Formelsamling i matematikk og statistikk

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Formelsamling i matematikk og statistikk"

Transkript

1 Høgskole i Berge Formelsamlig i matematikk og statistikk for Igeiørutdaige FOA, FOA, FOA3, FOA7, FVA4 5.utgave

2 Fuksjoer. Elemetære fuksjoer: a) l y = y = e a = b = log a b = lb l a b) l(ab) = l A + l B, l A = l A l B B si c) si + cos = ta = cos l A u = ul A cot = ta c) si( ± y) = si cos y ± cos si y, cos( ± y) = cos cos y m si si y d) si = si cos cos = cos si = cos = si e) ta ± ta y ta( ± y) = m ta tay f) cosu cosv = (cos(u + v) + cos(u v)) g) siu cosv = (si(u + v) + si(u v)) siusi v = (cos(u v) cos(u + v)) h) Asi ± B cos = A + B si( ±φ) der A >, B >,ta φ= B A og <φ<π. Derivasjo og itegrasjo: a) b) c) d df du f (g())= der u = g() (kjereregel) d du d df () = der y = f () d f (y) u( ) d f (t)dt = f (u) d du v( ) d (a er e kostat) d f (t)dt d a u( ) d) (g() + h( ))d = g()d + h()d e) kg()d = k g()d (k er e kostat) f) f (g( )) g ()d = f (u)du der u = g() og du = g ()d g) u() v ()d = u()v() v() u ()d (Regel for derivert av ivers fuksjo) = f (v) dv du f (u) d d

3 h) f ( ) l e a r si cos ta cot = arcta arcsi arccos ta f ( ) r e a r l a cos si = + ta cos si + f ( ) e år cos si cos si + si cos ta + + C + l + C e f ( ) d + C si + C cos + C ta + C cot + C = arcta + C arcsi + C si + C 4 + si + C 4 ta + C ta + C 3. Momet og tygdepukt: da r akse Statisk momet av flateelemet med hesy på akse: dm = rda Treghetsmomet av flateelemet med hesy på akse: di = r da For kurveelemet ds: dm = rds, di = r ds akse G r G Statisk momet av flatestykke med hesy på akse: M = r G A der G er tygdepuktet og A arealet av flatestykket For kurvestykke: M = r G s der G er tygdepuktet og s er legde av kurvestykket.

4 4. Numeriske metoder a) Rektagel- (midtpukt-) formel: b a f ()d b a (y + y + + y ), y k = f (a + (k ) b a ) 3 b) Trapesformele: b b a f ()d ( y + y + y + y + + y ), y k = f (a + k b a ) a c) Simpsos formel: b b a f ()d 6 (y + 4y + y + + 4y + y ), y k = f (a + k b a ) a d) Newtos metode: Velg slik at f ( ) La + = f ( ), f ( ) =,,... Hvis lim = a så er f (a) = e) Eulers metode for løsig av differesialligige dy = f (, y): d = a, y = b og = + h, y = y + f (, y )h, =,, Differesiallikiger av. orde Differesiallikige a y + b y + cy =, der a,b og c er kostater og a -, har de geerelle løsige a) y = C e r + C e r hvis a λ + bλ +c = har to ulike reelle røtter r og r b) y = (C + C )e r hvis a λ + bλ +c = har dobbelrote r c) y = e α (Acosβ + B siβ) hvis a λ + bλ +c = har komplekse røtter α ± iβ 6. Komplekse tall: a) Normal-form: z = + iy. Her er = Re(z) (realdele) og y = Im(z) (imagiærdele) b) z = iy (kojugert), z = + y (modul) c) Avstade fra z til z : z z d) Polar / Ekspoesiell form: iθ z = re der r = z og θ =arg z e) Eulers formel: iθ e = cosθ +i siθ f) De Moivres formel: (cosθ +i siθ) = cos θ+i siθ

5 4 Lieær algebra. Vektorregig a) Skalarprodukt mellom vektoree a = [ a,a,a 3 ] og b = [ b,b,b 3 ] med legde θ a b = a b + a b + a 3 b 3 a b = a b cosθ derθ er vikele mellom vektoree ( θ π) ) b) Vektorprodukt mellom vektoree a = a,a,a 3 i j k a b = a a a 3 a b = a b si b b b 3 c) Projeksjoe av e vektor a =[, a ] 3 på vektore er gitt ved a b proj ba = b b b a [ ] og b = [ b,b,b 3 ] a b = [ b, b b ],. Lijer og pla i rommet Koordiater til et pukt Pyz (,, ) på e rett lije med retigsvektor r = [ a, b, c] T som går gjeom puktet P(, y, z) er gitt ved OP = OP + + t r PP = OP, det vil si a y = y t b + z z c r Et pla som går gjeom puktet P (, y, z) og har ormalvektor = r vil gå gjeom pktet Pyz (,, ) dersom PP = Plaets likig er altså A ) + B( y y ) + C( z z ) ( = 3. Avstadsformler a) Avstad fra pukt, y, ) i rommet til pla ( z A + By + Cz = D 3 [ A, B, C] A + By + Cz D d = A + B + C b) Avstad fra pukt P i rommet til lije gjeom pukt P med retigsvektor v v P P d = v

6 4. Matrisemultiplikasjo 5 A = [a ij ] m p - matrise og B=[b ij ] p - matrise. p AB= C = [ c ij ] der c ij = a ik b kj, i =,,..,m, j =,,..., k = 5. Regeregler for matriser A og B er matriser, k og p er reelle (eller komplekse) kostater a) (ka)b = k(ab) = A(kB) Skrives kab b) A(BC) = (AB)C Skrives ABC c) (A + B)C = AC + BC d) C(A + B) = CA + CB e) k(a + B) = ka + kb f) (k+p)a= ka + pa g) AA = A A = I h) Merk at for matrisemultiplikasjo gjelder ikke de kommutative lov. altså AB = BA gjelder ikke geerelt. i) (AB) = B A j) (AB) T = B T A T k) (A T ) = (A ) T 6. Ivers matrise (kofaktorform) Ata A er e ikke-sigulær -matrise. C C C C Da er A = C C der C jk er kofaktore til a jk i A. det A... C C C 7. Egeverdier, egevektorer Ata at A er e vilkårlig - matrise. Dersom e vektor tilfredsstiller likige A = λ, er λ e egeverdi til A og e tilhørede egevektor. Egeverdier fies av likige det( A λi) = 8. Diagoaliserig Når A har lieært uavhegige egevektorer fies e ikke- sigulær matrise X slik at X AX = D er e diagoalmatrise med egeverdiee på diagoale.

7 9. Cayley-Hamilto setige Hvis A er e -matrise med karakteristisk likig λ + c λ + c λ cλ + c =, vil matrise A tilfredsstille likige A + c A + c A ca + ci = 6. Rotasjosmatriser cosθ siθ cosθ siθ A = siθ cosθ B = C = siθ cosθ A roterer et objekt e vikel θ rudt z-akse (retig fra til y) B roterer et objekt e vikel θ rudt y-akse (retig fra z til ) B roterer et objekt e vikel θ rudt -akse (retig fra y til z) cosθ siθ siθ cosθ. Regeregler for determiater A og B - matriser a) det A = det A T b) Determiate skifter forteg hvis to rekker ( koloer ) bytter plass. c) Drsom rekkee (koloee) er lieært avhegige er determiate = d) E felles faktor i e rekke eller koloe ka settes utefor. (Kosekves det ka = k det A) e) E determiat ka utvikles etter e vilkårlig rekke eller koloe. f) Dersom e rekke eller koloe er e sum med to ledd, ka determiate spaltes opp. F eks. a b + c = a b d e+ f d e + a c d f g) Til e rekke (koloe) ka adderes e kostat multiplisert med e ae rekke (koloe) ute at determiate foradrer verdi. h) Determiate til e triagulær matrise er lik produktet av elemetee på hoveddiagoale. i) det (A B) = det A det B det(a ) = det A k) det A A ikke-sigulær

8 7 Diskret matematikk. Megdelære a) Kommutative lover: A B = B A, A B = B A b) Assosiative lover: ( A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) c) Distributive lover: A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = ( A B) (A C) d) Idetitetslovee: A Ø = A, A U = A, U er grumegde e) Komplemetærlovee: A A = U, A A = Ø, A = A, U er grumegde f) de Morga's lover: A B = A B, A B = A B. Logikk a) Dobbel egasjo: p p b) Kommutative lover: ( p q) (q p), (p q) (q p) c) Assosiative lover: [( p q) r] [ p (q r)], [(p q) r] [ p (q r)] d) Distributive lover: [( p (q r)] [( p q) (p r)], [( p (q r)] [(p q) ( p r)] e) de Morgas lover: (p q) ( p q), ( p q) ( p q) 3. Differeslikiger av. orde Likige u + + au + + bu =, der a og b er kostater, har de geerelle løsige a) u hvis har to ulike reelle røtter = Ap + Bp p + ap + b = p og p b) y = (A + B)p hvis p + ap + b = har dobbelrote p c) u hvis har komplekse røtter α ± = r (A cosθ +B siθ ) p + ap + b = iβ Her er r =α+iβ og θ=arg(α +iβ)

9 8 Rekker. Aritmetisk rekke a = a + ( ) d d er rekkes differes Summe av de første leddee a a i e aritmetisk rekke s = + Geometrisk rekke, ledd a = a k k er rekkes kvotiet Summe av de første leddee i e geometrisk rekke Summe av e koverget geometrisk rekke Retesreteformele (sluttverdie) Nåverdi. Koverges a) Forholdskriteriet: ( a k ) s = Gjelder for k. Hvis k= er k s = a a Gjelder for <k< s = k S = år a = p Verdie K om år av et beløp K = K ( + ) K i dag K Verdie K K = i dag svarer til et p ( + ) beløp K i dag u Dersom lim + = k, så er rekke u u koverget hvis k < og diverget hvis k > = 3. Potesrekker a) Taylorrekke: f () = k = b) Maclaurirekke: f () = f (k) (a) k! k = ( a) k f (k) () k k!

10 9 c) Spesielle rekker: e k = = + + k!! + 3 3! + k = ( ) k k cos = = (k)!! + 4 4! + k= ( ) k k+ si = = 3 (k +)! 3! + 5 5! k= = k = < < k = ( ) k+ k l( + ) = = k for < k = ( + ) m m = for, k k < < k = m k m = = m(m )( m ) (m k +) k!

11 4. Fourierrekker a) Periodiske fuksjoer La f ( t) være e periodisk fuksjo med periode T =L. Fourier-rekke til f er e rekke på forme π st ( ) = a + ( a cos( ωt) + b si( ωt)), der ω= og koeffisietee er gitt ved L a b = L = f t dt a f t t dt L ( ) = L ( ) cos( ω ), =,, L L L = f t t dt = L ( ) si( ω ),,, L b) Fuksjoer defiert på [, L] π Cosiusrekke: s() t = a + a cos( L t ) a L = L f () t dt a = L L der L f t π = ( ) cos( L t ) dt, =,... Siusrekke: π s ( t) = b si( t ) der b =, =,,3... = L L f t π ( ) si( L t ) dt c) Koverges av Fourier-rekke L Fourier-rekke til f (t) kovergerer mot f (t) i pukter der f er kotiuerlig s(t) = ( f (t+) + f (t )) i pukter der f er diskotiuerlig d) Spesielle trigoometriske itegraler cos a si a cos ad = + a a si a cos a si ad = a a si a cos a si a 3 cos ad = a a a cos a si a cos a 4 si ad = + 3 a a a 3 3 cos a si a cos a si a 5 cos ad = a a a a 3 3 si a cos a si a cos a 6 si ad = a a a a

12 Laplacetrasformasjoer. Geerelle trasformasjosregler I L st { f ( t)} = F( s) = f ( t) e dt Defiisjo II L { af ( t) + bg( t)} = al{ f ( t)} + bl{ g( t)} a,b kostater Liearitet s III L{ f ( kt)} = F( ), F( s) L{ f ( t)} = k k Skalaedrig IVa L{ f ( t)} = sl{ f ( t)} f () Trasform av derivert IVb L { f ( t)} = s L{ f ( t)} sf () f () ( ) ( ) IVc L { f ( t)} = s L{ f ( t)} s f () s f ()... f () IVd t L{ f ( u) du} = L{ f ( t)} s Trasform sv itegral d Derivert av V L{ t f ( t)} = ( ) L{ f ( t)}, =,, 3,... trasform ds VI L{ e at f ( t)} = F( s a) der F( s) = L{ f ( t)}.skiftsetig s-forskyvig as VIIa L{ f ( t a) u( t a)} = e L{ f ( t)}, a >.skiftsetig t-foskyvig VIIb { ( ) ( )} as L f t u t a = e L{ f ( t + a)}, a > VIIc as L { e F( s)} = f ( t a) u( t a) der f ( t) = L { F( s)}og a > VIIIa t L {( f g)( t)} = L{ f ( t)}l{ g( t)} der ( f g)( t) = f( u) g( t u) du Kovolusjo VIIIb ( f g)( t) = L { L{ f ( t) } L{ g( t) }}

13 . Spesielle trasformasjoer Tabell a f() t Fs () s t s 3 t! s e at sih at cosh at siωt 8 cosωt 9 u( t a) s s a a Tabell b Iverstabell F(s) L { F( s)} = f ( t) 4 a 5 s s a 6 ω s + ω 7 s s +ω 8 e as s 9 δ(t a) e as 3 4 s s t, =,,3,.. t s ( )! e at s + a t e at, =,,3,.. (s + a) ( )! (s + a)(s + b), a b b a (e at e bt ) s (s + a)(s + b), a b b a (be bt ae at ) s +ω si ωt ω s s +ω cosωt s α α sihαt s s α cosh αt (s +ω ) 3 (siωt ωt cosωt) ω s t (s +ω ) ω siωt s (siωt (s +ω ) +ωt cosωt) ω 5 s 3 (s +ω ) cosωt ωt siωt e as 6 s u( t a) 7 e as δ(t a)

14 3 Fuksjoer av flere variable..derivert-test Klassifiserig av kritiske pukter for fuksjoe f=f(,y) Puktet (a, b) et kritisk pukt slik at f f (a,b) = = y (a,b). A = f (a,b), B = f y (a,b), C = f (a,b), = AC B y f har lokalt miimum i(a, b) år > og A >. f har lokalt maksimum i(a, b) år > og A <. f har sadelpukt i (a, b) år <.. Lagragelikigee Ekstremalverdiee til fuksjoe f skal fies. g(, y) = () a) variable og betigelse gradf =λgradg (,3) g(, y, z) = () b) 3 variable og betigelse gradf =λgradg (,3,4) g(, y, z) =, () c) 3 variable og betigelser h(, y,z) =, () gradf =λgradg +µgradh (3,4,5) 3. Multiple itegraler a ) Dobbeltitegral fra kartesiske- til polarkoordiater: f (, y)da = f (r cosθ,r si θ)rdrdθ R R* b) Trippelitegral fra kartesiske- til syliderkoordiater: T g (,) rθ f (, y, z) dv = f ( r cos θ, r si θ, z) dzda, da = rdrdθ D g (,) rθ 4. Areal av flate S gitt ved z = h(, y), (, y) ε D: A = ds = + h + hy da S D

15 Vektoraalyse. Diverges og curl til vektorfeltet F(, y, z) = PQR,, 4 F = P + Q y + R z, F = R y Q z,p z R,Q P y dr. Lijeitegral F( yz,, ) dr= F( t (), yt (), zt ()) dt dt 3. Gree s teorem: C β α C: r = (t), y(t),z(t), α t β ( y C R Pd + Qdy = Q P da 4. Reduksjo av flateitegral til dobbeltitegral: f (,y,z)ds = f (, y,h(, y)) + h + hy da, S:z = h(, y), (, y) D S D 5. Ehetsormaler på e flate S: a) Når S er gitt ved z = h(, y) : = ± h, h y, b) Når S er gitt ved f(, y, z) = : = ± f f + h + h y 6. Reduksjo av fluksitegral til dobbeltitegral: F ± ds = P,Q,R ] z=h(,y) mh, m h y,± da, S:z = h(, y), (, y) D S D 7. Divergesteoremet: Legemet T avgreses av flatee S ; S,.. S k med ehetsormaler,,.. k rettet ut av T. 8. Stokes teorem: k F ds + F ds F ds = FdV S S Sk T F dr = ( F) ds CCCcc C S

16 5 Lieære differesiallikiger av.&. orde med kostate koeffisieter.. Homogee differesiallikiger: ay + by + cy =, y = y( ) ( ) Karakteristisk likig: aλ + bλ + c = ( ) Løsig av karakteristisk likig: b b ac = ± 4 λ, a ( 3A) a c λ =, a = ( 3B) b I II III IV V Type av løsig (3) Basis til () Geerell løsig av () λ, λ relle eller komplekse {e λ, e λ } Ae λ + Be λ b 4ac < λ= b a ±iω {e b a cos(ω), e b a si(ω)} e b a ( Acos(ω) + Bsi(ω)) b 4ac >, a λ= b a ±α b 4ac = λ= b a Når a = : λ= c b {e b a cosh(α), e b a sih(α)} e b a ( Acosh(α ) + Bsih(α)) {e b a, e b a } {e c b } (A + B)e b a Ce c b ω= a 4ac b, α= a b 4ac. Ihomogee differesiallikiger ay + by + cy = g( ) (4) Løsig: y ( ) = yh( ) + yp( ) der yh ( ) er geerell løsig i homoge likig (), mes yp( ) er partikulær løsig i ihomoge likig (4)

17 6 Sasylighetsregig og statistikk. Geerelle formler i sasylighetsregige a) Defiisjo: P er et sasylighetsmål på utfallsrommet S hvis P oppfyller (i) P( A) for alle delmegder (begiveheter) i S (ii) P(S) = (iii) P ( A B) = P( A) + P( B) hvis A og B er disjukte begiveheter b) Addisjossetig P ( A B) = P( A) + P( B) P( A B) c) Komplemetsetige P( A) = P( A) d) P( A B) Betiget sasylighet P ( A B) = P( B) e) Multiplikasjossetige P ( A B ) = P( A B) P( B) f) Uavhegighet : A og B er uavhegige hvis P ( A B) = P( A) Dette medfører også at P ( A B) = P( A) P( B) g) Total sasylighet : P ( A) = P( A B) P( B) + P( A B) P( B) h) P( A B) P( B) Bayes lov : P ( B A) = P( A). Setiger om forvetig og varias for stokastiske variable a) La X, X,... X være stokastiske variable og a, a,... a, b være kostater (i) Da er E a X + a X +... a X + b) = a E( X ) + a E( X ) +... a E( X ) b ( + (ii) Hvis X, X,...X er uavhegige er Var ( a a X + b) = a Var( X ) + a Var( X ) +... a Var( X ) X a X b) Spesialtilfelle av a) : Hvis X X,... er uavhegige stokastiske variable og alle har samme forvetig σ Var( X ) = der X =, X µ og samme varias σ vil Xi i = E (X ) = µ og

18 7 3. Diskrete sasylighetsfordeliger a) Biomisk fordelig P(X = ) = p ( p) E( X) = p Var(X) = p( p) =,,. b) Hypergeometrisk fordelig M N M PX ( = ) = =,,, N N M EX ( ) = p VarX ( ) = p( p) der p = N N

19 8 c) Poissosfordelig P(X = ) = λ! e λ E( X) =λ Var(X) =λ =,,, 4. Kotiuerlige fordeliger a) Normalfordelige f () = πσ e ( µ) σ E( X) =µ Var(X) =σ b) Ekspoesialfordelig f () =λe λ > E( X) = Var(X) = λ λ c) Rektagelfordelig f () = [a,b] b a λ > kostat E( X) = a + b Var(X) = (b a)

20 5. Setralgreseteoremet Dersom X, X,... er uavhegige idetisk fordelte stokastiske variable med forvetig µ X og stadardavvik σ er og X = X i i= X i i= tilærmet ormalfordelt er tilærmet ormalfordelt N ( µσ, ) år er stor N( µ, σ ) år er stor 6. Estimerig av p i biomisk fordelig. X p( p) Puktestimator p $ =, E($) p = p, Var($) p = For store verdier av har vi : (i følge setralgreseteoremet) p$( p$) p$( p$) Tilærmet kofidesitervall: I = p$ uα/, p $ + uα/ p$ p Hypotesetestig: Testvariabel: er tilærmet p ( p ) stadardormalfordelt uder H : p = p for store verdier av (p >) 7. Itervallestimerig av µ og σ (formlee er eksakte for ormalfordelig, tilærmet riktige for adre fordeliger år stor (i følge setralgreseteoremet)) σ I = u + u σ α, α Kofidesitervall for µ år σ er kjet I t s t s = + α, α,( ),( ) Kofidesitervall for µ år σ er ukjet I =, ( ) s Esidig kofidesitervall for σ χ α, s s I = ( ) ( ), χ χ, α α, σ σ σ σ I = y uα +, y + uα + Tosidig kofidesitervall for σ 9 Kofidesitervall for µ - µ år σ og σ er kjete I : y t s. Kofidesitervall for µ - µ år σ og σ er ± α +,( + ) ukjete me like (= σ ) og σ estimeres med ( ) s + ( ) s s = ( + ) z I y t s y t sz = + α, α,( ),( ) Kofidesitervall for = µ - µ år vi har observasjoer gitt i par (Z i =X i -Y i )

21 8. Testig av hypoteser om forvetiger. (formlee er eksakte for ormalfordelig, tilærmet riktige for adre fordeliger år stor (i følge setralgreseteoremet)) Ett utvalg a) σ kjet H : µ=µ H : ulike alterativ b) σ ukjet, H : µ = µ H : ulike alterativ Betegelse på test, Testobservator med sasylighetsfordelig u-test, U X µ = σ / som er N(, ) eller X som er N( µ, σ uder H t-test, X µ T = s/ som er t-fordelt med - frihetsgrader uder H ) To utvalg a) σ og σ kjete H : µ =µ H : ulike alterativ Toutvalgs u- test, X Y U = σ σ + som er ormalfordelt N(,) uder H b) σ =σ =σ ukjet, H : µ =µ H : ulike alterativ Flere utvalg σ =σ =...=σ k = σ, ukjet H : µ =µ = µ 3 =...= µ k H : mist e av µ-ee er ulik de adre Toutvalgs t- test, X Y T = S + der S = som er t-fordelt med + - frihetsgrader uder H ( ) S + ( ) S + Eveis variasaalyse (F-test) Forkast H hvis F > f k k F =, k k i( Xi X) i= k i k ( Xij Xi ) i= j= (( ) S ( i ) Si ) k i= = k ( i ) Si k i= k er Fisherfordelt (F-fordelt) med k- og -k frihetsgrader uder H k ( = ) i= i

22 9. Samvariasjo Empirisk kovarias S XY = Xi X Yi Y = Xi X Yi ( )( ) ( ) i= i= Empirisk korrelasjo SXY R = = SS y i= ( X X) Y i ( X X) ( Y Y) i i= i= i i. Regresjosaalyse Parameter Puktestimator Testvariabel Itervallestimator β β= $ α α$ = Y β$ ( i ) Yi β$ β i= T = M I = [ $ σ$ t, $ σ$ β α β + tα ] M σ$,( ) M,( ) M σ σ$ = Q( αβ $, $ ) T er Studet-t - fordelt med - frihetsgrader hvis H er riktig ( dvs. hvis β = β ) M = ( i ) i = Q( αβ= $, $ ) ( ($ $ Y )) ( ) ( $ i α + β i = Yi Y β) ( i ) i= i= i=

23

24

25

26

Funksjoner. 1. Elementære funksjoner: 2. Derivasjon og integrasjon: b = lnb ln a b) ln(ab) = ln A + ln B, ln A = ln A ln B sin c) sin 2 x + cos 2 x

Funksjoner. 1. Elementære funksjoner: 2. Derivasjon og integrasjon: b = lnb ln a b) ln(ab) = ln A + ln B, ln A = ln A ln B sin c) sin 2 x + cos 2 x Fukjoer. Elemetære fukjoer: ) l y y e b log b lb l b) l(a l A + l B, l A l A l B B i c) i + co t co l A u ul A cot t c) i( ± y) i co y ± co i y, co( ± y) co co y m i i y d) i i co co co i co i e) t ± t

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Oppgave Midtveiseksame a) X er e stokastisk variabel

Detaljer

Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave

Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave Høgskolen i Bergen Formelsmling for ingeniørutdnningen FOA5 høsten 6 fellespensum. 3.utgve Funksjoner. Elementære regneregler og funksjoner: y = y, ( ) =, y y =,, =, = ) = ) = = log = ln ln c) ln y = y

Detaljer

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1110, våren 2012

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1110, våren 2012 Løsigsforslag til prøveeksame i MAT, våre Oppgave : Vi har A = 3 III+I I+II 3 ( )II 3 3 Legg merke til at A er de utvidede matrise til ligigssystemet. Vi ser at søyle 3 og 4 i de reduserte trappeforme

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon. Egenskaper ved t-fordelingen. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. I Kapittel 8 brukte vi observatoren

Kap. 9: Inferens om én populasjon. Egenskaper ved t-fordelingen. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. I Kapittel 8 brukte vi observatoren 2 Kap. 9: Iferes om é populasjo I Kapittel 8 brukte vi observatore z = x μ σ/ for å trekke koklusjoer om μ. Dette krever kjet σ (urealistisk). ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005

LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 8 LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA440/TMA445 STATISTIKK 0. august 005 Oppgave Smeltepuktsbestemmelse a) Vi jobber i dette

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 6. mai 008 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (ikludert formelsamlig). Hjelpemidler:

Detaljer

E K S A M E N : FAG: Matematikk 1 MA-154 LÆRER: MORTEN BREKKE. Klasse(r): Alle Dato: 1. des 11 Eksamenstid, fra-til: 0900-1400

E K S A M E N : FAG: Matematikk 1 MA-154 LÆRER: MORTEN BREKKE. Klasse(r): Alle Dato: 1. des 11 Eksamenstid, fra-til: 0900-1400 UNIVERSITETET I AGDER Grimstad E K S A M E N : FAG: Matematikk MA-54 LÆRER: MORTEN BREKKE Klasse(r): Alle Dato:. des Eksamestid, fra-til: 0900-400 Eksamesoppgave består av følgede iklusive forside Atall

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 27 Bjør

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017 TMA445 Statistikk Eksame mai 07 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave a Når vi reger ut disse tre sasylighetee må ma huske på at de mulige verdiee

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Målform: Eksmesdto: 5. jui 03 Vrighet/eksmestid: Emekode: 3 timer ALM304V Emev: Mtemtikk 4 Klsse(r): Studiepoeg: Fglærer(e): (v og telefor på eksmesdge) Bygg, Elektro, Mski, Kjemi,

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksmesdto: 3. mrs 04 Vrighet/eksmestid: Emekode: 3 timer ALM304V Emev: Mtemtikk 4 Klsser: Studiepoeg: Bygg, Elektro, Mski, Kjemi, Logistikk,

Detaljer

KOMPLEKSE TALL KARL K. BRUSTAD

KOMPLEKSE TALL KARL K. BRUSTAD KOMPLEKSE TALL KARL K BRUSTAD 1 Defiisjoer og otasjo Defiisjo 1 Et kompleks tall er et objekt på forme x + i der x og er reelle tall og kalles heholdsvis realdele og imagiærdele til det komplekse tallet

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 21 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 22. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 29 Bjør

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Oppsummering

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Oppsummering ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2007 Oppsummerig Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. april Bjør H. Auestad Oppsummerig våre 2006 1 / 37 Oversikt

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. desember 8 EKSAMEN I MATEMATIKK, Utsatt røve Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig).

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGKOLEN I ØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Eksmesdto: 3. mrs 03 Vrighet/eksmestid: Emekode: 3 timer ALM304V Emev: Mtemtikk 4 Klsse(r): tudiepoeg: Fglærer(e): (v og telefor på eksmesdge) Bygg,

Detaljer

Oppgave 1 Hardheten til en bestemt legering er undersøkt med åtte målinger og resultatene ble (i kg/mm 2 ) som i tabellen til høyre.

Oppgave 1 Hardheten til en bestemt legering er undersøkt med åtte målinger og resultatene ble (i kg/mm 2 ) som i tabellen til høyre. EKSAMEN I: ÅMA110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK VARIGHET: 4 TIMER DATO: 28. AUGUST 2010 BOKMÅL TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER

Detaljer

Eksamen R2, Va ren 2013

Eksamen R2, Va ren 2013 Eksame R, Va re 013 Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee a) f x 3cos x f x 3 six 3si x b) gx x 6si 7 Bruker kjereregele på uttrykket si x der og Vi har da guu siu u cosu cos x gx 6cos x 6 cos x u x g u

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGKOLEN I ØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksmesdto: 5. jui 04 Vrighet/eksmestid: Emekode: 3 timer ALM304V Emev: Mtemtikk 4 Klsser: tudiepoeg: Bygg, Elektro, Mski, Kjemi, Logistikk,

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: 19 des. 2014 Varighet/eksamestid: Emekode: 3 timer TALM1005 Emeav: Statistikk og Økoomi statistikkdele Klasser: Logistikk 1 Kjemi

Detaljer

Repetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og Repetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10

Repetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og Repetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 og Geerell defiisjo av : Situasjo: Data x 1,...,x ;utfallav:x 1,...,X ; u.i.f. tilfeldige variable Ukjet parameter i fordelige til X i ee: θ Dersom L og U L

Detaljer

Utvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008

Utvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008 Utvidet løsigsforslag Eksame i TMA4 Matematikk, 6/ 8 Oppgave i) Vi gjør substitusjoe u = si θ og får π/ [ u si θ cos θ dθ = u du = E ae løsigsmetode er π/ si θ cos θ dθ = π/ ] si θ dθ = 4 = 4 ( ( ) ( ))

Detaljer

LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03).

LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03). LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA440, DESEMBER 006 OPPGAVE 1 Ata at sa porøsitet er r. Målig med utstyret gir da X (x; r, 0,03). a) ( ) X r P(X > r) P 0,03 > 0 P(Z > 0) 0,5. ( X r P(X r > 0,05) P 0,03

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett på diskrete

Detaljer

Kort repetisjon fra kapittel 4. Oppsummering kapittel ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. Betinget sannsynlighet og trediagram

Kort repetisjon fra kapittel 4. Oppsummering kapittel ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. Betinget sannsynlighet og trediagram 2 Kort reetisjo fra kaittel 4 Betiget sasylighet og trediagram Eksemel: Fra e oulasjo av idrettsfolk trekkes e erso tilfeldig og testes for doig. De iteressate hedelsee er D=ersoe er doet, A=teste er ositiv.

Detaljer

Emnenavn: Metode 1, statistikk deleksamen. Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Bjørnar Karlsen Kivedal

Emnenavn: Metode 1, statistikk deleksamen. Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Bjørnar Karlsen Kivedal EKSAMEN Emekode: SFB10711 Emeav: Metode 1, statistikk deleksame Dato: 10. oktober 2018 Hjelpemidler: Godkjet kalkulator og vedlagt formelsamlig m/tabeller Eksamestid: 4 timer Faglærer: Bjørar Karlse Kivedal

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: 5 jui 2015 Varighet/eksamestid: Emekode: 3 timer TALM1005 Emeav: Statistikk og Økoomi statistikkdele Klasser: Logistikk 1 Kjemi

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 008 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 53

Detaljer

Løsning R2-eksamen høsten 2016

Løsning R2-eksamen høsten 2016 Løsig R-eksame høste 016 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee a) ( ) 3cos f( x) 3 six 6six f x x b) gx ( )

Detaljer

Hypotesetesting, del 4

Hypotesetesting, del 4 Oversikt, del 4 t-fordelig t-test t-itervall Del 5 Kofidesitervall vs. test p-verdi t-fordelig Rett på defiisjo: Utgagspuktet er målemodelle med ormalatakelse: X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derX i Nμ, σ 2 ).La

Detaljer

Øvinger uke 46 løsninger

Øvinger uke 46 løsninger Øviger uke 6 løsiger Oppgave Verdie av determiate er avgjørede for atall løsiger. ed e parameter i oppgave løer det seg å bestemme determiate først og fie ut for hvilke parameterverdier determiate er ull.

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2011 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 24. august, 2011 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 32 Repetisjo; 9.1,

Detaljer

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting 3 Estimerig og hypotesetestig Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetestig TMA445 V007: Eirik Mo Feome Bilkjørig Høyde til studeter Estimator ˆp = X, X atall ˆµ = X gjeomsittlig høyde. som syes de er flikere

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 6 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable og ormaldelige Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsdeliger) Vi har til å sett på diskrete

Detaljer

Kapittel 5 - Vektorer - Oppgaver

Kapittel 5 - Vektorer - Oppgaver 5.4 Kapittel 5 - Vektorer - Oppgaver 5.4, 5.5, 5.45, 5.49, 5.300, 5.306 a) Kabeles legde: BA 6, 7, 6 6 7 6 b) Dette er e parameterfremstillig (på vektorform) for e lije: OT 6t,7t, 6t 0, 0, t6, 7, 6 OB

Detaljer

TMA4240/4245 Statistikk 11. august 2012

TMA4240/4245 Statistikk 11. august 2012 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA424/4245 Statistikk. august 22 Eksame - løsigsforslag Oppgave Vi har N Nµ,σ 2, µ 85 og X > 88. a X µ X > 88 σ > 88 µ Z > 88 85

Detaljer

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort?

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort? ECON EKSAMEN 8 VÅR TALLSVAR Oppgave Vi har e kortstokk beståede av 6 kort. På av disse står det skrevet JA på forside mes det står NEI på forside av de adre kortee. Hvis ma får se kortet med bakside vedt

Detaljer

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor

Detaljer

Introduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians

Introduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians Hypotesetestig / iferes (kap ) Itroduksjo Populasjo og utvalg Statistisk iferes Utvalgsfordelig (samplig distributio) Utvalgsfordelige til gjeomsittet Itroduksjo Vi øsker å få iformasjo om størrelsee i

Detaljer

2. Bestem nullpunktene til g.

2. Bestem nullpunktene til g. Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 0. desember 007 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 9 sider (ikludert formelsamlig).

Detaljer

KLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon

KLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon Tidligere sett på KLMED8004 Medisisk statistikk Del I, høst 008 Estimerig Hvorda kjete sasylighetsfordeliger (biomialfordelig, ormalfordelig) med kjete populasjosparametrer (forvetig, varias osv.) ka gi

Detaljer

Formelsamling i matematikk - R2. Vektorer. Innskuddssetningen: Skalarprodukt: Lengde: Normale: Parallelle: P, Q og R på linje: Formelsamling R2

Formelsamling i matematikk - R2. Vektorer. Innskuddssetningen: Skalarprodukt: Lengde: Normale: Parallelle: P, Q og R på linje: Formelsamling R2 Formelsamlig R Formelsamlig i matematikk - R (Uder arbeid...) Ulve.09.0 Vær sill å rapportere evetuelle feil! Her vil jeg prøve å få samlet alle formler jeg meer dere ka ha ytte av både på eksame og i

Detaljer

MA 1410: Analyse Uke 48, aasvaldl/ma1410 H01. Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag

MA 1410: Analyse Uke 48, aasvaldl/ma1410 H01. Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag MA 40: Aalyse Uke 48, 00 http://home.hia.o/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskole i Agder Avdelig for realfag Istitutt for matematiske fag Oppgave 8.7:. Vi har f(x) = cosh(x) = ex +e x. f(0) =. Derivasjo gir f (x)

Detaljer

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsigsforslag R2 Eksame 6 Vår 04.06.202 Nebuchadezzar Matematikk.et Øistei Søvik Sammedrag De fleste forlagee som gir ut lærebøker til de videregåede skole, gir ut løsigsforslag til tidligere gitte eksameer.

Detaljer

Eksamen R2, Høsten 2010

Eksamen R2, Høsten 2010 Eksame R, Høste 00 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (6 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f l f ( ) l l (l ) ) g( ) si cos f si

Detaljer

Løsningsforslag Oppgave 1

Løsningsforslag Oppgave 1 Løsigsforslag Oppgave 1 a X i µ 0 σ X i µ 0 2 σ 2, i 1,..., er uavhegige og stadard N0, 1 fordelte. Da er, i 1,..., uavhegige og χ 2 -fordelte med e frihetsgrad. Da er summe χ 2 -fordelt med atall frihetsgrader

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon

Kap. 9: Inferens om én populasjon 2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. mai 8 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig). Hjelemidler:

Detaljer

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3 Kp. 1, oversikt ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Hypoteseig; ett- og to-utvalg Rep.: geerelle begrep og defiisjoer Kp. 1.1, 1.2 og 1.3 Rep.: ett-utvalgser for μ (...), p Kp. 1 og 1.8 Nytt: ett-utvalgs

Detaljer

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt).

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt). Eksamesoppgave våre 011 Ordiær eksame Bokmål Fag: Matematikk Eksamesdato: 10.06.011 Studium/klasse: GLU 5-10 Emekode: MGK00 Eksamesform: Skriftlig Atall sider: 8 (ikludert forside og formelsamlig) Eksamestid:

Detaljer

Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt.

Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Tid: 3 timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeg) Deriver fuksjoee a) f( ) cos5 f 5 si5 0 si5 g e si Vi bruker produktregele for derivasjo,

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>. 1 ECON130: EKSAMEN 013 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller likt uasett variasjo i vaskelighetsgrad. Svaree er gitt i

Detaljer

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG)

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG) Eco 130 Forelesig uke 11 (HG) Mer om ormalfordelige og setralgreseteoremet Uke 1 1 Fra forrige gag ~ betyr er fordelt som. ~ N( µσ, ) E( ) = µ, og var( ) = σ Normalfordelige er symmetrisk om μ og kotiuerlig

Detaljer

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2 TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave 1 Vi øsker å fie ut om et ytt serum ka stase leukemi. 5 mus får serumet, 4

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 7 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 59 Bjør

Detaljer

X = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er

X = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 11, blokk II Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som

Detaljer

Oppgave 1 a) Minste kvadraters metode tilpasser en linje til punktene ved å velge den linja som minimerer kvadratsummen. x i (y i α βx i ) = 0, SSE =

Oppgave 1 a) Minste kvadraters metode tilpasser en linje til punktene ved å velge den linja som minimerer kvadratsummen. x i (y i α βx i ) = 0, SSE = Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 2, blokk II Løsigsskisse Oppgave a Miste kvadraters metode tilpasser e lije til puktee ved å velge de lija som

Detaljer

Løsningsforslag ST2301 øving 3

Løsningsforslag ST2301 øving 3 Løsigsforslag ST2301 øvig 3 Kapittel 1 Exercise 11 Et utvalg på 100 idivider trekkes fra e populasjo med tilfeldig parrig. Det ble observert AA 63 idivider av geotype AA, Aa 27, og aa 10. Lag et 95 % kofidesitervall

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Oppgave Foruresig X er e stokastisk variabel som agir

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon

Kap. 9: Inferens om én populasjon 2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)

Detaljer

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA20 Statistikk Eksame desember 205 Løsigsskisse Oppgave a) De kumulative fordeligsfuksjoe til X, F (x) P (X x): F (x) P (X x) x

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 11 Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som vil være ormalfordelt

Detaljer

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1 Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. 1 Høgskole i Gjøvik Avdelig for tekologi, økoomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 4 Biomisk fordelig. Oppgave 1 La de stokastiske variable

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 56

Detaljer

Oblig 2 - MAT1120. Fredrik Meyer 26. oktober 2009 = A = P1 1 A 1 P 1 A 1 A 2 = P 1. A k+1. A k P k

Oblig 2 - MAT1120. Fredrik Meyer 26. oktober 2009 = A = P1 1 A 1 P 1 A 1 A 2 = P 1. A k+1. A k P k Oblig 2 - MAT20 Fredri Meyer 26 otober 2009 Matrisee A i er defiert sli der P er e rotasjosmatrise som defierer i oppgave 2: A A 2 A + = A = P A P = P A P Oppgave Matrisee A i+ og A i er similære det fies

Detaljer

ST1201 Statistiske metoder

ST1201 Statistiske metoder ST Statistiske metoder Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag - Eksame desember Oppgave a) Dette er e ANOVA-tabell for k-utvalg med k 4 og j 6 for j,,3,4.

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 1/ 38 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 2/ 38 Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. Hypotesetestig

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1 / 56

Detaljer

Kommentarer til oppgaver;

Kommentarer til oppgaver; Kapittel - Algebra Versjo: 11.09.1 - Rettet feil i 0, 1 og 70 og lagt i litt om GeoGebra-bruk Kommetarer til oppgaver; 0, 05, 10, 13, 15, 5, 9, 37, 5,, 5, 59, 1, 70, 7, 78, 80,81 0 a) Trykkfeil i D-koloe

Detaljer

211.7% 2.2% 53.0% 160.5% 30.8% 46.8% 17.2% 11.3% 38.7% 0.8%

211.7% 2.2% 53.0% 160.5% 30.8% 46.8% 17.2% 11.3% 38.7% 0.8% Prøve-eksame II MET 1190 Statistikk Dato 31. mai 2019 kl 1100-1400 Alle svar skal begrues. Når besvarelse evalueres, blir det lagt vekt på at framgagsmåte og resultat preseteres så klart, presist og kortfattet

Detaljer

) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013

) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013 TMA4240 Statistikk Vår 2008 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b5 Løsigsskisse Oppgave 1 a) X 1,...,X 16 er u.i.f. N(80,18 2 ). Setter Y = X. i) P(X 1 >

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6 (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivede statistikk 2. Sasylighetsteori, sasylighetsregig 3. Statistisk iferes estimerig kofidesitervall hypotesetestig

Detaljer

Løsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2018

Løsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2018 Løsigsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høste 2018 Oppgave 1 (a Et 100(1 α% kofidesitervall for forvetigsverdie µ er gitt ved formel (8.15 på side 403 i læreboka. For situasjoe

Detaljer

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke Oversikt, del 5 Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler (styrke, dimesjoerig,...

Detaljer

Mer om utvalgsundersøkelser

Mer om utvalgsundersøkelser Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse

Detaljer

Forelesning 4 og 5 Transformasjon, Weibull-, lognormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordeling

Forelesning 4 og 5 Transformasjon, Weibull-, lognormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordeling STAT (V6) Statistikk Metoder Yushu.Li@uib.o Forelesig 4 og 5 Trasformasjo, Weibull-, logormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordelig. Oppsummerig til Forelesig og..) Momet (momet about 0) og setral momet

Detaljer

Løsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan

Løsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan Løsigsforslag for adre obligatoriske oppgave i STK11 Våre 27 Av Igu Fride Tvete (ift@math..uio.o) og Ørulf Borga (borga@math.uio.o). NB! Feil ka forekomme. NB! Sed gjere e mail hvis du fier e feil! Oppgave

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 007 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett

Detaljer

s = k k=1 dx x A n = n = lim = lim 2 arctan ( x = π arctan ( n (2k 1)!, s n = k=1

s = k k=1 dx x A n = n = lim = lim 2 arctan ( x = π arctan ( n (2k 1)!, s n = k=1 TMA400 Høst 06 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 0 9.3.30 Me vil fia det miste itervallet som me ka vera sikker på at summe s k k + 4 ligg i. Om

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 18/5-21/5

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 18/5-21/5 Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka 8/5-2/5 Øyvid Rya (oyvidry@i.uio.o) May 28, 200 Oppgave 2.4. Rekke er betiget koverget, side + divergerer, mes de altererede rekke kovergerer etter teste for altererede

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 22. mai EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng, fjernundervisning

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 22. mai EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng, fjernundervisning Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL mai 007 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg, fjerudervisig Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 9 sider (ikludert formelsamlig)

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2010

Løsning eksamen R1 våren 2010 Løsig eksame R våre 00 Oppgave a) ) f ( ) l f ( ) ' l l l l f ( ) (l ) ) g( ) 4e g( ) 4 e ( ) 4 e ( ) g( ) 4( ) e b) ( ) 4 4 6 P ) P() 4 4 6 8 6 8 6 0 Divisjo med ( ) går opp. 4 4 6 : ( ) 8 4 4 8 6 8 6

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2009

TMA4240 Statistikk Høst 2009 TMA440 Statistikk Høst 009 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave Øsker å fie 99% kofidesitervall for µ µ år vi atar ormalfordeliger

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i STK2120 Statistiske metoder og dataaalyse 2 Eksamesdag: Madag 6. jui 2011. Tid for eksame: 09.00 13.00. Oppgavesettet er på 5 sider.

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Høst 205 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Løsigsskisse Oppgave a) X bi(, p) fordi: Udersøker uavhegige delar av DNA-strukture. Fi for kvar del

Detaljer

Løsning obligatorisk oppgave 3, ingeniørmatematikk 3.

Løsning obligatorisk oppgave 3, ingeniørmatematikk 3. Oppgave eltet har kompoeter og avheger av variable Jacobimatrise er da av forme Partiell derivasjo gir: ( y) ( y) ( y) y J ( x, y, ) x ( x ) x x x y x x e partielt derivert er polyomer og rasjoale fuksjoer

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen MAT112 vår 2011

Løsningsforslag Eksamen MAT112 vår 2011 Løsigsforslag Eksame MAT vår OPPGAVE Gitt følge {a } defiert rekursivt ved a = 5, a + = a + 6, =,,, 3,.... (a) Vis (for eksempel ved iduksjo) at {a } er stregt avtagede og edtil begreset. (b) Avgjør om

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Emnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard

Emnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard EKSAMEN Emekode: SFB107111 Emeav: Metode 1, statistikk deleksame Dato: 7. mai 2018 Hjelpemidler: Godkjet kalkulator og vedlagt formelsamlig m/tabeller Eksamestid: 4 timer Faglærer: Has Kristia Bekkevard

Detaljer

Løsning eksamen R2 våren 2010

Løsning eksamen R2 våren 2010 Løsig eksame R våre 010 Oppgave 1 a) f( x) x cos3x f ( x) x cos 3x x cos 3x x cos 3x x si 3x 3x xcos 3x 3x si 3x b) 1) v v u v u 1 u x x 1 x 5 x 5 x 5xe dx 5x e 5 e dx xe e dx 5 5 1 5 5 x x x x xe e C

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 8 Løsigsskisse Oppgave 1 a) Simuler 1000 datasett i MATLAB. Hvert datasett skal bestå av 100 utfall fra e ormalfordelig

Detaljer

Løsningsskisse 3MX,

Løsningsskisse 3MX, Løsigsskisse MX, 65 Etter første gjeomregig.6.5, tar forbehold om slurvefeil... Oppgave a) ) f x ta u,u x f x 6 cos u cos x ) g x x si x x cosx x six x cosx b) ) x cosxdx x si x sixdx x si x cosx C ) x

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 6.05.010 REA304 Matematikk R Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer: Del 1 skal leveres

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i STK desember 2010

Løsningsforslag til eksamen i STK desember 2010 Løsigsforslag til eksame i STK0 0. desember 200 Løsigsforslaget har med flere detaljer e det vil bli krevd til eksame. Oppgave a Det er tilpasset e multippel lieær regresjosmodell av forme β 0 + β x i

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: STK11 Sasylighetsregig og statistisk modellerig. LØSNINGSFORSLAG Eksamesdag: Fredag 9. jui 217. Tid for eksame: 9. 13.. Oppgavesettet

Detaljer

Terminprøve R2 Høsten 2014 Løsning

Terminprøve R2 Høsten 2014 Løsning Termiprøve R Høste 04 Løsig Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave (6 poeg) E flate i rommet er gitt ved likige: x 4x y 6y z 8z 0 0 a) Vis at puktet P3, 5, ligger på flate Puktet P3, 5, ligger

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l

Detaljer