Del A: Diskret optimering og heuristiske metoder Leksjon 8

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Del A: Diskret optimering og heuristiske metoder Leksjon 8"

Transkript

1 Del A: Dskret optmerg og heurstske metoder Lekso 8 Sefsforsker Ger Hasle SINTEF Avedt matematkk, Oslo!"# Kategorserg av metaheurstkker Kostruktve heurstkker Mult-start baserte metaheurstkker Tlfeldg Restart (Radom Restart, RR) Varabelt abolagssøk (VND/VNS) Grådg Adaptvt Radomsert Søk (Greedy Radomzed Adaptve Search, GRASP) Iterert lokalsøk (Iterated Local Search, ILS) GUT (Grad Ufyg Theory)? Hyperheurstkker TMA Ger Hasle - Lekso 8 2

2 !# Prosektoppgave Eksakte metoder Brach ad Boud Dyamsk programmerg Lagrage-relakserg TMA Ger Hasle - Lekso 8 3 $! 2

3 %&' ('!') max v x s.a. = =, C =,,m x, =,, Implemetere metaheurstkk Udersøkelse på testeksempler Rapport ca. 4 sder -3 studeter pr. besvarelse Frst. mars, epost Ger.Hasle@stef.o På vterfere TMA Ger Hasle - Lekso 8 5 Sett beståede av 9 klasser,25,5 obekter 5,,3 dmesoer 3 staser hver Ikke ødvedg å bruke alle! m a le wth the ob.fuc. coeffcets a le for each m; coeffcets for <= costrats a le wth rhs of <= costrats TMA Ger Hasle - Lekso 8 6 3

4 * ka være kortfattet, me skal stå på ege håd og g e beskrvelse av: problemstllg de valg som ble tatt algortmebeskrvelser plaleggg og geomførg av ekspermetell udersøkelse resultater, kokluso og mulg vdere arbed kode for optmergsalgortme som vedlegg TMA Ger Hasle - Lekso 8 7 +,-'.'',/$./$ Mage oppgaver de vrkelge verde ka modelleres som LP med heltallghetsførger LP med talkostader, stykkevs leære kostadsfuksoer Dskrete valg, sekveserg, kombatorkk, logkk Tds- og ressursplaleggg, operasosaalyseproblemer LP med heltallsførger kalles Leære heltallsprogrammer Leære heltallsprogrammer er geerelt lagt vaskelgere å løse bereggsmessg e ordære LP Eksempler Eksakte metoder TMA Ger Hasle - Lekso 8 8 4

5 +'' = max ζ = slk at = a x b =,,m x =,, = { } TMA Ger Hasle - Lekso 8 9 max ζ = slk at = a x b =,,m x =,, x Z I,, Bladete heltallsprogrammer (Mxed Iteger Programs MIP) I {,,} Ree heltallsprogrammer (Pure Iteger Programs IP, PIP) I = {,,} - programmer x {,} LP-relakserge: Assosert problem tl leært heltallsproblem der heltallsførgee er gorert,. Øvre greser Relakserger - LP - Lagrage Optmal verd Nedre greser Heurstkker Ehver tllatt løsg gr e edre (prmal) grese på optmal verd TMA Ger Hasle - Lekso 8 5

6 *''' Det motsatte av restrkso Mål: fe øvre greser for optmal verd øke megde av brukbare løsger (ved å fere førger) edre fuksoe som skal maksmeres tl e fukso som har større eller lk verd overalt { ( ) } Gtt IP: ζ = max : x S R R da ses RP: ζ = max d ( x ) : x T R å være e relakserg av IP dersom S T d(x) c(x), x S TMA Ger Hasle - Lekso 8,'. Hvs RP er e relakserg av IP (maksmerg), R så er ζ ζ Prmal og dual grese gr garat Hvorda fer v teressate relakserger? LP-relakserge: fere heltallghetsførgee Lagrage-relakserg: brge vaskelge førger obektvet TMA Ger Hasle - Lekso 8 2 6

7 '' # '' Hadelsresedeproblemet (TSP) Ruteplalegggsproblemet (Vehcle Routg Problem, VRP) Produksosplaleggg verksted (Job Shop Schedulg, JSS) Fly- og maskapsplaleggg flyselskap (Arplae ad crew rotato) TMA Ger Hasle - Lekso 8 3 (')# '',. Flyselskap øsker god ressursutyttelse Gtt rutetabell med flyvger (legs) ploter og kabasatte - maskap flyee som flyselskapet dspoerer - flåte Oppgave Lage turer, dvs. sekveser av flyvger som starter og stopper på base For flyee, slk at hver flyvg får ett fly For maskapee slk at hver flyvg får ett maskap (plot- og kab) Sette samme turer for fly og maskap tl pla (for e uke) Tlfredsstller lover, avtaler, ressurstlgag Mmere kostader for plae Buss, tog,... TMA Ger Hasle - Lekso 8 4 7

8 (')# '',2. Rotasospla for fly/maskap Deler opp problemet. Lager et stort utvalg (alle) lovlge turer 2. Setter samme alteratve turer tl lovlg pla med mmal kostad TMA Ger Hasle - Lekso 8 5 (')# '', ') m flyvger skal dekkes,,m Har laget alteratve tllatte flyturer,, Tlhørede kostad for hver tur c Koeffseter som ser om flyvg dekkes av tur Megdedelgsproblemet (Set Parttog Problem) hvs flyvg er med rute a = ellers Beslutgsvarable hvs rute brukes plae x = ellers m x {,} = TMA Ger Hasle - Lekso 8 6 = a x =, =,, m 8

9 (')# '', ' m flyvger skal dekkes,, m Har laget mulge tllatte flyturer,, Tlhørede kostad for hver tur c Koeffseter som ser om flyvg dekkes av tur Megdedekgsproblemet (Set Coverg Problem) hvs flyvg er med rute a = ellers Beslutgsvarable hvs rute brukes plae x = ellers m = TMA Ger Hasle - Lekso 8 7 = a x, =,, m x, (')# '',7. Megdedelgs- og Megdedekgsproblemee er bereggsmessg harde Lkevel ka gaske store staser løses eksakt Approksmasosmetoder og heurstkker Verktøyleveradører tl flyselskap TMA Ger Hasle - Lekso 8 8 9

10 8'-'# 4$ Hadelsresede byer mmal rudtur der hver by besøkes e og ku e gag kete resekostader NP-hardt problem Lar seg uttrykke som (ret) heltallsprogram TMA Ger Hasle - Lekso 8 9 4$ '',. byer {,, } ket resekostad ( avstad ) mellom byer c, =,,, =,,, tur fullstedg bestemt ved permutaso: ( s ) ( s s s ) = =,,, = atall mulge turer: ( )! TMA Ger Hasle - Lekso 8 2

11 9-'! # '5&' 36288! ! ! 64! TMA Ger Hasle - Lekso 8 2 4$ '',2. Beslutgsvarable (- varable): x, =,,, =,, x dersom by r. følger rett etter by ture = ellers Obektfukso: m = = TMA Ger Hasle - Lekso 8 22

12 4$ '',3. Førger må skre rudtur der alle byer besøkes e og ku e gag: = = x = =,, x = =,, For hver by skal det være e og ku e utgåede kat For hver by skal det være e og ku e gåede kat TMA Ger Hasle - Lekso $ '',. Formulerg: m = = = = x = =,, x = =,, Har v sett e lgede formulerg før? m = = slk at x,,, x x TMA Ger Hasle - Lekso 8 24 Tlordgsproblemet, som o er bereggsmessg ekelt! Noe er galt... 2

13 4$ '',. Formulerg: m = = = = x = =,, x = =,, Førgee hdrer kke dsukte subturer! Er førgee tlstrekkelge for å skre e rudtur der alle byer besøkes e og ku e gag (Hamlto-tur)? TMA Ger Hasle - Lekso $ '',7. Må legge tl subtur-ødeleggede førger m = = = = x = =,, x = =,, La ( t ) = ( t =, t,, t ) = x =, x =, x =, 3 3 x =, x =, x =, x = ( s ) 6 = ( ) = 4 6,3,, 2,5, 4,6 g possoe tl by r. (vers permutaso tl s) t = s = s t ( t ) 6 = ( ) =, 2,3,,5, 4,6 TMA Ger Hasle - Lekso

14 4$ '',:. Possoe tl by r. ( t ) = ( t =, t,, t ) = For e lovlg tur må v ha: x = t = t + t t + x = t t + Dette ka sammefattes tl: t t + ( x ) Nødvedg betgelse for å ugå subturer. Tlstrekkelg? 5 6 TMA Ger Hasle - Lekso 8 27 m = = 4$ '',". = = x = =,, 5 = =,, t t + ( x ),, =,,, x Ata det fs subturer. Se på e av subturee. La r> være atall kater subture. Summerer sste førg over alle kater subture. V får, ved å subtrahere t for alle odee subture: r TMA Ger Hasle - Lekso

15 4$ '',. m = = = = x = =,, x = =,, t t + ( x ),, =,,, + t =, t Z, x, varable 2 +2 førger 6 4 TMA Ger Hasle - Lekso 8 29 (;5/$,;<=;;=;. max T Ax b slk at x, x har heltallge kompoeter Geerell, eksakt metode for løsg av leære (bladede) heltallsprogram Geererer LP på e systematsk måte, dekker alle mulgheter Løser LP-relaksaso vl g øvre greser håper på løsg som tlfredsstller heltallsførger hvs kke, forgreg med utgagspukt e fraksoell varabel Forgreer to gesdg utelukkede tlfeller Bært Eumerergstre, 2 oder Ka ta laaag td å fe optmal, heltallg løsg Avskærger: øvre og edre greser, ubrukbarhet Ka også brukes heurstsk, gr garat TMA Ger Hasle - Lekso 8 3 5

16 ' max 7x + 2x slk at x + 7x 4 x + x 5 x, x x, x N LP-relaksasoe har optmal løsg 25 Verd 3 5, 3 3 Avrudet løsg Nærmeste tllatte løsg Optmal løsg ( 2,3) (,4) (,3) TMA Ger Hasle - Lekso 8 3 (=; Forgreg på fraksoell var. x x = x 2 =4 ζ=65 Bladode LP MIP MIP x MIP LP x =.67 x 2 =3.33 ζ=68.33 MIP2 MIP x 2 LP2 x =2 x 2 =2.86 ζ=68.29 x =2.6 x 2 =2 ζ=63.89 LP3 MIP3 MIP2 x 2 2 MIP4 MIP2 x 2 3 LP4 Ikosstet! Begresg TMA Ger Hasle - Lekso

17 (# - Geerell, eksakt metode for løsg av leære MIP Geererer LP på e systematsk måte et tre - eumerergstreet Løser LP-relaksasoe (LPR) av et MIP hver ode LPR-løsg (hvs kosstet) gr øvre grese for optmal verd for uderlggede tre Hvs LPR-løsge er heltallg, har v e brukbar løsg og uderestmat (ved maksmerg) for optmal løsg Hvs kke heltallg løsg, velges e kke-heltallg varabel og v forgreer to ved å legge på gesdg utelukkede ulkhetsførger Hvs v får dårlgere verd på LP-relaksasoe e beste heltallge løsg fuet httl, ka v foreta begresg (boud) (avskærg, prug) Ikke-tllatt løsg e ode gr også avskærg Eumerergstreet ka utforskes på mage måter bredde først dybde først (stort sett bedre, gr ) Det fes heurstkker for hvlke varabler det ka løe seg å forgree på TMA Ger Hasle - Lekso 8 33 (=- Ka ta svært lag td (ekspoeselt atall oder) Vktg å få fram god, brukbar (heltallg) løsg tdlg søket Tdlg brukbar løsg ka g tdlgere avskærg LPee treet fra rote og edover er svært lke tllegg/edrg av spesell type førg: grese på varabel Ka bruke løsg fra LPe overlggede ode tl å løse LPe eværede ode raskere Kommerselle verktøy for å løse MIP CPLEX fra ILOG (F) XPRESS-MP fra Dash Optmzato (GB)... Algebraske modellergsspråk (AMPL) TMA Ger Hasle - Lekso

18 >)$,>$. Ofte er det slk at deler av optmale løsger må selv være optmale Bellma s Optmaltetsprspp (957) dyamsk makro-økoom, beslutgsteor spesaltlfelle av Potryag s maksmumprspp kotrollteor A optmal polcy has the property that whatever the tal state ad tal decso are, the remag decso must costtute a optmal polcy wth regard to the state followg from the frst decso Illustraso: Korteste-ve problemet (SPP) TMA Ger Hasle - Lekso #-',4-'4$$. Oppgave: fe korteste (raskeste, bllgste,...) ve fra A tl B gtt ettverk (rettet graf) Postv legde (td, kostad) på hver leke er gtt Respektere eveskørg, fe bllgste rettede st Eksempel: korteste rettede st fra a tl b ettverket tl høyre (a,e,b) kostad 7 Mage avedelser a c 8 f e 5 d b g TMA Ger Hasle - Lekso

19 4$$# '5' F korteste ve fra alle oder dgraf tl gtt ode r (rotode) Ka formuleres som mmum kostad ettverksflytproblem Hvorda? TMA Ger Hasle - Lekso 8 37?5')#-' Beslutgsvarable: Flyt hver kat { x } (, ) Målfukso: m Førger, flytbalase: (, ) x x = b, k k k k :(, k ) :( k, ) Førger, postv flyt: x, (, ) 9 f a c -6 d TMA Ger Hasle - Lekso b e 9 g 9

20 ?5')#-' m (, ) slk at x x = b, k k k k :(, k ) :( k, ) x, (, ) m Ax = b x T slk at Node-kat sdesmatrse TMA Ger Hasle - Lekso #-' #?5')#5', $. Tlgag lk på alle oder utatt rotode Behov lk summe av tlgag (egert) rotode Kostad lk legde (eller resetd, - kostad) på hver kat Korteste ve fra vlkårlg ode lgger lags et optmalt spetre Legde på korteste ve fra e gtt ode er forskelle dual verd mellom rotode og dee ode -5 a 56 f c d b e 7 9 g -6 TMA Ger Hasle - Lekso 8 4 2

21 9#-' Nettverksflyt-formulerg og løsg med Nettverks Smpleksmetode er kke de mest effektve bereggsmessg Merkelapp (label)-baserte algortmer merkelapp-settg merkelapp-korrgerg TMA Ger Hasle - Lekso 8 4 9#-' # '>)$ Merkelapp på hver ode (verdfukso) avstad for korteste ve tl rotode: v, V må ha, for vlkårlg merkelapp: v = r v = m c + v : (, ) r Bellma s lgg for SPP Prsppet om Dyamsk Programmerg Rekurso! v f v a a 56 f TMA Ger Hasle - Lekso c 28 v c 48 v d d 38 5 b 33 7 v b v e e 9 g v g 2

22 9#-' # ' v = r v = m c + v : (, ) r Korteste ve fra ode tl rotode er karaktersert ved: {(, ) : v c v } = = + Ikke alltd tre f a c d b e 9 g TMA Ger Hasle - Lekso #-' # '#4! vr = a v = m { c + v : (, ) } { r} 28 5 d 48 Getter på løsg: 7 v () r () = v =, r Itererer fram bedre tlærmger, helt tl ge edrg sker: v ( k+ ) r = ( k+ ) ( ) k v = m c + v : (, ) r f 8 c b 33 TMA Ger Hasle - Lekso Atall terasoer: O( ) e 9 g 22

23 9#-' # >!@' Vktge datastrukturer: v, oder som har fått rktg merkelapp ( ferdge ) h, Italserg: v () r () merkelapper este ode korteste ve = v =, r f a c 28 d b 33 e 9 g TMA Ger Hasle - Lekso #-' # >!@' Så lege ås { k } { } arg m v : k for alle : (, ) rof hvs c + v < v så shv v c + v h 24 f a c d O( log ( )) 5 b e 9 g TMA Ger Hasle - Lekso

24 A#*)-' x hvs artkkel er med ryggsekke = ellers = max v x s.a. = C x, ( ) f λ = max v x s.a. r = r = f ( ) r λ x, C gr optmal verd Bellma's lgg for -- Kapsack: ( λ ) = ( λ ) + ( λ ) ( ) = f max f,v f c r r r r r f r Ekel, rekursv algortme O( C) TMA Ger Hasle - Lekso 8 47!5 '&5> $ Komplekstetsteor, NP-komplette problemer Komplekstetsteor ser på beslutgsproblemer Nær sammeheg mellom beslutgsproblem og optmergsproblem Optmerg mst lke hardt som beslutg NP-komplett beslutgsproblem -> NP-hardt optmergsproblem For NP-harde DOP fs atakelg kke eksakt metode der regetde er begreset av polyom For oe NP-harde DOP fs pseudo-polyomelle, eksakte algortmer Ulke valg eksakt metode (eumeratv) approksmasosmetode (polyomsk td) heurstsk metode (ge a pror garat) NB! Ikke alle DOP er NP-harde! TMA Ger Hasle - Lekso

25 ' I prakss er det slk for tall-oreterte problemer at det er begresg på størrelse av de tall som ka gå staser Pseudo-polyomell algortme for problem π: Algortme som, gtt begresg størrelse på tallee som ka gå staser av π, vl ha polyomell regetd. Svakt NP-Komplett problem: NP-komplett problem der det fs e pseudo-polyomell algortme. Sterkt NP-Komplett problem: NP-komplett problem der det kke fs e pseudo-polyomell algortme. TMA Ger Hasle - Lekso 8 49 B*)-' (Edmesoal) - Ryggsekk = Flerdmesoal - Ryggsekk = max v x s.a. max v x s.a. = =, C =,, m x, =,, C x, =,, (Edmesoal) Heltalls Ryggsekk = max v x s.a. = C x N =,, Flerdmesoal Heltalls Ryggsekk = max v x s.a. =, C =,, m x N =,, TMA Ger Hasle - Lekso

26 >C'*)-' Geeralsert Ryggsekk = max v x s.a. =, C =,,m x u =,, x,u N =,, TMA Ger Hasle - Lekso 8 5 *)-' #;' DP-algortme for - Ryggsekk er O(C ) DP er e pseudo-polyomell algortme for - Ryggsekk Hvs C er begreset løses - Ryggsekk effektvt med DP Beslutgsvarate av - Ryggsekk er Svakt NP-komplett Geeralserer tl Helltalls Ryggsekk, Geeralsert Ryggsekk Flerdmesoal Ryggsekk er Sterkt NP-komplett TSP er Sterkt NP-komplett selv med Eukldsk topolog selv dersom alle katlegder ete er eller 2 TMA Ger Hasle - Lekso

27 #' Ata at v har leært heltallsprogram Noe førger er gree Noe er ugree TSP: m = = = = x = =,, t t + ( x ),, =,,, x = =,, + t =, t Z, x, max cx Ax Dx x N b d TMA Ger Hasle - Lekso 8 53 #' IP : ζ = max cx Ax b Dx d x N LRIP( λ) : LR ζ λ = Ax b x N ( ) max cx LRIP(λ) er klart e relakserg av IP LRIP(λ) vl g øvre (dual) grese for IP [ + λ(d Dx) ] λ gr prser/duale varable/lagrage-multplkatorer assosert med de relakserte førgee, λ TMA Ger Hasle - Lekso

28 #' V øsker å fe de beste (mste) øvre grese over alle mulge RP(λ) Dette problemet kalles Lagrage-duale LRIP( λ) : LR ζ λ = Ax x N ( ) max cx b, λ λ LR { ζ λ } LDIP : m ( ) [ + λ(d Dx) ] TMA Ger Hasle - Lekso 8 55 #' Lagrage-relakserg ka g meget gode greser med begreset regekraft Ikke alltd ødvedg å løse LDIP tl optmum Hvor gode greser vl Lagrage-dual løsge g? Uder vsse forutsetger gr LDIP optmal løsg (komplemetartet, brukbarhet) I vsse tlfeller gr kke LDIP bedre grese e LP-relakserge Løsg av LDIP subgradet-metoder multplkatorusterg Budle-metoder TMA Ger Hasle - Lekso

29 8)-6 ' Varabelfkserg ka brukes som del av B&B Heurstsk metode for å starte B&B B&B e stud, så meta-heurstsk metode Parallelserg B & B prosess(er) Metaheurstkk-prosess(er) utvekslg av løsgsformaso TMA Ger Hasle - Lekso 8 57 B-'5# D>5ED Ata v har problem π (- MIP) = Løs LPR(π ) Så lege det fs bære varable med fraksoelle verder =+ velg de mst fraksoelle varabel, sett de tl / Sett π tl det reduserte problem Løs LPR(π ) Ka brukes fra vlkårlg ode B&B-eumrergstreet Lykkes av og tl! TMA Ger Hasle - Lekso

30 ' >' Deltakere skal etter kurset ha e gruleggede forståelse av hvorda modere heurstske metoder basert på lokalsøk og metaheurstkker ka brukes for å fe approksmerte løsger for bereggsmessg harde kombatorske optmergsproblemer. TMA Ger Hasle - Lekso 8 59 Del A: Dskret optmerg og heurstske metoder Lekso 8 TAKK FOR MEG! 3

i B maksimal b Fundamentalteoremet for lineærprogrammering Den leksikografiske metode Blands pivoteringregel MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 4 2

i B maksimal b Fundamentalteoremet for lineærprogrammering Den leksikografiske metode Blands pivoteringregel MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 4 2 Lekso 4 ( k ) a ( k ) I ( k ) U ( k) B maksmal ( k ) b Sste spesaltlfelle - valg av utgåede Degeerert basstabell, degeererert pvoterg Degeerert pvoterg ka g syklsk pvoterg Eeste tlfelle der Smpleksmetode

Detaljer

Del A: Diskret optimering og heuristiske metoder Leksjon 2

Del A: Diskret optimering og heuristiske metoder Leksjon 2 Del A: Dskret optmerg og heurstske metoder Leksjo 2 Sjefsforsker Ger Hasle SINTEF Avedt matematkk, Oslo! Kursformasjo Motvasjo Operasjosaalyse Kustg tellges Optmergsproblemer (dskrete) Matematsk program

Detaljer

Korteste-vei problemet Nettverksflyt med øvre begrensninger Maksimum-flyt problemet Teorem: Maksimum-flyt Minimum-kutt

Korteste-vei problemet Nettverksflyt med øvre begrensninger Maksimum-flyt problemet Teorem: Maksimum-flyt Minimum-kutt Lekson 11 Korteste-ve problemet Nettverksflyt med øvre begrensnnger Maksmum-flyt problemet Teorem: Maksmum-flyt Mnmum-kutt MoD233 - Ger Hasle - Lekson 11 2 Heltallsprogrammerng Tdsplanleggng (skedulerng,

Detaljer

MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 10 2

MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 10 2 Leksjon 10 Anvendelser nettverksflyt Transportproblemet Htchcock-problemet Tlordnngsproblemet Korteste-ve problemet Nettverksflyt med øvre begrensnnger Maksmum-flyt problemet Teorem: Maksmum-flyt Mnmum-kutt

Detaljer

Mål. MoD233 - Geir Hasle - Repetisjon 2

Mål. MoD233 - Geir Hasle - Repetisjon 2 Repetson Mål teoretsk forståelse, grunnleggende optmerng løsnngsmetoder LP og utvdelser algortmsk forståelse anvendelser LP og utvdelser modellerng og løsnng v.h.a. verktøy Innhold og forelesnngsplan Eksempler

Detaljer

Regler om normalfordelingen

Regler om normalfordelingen 1 HG mars 2009 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette

Detaljer

Regler om normalfordelingen

Regler om normalfordelingen HG mars 0 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette kurset.

Detaljer

Regler om normalfordelingen

Regler om normalfordelingen 1 HG Revdert mars 013 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg

Detaljer

Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering

Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering Lekson 3 Smpleksmetoden generell metode for å løse LP utgangspunkt: LP på standardform Intell basstabell Fase I for å skaffe ntell, brukbar løsnng løse helpeproblem hvs optmale løsnng gr brukbar løsnng

Detaljer

Forelesning 19 og 20 Regresjon og korrelasjons (II)

Forelesning 19 og 20 Regresjon og korrelasjons (II) STAT111 Statstkk Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 19 og 0 Regresjo og korrelasjos (II) 1. Kofdestervall (CI) og predksjostervall (PI) I uka 14, brukte v leær regresjo for å fage leær sammehege mellom Y og

Detaljer

Econ 2130 uke 15 (HG)

Econ 2130 uke 15 (HG) Eco 130 uke 15 (HG) Kofdestervall Løvås: 6.1., 6.3.1 3. (Avstt 6.3.4 6 leses på ege håd. Se også overskt over kofdestercvall ekstra otat på ettet.) 1 Defsjo av kofdestervall La θ være e ukjet parameter

Detaljer

Seminaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3))

Seminaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3)) 1 ECON 2130 2017 vår Semarpla fra og med uke 13 Semaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3)) (1) Fra eksame Eco 2130, 2004 høst: Oppgave 3: (Fel oppgave på ststuttets overskt over gamle eksamesoppgaver)

Detaljer

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. B. Makroøkonomi. Mundells trilemma går ut på følgende:

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. B. Makroøkonomi. Mundells trilemma går ut på følgende: B. Makroøkoom Oppgave: Forklar påstades hold og drøft hvlke alteratv v står overfor: Fast valutakurs, selvstedg retepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forelg på samme td. Makroøkoom Iledg Mudells trlemma

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk Nov 2001 Oppgave 1 a) Det fins 8 mulige kombinasjoner. Disse finnes ved å utelate ett og ett tall.

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk Nov 2001 Oppgave 1 a) Det fins 8 mulige kombinasjoner. Disse finnes ved å utelate ett og ett tall. Løsgsforslag Eksame Statstkk Nov 00 Oppgave a) Det fs 8 mulge kombasjoer. Dsse fes ved å utelate ett og ett tall. Atall utvalg av størrelse 7 blat m er ( m 7 ). b) Prs Atall Rekker 3 kr. ( 7 ) 3 kr....

Detaljer

Oversikt over tester i Econ 2130

Oversikt over tester i Econ 2130 HG Revdert aprl 2 Overskt over tester Eco 23 La θ være e ukjet parameter (populasjos-størrelse e statstsk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av θ populasjoe er ukjet. Når v setter

Detaljer

Seminaroppgaver for uke 13

Seminaroppgaver for uke 13 1 ECON 2130 2016 vår Semarpla fra og med uke 13 Semaroppgaver for uke 13 1) Fra eksame Eco 2130, 2004 høst: Oppgave 3: (Fel oppgave på ststuttets overskt over gamle eksamesoppgaver) La X og Y være to uavhegge

Detaljer

Forelesning 25 og 26 Introduksjon til Bayesiansk statistikk

Forelesning 25 og 26 Introduksjon til Bayesiansk statistikk Yushu.@hh.o Forelesg 5 og 6 Itroduksjo tl Bayesask statstkk 1. Itroduksjo Fortsatt atar v har stokastsk varabel X (X ka være stokastsk varabel vektor) kommer fra e fordelg med parametere ( ka være parameter

Detaljer

Oversikt over tester i Econ 2130

Oversikt over tester i Econ 2130 1 HG Revdert aprl 217 Overskt over tester Eco 213 La være e ukjet parameter (populasjos-størrelse) e statstsk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av populasjoe er ukjet. Når v setter

Detaljer

Innhold og forelesningsplan Eksempler på LP Begreper Løsning av enkelt eksempel Praktisk relevans Leksjon 2: Simpleksmetoden for løsning av LP

Innhold og forelesningsplan Eksempler på LP Begreper Løsning av enkelt eksempel Praktisk relevans Leksjon 2: Simpleksmetoden for løsning av LP Lekso 2 Mål for kurset teoretisk forståelse, gruleggede optimerig løsigsmetoder LP og utvidelser algoritmisk forståelse avedelser LP og utvidelser modellerig og løsig v.h.a. verktøy Ihold og forelesigspla

Detaljer

Analyse av sammenhenger

Analyse av sammenhenger Kapttel 7.-7.3: Aalyse av sammeheger Korrelasjo og regresjo E vktg avedelse av statstkk er å studere sammeheger mellom varabler: Avgjøre om det er sammeheger. Beskrve hvorda evetuelle sammeheger er. Eksempler:

Detaljer

Notat 1: Grunnleggende statistikk og introduksjon til økonometri

Notat 1: Grunnleggende statistikk og introduksjon til økonometri Notat : Gruleggede statstkk og troduksjo tl økoometr Gruleggede statstkk Populasjo vs. utvalg Statstsk feres gjør bruk av formasjoe et utvalg tl å trekke koklusjoer (el. slutger) om populasjoe som utvalget

Detaljer

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler Formler og regler statstkk følge lærebok Guar Løvås: tatstkk for uversteter og høgskoler Kap. Hva er fakta om utvalget etralmål Meda: mdterste verd etter sorterg Modus: hyppgst forekommede verd Gjeomstt:

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 14.12.2007

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 14.12.2007 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 4..7 UTATT PRØVE I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).

Detaljer

Om enkel lineær regresjon II

Om enkel lineær regresjon II 1 ECON 13 HG, revdert aprl 17 Notat tl kapttel 7 Løvås Om ekel leær regresjo II Merk: Det ka løe seg først å lese avstt 4 regresjo-i-otatet på ytt. Regresjosmodelle. La Y være e stokastsk varabel (som

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2016 Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Løsgssksse Oppgave a) Lar X være kvadratprse. Har da at X N(µ, σ 2 ), med µ 30 og σ 2 2, 5 2. P (X < 30) P (X < µ) 0.5 ( X 30 P (X > 25)

Detaljer

STK1110 høsten Lineær regresjon. Svarer til avsnittene i læreboka (med unntak av stoffet om logistisk regresjon)

STK1110 høsten Lineær regresjon. Svarer til avsnittene i læreboka (med unntak av stoffet om logistisk regresjon) TK høste 9 Eksempel.5 (CO og vekst av furutrær Leær regreso varer tl avsttee..4 læreboka (med utak av stoffet om logstsk regreso Ørulf Borga Matematsk sttutt Uverstetet Oslo V vl bestemme sammehege mellom

Detaljer

Econ 2130 uke 19 (HG) Inferens i enkel regresjon og diskrete modeller

Econ 2130 uke 19 (HG) Inferens i enkel regresjon og diskrete modeller Eco 3 uke 9 (HG) Iferes ekel regresjo og dskrete modeller De ekle regresjosmodelle. Resultater fra 5m og 5m for me fra EM på skøyter Heerevee 4. ( er 5m-tde og y 5m-tde sekuder for løper.) Spredgdagram

Detaljer

1. Konfidens intervall for

1. Konfidens intervall for Forelesg 0 + Yushu.@ub.o Kofdes tervall og Bootstrap. Kofdes tervall for ) Kofdes tervall [ ˆ, ˆ ] dekker de ukjete parametere med høy grad av skkerhet (kofdesvå): P( ˆ ˆ ), er f.eks 0.0 eller 0.05, eller

Detaljer

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004 Postve rekker Forelest: 3. Sept, 004 V skal tde utover fokusere på å teste om e rekke kovergerer, og skyve formler for summerg bakgrue. Dette er gje ford det første målet vårt er å lære hvorda v ka fe

Detaljer

Om enkel lineær regresjon II

Om enkel lineær regresjon II ECON 3 HG, aprl Notat tl kapttel 7 Løvås Om ekel leær regresjo II Merk: Det ka løe seg først å lese avstt 4 regresjo-i-otatet på ytt. Regresjosmodelle. La Y være e stokastsk varabel som v kaller resposvarabele

Detaljer

Statistikk med anvendelse i økonomi

Statistikk med anvendelse i økonomi A-6 og A-6-G, 6. ma 08 Emekode: Emeav: A-6 og A-6-G tatstkk med avedelse økoom Dato: 6. ma 08 Varghet: 0900-300 Atall sder kl. forsde 0 Tllatte hjelpemdler: erkader: Kalkulator med tømt me og ute kommukasjosmulgheter.

Detaljer

Oversikt over tester i Econ 2130

Oversikt over tester i Econ 2130 1 HG Revdert aprl 213 Overskt ver tester Ec 213 La θ være e ukjet parameter (ppulasjs-størrelse) e statstsk mdell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av θ ppulasje er ukjet. Når v setter pp

Detaljer

IT1105 Algoritmer og datastrukturer

IT1105 Algoritmer og datastrukturer Løsnngsforslag, Eksamen IT1105 Algortmer og datastrukturer 1 jun 2004 0900-1300 Tllatte hjelpemdler: Godkjent kalkulator og matematsk formelsamlng Skrv svarene på oppgavearket Skrv studentnummer på alle

Detaljer

Om enkel lineær regresjon II

Om enkel lineær regresjon II ECON 3 HG, revdert aprl Notat tl kapttel 7 Løvås Om ekel leær regresjo II Merk: Det ka løe seg først å lese avstt 4 regresjo-i-otatet på ytt. Regresjosmodelle. La Y være e stokastsk varabel (som v kaller

Detaljer

Forelesning Ordnings observatorer

Forelesning Ordnings observatorer Yushu.L@ub.o Forelesg 6 + 7 Ordgs observatorer. Oppsummerg tl Forelesg 4 og 5.) Fuksjoer (trasformasjoer) av flere S.V...) Smultafordelg tl to ye S.V. Ata at v har to S.V., med smultafordelg f ( x, x )

Detaljer

Del A: Diskret optimering og heuristiske metoder Leksjon 3

Del A: Diskret optimering og heuristiske metoder Leksjon 3 Del A: Dskret optmerng og heurstske metoder Leksjon 3 Sjefsforsker Ger Hasle SINTEF Anvendt matematkk, Oslo!"# Eksempler på DOP Alternatve formulernger Defnsjon nabolag, -operator Lokalsøk Defnsjon lokalt

Detaljer

som vi ønsker å si noe om basert på data Eksempel. Uid-modellen: X1, X ,,,

som vi ønsker å si noe om basert på data Eksempel. Uid-modellen: X1, X ,,, HG Eco30 07 9/3-07 Supplemet tl forelesg uke 0 (6 mars) (Det jeg kke rakk å ta på forelesg) Termolog (estmerg) Data (kokrete tall), x, x, er ervasjoer av stokastske varable, X, X, De statstske modelle

Detaljer

Det ble orientert i plenum under eksamensdagen om følgende endringer i forhold til oppgaven:

Det ble orientert i plenum under eksamensdagen om følgende endringer i forhold til oppgaven: LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN 4 MAI 007 MET00 STATISTIKK GRUNNKURS Det ble oretert pleum uder eksamesdage om følgede edrger forhold tl oppgave: Oppgave b går ut. Det vl da bl 9 oppgaver og alle oppgaver teller

Detaljer

OBLIGATORISK OPPGAVE 1 INF 3340/4340/9340 HØSTEN 2005

OBLIGATORISK OPPGAVE 1 INF 3340/4340/9340 HØSTEN 2005 OBLIGATORISK OPPGAVE INF 0/0/90 HØSTEN 005 Levergsfrst: 0. september 005 Arbedsform: Løses dvduelt Ileverg tl: Aja Bråthe Krstofferse (ajab@f.uo.o Levergskrav: Det forutsettes at du er kjet med holdet

Detaljer

STK1100 våren Konfidensintevaller

STK1100 våren Konfidensintevaller STK00 våre 07 Kofdestevaller Svarer tl avstt 8. læreboka Ørulf Borga Matematsk sttutt Uverstetet Oslo Eksempel E kjemker er teressert å bestemme kosetrasjoe µ av et stoff e løsg Hu måler kosetrasjoe fem

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 9. ma 7 EKSAMEN I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).

Detaljer

FORELESNINGSNOTATER I SPILLTEORI Geir B. Asheim, våren 2001 (oppdatert ).

FORELESNINGSNOTATER I SPILLTEORI Geir B. Asheim, våren 2001 (oppdatert ). OREESNINGSNOTATER I SPITEORI Ger B. Ashem, våre 00 (odatert 000.0.03. 3. STATISKE SPI MED UUSTENDIG INORMASJON (Statske Bayesaske sll Statsk sll: Sllere trekker samtdg. Ufullstedg formasjo: Mst é sllere

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014

TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014 Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Løsgssksse Oppgave a) Y 5 PY > 53) PY 53) P ) 53 5 Φ5) 933 668 Vekte av e fylt flaske, X + Y, er e leærkombasjo av uavhegge ormalfordelte

Detaljer

STK1100 våren Estimering. Politisk meningsmåling. Svarer til sidene i læreboka. The German tank problem. Måling av lungefunksjon

STK1100 våren Estimering. Politisk meningsmåling. Svarer til sidene i læreboka. The German tank problem. Måling av lungefunksjon STK00 våre 07 Estmerg Svarer tl sdee 33-339 læreboka Poltsk megsmålg Sør et tlfeldg utvalg å 000 ersoer hva de vlle ha stemt hvs det hadde vært valg 305 vlle ha stemt A A's oslutg er Ørulf Borga Matematsk

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Hvlke problemer? Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton) på -tallet. Har ngen tng med programmerng å gøre. Dynamsk er et ord som kan aldr brukes negatvt. Skal v

Detaljer

Chapter 2 - Discrete Mathematics and Its Applications. Løsningsforslag på utvalgte oppgaver

Chapter 2 - Discrete Mathematics and Its Applications. Løsningsforslag på utvalgte oppgaver Chpter - Dscrete Mthemtcs d Its pplctos Løsgsforslg på utvlgte oppgver vstt Oppgve Gtt 7 ) E mtrse med rder og koloer er e mtrse Geerelt hr v t e m mtrse er e mtrse med m rder og koloer Uttrykket m klles

Detaljer

Faglærer går normalt én runde gjennom lokalet. Ha evt. spørsmål klare!

Faglærer går normalt én runde gjennom lokalet. Ha evt. spørsmål klare! Side 1 av 6 Noe viktige pukter: (i) (ii) (iii) (iv) Les hele eksamessettet øye før du begyer! Faglærer går ormalt é rude gjeom lokalet. Ha evt. spørsmål klare! Skriv svaree die i svarrutee og levér i oppgavearket.

Detaljer

Gråtonehistogrammer. Histogrammer. Hvordan endre kontrasten i et bilde?

Gråtonehistogrammer. Histogrammer. Hvordan endre kontrasten i et bilde? INF 3 råtoe-trasforasjoer Hovedsakelg fra ka. 3.-3. DIP Hstograer Leære gråtoetrasforer Stadardserg av blder ed leær trasfor Ikke-leære, araetrske trasforer Hvorda edre kotraste et blde?? Neste uke: Hstograbaserte

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 TMA440 Statstkk Høst 06 Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Abefalt øvg 0 Løsgssksse Oppgave a Estmatore for avstade a er gjeomsttet av uavhegge detsk fordelte målger, x; a,

Detaljer

Forelesning 21 og 22 Goodness of fit test and contingency table ( 2 test og krysstabell)

Forelesning 21 og 22 Goodness of fit test and contingency table ( 2 test og krysstabell) STAT111 Statstkk Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 1 Goodess of ft test ad cotgecy table ( test krysstabell 1.Goodess of ft test ( test Ata at v har et utvalg med observasjoee fra e stokastsk varabel X. Goodess-of-ft

Detaljer

Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder

Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder Løsigsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder 6. mai 00 Iledig Vi skal betrakte det såkalte grafdeligsproblemet (graph partitioig problem). Problemet ka ekelt formuleres som følger: Gitt e graf

Detaljer

EKSAMEN løsningsforslag

EKSAMEN løsningsforslag 5. aprl 017 EKSAMEN løsgsforslag Emekode: ITD0106 Emeav: Statstkk og økoom Dato:. ma 016 Eksamestd: 09.00 13.00 Hjelpemdler: - Alle trykte og skreve. - Kalkulator. Faglærer: Chrsta F Hede Om eksamesoppgave

Detaljer

Eksempel 1 - Er gjennomsnittshøyden for kvinner i Norge økende?

Eksempel 1 - Er gjennomsnittshøyden for kvinner i Norge økende? ECON 3 HG a 3 Supplemet tl sste forelesg 3 vår 4 eksempler på test-dskusjoer klusve ltt om p-verder Eksempel - Er gjeomsttshøyde for kver Norge økede? et er velkjet at gjeomsttshøyde for meesker Europa

Detaljer

Faglærer går normalt én runde gjennom lokalet. Ha evt. spørsmål klare!

Faglærer går normalt én runde gjennom lokalet. Ha evt. spørsmål klare! Side 1 av 7 Noe viktige pukter: (i) (ii) (iii) (iv) Les hele eksamessettet øye før du begyer! Faglærer går ormalt é rude gjeom lokalet. Ha evt. spørsmål klare! Skriv svaree die i svarrutee og levér i oppgavearket.

Detaljer

01. Til hvilke deler av naturen benyttes kvantefysikk som beskrivende verktøy?

01. Til hvilke deler av naturen benyttes kvantefysikk som beskrivende verktøy? Ka Kvatefykk. Tl vlke deler av ature beytte kvatefykk o bekrvede verktøy?. Nev oe etrale ateatkk-eer o går kvatefykke.. Hva kalle de eleetee Hlbert-roet o bekrver tltader tl et yte?. Hva kalle de ateatke

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag ..4 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 6. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:

Detaljer

Forelesning 2 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Forelesning 2 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Forelesg MET359 Økoomer ved Davd Kreberg Vår 0 Dverse oppgaver Oppgave. Aa følgede o varabler: gpa: (Grade Po Average) Gjeomsskaraker for amerkaske sudeer. gpa fes ervalle [0;4], hvor 0 er lavese gjeomsskaraker

Detaljer

Løsningsforslag (ST1201/ST , kontinuasjonseksamen) ln L. X i = 2n.

Løsningsforslag (ST1201/ST , kontinuasjonseksamen) ln L. X i = 2n. Løsgsforslag ST20/ST620 205, kotuasjoseksame. a Rmelghetsfuksjoe blr Logartme Derverer Løser lgge Løsge er SME: L = 2 e l L = 2 l X X. X + l X. l L = 2 + 2 X = 2. ˆ = 2 X. X. b Her ka ma beytte trasformasjosformele,

Detaljer

Forelesning Enveis ANOVA

Forelesning Enveis ANOVA STAT111 Statstkk Metoder ushu.l@ub.o Forelesg 14 + 15 Eves ANOVA 1. troduksjo a. Z-, t- test Uka 1: tester for forvetgsdfferase to populasjoer (grupper) b. ANOVA (aalyss of varace): tester om det er forskjeller

Detaljer

Løsningskisse seminaroppgaver uke 17 ( april)

Løsningskisse seminaroppgaver uke 17 ( april) HG Aprl 14 Løsgsksse semaroppgaver uke 17 (.-5. aprl) Oppg. 5.6 (begge utgaver) La X = atall bar utvalget som har lærevasker. Adel bar med lærevasker populasjoe av bar atas å være p.15. Utvalgsstørrelse

Detaljer

Introduksjon til økonometri, kap 8, 9.1 og 9.2. Hva er formålet med økonometri? Utvalgskorrelasjoner To-variabel regresjoner

Introduksjon til økonometri, kap 8, 9.1 og 9.2. Hva er formålet med økonometri? Utvalgskorrelasjoner To-variabel regresjoner Itroduksjo tl økoometr, kap 8, 9.1 og 9. Hva er formålet med økoometr? Utvalgskorrelasjoer To-varabel regresjoer Iformasjo fra data Målet med økoometr er å lære oe fra data Øke vår kuskap ved å oppdage

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Mars 017 Overskt over kofdestervall Eco 130 Merk at dee overskte kke er met å leses stedefor framstllge Løvås, me som et supplemet. De eholder tabeller med formler for kofdestervaller for stuasjoer

Detaljer

Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>. ECON 3 EKSAMEN VÅR TALLSVAR Det abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller lkt uasett varasjo vaskelghetsgrad. Svaree er gtt

Detaljer

Kapittel 10 fra læreboka Grafer

Kapittel 10 fra læreboka Grafer Forelesigsotat i Diskret matematikk torsdag 6. oktober 017 Kapittel 10 fra læreboka Grafer (utdrag) E graf er e samlig pukter (oder) og kater mellom puktee (eg. odes, vertex, edge). E graf kalles rettet

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Sannsynlighetsregning med statistikk

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Sannsynlighetsregning med statistikk ÅMA0 Sasylghetsregg med statstkk, våre 00 Kp. 5 Estmerg. Målemodelle. Estmerg. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estmerg bomsk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (Pukt)Estmerg målemodelle (kp. 5.3)

Detaljer

Forelesning Punktestimering

Forelesning Punktestimering STAT Statst Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 8 + 9 Putestmerg. Fra sasylghetsteor tl statst feres ) Sasylghetsberegg sasylghetsteor: v jeer parametere som besrver modellee, f.es. p boms modell, ormal fordelg,

Detaljer

Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Forelesg 3 MET359 Økoometr ved Davd Kreberg Vår 0 Dverse oppgaver Oppgave. E vestor samler følgede formasjo om markedsavkastge og avkastge på det som ser ut tl å være et attraktvt aksjefod År Aksjefodets

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton på -tallet. Programmerng betydnngen planlegge, ta beslutnnger. (Har kke noe med kode eller å skrve kode å gøre. Dynamsk for

Detaljer

X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0.

X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0. UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Eksamen : Eksamensdag: 7. jun 2013. Td for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 8 sder. Vedlegg: Tllatte hjelpemdler: STK2120 LØSNINGSFORSLAG

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteor Høsten 014 Rchard Wllamson 3. desember 014 Innhold Forord 1 Induksjon og rekursjon 7 1.1 Naturlge tall og heltall............................ 7 1. Bevs.......................................

Detaljer

Forelesning Z-, t-test, test for forventningsdifferanser

Forelesning Z-, t-test, test for forventningsdifferanser STAT Sttstkk Metoder ushu.l@ub.o Forelesg + 3 Z-, t-test, test for forvetgsdfferser. Sttstsk hypotesetestg ullhypotese): ypotese so først ttt å være st *Forålet ed e test er å udersøke o dtterlet gr grulg

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen 21. mai 2013

TMA4245 Statistikk Eksamen 21. mai 2013 TMA445 Statstkk Eksame ma 03 Korrgert 0 ju 03 Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Løsgssksse Oppgave Et plott av sasylghetstetthee er gtt fgur Vdere har v og PX = Φ = 08849

Detaljer

Spill med fullstendig info.

Spill med fullstendig info. Spll med fulltedg fo. Foreleger pllteor V, del G.B. Ahem, pllteor, oppdat... Spllteor tuderer flerpero-belutgproblemer, og aalyerer aktører om er rajoelle (har veldeferte preferaer) reoerer trategk (tar

Detaljer

Oppgave 1 Det er oppgitt i oppgaveteksten at estimatoren er forventningsrett, så vi vet allerede at E(ˆµ) = µ. Variansen til ˆµ er 2 2 ( )

Oppgave 1 Det er oppgitt i oppgaveteksten at estimatoren er forventningsrett, så vi vet allerede at E(ˆµ) = µ. Variansen til ˆµ er 2 2 ( ) Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Abefalt øvg Løsgssksse Oppgave Det er oppgtt oppgavetekste at estmatore er forvetgsrett, så v vet allerede at Eˆµ µ. Varase tl ˆµ er τ Varˆµ

Detaljer

Kapittel 1: Beskrivende statistikk

Kapittel 1: Beskrivende statistikk Kapttel : Bekrvede tattkk Defjoer: Populajo og utvalg Populajo: Alle mulge obervajoer v ka gjøre (,,, N ). Utvalg: Delmegde av populajoe (,,, der

Detaljer

Forelesning 3 mandag den 25. august

Forelesning 3 mandag den 25. august Forelesg adag de 5 august Merkad 171 For å bevse e propossjo o heltall so volverer to eller flere varabler, er det typsk ye lettere å beytte duksjo på e av varablee e duksjo på oe av de adre Det er for

Detaljer

MOD 233 Konveksitet og optimering. Leksjon 1

MOD 233 Konveksitet og optimering. Leksjon 1 MOD 233 Koveksitet og optierig Leksjo Mål ed kurset Forståelse av gruleggede optierigsteori Løsigsetoder Algoritisk forståelse Praktiske avedelser odellerig løsig ved bruk av verktøy MOD233 - Geir Hasle

Detaljer

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden ato: 07.01.2008 aksbehandler: DH Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden Dette notatet presenterer en enkel framstllng av problemet med seleksjon mot uttakstdpunkt av alderspensjon av folketrygden.

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>. ECON: EKAMEN TALLVAR. et abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller lkt uasett varasjo vaskelghetsgrad. varee er gtt

Detaljer

Diskretisering av et kontinuerlig problem vedbruk av prinsippet om minimum potensiell energi. For et lineært elastisk material:

Diskretisering av et kontinuerlig problem vedbruk av prinsippet om minimum potensiell energi. For et lineært elastisk material: ME 5 Eergmetoder Dskretserg a et kotuerg probem edbruk a prsppet om mmum potese eerg otese eerg for et eastsk system: Oerfatekrefter traksoer pr. fateehet Idre oum-krefter Forskyger Fu Fy Fz w dv u y z

Detaljer

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså:

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså: A-besvarelse ECON2130- Statstkk 1 vår 2009 Oppgave 1 A) () Antall kke-ordnede utvalg: () P(Arne nummer 1) = () Når 5 er bltt trukket ut, er det tre gjen som kan blr trukket ut tl den sste plassen, altså:

Detaljer

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18).

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18). Econ 2130 HG mars 2012 Supplement tl forelesnngen 19. mars Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og ltt om heltallskorreksjon (som eksempel 5.18). Regel 5.19 ser at summer, Y = X1+ X2 + +

Detaljer

Randi Johannessen. Mikroindeksformel i konsumprisindeksen. 2001/64 Notater 2001

Randi Johannessen. Mikroindeksformel i konsumprisindeksen. 2001/64 Notater 2001 2/64 Notater 2 Rad Johaesse Mkrodeksformel kosumprsdekse Avdelg for økoomsk statstkk/sekso for økoomske dkatorer Emegruppe: 8.2. Ihold. Bakgru og kokluso...3 2. Levekostadsdekser...4 2.. Kosumetes tlpasg...4

Detaljer

Econ 2130 uke 13 (HG)

Econ 2130 uke 13 (HG) Eco 30 uke 3 (HG) Iførg regresjo I deskrptv aalse (Løvås kap. 7. 7.3.3) DATA: Resultater fra 500m og 5000m for me fra EM på skøter Heerevee 004. Obs 5000m 500m Obs 5000m 500m r. Td Sekuder Td Sekuder r.

Detaljer

EKSAMEN ny og utsatt løsningsforslag

EKSAMEN ny og utsatt løsningsforslag 8.. EKSAMEN n og utsatt løsnngsorslag Emnekode: ITD Dato:. jun Hjelpemdler: - To A-ark med valgrtt nnhold på begge sder. Emnenavn: Matematkk ørste deleksamen Eksamenstd: 9.. Faglærer: Chrstan F Hede -

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA440 Statstkk H00 Statstsk nferens: 9.6: Predksjonsntervall 9.8: To utvalg, dfferanse µ µ Mette Langaas Foreleses mandag 8.oktober, 00 Predksjonsntervall for fremtdg observasjon, normalfordelng For en

Detaljer

TMA4240/4245 Statistikk Eksamen august 2016

TMA4240/4245 Statistikk Eksamen august 2016 Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA44/445 Statstkk Eksamen august 6 Løsnngssksse Oppgave a) Ved kast av to ternnger er det 36 mulge utfall: (, ),..., (6, 6). La Y

Detaljer

EKSAMEN Ny og utsatt Løsningsforslag

EKSAMEN Ny og utsatt Løsningsforslag . jun 0 EKSAMEN Ny og utsatt Løsnngsorslag Emnekode: ITD50 Dato:. jun 0 Emne: Matematkk, deleksamen Eksamenstd: 09.00.00 Hjelpemdler: To A-ark med valgrtt nnhold på begge sder. Formelhete. Kalkulator er

Detaljer

Kapittel 9 ALGEBRA. Hva er algebra?

Kapittel 9 ALGEBRA. Hva er algebra? Kpttel 9 ALGEBRA Hv er lger? Kpttel 9 ALGEBRA Alger Ekelt k v s t lger er å rege me okstver steet for tll. Når v løser lgger, står okstve (vlgvs for et estemt tll. Når v ruker lger tl å utlee formler eller

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer 009 04 Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov 30.0.04 INF 4 Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt

Detaljer

Sorterings- Algoritmer

Sorterings- Algoritmer Hva er sorterng? Sorterngs- Algortmer Algortmer og Datastrukturer Input: en sekvens av N nummer Output: reorganserng nput-sekvensen slk at: a < a < a... < a n- < a n V søker algortmer som gjør dette på

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Estimering. Målemodellen. Kp. 5 Estimering. Målemodellen.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Estimering. Målemodellen. Kp. 5 Estimering. Målemodellen. ÅMA0 Sasylghetsregg med statstkk, våre 006 Kp. 5 Estmerg. Målemodelle. Estmerg. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estmerg bomsk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.). (kp. 5.) 4. Estmere, estmat, estmator

Detaljer

SIF5072 Stokastske prosesser Sde 2 av 6 b) Hva vl det s at en Markov-kjede er rredusbel? Er Markov-kjeden fx n g denne oppgaven rredusbel? Er den aper

SIF5072 Stokastske prosesser Sde 2 av 6 b) Hva vl det s at en Markov-kjede er rredusbel? Er Markov-kjeden fx n g denne oppgaven rredusbel? Er den aper Norges teknsk naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Sde 1 av 6 Faglg kontakt under eksamen: Bo Lndqvst 73 59 35 20 EKSAMEN I FAG SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER Mandag 13. august 2001 Td:

Detaljer

Auksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet

Auksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet Auksjoner og mljø: Prvat nformasjon og kollektve goder Erk Romstad Handelshøyskolen Auksjoner for endra forvaltnng Habtatvern for bologsk mangfold Styresmaktene lyser ut spesfserte forvaltnngskontrakter

Detaljer

LØSNING: Eksamen 17. des. 2015

LØSNING: Eksamen 17. des. 2015 LØSNING: Eksame 17. des. 2015 MAT100 Matematikk, 2015 Oppgave 1: økoomi a I optimum av T Rx er dt Rx 0 1 som gir d Ix Kx 0 2 dix dix dkx dkx 0 3 4 dvs. greseitekt gresekostad, q.e.d. 5 b Gresekostad ekstrakostade

Detaljer

EN MODELL FOR NEGATIVE EKSTERNE VIRKNINGER 1

EN MODELL FOR NEGATIVE EKSTERNE VIRKNINGER 1 Jo Vsle; 9.oktober 007 N MODLL FOR NGATIV KSTRN VIRKNINGR V øsket å belyse ekstere vrkger ved hjelp av e llustrerede og oelude ekel modell, ltt aerledes e de som gjeomgås kap. 4. Strøm & Vsle. Hovedformålet

Detaljer

X = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er

X = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 11, blokk II Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 11 Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som vil være ormalfordelt

Detaljer