Analyse av strukturerte spareprodukt

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Analyse av strukturerte spareprodukt"

Transkript

1 NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, Høst 2007 Analyse av strukturerte spareprodukt Et Knderegg for banknærngen? av Ger Magne Bøe Veleder: Professor Petter Bjerksund Utrednng fordypnngs-/spesalområdet: Fnansell økonom NORGES HANDELSHØYSKOLE Denne utrednngen er gjennomført som et ledd masterstudet økonomsk-admnstratve fag ved Norges Handelshøyskole og godkjent som sådan. Godkjennngen nnebærer kke at høyskolen nnestår for de metoder som er anvendt, de resultater som er fremkommet eller de konklusjoner som er trukket arbedet.

2 1 Sammendrag Strukturerte spareprodukt består typsk av et garantelement og et avkastnngselement. Garantelementet skrer at du kke taper sparepengene dne, mens avkastnngselementet skal g deg avkastnng knyttet tl en markedsvarabel som for eksempel en aksjendeks. Produktene har bltt svært populære blant prvate småsparere. En vktg grunn tl dette er nok en utbredt forestllng om at nvestor får både pose og sekk; lke god avkastnng som aksjemarkedet og lke skkert som banken. Fnansekspertene har kke vært lke begestret, og omtaler produktene som dyre, uoversktlge og med dårlge avkastnngsmulgheter. Denne rapporten vser at kundene typsk betaler 8-10 % samlede gebyr, noe som gjerne er 2-4 % høyere enn det som opplyses om prospektet. Forventet avkastnng er 1-2 % per år ved egenkaptalfnanserng før tegnngsgebyrene tas hensyn tl. En kunde som velger full lånefnanserng og betaler de høyeste tegnngsgebyrene og kan forvente å tape penger på nvesterngen sn. Dette vser at mne analyser langt på ve støtter krtkken fra ekspertene.

3 2 Forord Denne rapporten baseres på en masterutrednng som nngår som en del av masterstudet ved Norges Handelshøyskole. Rapporten er todelt. I første del presenterer jeg to metoder for å verdsette eksotske opsjoner. Den ene metoden er en modfsert Black 76 opsjonsprsngsformel, mens den andre metoden er Monte Carlo smulerng. Den sstnevnte metoden er speselt nyttg ved prsng av eksotske opsjoner uten lukket løsnng. Teordelen anvendes tl å verdsette og beregne forventet avkastnng tl seks garanterte spareprodukt. Tl en vss grad går teordelen lenger enn det som er nødvendg for å analysere garanterte spareprodukt. Det kan ses at teordelen er ltt som å skyte spurv med kanon forhold tl anvendelsen rapporten. Lkevel vl jeg bruke en del plass på å vse hvordan det er mulg å bygge en effektv prsngsmodell, som er raskere og mer effektv også andre anvendelser enn prsng av opsjonselementet garanterte spareprodukt. Jeg vl rette en stor takk tl mn veleder, Professor Petter Bjerksund, som med konstruktve tlbakemeldnger og gode deer har bdratt tl at arbedet med rapporten både har vært spennende og lærerkt. Ellers vl jeg takke Insttutt for foretaksøkonom og SNF for stpendet jeg ble tldelt for å skrve denne rapporten. Takk også tl Steen Koekebakker ved Unverstetet Agder for å ha tatt seg td tl å svare på spørsmål underves. Rapporten forutsetter grunnleggende kunnskap nnen opsjonsprsng. Norges Handelshøyskole Bergen, oktober 2007 Ger Magne Bøe

4 3 Innholdslste SAMMENDRAG...1 FORORD...2 INNHOLDSLISTE INNLEDNING INTRODUKSJON PROBLEMSTILLINGER OPPBYGGING AV RAPPORTEN STRUKTURERTE SPAREPRODUKTER DET NORSKE MARKEDET LITT MER OM PRODUKTENE OPPBYGGING OG VERDSETTELSE AV STRUKTURERTE PRODUKTER FORUTSETNINGER BAK BLACK 76 OPSJONSPRISINGSMODELL AKSJEKURSENS BEVEGELSE OG MONTE CARLO SIMULERING AKSJEKURSENS BEVEGELSE MONTE CARLO SIMULERING VARIANSREDUSERENDE TEKNIKKER QUASI-MONTE CARLO SIMULERING ANDRE UTVIDELSER AV MONTE CARLO METODEN VERDSETTELSE AV STRUKTURERTE SPAREPRODUKT STOREBRAND SPREAD AKSJEINDEKSOBLIGASJON ORKLA FINANS ABSOLUTT EUROPA II FOKUS BANK RÅVAREINDEKSOBLIGASJON OLJE

5 4 4.4 ACTA JAPANSK EIENDOM NORDEA LOCK-IN BASKET DNB NOR KRAFT 2007/ DRØFTING AV RESULTATENE ANALYSE AV AVKASTNING PÅ STRUKTURERTE PRODUKT GENERELT OM SANNSYNLIGHETER OG RISIKOPREMIER FORVENTET AVKASTNING FRA DE ULIKE PRODUKTENE DRØFTNING AV RESULTATENE ANALYSE AV GEBYRESTIMATENE I 117 PROSPEKT AVSLUTNING PÅ TIDE MED EN NY TYPE STRUKTURERTE PRODUKT? OPPSUMMERING ER KRITIKKEN BERETTIGET? SVAKHETER VED RAPPORTEN OG FORSLAG TIL VIDERE UNDERSØKELSER REFERANSER

6 5 1. Innlednng 1.1 Introduksjon Et ordtak ser at kjært barn har mange navn. Dette gjelder også for den relatvt nye typen garanterte spareprodukter som tlbys norske prvate og nsttusjonelle nvestorer. Jeg vl denne rapporten se på de verdpaprene som går under betegnelsene strukturerte spareprodukter, aksjendeksoblgasjoner, garanterte spareprodukter eller banksparng med aksje-, valuta-, råvare- eller børsavkastnng. Felles for alle produktene er at de egentlg er en pakke bestående av mer grunnleggende fnanselle verdpapr. Pakken skal g nvestor et garantert beløp ved forfall, tllegg tl mulghet for avkastnng knyttet tl utvklngen en eller flere varabler, som for eksempel en aksjendeks. Det er ngen tvl om at slke spareprodukter har bltt en suksess dersom dette måles etter salgsvolumet. Men er det kundene eller tlbyderne som kommer best ut? Ved å kombnere forskjellge verdpapr kan produktene skreddersys slk at nvestor får den rskoeksponerngen og gevnstpotensal han ønsker. Dette bør ses på som en fordel for nvestor. For noen kunder vl garanterte produkter g en bedre rsko- og avkastnngsprofl enn aksjer, fond, oblgasjoner eller banknnskudd. Alle nnovasjoner er ønskelge dersom det kan dekke et behov hos kundene bedre enn de ekssterende produktene markedet. Investorer som kke ønsker slke produkter kan la være å kjøpe de. Garanterte spareprodukter kan være med å forbedre nvestors mulgheter tl å nvestere utenlandske og eksotske verdpapr, og dermed oppnå en bedre rskoeksponerng sn samlede portefølje. Det er vanlgvs ngen valutauskkerhet knyttet tl garanterte spareprodukter. Bankene tar et tegnngsgebyr ved kjøp, men tl gjengjeld vl banken åpne et nvesterngsunvers som tdlgere kke har vært lett tlgjengelg for småsparere. Det er derfor ngen tvl at hvs strukturerte produkter tlbys tl korrekt prs og på rktge premsser, er de et godt supplement og nvesterngsalternatv for så vel småsparere som større nvestorer. De garanterte spareproduktene har tl tross for dette fått kraftg krtkk meda, og nærmest bltt betegnet som svndel. Hva er grunnen tl denne voldsomme krtkken?

7 6 Krtkken er hovedsak rettet mot tre forhold. For det første er produktene satt sammen slk at de er vanskelg for nvestor å komme frem tl rktg verd på det han kjøper, kombnert med at bankene krever forholdsvs høye gebyrer. I denne rapporten verdsettes seks strukturerte produkter som tlbys det norske markedet høsten 2006 og våren Analysene vser at det kan være krevende å prse garanterte spareprodukt, og det kke kan forventes at nvestorer uten solde fnanskunnskaper kan estmere rktg prs på produktet. Noen eksperter 1 hevder at bankene tlbyr unødvendg komplserte produkter nettopp for at kundene kke skal være stand tl å prse de, samtdg som de komplekse elementene kan fremstlles bedre enn de faktsk er markedsførngsmateralet. Forskjellen mellom hva kunden betaler for produktet (eksklusv tegnngskostnader) og den vrkelge verden av pakken er et gebyr som går tl tlbyder. I prospektene omtaltes dette gebyret som tlretteleggngsgebyr eller bruttofortjeneste. Tdlgere ble det kke opplyst om dette gebyret prospektene. I dag er dette et krav fra Kredttlsynet, men det er langt fra skkert at gebyret som det opplyses om prospektet er det kunden reelt sett betaler. Størrelsen på tlretteleggngsgebyret drøftes kaptlene 4 og 6 denne rapporten. Krtkken fra ekspertene rettes også mot prospektene som brukes markedsførngen og kompetansen tl selgerne. Prospektene gr nntrykk av at nvestor får både pose og sekk; lke god avkastnng som aksjemarkedet tl samme rsko som banksparng. Dette er beste fall en sannhet med modfkasjoner. Flotte fgurer av hstorsk avkastnng preger de første sdene av prospektet, mens sentrale opplysnnger står med lten skrft helt mot slutten. Hvlke forutsetnnger og modeller som er benyttet verdsettelsen prospektet opplyses det dessverre kke om. Samtdg har kke alle selgerne den nødvendge kunnskapen eller forståelsen tl å kunne forklare hvordan avkastnngen beregnes, og langt sjeldnere prse produktene de tlbyr. V har fra td tl annen sett råsalg 2 av strukturerte produkter mot godtroende prvatpersoner uten fnanskunnskap. Rådgverne mottar ofte bonus etter hvor mye de selger, og flnke rådgvere er gjerne de som selger mest og tl høyest margn. Her må det nevnes at det trolg er stor forskjell mellom de ulke aktørene bransjen. Personlg tror jeg at dette kan være med på å forklare at hele tre av fre strukturerte produkt er lånefnanserte. 1 Allerede 2000 advarte journalstene Rune Pedersen og Bjørn Erk Sættem Dne Penger (Nr 9/2000) om dette. 2 Se blant annet Dne Penger Nr 3/2006

8 7 Det tredje forholdet som har vært gjenstand for krtkk er effekten av lånefnanserng 3. Bankene tlbyr å lånefnansere hele kjøpesummen slk at nvestor kan geare nvesterngen og øke mulgheten for høy avkastnng. For banken sn del kan de tlby lån med mnmal rsko, sden de har skkerhet penger på egen konto gjennom det garanterte produktet de tlbyr. Jeg vl se på hvordan dette spller nn på sannsynlghetsfordelngen tl avkastnngen kapttel 5. Samlet sett kan dette vrke som et Knderegg for banken. Garanterte spareprodukter oppfyller tre ønsker på en gang; tegnngsgebyr, tlretteleggngsgebyr og en god rentemargn på et tlnærmet rskofrtt utlån. Kredttlsynet har fra nnført en ny forskrft der det stlles strengere krav tl blant annet opplysnng om verden av produktet, effekten av lånefnanserng og sannsynlghetsfordelngen tl forventet avkastnng. Dette gjør det enklere for nvestor å analysere strukturerte spareprodukt. Lkevel opplyser kke utstederne hvlke estmater og forutsetnnger som lgger tl grunn for de ulke beregnngene. Forventet avkastnng med og uten lånefnanserng er noe som det foreløpg kke må opplyses om, men som etter mn menng er et av de vktgste estmatene som burde vært med prospektene. 1.2 Problemstllnger Denne utredngen vl fokusere på tre problemstllnger: 1. Verdsettelse med senstvtetsanalyse av seks ulke strukturerte produkt. Hva er rktg prs? 2. Estmerng av sannsynlghetsfordelngen tl avkastnngen for produktene med og uten lånefnanserng. 3. Analyse av prospektene tl alle produktene som tlbys mellom høst 2006 og vår Hva er tlbydernes egne estmat på tlretteleggngsgebyret? Er det forskjell mellom tlbyderne? Ved å vurdere mne seks estmat på tlretteleggngsgebyret opp mot de som er oppgtt prospektene, er det kanskje mulg å s noe om hvorvdt tlbydernes anslag på 3 Se blant annet Dne Penger nr 9/2000, nr 9/2001, nr 4/2006, nr 7/2006 og nr 6/2007

9 8 tlleggsgebyrene er realstske. Tl slutt vl jeg vurdere, ut fra mne analyser, om krtkken fra ekspertene er berettget. 1.3 Oppbyggng av rapporten I kapttel 2 drøftes kort utvklngen det norske markedet for garanterte spareprodukt. Vdere presenteres teoren bak oppbyggngen av en aksjendeksoblgasjon, basert på en artkkel Praktsk økonom og fnans av Bjerksund, Carlsen og Stensland (1999). Ved å justere volatlteten og dvdenderaten, kan v komme frem tl en tlnærmet verd på en aksjendeksoblgasjon ved å bruke Black 76 opsjonsprsngsformel. Denne vl benyttes, og noen tlfeller tlpasses, for å komme frem tl en closed-form approxmaton verd på opsjonene de tlfellene strukturene kke er for komplekse. I kapttel 3 forklares det først hvordan v kan modellere aksjekursens bevegelser, og hvlke antakelser som lgger bak en slk modell. Resten av kaptlet brukes tl å presentere hvordan opsjoner kan prses ved Monte Carlo smulerng. Mot slutten av kaptlet vl jeg drøfte ulke varansreduserende teknkker som kan mplementeres for å kunne bygge en modell som gr et mest mulg nøyaktg resultat. Presentasjon og verdsettelse av de utvalgte garanterte spareproduktene er tema kapttel 4. Verden av strukturerte produkter avhenger stor grad av forutsetnnger og verder på varablene som benyttes analysen. Slke varabler er uskre, og vanlgvs estmeres de basert på hstorske data. En senstvtetsanalyse med ulke verder på de mest sentrale varablene vl g nyttg nnskt forhold tl hva som er en objektv verd på spareproduktene. I kapttel 5 analyseres den forventede avkastnngsfordelngen tl hvert enkelt produkt. Her vl jeg blant annet beregne effekten av tegnngskostnader og lånefnanserng, fnne forventet avkastnng og estmere sannsynlgheten for at produktene gr postv avkastnng. Kapttel 6 fokuserer på prospektene. Her analyseres prospektene tl 117 produkter som er utstedet det sste året. Et av spørsmålene som stlles er om det er forskjell tegnngs- og tlretteleggngsgebyr mellom de ulke tlbyderne. Et annet spørsmål som vurderes er om

10 9 mne estmat på tlrettelegnngsgebyr er nærheten av det estmatet utsteder har oppgtt prospektet. Tl slutt oppsummeres resultatene av analysene rapporten kapttel 7. Her vl jeg også dskutere svakheter ved rapporten og forslag tl vdere analyser nnen strukturerte produkter.

11 10 2. Strukturerte spareprodukter 2.1 Det norske markedet Strukturerte spareprodukter ble ntrodusert Norge 1992, og var de første årene hovedsaklg rettet mot nsttusjonelle nvestorer. I 1996 kom DnB med banksparng med aksjeavkastnng som var rettet mot prvatmarkedet. De sste t årene har prvatpersoner stått for en stadg større andel av nytegnngene. Sommeren 2006 ede husholdnngene over 90 % av de utestående strukturerte produktene 4. Fgur 2.1 vser totalt utestående volum 5 av strukturerte produkter fra Veksten har vært jevn og sterk nesten hele peroden, og 2005 var verden av de utestående produktene n ganger høyere enn Fgur Utestående strukturerte produkt Mllarder NOK År Tallene fra Statstsk Sentralbyrå vser mdlertd at det har vært en stagnasjon og svak nedgang den totale verd av utestående strukturerte produkter det sste året. Samtdg har lånefnanserngsandelen fortsatt å stge. Dette er llustrert fgurene 2.2 og 2.3. Per mars 2007 er det nvestert rundt 45 mllarder garanterte spareprodukt, og andelen som er fnansert med lån har passert 75 %. I meda har eksperter 6 som Thore Johnsen, Steen 4 Tall fra Norges Banks tdsskrft Penger og Kredtt nr Data basert på to tabeller fra Statstsk Sentralbyrå, se ltteraturlste. Tallene for 2000 er fra februar fra artkkelen tl Axelsen og Rakkestad (2000). De resterende er fra desember. For 2001 er et estmat fra Dne penger nr 6 benyttet. 6 Ulke klder; Dne Penger, Na24 og Dagens Nærngslv. Se ltteraturlste.

12 11 Koekebakker, Petter Bjerksund, Are Slettan og Tom Staav alle vært krtske tl lånefnanserng av slke verdpapr. Nesten uten unntak er lånerenten høyere enn produktenes forventede avkastnng. I kapttel 5 analyserer jeg seks ulke produkter der jeg blant annet estmerer forventet avkastnng med og uten lånefnanserng. Full lånefnanserng gr negatv forventet avkastnng for alle produktene. I de fleste tlfeller er det mulg å selge produktene før forfall. Tlretteleggeren vl da enten kjøpe tlbake produktet, eller fnne en annen kjøper annenhåndsmarkedet. Prospektene presserer vanlgvs at produktene er ment for nvestorer med henskt å holde produktene tl forfall. Ved salg før forfall er det kke skkert at nvestor får tlbake det garanterte beløpet. Dne Penger 7 har estmert salgsgebyret tl å være størrelsesorden %. 50 Fgur Utvklngen utestående ndekserte oblgasjoner Fgur Andel lånefnanserte ndekserte oblgasjoner 80 % Verd mllarder kroner Andel lånefnansert 75 % 70 % 65 % 60 % 55 % 25 des.05 mar.06 jun.06 sep.06 des.06 mar.07 Samlet verd garanterte produkt Verd av lånefnansert 50 % des.05 mar.06 jun.06 sep.06 des.06 mar.07 Andel lånefnansert Mye negatv medeomtale, mer presse opplysnnger prospektene og msfornøyde kunder er trolg noen av årsakene tl salget at strukturerte produkter kke vokser lke raskt som før. Dne Penger hjelper for tden msfornøyde kunder med å kjøre sak mot utstederne Bankklagenemda. Dersom de når frem med en klage, vl nok den etterfølgende negatve mededeknngen redusere nysalget av slke produkt betraktelg. Personlg tror jeg at toppen er nådd både for det totale salget og andelen som er lånefnansert. 7 Dne Penger 4/2006

13 Ltt mer om produktene Garanterte produkter består av en skker og en uskker del. Den skre delen er enten en nullkupongsoblgasjon eller et banknnskudd som garanterer at du får tlbake hele, mer enn hele eller deler av det nvesterte beløpet. Banknnskuddet er skret gjennom Bankenes Skrngsfond for opp tl 2 mlloner kroner. Selv om banken går konkurs vl du lkevel få tlbake nnskuddet. Hvs det garanterte elementet er en nullkupongsoblgasjon vl eeren være vanlg kredtor, og kredttrskoen tl utsteder må tas hensyn tl. Majorteten av produktene garanterer at nvestor får tlbake hele det nvesterte beløpet, fratrukket tegnngsgebyr, ved forfall. Noen produkter har høyere eller lavere kaptalgarant, vanlgvs mellom 90 % og 110 %. En alternatv struktur på nnskuddet er å garantere % av pålydende og utstede produktet tl overkurs. I prospektene refereres det gjerne tl begrepet emsjonskurs, som er summen av pålydende og overkursen. Dersom overkursen er 5 % vl du betale nn 105 kroner og du er typsk garantert å få tlbake 100 kroner ved forfall. Nedsden produktene er begrenset, sden det eneste du rskerer å tape er avkastnng ved alternatv plasserng av pengene. Dette er forlokkende for mange små prvate nvestorer. Et sentralt spørsmål rapporten er å vurdere om nvestor har for høy betalngsvlje for denne skkerheten. Verden av å motta 100 kroner om 5 år er dag rundt 80 kroner, dersom v antar en rskofr rente på 4.5 %. Hvs tlbyder kke opererer med andre gebyrer vl det da være 20 kroner gjen per hundrelapp tl å kjøpe rskable verdpaprer som skal skre kunden postv avkastnng dersom underlggende går rett ve. Den høye etterspørselen etter strukturerte produkter gjør at bankene har sett mulgheten tl å tlby stadg mer eksotske strukturer. Tdlgere var den uskre delen knyttet tl avkastnngen på en eller to kjente utenlandske aksjendekser. I dag kan nvestor velge mellom produkter som har kraft-, valuta-, råvare- eller rentekontrakter som underlggende. Lkevel er fortsatt aksjendeksoblgasjoner mest utbredt. Noen tlbydere har opsjoner på selvkomponerte porteføljer eller aksjekurver bestående av aksjer, mens andre velger en kurv av kjente ndekser. I denne rapporten vl jeg hovedsak undersøke strukturerte produkter med aksjendekser som underlggende, men noen av de andre strukturene vl også bl analysert. Produktene markedsføres ofte med mulghet for aksjeavkastnng. I realteten er kke dette det samme som avkastnngen aksjemarkedet. Aksjendekserte oblgasjoner tlbyr avkastnng fra en prsndeks som kke justerer for utbytte. Avkastnngen tl ndeksen er derfor lavere enn

14 13 avkastnng fra nvesterng drekte en portefølje av selskapene ndeksen. Slke prsndekser er mest vanlg, men det fnnes også avkastnngsndekser slk som tyske Dax-ndeksen, der utbytte automatsk renvesteres. Forskjellen gjør at en prsndeks kke vl vokse lke raskt som en avkastnngsndeks. Konsekvensen av dette er at høye utbytter typsk reduserer verden av opsjonselementet, og eeren av en aksjendeksert oblgasjon kommer dårlgere ut enn om utbyttene var lave. Alle de fre analyserte aksjendeksoblgasjonene rapporten har prsndekser som underlggende. I de aller fleste strukturerte produkt er det en eller flere opsjoner som skal g kunden mulghet tl god avkastnng. Kompleksteten slke opsjoner varerer, og pressjonen verdanslaget på opsjonen reduseres ofte ved økende grad av komplekstet. En stor andel av opsjonselementene de strukturerte produktene som tlbys markedet dag har ngen closedform soluton eller lukket løsnng, hvlket vl s at v kke kan prse de ved kjente formler. I slke tlfeller kan v gjerne bruke closed-form approxmaton, altså bruk av prsngsformler selv om kke alle forutsetnngene er oppfylt. Tlnærmngsmetodene kan g verder som avvker betydelg fra vrkelg verd. Andre ganger vl forutsetnngene som er brutt kke være av særlg betydnng for prsngsresultatet. En alternatv framgangsmåte er å prse opsjonene ved Monte Carlo smulerng. Denne metoden drøftes kapttel 3. Et sentralt poeng som jeg vl trekke frem flere ganger rapporten er at resultatene v kommer frem tl basert på modeller eller formler kun er rmelge dersom de verdene v putter nn er fornuftge. Verdestmatene mne stor grad vl være gjenstand for dskusjon, sden det er mange uskre verder som må estmeres for å kunne verdsette opsjonselementene. Varablene blr hovedsak estmert ut fra hstorske data, og v har ngen garant for at hstorske data er representatv for fremtden. De vktgste varablene er volatlteten tl underlggende, korrelasjoner mellom ulke underlggende ndekser, nnenlandsk- og utenlandsk rentenvå og dvdenderaten tl underlggende. Estmatene mne baseres på de nputvarablene jeg mener er mest realstske. For å kunne vurdere hvor følsom prsen er forhold tl de verdene jeg har valgt, vl jeg gjennomføre senstvtetsanalyser på de mest sentrale varablene.

15 Oppbyggng og verdsettelse av strukturerte produkter I dette avsnttet presenteres det formelt hvordan en aksjendeksoblgasjon er satt sammen. Denne delen er stor grad basert på artkkelen Aksjendekserte oblgasjoner både pose og sekk? av Bjerksund, Carlsen og Stensland (1999). Den uskre delen består de fleste tlfeller av en eller flere eksotske opsjoner, som gjør det krevende eller umulg å komme frem tl korrekt verd. Ofte er opsjonene knyttet tl et artmetsk gjennomsntt av avkastnngen på flere ndekser (basket optons), sluttverden beregnes som et artmetsk gjennomsntt av kursutvklngen mot slutten av løpetden (artmetsk asatsk hale) og opsjonene har vanlgvs ngen valutaeksponerng (quanto-opsjoner). I tllegg kan opsjonene ha knock-out eller lock-n element seg. V antar at q(0) og q ~ (t) er verden på underlggende ndeks ved henholdsvs tdspunkt 0 og t. Ved forfall er ndeksverden en uskker varabel. Aksjendeksoblgasjonen betaler kke rente før forfall, og sden nvestor er garantert å få tlbake nnbetalt beløp kan den fremtdge ~ verden av aksjendeksoblgasjonen B ( T ) uttrykkes som ~ q~ ( T ) q(0) B ( T ) = B (0) 1 + Max, 0 (2.1) q(0) Dette kan også uttykkes slk: ~ ( T ) B(0) + (2.2) q(0) B = B( 0) Max[ q~ ( T ) q(0),0] Det første leddet på høyre sde (2.2) er det opprnnelge beløpet som er garantert å bl tlbakebetalt. Det andre leddet kan tolkes som B(0) q(0) europeske call opsjoner med ndeksen som underlggende, der hver opsjon har forfalltdspunkt T og strke q(0). I verdsettelsen antar jeg verdaddtvtet, hvlket vl s at verden av en kombnasjon av fnanselle aktva er lk summen av verden av hvert enkelt aktvum. V kan derfor verdsette den rskofre plasserngen og opsjonselementet hver for seg. Matematsk kan dette formuleres slk:

16 15 V [ ~ B(0) B( T )] V [ B(0) ] + V [ Max( q ~ ( T ) (0),0)] = 0 0 (2.3) q(0) 0 q hvor V 0 [ ] er dagens markedsverd. Første leddet er markedsverden av det garanterte beløpet. Denne fnnes ved å dskontere det garanterte beløpet med rskofr renter (eventuelt rt med en kredttrskopreme) peroden frem tl forfall T. Dette gr V [ B(0) ] e (0) =. 0 B Det andre leddet på høyre sde lgnng (2.3) er verden av call opsjonen. Noen strukturerte produkter har put opsjoner eller både put og call opsjoner som underlggende. Da må v justere lgnng (2.3) for å ta hensyn tl dette. De strukturerte spareproduktene som vurderes denne rapporten har avkastnnger som er drekte knyttet tl en fremtdg observert ndeksverd. Dette betyr at dersom avkastnngsfaktoren er 100 % og den utenlandske ndeksen stger med 10 %, vl avkastnngen på call opsjonen være 10 % uavhengg av hvordan valutakursen norske kroner per utenlandsk valuta har utvklet seg. Investor har derfor ngen valutarsko. Opsjonen på den underlggende ndeksen kan ses på som et uskkert kvantum og kalles gjerne quantos fnansltteraturen. V kan også skrve lgnng (2.3) som V 0 [ ~ rt B(0) ] [ ( ~ B( T ) = e B(0) + V Max q( T ) q(0),0)] q(0) 0 (2.4) hvor q ( 0) og q ~ ( T ) er verden av ndeksen notert utlandet henholdsvs på tdspunkt 0 og T. Neste steget verdsettelsen er å fnne termnprsen for en fremtdg utbetalng på q ~ ( T ) norske kroner. Termnprsen norske kroner tar hensyn tl at avkastnngen tl ndeksen kke nkluderer utbytte fra selskapene. Denne termnprsen er gtt ved lgnng (2.5). F r T [ q ~ ( ) ( T ) ] q(0 e δ 0 ) = (2.5) Her kan v tolke δ som rate of return shortfall eller mplstt dvdenderate, og er gtt ut fra følgende lgnng δ δ + ( r r ) + c (2.6)

17 16 I lgnng (2.6) er r nnenlandsk rente, r renten utlandet og δ er dvdenderaten tl den utenlandske ndeksen. c er defnert ved c T = Cov 0 S ln S ( T ) q~ ( T ), ln. Her er S (T) (0) q (0) den fremtdge valutakursen og S (0) er dagens valutakurs. Dette vser at samvarasjonen mellom de logartmske avkastnngene tl den utenlandske ndeksen og tlhørende valutakurs spller nn gjennom den mplstte dvdenderaten. Fra lgnng (2.6) ser v at rentedfferansen mellom Norge og utlandet nngår den mplstte dvdenderaten. Grunnen tl dette er at når v kke har valutaeksponerng foretas det en mplstt avkastnngswap, der hjemmerente byttes mot utenlandsrente. Hvs den norske renten er høyere enn utenlandsrenten, forventes det at den utenlandske valutaen vl styrke seg forhold tl den norske kronen. En slk postv rentedfferanse og høy korrelasjon mellom avkastnngene tl ndeksen og den tlhørende valutakursen vl begge g høyere mplstt dvdenderate. Senere vl jeg vse at en høyere mplstt dvdenderate vl typsk g lavere verd på opsjonselementet. Dette gjelder både ved prsng etter Black 76 opsjonsprsngsformel og ved prsng basert på Monte Carlo smulerng. En annen sentral nputvarabel opsjonsprsngen er volatlteten σ. Volatlteten er uavhengg av uskkerheten knyttet tl valutakursen, sden avkastnngen er uavhengg av valutakursendrng. Dette gjør at volatlteten er lavere uten valutarsko enn med, bortsett fra de tlfeller der avkastnngen tl ndeksen og valuta er sterkt negatvt korrelert. Valutarsko er derfor de aller fleste tlfeller ønskelg for en opsjonseer. Volatlteten er defnert ved ~ 2 q ( T ) σ T = Var ln 0 (2.7) q (0) Dersom v antar at forutsetnngene bak Black 76 formelen holder (se avsntt 2.4) kan markedsverden av den aksjendekserte oblgasjonen uttrykkes ved: V [ ~ rt δt rt B( T )] = e B(0) + B(0) [ e N( d ) e N( )] 0 1 d 2 (2.8) hvor N( ) er den kumulatve sannsynlghetsfunksjonen tl standard normalfordelngen og

18 17 d ( r δ + σ ) T = 2, d 2 = d 1 σ T σ T (2.9) Hvs opsjonselementet aksjendeksoblgasjonen er av europesk type kan v benytte Black 76 formelen gtt ved lgnng (2.8) tl å fnne prsen på aksjendeksoblgasjonen. Dessverre er det de aller fleste tlfeller kke standard europeske opsjoner strukturerte produkter, og v kan kke prse opsjonene ved å benytte lgnng (2.8) drekte. Spread opsjoner, barrereopsjoner, og chooseropsjoner kan kke prses ved (2.8), men har egne prsngsformler. Opsjonselementene strukturerte produkter har ofte et artmetsk sntt (kurv) av flere ndekser som underlggende, og kalles gjerne basket optons. Dette gr en dversfserngseffekt, eller en slankng av volatlteten. For en aksjenvestor er det ønskelg å redusere rskoen ved å unngå å putte alle eggene en kurv. Dersom ndeksene kke er perfekt postv korrelert vl noen av ndeksene gjerne gå opp mens andre går ned. En opsjonseer har dermot begrenset nedsde og det er ønskelg med høyest mulg volatltet for å øke oppsdepotensalet. Dversfserng reduserer volatlteten og er kke fordelaktg for opsjonseere. Utstedere hevder lkevel gjerne at det er fornuftg å spre avkastnngsrskoen på flere ndekser, selv om dette reduserer verden av opsjonselementet. I så fall er nvestor bedre tjent med en portefølje av opsjoner på ulke ndekser enn en opsjon på en kurv av ndekser. Avkastnngen på en kurv av ndekser kan formuleres slk: q~ ( T ) q(0) q(0) = w q~ ( T ) q (0) q (0) (2.10) Vektene hver ndeks er gtt ved w, og summerer seg tl 1. Toppskrft ndkerer hvlken ndeks det er snakk om. Artkkelen tl Bjerksund, Carlsen og Stensland vser et appendks at den mplstte dvdenderaten δ kan fnnes ut fra (2.11) og volatlteten kan tlnærmes ved (2.12). e δt = w e ( δ + ( r r ) + c ) T (2.11)

19 18 σ 2 ww j σ σ j ρj (2.12) j Her er volatlteten tl hver enkelt ndeks σ og korrelasjonen mellom ndeksene ρ j defnert ved henholdsvs (2.13) og (2.14). ~ 2 q ( T ) σ T Var0 ln (2.13) q (0) j q% ( T) q% ( T) σσ jρjt Cov0 ln,ln j q (0) q (0) (2.14) Verden av en aksjendeksoblgasjon med en kurv av ndekser som underlggende kan tlnærmes ved formlene (2.8) og (2.9) over, basert på mplstt dvdenderate og volatltet gtt fra formlene (2.11) tl (2.14). En annen måte utsteder kan redusere volatlteten (og verden av produktet) er ved å bruke tdsgjennomsntt. I stedet for å beregne avkastnngen fra ndeksene kun ved forfall, kan avkastnngen beregnes ut fra et gjennomsntt over flere observasjoner. Månedlge observasjoner de 6 tl 24 sste månedene av produktets levetd er vanlg. Sluttverden tl ndeksen kan defneres ved (2.15), der M er antall observasjoner tdsperoden τ tl T. M q ~ 1 ( T ) = q ( + k t) M τ (2.15) k = 1 Avkastnngen tl en ndeks med asatsk sluttavregnng kan uttrykkes ved å sette høyresden (2.15) nn for q ~ ( T ) på venstresden av (2.16). M qt %( ) q(0) 1 q% ( τ + k t) q(0) = q(0) M q (0) k = 1 (2.16)

20 19 T τ Tden mellom hver observasjon er gtt ved t =, og er typsk en måned for produktene M som analyseres denne rapporten. De fleste strukturerte produkt benytter tdsgjennomsntt, og slke opsjoner kalles asatske opsjoner eller opsjoner med asatsk hale. Kemna og Vorst (1990) vste at v kan justere volatlteten og dvdenderaten ved henholdsvs lgnng (2.17) og (2.18) for å få tlnærmet rktg verd på termnprsen, og benytte Black 76 formelen fra lgnng (2.8) og (2.9) verdsettelsen. Her benyttes volatlteten tl det geometrske gjennomsnttet som en tlnærmng tl volatlteten tl det artmetske snttet. e ( r δ ) T 1 M [ r ( δ + ( r r ) + c )]( τ+ k t ) = M k= 1 e (2.17) 2 σ T 2 = σ τ ( T τ + t)(2( T τ ) + t) T τ (2.18) Strukturerte produkter med både kurv- og tdsgjennomsntt oppnår høyeste dversfserngseffekt og lavest volatltet. Avkastnngen på underlggende kan slke tlfeller beregnes ved lgnng (2.19) M qt %( ) q(0) w q% ( τ + k t) q(0) = q(0) M q (0) k= 1 (2.19) V kan beregne dvdenderate δ gtt mplstt fra lgnng (2.20) og volatlteten gtt mplstt fra lgnng (2.21). Med den nye justerte dvdendraten og volatlteten kan v benytte lgnng (2.8) og (2.9) tl å verdsette aksjendeksoblgasjoner med både kurv og tdsgjennomsntt. e ( r M = k= 1 w e M δ ) T [ r ( δ + ( r r ) + c )]( τ+ k t ) (2.20) 2 σ T j w w jσ σ j ρj τ ( T τ + t)(2( T τ ) + t) T τ (2.21)

21 20 Dette avsnttet har httl vst hvordan v kan fnne en tlnærmet prs på en aksjendeksert oblgasjon med en call som opsjonselement. Hvs opsjonen har tdsgjennomsntt eller består av en kurv av underlggende ndekser, må v justere mplstt dvdende og volatltet. Lgnng (2.4) vste hvordan v kan verdsette oblgasjonselementet og opsjonsdelen separat. Denne lgnngen forutsetter at 100 % av nvestert beløp (eksklusve tegnngskostnader) utbetales ved forfall. Mange produkt markedet har både høyere og lavere garant enn dette. Avkastnngsfaktoren varerer også mellom ulke strukturerte produkt. Dersom ndeksen stger 10 % og avkastnngsfaktoren er 1.2, vl nvestor få 12 % avkastnng på sn nvesterng. Investor ønsker høyest mulg garant og avkastnngsfaktor. Sden det er lte trolg at utstederne selger et produkt de forventer å tape penger på, vl det derfor være en avveng mellom garantert beløp og avkastnngsfaktor. De produktene som lokker med garantert beløp på over 100 % og høy avkastnngsfaktor har gjerne andre eksotske element som slanker volatlteten. Lgnng (2.4) kan derfor skrves om tl (2.22), der G er andelen av det nvesterte beløpet som er garantert, og AF er avkastnngsfaktoren. V 0 [ ~ rt ] [ ( ~ B( T ) = G e B(0) + AF V Max q( T ) q(0),0)] 0 (2.22) 2.4 Forutsetnnger bak Black 76 opsjonsprsngsmodell I forrge avntt vste jeg hvordan v kan prse en opsjon basert på Black 76 modellen. Dette er en versjon av Black & Scholes modellen som benyttes tl å prse termnkontrakter. Forutsetnngene bak modellene er omtrent de samme og er gjengtt under. ds 1. Aksjen (termnprsen) følger en geometrsk Brownsk bevegelse = µ dt + σdbt S 2. Det er ngen transaksjonskostnader 3. Både volatlteten σ og renten r er konstante gjennom opsjonens levetd 4. Handel underlggende foregår kontnuerlg td 5. Det er ngen arbtrasjemulgheter markedet 6. Investorer har ngen begrensnnger forhold tl shortsalg eller lånefnanserng

22 21 Når det gjelder den første forutsetnngen, vl denne bl forklart og dskutert kapttel 3. Den opprnglge Black & Scholes formelen forutsatte ngen dvdendeutbetalng. Black 76 modellen for prsng av opsjonselementet strukturerte spareprodukt tar hensyn tl en kontnuerlg dvdenderate. Kapttel 3 vser en alternatv metode for å prse strukturerte spareprodukt. Her benyttes Monte Carlo smulerng, som mange tlfeller kan prse eksotske opsjoner hvor closed form soluton kke er tlgjengelg. I analysedelen kapttel 4 vl jeg bruke både teoren fra dette kaptlet og Monte Carlo smulerng tl å prse strukturerte spareprodukt.

23 22 3. Aksjekursens bevegelse og Monte Carlo smulerng Dette kaptlet forklarer hvordan v kan modellere aksjekursens bevegelse og bruke Monte Carlo smulerng tl å verdsette opsjoner. Beskrvelsen av aksjekursens bevegelse er basert på fremstllngene tl John Hull (2006) og Kerry Back (2005). I sste del av kaptlet vl jeg presentere ulke metoder for å forbedre den tradsjonelle Monte Carlo metoden ved å benytte varansreduserende teknkker og Quas-Monte Carlo smulerng. Avslutnngsvs drøftes kort mulgheten for å modellere hopp aksjekursene. 3.1 Aksjekursens bevegelse Modellerng og forutsetnngene bak aksjekursenes bevegelse er sentralt all opsjonsprsng. I vrkelgheten skjer aksjehandel når børsene er åpne, og noen aksjer er mer omsatt enn andre. Handelen skjer altså dskret td. Aksjekursene må tllegg handles vsse enheter, for eksempel steg på 50 øre. Dette gjør at aksjekursene er en dskret varabel. Tl tross for dette modelleres aksjekurser fnansltteraturen basert på kontnuerlg handel og at aksjekursene er kontnuerlge varabler. På kort skt beveger aksjekurser seg opp og ned på en tlfeldg og usystematsk måte, noe som gjør at v modellerer kursen som en stokastsk prosess. En Markov prosess er en spesell type stokastske prosess der kun dagens verd på varabelen har betydnng for den fremtdge verden. Hvs aksjekurser kan modelleres som Markov prosesser, har den hstorske kursutvklngen ngen betydnng for hvordan den fremtdge kursen vl utvkle seg. Markov egenskapen er konsstent med en svak form for markedseffesens. Dette betyr at all offentlg tlgjengelg nformasjon er tatt hensyn tl dagens aksjekurs. En del emprske studer blant annet av Fama (1965) og (1970) tyder på at velutvklede fnansmarkeder utgangspunktet har en svak form for effesens. Dette gjør at jeg kan ta utgangspunkt en Markov prosess når jeg skal beskrve aksjekursens utvklng matematsk. En Wener prosess er en type Markov prosess, med forventet endrng på null og en varansrate på en per år. Et annet navn på slke prosesser er Brownsk bevegelse. En wener prosess z har to vktge egenskaper:

24 23 1. Endrngen z en kort tdsperode t er gtt ved tall trukket fra standard normalfordelngen. 2. Verden z for to ulke korte tdsntervall z = ε t, hvor ε er et tlfeldg t er uavhengge Fgur 3.1 llustrerer utvklngen en wenerprosess som starter på 100 og hvor t er en dag. Verd Fgur Utvklng en wenerprosess Wener prosess Dager Fguren over vser at wenerprosessen beveger seg opp eller ned hver dag. Drftraten er null, og kursen varerer mellom 92 og 107 peroden. Trekker v 252 nye tlfeldge tall vl prosessen bl annerledes. Noen ganger vl wenerprosessen vse klar postv eller negatv drft på grunn av tlfeldgheter. Dersom v estmerer mange wenerprosesser vl gjennomsnttet lgge nær utgangspunktet på 100. Hvs aksjekurser fulgte en standard wener prosess, vlle ngen nvestorer ee aksjer. Grunnen tl dette er at alle aksjer da vlle hatt forventet avkastnng lk null. Neste steg er å beskrve en generell wenerprosess. En generell wenerprosess trenger kke å ha forventnng lk null og varans lk en. Ved å ta hensyn tl en postv forventet drftrate kan v lage en modell som stemmer bedre med aksjekursens utvklng. Hvs t 0, kan den standardserte wenerprosessen z skrves som dz. Den generalserte wenerprosessen kan da kontnuerlg td skves som ( x, t) dt σ ( x t)dz dx = µ +, (3.1) Første ledd på høyre sde (3.1) er drftsleddet tl prosessen, og ser noe om hvor mye prosessen forventes å stge eller falle med tdsperoden dt. Det andre leddet er støyleddet

25 24 σ dz, og kan eventuelt skrves som σε dt. Her er σ er størrelsen på støyen, og som multplseres med en standard wenerprosess. Dersom σ er stor, vl v ha større svngnnger aksjekursene fra dag tl dag. Den generalserte wenerprosessen forventes å svnge rundt drftsleddet, mens en standard wenerprosess forventes å svnge rundt startverden tl prosessen. Dette er llustrert fgur 3.2, med µ = og σ =1. 7. Den blå kurven vser at den generalserte wenerprosess svnger rundt forventnngslnjen med stgnng 0.25 per dag. Den røde kurven er en standard wenerprosess med forventet drft lk null. Verd Fgur Generalsert Wenerprosess Wener prosess med drft Forventet verd Standard wener prosess Dager Den blå prosessen fgur 3.2 gr en bedre beskrvelse av aksjeprsens bevegelse enn den standardserte wenerprosessen. Den har lkevel en betydelg mangel. Aksjekursene kan bl negatve, og dette er strd med at aksjonærer har begrensede forplktelser. En aksje kan kke bl mndre verdt enn null. Løsnngen er å benytte en prsprosess der drften og volatlteten er proporsjonal med aksjekursen S. At forventet avkastnng er proporsjonal med aksjekursen vrker rmelg. En nvestor vl kreve samme forventet avkastnng prosent uavhengg av om kursen er 5 eller 100 kroner. Lgnng (3.2) tar hensyn tl at både forventnng og volatltet er proporsjonal med aksjekursen S. Dette kalles en geometrsk Brownsk bevegelse. ds = µ Sdt + σsdz (3.2) Dersom v deler begge sder lgnng (3.2) på S, får v den prosentvse avkastnngen peroden dt: ds = µ dt + σdz (3.3) S

26 25 Emprske observasjoner av daglge logartmske aksjeavkastnnger vser at de er tlnærmet normalfordelte. Dette betyr at aksjekursen er lognormal fordelt. Itô s lemma er vktg verktøy stokastsk analyse, og ble oppdaget av matematkeren K. Itô Anta at en varabel x er gtt ved prosessen dx = µ ( x, t) dt + σ ( x, t) dz (3.4) Denne prosessen kalles en Itô prosess. Her er dz en wenerprosess og der drftraten µ og volatlteten σ er funksjoner av x og t. Itô s lemma vser at en funksjon G av x og t følger prosessen G G dg = µ + + x t 1 2 G 2 G σ dt + σdz 2 x x (3.5) Dersom v defnerer G = ln S, det vl s at dg er den logartmske avkastnngen tl aksjen, kan v ved Itô s lemma vse at 2 σ dg = d(ln S) = µ dt + σdz 2 (3.6) Lgnng (3.3) og lgnng (3.6) er følge Back (2005) ekvvalente. Neste steg er å løse lgnng ln (3.6) for S. V ntegrerer og bruker at e S = S gtt ved den geometrske Brownske bevegelsen. Aksjeprsen på et vlkårlg tdspunkt t er da St 0 2 σ µ t + σdz 2 = S e (3.7) Lgnng (3.7) kan også skrves på dskret form. Aksjekursen på tdspunkt t + t er gtt ved S t+ t = S e t 2 σ µ t 2 + σε t (3.8)

27 26 Lgnng (3.8) danner grunnlaget for Monte Carlo smulerngen. Før v går over tl dette må konseptet rskonøytral verdsettelse ntroduseres. I kapttel 2 så v hvordan opsjonselementet aksjendeksoblgasjoner kunne prses ved Black 76 formelen. Her benyttet v rskonøytral verdsettelse uten å pressere det. Gtt at forutsetnngene avsntt 2.4 holder, kan Black- Scholes-Mertons (BSM) dfferensallgnng fra lgnng (3.9) utledes. En fullstendg utlednng vses kke her, men utledngen bygger på at opsjoner han hedges ved å kjøpe delta antall aksjer, låne penger banken for å fnansere aksjekjøpet, og rebalansere kontnuerlg. Det er da mulg å oppnå en rskofr portefølje. For at det kke skal oppstå arbtrasjemulgheter må en slk rskofr portefølje g avkastnng lk rskofr rente. For utlednng av (3.9), se for eksempel Björk (1998). BSM lgnngen er gtt ved f t f + rs S 2 1 f + σ 2 2 S = rf 2 (3.9) 2 S Løsnngen av denne lgnngen avhenger av grensebetngelsene tl den enkelte opsjon som v ønsker å prse. Det var denne lgnngen Black og Scholes (B&S) brukte for å utlede sn velkjente formel for prsng av europeske kjøpsopsjoner. Verken B&S sn formel eller BSM lgnngen nneholder aksjens forventede avkastnng µ, og de er derfor uavhengge av rskopreferanser. Rskonøytral verdsettelse forutsetter kke at nvestorene er rskonøytrale. Når v beveger oss fra en rskonøytral verden tl en rskoavers verden skjer to tng. Både forventet avkastnng og dskonterngsrenten tl avkastnngen endres. Heldgvs slår dsse to effektene hverandre hel, og v kan verdsette opsjoner basert på rskonøytral verdsettelse. Hvs v benytter lgnng (3.8) tl å verdsette opsjoner ved Monte Carlo smulerng må v estmere aksjens forventede avkastnng µ. Heldgvs er det en ve ut av dette problemet. I følge Øksendal (2003) kan v benytte Grsanov teorem på lgnng (3.2). Dersom v tllegg tllater at aksjer kan utbetale en kontnuerlg dvdenderate δ, kan lgnng (3.2) skrves som ( r δ ) Sdt + σsdz ds = ~ (3.10) Den nye prosessen (3.10) har nå drftrate (r-δ ) og wenerprosess d ~ z. Volatlteten σ endres kke. Sannsynlghetsmålet tl prosessen har også endret seg fra det subjektve

28 27 sannsynlghetsmålet P tl det ekvvalente martngalmålet Q. Dette betyr at v kan bruke rskonøytral smulerng av aksjeprser tl å prse opsjoner ved å bruke (3.10), og dskontere avkastnngen ved forfall med rskofr rente. Ut fra samme fremgangsmåte som tdlgere kan aksjeprsens utvklng dskret td under rskonøytral verdsettelse skrves som S t+ t = S e t 2 σ 2 ( r δ ) t + σε t (3.11) 3.2 Monte Carlo smulerng Monte Carlo smulerng ble første gang benyttet 1930 nnen fyskk tl å beregne nøytronenes egenskaper. Da de elektronske datamasknene kom etter andre verdenskrg ble Monte Carlo metoder populære nnen forskjellge forsknngsfelt som fyskk, kjem og matematkk. Phelm Boyle var den første som brukte Monte Carlo smulerng tl å prse opsjoner Boyle ntroduserte også varansreduserende teknkker samme artkkel. Etter hvert som datamasknene har bltt kraftgere og programmerngsspråkene mer effektve har Monte Carlo smulerng fått en stadg større utberedelse nnen fnans og opsjonsprsng Generelt om Monte Carlo smulerng Opsjonsprsng ved Monte Carlo smulerng er en mye brukt opsjonsprsngsmetode både akadema og fnansbransjen. Mange eksotske opsjoner har ngen kjente closed form soluton. Lgnng (3.11) kan benyttes tl å smulere en prsbane tl underlggende over løpetden og beregne opsjonens avkastnng ved forfall. Tl slutt dskonteres opsjonsverden ved forfall med rskofr rente tlbake tl verdsettelsestdspunktet. Ved å gjenta smulerngen mange ganger og beregne gjennomsnttet av de dskonterte utfallene fnner v Monte Carlo estmatet på opsjonsprsen. I følge Glasserman (2003) vl den sterke talls lov skre at estmatet vl konvergere mot rktg verd når antall smulernger øker. Sentralgrensesetnngen gr nformasjon om størrelsen på felestmatet ved et endelg antall smulernger. Felestmatet tl Monte Carlo smulerngene er tlnærmet normalfordelt med σ f forventnng 0 og standardfel, der σ f er standardavvket tl hver enkelt smulerng og n n er antall smulernger. Kvalteten på estmatet øker derfor med flere smulernger, og med en

29 28 konvergerngsrate på O ( / n ) 1. Dersom v vl halvere felestmatet må v fredoble antall smulernger. En reduksjon felestmatet tl en tdel krever at v multplser antall smulernger med hundre. En europesk kjøpsopsjon betaler ut max[0, S t - S 0 ] ved forfall. I dette tlfelle vl en smulerng kreve at v kun trekker et tlfeldg tall mellom null og en og deretter transformerer tallet tl et tlfeldg standard normalfordelt tallε. Monte Carlo smulerng av europeske opsjoner betyr at v kke har behov for å smulere hele prsbanen slk som fgur 3.2, men kun aksjekursen ved forfall. For asatske og andre st-avhengge 8 opsjoner må hele eller deler av prsbanen smuleres. Da trekkes flere tlfeldge tall per smulert prsbane, noe som gjør smulerngen mer tdkrevende. Lkevel er det slke tlfeller at Monte Carlo smulernger kommer tl sn rett. Matematsk sett handler Monte Carlo smulerng om å beregne multdmensjonale ntegral. Innen opsjonsprsng beskrver Jäckel (2002) dmensjonen tl slke ntegral som d = k l, hvor k er antall aktva som underlggende og l er antall tdssteg v må smulere. Felestmatet tl Monte Carlo smulerngen er uavhengg av dmensjonen problemet. Dette gjør at Monte Carlo smulerng høye dmensjoner er overlegen forhold tl lattce metoder, sden felestmatet tl sstnevnte øker med antall dmensjoner. Mange st-avhengge opsjoner kan kke prses ved enkle formler, men det er mulg å estmere opsjonsverden ved smulerng. De fleste opsjonene denne rapporten er st-avhengge Eksempel på opsjonsprsng ved Monte Carlo smulerng I analysedelen kaptlene 4 og 5 vl Monte Carlo smulerng benyttes tl å verdsette opsjonselementene de strukturerte produktene. Jeg bruker Vsual Basc som programmerngsspråk, selv om dette språket er tregere enn for eksempel C++. Monte Carlo smulerng kan llustreres ved å prse en spread opsjon. Denne opsjonen gr en utbetalng lk dfferanseavkastnngen mellom verden tl ndeks 1 og ndeks 2 ved forfall, hvs denne er postv og null ellers. V antar at begge ndeksene starter på 100 dag, og at v kke har noen asatsk hale. En slk opsjon kan da verdsettes med Margrabe s formel for bytte et aktvum 8 En stavhengg opsjon har utbetalng ved forfall som avhenger av utvklngen aksjekursen før forfall.

30 29 med et annet. Opsjonen dette eksempelet er basert på opsjonselementet Storebrand Spread som verdsettes kapttel 4, men uten den asatske halen. 13,5 Fgur Verdsettelse av Spread opsjon 13,0 12,5 Monte Carlo smulerng Margrabes formel Prs 12,0 11,5 11, Antall smulernger Fgur 3.3 vser Monte Carlo estmatet for forskjellge antall smulernger sammenlgnet med den korrekte verden fra Margrabe s formel (11.898). 100 smulernger gr et estmat på 13.08, noe som er ca 10 % for høyt. Ved 1000 smulernger er prsen 11.16, omtrent 6 % lavere en korrekt verd. Flere smulernger gjør at den estmerte verden konvergerer korrekt verd. Benyttes smulernger er estmat 0.7 % for lavt. Ved mllon smulernger er det kke lenger mulg å se forskjell på den smulerte og korrekte verden fguren. Her er den smulerte verden rundt 0.01 % for høy. Monte Carlo metoden kan g betydelge avvk fra korrekt verd ved få smulernger. Derfor er det vktg å konstruere en Monte Carlo modell som er rask og effektv, slk at v kan prse komplekse produkter med stor grad av skkerhet på relatvt kort td Smulerng av korrelerte aktva Mange av opsjonselementene strukturerte produkter består av en kurv med flere ulke aktva som underlggende. For å kunne prse denne typen opsjoner må v ta hensyn tl at aktvaene kan være postvt eller negatvt korrelerte. Første steg er å estmere korrelasjonsmatrsen tl aktvaene kurven. Dette kan for eksempel gjøres ved å beregne korrelasjonen mellom daglge logartmske avkastnnger for hver ndeks fra hstorske data. I denne llustrasjonen vl jeg benytte tre aktva. Fremstllngen er da mest oversktlg på matrseform, og er basert på Koekebakker og Zakamoulne (2006) og Back (2005). V får da en korrelasjonsmatrse gtt ved (3.12). Elementene langs hoveddagonalen er lk en, sden dsse elementene angr aktvumets korrelasjon med seg selv.

31 30 1 ρ ρ Σ= ρ ρ ρ ρ 1 (3.12) For hver av de tre ndeksene må v smulere en prsbane gtt ved lgnng (3.8). Dersom aktvaene er ukorrelerte kan v smulere tre ukorrelerte prsbaner og beregne opsjonens avkastnng ved forfall. Det er lte sannsynlg at aktvaene ndeksene er ukorrelerte. En metode for å smulere korrelerte aktva er å anvende en Cholesky dekomponerng før smulerngen. V må da regne ut en nedre trangulermatrse, som lgnng (3.13). Den nedre trangulærmatrsen C, må oppfylle kravet T C C =Σ, der toppskrft T betyr transponert. På matrseform kan dette kravet formuleres som lgnng (3.14). Beregnngen av trangulærmatrsen bygger på at v løser ut for en og en varabel av gangen. Løsng av smultane lgnngssystem er krevende, men heldgvs er VBA koden tl Cholesky dekomponerngen strukturert på en slk måte at det kke oppstår problemer knyttet tl dette. c 0 0 C c c 11 = c c c (3.13) c c11 c21 c31 1 ρ12 ρ13 c c 0 0 c c = ρ 1 ρ c31 c32 c c 33 ρ31 ρ32 1 (3.14) Dette er kun mulg dersom Σ matrsen er postv semdefntt. Ved estmerng av store korrelasjonsmatrser er kke dette alltd tlfelle, og v kan for eksempel få problemer med å smulere en kurv bestående av underlggende ndekser dersom korrelasjonsmatrsen kke er postv semdefntt. I en slk stuasjon kan det være bedre å benytte en Sngular Value Decomposton (SVD) på korrelasjonsmatrsen stedenfor Cholesky dekomponerngen. Dette er utenfor rammen av denne rapporten, men se for eksempel Dahl og Benth (2001) for anvendelse av SVD på Quas-Monte Carlo smulerng av opsjonsprser.

32 31 For hvert tdspunkt t k v ønsker å smulere må v trekke tre tlfeldge tall, ett for hver at de tre ndeksene og transformere dsse tl standard normalfordelte tlfeldge varabler ξ t ). Bunnskrft ndkerer hvlken ndeks det er snakk om. Endelg kan v fnne de korrelerte tlfeldge standard normalfordelte varablene ε t ) fra lgnng (3.15) ( k ( k ε1( tk) c ξ1( tk) ε ( t ) = c c 0 ξ ( t ) 2 k k ε3( tk) c31 c32 c 33 ξ3( tk) (3.15) V bruker nå ε t ) Monte Carlo smulerngen for hver av de tre ndeksen basert på lgnng ( k (3.8). En call opsjon med en kurv av tre underlggende ndekser og asatsk hale kan da for hver smulerng beregnes som 3 forfall start S S C = max w ;0 start (3.16) = 1 S hvor w representerer vektene tl den enkelte delndeks, start S er startverden tl ndeksen, og forfall S er det artmetske gjennomsnttet av M antall observasjoner slutten av produktets levetd. I kapttel 4 brukes Vsual Basc tl å beregne Cholesky dekomponerngen, for kldekode se appendks A Klarer datamaskner å generere tlfeldge tall? Kjernen Monte Carlo smulerng er å trekke tlfeldge standard normalfordelte tall ε. Dette gjøres vanlgvs to operasjoner. Først trekkes tlfeldge tall mellom null og en fra en unform fordelng, og deretter transformeres de tl standard normalfordelte tall. Her drøftes kort den første delen. Jäckel (2002) bruker et eget kapttel på dette. Alle tlfeldge tall trukket av en datamaskn kommer fra en determnstsk algortme. Dette gjør at alle tlfeldg tall generatorer kke genererer tall som er helt tlfeldge, og blr ltteraturen ofte referert tl som pseudorandom numbers. Mange matematkere har forsket på dette og resultatet er at noen generatorer er bedre enn andre. Excel/VBA sn generator med 1000 tlfeldge tall to dmensjoner er llustrert fgur 3.4a. Denne fguren vser det som er typsk for slke

SNF-rapport nr. 19/07

SNF-rapport nr. 19/07 Analyse av strukturerte spareprodukt Et Knderegg for banknærngen? av Ger Magne Bøe SNF-prosjekt nr. 7000 SAMFUNNS- OG NÆRINGSLIVSFORSKNING AS BERGEN, OKTOBER 2007 Dette eksemplar er fremstlt etter avtale

Detaljer

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder.

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder. 40 Metoder for å måle avkastnng Totalavkastnngen tl Statens petroleumsfond blr målt med stor nøyaktghet. En vktg forutsetnng er at det alltd beregnes kvaltetsskret markedsverd av fondet når det kommer

Detaljer

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk.

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk. ECON 0 Forbruker, bedrft og marked Forelesnngsnotater 09.0.07 Nls-Henrk von der Fehr FORBRUK OG SPARING Innlednng I denne delen skal v anvende det generelle modellapparatet for konsumentens tlpasnng tl

Detaljer

Investering under usikkerhet Risiko og avkastning Høy risiko. Risikokostnad prosjekt Snøskuffe. Presisering av risikobegrepet

Investering under usikkerhet Risiko og avkastning Høy risiko. Risikokostnad prosjekt Snøskuffe. Presisering av risikobegrepet Investerng under uskkerhet Rsko og avkastnng Høy rsko Lav rsko Presserng av rskobegreet Realnvesterng Fnansnvesterng Rsko for enkeltaksjer og ortefølje-sammenheng Fnansnvesterng Realnvesterng John-Erk

Detaljer

Fast valutakurs, selvstendig rentepolitikk og frie kapitalbevegelser er ikke forenlig på samme tid

Fast valutakurs, selvstendig rentepolitikk og frie kapitalbevegelser er ikke forenlig på samme tid Makroøkonom Publserngsoppgave Uke 48 November 29. 2009, Rev - Jan Erk Skog Fast valutakurs, selvstendg rentepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forenlg på samme td I utsagnet Fast valutakurs, selvstendg

Detaljer

DEN NORSKE AKTUARFORENING

DEN NORSKE AKTUARFORENING DEN NORSKE AKTUARFORENING _ MCft% Fnansdepartementet Postboks 8008 Dep 0030 OSLO Dato: 03.04.2009 Deres ref: 08/654 FM TME Horngsuttalelse NOU 2008:20 om skadeforskrngsselskapenes vrksomhet. Den Norske

Detaljer

Studieprogramundersøkelsen 2013

Studieprogramundersøkelsen 2013 1 Studeprogramundersøkelsen 2013 Alle studer skal henhold tl høgskolens kvaltetssystem være gjenstand for studentevaluerng mnst hvert tredje år. Alle studentene på studene under er oppfordret tl å delta

Detaljer

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir)

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir) 2009/48 Notater Bjørn Gabrelsen, Magnar Lllegård, Bert Otnes, Brth Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdr) Notater Indvdbasert statstkk for pleeog omsorgstjenesten kommunene (IPLOS) Foreløpge resultater

Detaljer

Auksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet

Auksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet Auksjoner og mljø: Prvat nformasjon og kollektve goder Erk Romstad Handelshøyskolen Auksjoner for endra forvaltnng Habtatvern for bologsk mangfold Styresmaktene lyser ut spesfserte forvaltnngskontrakter

Detaljer

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. Mundells trilemma 1 går ut på følgende:

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. Mundells trilemma 1 går ut på følgende: Makroøkonom Innlednng Mundells trlemma 1 går ut på følgende: Fast valutakurs, selvstendg rentepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forenlg på samme td Av de tre faktorene er hypotesen at v kun kan velge

Detaljer

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS Sde 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Fakultet for bygg- og mljøteknkk INSTITUTT FOR SAMFERDSELSTEKNIKK Faglg kontakt under eksamen: Navn Arvd Aakre Telefon 73 59 46 64 (drekte) / 73

Detaljer

Alderseffekter i NVEs kostnadsnormer. - evaluering og analyser

Alderseffekter i NVEs kostnadsnormer. - evaluering og analyser Alderseffekter NVEs kostnadsnormer - evaluerng og analyser 2009 20 06 20 10 20 10 20 10 21 2011 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 R A P P O R T 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20

Detaljer

Utredning av behov for langsiktige tiltak for norske livsforsikringsselskaper. pensj onskasser. Finansnæringens Hovedorganisasjon 16.06.

Utredning av behov for langsiktige tiltak for norske livsforsikringsselskaper. pensj onskasser. Finansnæringens Hovedorganisasjon 16.06. Utrednng av behov for langsktge tltak for norske lvsforskrngsselskaper og pensj onskasser Fnansnærngens Hovedorgansasjon 16.06.2009 Innhold Bakgrunnogformål 3 2 Den aktuelle stuasjonen norske lvsforskrngsselskaper

Detaljer

Sluttrapport. utprøvingen av

Sluttrapport. utprøvingen av Fagenhet vderegående opplærng Sluttrapport utprøvngen av Gjennomgående dokumenterng fag- og yrkesopplærngen Februar 2012 Det å ha lett tlgjengelg dokumentasjon er en verd seg selv. Dokumentasjon gr ungedommene

Detaljer

Norske CO 2 -avgifter - differensiert eller uniform skatt?

Norske CO 2 -avgifter - differensiert eller uniform skatt? Norske CO 2 -avgfter - dfferensert eller unform skatt? av Sven Egl Ueland Masteroppgave Masteroppgaven er levert for å fullføre graden Master samfunnsøkonom Unverstetet Bergen, Insttutt for økonom Oktober

Detaljer

Dårligere enn svenskene?

Dårligere enn svenskene? Økonomske analyser 2/2001 Dårlgere enn svenskene? Dårlgere enn svenskene? En sammenlgnng av produktvtetsveksten norsk og svensk ndustr * "Productvty sn t everythng, but n the long run t s almost everythng."

Detaljer

Kapitalbeskatning og investeringer i norsk næringsliv

Kapitalbeskatning og investeringer i norsk næringsliv Rapport Kaptalbeskatnng og nvesternger norsk nærngslv MENON-PUBLIKASJON NR. 28/2015 August 2015 av Leo A. Grünfeld, Gjermund Grmsby og Marcus Gjems Thee Forord Denne rapporten er utarbedet av Menon Busness

Detaljer

Alternerende rekker og absolutt konvergens

Alternerende rekker og absolutt konvergens Alternerende rekker og absolutt konvergens Forelest: 0. Sept, 2004 Sst forelesnng så v på rekker der alle termene var postve. Mange av de kraftgste metodene er utvklet for akkurat den typen rekker. I denne

Detaljer

En teoretisk studie av tv-markedets effisiens

En teoretisk studie av tv-markedets effisiens NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, våren 007 Utrednng fordypnng: Økonomsk analyse Veleder: Hans Jarle Knd En teoretsk stude av tv-markedets effsens av Odd Hennng Aure og Harald Nygård Bergh Denne utrednngen

Detaljer

Notater. Marie Lillehammer. Usikkerhetsanalyse for utslipp av farlige stoffer 2009/30. Notater

Notater. Marie Lillehammer. Usikkerhetsanalyse for utslipp av farlige stoffer 2009/30. Notater 009/30 Notater Mare Lllehammer Notater Uskkerhetsanalyse or utslpp av arlge stoer vdelng or IT og metode/seksjon or statstske metoder og standarder Innhold 1. Bakgrunn og ormål.... Metode....1 Fastsettelse

Detaljer

2007/30. Notater. Nina Hagesæther. Notater. Bruk av applikasjonen Struktur. Stabsavdeling/Seksjon for statistiske metoder og standarder

2007/30. Notater. Nina Hagesæther. Notater. Bruk av applikasjonen Struktur. Stabsavdeling/Seksjon for statistiske metoder og standarder 007/30 Notater Nna Hagesæter Notater Bruk av applkasjonen Struktur Stabsavdelng/Seksjon for statstske metoder og standarder Innold 1. Innlednng... 1.1 Hva er Struktur, og va kan applkasjonen brukes tl?...

Detaljer

Er verditaksten til å stole på?

Er verditaksten til å stole på? NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, våren 2006 Er verdtaksten tl å stole på? En analyse av takstmannens økonomske relasjon tl eendomsmegler av Krstan Gull Larsen Veleder: Professor Guttorm Schjelderup Utrednng

Detaljer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer Sde: av 7 orsk akkredterng Dok.d.: VII..5 A Dok. 5: Angvelse av måleuskkerhet ved kalbrernger Utarbedet av: Saeed Behdad Godkjent av: ICL Versjon:.00 Mandatory/Krav Gjelder fra: 09.05.008 Sdenr: av 7 A

Detaljer

Notater. Asif Hayat og Terje Tveeikrem Sæter. Prisindeks for rengjøringsvirksomhet 2008/49. Notater

Notater. Asif Hayat og Terje Tveeikrem Sæter. Prisindeks for rengjøringsvirksomhet 2008/49. Notater 2008/49 Notater Asf Hayat og Terje Tveekrem Sæter Notater Prsndeks for rengjørngsvrksomhet Avdelng for nærngsstatstkk/seksjon for bygg- og tjenestestatstkk Innhold 1. Innlednng... 2 2. Internasjonale

Detaljer

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2012/2014. Individuell skriftlig eksamen. MAS 402- Statistikk. Tirsdag 9. oktober 2012 kl. 10.00-12.00

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2012/2014. Individuell skriftlig eksamen. MAS 402- Statistikk. Tirsdag 9. oktober 2012 kl. 10.00-12.00 MASTER I IDRETTSVITESKAP 0/04 Indvduell skrftlg eksamen MAS 40- Statstkk Trsdag 9. oktober 0 kl. 0.00-.00 Hjelpemdler: kalkulator Eksamensoppgaven består av 9 sder nkludert forsden Sensurfrst: 30. oktober

Detaljer

Kopi til. star ovenfor som ønsket effekt gjennom å understreke den vedvarende. fremtiden. tillegg er tre elementer; i

Kopi til. star ovenfor som ønsket effekt gjennom å understreke den vedvarende. fremtiden. tillegg er tre elementer; i - / BEFALETS FELLESORGANISASJON Forsvarsstaben Var saksbehander. Kop tl Var referanse Jon Vestl [Koptl] 2015/JV/jv 14.09.2015 953 65 907, Jon.vestl@bfo.no Internt Intern kop tl Tdlgere referanse Var Tdlgere

Detaljer

Vekst i skjermet virksomhet: Er dette et problem? Trend mot større andel sysselsetting i skjermet

Vekst i skjermet virksomhet: Er dette et problem? Trend mot større andel sysselsetting i skjermet Forelesnng NO kapttel 4 Skjermet og konkurranseutsatt vrksomhet Det grunnleggende formål med eksport: Mulggjøre mport Samfunnsøkonomsk balanse mellom eksport og mportkonkurrerende: Samme valutanntjenng/besparelse

Detaljer

SNF-rapport nr. 23/05

SNF-rapport nr. 23/05 Sykefravær offentlg og prvat sektor av Margt Auestad SNF-prosjekt nr. 4370 Endrng arbedsforhold Norge Prosjektet er fnansert av Norges forsknngsråd SAMFUNNS- OG NÆRINGSLIVSFORSKNING AS BERGEN, OKTOBER

Detaljer

Avvisning av klage på offentlig anskaffelse

Avvisning av klage på offentlig anskaffelse Klagenemnda for offentlge anskaffelser Advokatfrmaet Haavnd AS Att. Maranne H. Dragsten Postboks 359 Sentrum 0101 Oslo Deres referanse Vår referanse Dato 1484867/2 2010/128 08.03.2011 Avvsnng av klage

Detaljer

Rapport 2008-031. Benchmarkingmodeller. incentiver

Rapport 2008-031. Benchmarkingmodeller. incentiver Rapport 28-3 Benchmarkngmodeller og ncentver CO-rapport nr. 28-3, Prosjekt nr. 552 ISS: 83-53, ISB 82-7645-xxx-x LM/ÅJ, 29. februar 28 Offentlg Benchmarkngmodeller og ncentver Utarbedet for orges vassdrags-

Detaljer

Litt om empirisk Markedsavgrensning i form av sjokkanalyse

Litt om empirisk Markedsavgrensning i form av sjokkanalyse Ltt om emprsk Markedsavgrensnng form av sjokkanalyse Frode Steen Konkurransetlsynet, 27 ma 2011 KT - 27.05.2011 1 Sjokkanalyse som markedsavgrensnngsredskap Tradsjonell korrelasjonsanalyse av prser utnytter

Detaljer

Automatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning

Automatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning Bruksanvsnng System 2000 Art. Nr.: 0661 xx /0671 xx Innholdsfortegnelse 1. rmasjon om farer 2. Funksjon 2.1. Funksjonsprnspp 2.2. Regstrerngsområde versjon med 1,10 m lnse 2.3. Regstrerngsområde versjon

Detaljer

Masteroppgave i statistikk. GAMLSS-modeller i bilforsikring. Hallvard Røyrane-Løtvedt Kandidatnr. 160657

Masteroppgave i statistikk. GAMLSS-modeller i bilforsikring. Hallvard Røyrane-Løtvedt Kandidatnr. 160657 Masteroppgave statstkk GAMLSS-modeller blforskrng Hallvard Røyrane-Løtvedt Kanddatnr. 160657 UNIVERSITETET I BERGEN MATEMATISK INSTITUTT Veleder: Hans Julus Skaug 1. Jun 2012 1 GAMLSS-modeller blforskrng

Detaljer

Lise Dalen, Pål Marius Bergh, Jenny-Anne Sigstad Lie og Anne Vedø. Energibruk î. næringsbygg 1995-1997 98/47. 11 Notater

Lise Dalen, Pål Marius Bergh, Jenny-Anne Sigstad Lie og Anne Vedø. Energibruk î. næringsbygg 1995-1997 98/47. 11 Notater 98/47 Notater 998 Lse Dalen, Pål Marus Bergh, Jenny-Anne Sgstad Le og Anne Vedø Energbruk î. nærngsbygg 995-997 Avdelng for økonomsk statstkk/seksjon for utenrkshandel, energ og ndustrstatstkk Innhold.

Detaljer

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015 Fleksbelt arbedslv Befolknngsundersøkelse utført for Manpower September 015 Antall dager med hjemmekontor Spørsmål: Omtrent hvor mange dager jobber du hjemmefra løpet av en gjennomsnttsmåned (n=63) Prosent

Detaljer

Årbeidsretta tiltak og tjenester

Årbeidsretta tiltak og tjenester skal være ledende og framtdsrettet nnen tlrettelagt arbed og arbedsrelatert opplærng Hallngdal Å R S R Å P P O R T 2 0 5 Årbedsretta tltak og tjenester INNHOLD SIDE Innlednng Om : Eerforhold og lokalserng

Detaljer

Adaptivt lokalsøk for boolske optimeringsproblemer

Adaptivt lokalsøk for boolske optimeringsproblemer Adaptvt lokalsøk for boolske optmerngsproblemer Lars Magnus Hvattum Høgskolen Molde Lars.M.Hvattum@hmolde.no Arne Løkketangen Høgskolen Molde Arne.Lokketangen@hmolde.no Fred Glover Leeds School of Busness,

Detaljer

Sektoromstilling og arbeidsledighet: en tilnærming til arbeidsmarkedet 1

Sektoromstilling og arbeidsledighet: en tilnærming til arbeidsmarkedet 1 Sektoromstllng og arbedsledghet: en tlnærmng tl arbedsmarkedet 1 Joachm Thøgersen Høgskolen Østfold Arbedsrapport 2004:5 1 Takk tl Trond Arne Borgersen, Rolf Jens Brunstad og Øysten Thøgersen for nyttge

Detaljer

COLUMBUS. Lærerveiledning Norge og fylkene. ved Rolf Mikkelsen. Cappelen Damm

COLUMBUS. Lærerveiledning Norge og fylkene. ved Rolf Mikkelsen. Cappelen Damm COLUMBUS Lærervelednng Norge og fylkene ved Rolf Mkkelsen Cappelen Damm Innlednng Columbus Norge er et nteraktvt emddel som nneholder kart over Norge, fylkene og Svalbard, samt øvelser og oppgaver. Det

Detaljer

Prisindeks for godstransport på vei

Prisindeks for godstransport på vei Notater Documents 40/2012 Ftw Wolday Prsndeks for godstransport på ve Dokumentasjonsnotat Notater 40/2012 Ftw Wolday Prsndeks for godstransport på ve Dokumentasjonsnotat Statstsk sentralbyrå Statstcs

Detaljer

Kontraktstildeling med mindre prisfokus

Kontraktstildeling med mindre prisfokus Kontraktstldelng med mndre prsfokus Anskaffelsesstrateger Entreprsekjøp Oktober 014 Dr. ng Øysten H. Meland Dr. ng Øysten Meland Dr. ng Øysten Meland 3 Brukermedv./ programmerng Partnerng Kun egen spesaltet

Detaljer

Postadresse: Pb. 8149 Dep. 0033 Oslo 1. Kontoradresse: Gydas vei 8 - Tlf. 02-466850. Bankgiro 0629.05.81247 - Postgiro 2 00 0214

Postadresse: Pb. 8149 Dep. 0033 Oslo 1. Kontoradresse: Gydas vei 8 - Tlf. 02-466850. Bankgiro 0629.05.81247 - Postgiro 2 00 0214 A "..'. REW~~~~~OO ~slnmtlre STATENS ARBESMLJØNSTTUTT Postadresse: Pb. 8149 ep. 0033 Oslo 1. Kontoradresse: Gydas ve 8 - Tlf. 02-466850. Bankgro 0629.05.81247 - Postgro 2 00 0214 Tttel: OPPLEE AV HEE OG

Detaljer

KVIKKSØLVEKSPONERING VED DENTALLABORATORIER. Nils Gundersen og Arve Lie HD 807/790814

KVIKKSØLVEKSPONERING VED DENTALLABORATORIER. Nils Gundersen og Arve Lie HD 807/790814 KVIKKSØLVEKSPONERING VED DENTALLABORATORIER Nls Gundersen og Arve Le HD 807/790814 KVIKKSØLVEKSPONERING VED DENTALLABORATORIER Nls Gundersen og Arve Le HD 807/790814 l SAMMENDRAG: Rapporten omhandler bruk

Detaljer

*** Spm. 841 *** Hvilke former for sparing og pengeplasseringer for folk flest kan du nevne?

*** Spm. 841 *** Hvilke former for sparing og pengeplasseringer for folk flest kan du nevne? *** Spm. 841 *** Hvlke former for sparng og pengeplassernger for folk flest kan du nevne? Ch2 nvå(w): 5.0% Kjønn Alder Husstandsnntekt Landsdel Utdannng Radene er rangert Vderegåen Møre Ung- 60 år Under

Detaljer

Bente Halvorsen, Bodil M. Larsen og Runa Nesbakken

Bente Halvorsen, Bodil M. Larsen og Runa Nesbakken 2005/8 Rapporter Reports Bente Halvorsen, Bodl M. Larsen og Runa Nesbakken Prs- og nntektsfølsomet ulke usoldnngers etterspørsel etter elektrstet, fyrngsoler og ved Statstsk sentralbyrå Statstcs Norway

Detaljer

FAUSKE KOMMUNE. Budsjett Regnskap Periodisert AWík i kr Forbruk i % I 3 015 971 1 304 248 1711 723 r 173 % I

FAUSKE KOMMUNE. Budsjett Regnskap Periodisert AWík i kr Forbruk i % I 3 015 971 1 304 248 1711 723 r 173 % I SAKSPAPR FAUSKE KOMMUNE 11/9981 Arkv JoumalpostD: sakd.: 11/2331 Saksbehandler: Jonny Rse Sluttbehandlede vedtaksnstans: Kommunestye Sak nr.: 002/12 FORMANNSKAP Dato: 31.10.2011 013/12 KOMMUNESTYRE 08.11.2011

Detaljer

Oppvarming og innetemperaturer i norske barnefamilier

Oppvarming og innetemperaturer i norske barnefamilier Ovarmng og nnetemeraturer norske barnefamler En analyse av husholdnngenes valg av nnetemeratur Henrette Brkelund Masterogave samfunnsøkonom ved Økonomsk Insttutt UNIVERSITETET I OSLO 13.05.2013 II ) Ovarmng

Detaljer

Innholdsfortegnelse. Innledning. I. Teorigrunnlag, s. 5

Innholdsfortegnelse. Innledning. I. Teorigrunnlag, s. 5 Innholdsfortegnelse Innlednng I. Teorgrunnlag, s. 5 a) Nyklasssk nytteteor, s. 5 b) Utvdet nyttebegrep, s. 6 c) Lneære utgftssystemer, s. 7 d) Mellom-menneskelg påvrknng, s. 8 e) Modernserng og bostedspåvrknng,

Detaljer

Medarbeiderundersøkelsen 2009

Medarbeiderundersøkelsen 2009 - 1 - Medarbederundersøkelsen 2009 Rapporten er utarbedet av B2S AS - 2 - Innholdsfortegnelse Forsde 1 Innholdsfortegnelse 2 Indeksoverskt 3 Multvarate analyser Regresjonsanalyse 5 Regresjonsmodell 6 Resultater

Detaljer

Bente Halvorsen, Bodil M. Larsen og Runa Nesbakken

Bente Halvorsen, Bodil M. Larsen og Runa Nesbakken 2007/7 Raorter Reorts Bente alvorsen, Bodl M. Larsen og Runa Nesbakken Smulerng av usoldnngenes elektrstetsforbruk Dokumentason og anvendelser av mkrosmulerngsmodellen SE Statstsk sentralbyrå Statstcs

Detaljer

Analyse av konkurransen om annonsekronene i det norske bladmarkedet

Analyse av konkurransen om annonsekronene i det norske bladmarkedet NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, våren 006 Analyse av konkurransen om annonsekronene det norske bladmarkedet Hlde Chrstn Eken Veleder: Førsteamanuenss Øysten Foros Masterutrednng fordypnngsområde strateg

Detaljer

Leica DISTO TM D410 The original laser distance meter

Leica DISTO TM D410 The original laser distance meter Leca DISTO TM D410 The orgnal laser dstance meter Innholdsfortegnelse Oppsett av nstrumentet - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Introduksjon - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Detaljer

Laser Distancer LD 420. Bruksanvisning

Laser Distancer LD 420. Bruksanvisning Laser Dstancer LD 40 no Bruksanvsnng Innhold Oppsett av nstrumentet - - - - - - - - - - - - - - - - Innlednng- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Overskt - - - - - - - - - -

Detaljer

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004 Postve rekker Forelest: 3. Sept, 004 V skal tde utover fokusere på å teste om e rekke kovergerer, og skyve formler for summerg bakgrue. Dette er gje ford det første målet vårt er å lære hvorda v ka fe

Detaljer

Thor Herman Christensen, Einar Eide og Arild Thomassen

Thor Herman Christensen, Einar Eide og Arild Thomassen 2006/2 Rapporter Reports Thor Herman Chrstensen, Enar Ede og Arld Thomassen Prsndeks for nye flerbolghus Statstsk sentralbyrå Statstcs Norway Oslo Kongsvnger Rapporter Reports I denne seren publseres statstske

Detaljer

Hjertelig velkommen til SURSTOFF

Hjertelig velkommen til SURSTOFF Hjertelg velkommen tl SURSTOFF V er så ufattelg glade over å kunne nvtere drftge kulturnærngsgründere tl en felles møteplass. V håper du kommer!! Praktsk nformasjon Når: Hvor: Prs: Påmeldng: Mer nformasjon:

Detaljer

Arbeidpartiets stortingsgruppe, tilkn),ttet informasjons- og kommunikasjonsavdelingen. Trainee-perioden varer i tre måneder, så det er vel

Arbeidpartiets stortingsgruppe, tilkn),ttet informasjons- og kommunikasjonsavdelingen. Trainee-perioden varer i tre måneder, så det er vel TRÅNEE TRANEE Som tranee for Arbederpartets stortngsgruppe har Brgt Skarsten har.net mdt smørøyet. 23-årngen har tatt ett års pause fra studene statsvtenskap ved Unverstetet Oslo, ford hun har påtatt seg

Detaljer

I denne delen av årsrapporten presenterer IMDi status på integreringen på noen sentrale områder. Hvilken vei går utviklingen, hvor er vi i rute, hva

I denne delen av årsrapporten presenterer IMDi status på integreringen på noen sentrale områder. Hvilken vei går utviklingen, hvor er vi i rute, hva 8 I denne delen av årsrapporten presenterer IMD status på ntegrerngen på noen sentrale områder. Hvlken ve går utvklngen, hvor er v rute, hva er utfordrngene og hva bør settes på dagsorden? Du får møte

Detaljer

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015 Fleksbelt arbedslv Befolknngsundersøkelse utført for Manpower September 2015 Prvate gjøremål på jobben Spørsmål: Omtrent hvor mye td bruker du per dag på å utføre prvate gjøremål arbedstden (n=623) Mer

Detaljer

Statens vegvesen. Vegpakke Salten fase 1 - Nye takst- og rabattordninger. Utvidet garanti for bompengeselskapets lån.

Statens vegvesen. Vegpakke Salten fase 1 - Nye takst- og rabattordninger. Utvidet garanti for bompengeselskapets lån. Fauske kommune Torggt. 21/11 Postboks 93 8201 FAUSKE. r 1'1(;,. ',rw) J lf)!ùl/~~q _! -~ k"ch' t ~ j OlS S~kÖ)Ch. F t6 (o/3_~ - f' D - tf /5Cr8 l Behandlende enhet Regon nord Sa ksbeha nd er/ n nva gsn

Detaljer

Påvirket Science -saken etterspørselen etter fersk laks i EU

Påvirket Science -saken etterspørselen etter fersk laks i EU Påvrket Scence -saken etterspørselen etter fersk laks EU av Anders Wesener Mastergradsoppgave Samfunnsøkonom (30 stp) Insttutt for økonom Norges Fskerhøgskole Unverstetet Tromsø Desember 2006 Innholdsfortegnelse

Detaljer

Sannsynlighet seier noko om kor truleg det er at ei hending får eit bestemt utfall. Ein matematisk definisjon på sannsynlighet er:

Sannsynlighet seier noko om kor truleg det er at ei hending får eit bestemt utfall. Ein matematisk definisjon på sannsynlighet er: Dette notatet bygger på Append C I Dngamn, og er et forsøk på å gje en kort og enkel nnførng vktge statskske begrep me vl få bruk for GF-GG4. Sannsynlghet seer noko om kor truleg det er at e hendng får

Detaljer

Ambulanseflystruktur og operativ/teknisk kravspesifikasjon. Høringsuttalelser (ajour 26.01.2007) Kommentarer beredskap

Ambulanseflystruktur og operativ/teknisk kravspesifikasjon. Høringsuttalelser (ajour 26.01.2007) Kommentarer beredskap Ambulanseflystruktur og operatv/teknsk kravspesfkasjon. Hørngsuttalelser (ajour 26.01.2007) Hørngsnstans Kommentar basestruktur Kommentarer beredskap Kommentarer tlbudsdok/ kravspek Andre kommentarer RHF:

Detaljer

TheraPro HR90. 2. Kort veiledning. 1. Leveringsomfang

TheraPro HR90. 2. Kort veiledning. 1. Leveringsomfang . Kort velednng TheraPro HR9. Leverngsomfang Elektronsk radatortermostat I paknngen med radatortermostaten f nner du: 4 Den elektronske radatortermostaten regulerer romtemperaturen nøyaktg tl nnstlt verd

Detaljer

HR92. 2. Kort veiledning. 1. Leveringsomfang

HR92. 2. Kort veiledning. 1. Leveringsomfang 2. Kort velednng 2443 Radatortermostaten HR92 er eu.bacsertfsert.. Leverngsomfang HR92 Trådløs Elektronsk Radatortermostat I paknngen med radatortermostaten fnner du: 2 3 4 Honeywell HR92 er en trådløs

Detaljer

ECON 2915 forelesning 3. Malthus teori. Befolkningsvekst. Solow-modellen. Malthus teori. Befolkningsvekst i. Solowmodellen. Fredag 6.

ECON 2915 forelesning 3. Malthus teori. Befolkningsvekst. Solow-modellen. Malthus teori. Befolkningsvekst i. Solowmodellen. Fredag 6. forelesnng 3 Malthus teor. Befolknngsvekst ECON 2915 forelesnng 3 Malthus teor. Befolknngsvekst Solow-modellen. Fredag 6.september, 2013 forelesnng 3 Malthus teor. Befolknngsvekst Fgure 4.1: Relatonshp

Detaljer

Eksperter i Team Landsby 27, gruppe 3 Stein En mangelvare? Prosjektrapport, Eksperter i Team Landsby 27, Gruppe 3 Stein- en mangelvare?

Eksperter i Team Landsby 27, gruppe 3 Stein En mangelvare? Prosjektrapport, Eksperter i Team Landsby 27, Gruppe 3 Stein- en mangelvare? Eksperter Team Landsby 27, gruppe 3 Sten En mangelvare Prosjektrapport, Eksperter Team Landsby 27, Gruppe 3 Sten- en mangelvare FRA STEIN TIL STØV Hege Merete Aukrust Lene Krstne Johansen Stne Lberg Sannes

Detaljer

Felles akuttilbud barnevern og psykiatri. Et prosjekt for bedre samhandling og samarbeid rundt utsatte barn og unge i Nord-Trøndelag

Felles akuttilbud barnevern og psykiatri. Et prosjekt for bedre samhandling og samarbeid rundt utsatte barn og unge i Nord-Trøndelag Felles akuttlbud barnevern og psykatr Et prosjekt for bedre samhandlng og samarbed rundt utsatte barn og unge Nord-Trøndelag Sde 1 Senorrådgver Kjell M. Dahl / 25.02.2011 Ansvarsfordelng stat/kommune 1.

Detaljer

II Sak nr.: 040111 I DRIFTSUTVALG./ I Dato: 27.04.2011

II Sak nr.: 040111 I DRIFTSUTVALG./ I Dato: 27.04.2011 SAKSPAPIR FAUSKE KMMUNE I Arkv JournalpostID: sakid.: 11/77 11/1675 Sluttbehandlede vedtaksnnstans: Drfts:tvalget /(cn",ia"~/"~ I I Saksbehandler: Gunnar Sveen II Sak nr.: 040111 I DRIFTSUTVALG./ I Dato:

Detaljer

Innhold 1 Generelt om strategien...3 2 Strategiens resultatmål...7 3 Igangsatte tiltak...15 4 Annen aktivitet...23

Innhold 1 Generelt om strategien...3 2 Strategiens resultatmål...7 3 Igangsatte tiltak...15 4 Annen aktivitet...23 Innhold 1 Generelt om strategen...3 1.2 Innlednng...3 1.3 Sammendrag...4 1.4 Kunnskapsutvklng...5 Bolgsosalt studum...5 Kollegavurdernger...5 Erfarngsutvekslng...5 På ve tl egen bolg vekker nternasjonal

Detaljer

Subsidiering av Forskning og Utvikling

Subsidiering av Forskning og Utvikling Subsderng av Forsknng og Utvklng Av Lala Berg Nlsen Mastergradsoppgave samfunnsøkonom 30 studepoeng Insttutt for økonom Norges fskerhøgskole Unverstetet Tromsø Ma 008 Forord I Forord Valget av tema for

Detaljer

DET KONGELIGE FISKERI- OG KYSTDEPARTEMENT. prisbestemmelsen

DET KONGELIGE FISKERI- OG KYSTDEPARTEMENT. prisbestemmelsen DET KONGELIGE FISKERI- OG KYSTDEPARTEMENT Fskebãtredernes forbund Postboks 67 6001 ALESUND Deres ref Var ref Dato 200600063- /BSS Leverngsplkt for torsketrálere - prsbestemmelsen V vser tl Deres brev av

Detaljer

Styrets beretning pr. 30.06.2014

Styrets beretning pr. 30.06.2014 (2 DANICA PENSJON ER ET SELSKAP I DANSKE Styrets beretnng pr. 30.06.2014 BANKKONSERNET, ET AV NORDENS LEDENDE FINANSKONSERN. Danca PensjonsforskrngAS oppnådde pr. 30.06.2014: VART MORSELSKAP DANICA PENSION

Detaljer

U-land eller i-land hvor ligger løsningen på klimaproblemet?

U-land eller i-land hvor ligger løsningen på klimaproblemet? Uland eller land hvor lgger løsnngen på klmaproblemet? Økonomske analyser 3/2008 Uland eller land hvor lgger løsnngen på klmaproblemet? Bjart Holtsmark Løsnngen på klmautfordrngen lgger lten grad begrensnng

Detaljer

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall - Prognoser SARPSBORG 0102 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall - Prognoser SARPSBORG 0102 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO FOLETELLINGEN. NOVEBER 0 Tellngsresultater Tlbakegående tall - Prognoser SARPSBORG 00 STATISTIS SENTRALBYRÅ - OSLO ERNADER TIL ART OG TABELLER I seren "Tellngsresultater - Tlbakegående tall - Prognoser"

Detaljer

HI-FI KOMPONENTSYSTEM

HI-FI KOMPONENTSYSTEM VENNLIGST MERK: Dne høyttalere (følger kke med) kan være forskjellge fra de som er llustrert dette nstruksjonsheftet. modell RNV70 HI-FI KOMPONENTSYSTEM Vedlkehold og spesfkasjoner Du MÅ lese bruksanvsnngen

Detaljer

å påse at åleyngelen har å stenge 171/93/585.2 42/93/JN 06.01.93 NINA Forskningsetasjon Ims 4300 SANDNES

å påse at åleyngelen har å stenge 171/93/585.2 42/93/JN 06.01.93 NINA Forskningsetasjon Ims 4300 SANDNES Vr ref. Vr dato 171/93/585.2 NL E flvøba/0ba 1993 NORGES VASSORAGS. OG ENERGIVERK DereB ref. Deres dato 42/93/JN 06.01.93 NINA Forsknngsetasjon Ims 4300 SANDNES Saksbehandler: øvnd B. Anders, VK 22 95

Detaljer

Informasjon om studiemodellene heltid og deltid

Informasjon om studiemodellene heltid og deltid Informasjon om studemodellene heltd og deltd Innhold Om førskolelærerutdannngen - heltd og deltd 2 Hva utdannngen kvalfserer for...2 Utdannngens mål...2 Oppdragermandatet - nær sammenheng mellom teor og

Detaljer

Referanseveiledning. Oppsett og priming

Referanseveiledning. Oppsett og priming Referansevelednng Oppsett og prmng Samle følgende utstyr før Oppsett: Én 500 ml eller 1000 ml pose/flaske med prmngløsnng (0,9 % NaCl med 1 U/ml heparn tlsatt) Én 500 ml eller 1000 ml pose med normalt

Detaljer

Kultur- og mediebruk blant personer med innvandrerbakgrunn Statistisk sentralbyrå Statistics Norway

Kultur- og mediebruk blant personer med innvandrerbakgrunn Statistisk sentralbyrå Statistics Norway Odd Frank Vaage Kultur- og medebruk blant personer med nnvandrerbakgrunn Resultater Kultur- og medebruksundersøkelsen 2008 og tlleggsutvalg blant nnvandrere og norskfødte med nnvandrerforeldre Statstsk

Detaljer

Rapport 2/2003. Marginalkostnader i jernbanenettet. Øystein Børnes Daljord

Rapport 2/2003. Marginalkostnader i jernbanenettet. Øystein Børnes Daljord Rapport 2/2003 Margnalkostnader jernbanenettet Øysten Børnes Daljord Stftelsen Frschsenteret for samfunnsøkonomsk forsknng Ragnar Frsch Centre for Economc Research Rapport 2/2003 Margnalkostnader jernbanenettet

Detaljer

Geometriske operasjoner

Geometriske operasjoner Geometrske operasjoner INF 23 27.2.27 Kap. 9 (samt 5.5.2) Geometrske operasjoner Affne transformer Interpolasjon Samregstrerng av blder Endrer på pkslenes possjoner ransformerer pkselkoordnatene (x,) tl

Detaljer

Bruksanvisning. Romtemperaturregulator med klokke 0389..

Bruksanvisning. Romtemperaturregulator med klokke 0389.. Bruksanvsnng Romtemperaturregulator med klokke 0389.. Innholdsfortegnelse Normalvsnng på dsplayet...3 Grunnleggende betjenng av romtemperaturregulatoren...3 Overskt over dsplayvsnnger og taster...3 Om

Detaljer

Omsettelige grønne sertifikater under autarki og handel: Noen analytiske resultater*

Omsettelige grønne sertifikater under autarki og handel: Noen analytiske resultater* Norsk Økonomsk Tdsskrft 119 (2005) s. 1-15 Omsettelge grønne sertfkater under autark og handel: Noen analytske resultater* Erk S. Amundsen A og Gjermund Nese B Sammendrag: En rekke land har planer om å

Detaljer

NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIDGE Av Hans-Wilhelm Mørch.

NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIDGE Av Hans-Wilhelm Mørch. NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIGE A Hans-Wlhelm Mørch. SANNSYNLIGHETER FOR HVORAN TRUMFEN(ELLER ANRE SORTER) ER FORELT Anta at du mangler n kort trumffargen. Ha er sannsynlgheten for at est har a a dem? La

Detaljer

IN1 Audio Module. Innføring og hurtigreferanse

IN1 Audio Module. Innføring og hurtigreferanse IN Audo Module Innførng og hurtgreferanse Les heftet med skkerhetsnstruksjoner før du tar bruk lydmodulen. Pakk ut av esken Innhold: A/V-kabler følger kke med. Dsse kan kjøpes fra www.nfocus.com/store

Detaljer

ZENITH BRUKERMANUAL. UM_NO Delenummer: 1704262_00 Dato: 25/11/2014 Oversettelser av Originale Instruksjoner

ZENITH BRUKERMANUAL. UM_NO Delenummer: 1704262_00 Dato: 25/11/2014 Oversettelser av Originale Instruksjoner BRUKERMANUAL UM_NO Delenummer: 1704262_00 Dato: 25/11/2014 Oversettelser av Orgnale Instruksjoner R INDEX GENERELT...3 Introduksjon...4 Advarsler...4 Forholdsregler...5 Tltenkt bruk...6 OVERSIKT OVER DELER...9

Detaljer

NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL

NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL Norman & Orvedal, kap. 1-5 Bævre & Vsle Generell lkevekt En lten, åpen økonom Nærngsstruktur Skjermet versus konkurranseutsatt vrksomhet Handel og komparatve fortrnn

Detaljer

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. B. Makroøkonomi. Mundells trilemma går ut på følgende:

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. B. Makroøkonomi. Mundells trilemma går ut på følgende: B. Makroøkoom Oppgave: Forklar påstades hold og drøft hvlke alteratv v står overfor: Fast valutakurs, selvstedg retepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forelg på samme td. Makroøkoom Iledg Mudells trlemma

Detaljer

porsche design mobile navigation ß9611

porsche design mobile navigation ß9611 porsche desgn moble navgaton ß9611 [ NO ] Innhold 1 Innlednng ---------------------------------------------------------------------------------------------- 07 1.1 Om denne håndboka ----------------------------------------------------------------------------------------

Detaljer

Kategoristyring av innkjøp i Helse Nord. Beskrivelse av valgt organisasjonsmodell

Kategoristyring av innkjøp i Helse Nord. Beskrivelse av valgt organisasjonsmodell Kategorstyrng av nnkjøp Helse Nord Beskrvelse av valgt organsasjonsmodell 16. jul 2014 Dokumenthstorkk: Oppdatert etter nnspll fra Styrngsgruppa 24. ma 2012 oppdatert 6. desember 2013 av TAW etter møte

Detaljer

Referanseveiledning. Oppsett og priming med forhåndstilkoblet slangesett

Referanseveiledning. Oppsett og priming med forhåndstilkoblet slangesett Referansevelednng Oppsett og prmng med forhåndstlkoblet slangesett Samle følgende utstyr før Oppsett: Én 500 ml eller 1000 ml pose/flaske med normalt saltvann med (1) enhet (U) heparn per mlllter (ml)

Detaljer

Overføringer mellom foreldre og barn. I hvor stor grad er foreldre styrt av altruisme?

Overføringer mellom foreldre og barn. I hvor stor grad er foreldre styrt av altruisme? Overførnger mellom foreldre og barn Økonomske analyser 5/2007 Overførnger mellom foreldre og barn. I hvor stor grad er foreldre styrt av altrusme? Eln Halvorsen og Thor Olav Thoresen Foreldre etterlater

Detaljer

29.11.1989 Rådet for funksjonshemmede, Oslo. «Samarbeidsformer - samferdselsetat, brukere og utøvere»

29.11.1989 Rådet for funksjonshemmede, Oslo. «Samarbeidsformer - samferdselsetat, brukere og utøvere» 29.11.1989 Rådet funksjonshemmede, Oslo. «Samarbedsmer - samferdselsetat, brukere og utøvere»..\ 1/ Å f / \j.xx / "I /X FMR - 7 T T U; ' 0'\J0 =-l:p.;.r1u'jv:-. os;'.-::-- ---: -..l1. E:T

Detaljer

Norden HISTORISK OMPROFILERING. Konserninformasjon fra Posten Norge 6. september 2008

Norden HISTORISK OMPROFILERING. Konserninformasjon fra Posten Norge 6. september 2008 Norden HISTORISK OMPROFILERING To sterke merkevarer skal samarbed vnne fram Norge og Norden. Sde 2 Fargerk forvandlng Rødt og grønt, hånd hånd. Posten og Brng sne nye logoer spller på lag. Sde 6-7 Nytt

Detaljer

NYE SEGMENTER PÅ OSLO BØRS

NYE SEGMENTER PÅ OSLO BØRS Deres ref: Vår ref: 266756 Dato: 30.10.2003 NYE SEGMENTER PÅ OSLO BØRS 1. Innlednng Oslo Børs har den senere td arbedet med en ny modell for segmenterng av de børsnoterte selskapene. Bakgrunnen for dette

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 9. ma 7 EKSAMEN I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).

Detaljer

INNVANDRERNE I ARBEIDSMARKEDET

INNVANDRERNE I ARBEIDSMARKEDET C v t a - n o t a t nr.7 / 2008 INNVANDRERNE I ARBEIDSMARKEDET Artkkel FNs ntnasjonale konvensjon om økonomske, sosale og kulturelle rettghet fastslår retten for enhv tl å ha en tlfredsstllende levestandard

Detaljer