om vurdering av eksamensbesvarelser 2014

Transkript

1 Eksmensveiledning om vurdering v eksmensbesvrelser 014 Mtemtikk. Sentrlt gitt skriftlig eksmen Studieforberedende og yrkesfglige utdnningsrogrm Kunnsksløftet LK06 Bokmål

2 Innhold 1 Vurdering eksmensmodell og vurdering v eksmensbesvrelser Formelrk 3 Måleenheter SI-stndrd 4 Symbol- og terminologiliste 5 Sesielt om REA30 Mtemtikk R1. Sirkelen som et geometrisk sted Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side v 64

3 1 Vurdering v sentrlt gitt skriftlig eksmen i mtemtikk i videregående olæring 014 Denne eksmensveiledningen gjelder sentrlt gitt skriftlig eksmen i mtemtikk for disse eksmenskodene i videregående olæring 014: Studieforberedende utdnningsrogrm MAT1011 Mtemtikk 1P MAT1013 Mtemtikk 1T MAT1015 Mtemtikk P MAT1017 Mtemtikk T REA30 Mtemtikk R1 REA306 Mtemtikk S1 REA304 Mtemtikk R REA308 Mtemtikk S Yrkesfglige utdnningsrogrm MAT1005 Mtemtikk P-Y, åbygging til generell studiekometnse, yrkesfg MAT1010 Mtemtikk T-Y, åbygging til generell studiekometnse, yrkesfg Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 3 v 64

4 1.1 Eksmensmodell og eksmensordning Eksmensmodell Eksmen vrer i 5 timer og består v to deler. Denne eksmensmodellen er vlgt ut fr en fglig vurdering v mtemtikkfgets egenrt og lærelnens kometnsemål Eksmensordning Eksmen hr ingen forberedelsesdel. Del 1 og Del v eksmen deles ut smtidig til elevene. Etter to nøyktig timer skl timer besvrelsen skl besvrelsen v Del 1 å leveres Del 1 inn. leveres Smtidig inn. Smtidig kn digitle kn verktøy og digitle ndre verktøy hjelemidler og ndre til bruk hjelemidler i Del ts til bruk frm. i Del ts frm. Besvrelsen v å Del skl leveres inn innen fem 5 timer timer etter etter eksmensstrt. Eleven kn begynne å Del når som helst (men uten hjelemidler frm til det hr gått to timer, og og besvrelsen å v Del 1 er er levert inn). 1. Hjelemidler, kommuniksjon og særskilt tilrettelegging 1..1 Hjelemidler å Del 1 På Del 1 er skrivesker, sser, linjl med centimetermål og vinkelmåler eneste tilltte hjelemidler. På Del 1 er det ikke tilltt å bruke dtmskin. Merk t ved særskilt tilrettelegging v eksmen er det heller ikke tilltt å bruke ndre hjelemidler enn de som er sesifisert ovenfor, jf. kittel Hjelemidler å Del Alle hjelemidler er tilltt, bortsett fr Internett og ndre verktøy som kn brukes til kommuniksjon. Elevene må å eksmensdgen selv velge og bruke hensiktsmessige hjelemidler, jf. kittel 1.8 Kjennetegn å målonåelse nedenfor. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 4 v 64

5 1..3 Kommuniksjon Under eksmen hr elevene ikke nledning til å kommunisere med hverndre eller utenforstående. Det betyr t Internett, mobiltelefoner og lle ndre innretninger som tillter kommuniksjon, ikke er tilltt under eksmen Særskilt tilrettelegging v eksmen Når det gjelder særskilt tilrettelegging v eksmen, vises det til rundskriv Udir-4-010, som er ublisert å Utdnningsdirektortets nettsider, Innholdet i eksmensogvene Ved utformingen v eksmensogver ts det utgngsunkt i kometnsemålene i lærelnen for fget. Integrert i kometnsemålene finner vi de grunnleggende ferdighetene å kunne uttrykke seg muntlig i mtemtikk (ikke å skriftlig eksmen) å kunne uttrykke seg skriftlig i mtemtikk å kunne lese i mtemtikk å kunne regne i mtemtikk å kunne bruke digitle verktøy i mtemtikk Fr formålet for fellesfget mtemtikk: Mtemtisk kometnse inneber å bruke roblemløysing og modellering til å nlysere og omforme eit roblem til mtemtisk form, løyse det og vurdere kor gyldig løysing er. Dette hr òg sråklege sekt, som det å formidle, smtle om og resonnere omkring ider. I det meste v mtemtisk ktivitet nyttr ein hjelemiddel og teknologi. Tll- og begresforståelse og ferdighetsregning utgjør fundmentet i mtemtikkfget. Ogvesettene er bygget o slik t besvrelsen skl gi grunnlg for å vurdere elevenes individuelle kometnse i mtemtikk. Elevene skl få mulighet til å vise i hvilken grd de kn t i bruk sine fglige kunnsker og ferdigheter i forbindelse med teoretiske roblemstillinger og i virkelighetsnære situsjoner. Ogvene i både Del 1 og Del v eksmen inneholder derfor elementer v ulik vnskegrd. Smlet sett (Del 1 og Del ) røver eksmen elevene i kometnsemål fr lle hovedområdene i lærelnen, men ikke nødvendigvis lle kometnsemålene i lærelnen. Avhengig v tem og kontekst kn eksmen inneholde flere ogver som hører til smme hovedområde. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 5 v 64

6 1.3.1 Innhold i Del 1 I Del 1 røves regneferdigheter og grunnleggende mtemtikkforståelse, begres- og tllforståelse, evne til resonnement og fgkunnsk. Del 1 inneholder ogver med ulik vnskegrd. Det kn være flere mindre ogver med temer sredt ut over kometnsemålene i lærelnen. I tillegg kn det eventuelt være mer smmenhengende ogver. Del 1 v eksmen er irbsert. Kndidtene skl skrive med blå eller svrt enn. Unntket er eventuelt konstruksjon v geometriske figurer Formler i Del 1 Kittel i denne eksmensveiledningen lister o formler som skl være kjent med tnke å Del 1 v eksmen. Lærebøker kn h ulike måter å skrive formler og symboler å, og det er selvsgt o til den enkelte elev og lærer å bruke den skrivemåten de er vnt til. Hovedsken er å kjenne innholdet i formlene og kunne bruke dem. Dersom elevene er vnt til å bruke ndre formler i tillegg til dem som er nevnt i vedleggene, er det selvfølgelig tilltt å bruke disse. Merk: Eksmensogvene er lget ut fr kometnsemålene i lærelnen, og utvlget v formler ngir derfor ikke begrensninger v kometnsemål som kn røves i Del 1. Dersom ogvetemet krever det, kn mer komliserte formler bli ogitt som en del v ogveteksten i Del 1. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng Innhold i Del Del inneholder ogver med ulik vnskegrd. Del v ogvesettet skl kunne løses ved hjel v grfisk klkultor. Del inneholder ogver som røver elevenes mtemtiske kometnse med ulik komleksitet. I Del kn det forekomme temer som ikke lle elever hr forhåndskunnsker om. Problemstillingene og formuleringene i de enkelte ogvene vil imidlertid enten være uvhengige v forhåndskunnsk om temet, eller så vil de bli fulgt v en forklring som kn knytte ogven til temet. Del består v en del ogver som igjen er delt inn i flere delsørsmål. Ogvene og de fleste delsørsmålene vil kunne løses uvhengig v hverndre. Likevel kn det forekomme Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 6 v 64

7 ogver der svret å et delsørsmål skl brukes i det neste, og så videre. Formålet med smmenhengende delsørsmål i en ogve er å hjele elevene å vei i roblemløsningen. Del kn også inneholde formler og liknende som kn frmstå som nye utfordringer for elevene. Del vil ofte inneholde mer tekst og illustrsjoner enn Del 1. Ogvene i både Del 1 og Del skl formuleres slik t de frmstår som klre roblemstillinger i en så enkel sråkdrkt som mulig. Det forventes t elevene kjenner vnlige ord, uttrykk og begreer fr det norske sråket som inngår i forbindelse med mtemtiske begreer og roblemstillinger og i kommuniksjonen v roblemløsningen. I ogveformuleringene skl det helst brukes korte setninger. Fguttrykk skl bre brukes der det er nødvendig. Illustrsjoner, i form v bilder og tegninger, skl understøtte lesingen og forståelsen v ogvene. Del v eksmen kn gjennomføres som irbsert eksmen i så fll skl det brukes blå eller svrt enn og/eller ts utskrifter. Del v eksmen kn også gjennomføres som IKTbsert eksmen, jf. kittel Sråket i eksmensogvene Ved formuleringer som Finn, Løs og Bestem legges det ikke o til bestemte frmgngsmåter eller sesielle hjelemidler. Eleven kn velge å løse ogven grfisk,ved regning (lgebrisk) eller ved å benytte ulike kommndoer i et digitlt verktøy. Her hr eleven full metodefrihet. Hvis eleven bruker grfiske løsningsmetoder, må eleven rgumentere for løsningen og forklre figuren. Del kn inneholde ogveformuleringer som Finn/Løs/Bestem ved regning eller Regn ut. Dette betyr t løsningen v ogven skl redegjøres for lgebrisk. Det vil si t elevene ikke kn måle, lese v eller løse ogven grfisk. Eleven må løse ogven ved utregning. Ved slike ogveformuleringer kn elevene fritt bruke CAS. Kommndoer og det som er tstet inn i det digitle verktøyet, skl komme klrt frm i besvrelsen, smmen med en klr konklusjon. Mellomregning og mellomresultter må ts med i rimelig omfng også når eleven bruker digitle verktøy. Dersom det ostår tvil og ulike oftninger v ogveteksten, vil sensorene være åne for rimelige tolkninger. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 7 v 64

8 1.5 Frmgngsmåte og forklring Der ogveteksten ikke sier noe nnet, kn eleven velge frmgngsmåte og hjelemidler selv. Dersom ogven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en lterntiv metode kunne gi noe uttelling. Verifisering ved innsetting kn gi noe uttelling, men ikke full uttelling ved sensuren. I noen ogver vil en røve-og-feile -metode være nturlig. For å få full uttelling ved bruk v en slik metode må eleven rgumentere for strtegien og vise en systemtisk tilnærming. Frmgngsmåte, utregning og forklring skl belønnes også om resulttet ikke er riktig. Ved følgefeil skl sensor likevel gi uttelling dersom den videre frmgngsmåten er riktig og ogven ikke blir urimelig forenklet. Nødvendig mellomregning og forklring er åkrevd for å vise hv som er gjort, både i Del 1 og i Del v eksmen. Evnen til å kommunisere mtemtikk er viktig her. Eleven skl resentere løsningene å en ryddig, oversiktlig og tydelig måte. Mnglende konklusjon, benevning, bruk v nødvendig notsjon og liknende kn føre til lvere uttelling. Dersom eleven ikke hr med frmgngsmåten, men bre et korrekt svr, skl det gis noe uttelling for dette selv om eleven hr vist mnglende kommuniksjonskometnse. Ved mer åne ogveformuleringer er det sesielt viktig t eleven begrunner sin tolkning v ogven og sitt vlg v løsningsstrtegi. Krvet til frmgngsmåte og forklring ved bruk v digitle verktøy er ikke mindre enn ved bruk v ndre hjelemidler. Det er viktig t eleven viser hv som er gjort i lle tyer digitle verktøy, for å få uttelling ved sensuren. Eksemel å frmgngsmåte og begrunnelse ved bruk v CAS og ndre digitle verktøy: Jf. dokumentene Eksemel å løsning for fgkodene MAT1003 Mtemtikk P (Høst 009), MAT1008 Mtemtikk T (Høst 009), MAT1013 Mtemtikk 1T (Høst 010) og REA30 Mtemtikk R1 (Høst 010), som er ublisert å Utdnningsdirektortets hjemmeside, htts://gsf.udir.no/dokumentlger/eksmensogver.sx?rovetye=ev Eleven står fritt til å tegne en grf å ir eller bruke et digitlt verktøy for å tegne smme grf og deretter t en utskrift. Begge tyer besvrelser skl vurderes å lik linje ved sensuren. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 8 v 64

9 1.6 Andre kommentrer Konstruksjon (irbsert) i Del 1 (for REA30 Mtemtikk R1) Konstruksjonsogver skl i Del 1 løses med sser, blynt og linjl. Det er generelt ikke noe krv om hjelefigur, men eleven skl lltid gi en konstruksjonsforklring. Besvrelse v konstruksjonsogver i Del 1 bør skje å blnkt ir, slik t konstruksjonen kommer frm så klrt som mulig Grftegning og skisse (irbsert) Tegning v grfer og skisser kn gjøres for hånd å ir. Dette kn gjøres enten med enn eller blynt. Det er viktig t elevene skriver å skl og nvn å ksene når de tegner grfer i besvrelsen sin. Det er generelt ikke noe krv om verditbell over utregnede funksjonsverdier, med mindre det er surt sesielt om det i ogven. Når begreet skisse brukes i forbindelse med tegninger, grfer og liknende, er det ikke snkk om en nøyktig tegning i riktig målestokk. Eleven kn d ikke uten videre måle å selve skissen for å besvre ogven. Hvis elevene blir bedt om å skissere en grf, er det tilstrekkelig t de skisserer kurvens form i besvrelsen. Her stilles det ikke så høye krv til nøyktighet som ved tegning v grfer. Mn bør imidlertid t med viktige unkter som null-, bunn-, to- og eventuelt vendeunkt. På skissen/tegningen v grfen skl vlesninger mrkeres tydelig. Når elevene blir bedt om å bestemme eventuelle to-, bunn- eller vendeunkter å grfen til en funksjon, en drøfting v funksjonen, kn de enten bruke fortegnslinjer og drøfte den deriverte eller å nnen måte redegjøre for fortegnet til den deriverte, eventuelt bruke den dobbelt deriverte for å vgjøre om de kritiske x-verdiene gir tounkt (t grfen er konkv ned) eller bunnunkt (t grfen er konkv o) Digitle verktøy å Del v eksmen Det forutsettes t elevene er kjent med digitle verktøy (grfisk klkultor som minstekrv eller ndre digitle verktøy for mtemtikk), og t de kn bruke disse å en hensiktsmessig måte under eksmen. Dersom elevene leverer utskrift fr et digitlt verktøy, er det viktig t lle rkene kn identifiseres med skolens nvn og kndidtnummer Grfisk klkultor (håndholdt) Med grfisk klkultor menes håndholdte klkultorer med grfvindu, for eksemel v de tyene som vr tilltt brukt i R94. Alle sentrlt gitte skriftlige eksmensogver i mtemtikk skl inntil videre kunne løses ved hjel v slike grfiske klkultorer, men elevene vil i noen tilfeller klrt h nytte v Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 9 v 64

10 ndre digitle verktøy som regnerk, CAS og grftegner (å dtmskin) med utskriftsmuligheter eller muligheter for digitl innlevering (IKT-bsert eksmen). Ved bruk v grfisk klkultor skl eleven ogi hvilke kommndoer som er brukt. Det er ikke nødvendig å ogi lle tstetrykkene/kommndoene. Hvis elevene bruker den grfiske klkultoren til grftegning, trenger de ikke å ogi verken verditbell eller frmgngsmåte (kommndoer) å klkultoren. Skl og nvn å ksene må ogis, jf. kittel Dynmisk geometrirogrm (rogrmvre å dtmskin) Dynmisk geometrirogrm kn brukes til å tegne geometriske figurer. Det er sesielt i eksmenskoden REA30 Mtemtikk R1 t dette digitle verktøyet kn være ktuelt å bruke. Ved tegning v geometriske figurer med dynmisk geometrirogrm ( Tegn ) under Del v eksmen tilltes lle funksjonstster/kommndoer direkte brukt i rogrmvren. Eksemler å slike er funksjonstster/kommndoer som tegner normler, hlverer vinkler, lger midtnorml, tegner rllelle linjer, og så videre. Elevene må legge ved en oversikt over hv som er gjort i rogrmvren, i besvrelsen sin. Elevene vil bli røvd i klssisk konstruksjon med sser og linjl under Del 1, jf. kittel I Del kn det for eksemel stå «tegn eller konstruer». Elevene kn d velge mellom å bruke dynmisk geometrirogrm eller å konstruere med sser og linjl. Vi bruker ikke ordet «konstruer» når vi åner o for dynmisk geometrirogrm. D foretrekker vi «tegn» i stedet Grftegner (rogrmvre å dtmskin) En digitl grftegner finnes i mnge vrinter og kn være ktuelt å bruke i lle skriftlige eksmenskoder. Dersom elevene bruker grftegner, er det viktig t de inkluderer skl og nvn å ksene når de tegner grfer. Hvis elevene bruker en slik grftegner, trenger de ikke å ogi verken verditbell eller frmgngsmåte (hvordn de hr gått frm for å tegne grfen). Elevene må derimot forklre hvilke kommndoer som er brukt for å finne for eksemel skjæringsunkter og to- eller bunnunkter. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 10 v 64

11 Jeg tegner den rette linj y 86,5 i smme koordintsystem som grfen til T. Jeg bruker så kommndoen «Skjæring mellom to objekt» for å finne skjæringsunktet. Brønnen vr c år gmmel d målingene ble gjort CAS Comuter Algebr System (rogrmvre å dtmskin) CAS forstås som en symbolbehndlende (og numerisk) klkultor. CAS kn være særlig ktuelt å bruke i fgkodene 1T, T, T-Y, R1, R, S1 og S. Det er også tilltt å bruke CAS ved ogveformuleringer som Regn ut, Finn ved regning, Bestem ved regning og liknende. Elevene må selv finne for eksemel en riktig setning eller stille o en riktig likning. Deretter kn CAS brukes direkte, for eksemel slik: Jeg bruker cosinussetningen og finner vinkelen mellom sidene som er 0 m og 4 m: Vinkelen må være mindre enn 180. Vinkelen er derfor c. 35,7. Vi viser ellers til Eksemel å løsning, ublisert å htt:// for flere eksemler å bruk v CAS og eksmensbesvrelser, jf. kittel 1.5. Ellers må sensorene være ruse overfor symbolbruken i digitle verktøy. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 11 v 64

12 Regnerk (rogrmvre å dtmskin) Det kn særlig være ktuelt å bruke regnerk i fgkodene 1P, P og P-Y. Bruk v regnerk er obligtorisk ved sentrlt gitt skriftlig eksmen i MAT0010 Mtemtikk, og elevene skl h fått kjennsk til dette digitle verktøyet å ungdomsskolen. En regnerkutskrift skl h med rd- og kolonneoverskrifter. Utskriften skl også være identifiserbr, det vil si t den inneholder ogvenummer, skolens nvn og kndidtnummer. Ved bruk v regnerk bør eleven i størst mulig grd benytte formler, slik t løsningen blir dynmisk, det vil si t løsningen endres dersom tllene i en ogve endres. Når et regnerk skrives ut, skl rd- og kolonneoverskrifter være med å utskriften. Eleven skl enten t en formelutskrift v regnerket eller skrive formlene som er brukt, i en tekstboks. Eleven bør tilsse løsningen å regnerket til ett eller to utskriftsrk ved bruk v forhåndsvisning før utskrift. Selv om det er det fglige innholdet som rimært skl vurderes, vil også resentsjonen v løsningen bli vurdert (kommuniksjonskometnse) Digitle verktøy og mtemtisk symbolbruk I digitle verktøy kn mtemtisk symbolbruk vvike noe fr den klssiske symbolnotsjonen. Eksemler å dette er /, *, ^ og så videre. Dette er godkjent notsjon, og elevene må ikke trekkes for dette under sensuren. Mer klssisk (og korrekt) notsjon, og symbol- og formlismekometnse røves i Del 1 v eksmen. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 1 v 64

13 1.7 IKT-bsert eksmen (Del ) I videregående olæring står skolene fritt til å rrngere IKT-bsert eksmen for Del v den todelte eksmenen i mtemtikk. Ved eksmen i grunnskolen er det ikke IKT-bsert eksmen. Mens Del 1 v todelt eksmen skl besvres med ir og sendes er vnlig ost til sensor, vil IKT-bsert eksmen v Del måtte besvres ved hjel v dtmskin og et dtdokument som sendes elektronisk til sensor. Dersom mn vil rrngere IKT-bsert eksmen, er det viktig å sette seg grundig inn i hvordn dette gjøres, og hvilke systemkrv og krv til formt som gjelder. Informsjon om IKT-bsert eksmen finner du her: htt:// IKT-bsert eksmen gjennomføres slik: 1) Eksmenskndidten logger seg inn å Utdnningsdirektortets røvegjennomføringssystem (PGS) med tildelt brukernvn og ssord. ) Eksmenskndidten lster ned eksmensogven fr Utdnningsdirektortets røvegjennomføringssystem PGS-A når Del kn begynne. 3) Eksmenskndidten besvrer eksmensogven ved hjel v dtmskin og diverse digitl verktøy, og lgrer besvrelsen. 4) Eksmenskndidten lster o besvrelsen til PGS-A. 5) Sensor henter besvrelsen i røvedministrsjonssystemet PAS, der også krkterene blir stt ved fellessensuren. På htt:// finner du diverse odterte brukerveiledninger for skolen, eksmenskndidtene og for sensur. Gode råd for hvordn mn går frm, og hvilke filformter som er tilltt for eksmenskndidter som skl besvre Del v todelt, sentrlt gitt eksmen i mtemtikk som IKT-bsert eksmen: Avhengig v hvilken fgkode i mtemtikk du skl t eksmen i, er det viktig t du hr en dtmskin og de digitle verktøyene du trenger for å besvre eksmen i denne fgkoden. Som bsisdokument bør du h et tekstbehndlingsrogrm (for eksemel Word). Husk å lge to- eller bunntekst i tekstbehndlingsdokumentet, der du skriver skolens nvn og kndidtnummeret ditt. For mer informsjon om identifisering v besvrelsen din kn du lese brukerveiledningen for kndidter her: htt:// (under Vedlegg ) Husk også løende ogvenummerering, der du koierer inn for eksemel en del v et regnerk eller et digrm i en ogve, mens du koierer inn en digitl grftegning eller en utregning fr CAS til neste ogve, og så videre. Skriv ellers utfyllende kommentrer til hver ogve, slik t du besvrer ogven best mulig. Eksemler: Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 13 v 64

14 Ogve 1 Jeg tegner den rette linj y 86,5 i smme koordintsystem som grfen til T. Jeg bruker så kommndoen «Skjæring mellom to objekt» for å finne skjæringsunktet. Brønnen vr c år gmmel d målingene ble gjort. Ogve Jeg bruker cosinussetningen og finner vinkelen mellom sidene som er 0 m og 4 m: Jeg bruker CAS: Jeg vet t vinkelen må være mindre enn 180. Vinkelen er derfor c. 35,7. Når du er ferdig med Del v todelt eksmen i mtemtikk, må du huske å lgre og lste o besvrelsen din i PGS-A. Se brukerveiledningen for kndidter: htt:// Det finnes svært mnge ulike tyer digitle verktøy i mtemtikk, noe som innebærer t det finnes mnge filformter. PGS godtr ikke lle tyer filformter. Derfor kn det være mest rktisk å bruke et tekstbehndlingsdokument og deretter koiere fr de ndre Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 14 v 64

15 digitle verktøyene og inn i tekstbehndlingsdokumentet, slik som det er vist ovenfor. PGS godtr for eksemel filformtet -.doc (tekstbehndlingsdokument). Følgende filformter kn benyttes i forbindelse med IKT-bsert eksmen: doc, df, rtf, xls, ods, odt, xlsx, docx, sxc, sxw, html, txt. Det er lgt inn en kontroll i PGS-A som gjør t ndre tyer filformter blir vvist. Mksiml filstørrelse å besvrelsen er 10 MB. Dersom filen er større enn dette, må den først kkes ( zies ). Følgende formter kn benyttes til slik kking: 7z, z, gz, rr, tr, zi Ved IKT-bsert eksmen i mtemtikk må HELE besvrelsen å Del smles i én fil og leveres digitlt til sensor, ikke bre delvis. Elevene/rivtistene kn ltså ikke levere Del delvis å ir og delvis som IKT-bsert eksmen eller levere flere filer. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 15 v 64

16 1.8 Kommentrer til kjennetegn å målonåelse Bkgrunnen for kjennetegn å målonåelse er St.meld. nr. 30 ( ), som slår fst t når det innføres nye lærelner med mål for elevenes kometnse (Kunnsksløftet), vil en stndrdbsert (kriteriebsert) vurdering legges til grunn for eksmenskrkterene. Kjennetegnene å målonåelse uttrykker i hvilken grd eleven hr nådd kometnsemålene i lærelnen. Mtemtikkometnsen som kjennetegnene beskriver, er delt inn i tre ktegorier: begreer, forståelse og ferdigheter roblemløsning kommuniksjon Innholdet i disse ktegoriene beskriver mtemtikkometnse å tvers v lærelnens kometnsemål og er ment å være til hjel for sensors fglige skjønn når elevens restsjon vurderes. De tre ktegoriene kn ikke forstås dskilt, men er ngitt slik for oversiktens skyld, slik t sensor lettere skl få et helhetsinntrykk v besvrelsen. Kjennetegnene for lle tre ktegoriene gjelder for både Del 1 og Del v eksmen. Begreer, forståelse og ferdigheter Denne ktegorien er en viktig og grunnleggende del v mtemtikkometnsen. God kunnsk her er vgjørende for å kunne tkle større og mer smmenstte utfordringer. Kjennetegnene i denne ktegorien beskriver i hvilken grd eleven kjenner, forstår og håndterer mtemtiske begreer. Videre forventes det t eleven kn vkode, oversette og behndle blnt nnet symboler og formler. Det er ikke bre snkk om bokstvregning og likningsløsning, men også tllsymboler, mtemtiske tegn og formelle sider ved elementær regning. For eksemel er det ikke lov å skrive 6 5 eller 6 3. Videre er (3 4) ikke det smme som 3 4, og er ikke det smme som ( ). I denne ktegorien inngår også det å forstå og håndtere ulike reresentsjoner v begreer. For eksemel kn π (i) reresenteres ved hjel v symbolet π eller som en uendelig desimlbrøk 3, eller som en rsjonl tilnærming (for eksemel brøkene 3 7 eller 71 ) eller geometrisk som omkretsen v en sirkel med dimeter 1, osv. Et nnet eksemel er begreet lineær funksjon, som kn reresenteres som et funksjonsuttrykk eller en regel y f ( x) x 1, som en tegnet grf i et koordintsystem, som en verditbell med verdier for x og y, som et geometrisk objekt, for eksemel den rette linjen som går gjennom unktene (0, 1) og (,3), eller lgebrisk som løsningsmengden til en likning, for eksemel 3y6x 3 0. Problemløsning Denne ktegorien sier noe om elevens evne til å løse ulike roblemstillinger. Problem må her forstås vidt fr enkle, rutinemessige ogver til større, mer smmenstte roblemer. Det er ltså snkk om hvordn eleven bruker kunnsker og ferdigheter å ulike mtemtiske roblemstillinger og ser smmenhenger i fget og mellom lærelnens hovedområder. Problem kn også forstås reltivt. Det som er et roblem for én elev, kn oleves som elementært for ndre elever, vhengig v å hvilket nivå eleven befinner seg. Denne ktegorien vil også beskrive elevens kometnse når det gjelder modellering i hvilken grd eleven kn lge, t i bruk og vurdere modeller. Det kn for eksemel dreie seg om å betrkte en vekstfunksjon eller undersøke kostndene ved å bruke mobiltelefon. I denne ktegorien er det også nturlig å vurdere i hvilken grd eleven er kjent med ulike hjelemidler og kn bruke Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 16 v 64

17 disse å en hensiktsmessig måte under eksmen. Videre er det nturlig å vurdere i hvilken grd eleven viser mtemtisk tnkegng, og om eleven hr evne til å vurdere svr i forbindelse med ulike mtemtiske roblemstillinger. Kommuniksjon Denne ktegorien beskriver blnt nnet i hvilken grd eleven klrer å sette seg inn i en mtemtisk tekst, og i hvilken grd eleven kn uttrykke seg i mtemtikk ved hjel v det mtemtiske symbolsråket. Det er viktig t eleven viser frmgngsmåter, rgumenterer og forklrer den mtemtiske løsningen. Dette er sesielt viktig i forbindelse med bruk v digitle verktøy. *** *** *** Ktegorien roblemløsning er den mest sentrle ktegorien for sensors vurderingsgrunnlg, men det er også viktig t kjennetegnene å målonåelse i lle tre ktegorier ses i smmenheng og ikke dskilt fr hverndre. Det er ikke vnntette skott mellom ktegoriene, men flytende overgnger. Kjennetegnene å målonåelse skl gi informsjon om hv som vektlegges i vurderingen v elevens restsjon. De skl videre beskrive kvliteten å den kometnsen elevene viser (hv de mestrer), ikke mngel å kometnse. Kjennetegnene beskriver kvliteten å elevenes mtemtiske kometnse å tvers v lærelnens hovedområder og kometnsemål. Ved å benytte kjennetegn å målonåelse og eventuelt oeng kn sensor dnne seg et bilde v eller lge en rofil over den mtemtiske kometnsen eleven hr vist. Ktegoriene v mtemtikkometnse inneholder kjennetegn knyttet til tre ulike krkternivåer: låg kometnse (krkteren ) nokså god / god kometnse (krkterene 3 og 4) mykje god / frmifrå kometnse (krkterene 5 og 6) Målet med kjennetegnene er å gi en ekeinn, en retning for hvordn sensor skl bedømme restsjonen, og er ikke nødvendigvis en millimeterresis beskrivelse v ulike kometnsenivåer. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 17 v 64

18 Kjennetegn å målonåelse Mtemtikk fellesfg og rogrmfg i videregående olæring Kometnse Krkteren Krkterene 3 og 4 Krkterene 5 og 6 Eleven Eleven Eleven Begreer, forståelse og ferdigheter forstår en del grunnleggende begreer behersker en del enkle, stndrdiserte frmgngsmåter forstår de fleste grunnleggende begreer og viser eksemler å forståelse v smmenhenger i fget behersker de fleste enkle, stndrdiserte frmgngsmåter, hr middels god regneteknikk og bruk v mtemtisk formsråk, viser eksemler å logiske resonnementer og bruk v ulike mtemtiske reresentsjoner forstår lle grunnleggende begreer, kombinerer begreer fr ulike områder med sikkerhet og hr god forståelse v dyere smmenhenger i fget viser sikkerhet i regneteknikk, logiske resonnementer, bruk v mtemtisk formsråk og bruk v ulike mtemtiske reresentsjoner Eleven Eleven Eleven viser eksemler å å kunne løse enkle roblemstillinger med utgngsunkt i tekster, figurer og rktiske og enkle situsjoner løser de fleste enkle og en del middels komliserte roblemstillinger med utgngsunkt i tekster, figurer og rktiske situsjoner, og viser eksemler å bruk v fgkunnsk i nye situsjoner utforsker roblemstillinger, stiller o mtemtiske modeller og løser ogver med utgngsunkt i tekster, figurer og nye og komlekse situsjoner Problemløsning klrer iblnt å lnlegge enkle løsningsmetoder eller utsnitt v mer komliserte metoder klrer delvis å lnlegge løsningsmetoder i flere steg og å gjøre fornuftige ntkelser viser sikkerhet i lnlegging v løsningsmetoder i flere steg og formulering v ntkelser knyttet til løsningen, viser kretivitet og originlitet kn vgjøre om svr er rimelige i en del enkle situsjoner kn ofte vurdere om svr er rimelige viser sikkerhet i vurdering v svr, kn reflektere over om metoder er hensiktsmessige viser eksemler å bruk v hjelemidler knyttet til enkle roblemstillinger bruker hjelemidler å en hensiktsmessig måte i en del ulike smmenhenger viser sikkerhet i vurdering v hjelemidlenes muligheter og begrensninger, og i vlg mellom hjelemidler kn bruke hjelemidler til å se en del enkle mønstre klrer delvis å bruke digitle verktøy til å finne mtemtiske smmenhenger kn bruke digitle verktøy til å finne mtemtiske smmenhenger, og kn sette o hyoteser ut fr dette Eleven Eleven Eleven Kommuniksjon resenterer løsninger å en enkel måte, for det meste med uformelle uttrykksformer resenterer løsninger å en forholdsvis smmenhengende måte med forklrende tekst i et delvis mtemtisk formsråk resenterer løsninger å en oversiktlig, systemtisk og overbevisende måte med forklrende tekst i mtemtisk formsråk Krkteren 1 uttrykker t eleven hr svært lv kometnse i fget. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 18 v 64

19 1.9 Vurdering v onådd kometnse Vurdering i mtemtikk Lærelnene og forskrift til olæringsloven er grunndokumenter for vurderingsrbeidet. Forskrift til olæringsloven 3-5 og 4-18 slår fst følgende: Eksmen skl orgniserst slik t eleven/deltkren eller rivtisten kn få vist kometnsen sin i fget. Eksmenskrkteren skl fstsetjst å individuelt grunnlg og gi uttrykk for kometnsen til eleven/deltkren eller rivtisten slik den kjem frm å eksmen. Kometnse er i denne smmenhengen definert som evnen til å møte en komleks utfordring eller utføre en komleks ktivitet eller ogve. 1 Eksmensogvene blir utformet slik t de røver denne kometnsen. Grunnlget for å vurdere kometnsen elevene viser i eksmensbesvrelsen, er kometnsemålene i lærelnen for fg. De grunnleggende ferdighetene er integrert i kometnsemålene i lle lærelnene for fg. Grunnleggende ferdigheter vil derfor kunne røves indirekte til sentrlt gitt eksmen. Grunnleggende ferdigheter utgjør ikke et selvstendig vurderingsgrunnlg. Forskrift til olæringsloven 3-4 og 4-4 hr generelle krkterbeskrivelser for grunnolæringen: ) Krkteren 6 uttrykkjer t eleven hr frmifrå kometnse i fget. b) Krkteren 5 uttrykkjer t eleven hr mykje god kometnse i fget. c) Krkteren 4 uttrykkjer t eleven hr god kometnse i fget. d) Krkteren 3 uttrykkjer t eleven hr nokså god kometnse i fget. e) Krkteren uttrykkjer t eleven hr låg kometnse i fget. f) Krkteren 1 uttrykkjer t eleven hr svært låg kometnse i fget. Sensuren v eksmensogvene er kriteriebsert. Sensorene skl vurdere hv eleven kn, frmfor å finne ut hv eleven ikke kn. Når sensor bruker oeng, skl det gis uttelling for det eleven hr restert, ikke oengtrekk for det eleven ikke hr fått til. Det er sjelden uten verdi t eleven løser ogven å en nnen måte enn den det i utgngsunktet bes om i ogveteksten, selv om svret d ikke kn betrktes som fullgodt. Dersom det ostår tvil om ulike oftninger v ogveteksten, vil sensorene være åne for rimelige tolkninger. 1 St.meld. nr. 30 ( ) Kultur for læring. Forskrift til olæringsloven 3-3 og 4-3. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 19 v 64

20 Den endelige krkteren skl bygge å sensors fglige skjønn og å en smlet vurdering v elevens restsjon bsert å kjennetegn å målonåelse. Krkterfstsettelsen kn derfor ikke utelukkende være bsert å en oengsum eller å ntll feil og mngler ved restsjonen. Poenggrenser ved sensuren er veiledende og må stå i et rimelig forhold til kjennetegnene å målonåelse. Bruk v oeng og oenggrenser er, som tidligere nevnt, bre veiledende i vurderingen. Sensor må se nærmere å hvilke ogver eleven onår oeng å, og ikke bre betrkte en oengsum. Krkteren blir fststt etter en smlet vurdering v Del 1 og Del. Sensor vurderer derfor, med utgngsunkt i kjennetegnene å målonåelse, i hvilken grd eleven viser regneferdigheter og mtemtisk forståelse gjennomfører logiske resonnementer ser smmenhenger i fget, er ofinnsom og kn t i bruk fgkunnsk i nye situsjoner kn bruke hensiktsmessige hjelemidler vurderer om svr er rimelige forklrer frmgngsmåter og begrunner svr skriver oversiktlig og er nøyktig med utregninger, benevninger, tbeller og grfiske frmstillinger 1.9. Sensorveiledning og vurderingsskjem Utdnningsdirektortet ubliserer sensorveiledninger å eksmensdgen i lle eksmenskoder i mtemtikk. Smmen med sensorveiledningene blir det også ublisert vurderingsskjemer som sensorene skl bruke. Hensikten med disse ubliksjonene er å støtte o om den sentrle sensuren og sikre en rettferdig sensur. Sensorveiledning og vurderingsskjem ubliseres å eksmensdgen, etter t eksmen i den ktuelle fgkoden er vholdt. Disse dokumentene blir lgt ut å Utdnningsdirektortets nettsider: htt:// VGO/ Sensorveiledningen inneholder kommentrer til ogvene og retningslinjer til sensor om vurderingen. Vi forutsetter t lle sensorer følger veiledningen. Sensorveiledningen og vurderingsskjemet inneholder oengfordeling for hver fgkode. Alle sensorer må følge denne oengfordelingen i sin sensur. NB! Bruk v oeng er bre veiledende i vurderingen. Krkteren fstsettes ut fr en helhetsvurdering v besvrelsen, bruk v kjennetegn å målonåelse og sensors fglige skjønn i henhold til forhåndssensurrorten. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 0 v 64

21 1.9.3 Forhåndssensur og forhåndssensurrort Som tidligere vholdes det ved våreksmen forhåndssensur å bkgrunn v førsteinntrykkene fr sensorene noen få dger etter eksmen i fget. På bkgrunn v dette utrbeides det en forhåndssensurrort som ubliseres å Utdnningsdirektortets nettsider å smme sted som sensorveiledningen. Forhåndssensurrortene er til sensorene og er ikke et endelig resultt v sensuren. htt:// VGO/ Forhåndssensurrorten kn inneholde justeringer v sensorveiledningene som blir ublisert å eksmensdgen. Vi forutsetter t lle sensorer følger veiledningen i forhåndssensurrorten. Forhåndssensurrorten vil vnligvis inneholde oengfordeling og oenggrenser. Alle sensorer må følge denne oengfordelingen i sin sensur. NB! Bruk v oeng er bre veiledende i vurderingen. Krkteren fstsettes å bkgrunn v en smlet vurdering v besvrelsen, bruk v kjennetegn å målonåelse og sensors fglige skjønn i henhold til forhåndssensurrorten. Alle sensorer er forliktet til å følge ll veiledning fr Utdnningsdirektortet, det vil si eksmensveiledningen inkludert kjennetegn å målonåelse sensorveiledningen og vurderingsskjem forhåndssensurrorten 1.10 Justerte krktergrenser Det er kjennetegn å målonåelse som fstslår hvilket krkternivå eleven befinner seg å ved sensuren. Fr høsten 01 ble oenggrensen for krkteren justert noe ned. Bkgrunnen for dette er Utdnningsdirektortets oftning v t rbeidsmengden og til dels vnskegrden er grdvis økt noe i de siste års eksmener. For eksemel er ntll delogver grdvis økt i forhold til eksmen våren 009. Det er også flere delogver i Del 1 som i dg gir uttelling å 1 oeng som tidligere g oeng. Antll delogver i Del v eksmen er også grdvis økt i forhold til eksmen våren 009. Eksmensnemndene vurderer fortløende rbeidsmengde, vnskegrd, oengsetting og oenggrenser når eksmenene utrbeides. Poenggrenser skl stå i et rimelig forhold til kjennetegn å målonåelse. Disse kjennetegnene er til syvende og sist bestemmende i sensors vurdering, og det er viktig t sensor bruker disse kjennetegnene og ikke utelukkende bruker oeng i sin vurdering Revidert læreln for mtemtikk fellesfg fr Lærelnen for mtemtikk fellesfg er revidert og gjelder fr og med skoleåret 013/014. Den reviderte lærelnen finner du her: htt:// Den reviderte lærelnen er grunnlget for røvingen ved eksmen våren 014. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 1 v 64

22 Formelrk. Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen. Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i MAT1011 Mtemtikk 1P (Formelrket kn ikke brukes å Del 1 v eksmen.) Rektngel A g h Treknt gh A Prllellogrm A g h Tres b h A ( ) Sirkel A r Prisme V G h Sylinder V r h Geometri Formlikhet Målestokk Pytgors setning O r Proorsjonlitet Proorsjonle størrelser Omvendt roorsjonle størrelser Rette linjer y x b Vekstfktor Økonomi Snnsynlighet Prisindeks Kroneverdi Rellønn Snnsynlighet ved systemtiske otellinger P( A) 1 P( A) P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige Eksmensogvene lges ut fr kometnsemålene i lærelnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kometnsemål som kn røves i Del 1. Dersom ogvetemet krever det, kn mer komliserte formler bli ogitt som en del v ogveteksten i Del 1. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side v 64

23 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i MAT1015 Mtemtikk P (Formelrket kn ikke brukes å Del 1 v eksmen.) Potenser Stndrdform Vekstfktor Sttistikk q q b b q q 0 1 q q 1 b b n k 10 1 k 10 og n er et helt tll Gjennomsnitt Medin Eksmensogvene lges ut fr kometnsemålene i lærelnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kometnsemål som kn røves i Del 1. Dersom ogvetemet krever det, kn mer komliserte formler bli ogitt som en del v ogveteksten i Del 1. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 3 v 64

24 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i MAT1005 Mtemtikk P Yrkesfg Påbygging til generell studiekometnse (Formelrket kn ikke brukes å Del 1 v eksmen.) Stndrdform Potenser Vekstfktor n k 10 1 k 10 og n er et helt tll q q q q q b b q b b Rette linjer y x b Snnsynlighet ved systemtiske otellinger P( A) 1 P( A) Snnsynlighet P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige Gjennomsnitt Sttistikk Medin Eksmensogvene lges ut fr kometnsemålene i lærelnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kometnsemål som kn røves i Del 1. Dersom ogvetemet krever det, kn mer komliserte formler bli ogitt som en del v ogveteksten i Del 1. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 4 v 64

25 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i MAT1013 Mtemtikk 1T (Formelrket kn ikke brukes å Del 1 v eksmen.) Stndrdform k 10 1 k 10 og n er et helt tll Vekstfktor n Rette linjer Potenser y x b y y1 x x1 y y ( x x ) 1 1 q q q q q b b q b b Kvdrtsetningene og konjugtsetningen Likning v ndre grd Logritmer Vekst og derivsjon Trigonometri i rettvinklede treknter ( b) b b ( b) b b ( b)( b) b b b 4c x bx c 0 x b lg lg x b x lg x c x 10 Gjennomsnittlig veksthstighet Momentn veksthstighet Definisjon v den deriverte c f( x) lim Derivsjonsregel for olynomfunksjoner motstående ktet sinv hyotenus hosliggende ktet cosv hyotenus motstående ktet tnv hosliggende ktet f x x f x x 0 ( ) ( ) x Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 5 v 64

26 Geometri Snnsynlighet Arel 1 bc sin A b c bccos A sin A B C sin sin b c Snnsynlighet ved systemtiske ostillinger P( A) 1 P( A) P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige Eksmensogvene lges ut fr kometnsemålene i lærelnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kometnsemål som kn røves i Del 1. Dersom ogvetemet krever det, kn mer komliserte formler bli ogitt som en del v ogveteksten i Del 1. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 6 v 64

27 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i MAT1017 Mtemtikk T (Formelrket kn ikke brukes å Del 1 v eksmen.) Vektorregning Snnsynlighet Kombintorikk [ x, y] xe ye x y t[ x,y] [ tx,ty] [ x 1,y1] [ x,y] [ x1 x,y1 y] [ x,y ] [ x,y ] x x y y [ x, y ] x y [ x,y ] [ x,y ] x x og y y AB [ x x,y y ] fr A( x, y ) til B( x, y ) b b cosu u er vinkel mellom og b b tb b b 0 x x0 t ( x 0, y0) er et unkt å linj y y0 bt v [,b] er rllell med linj P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige P( AB) P( A) P( B A) P( A B) P( B) P( B) n! 13 n n! np r n( n 1)... ( n r 1 ) ( n r)! n n! n C r r r! ( n r)! Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 7 v 64

28 Binomisk og hyergeometrisk fordeling Hvis binomisk eller hyergeometrisk fordeling inngår i Del 1 v eksmen, vil formlene bli ogitt slik: Binomisk fordeling: n k P( X k) (1 ) k nk Antll uvhengige forsøk er n. X er ntll gnger A inntreffer. P(A) = i hvert forsøk. Hyergeometrisk fordeling: m n m k r k P( X k ) n r m elementer i D. n m elementer i D. r elementer trekkes tilfeldig. X er ntll elementer som trekkes fr D. Eksmensogvene lges ut fr kometnsemålene i lærelnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kometnsemål som kn røves i Del 1. Dersom ogvetemet krever det, kn mer komliserte formler bli ogitt som en del v ogveteksten i Del 1. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 8 v 64

29 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i MAT1010 Mtemtikk T Yrkesfg Påbygging til generell studiekometnse (Formelrket kn ikke brukes å Del 1 v eksmen.) Vekstfktor Rette linjer Logritmer Vekst og derivsjon Kombintorikk Snnsynlighet Vektorregning y x b y y1 x x1 y y ( x x ) 1 1 b lg lg x b x c lg x c x 10 Gjennomsnittlig veksthstighet Momentn veksthstighet f( x x) f( x) Definisjon v den deriverte f( x) lim x 0 x Derivsjonsregel for olynomfunksjoner n! 13 n n! np r n( n 1)... ( n r 1 ) ( n r)! n n! n C r r r! ( n r)! Snnsynlighet ved systemtiske ostillinger P( A) 1 P( A) P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige P( AB) P( A) P( B A) P( A B) P( B) P( B) [ x, y] xe ye x y t[ x,y] [ tx,ty] [ x 1,y1] [ x,y] [ x1 x,y1 y] [ x,y ] [ x,y ] x x y y [ x, y ] x y [ x,y ] [ x,y ] x x og y y AB [ x x,y y ] fr A( x,y ) til B( x,y ) b b cos u u er vinkel mellom og b Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 9 v 64

30 b t b b b 0 x x0 t ( x 0, y0) er et unkt å linj y y0 bt v [,b] er rllell med linj Eksmensogvene lges ut fr kometnsemålene i lærelnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kometnsemål som kn røves i Del 1. Dersom ogvetemet krever det, kn mer komliserte formler bli ogitt som en del v ogveteksten i Del 1. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 30 v 64

31 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i REA30 Mtemtikk R1 (Formelrket kn ikke brukes å Del 1 v eksmen.) Likning v ndre grd Fktorisering v ndregrdsuttrykk Polynomer Logritmer Grenseverdier Derivsjon Kombintorikk Snnsynlighet Vektorregning 4 x bx c 0 x b b c x bx c ( x x )( x x ) 1 Nullunkter og olynomdivisjon lg x 10 x lg x x lg lg( b) lg lg b lg lg lg b b x b b x lg lg e ln ln x x x x ln ln( b) ln lnb ln lnlnb b x b b x ln ln x x 10 b x lg b e b x ln b c c lg x c x 10 ln x c x e Utregning v grenseverdier Horisontle og vertikle symtoter f( x x) f( x) Definisjon v den deriverte f( x) lim x 0 x Derivsjonsregler for otens-, kvdrtrot-, eksonentil- og logritmefunksjoner Derivsjonsregler for sum, differnse, rodukt og kvotient Kjerneregel n! 13 n n! np r n( n 1)... ( n r 1 ) ( n r)! n n! n C r r r! ( n r)! Snnsynlighet ved systemtiske ostillinger P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige P( AB) P( A) P( B A) P( A B) P( B) P( B) Regning med vektorer geometrisk som iler i lnet [ x, y] xe ye x y t[ x,y] [ tx,ty] [ x 1,y1] [ x,y] [ x1 x,y1 y] [ x,y ] [ x,y ] x x y y [ x, y ] x y Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 31 v 64

32 Vektorfunksjon Geometri [ x,y ] [ x,y ] x x og y y AB [ x x,y y ] fr A( x, y ) til B( x, y ) b b cos u u er vinkel mellom og b b tb b b 0 x x0 t ( x 0, y0) er et unkt å linj y y0 bt v [,b] er rllell med linj r( t) [ x( t), y( t)] Vektorfunksjon v( t) r '( t) [ x '( t), y '( t)] Frtsvektor vt ( ) Frt ( t) v '( t) [ x ''( t), y ''( t)] Akselersjonsvektor t ( ) Akselersjon Pytgors setning Formlikhet Periferivinkler Skjæringssetninger for høydene, hlveringslinjene, midtnormlene og medinene i en treknt Sirkellikning: ( x x ) ( y y ) r S( x, y ) er sentrum i sirkelen, r er rdius i sirkelen Sirkellikningen må kunne utledes ved hjel v vektorregning å koordintform og omformes ved hjel v fullstendige kvdrters metode. Sirkelen må også kunne tegnes som to grfer, jf. kittel 5. Eksmensogvene lges ut fr kometnsemålene i lærelnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kometnsemål som kn røves i Del 1. Dersom ogvetemet krever det, kn mer komliserte formler bli ogitt som en del v ogveteksten i Del 1. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 3 v 64

33 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i REA306 Mtemtikk S1 (Formelrket kn ikke brukes å Del 1 v eksmen.) Potenser Kvdrtsetningene og konjugtsetningen Likning v ndre grd Logritmer Vekst og derivsjon Kombintorikk Snnsynlighet q q q q q q b b ( b) b b ( b) b b ( b)( b) b b b x bx c 0 x lg 10 lg x x lg lg ( b) lg lg b b b c x b lg b x lg lg x c x 10 c lg lg lg b b Gjennomsnittlig veksthstighet Momentn veksthstighet f( x x) f( x) Definisjon v den deriverte f( x) lim x 0 x Derivsjonsregler for olynomfunksjoner Pscls treknt n! 13 n n! np r n( n 1)... ( n r 1 ) ( n r)! n n! n C r r r! ( n r)! Snnsynlighet ved systemtiske otellinger Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 33 v 64

34 Binomisk og hyergeometrisk fordeling Hvis binomisk eller hyergeometrisk fordeling inngår i Del 1 v eksmen, vil formlene bli ogitt slik: Binomisk fordeling: n k P( X k) (1 ) k nk Antll uvhengige forsøk er n. X er ntll gnger A inntreffer. P(A) = i hvert forsøk. Hyergeometrisk fordeling: m n m k r k P( X k ) n r m elementer i D. n m elementer i D. r elementer trekkes tilfeldig. X er ntll elementer som trekkes fr D. Eksmensogvene lges ut fr kometnsemålene i lærelnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kometnsemål som kn røves i Del 1. Dersom ogvetemet krever det, kn mer komliserte formler bli ogitt som en del v ogveteksten i Del 1. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 34 v 64

35 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i REA304 Mtemtikk R (Formelrket kn ikke brukes å Del 1 v eksmen.) Aritmetiske rekker Geometriske rekker Uendelige geometriske rekker Induksjonsbevis Derivsjon Ubestemt integrl Integrsjonsmetoder Bestemt integrl n 1 ( n 1) d 1 n sn n n-1 k n 1 n ( 1) 1 k sn når k 1 k 1 1 s når 1 k 1 1 k Bestemme konvergensområdet for rekker med vrible kvotienter Gjennomføre og gjøre rede for induksjonsbevis Kunne derivere olynomfunksjoner, otensfunksjoner, rsjonle funksjoner, logritmefunksjoner og eksonentilfunksjoner og bruke 1 (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tn x) = cos x = 1 + tn x Kunne derivere smmensetninger v funksjoner F( x) f( x) dx betyr t F( x) f( x) 1 r 1 1 d x ln x C x x x e dx e C r r 1 x dx x C når r 1 x 1 x dx C ln cos x dx sin x C sin x dx cos x C (1 tn x) dx tn x C 1 dx tn x C cos x ( u( x) v( x)) d x u( x) d x v( x) dx k u( x) d x k u( x) dx, k er en konstnt x i bsolutt vinkelmål Integrsjon ved vribelskifte, substitusjon Delvis integrsjon Integrsjon ved delbrøkoslting med lineære nevnere b f( x) d x F( b) F( ) der F( x) f( x) Tolke det bestemte integrlet i rktiske situsjoner Formel for volum v omdreiningslegemer Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 35 v 64

36 Vektorregning Linjer, ln og kuleflter Differensillikninger Trigonometri Regning med vektorer geometrisk som iler i rommet [ x, y, z] xex yey zez t[ x, y, z ] = [ tx, ty, tz ] [ x1, y1, z1] [ x, y, z] [ x1 x, y1 y, z1 z] [ x, y, z ] [ x, y, z ] x x y y z z [ x, y, z] x y z [ x1, y1, z1] [ x, y, z] x1 x og y1 y og z1 z AB [ x x1, y y1, z z1] fr A( x1, y1, z 1) til B( x, y, z ) Definisjonen v vektorroduktet b Kunne regne ut vektorroduktet b å koordintform Arelet v treknt: 1 b Volum v tetreder: 1 ( ) 6 b c x x0 t ( x0, y0, z0) er et unkt å linj y y0 bt v [, b, c] er retningsvektor z z0 ct ( x x0) b( y y0) c( z z0) 0 P0 ( x0, y0, z 0) er unkt i lnet, n [, b, c] er normlvektor ( x x ) ( y y ) ( z z ) r S( x, y, z ) er sentrum i kul, r er rdius i kul Avstnd fr unkt til linje Avstnd fr unkt til ln Kunne løse første ordens differensillikninger Kunne løse serble differensillikninger Kunne løse ndre ordens homogene differensillikninger med konstnte koeffisienter Definisjonen v bsolutt vinkelmål Kunne regne om mellom grder og bsolutt vinkelmål Kunne den generelle definisjonen v sinus, cosinus og tngens Kunne omforme trigonometriske uttrykk v tyen sinkx bcos kx, og bruke det til å modellere eriodiske fenomener Kunne løse trigonometriske likninger Eksmensogvene lges ut fr kometnsemålene i lærelnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kometnsemål som kn røves i Del 1. Dersom ogvetemet krever det, kn mer komliserte formler bli ogitt som en del v ogveteksten i Del 1. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 36 v 64

37 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i REA308 Mtemtikk S (Formelrket kn ikke brukes å Del 1 v eksmen.) Aritmetiske rekker Geometriske rekker Uendelige geometriske rekker Fktorisering v ndregrdsuttrykk Polynomer Likninger og likningssett Logritmer Derivsjon Arel under grfer Økonomi Snnsynlighetsfordeling n 1 ( n 1) d 1 n sn n n 1 k n 1 ( n 1) 1 k sn, når k 1 k 1 1 s, når 1 k 1 1 k x bx c ( x x )( x x ) 1 Nullunkter, olynomdivisjon og fktorisering Kunne løse likninger med olynomer og rsjonle funksjoner Kunne løse lineære likningssett med flere ukjente ln x e x og lne x x x lnb b x x ln x ln ln x ln( b) ln lnb e b x lnb lnx c x e c ln lnlnb b Derivsjonsregler for otens-, eksonentil- og logritmefunksjoner Derivsjonsregler for summer, differnser, rodukter og kvotienter Kjerneregel Kunne tolke relet under grfer i rktiske situsjoner Grensekostnd: K ( x) Grenseinntekt: I ( x) Utregning v forventningsverdi, vrins og stndrdvvik For en binomisk fordeling X med n forsøk og snnsynlighet er E() x n og n(1 ) Summen v n uvhengige stokstiske vribler hr forventningsverdi n og stndrdvvik n Kunne regne ut snnsynligheter knyttet til normlfordelinger (Aktuelle deler v tbell over stndrd normlfordeling vil bli ogitt i Del 1 v eksmen.) Eksmensogvene lges ut fr kometnsemålene i lærelnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kometnsemål som kn røves i Del 1. Dersom ogvetemet krever det, kn mer komliserte formler bli ogitt som en del v ogveteksten i Del 1. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 37 v 64

38 3 Måleenheter. SI-stndrd. 3 Måleenhetene nedenfor er ktuelle i vrierende grd for de ulike eksmenskodene ved sentrlt gitt skriftlig eksmen i mtemtikk. Noen utvlgte SI-grunnenheter 4 Størrelse Grunnenhet Nvn Symbol Lengde meter m Msse kilogrm kg Tid sekund s Elektrisk strøm mere A Noen vledede SI-enheter uttrykt ved grunnenhetene og sulementenhetene Størrelse Arel Volum SI-enhet Nvn kvdrtmeter kubikkmeter Symbol m 3 m Hstighet meter er sekund m / s Mssekonsentrsjon (mssetetthet) kilogrm er kubikkmeter 3 kg /m Akselersjon meter er sekund i ndre m / s Vinkelhstighet rdin er sekund rd / s Densitet kilogrm er kubikkmeter 3 kg /m Noen vledede SI-enheter som hr eget nvn og symbol Størrelse SI-enhet Uttrykt i Nvn Symbol vledede enheter Pln vinkel rdin rd Frekvens hertz Hz Krft newton N Trykk, senning scl P N /m Energi, rbeid, vrme joule J Nm Effekt wtt W J / s grunnenheter og sulementenheter mm 1 s 1 mkg s m m m kg s 1 kg s kg s 3 3 I henhold til lov om målenheter, måling og normltid og forskrift om målenheter og måling kittel, -1 til - 10 (Justervesenet). Kilde: (010). 4 SI = Système Interntionl d Unités (1960), i Norge fr Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 38 v 64

39 Noen utvlgte desimle multiler v SI-enheter (refikser) Fktorer Prefiks Nvn Symbol 1 10 ter T 9 10 gig G 6 10 meg M 1000 kilo k 100 hekto h 10 dek d 0,1 deci d 0,01 centi c 0,001 milli m 6 10 mikro μ 9 10 nno n Nvn og symbol for multiler v grunnenheten for msse lges ved å føye refiksene til betegnelsen grm (g), for eksemel milligrm (mg), hektogrm (hg), etc. Sesielle nvn å visse desimle multiler v SI-enheter Størrelse Enhet Nvn Symbol Uttrykt i SI-enheter Volum liter L L 1 dm 0,001 m Msse tonn t 1 t 1 Mg 1000 kg Fltemål r ml (milliliter), cl (centiliter), dl (desiliter) etc m klles dekr (d) m klles hektr (h) m Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 39 v 64

40 Noen enheter som er definert ut fr SI-enhetene, men som ikke er desimle multiler Størrelse Enhet Nvn Symbol Uttrykt i SI-enheter Tid minutt min 1 min 60 s time h 1 h60 min 3600 s døgn d 1 d4 h s Vinkel grd deg 1 deg π /180 rd minutt ' 1' 1 deg / 60 π /10800 rd sekund '' 1'' 1'/60 π / rd 1000 m 1 1 km /h m / s 3,6 km /h 1 m / s 3600 s 3,6 Andre utvlgte enheter Størrelse Enhet Nvn Symbol, verdi Elektrisk strøm mere A Termodynmisk temertur kelvin K Celsiustemertur celsiusgrd C Effekt wtt W Elektrisk senning volt V Resistns ohm Ω Lengde nutisk mil 1 nutisk mil = 185 m Hstighet kno 1 kno = 1 nutisk mil er time Ellers vises det til forskrift om måleenheter og måling kittel, -1 til -10 (Justervesenet). Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 40 v 64

41 4 Symbol- og terminologiliste 5 Nedenfor følger en oversikt over hvilke mtemtiske symboler og hvilken terminologi som kn brukes ved sentrlt gitt skriftlig eksmen i mtemtikk. De ulike symbolene og terminologien kn vriere for de ulike eksmenskodene. Ellers forutsettes symboler og terminologi fr grunnskolen kjent, jf. eksmensveiledningen for MAT0010 Mtemtikk 10. årstrinn. Mengder Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Mengde... Mengden v... Mengde å listeform Mengde v de... som er slik t... Mengdebygger, f.eks.: Bestem x x 5x 6 0 Løsningsmengde L x 5x 14 0 x 7 x L 7, Elementtegn Er element i... Er ikke element i... Tom mengde Den tomme mengden Mengden hr ingen elementer. L Mengdelikhet... er lik... A B betyr t mengdene hr kkurt de smme elementene. A B ( x)( x A x B) Inklusjon... er delmengde A B betyr t lle elementer i A v... også er elementer i B. Union... union... A B inneholder de elementene som enten er i A eller i B eller i begge. Snitt... snitt... A B inneholder de elementene som er i både A og B. Mengdediffernse \... minus... A\ B inneholder de elementene som er i A og ligger utenfor B. Mengden v de 1,, 3,... nturlige tllene Vi kn i tillegg bruke 0 0, 1,, 3,... Mengden v de hele tllene..., 1, 0, 1,,... Mengden v de rsjonle tllene Et rsjonlt tll er v formen b, Mengden v de reelle tllene Mengden v de komlekse tllene, b. Alle tll å tllinjen. : Alle ositive, reelle tll 5 Grunnlget for denne listen er tidligere symbol- og terminologiliste ublisert v Rådet for videregående olæring og Gyldendl Norsk Forlg 1989 og Jmes Stewrt, Clculus Erly Trnscendentls 7th Edition Stewrt Metric Interntion Version, Brooks/Cole, 011. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 41 v 64

42 Intervll Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Lukket intervll, b Det lukkede intervllet fr og med til og med b, b x x b Åent intervll, b Det åne intervllet, b x x b fr til b Dessuten brukes, b x x b Hlvåent intervll, b Det hlvåne intervllet fr og med til b Hlvåent intervll, b Det hlvåne intervllet fr til og med b, x x,, b x x b Dessuten brukes, x x, b x x b Dessuten brukes, b x x b Logikk Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Disjunksjon (Veljunksjon) q... eller... eller q eller begge er snne Konjunksjon q... og smtidig... og q er begge snne Imliksjon q... imliserer... Tilsvrende for q... medfører... «remiss medfører... hvis... så... konklusjon» v... følger... Ekvivlens q... hvis og bre hvis; q q er ekvivlent med; Imliksjon begge veier er ensbetydende med; biimliserer Negsjon ikke q q Allkvntor for lle for hvert... Eksistenskvntor... det finnes det eksisterer... eksisterer ikke Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 4 v 64

43 Vektorer Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Vektor En størrelse som hr -vektor både lengde og retning AB AB-vektor Nullvektor Nullvektor Lengde eller bsoluttverdi v en vektor Vinkel mellom vektorer Motstte vektorer Normlvektor Enhetsvektor Ortonormert bsis Vektor å koordintform i lnet Vektor å koordintform i rommet Sklrrodukt (Prikkrodukt) 0 AB (, b) Lengden v... Absoluttverdien v... (Minste) vinkel mellom... Den motstte til n Normlvektor til... e ex, ey, e z Dessuten brukes ( AB, AC) Vektor med lengde 1 Enhetsvektorene lngs henholdsvis første-, e1, e og e 3 ndre- og tredjeksen x, y Til hvert unkt P ( x, y) i lnet svrer en vektor OP x, y, der O er origo. x, y, z Til hvert unkt P ( x, y, z) i rommet svrer en vektor b -vektor rikk b-vektor OP x, y, z, der O er origo. Sklrroduktet er et tll. Vektorrodukt (Kryssrodukt) b -vektor kryss b-vektor Vektorroduktet er en vektor. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 43 v 64

44 Geometri Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Vinkel u, v,,,... Vinkel u,... Se også vinkel mellom vektorer. Dessuten brukes u, v,... (, b) Vinkel mellom strålene og b A Vinkel A Brukes gjerne om vinkelen ved hjørnet A i en mngeknt ABC Vinkel ABC Vinkel med tounkt B og vinkelbein BA og BC Positiv dreieretning Mot dreieretningen for viserne å en klokke Negtiv dreieretning Med dreieretningen for viserne å en klokke Komlementvinkler uv 90 To vinkler med sum 90 Sulementvinkler uv180 To vinkler med sum 180 Ekslementvinkler To vinkler med sum 360 Sinus sin Sinus Det brukes ikke tg for tn Cosinus Tngens cos tn Cosinus Tngens Vinkelrett AB DE Linjestykket AB står vinkelrett å linjestykket DE. Normlt Ortogonlt Perendikulært Prllellitet AB DE Linjestykket AB er rllelt med linjestykket DE. Treknt ABC Treknt ABC A kn også brukes om Arel v treknt rel T ABC, F ABC ABC Firknt ABCD Firknt ABCD Formlikhet ABC DEF Treknt ABC er formlik treknt DEF Kongruens ABC DEF Treknt ABC er kongruent med treknt DEF Sirkelbue ABC, AC Buen ABC, buen AC Vinklene i de to formlike trekntene er rvis like store. Vinklene og sidene i de to kongruente trekntene er rvis like store. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 44 v 64

45 Funksjonslære Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Ortonormert koordintsystem Også klt krtesisk koordintsystem. Rettvinklet koordintsystem med smme sklering å ksene Førstekse Også klt rgumentkse eller x-kse Andrekse Også klt funksjonskse eller y-kse Førstekoordint x Andrekoordint y f( x) Funksjonsverdi f( x), g( x ),... f v x Argument eller fri vribel x Annet nvn for uvhengig vribel Definisjonsmengde Df, D g,... Definisjonsmengden til f, g,... Verdimengde Vf, V g,... Verdimengden til f, g,... Vf f( x) x Df Grf til funksjon Mengden v unkter ( x, y ) der x Df og y f( x) Digrm eller grfisk bilde Smmenstt funksjon Strengt voksende Strengt vtgende (minkende) Asymtote Symmetrisk funksjon Invers funksjon Omvendt funksjon Koordintsystem med grfen til én eller flere funksjoner inntegnet f( g( x )) f v g v x Også klt funksjonsfunksjon. f er ytre funksjon, og g er indre funksjon. gx ( ) klles kjernen. Også klt strengt otil monoton. Brukes om funksjoner og tllfølger. En funksjon er strengt voksende når x x1 f( x) f( x1) Klles også strengt ned til monoton x x1 f( x) f( x1) Vertikl, horisontl eller skrå symtote Funksjonens grf er symmetrisk om en linje eller et unkt. rcsin, sin, sin Eks.: sin rccos, cos, cos 1 6 rctn, tn, tn 1 Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 45 v 64

46 Sesielle funksjonstyer Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Konstntfunksjon f( x) Lineær funksjon f( x) x b Et nnet nvn er førstegrdsfunksjon. er stigningstllet til førstegrdsfunksjonen. Andregrdsfunksjon f( x) x bx c Polynomfunksjon v n n1 f( x) nx n 1x n-te grd... 1x 0 Rsjonl funksjon x ( ) og q er olynomer. fx ( ) qx ( ) Potensfunksjon r f( x) x r Generell x f( x) i x-te eksonentilfunksjon 0 Sesiell ( ) e x n fx 1 eksonentilfunksjon e lim 1,718 n n Logritmefunksjon f( x) log g x log-g-x def y y log g x g x g er grunntllet. Briggsk logritme lg Grunntllet er 10. log kn også brukes. Nturlig logritme ln Grunntllet er e. Trigonometrisk f( x) sin x funksjon f( x) sin( x) (eksemler) g( x) cos x g( x) cos(x 1) h( x) tn x h( x) tn(4 x) Trigonometrisk f( x) sin n x Sinus i n-te x n funksjon n n sin x (sin x) Stndrdform for tll 10 n 1 10, n Absoluttverdifunksjon f( x) x Nullunkt til en Løsning v likningen funksjon fx ( ) 0. Løsningen Rot/røtter i en likning klles også rot i likningen fx ( ) 0. Dobbelt nullunkt til x er et dobbelt en funksjon nullunkt til en funksjon f dersom f( x) ( x ) g( x) der g ( ) 0. x er tngeringsunkt med x-ksen. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 46 v 64

47 Grenseverdi Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Grenseverdi lim fx ( ) Grenseverdien for fx ( ) «lim» kommer v x når x går mot «limes», som betyr grenseverdi. lim fx ( ) Grenseverdien for fx ( ) Tilsvrende når x går x når x går mot mot minus uendelig. uendelig Høyresidig lim fx ( ) Grenseverdien for fx ( ) x grenseverdi når x går mot fr Venstresidig grenseverdi Ensidig grenseverdi lim fx ( ) x høyre Grenseverdien for fx ( ) når x går mot fr venstre Enten høyresidig eller venstresidig grenseverdi Kontinuitet Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Kontinuitet i et Grfen er unkt smmenhengene i Kontinuitet i et intervll Diskontinuitet unktet. Funksjonen er kontinuerlig i hvert unkt i intervllet. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 47 v 64

48 Derivert Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Argumentdifferens x,... delt x,... Eller rgumenttilvekst Funksjonsdifferens y,... delt y,... f( x) f( x x) f( x) fx ( ) delt f v x fx ( ) klles også funksjonstilvekst. Gjennomsnittlig stigningstll, gjennomsnittlig vekstfrt Deriverbrhet i et unkt Deriverbrhet i et intervll y x fx ( ) x Den deriverte f ( x) f derivert v x Veksthstighet Vekstfrt Kjerneregelen d fx ( ) dx, d ( ) dx fx y, d y dx f ( x) Differensil d x, d y, df df Differensiler v d y, d f eller f ( x) høyere orden Differensilkvotient f x f x f x (4) (5) ( ), ( ), ( ), ( n f ) ( x ), n dy dx f v x derivert Gjennomsnittlig vekstfrt for f mellom rgumentverdiene og x er f( x) f( x) f( ) x x Funksjonen er deriverbr i hvert unkt i intervllet. fx ( ) f( x) lim x0 x f( x x) f( x) lim x0 x Førstederivert v fx ( ) Regel for å finne den deriverte v en smmenstt funksjon (funksjonsfunksjon) d f( x) f( x)dx dy ydx Den fullstendige betegnelsen er d fx ( ). Er lik y Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 48 v 64

49 Derivert. Fortstt. Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Mksimlverdi Lokl fx ( ) mks mksimlverdi Minimlverdi Lokl minimlverdi fx ( ) min Ekstremlverdier Mksiml- eller minimlverdier Ekstremlunkter Mksiml- eller minimlunkter (rgumentet til en ekstremlverdi) Absolutt mksimum y Den største verdien som mks funksjonen kn få i definisjonsmengden Absolutt minimum y Den minste verdien som min funksjonen kn få i definisjonsmengden Kritisk x-verdi En kritisk x-verdi til en funksjon fx ( ) er et tll (kritisk unkt) c D f slik t enten er f( c) 0 eller så er f () c ikke definert. Hvis f hr et loklt mksimum eller et loklt minimum i c, er c en kritisk x- verdi til f. Tounkt Et tounkt er et unkt å grfen med mksimlunkt og mksimlverdi. Bunnunkt Et bunnunkt er et unkt å grfen med minimlunkt og minimlverdi. Knekkunkt Et unkt å grfen hvor funksjonen er kontinuerlig, men ikke deriverbr Vendeunkt Et unkt å grfen hvor funksjonen er kontinuerlig, og som skiller mellom to deler v grfen som vender sin hule side o og sin hule side ned. Infleksjonsunkt Argumentet (x-verdien) til et vendeunkt Konkv ned f( x) 0 Grfen hr «hul side ned». Konkv o (konveks) f( x) 0 Grfen hr «hul side o». En nnen betegnelse er «konveks». Stsjonært unkt I et stsjonært unkt er f( x) 0. Et stsjonært unkt er et tounkt eller et bunnunkt hvis f ( x) skifter fortegn i unktet. Terrsseunkt Et terrsseunkt er et stsjonært unkt hvor funksjonen ikke endrer seg fr voksende til vtkende eller fr vtkende til voksende. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 49 v 64

50 Absolutt mksimum og bsolutt minimum: En funksjon f hr bsolutt mksimum i c hvis f( c) f( x) mksimumsverdien til f i x D f. () fc er minimumsverdien til f i f x D. fc () klles f D. En funksjon f hr bsolutt minimum i c hvis f( c) f( x) D f. Her klles fc () ekstremlverdier til f. Loklt mksimum og loklt minimum: En funksjon f hr et loklt mksimum i c hvis det finnes et åent intervll I om c slik t f( c) f( x) x I. Hvis f hr et loklt mksimum i c, klles fc () for lokl mksimumsverdi. En funksjon f hr et loklt minimum i c hvis det finnes et åent intervll I om c slik t f( c) f( x) x I. Hvis f hr et loklt minimum i c, klles fc () for lokl minimumsverdi. Fellesbetegnelsen for lokle mksimums- og minimumsverdier til en funksjon f er lokle ekstremlverdier for f. Merk! Med denne definisjonen kn en funksjon f ikke h et loklt mksimum eller et loklt minimum i noen v endeunktene i D f ettersom det ikke finnes et åent intervll om et endeunkt. Lukket intervll-metode: For å finne bsolutte mksimums- og minimumsverdier til en kontinuerlig funksjon f å et lukket intervll, b : 1. Finn fx-verdier ( ) for kritiske x-verdier til f i, b.. Finn fx-verdier ( ) i endeunktene og b. 3. De største fx-verdiene ( ) fr trinn 1 og er bsolutte mksimumsverdier. De minste fx-verdiene ( ) fr trinn 1 og er bsolutte minimumsverdier. Førstederivert-test: Ant t c er en kritisk x-verdi til en kontinuerlig funksjon f. ) Hvis f( x) 0 før c og f( x) 0 etter c, hr f et loklt mksimum i c. b) Hvis f( x) 0 før c og f( x) 0 etter c, hr f et loklt minimum i c. c) Hvis f ( x) ikke skifter fortegn (hvis f( x) 0 å begge sider v c, eller hvis f( x) 0 å begge sider v c), hr f ikke loklt mksimum eller loklt minimum i c. Fermts teorem: Hvis funksjonen f hr et loklt minimum eller mksimum i c, og hvis f () c eksisterer, så er f( c) 0. NB! Selv om f( c) 0, behøver ikke f h loklt minimum eller loklt mksimum i c. Eksemel: Hvis f( x) 3 x, d er (0) 0 f. Men f hr ikke noe mksimum eller minimum. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 50 v 64

51 Andrederivert-test: Ant t f er kontinuerlig nær c. ) Hvis f( c) 0 og f( c) 0, hr f et loklt minimum i c. b) Hvis f( c) 0 og f( c) 0, hr f et loklt mksimum i c. Konkvitetstest: ) Hvis f( x) 0 x, b, er grfen til f konkv o å, b. b) Hvis f( x) 0 x, b, er grfen til f konkv ned å, b. Hvis grfen til f ligger over lle sine tngenter å, b, klles grfen konkv o å, b. Hvis grfen til f ligger under lle sine tngenter å, b, klles grfen konkv ned å, b. Vendeunkt: Et unkt P å grfen til f klles et vendeunkt hvis f er kontinuerlig der og grfen endrer seg fr konkv o til konkv ned eller fr konkv ned til konkv o i P. NB! Selv om f( c) 0 behøver ikke f h et vendeunkt for x c. Eksemel 1 En funksjon f er gitt ved f x x x x D f 3 ( ) 3 1, [ 4, ] Grfen til f : y Absolutt mksimum f() 19 Tounkt (,3, 9,3) Loklt mksimum Nullunkt x 3,6 Vendeunkt( 1, 5) Infleksjonsunkt x 1 Bunnunkt (0,3, 0,7) Loklt minimum x Absolutt minimum f( 4) 7 Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 51 v 64

52 Kommentrer til eksemel 1: 1. Nullunkt til f: f( x) 0 x 3,6 (et nullunkt er løsningen v likningen fx ( ) 0 ) Når nullunktet er 3,6, er skjæringsunktet mellom grfen og x-ksen (3,6, 0).. Bunnunkt: (0,3, 0,7) Et unkt å grfen til f. Bunnunkt består v en minimlverdi ( fx-verdi), ( ) og en kritisk x- verdi. 3. Tounkt: (,3, 9,3) Et unkt å grfen til f. Tounkt består v en lokl mksimumsverdi ( fx-verdi), ( ) og en kritisk x-verdi. 4. Ekstremlunkt: Argumentet (x-verdien) til tounkt og/eller bunnunkt. Jf. unkt. og Vendeunkt: ( 1, 5) Et unkt å grfen til f. 6. Infleksjonsunkt: x 1 7. Absolutt mksimum f() 19 Største verdi som funksjonen kn få i D [ 4, ] f 8. Absolutt minimum f( 4) 7 Minste verdi som funksjonen kn få i D [ 4, ] f Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 5 v 64

53 Eksemel En funksjon f er gitt ved f x x x x D f 4 3 ( ) , [ 1, 4] Grfen til f: Absolutt mksimum f( 1) 37 y (4) 3 f er verken loklt eller bsolutt mksimum Vendeunkt (0,45,,3) Infleksjonsunkt x 0,45 Bunnunkt (0, 0) Loklt minimum f(0) 0) Nullunkt x 0 Tounkt (1, 5) Loklt mksimum f(1) 5 Nullunkt x 1,61 Nullunkt x,7 x Vendeunkt (,, 13,36) Infleksjonsunkt x, Bunnunkt Loklt og bsolutt minimum for f(3) 7 Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 53 v 64

54 Eksemel 3 En funksjon g er gitt ved g( x) x 3x 1, D f, y Absolutt mksimum g(4) 17 Tounkt (0, 1) Loklt mksimum g(0) 1 Nullunkt x 0,65 Nullunkt x,88 x 1 1 g er 8 verken et loklt minimum eller et bsolutt minimum. Vendeunkt(1, 1) Infleksjonsunkt x 1 Bunnunkt (, 3) Loklt og bsolutt minimum g() 3 Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående olæring 014 Side 54 v 64