Vurderingsveiledning 2012

Transkript

1 Vurderingsveiledning 01 Mtemtikk, sentrlt gitt skriftlig eksmen Studieforberedende og yrkesfglige utdnningsrogrm Kunnsksløftet LK06 Bokmål

2 1 Vurdering v sentrlt gitt skriftlig eksmen i mtemtikk i videregående olæring 01 Denne vurderingsveiledningen gjelder sentrlt gitt skriftlig eksmen i mtemtikk for disse eksmenskodene i videregående olæring 01: Studieforberedende utdnningsrogrm MAT1011 Mtemtikk 1P MAT1013 Mtemtikk 1T MAT1015 Mtemtikk P MAT1017 Mtemtikk T MAT1003 Mtemtikk P (omftter både 1P og P, siste gng våren 01) MAT1008 Mtemtikk T (omftter både 1T og T, siste gng våren 01) REA30 Mtemtikk R1 REA306 Mtemtikk S1 REA304 Mtemtikk R REA308 Mtemtikk S Yrkesfglige utdnningsrogrm MAT1005 Mtemtikk P-Y, åbygging til generell studiekometnse, yrkesfg MAT1010 Mtemtikk T-Y, åbygging til generell studiekometnse, yrkesfg Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side v 50

3 1.1 Eksmensmodell og eksmensordning Eksmensmodell Eksmen vrer i 5 timer og består v to deler. Denne eksmensmodellen er vlgt ut fr en fglig vurdering v mtemtikkfgets egenrt Eksmensordning Eksmen hr ingen forberedelsesdel. Del 1 og Del v eksmen deles ut smtidig til elevene. Etter to nøyktig timer skl timer besvrelsen skl besvrelsen v Del 1 v leveres Del 1 inn. leveres Smtidig inn. Smtidig kn digitle kn verktøy og digitle ndre verktøy hjelemidler og ndre til bruk hjelemidler i Del ts til bruk frm. i Del ts frm. Besvrelsen v Del skl leveres inn innen fem 5 timer timer etter etter eksmensstrt. Eleven kn begynne å Del når som helst (men uten hjelemidler frm til det hr gått to timer, og og besvrelsen v v Del 11 er er levert inn). 1. Hjelemidler, kommuniksjon og særskilt tilrettelegging 1..1 Hjelemidler å Del 1 På Del 1 er skrivesker, sser, linjl med centimetermål og vinkelmåler eneste tilltte hjelemidler. På Del 1 er det ikke tilltt å bruke dtmskin. Merk t ved særskilt tilrettelegging v eksmen er det heller ikke tilltt å bruke ndre hjelemidler enn de som er sesifisert over, jf. kittel Hjelemidler å Del Alle hjelemidler er tilltt, bortsett fr Internett og ndre verktøy som kn brukes til kommuniksjon. Elevene må å eksmensdgen selv velge og bruke hensiktsmessige hjelemidler, jf. Kjennetegn å målonåelse nedenfor. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 3 v 50

4 1..3 Kommuniksjon Under eksmen hr elevene ikke nledning til å kommunisere med hverndre eller utenforstående. Det betyr t Internett, mobiltelefoner og lle ndre innretninger som tillter kommuniksjon, ikke er tilltt under eksmen Særskilt tilrettelegging v eksmen Når det gjelder særskilt tilrettelegging v eksmen, vises det til rundskriv Udir som er ublisert å Utdnningsdirektortets nettsider, Innholdet i eksmensogvene Ved utformingen v eksmensogver ts det utgngsunkt i kometnsemålene i lærelnen for fget. Integrert i kometnsemålene finner vi de grunnleggende ferdighetene: å kunne uttrykke seg muntlig i mtemtikk (ikke å skriftlig eksmen) å kunne uttrykke seg skriftlig i mtemtikk å kunne lese i mtemtikk å kunne regne i mtemtikk å kunne bruke digitle verktøy i mtemtikk Fr formålet for fellesfget mtemtikk: Problemløysing høyrer med til den mtemtiske kometnsen. Det er å nlysere og omforme eit roblem til mtemtisk form, løyse det og vurdere kor gyldig det er. Dette hr òg sråklege sekt, som det å resonnere og kommunisere ider. I det meste v mtemtisk ktivitet nyttr ein hjelemiddel og teknologi. Både det å kunne bruke og vurdere hjelemiddel og teknologi og det å kjenne til vgrensing deir er viktige delr v fget. Tll- og begresforståelse og ferdighetsregning utgjør fundmentet i mtemtikkfget. Ogvesettene er bygget o slik t besvrelsen skl gi grunnlg for å vurdere elevenes individuelle kometnse i mtemtikk. Elevene skl få mulighet til å vise i hvilken grd de kn t i bruk sine fglige kunnsker og ferdigheter i forbindelse med teoretiske roblemstillinger og i virkelighetsnære situsjoner. Ogvene i både Del 1 og Del v eksmen inneholder derfor elementer v ulik vnskegrd. Smlet sett (Del 1 og Del ) røver eksmensogven elevene i kometnsemål fr lle hovedområdene i lærelnen, men ikke nødvendigvis lle kometnsemålene i lærelnen. Avhengig v tem og kontekst kn eksmen inneholde flere ogver som hører til smme hovedområde. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 4 v 50

5 1.3.1 Innhold i Del 1 I Del 1 røves regneferdigheter og grunnleggende mtemtikkforståelse, begres- og tllforståelse, evne til resonnement og fgkunnsk. Det kn være flere mindre ogver med temer sredt ut over kometnsemålene i lærelnen. I tillegg kn det eventuelt være mer smmenhengende ogver. Del 1 v eksmen er irbsert. Kndidtene skl skrive med blå eller svrt enn. Unntket er eventuelt konstruksjon v geometriske figurer Formler i Del 1 I vedleggene til denne vurderingsveiledningen er det listet o formler som skl være kjent med tnke å Del 1 v eksmen. Lærebøker kn h ulike måter å skrive formler og symboler å, og det er selvsgt o til den enkelte elev og lærer å bruke den skrivemåten de er vnt til. Hovedsken er å kjenne innholdet i formlene og kunne bruke dem. Dersom elevene er vnt til å bruke ndre formler i tillegg til dem som er nevnt i vedleggene, er det selvfølgelig tilltt å bruke disse. Merk: Eksmensogvene er lget ut fr kometnsemålene i lærelnen, og utvlget v formler ngir derfor ikke begrensninger v kometnsemål som kn røves i Del 1. Dersom ogvetemet krever det, kn mer komliserte formler bli ogitt som en del v ogveteksten i Del 1. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng Innhold i Del Del inneholder ogver med ulik vnskegrd. Del v ogvesettet skl kunne løses ved hjel v grfisk klkultor. Del inneholder ogver som røver elevenes mtemtiske kometnse i både bredde og dybde. I Del kn det forekomme temer som ikke lle elever hr forhåndskunnsker om. Problemstillingene og formuleringene i de enkelte ogvene vil imidlertid enten være uvhengige v forhåndskunnsk om temet, eller så vil de bli fulgt v en forklring som kn knytte ogven til temet. Del består v en del ogver som igjen er delt inn i flere delsørsmål. Ogvene og de fleste delsørsmålene vil kunne løses uvhengig v hverndre. Likevel kn det forekomme ogver der svret å et delsørsmål skl brukes i det neste, og så videre. Formålet med smmenhengende delsørsmål i en ogve er å hjele elevene å vei i roblemløsningen. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 5 v 50

6 Del kn også inneholde formler og liknende som kn frmstå som nye utfordringer for elevene. Del vil ofte inneholde mer tekst og illustrsjoner enn Del 1. Ogvene i både Del 1 og Del skl formuleres slik t de frmstår som klre roblemstillinger i en så enkel sråkdrkt som mulig. Det forventes t elevene kjenner vnlige ord, uttrykk og begreer fr det norske sråket som inngår i forbindelse med mtemtiske begreer og roblemstillinger og i kommuniksjonen v roblemløsningen. I ogveformuleringene skl det helst brukes korte setninger. Fguttrykk skl bre brukes der det er nødvendig. Illustrsjoner, i form v bilder og tegninger, skl understøtte lesingen og forståelsen v ogvene. Del v eksmen kn gjennomføres som irbsert eksmen i så fll skl det brukes blå eller svrt enn og/eller ts utskrifter. Del v eksmen kn også gjennomføres som IKTbsert eksmen, jf. kittel De vnligste måleenhetene ved sentrlt gitt skriftlig eksmen i mtemtikk Jf. vedlegg Sråket i eksmensogvene Ved formuleringer som Finn, Løs og Bestem legges det ikke o til bestemte frmgngsmåter eller sesielle hjelemidler. Eleven kn velge å løse ogven grfisk, ved regning (lgebrisk) eller ved å benytte ulike kommndoer i et digitlt verktøy. Her hr eleven full metodefrihet. Hvis eleven bruker grfiske løsningsmetoder, må eleven rgumentere for løsningen og forklre figuren. Del kn inneholde ogveformuleringer som Finn/Løs/Bestem ved regning eller Regn ut. Dette betyr t løsningen v ogven skl redegjøres for lgebrisk. Det vil si t elevene ikke kn måle, lese v eller løse ogven grfisk. Eleven må løse ogven ved utregning. Ved slike ogveformuleringer kn elevene fritt bruke CAS. Kommndoer og det som er tstet inn i det digitle verktøyet, skl komme klrt frm i besvrelsen, smmen med en klr konklusjon. Mellomregning og mellomresultter må ts med i rimelig omfng også når eleven bruker digitle verktøy. Dersom det ostår tvil og ulike oftninger v ogveteksten, vil sensorene være åne for rimelige tolkninger. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 6 v 50

7 1.5 Frmgngsmåte og forklring Der ogveteksten ikke sier noe nnet, kn eleven velge frmgngsmåte og hjelemidler selv. Dersom ogven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en lterntiv metode kunne gi noe uttelling. Verifisering ved innsetting kn gi noe uttelling, men ikke full uttelling ved sensuren. I noen ogver vil en røve-og-feile -metode være nturlig. For å få full uttelling ved bruk v en slik metode må eleven rgumentere for strtegien og vise en systemtisk tilnærming. Frmgngsmåte, utregning og forklring skl belønnes også selv om resulttet ikke er riktig. Ved følgefeil skl sensor likevel gi uttelling, dersom den videre frmgngsmåten er riktig og ogven ikke blir urimelig forenklet. Nødvendig mellomregning og forklring er åkrevd for å vise hv som er gjort, både i Del 1 og i Del v eksmen. Evnen til å kommunisere mtemtikk er viktig her. Eleven skl resentere løsningene å en ryddig, oversiktlig og tydelig måte. Mnglende konklusjon, benevning, bruk v nødvendig notsjon og liknende kn føre til lvere uttelling. Dersom eleven ikke hr med frmgngsmåten, men bre et korrekt svr, skl det gis noe uttelling for dette, selv om eleven hr vist mnglende kommuniksjonskometnse. Ved mer åne ogveformuleringer er det sesielt viktig t eleven begrunner sin tolkning v ogven og sitt vlg v løsningsstrtegi. Krvet til frmgngsmåte og forklring ved bruk v digitle verktøy er ikke mindre enn ved bruk v ndre hjelemidler. Det er viktig t eleven viser hv som er gjort i lle tyer digitle verktøy, for å få uttelling ved sensuren. Eksemel å frmgngsmåte og begrunnelse ved bruk v CAS og ndre digitle verktøy: Jf. dokumentene Eksemel å løsning for fgkodene MAT1003 Mtemtikk P (Høst 009), MAT1008 Mtemtikk T (Høst 009), MAT1013 Mtemtikk 1T (Høst 010) og REA30 Mtemtikk R1 (Høst 010) som er ublisert å Utdnningsdirektortets hjemmeside, Eleven står fritt til å tegne en grf å ir eller bruke et digitlt verktøy for å tegne smme grf og deretter t en utskrift. Begge tyer besvrelser skl vurderes å lik linje ved sensuren. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 7 v 50

8 1.6 Andre kommentrer Konstruksjon i Del 1 (for REA30 Mtemtikk R1) Konstruksjonsogver skl i Del 1 løses med sser, blynt og linjl. Det er generelt ikke krv om hjelefigur, men eleven skl lltid legge ved konstruksjonsforklring. Besvrelse v konstruksjonsogver i Del 1 bør skje å blnkt ir slik t konstruksjonen kommer frm så klrt som mulig Grftegning og skisse (irbsert) Tegning v grfer kn gjøres for hånd å ir. Det er viktig t elevene skriver å skl og nvn å ksene når de tegner grfer i besvrelsen sin. Det er generelt ikke krv om verditbell over utregnede funksjonsverdier, med mindre det er surt sesielt om det i ogven. Når begreet skisse brukes i forbindelse med tegninger, grfer og liknende, er det ikke snkk om en nøyktig tegning i riktig målestokk. Eleven kn d ikke uten videre måle å selve skissen for å besvre ogven. Hvis elevene blir bedt om å skissere en grf, er det tilstrekkelig t de skisserer kurvens form i besvrelsen. Her stilles det ikke så høye krv til nøyktighet som ved tegning v grfer. Mn bør imidlertid t med viktige unkter som null-, bunn-, to- og eventuelt vendeunkt. På skissen/tegningen v grfen skl vlesninger mrkeres tydelig Digitle verktøy å Del v eksmen Det forutsettes t elevene er kjent med digitle verktøy (grfisk klkultor som minstekrv eller ndre digitle verktøy for mtemtikk), og t de kn bruke disse å en hensiktsmessig måte under eksmen. Dersom elevene leverer utskrift fr et digitlt verktøy, er det viktig t lle rkene kn identifiseres med skolens nvn og kndidtnummer Grfisk klkultor (håndholdt) Med grfisk klkultor menes håndholdte klkultorer med grfvindu, for eksemel v de tyene som vr tilltt brukt i R94. Alle sentrlt gitte skriftlige eksmensogver i mtemtikk skl inntil videre kunne løses ved hjel v slike grfiske klkultorer, men elevene vil i noen tilfeller klrt h nytte v ndre digitle verktøy som regnerk, CAS og grftegner (å dtmskin) med utskriftsmuligheter eller muligheter for digitl innlevering (IKT-bsert eksmen). Ved bruk v grfisk klkultor skl eleven ogi hvilke kommndoer som er brukt. Det er ikke nødvendig å ogi lle tstetrykkene/kommndoene. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 8 v 50

9 Hvis elevene bruker den grfiske klkultoren til grftegning, trenger de ikke å ogi verken verditbell eller frmgngsmåte (kommndoer) å klkultoren. Skl og nvn å ksene må ogis, jf. kittel Merk. Før skolestrt i 01 vil Utdnningsdirektortet ublisere et forslg om å innføre nye minstekrv til digitle verktøy der den håndholdte, grfiske klkultoren ikke lenger er tilstrekkelig ved sentrlt gitt skriftlig eksmen i mtemtikk. Det forslås også å endre vrigheten v Del 1 og Del v eksmen i en rekke eksmenskoder. Nye eksemelogver vil bli ublisert, og d kommer mer utfyllende informsjon. Vi viser ellers til Utdnningsdirektortets brev til Kunnsksdertementet om eksmen 011 og 01: htt:// og-01/ Dynmisk geometrirogrm (rogrmvre å dtmskin) Dynmisk geometrirogrm kn brukes til å tegne geometriske figurer. Det er sesielt i eksmenskoden REA30 Mtemtikk R1 t dette digitle verktøyet kn være ktuelt å bruke. Ved tegning v geometriske figurer med dynmisk geometrirogrm ( Tegn ) under Del v eksmen tilltes lle funksjonststene/kommndoer direkte brukt i rogrmvren. Eksemler å slike er funksjonstster/kommndoer som tegner normler, hlverer vinkler, lger midtnorml, tegner rllelle linjer og så videre. Elevene må legge ved en oversikt over hv som er gjort i rogrmvren, i besvrelsen sin. Elevene vil bli røvd i klssisk konstruksjon med sser og linjl under Del 1, jf. kittel Grftegner (rogrmvre å dtmskin) En digitl grftegner finnes i mnge vrinter og kn være ktuelt å bruke i lle skriftlige eksmenskoder. Dersom elevene bruker en grftegner, er det viktig t de inkluderer skl og nvn å ksene når de tegner grfer. Hvis elevene bruker en slik grftegner, trenger de ikke å ogi verken verditbell eller frmgngsmåte (hvordn de hr gått frm for å tegne grfen) å klkultoren. Elevene må derimot forklre hvilke kommndoer som er brukt for å finne for eksemel skjæringsunkter og ekstremlunkter. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 9 v 50

10 Jeg tegner den rette linj y 86,5 i smme koordintsystem som grfen til T. Jeg bruker så kommndoen «Skjæring mellom to objekt» for å finne skjæringsunktet. Brønnen vr c år gmmel d målingene ble gjort CAS Comuter Algebr System (rogrmvre å dtmskin) CAS forstås som en symbolbehndlende (og numerisk) klkultor. CAS kn være særlig ktuelt å bruke i fgkodene 1T, T, T-Y, R1, R, S1 og S. Det er også tilltt å bruke CAS ved ogveformuleringer som Regn ut, Finn ved regning, Bestem og liknende. Elevene må selv finne for eksemel en riktig setning eller stille o en riktig likning. Deretter kn CAS brukes direkte, for eksemel slik: Jeg bruker cosinussetningen og finner vinkelen mellom sidene som er 0 m og 4 m: Jeg vet t vinkelen må være mindre enn 180. Vinkelen er derfor c. 35,7. Vi viser ellers til Eksemel å løsning, ublisert å for flere eksemler å bruk v CAS og eksmensbesvrelser, jf. kittel 1.5. Ellers må sensorene være ruse overfor symbolbruken i digitle verktøy. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 10 v 50

11 Regnerk (rogrmvre å dtmskin) Det kn særlig være ktuelt å bruke regnerk i fgkodene 1P, P og P-Y. Bruk v regnerk er obligtorisk ved sentrlt gitt skriftlig eksmen i MAT0010 Mtemtikk 10. årstrinn, og elevene skl h fått kjennsk til dette digitle verktøyet å ungdomsskolen. En regnerkutskrift skl h med rd- og kolonneoverskrifter. Utskriften skl også være identifiserbr, dvs. t den inneholder ogvenummer, skolens nvn og kndidtnummer. Ved bruk v regnerk bør eleven i størst mulig grd benytte formler slik t løsningen blir dynmisk, dvs. t løsningen endres dersom tllene i en ogve endres. Når et regnerk skrives ut, skl rd- og kolonneoverskrifter være med å utskriften. Eleven skl enten t en formelutskrift v regnerket eller skrive formlene som er brukt, i en tekstboks. Eleven bør tilsse løsningen å regnerket til ett eller to utskriftsrk ved bruk v forhåndsvisning før utskrift. Selv om det er det fglige innholdet som rimært skl vurderes, vil også resentsjonen v løsningen bli vurdert (kommuniksjonskometnse) Digitle verktøy og mtemtisk symbolbruk I digitle verktøy kn mtemtisk symbolbruk vvike noe fr den klssiske symbolnotsjonen. Eksemler å dette er /, *, ^ og så videre. Dette er godkjent notsjon, og elevene må ikke trekkes for dette under sensuren. Mer klssisk (og korrekt) notsjon, og symbol- og formlismekometnse røves i Del 1 v eksmen. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 11 v 50

12 1.7 IKT-bsert eksmen (Del ) I videregående olæring står skolene fritt til å rrngere IKT-bsert eksmen for Del v den todelte eksmen i mtemtikk. Ved eksmen etter 10. årstrinn er det ikke IKT-bsert eksmen. Mens Del 1 v todelt eksmen skl besvres med ir og sendes er vnlig ost til sensor, vil IKT-bsert eksmen v Del måtte besvres ved hjel v dtmskin og et dtdokument som sendes elektronisk til sensor. Dersom mn vil rrngere IKT-bsert eksmen, er det viktig å sette seg grundig inn i hvordn dette gjøres, og hvilke systemkrv og krv til formt som gjelder. Informsjon om IKT-bsert eksmen finner du her: htt:// IKT-bsert eksmen gjennomføres slik: 1) Eksmenskndidten logger seg inn å Utdnningsdirektortets røvegjennomføringssystem (PGS) med tildelt brukernvn og ssord. ) Eksmenskndidten lster ned eksmensogven fr Utdnningsdirektortets røvegjennomføringssystem PGS-A når Del kn begynne. 3) Eksmenskndidten besvrer eksmensogven ved hjel v dtmskin og diverse digitl rogrmvre, og lgrer besvrelsen. 4) Eksmenskndidten lster o besvrelsen til PGS-A. 5) Sensor henter besvrelsen i røvedministrsjonssystemet PAS, der også krkterene blir stt ved fellessensuren. På htt:// finner du diverse odterte brukerveiledninger for skolen, eksmenskndidtene og for sensur. Gode råd for hvordn mn går frm, og hvilke filformter som er tilltt for eksmenskndidter som skl besvre Del v todelt, sentrlt gitt eksmen i mtemtikk som IKT-bsert eksmen: Avhengig v hvilken fgkode i mtemtikk du skl t eksmen i, er det viktig t du hr en dtmskin og de digitle verktøyene du trenger for å besvre eksmen i denne fgkoden. Som bsisdokument bør du h et tekstbehndlingsrogrm (for eksemel Word). Husk å lge to- eller bunntekst i tekstbehndlingsdokumentet, der du skriver skolens nvn og kndidtnummeret ditt. For mer informsjon om identifisering v besvrelsen din kn du lese brukerveiledningen for kndidter her: htt:// (under Vedlegg ) Husk også løende ogvenummerering der du koierer inn for eksemel en del v et regnerk eller et digrm i en ogve, mens du koierer inn en digitl grftegning eller en utregning fr CAS til neste ogve, og så videre. Skriv ellers utfyllende kommentrer til hver ogve, slik t du besvrer ogven best mulig. Eksemler: Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 1 v 50

13 Ogve 1 Jeg tegner den rette linj y 86,5 i smme koordintsystem som grfen til T. Jeg bruker så kommndoen «Skjæring mellom to objekt» for å finne skjæringsunktet. Brønnen vr c år gmmel d målingene ble gjort. Ogve Jeg bruker cosinussetningen og finner vinkelen mellom sidene som er 0 m og 4 m: Jeg bruker CAS: Jeg vet t vinkelen må være mindre enn 180. Vinkelen er derfor c. 35,7. Når du er ferdig med Del v todelt eksmen i mtemtikk, må du huske å lgre og lste o besvrelsen din i PGS-A. Se brukerveiledningen for kndidter: htt:// (under Vedlegg ) Det finnes svært mnge ulike tyer digitle verktøy i mtemtikk, noe som innebærer t det finnes mnge filformter. PGS godtr ikke lle tyer filformter. Derfor kn det være mest rktisk å bruke et tekstbehndlingsdokument og deretter koiere fr de ndre Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 13 v 50

14 digitle verktøyene og inn i tekstbehndlingsdokumentet, slik som det er vist ovenfor. PGS godtr for eksemel filformtet -.doc (tekstbehndlingsdokument). Følgende filformter kn benyttes i forbindelse med IKT-bsert eksmen: doc, df, rtf, xls, ods, odt, xlsx, docx, sxc, sxw, html, txt. Det er lgt inn en kontroll i PGS-A som gjør t ndre tyer filformter blir vvist. Mksiml filstørrelse å besvrelsen er 10 MB. Dersom filen er større enn dette, må den først kkes ( zies ). Følgende formter kn benyttes til slik kking: 7z, z, gz, rr, tr, zi Ved IKT-bsert eksmen i mtemtikk må HELE besvrelsen v Del smles i én fil og leveres digitlt til sensor, ikke bre delvis. Elevene/rivtistene kn ltså ikke levere Del delvis å ir og delvis som IKT-bsert eksmen eller levere flere filer. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 14 v 50

15 1.8 Sesielt om REA30 Mtemtikk R1. Sirkelen som et geometrisk sted Ved sentrlt gitt skriftlig eksmen i REA30 Mtemtikk R1 høsten 011 stte noen sørsmålstegn ved t sirkellikning i lnet vr gitt i ogve 1 d) 3) i Del 1 og i ogve 4 i Del. I lærelnen for fget 1 heter det t eleven skl kunne bruke linjer og sirkler som geometriske steder smmen med formlikhet og setningen om eriferivinkler i geometriske resonnementer og beregninger utføre og nlysere konstruksjoner definert v rette linjer, treknter og sirkler i lnet, med og uten bruk v dynmisk rogrmvre regne med vektorer i lnet, både geometrisk som iler og nlytisk å koordintform omforme og forenkle smmenstte rsjonle funksjoner og ndre symbolske uttrykk med og uten bruk v digitle hjelemidler tegne grfer til funksjoner med og uten digitle hjelemidler, og tolke grunnleggende egensker til en funksjon ved hjel v grfen bruke vektorfunksjoner med rmeterfrmstilling for en kurve i lnet, tegne kurven og derivere vektorfunksjonen for å finne frt og kselersjon Ifølge forskrift til olæringslov 3-5 skl eksmen være i smsvr med lærelnens kometnsemål. I tillegg står det under hovedområdet Geometri for R1 t dette «hndler om måling, regning og nlyse v figurer i lnet.» Mn skl bruke «geometriske steder» og «overføre geometriske roblemer til lgebr.» Sensuren v ogve 1 c) i Del 1 for REA304 Mtemtikk R våren 011 vdekket t sirkellikningen vr for dårlig kjent for kndidtene. Vi gjengir ogven her: Figuren nedenfor viser en sirkel med sentrum i origo og rdius lik 1. Bruk et geometrisk resonnement til å bestemme Forklr hvordn du hr tenkt x dx 1 htt:// ( ) Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 15 v 50

16 Evlueringen v sentrlt gitt skriftlig eksmen i REA304 Mtemtikk R våren 011 viste t bre,9 % v eksmenskndidtene fikk full uttelling å denne ogven, noe som må krkteriseres som reltivt svkt. Dette tyder å t kunnsken om sirkelens ulike reresentsjoner er svkt utviklet fr Mtemtikk R1 der geometrien omhndler lnet. I lys v kometnsemålene for Mtemtikk R1 ovenfor og erfringene fr sensuren i 011 vil Utdnningsdirektortet her vklre hv som forventes t eksmenskndidter skl kunne beherske når det gjelder sirkellikningen ved frmtidige eksmener i REA30 Mtemtikk R1. Vårt formål er å åeke t sirkelens ulike reresentsjoner kn behndles kortfttet innenfor de fleste v lærelnens hovedområder i R1. Sirkelen og dens ulike reresentsjoner bør ikke tolkes som et eget «tem» innenfor R1, men snrere som nturlige eksemler å lngeometri innenfor de fleste v lærelnens hovedområder i mtemtikk R Sirkellikning og vektorregning Eksmenskndidtene må kunne utlede sirkellikningen gjennom vektorregning å koordintform. Eksemel 1 y SP x 1, y r SP 4 P ( x, y ) ( x1) ( y ) 4 r 4 ( x1) ( y ) 4 S (1,) ( x1) ( y ) 4 x Dette er en sirkel med sentrum i S (1, ) og med rdius r 4 Her knyttes geometri, sirkelen som et geometrisk sted, til lgebr, etter intensjonen i lærelnen. I dette eksemelet kn dette gjøres ved å t utgngsunkt i lengden v en vektor mellom to unkter. Vi hr nå likningen for en sirkel å imlisitt form. Det kn også være nturlig å knytte Pytgors-setningen til tegningen ovenfor. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 16 v 50

17 1.8. Sirkellikning og omforming Omforming v symbolske uttrykk innebærer t kndidtene også må kunne omforme sirkellikningen: Eksemel ( x 3) ( y ) 5 x x y y x x y y x x y y x y x y Sirkellikningen å denne formen kn også omformes ved å gå ndre veien og benytte seg v t mn kn kvdrtsetningene fr Mtemtikk 1T. Elevene bør også være kjent med utledningen v ndregrdsformelen i Mtemtikk 1T. Eksmenskndidtene må ltså kunne omforme en sirkellikning som er gitt å formen x y x y ved å bruke fullstendige kvdrters metode. Det er her snkk om å omforme sirkellikningen, et eksemel å omforming v symbolske uttrykk. Eksemel 3 1. kvdrtsetning sier t b b ( b) Dersom vi skl lge et fullstendig kvdrt med utgngsunkt i uttrykket x 6x, ser vi t 6 b 6 b Vi lger ltså et fullstendig kvdrt ved å ddere b 6 : 6 x 6x x 6x 9 ( x 3) Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 17 v 50

18 Eksemel 4 x y x y x 6x y 4y 1 x 6x 3 y 4y 1 3 ( x 3) ( y ) 5 ( x 3) ( y ) 5 Dette er en sirkel med sentrum i S( 3, ) og rdius r Sirkellikning og funksjon / grf Eksmenskndidten må med utgngsunkt i sirkellikningen kunne beskrive sirkelen som grfen til to funksjoner ved å omforme sirkellikningen fr imlisitt form. Eksemel 5 y En sirkel er gitt å formen y 16 x x y 4 Vi vil her omforme sirkellikningen ved å uttrykke y ekslisitt: x x y 4 y 16 x y x x 16, 4, 4 y 16 x Vi kn ltså tegne sirkelen som to grfer, en øvre del og nedre del. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 18 v 50

19 1.9 Kommentrer til kjennetegn å målonåelse Bkgrunnen for kjennetegn å målonåelse er St.meld. nr. 30 ( ), som slår fst t når det innføres nye lærelner med mål for elevenes kometnse (Kunnsksløftet), vil en stndrdbsert (kriteriebsert) vurdering legges til grunn for eksmenskrkterene. Kjennetegnene å målonåelse uttrykker i hvilken grd eleven hr nådd kometnsemålene i lærelnen. Mtemtikkometnsen som kjennetegnene beskriver, er delt inn i tre ktegorier: begreer, forståelse og ferdigheter roblemløsning kommuniksjon Innholdet i disse ktegoriene beskriver mtemtikkometnse å tvers v lærelnens kometnsemål og er ment å være til hjel for sensors fglige skjønn når elevens restsjon vurderes. De tre ktegoriene kn ikke forstås dskilt, men er ngitt slik for oversiktens skyld slik t sensor lettere skl få et helhetsinntrykk v besvrelsen. Kjennetegnene for lle tre ktegoriene gjelder for både Del 1 og Del v eksmen. Begreer, forståelse og ferdigheter Denne ktegorien er en viktig og grunnleggende del v mtemtikkometnsen. God kunnsk her er vgjørende for å kunne tkle større og mer smmenstte utfordringer. Kjennetegnene i denne ktegorien beskriver i hvilken grd eleven kjenner, forstår og håndterer mtemtiske begreer. Videre forventes det t eleven kn vkode, oversette og behndle blnt nnet symboler og formler. Det er ikke bre snkk om bokstvregning og likningsløsning, men også tllsymboler, mtemtiske tegn og formelle sider ved elementær regning. For eksemel er det ikke lov å skrive 6 5 eller 6 3. Videre er (3 4) ikke det smme som 3 4, og er ikke det smme som ( ). I denne ktegorien inngår også det å forstå og håndtere ulike reresentsjoner v begreer. For eksemel kn π (i) reresenteres ved hjel v symbolet π eller som en uendelig desimlbrøk 3, eller som en rsjonl tilnærming (for eksemel brøkene 3 7 eller 71 ) eller geometrisk som omkretsen v en sirkel med dimeter 1, osv. Et nnet eksemel er begreet lineær funksjon, som kn reresenteres som et funksjonsuttrykk eller en regel y f ( x) x 1, som en tegnet grf i et koordintsystem, som en verditbell med verdier for x og y, som et geometrisk objekt, for eksemel den rette linjen som går gjennom unktene (0, 1) og (,3), eller lgebrisk som løsningsmengden til en likning, for eksemel 3y6x 3 0. Problemløsning Denne ktegorien sier noe om elevens evne til å løse ulike roblemstillinger. Problem må her forstås vidt fr enkle, rutinemessige ogver til større, mer smmenstte roblemer. Det er ltså snkk om hvordn eleven bruker kunnsker og ferdigheter å ulike mtemtiske roblemstillinger og ser smmenhenger i fget og mellom lærelnens hovedområder. Problem kn også forstås reltivt. Det som er et roblem for én elev, kn oleves som elementært for ndre elever, vhengig v å hvilket nivå eleven befinner seg. Denne ktegorien vil også beskrive elevens kometnse når det gjelder modellering i hvilken grd eleven kn lge, t i bruk og vurdere modeller. Det kn for eksemel dreie seg om å betrkte en vekstfunksjon eller undersøke kostndene ved å bruke mobiltelefon. I denne ktegorien er det også nturlig å vurdere i hvilken grd eleven er kjent med ulike hjelemidler og kn bruke Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 19 v 50

20 disse å en hensiktsmessig måte under eksmen. Videre er det nturlig å vurdere i hvilken grd eleven viser mtemtisk tnkegng, og om eleven hr evne til å vurdere svr i forbindelse med ulike mtemtiske roblemstillinger. Kommuniksjon Denne ktegorien beskriver blnt nnet i hvilken grd eleven klrer å sette seg inn i en mtemtisk tekst, og i hvilken grd eleven kn uttrykke seg i mtemtikk ved hjel v det mtemtiske symbolsråket. Det er viktig t eleven viser frmgngsmåter, rgumenterer og forklrer den mtemtiske løsningen. Dette er sesielt viktig i forbindelse med bruk v digitle verktøy. *** *** *** Ktegorien roblemløsning er den mest sentrle ktegorien for sensors vurderingsgrunnlg, men det er også viktig t kjennetegnene å målonåelse i lle tre ktegorier ses i smmenheng og ikke dskilt fr hverndre. Det er ikke vnntette skott mellom ktegoriene, men flytende overgnger. Kjennetegnene å målonåelse skl gi informsjon om hv som vektlegges i vurderingen v elevens restsjon. De skl videre beskrive kvliteten å den kometnsen elevene viser (hv de mestrer), ikke mngel å kometnse. Kjennetegnene beskriver kvliteten å elevenes mtemtiske kometnse å tvers v lærelnens hovedområder og kometnsemål. Ved å benytte kjennetegn å målonåelse og eventuelt oeng kn sensor dnne seg et bilde v eller lge en rofil over den mtemtiske kometnsen eleven hr vist. Ktegoriene v mtemtikkometnse inneholder kjennetegn knyttet til tre ulike krkternivåer: låg kometnse (krkteren ) nokså god / god kometnse (krkterene 3 og 4) mykje god / frmifrå kometnse (krkterene 5 og 6) Målet med kjennetegnene er å gi en ekeinn, en retning for hvordn sensor skl bedømme restsjonen, og er ikke nødvendigvis en millimeterresis beskrivelse v ulike kometnsenivåer. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 0 v 50

21 Kjennetegn å målonåelse Mtemtikk fellesfg og rogrmfg i videregående olæring Kometnse Krkteren Krkterene 3 og 4 Krkterene 5 og 6 Eleven Eleven Eleven Begreer, forståelse og ferdigheter forstår en del grunnleggende begreer behersker en del enkle, stndrdiserte frmgngsmåter forstår de fleste grunnleggende begreer og viser eksemler å forståelse v smmenhenger i fget behersker de fleste enkle, stndrdiserte frmgngsmåter, hr middels god regneteknikk og bruk v mtemtisk formsråk, viser eksemler å logiske resonnementer og bruk v ulike mtemtiske reresentsjoner forstår lle grunnleggende begreer, kombinerer begreer fr ulike områder med sikkerhet og hr god forståelse v dyere smmenhenger i fget viser sikkerhet i regneteknikk, logiske resonnementer, bruk v mtemtisk formsråk og bruk v ulike mtemtiske reresentsjoner Eleven Eleven Eleven viser eksemler å å kunne løse enkle roblemstillinger med utgngsunkt i tekster, figurer og rktiske og enkle situsjoner løser de fleste enkle og en del middels komliserte roblemstillinger med utgngsunkt i tekster, figurer og rktiske situsjoner, og viser eksemler å bruk v fgkunnsk i nye situsjoner utforsker roblemstillinger, stiller o mtemtiske modeller og løser ogver med utgngsunkt i tekster, figurer og nye og komlekse situsjoner Problemløsning klrer iblnt å lnlegge enkle løsningsmetoder eller utsnitt v mer komliserte metoder klrer delvis å lnlegge løsningsmetoder i flere steg og å gjøre fornuftige ntgelser viser sikkerhet i lnlegging v løsningsmetoder i flere steg og formulering v ntgelser knyttet til løsningen, viser kretivitet og originlitet kn vgjøre om svr er rimelige i en del enkle situsjoner kn ofte vurdere om svr er rimelige viser sikkerhet i vurdering v svr, kn reflektere over om metoder er hensiktsmessige viser eksemler å bruk v hjelemidler knyttet til enkle roblemstillinger bruker hjelemidler å en hensiktsmessig måte i en del ulike smmenhenger viser sikkerhet i vurdering v hjelemidlenes muligheter og begrensninger, og i vlg mellom hjelemidler kn bruke hjelemidler til å se en del enkle mønstre klrer delvis å bruke digitle verktøy til å finne mtemtiske smmenhenger kn bruke digitle verktøy til å finne mtemtiske smmenhenger, og kn sette o hyoteser ut fr dette Eleven Eleven Eleven Kommuniksjon resenterer løsninger å en enkel måte, for det meste med uformelle uttrykksformer resenterer løsninger å en forholdsvis smmenhengende måte med forklrende tekst i et delvis mtemtisk formsråk resenterer løsninger å en oversiktlig, systemtisk og overbevisende måte med forklrende tekst i mtemtisk formsråk Krkteren 1 uttrykker t eleven hr svært lv kometnse i fget. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 1 v 50

22 1.10 Vurdering v onådd kometnse Vurdering i mtemtikk Lærelnene og forskrift til olæringsloven er grunndokumenter for vurderingsrbeidet. Forskrift til olæringsloven 3-5 og 4-18 slår fst følgende: Eksmen skl orgniserst slik t eleven/deltkren eller rivtisten kn få vist kometnsen sin i fget. Eksmenskrkteren skl fstsetjst å individuelt grunnlg og gi uttrykk for kometnsen til eleven/deltkren eller rivtisten slik den kjem frm å eksmen. Kometnse er i denne smmenhengen definert som evnen til å møte en komleks utfordring eller utføre en komleks ktivitet eller ogve. Eksmensogvene blir utformet slik t de røver denne kometnsen. Grunnlget for å vurdere kometnsen elevene viser i eksmensbesvrelsen, er kometnsemålene i lærelnen for fg. 3 De grunnleggende ferdighetene er integrert i kometnsemålene i lle lærelnene for fg. Grunnleggende ferdigheter vil derfor kunne røves indirekte til sentrlt gitt eksmen. Grunnleggende ferdigheter utgjør ikke et selvstendig vurderingsgrunnlg. Forskrift til olæringsloven 3-4 og 4-4 hr generelle krkterbeskrivelser for grunnolæringen: ) Krkteren 6 uttrykkjer t eleven hr frmifrå kometnse i fget. b) Krkteren 5 uttrykkjer t eleven hr mykje god kometnse i fget. c) Krkteren 4 uttrykkjer t eleven hr god kometnse i fget. d) Krkteren 3 uttrykkjer t eleven hr nokså god kometnse i fget. e) Krkteren uttrykkjer t eleven hr låg kometnse i fget. f) Krkteren 1 uttrykkjer t eleven hr svært låg kometnse i fget. Sensuren v eksmensogvene er kriteriebsert. Sensorene skl vurdere hv eleven kn, frmfor å finne ut hv eleven ikke kn. Når sensor bruker oeng, skl det gis uttelling for det eleven hr restert, ikke oengtrekk for det eleven ikke hr fått til. Det er sjelden uten verdi t eleven løser ogven å en nnen måte enn den det i utgngsunktet bes om i ogveteksten, selv om svret d ikke kn betrktes som fullgodt. Dersom det ostår tvil om ulike oftninger v ogveteksten, vil sensorene være åne for rimelige tolkninger. St.meld. nr. 30 ( ) Kultur for læring. 3 Forskrift til olæringsloven 3-3 og 4-3. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side v 50

23 Den endelige krkteren skl bygge å sensors fglige skjønn og å en smlet vurdering v elevens restsjon med kriteriebsert vurdering som rinsi. Krkterfstsettelsen kn derfor ikke utelukkende være bsert å en oengsum eller å ntll feil og mngler ved restsjonen. Poenggrenser ved sensuren er veiledende og må stå i et rimelig forhold til kjennetegnene å målonåelse. Bruk v oeng og oenggrenser er, som tidligere nevnt, bre veiledende i vurderingen. Sensor må se nærmere å hvilke ogver eleven onår oeng å, og ikke bre betrkte en oengsum. Krkteren blir fststt etter en smlet vurdering v Del 1 og Del. Sensor vurderer derfor, med utgngsunkt i kjennetegnene å målonåelse, i hvilken grd eleven viser regneferdigheter og mtemtisk forståelse gjennomfører logiske resonnementer ser smmenhenger i fget, er ofinnsom og kn t i bruk fgkunnsk i nye situsjoner kn bruke hensiktsmessige hjelemidler vurderer om svr er rimelige forklrer frmgngsmåter og begrunner svr skriver oversiktlig og er nøyktig med utregninger, benevninger, tbeller og grfiske frmstillinger Sensorveiledning og vurderingsskjem Utdnningsdirektortet ubliserer sensorveiledninger å eksmensdgen i lle fgkoder i mtemtikk. Smmen med sensorveiledningene blir det også ublisert vurderingsskjemer som sensorene skl bruke. Hensikten med disse ubliksjonene er å støtte o om den sentrle sensuren og sikre en rettferdig sensur. Sensorveiledning og vurderingsskjem ubliseres å eksmensdgen, etter t eksmen i den ktuelle fgkoden er vholdt. Disse dokumentene blir lgt ut å Utdnningsdirektortets nettsider: htt:// VGO/ Sensorveiledningen inneholder kommentrer til ogvene og retningslinjer til sensor om vurderingen. Vi forutsetter t lle sensorer følger veiledningen. Sensorveiledningen og vurderingsskjemet inneholder oengfordeling for hver fgkode. Alle sensorer må følge denne oengfordelingen i sin sensur. NB! Bruk v oeng er bre veiledende i vurderingen. Krkteren fstsettes ut fr en helhetsvurdering v besvrelsen, bruk v kjennetegn å målonåelse og sensors fglige skjønn. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 3 v 50

24 Forhåndssensur og forhåndssensurrort Som tidligere vholdes det ved våreksmen forhåndssensur å bkgrunn v førsteinntrykkene fr sensorene noen få dger etter eksmen i fget. På bkgrunn v dette utrbeides det en forhåndssensurrort som ubliseres å Utdnningsdirektortets nettsider å smme sted som sensorveiledningen. htt:// VGO/ Forhåndssensurrorten kn inneholde justeringer v sensorveiledningene som blir ublisert å eksmensdgen. Vi forutsetter t lle sensorer følger veiledningen i forhåndssensurrorten. Forhåndssensurrorten vil vnligvis inneholde oengfordeling og oenggrenser. Alle sensorer må følge denne oengfordelingen i sin sensur. NB! Bruk v oeng er bre veiledende i vurderingen. Krkteren fstsettes å bkgrunn v en smlet vurdering v besvrelsen, bruk v kjennetegn å målonåelse og sensors fglige skjønn. Alle sensorer er forliktet til å følge ll veiledning fr Utdnningsdirektortet, det vil si: vurderingsveiledningen inkludert kjennetegn å målonåelse sensorveiledningen og vurderingsskjem forhåndssensurrorten Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 4 v 50

25 Vedlegg 1 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i MAT1011 Mtemtikk 1P (Formelrket kn ikke brukes å Del 1 v eksmen.) Rektngel A g h Treknt gh A Prllellogrm A g h Tres b h A ( ) Sirkel A r Prisme V G h Sylinder V r h Geometri Formlikhet Målestokk Pytgors setning O r Proorsjonlitet Proorsjonle størrelser Omvendt roorsjonle størrelser Rette linjer y x b Vekstfktor Økonomi Snnsynlighet Prisindeks Kroneverdi Rellønn Snnsynlighet ved systemtiske otellinger P( A) 1 P( A) P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 5 v 50

26 Eksmensogvene lges ut fr kometnsemålene i lærelnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kometnsemål som kn røves i Del 1. Dersom ogvetemet krever det, kn mer komliserte formler bli ogitt som en del v ogveteksten i Del 1. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 6 v 50

27 Vedlegg Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i MAT1003 Mtemtikk 1P + P (Formelrket kn ikke brukes å Del 1 v eksmen.) Rektngel A g h Treknt gh A Prllellogrm A g h Tres b h A ( ) Sirkel A r O r Prisme V G h Sylinder V r h Formlikhet Geometri Målestokk Pytgors setning Stndrdform Plssverdisystemer n k 10 1 k 10 og n er et helt tll Enkle omregninger Proorsjonle størrelser Proorsjonlitet Omvendt roorsjonle størrelser Rette linjer y x b Potenser Vekstfktor q q q q q b b q b b Økonomi Snnsynlighet Sttistikk Prisindeks Kroneverdi Rellønn Snnsynlighet ved systemtiske otellinger P( A) 1 P( A) P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige Gjennomsnitt Medin Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 7 v 50

28 Eksmensogvene lges ut fr kometnsemålene i lærelnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kometnsemål som kn røves i Del 1. Dersom ogvetemet krever det, kn mer komliserte formler bli ogitt som en del v ogveteksten i Del 1. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 8 v 50

29 Vedlegg 3 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i MAT1015 Mtemtikk P (Formelrket kn ikke brukes å Del 1 v eksmen.) Potenser Stndrdform Plssverdisystemer Vekstfktor Sttistikk q q b b q q 0 1 q q 1 b b n k 10 1 k 10 og n er et helt tll Enkle omregninger Gjennomsnitt Medin Eksmensogvene lges ut fr kometnsemålene i lærelnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kometnsemål som kn røves i Del 1. Dersom ogvetemet krever det, kn mer komliserte formler bli ogitt som en del v ogveteksten i Del 1. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 9 v 50

30 Vedlegg 4 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i MAT1005 Mtemtikk P-Yrkesfg Påbygging til generell studiekometnse (Formelrket kn ikke brukes å Del 1 v eksmen.) Stndrdform Plssverdisystemer Potenser Vekstfktor n k 10 1 k 10 og n er et helt tll Enkle omregninger q q q q q b b q b b Rette linjer y x b Snnsynlighet ved systemtiske otellinger P( A) 1 P( A) Snnsynlighet P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige Gjennomsnitt Sttistikk Medin Eksmensogvene lges ut fr kometnsemålene i lærelnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kometnsemål som kn røves i Del 1. Dersom ogvetemet krever det, kn mer komliserte formler bli ogitt som en del v ogveteksten i Del 1. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 30 v 50

31 Vedlegg 5 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i MAT1013 Mtemtikk 1T (Formelrket kn ikke brukes å Del 1 v eksmen.) Stndrdform k 10 1 k 10 og n er et helt tll Vekstfktor n Rette linjer Potenser y x b y y1 x x1 y y ( x x ) 1 1 q q q q q b b q b b Kvdrtsetningene og konjugtsetningen Likning v ndre grd Logritmer Vekst og derivsjon Trigonometri i rettvinklede treknter ( b) b b ( b) b b ( b)( b) b b b 4c x bx c 0 x b lg lg x b x lg x c x 10 Gjennomsnittlig veksthstighet Momentn veksthstighet Definisjon v den deriverte c f( x) lim Derivsjonsregel for olynomfunksjoner motstående ktet sinv hyotenus hosliggende ktet cosv hyotenus motstående ktet tnv hosliggende ktet f x x f x x 0 ( ) ( ) x Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 31 v 50

32 Geometri Snnsynlighet Arel 1 bc sin A b c bccos A sin A B C sin sin b c Snnsynlighet ved systemtiske ostillinger P( A) 1 P( A) P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige Binomisk fordeling Hvis binomisk fordeling inngår i Del 1 v eksmen, vil formlene bli ogitt slik: Binomisk fordeling: n k P( X k) (1 ) k nk Antll uvhengige forsøk er n. X er ntll gnger A inntreffer. P(A) = i hvert forsøk. Eksmensogvene lges ut fr kometnsemålene i lærelnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kometnsemål som kn røves i Del 1. Dersom ogvetemet krever det, kn mer komliserte formler bli ogitt som en del v ogveteksten i Del 1. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 3 v 50

33 Vedlegg 6 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i MAT1008 Mtemtikk 1T + T (Formelrket kn ikke brukes å Del 1 v eksmen.) Stndrdform Vekstfktor n k 10 1 k 10 og n er et helt tll Rette linjer Potenser Kvdrtsetningene og konjugtsetningen Likning v ndre grd Logritmer Vekst og derivsjon Trigonometri i rettvinklede treknter y x b y y1 x x1 y y ( x x ) 1 1 q q q q q b b q q q q ( ) b b 0 ( b) b b ( b) b b ( b)( b) b 1 1 b b 4c x bx c 0 x x b b x lg lg lg x c x 10 Gjennomsnittlig veksthstighet Momentn veksthstighet Definisjon v den deriverte c f( x) lim Derivsjonsregel for olynomfunksjoner motstående ktet sinv hyotenus hosliggende ktet cosv hyotenus motstående ktet tnv hosliggende ktet f x x f x x 0 ( ) ( ) x Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 33 v 50

34 Geometri Kombintorikk Snnsynlighet Vektorregning Arel 1 bc sin A b c bccos A sin A B C sin sin b c n! 13 n n! np r n( n 1)... ( n r 1 ) ( n r)! n n! n C r r r! ( n r)! Snnsynlighet ved systemtiske ostillinger P( A) 1 P( A) P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige P( AB) P( A) P( B A) P( A B) P( B) P( B) [ x, y] xe ye x y t[ x,y] [ tx,ty] [ x 1,y1] [ x,y] [ x1 x,y1 y] [ x,y ] [ x,y ] x x y y [ x, y ] x y [ x,y ] [ x,y ] x x og y y AB [ x x,y y ] fr A( x,y ) til B( x, y ) b b cos u u er vinkel mellom og b b tb b b 0 x x0 t ( x 0, y0) er et unkt å linj y y0 bt v [,b] er rllell med linj Eksmensogvene lges ut fr kometnsemålene i lærelnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kometnsemål som kn røves i Del 1. Dersom ogvetemet krever det, kn mer komliserte formler bli ogitt som en del v ogveteksten i Del 1. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 34 v 50

35 Vedlegg 7 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i MAT1017 Mtemtikk T (Formelrket kn ikke brukes å Del 1 v eksmen.) Vektorregning Snnsynlighet Kombintorikk [ x, y] xe ye x y t[ x,y] [ tx,ty] [ x 1,y1] [ x,y] [ x1 x,y1 y] [ x,y ] [ x,y ] x x y y [ x, y ] x y [ x,y ] [ x,y ] x x og y y AB [ x x,y y ] fr A( x, y ) til B( x, y ) b b cosu u er vinkel mellom og b b tb b b 0 x x0 t ( x 0, y0) er et unkt å linj y y0 bt v [,b] er rllell med linj P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige P( AB) P( A) P( B A) P( A B) P( B) P( B) n! 13 n n! np r n( n 1)... ( n r 1 ) ( n r)! n n! n C r r r! ( n r)! Eksmensogvene lges ut fr kometnsemålene i lærelnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kometnsemål som kn røves i Del 1. Dersom ogvetemet krever det, kn mer komliserte formler bli ogitt som en del v ogveteksten i Del 1. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 35 v 50

36 Binomisk og hyergeometrisk fordeling Hvis binomisk eller hyergeometrisk fordeling inngår i Del 1 v eksmen, vil formlene bli ogitt slik: Binomisk fordeling: n k P( X k) (1 ) k nk Antll uvhengige forsøk er n. X er ntll gnger A inntreffer. P(A) = i hvert forsøk. Hyergeometrisk fordeling: m n m k r k P( X k ) n r m elementer i D. n m elementer i D. r elementer trekkes tilfeldig. X er ntll elementer som trekkes fr D. (Formlene er ogitt slik som i godkjent formelsmling i mtemtikk for Reform 94.) Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 36 v 50

37 Vedlegg 8 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i MAT1010 Mtemtikk T Yrkesfg Påbygging til generell studiekometnse (Formelrket kn ikke brukes å Del 1 v eksmen.) Vekstfktor Rette linjer Logritmer Vekst og derivsjon Kombintorikk Snnsynlighet Vektorregning y x b y y1 x x1 y y ( x x ) 1 1 b lg lg x b x c lg x c x 10 Gjennomsnittlig veksthstighet Momentn veksthstighet f( x x) f( x) Definisjon v den deriverte f( x) lim x 0 x Derivsjonsregel for olynomfunksjoner n! 13 n n! np r n( n 1)... ( n r 1 ) ( n r)! n n! n C r r r! ( n r)! Snnsynlighet ved systemtiske ostillinger P( A) 1 P( A) P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige P( AB) P( A) P( B A) P( A B) P( B) P( B) [ x, y] xe ye x y t[ x,y] [ tx,ty] [ x 1,y1] [ x,y] [ x1 x,y1 y] [ x,y ] [ x,y ] x x y y [ x, y ] x y [ x,y ] [ x,y ] x x og y y AB [ x x,y y ] fr A( x,y ) til B( x,y ) b b cos u u er vinkel mellom og b Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 37 v 50

38 b t b b b 0 x x0 t ( x 0, y0) er et unkt å linj y y0 bt v [,b] er rllell med linj Eksmensogvene lges ut fr kometnsemålene i lærelnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kometnsemål som kn røves i Del 1. Dersom ogvetemet krever det, kn mer komliserte formler bli ogitt som en del v ogveteksten i Del 1. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 38 v 50

39 Vedlegg 9 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i REA30 Mtemtikk R1 (Formelrket kn ikke brukes å Del 1 v eksmen.) Likning v ndre grd Fktorisering v ndregrdsuttrykk Polynomer Logritmer Grenseverdier Derivsjon Kombintorikk Snnsynlighet Vektorregning 4 x bx c 0 x b b c x bx c ( x x )( x x ) 1 Nullunkter og olynomdivisjon lg x 10 x lg x x lg lg( b) lg lg b lg lg lg b b x b b x lg lg e ln ln x x x x ln ln( b) ln lnb ln lnlnb b x b b x ln ln x x 10 b x lg b e b x ln b c c lg x c x 10 ln x c x e Utregning v grenseverdier Horisontle og vertikle symtoter f( x x) f( x) Definisjon v den deriverte f( x) lim x 0 x Derivsjonsregler for otens-, kvdrtrot-, eksonentil- og logritmefunksjoner Derivsjonsregler for sum, differnse, rodukt og kvotient Kjerneregel n! 13 n n! np r n( n 1)... ( n r 1 ) ( n r)! n n! n C r r r! ( n r)! Snnsynlighet ved systemtiske ostillinger P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige P( AB) P( A) P( B A) P( A B) P( B) P( B) Regning med vektorer geometrisk som iler i lnet [ x, y] xe ye x y t[ x,y] [ tx,ty] [ x 1,y1] [ x,y] [ x1 x,y1 y] [ x,y ] [ x,y ] x x y y [ x, y ] x y Vurderingsveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 01 Side 39 v 50