og posso-fordelger.

6 6 Jeg skrver kke opp de regele her, me oppfordrer studetee tl å øve seg på å bruke de. Speselt vktg kapttel 6. Forhåpetlgvs vl presserge av reglee ovefor gjøre dette lettere.