Funksjoner. 1. Elementære funksjoner: 2. Derivasjon og integrasjon: b = lnb ln a b) ln(ab) = ln A + ln B, ln A = ln A ln B sin c) sin 2 x + cos 2 x

Transkript

1 Fukjoer. Elemetære fukjoer: ) l y y e b log b lb l b) l(a l A + l B, l A l A l B B i c) i + co t co l A u ul A cot t c) i( ± y) i co y ± co i y, co( ± y) co co y m i i y d) i i co co co i co i e) t ± t y t( ± y) m t ty f) cou cov (co(u + v) + co(u v)) g) iu cov (i(u + v) + i(u v)) iui v (co(u v) co(u + v)) h) Ai ± B co A + B i( ±φ) der A >, B >,t φ B A og <φ<π. Derivjo og itegrjo: ) b) c) d df du f (g()) der u g() (kjereregel) d du d df () der y f () d f (y) u( ) d f (t)dt f (u) d du v( ) d ( er e kott) d f (t)dt d u( ) d) (g() + h( ))d g()d + h()d e) kg()d k g()d (k er e kott) f) f (g( )) g ()d f (u)du der u g() og du g ()d g) u() v ()d u()v() v() u ()d (Regel for derivert v iver fukjo) f (v) dv du f (u) d d

2 h) f ( ) l e r i co t cot rct rci rcco t f ( ) r e r l co i + t co i + f ( ) e år co i co i + i co t + + C + l + C e f ( ) d + C i + C co + C t + C cot + C rct + C rci + C i + C 4 + i + C 4 t + C t + C 3. Momet og tygdepukt: da r ke Sttik momet v flteelemet med hey på ke: dm rda Treghetmomet v flteelemet med hey på ke: di r da For kurveelemet d: dm rd, di r d ke G r G Sttik momet v fltetykke med hey på ke: M r G A der G er tygdepuktet og A relet v fltetykket For kurvetykke: M r G der G er tygdepuktet og er legde v kurvetykket.

3 4. Numerike metoder ) Rektgel- (midtpukt-) formel: b f ()d b (y + y + + y ), y k f ( + (k ) b ) 3 b) Trpeformele: b b f ()d ( y + y + y + y + + y ), y k f ( + k b ) c) Simpo formel: b b f ()d 6 (y + 4y + y + + 4y + y ), y k f ( + k b ) d) Newto metode: Velg lik t f ( ) + f ( ), f ( ),,... Hvi lim å er f () e) Euler metode for løig v differeilligige dy f (, y): d, y b og + h, y y + f (, y )h,,, Differeillikiger v. orde Differeillikige y + b y + cy, der,b og c er kotter og -, hr de geerelle løige ) y C e r + C e r hvi λ + bλ +c hr to ulike reelle røtter r og r b) y (C + C )e r hvi λ + bλ +c hr dobbelrote r c) y e α (Acoβ + B iβ) hvi λ + bλ +c hr kompleke røtter α ± iβ 6. Kompleke tll: ) Norml-form: z + iy. Her er Re(z) (reldele) og y Im(z) (imgiærdele) b) z iy (kojugert), z + y (modul) c) Avtde fr z til z : z z d) Polr / Ekpoeiell form: iθ z re der r z og θ rg z e) Euler formel: iθ e coθ +i iθ f) De Moivre formel: (coθ +i iθ) co θ+iiθ

4 4 ieær lgebr. Vektorregig ) Sklrprodukt mellom vektoree [,, 3 ] og b [ b,b,b 3 ] med legde θ b b + b + 3 b 3 b b coθ derθ er vikele mellom vektoree ( θ π) ) b) Vektorprodukt mellom vektoree,, 3 i j k b 3 b b i b b b 3 c) Projekjoe v e vektor [, ] 3 på vektore er gitt ved b proj b b b b [ ] og b [ b,b,b 3 ] b [ b, b b ],. ijer og pl i rommet Koorditer til et pukt Pyz (,, ) på e rett lije med retigvektor r [, b, c] T om går gjeom puktet P(, y, z) er gitt ved OP OP + + t r PP OP, det vil i y y t b + z z c r Et pl om går gjeom puktet P (, y, z) og hr ormlvektor r vil gå gjeom pktet Pyz (,, ) derom PP Plet likig er ltå A ) + B( y y ) + C( z z ) ( 3. Avtdformler ) Avtd fr pukt, y, ) i rommet til pl ( z A + By + Cz D 3 [ A, B, C] A + By + Cz D d A + B + C b) Avtd fr pukt P i rommet til lije gjeom pukt P med retigvektor v v P P d v

5 4. Mtriemultiplikjo 5 A [ ij ] m p - mtrie og B[b ij ] p - mtrie. p AB C [ c ij ] der c ij ik b kj, i,,..,m, j,,..., k 5. Regeregler for mtrier A og B er mtrier, k og p er reelle (eller kompleke) kotter ) (ka)b k(a A(k Skrive kab b) A(BC) (AC Skrive ABC c) (A + C AC + BC d) C(A + CA + CB e) k(a + ka + kb f) (k+p)a ka + pa g) AA A A I h) Merk t for mtriemultiplikjo gjelder ikke de kommuttive lov. ltå AB BA gjelder ikke geerelt. i) (A B A j) (A T B T A T k) (A T ) (A ) T 6. Iver mtrie (kofktorform) At A er e ikke-igulær -mtrie. C C C C D er A C C der C jk er kofktore til jk i A. det A... C C C 7. Egeverdier, egevektorer At t A er e vilkårlig - mtrie. Derom e vektor tilfredtiller likige A λ, er λ e egeverdi til A og e tilhørede egevektor. Egeverdier fie v likige det( A λi) 8. Digolierig Når A hr lieært uvhegige egevektorer fie e ikke- igulær mtrie X lik t X AX D er e digolmtrie med egeverdiee på digole.

6 9. Cyley-Hmilto etige Hvi A er e -mtrie med krkteritik likig λ + c λ + c λ cλ + c, vil mtrie A tilfredtille likige A + c A + c A ca + ci 6. Rotjomtrier coθ iθ coθ iθ A iθ coθ B C iθ coθ A roterer et objekt e vikel θ rudt z-ke (retig fr til y) B roterer et objekt e vikel θ rudt y-ke (retig fr z til ) B roterer et objekt e vikel θ rudt -ke (retig fr y til z) coθ iθ iθ coθ. Regeregler for determiter A og B - mtrier ) det A det A T b) Determite kifter forteg hvi to rekker ( koloer ) bytter pl. c) Drom rekkee (koloee) er lieært vhegige er determite d) E felle fktor i e rekke eller koloe k ette utefor. (Koekve det ka k det A) e) E determit k utvikle etter e vilkårlig rekke eller koloe. f) Derom e rekke eller koloe er e um med to ledd, k determite plte opp. F ek. b + c b d e+ f d e + c d f g) Til e rekke (koloe) k ddere e kott multipliert med e e rekke (koloe) ute t determite fordrer verdi. h) Determite til e trigulær mtrie er lik produktet v elemetee på hoveddigole. i) det (A det A det B det(a ) det A k) det A A ikke-igulær

7 7 Dikret mtemtikk. Megdelære ) Kommuttive lover: A B B A, A B B A b) Aoitive lover: ( A C A (B C), (A C A (B C) c) Ditributive lover: A (B C) (A (A C), A (B C) ( A (A C) d) Idetitetlovee: A Ø A, A U A, U er grumegde e) Komplemetærlovee: A A U, A A Ø, A A, U er grumegde f) de Morg' lover: A B A B, A B A B. ogikk ) Dobbel egjo: p p b) Kommuttive lover: ( p q) (q p), (p q) (q p) c) Aoitive lover: [( p q) r] [ p (q r)], [(p q) r] [ p (q r)] d) Ditributive lover: [( p (q r)] [( p q) (p r)], [( p (q r)] [(p q) ( p r)] e) de Morg lover: (p q) ( p q), ( p q) ( p q) 3. Differelikiger v. orde ikige u + + u + + bu, der og b er kotter, hr de geerelle løige ) u hvi hr to ulike reelle røtter Ap + Bp p + p + b p og p b) y (A + p hvi p + p + b hr dobbelrote p c) u hvi hr kompleke røtter α ± r (A coθ +B iθ ) p + p + b iβ Her er r α+iβ og θrg(α +iβ)

8 8 Rekker. Aritmetik rekke + ( ) d d er rekke differe Summe v de førte leddee i e ritmetik rekke + Geometrik rekke, ledd k k er rekke kvotiet Summe v de førte leddee i e geometrik rekke Summe v e koverget geometrik rekke Retereteformele (luttverdie) Nåverdi. Koverge ) Forholdkriteriet: ( k ) Gjelder for k. Hvi k er k Gjelder for <k< k S år p Verdie K om år v et beløp K K ( + ) K i dg K Verdie K K i dg vrer til et p ( + ) beløp K i dg u Derom lim + k, å er rekke u u koverget hvi k < og diverget hvi k > 3. Poterekker ) Tylorrekke: f () k b) Mclurirekke: f () f (k) () k! k ( ) k f (k) () k k!

9 9 c) Speielle rekker: e k + + k!! + 3 3! + k ( ) k k co (k)!! + 4 4! + k ( ) k k+ i 3 (k +)! 3! + 5 5! k k < < k ( ) k+ k l( + ) k for < k ( + ) m m for, k k < < k m k m m(m )( m ) (m k +) k!

10 4. Fourierrekker ) Periodike fukjoer f ( t) være e periodik fukjo med periode T. Fourier-rekke til f er e rekke på forme π t ( ) + ( co( ωt) + b i( ωt)), der ω og koeffiietee er gitt ved b f t dt f t t dt ( ) ( ) co( ω ),,, f t t dt ( ) i( ω ),,, b) Fukjoer defiert på [, ] π Coiurekke: () t + co( t ) f () t dt der f t π ( ) co( t ) dt,,... Siurekke: π ( t) b i( t ) der b,,,3... f t π ( ) i( t ) dt c) Koverge v Fourier-rekke Fourier-rekke til f (t) kovergerer mot f (t) i pukter der f er kotiuerlig (t) ( f (t+) + f (t )) i pukter der f er dikotiuerlig d) Speielle trigoometrike itegrler co i co d + i co i d i co i 3 co d co i co 4 i d co i co i 5 co d i co i co 6 i d

11 plcetrformjoer. Geerelle trformjoregler I t { f ( t)} F( ) f ( t) e dt Defiijo II { f ( t) + bg( t)} { f ( t)} + b{ g( t)},b kotter ieritet III { f ( kt)} F( ), F( ) { f ( t)} k k Skledrig IV { f ( t)} { f ( t)} f () Trform v derivert IVb { f ( t)} { f ( t)} f () f () ( ) ( ) IVc { f ( t)} { f ( t)} f () f ()... f () IVd t { f ( u) du} { f ( t)} Trform v itegrl d Derivert v V { t f ( t)} ( ) { f ( t)},,, 3,... trform d VI { e t f ( t)} F( ) der F( ) { f ( t)}.kiftetig -forkyvig VII { f ( t ) u( t )} e { f ( t)}, >.kiftetig t-fokyvig VIIb { ( ) ( )} f t u t e { f ( t + )}, > VIIc { e F( )} f ( t ) u( t ) der f ( t) { F( )}og > VIII t {( f g)( t)} { f ( t)}{ g( t)} der ( f g)( t) f( u) g( t u) du Kovolujo VIIIb ( f g)( t) { { f ( t) } { g( t) }}

12 . Speielle trformjoer Tbell f() t F () t 3 t! e t ih t coh t iωt 8 coωt 9 u( t ) Tbell b Ivertbell F() { F( )} f ( t) ω + ω 7 +ω 8 e 9 δ(t ) e 3 4 t,,,3,.. t ( )! e t + t e t,,,3,.. ( + ) ( )! ( + )( + b), b b (e t e bt ) ( + )( + b), b b (be bt e t ) +ω i ωt ω +ω coωt α α ihαt α coh αt ( +ω ) 3 (iωt ωt coωt) ω t ( +ω ) ω iωt (iωt ( +ω ) +ωtcoωt) ω 5 3 ( +ω ) coωt ωt iωt e 6 u( t ) 7 e δ(t )

13 3 Fukjoer v flere vrible..derivert-tet Klifierig v kritike pukter for fukjoe ff(,y) Puktet (, b) et kritik pukt lik t f f (,b) y (,b). A f (,b), B f y (,b), C f (,b), AC B y f hr loklt miimum i(, b) år > og A >. f hr loklt mkimum i(, b) år > og A <. f hr delpukt i (, b) år <.. grgelikigee Ektremlverdiee til fukjoe f kl fie. g(, y) () ) vrible og betigele grdf λgrdg (,3) g(, y, z) () b) 3 vrible og betigele grdf λgrdg (,3,4) g(, y, z), () c) 3 vrible og betigeler h(, y,z), () grdf λgrdg +µgrdh (3,4,5) 3. Multiple itegrler ) Dobbeltitegrl fr krteike- til polrkoorditer: f (, y)da f (r coθ,r i θ)rdrdθ R R* b) Trippelitegrl fr krteike- til yliderkoorditer: T g (,) rθ f (, y, z) dv f ( r co θ, r i θ, z) dzda, da rdrdθ D g (,) rθ 4. Arel v flte S gitt ved z h(, y), (, y) ε D: A ds + h + hy da S D

14 Vektorlye. Diverge og curl til vektorfeltet F(, y, z) PQR,, 4 F P + Q y + R z, F R y Q z,p z R,Q P y dr. ijeitegrl F( yz,, ) dr F( t (), yt (), zt ()) dt dt 3. Gree teorem: C β α C: r (t), y(t),z(t), α t β ( y C R Pd + Qdy Q P da 4. Redukjo v flteitegrl til dobbeltitegrl: f (,y,z)ds f (, y,h(, y)) + h + hy da, S:z h(, y), (, y) D S D 5. Ehetormler på e flte S: ) Når S er gitt ved z h(, y) : ± h, h y, b) Når S er gitt ved f(, y, z) : ± f f + h + h y 6. Redukjo v flukitegrl til dobbeltitegrl: F ± ds P,Q,R ] zh(,y) mh, m h y,± da, S:z h(, y), (, y) D S D 7. Divergeteoremet: egemet T vgree v fltee S ; S,.. S k med ehetormler,,.. k rettet ut v T. 8. Stoke teorem: k F ds + F ds F ds FdV S S Sk T F dr ( F) ds CCCcc C S

15 5 ieære differeillikiger v.&. orde med kotte koeffiieter.. Homogee differeillikiger: y + by + cy, y y( ) ( ) Krkteritik likig: λ + bλ + c ( ) øig v krkteritik likig: b b c ± 4 λ, ( 3A) c λ, ( 3 b I II III IV V Type v løig (3) Bi til () Geerell løig v () λ, λ relle eller kompleke {e λ, e λ } Ae λ + Be λ b 4c < λ b ±iω {e b co(ω), e b i(ω)} e b ( Aco(ω) + Bi(ω)) b 4c >, λ b ±α b 4c λ b Når : λ c b {e b coh(α), e b ih(α)} e b ( Acoh(α ) + Bih(α)) {e b, e b } {e c b } (A + e b Ce c b ω 4c b, α b 4c. Ihomogee differeillikiger y + by + cy g( ) (4) øig: y ( ) yh( ) + yp( ) der yh ( ) er geerell løig i homoge likig (), me yp( ) er prtikulær løig i ihomoge likig (4)

16 6 Sylighetregig og ttitikk. Geerelle formler i ylighetregige ) Defiijo: P er et ylighetmål på utfllrommet S hvi P oppfyller (i) P( A) for lle delmegder (begiveheter) i S (ii) P(S) (iii) P ( A P( A) + P( hvi A og B er dijukte begiveheter b) Addijoetig P ( A P( A) + P( P( A c) Komplemetetige P( A) P( A) d) P( A Betiget ylighet P ( A P( e) Multiplikjoetige P ( A B ) P( A P( f) Uvhegighet : A og B er uvhegige hvi P ( A P( A) Dette medfører ogå t P ( A P( A) P( g) Totl ylighet : P ( A) P( A P( + P( A P( h) P( A P( Bye lov : P ( B A) P( A). Setiger om forvetig og vri for toktike vrible ) X, X,... X være toktike vrible og,,..., b være kotter (i) D er E X + X +... X + b) E( X ) + E( X ) +... E( X ) b ( + (ii) Hvi X, X,...X er uvhegige er Vr ( X + b) Vr( X ) + Vr( X ) +... Vr( X ) X X b) Speiltilfelle v ) : Hvi X X,... er uvhegige toktike vrible og lle hr mme forvetig σ Vr( X ) der X, X µ og mme vri σ vil Xi i E (X ) µ og

17 7 3. Dikrete ylighetfordeliger ) Biomik fordelig P(X ) p ( p) E( X) p Vr(X) p( p),,. b) Hypergeometrik fordelig M N M PX ( ),,, N N M EX ( ) p VrX ( ) p( p) der p N N

18 8 c) Poiofordelig P(X ) λ! e λ E( X) λ Vr(X) λ,,, 4. Kotiuerlige fordeliger ) Normlfordelige f () πσ e ( µ) σ E( X) µ Vr(X) σ b) Ekpoeilfordelig f () λe λ > E( X) Vr(X) λ λ c) Rektgelfordelig f () [,b] b λ > kott E( X) + b Vr(X) (b )

19 5. Setrlgreeteoremet Derom X, X,... er uvhegige idetik fordelte toktike vrible med forvetig µ X og tdrdvvik σ er og X X i X i tilærmet ormlfordelt er tilærmet ormlfordelt N ( µσ, ) år er tor N( µ, σ ) år er tor 6. Etimerig v p i biomik fordelig. X p( p) Puktetimtor p $, E($) p p, Vr($) p For tore verdier v hr vi : (i følge etrlgreeteoremet) p$( p$) p$( p$) Tilærmet kofideitervll: I p$ uα/, p $ + uα/ p$ p Hypoteetetig: Tetvribel: er tilærmet p ( p ) tdrdormlfordelt uder H : p p for tore verdier v (p >) 7. Itervlletimerig v µ og σ (formlee er ekkte for ormlfordelig, tilærmet riktige for dre fordeliger år tor (i følge etrlgreeteoremet)) σ I u + u σ α, α Kofideitervll for µ år σ er kjet I t t + α, α,( ),( ) Kofideitervll for µ år σ er ukjet I, ( ) Eidig kofideitervll for σ χ α, I ( ) ( ), χ χ, α α, σ σ σ σ I y uα +, y + uα + Toidig kofideitervll for σ 9 Kofideitervll for µ - µ år σ og σ er kjete I : y t. Kofideitervll for µ - µ år σ og σ er ± α +,( + ) ukjete me like ( σ ) og σ etimere med ( ) + ( ) ( + ) z I y t y t z + α, α,( ),( ) Kofideitervll for µ - µ år vi hr obervjoer gitt i pr (Z i X i -Y i )

20 8. Tetig v hypoteer om forvetiger. (formlee er ekkte for ormlfordelig, tilærmet riktige for dre fordeliger år tor (i følge etrlgreeteoremet)) Ett utvlg ) σ kjet H : µµ H : ulike ltertiv b) σ ukjet, H : µ µ H : ulike ltertiv Betegele på tet, Tetobervtor med ylighetfordelig u-tet, U X µ σ / om er N(, ) eller X om er N( µ, σ uder H t-tet, X µ T / om er t-fordelt med - frihetgrder uder H ) To utvlg ) σ og σ kjete H : µ µ H : ulike ltertiv Toutvlg u- tet, X Y U σ σ + om er ormlfordelt N(,) uder H b) σ σ σ ukjet, H : µ µ H : ulike ltertiv Flere utvlg σ σ...σ k σ, ukjet H : µ µ µ 3... µ k H : mit e v µ-ee er ulik de dre Toutvlg t- tet, X Y T S + der S om er t-fordelt med + - frihetgrder uder H ( ) S + ( ) S + Evei vrilye (F-tet) Forkt H hvi F > f k k F, k k i( Xi X) k i k ( Xij Xi ) j (( ) S ( i ) Si ) k k ( i ) Si k k er Fiherfordelt (F-fordelt) med k- og -k frihetgrder uder H k ( ) i

21 9. Smvrijo Empirik kovri S XY Xi X Yi Y Xi X Yi ( )( ) ( ) Empirik korreljo SXY R SS y ( X X) Y i ( X X) ( Y Y) i i i. Regrejolye Prmeter Puktetimtor Tetvribel Itervlletimtor β β $ α α$ Y β$ ( i ) Yi β$ β T M I [ $ σ$ t, $ σ$ β α β + tα ] M σ$,( ) M,( ) M σ σ$ Q( αβ $, $ ) T er Studet-t - fordelt med - frihetgrder hvi H er riktig ( dv. hvi β β ) M ( i ) i Q( αβ $, $ ) ( ($ $ Y )) ( ) ( $ i α + β i Yi Y β) ( i )