Diskretisering av et kontinuerlig problem vedbruk av prinsippet om minimum potensiell energi. For et lineært elastisk material:

Transkript

1 ME 5 Eergmetoder Dskretserg a et kotuerg probem edbruk a prsppet om mmum potese eerg otese eerg for et eastsk system: Oerfatekrefter traksoer pr. fateehet Idre oum-krefter Forskyger Fu Fy Fz w dv u y z V V u σ ε σ yε y σ zε z τ yγ y τ yzγ yz τ zγ z V V ε σ dv FdV S σ u V ε ds Cε dv S σ [ ] y z [ F ] Fy Fz [ u u u ] V egemets oum, S σ de a oerfate som er påført oerfatekrefter. F u w ds y dv z For et eært eastsk matera: σ Cε ookes o De potesee eerge har stasoær erd for keekt: Forskygee ed keekt må tfredsste dfferesagge og radbetgesee.

2 ME 5 ærmet metode: V betrakter e tærmet forskygsfukso som er e kombaso a et sett eært uahegge form-fuksoer som tfredsster de kematske gresebetgesee. V søker de beste tærmese som de agte formfuksoee ka fremste. robemet med uedeg mage frhetsgrader reduseres t ett med et begreset ata frhetsgrader. For e beke ka terrforskyge tærmet uttrykkes ed formfuksoer: der [... ] og [... ] Eksempe Ata forme: Både og tfredsster de kematske radbetgesee De tfredsster kke de aturge radbetgesee om u momet og skærkraft ed.

3 ME 5 ME 5 Rayegh-Rtz metode øygseerge for e eær-eastsk beke år aksadeformasoe egseres: øygseerge sarede t forskygsatakese Lastpotesaet med aksakrafte som eeste ytre ast: Lastpotesaet sarede t forskygsatakese De totae potesee eerge er da d d d d M κ,...,,

4 ME 5 ME 5 Betgese for keekt er at har stasoær erd: Dette ska ære oppfyt for kårge små arasoer,,...,. Da må ae de partadererte ære k u: Dette gr eære gger med,..., som ukete. Dette ka skres: Med ektorotaso br arasoe V har arert et produkt: og brukt samme rege som for e eke arabe: De traspoerte a e skaar størrese er k seg se sk at:... M M M A A A A A A A

5 ME 5 Nu araso ska ære oppfyt for e kårg araso, sk at hor V får e kke-tre øsg kekg dersom og G kaes for geerasert eastsk sthetsmatrse og geerasert geometrsk sthetsmatrse. Geerasert ford,,... er geeraserte frhetsgrader eer geeraserte koordater. De ekete eddee er: G, G G G, tsarer eastsk tøygseerg og G astpotesa pga. søyes utbøyg geometrsk effekt. 5

6 ME 5 Eksempe: ekg a utkragersøye V atar at terrforskyge har forme π os Dee tfredster de tuge ds. kematske radbetgesee V dererer : π π π π s, os Dsse gr π π π π os 6 6 G π G s π π π 8 og fører t e skaar gg: E kke-tre øsg ds. kekg fes dersom ds. G G G π 8 π π Dee øsge er eksakt ford de atatte formfuksoe er detsk med de rkege kekkforme. 6

7 ME 5 ME 5 7 Aterat øsg med poyomfukso Både og tfredsster de kematske radbetgesee De tfredsster kke betgesee om u momet og skærkraft ed. Første fremstg: Drekte bruk a eergutrykkee. sk at ds. og hor o o k k k k k

8 ME 5 Dsse har kke-tre øsg dersom ds. 9 k k k 6 5 k k De mste rote er k.86 sk at kr.86 De øyaktge øsge ar kr π.67 8

9 ME 5 Ae fremstg: Bruk a de geeraserte sthetsmatrsee,, G [ 6] 6 5 [ ] 6 [ ] [ 6] Egeerdprobemet er gtt ed hor 6 6 λ p λ p Egeerdee krtske aster er gtt ed at determate a matrse på estre sde er k u, ds. eer De mste rote er sk at λ 5λ 6 5λ De thørede egeektore er p sk at de tærmede kekkforme br p 5λ p 56λ λ p p.89 kr λ p p..

10 ME 5 Rayegh-Rtz metode oerurderer atd kekkaste eer gr korrekt erd pga. kematske restrksoer som kommer fra ag a formfuksoe. De dererte som aedes a e tærmet fukso har geeret dårgere øyaktghet e fuksoe se. Det ka ære best å aså forme på krumge, ds. og tegrere gager. rumge atas å arere eært. Itegrasoskostatee tpasses de tuge radbetgesee sk at ;

11 ME 5 Numersk tegraso V erstatter et tegra med e edeg sum: I e -pukts tegrasosrege bereges f ed dskrete pukter. er a dsse erdee mutpseres med et ektta W før summerg. Dmesosøs formuerg: V fører arabe ξ sk at og ξ arerer fra - t tegrasosområdet. Da br tegrasosformee b b b a f a b a b a ξ W f W f ξ f f ξ dξ a Numersk tegraso med pukter

12 ME 5 Gauss-Legedre tegraso I -pukts tegraso har parametre ξ... ξ og W... W som ka bestemmes sk at et poyom a grad - tegreres eksakt sde de har kostater. abe fra Berga og Syertse egg : Adre tegrasosmetoder kuderer Labotto- og Smpso-tegraso.

13 ME 5 Eksempe: Søye med arabe sthet Berga og Syertse øser dette ed bruk a metode med kompemetær eerg. Dee gr e edre grese på kr. V fer e øre grese ed bruk a Rayegh-Rtz metode. V atar π s π π os π π s π π ξ s s π π ξ dξ G π G os Ved Gauss-Lagrage tegraso fer og deretter kr G π π

14 ME 5 ξ ξ / fξ W W fξι Sum / G. / r.7 /