Eksamensrettleiing. om vurdering av eksamenssvar 2017

Transkript

1 Eksmensrettleiing om vurdering v eksmenssvr 017 Mtemtikk. Sentrlt gitt skriftleg eksmen Studieførebunde og yrkesfglege utdnningsrogrm Kunnsksløftet LK06 Nynorsk

2 Innhld 1 Vurdering eksmensmodell og vurdering v eksmenssvr Formelrk 3 Måleiningr SI-stndrd 4 Symbol- og terminologiliste 5 Sesielt om REA30 Mtemtikk R1. Sirkelen som ein geometrisk std Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side v 68

3 1 Vurdering v sentrlt gitt skriftleg eksmen i mtemtikk i vidregånde olæring 017 Denne eksmensrettleiing gjeld sentrlt gitt skriftleg eksmen i mtemtikk for desse eksmenskodne i vidregånde olæring 017: Studieførebunde utdnningsrogrm MAT1011 Mtemtikk 1P MAT1013 Mtemtikk 1T MAT1015 Mtemtikk P MAT1017 Mtemtikk T REA30 Mtemtikk R1 REA306 Mtemtikk S1 REA304 Mtemtikk R REA308 Mtemtikk S Yrkesfglege utdnningsrogrm MAT1005 Mtemtikk P-Y, åbygging til generell studiekometnse, yrkesfg MAT1010 Mtemtikk T-Y, åbygging til generell studiekometnse, yrkesfg Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 3 v 68

4 1.1 Eksmensmodell og eksmensordning Eksmensmodell Eksmen vrer i 5 timr og består v to delr. Denne eksmensmodellen er vld ut frå ei fgleg vurdering v eigenrten til mtemtikkfget og kometnsemål i lærelnen Eksmensordning Eksmen hr ingen førebuingsdel. Del 1 og Del v eksmen skl delst ut smtidig til elevne. Etter nøyktig timr eller 3 timr (vhengig v eksmenskode) skl svret å Del 1 leverst inn. Smtidig kn digitle verktøy og ndre hjelemiddel til bruk i Del tkst frm. I enkelte ogåver i Del skl eleven bruke digitle verktøy. Svret å Del skl leverst inn innn 5 timr etter eksmensstrt. Eleven kn begynne å Del når som helst (men utn hjelemiddel frm til det hr gått timr eller 3 timr (vhengig v eksmenskode) og svret å Del 1 er levert inn). Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 4 v 68

5 Eksmensordning Vidregånde olæring (rktisk mtemtikk). Elevr og rivtistr. Eksmenskode Krv til digitle verktøy å Del 1 Del dtmskin i Del Utn hjelemiddel Alle hjelemiddel MAT1011 Mtemtikk 1P MAT1015 Mtemtikk P MAT1005 Mtemtikk P-Y 1) Reknerk ) Grfteiknr timr 3 timr Vidregånde olæring (teoretisk mtemtikk og mtemtikk rogrmfg). Elevr og rivtistr. Eksmenskode Krv til digitle verktøy å Del 1 Del dtmskin i Del Utn hjelemiddel Alle hjelemiddel MAT1013 Mtemtikk 1T MAT1017 Mtemtikk T MAT1010 Mtemtikk T-Y REA30 Mtemtikk R1 REA304 Mtemtikk R REA306 Mtemtikk S1 REA308 Mtemtikk S 1) CAS* ) Grfteiknr 3 timr timr *CAS: Comuter Algebr Systems 1. Hjelemiddel, kommuniksjon og særskild tilrettelegging 1..1 Hjelemiddel å Del 1 På Del 1 er skrivesker, ssr, linjl med centimetermål og vinkelmålr dei einste tilltne hjelemidl. På Del 1 er det ikkje tillte å bruke dtmskin. Merk t ved særskild tilrettelegging v eksmen er det heller ikkje tillte å bruke ndre hjelemiddel enn dei som er sesifiserte ovnfor, jf. kittel Hjelemiddel å Del Alle hjelemiddel er tilltne. Med bruk v nettbserte hjelemiddel må IP-dressene være isolerte. Skolne kn velge å l elevene nytte nettbserte hjelemiddel under modell 1 og modell, del. Dette gjeld kun dersom skolne er i stnd til å isolere dei ktuelle IP-dressene. Nettbserte hjelemiddel vil si førebuingsdelr, læringsressursr, Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 5 v 68

6 oslgsverk eller ordbøker. Det er ikkje tillt med smskriving, cht og ndre moglegheiter for å kunne utveksle informsjon med ndre under eksmen. Elevne må å eksmensdgen sjølve velje og bruke formålstenlege hjelemiddel, jf. kittel 1.9 Kjenneteikn å målonåing nednfor. På enkelte ogåver skl eleven bruke digitle verktøy Kommuniksjon Under eksmen hr elevne ikkje høve til å kommunisere med kvrndre eller utnforstånde Særskild tilrettelegging v eksmen Når det gjeld særskild tilrettelegging v eksmen, viser vi til rundskriv Udir-4-010, som er ublisert å nettsidene til Utdnningsdirektortet, Innhldet i eksmensogåvene Ved utforming v eksmensogåver blir det teke utgngsunkt i kometnsemål i lærelnen for fget. Integrerte i kometnsemål finn vi dei grunnleggjnde ferdigheitene å kunne uttrykkje seg munnleg i mtemtikk (ikkje å skriftleg eksmen) å kunne uttrykkje seg skriftleg i mtemtikk å kunne lese i mtemtikk å kunne rekne i mtemtikk å kunne bruke digitle verktøy i mtemtikk Frå formålet for fellesfget mtemtikk: Mtemtisk kometnse inneber å bruke roblemløysing og modellering til å nlysere og omforme eit roblem til mtemtisk form, løyse det og vurdere kor gyldig løysing er. Dette hr òg sråklege sekt, som det å formidle, smtle om og resonnere omkring ider. I det meste v mtemtisk ktivitet nyttr ein hjelemiddel og teknologi. Tl- og omgresforståing og ferdigheitsrekning utgjer fundmentet i mtemtikkfget. Ogåvesett er bygde o slik t svret skl gi grunnlg for å vurdere den individuelle kometnsen i mtemtikk hos elevne. Elevne skl få høve til å vise i kv grd dei kn t i bruk fglege kunnskr og ferdigheiter i smbnd med teoretiske roblemstillingr og i verkelegheitsnære situsjonr. Ogåvene i både Del 1 og Del v eksmen inneheld derfor element v ulik vnskegrd. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 6 v 68

7 Sml sett (Del 1 og Del ) røver eksmen elevne i kometnsemål frå lle hovudområd i lærelnen, men ikkje nødvendigvis lle kometnsemål i lærelnen. Avhengig v tem og kontekst kn eksmen innehlde fleire ogåver som høyrer til sme hovudområde Innhld i Del 1 I Del 1 blir elevne røvde i rekneferdigheiter og grunnleggjnde mtemtikkforståing, omgres- og tlforståing, evne til resonnement og fgkunnsk. Del 1 inneheld ogåver med ulik vnskegrd. Det kn vere fleire mindre ogåver med tem som er sreidde ut over kometnsemål i lærelnen. I tillegg kn det vere meir smnhengnde ogåver. Del 1 v eksmen er irbsert. Kndidtne skl skrive med blå eller svrt enn. Unntket er eventuelt konstruksjon v geometriske figurr Formlr i Del 1 Kittel i denne eksmensrettleiing listr o formlr som skl vere under Del 1 v eksmen. Lærebøker kn h ulike måtr å skrive formlr og symbol å, og det er sjølvsgt o til den enkelte eleven og lærren å bruke den skrivemåten dei er vne med. Hovudsk er t dei kjenner innhldet i formlne og kn bruke dei. Dersom elevne er vne med å bruke ndre formlr i tillegg til dei som er nemnde i vedlegg, er det sjølvsgt tillte å bruke dei. Merk: Eksmensogåvene er lg ut frå kometnsemål i lærelnen, og utvlet v formlr ngir derfor ikkje vgrensingr v kometnsemål som kn røvst i Del 1. Dersom ogåvetemet krev det, kn meir komliserte formlr bli ogitt som ein del v ogåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng Innhld i Del Del inneheld ogåver med ulik vnskegrd. Nokre ogåver i Del v ogåvesettet skl løysst ved hjel v ngitte digitle verktøy. I ndre ogåver i Del står eleven fritt til å velje metode/hjelemiddel sjølv. Del inneheld ogåver som med ulik komleksitet røver den mtemtiske kometnsen hos elevne. I Del kn det vere tem som ikkje lle elevne hr førehndskunnskr om, men roblemstillingne og formuleringne i dei enkelte ogåvene vil nten vere uvhengige Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 7 v 68

8 v førehndskunnsk om temet, eller dei vil vere følgde v ei forklring som kn knyte ogåv til temet. Del består v ein del ogåver som igjen er delte inn i fleire delsørsmål. Ogåvene og dei fleste delsørsmål vil kunne løysst uvhengig v kvrndre. Likevel kn det hende det er ogåver der svret å eit delsørsmål skl brukst i det neste, og så vidre. Formålet med smnhengnde delsørsmål i ei ogåve er å hjele elevne å veg i roblemløysing. Del kn også innehlde formlr og liknnde som kn frmstå som nye utfordringr for elevne. Del vil ofte innehlde meir tekst og illustrsjonr enn Del 1. Ogåvene i både Del 1 og Del skl formulerst slik t dei frmstår som klre roblemstillingr i ein så enkel sråkdrkt som mogleg. Det er forvent t elevne kjenner vnlege ord, uttrykk og omgre frå det norske sråket som inngår i smbnd med mtemtiske omgre og roblemstillingr og i kommuniksjonen v roblemløysing. I ogåveformuleringne skl ein helst bruke korte setningr. Fguttrykk skl berre brukst der det er nødvendig. Illustrsjonr, i form v bilete og teikningr, skl støtte o under lesing og forståing v ogåvene. Del v eksmen kn gjennomførst som irbsert eksmen i så fll skl det brukst blå eller svrt enn og/eller tkst utskrifter. Del v eksmen kn også gjennomførst som IKTbsert eksmen, jf. kittel Sråket i eksmensogåvene Ved formuleringr som Finn, Løys og Bestem er det ikkje lgt o til bestemte frmgngsmåtr eller sesielle hjelemiddel. Eleven kn velje å løyse ogåv grfisk, ved rekning (lgebrisk) eller ved å nytte ulike kommndor i eit digitlt verktøy. Her hr eleven full metodefridom. Dersom eleven bruker grfiske løysingsmetodr, må eleven rgumentere for løysing og forklre figuren. NB! Del vil ikkje lenger innehlde ogåveformuleringr som Finn/Løys/Bestem ved regning eller Rekne ut. I enkelte ogåver i Del vil elevne bli bedt om å bruke «reknerk» eller «grfteiknr» eller «CAS» for å løyse ogåv. I ndre ogåver i Del kn elevne bruke den metoden / det hjelemiddelet / det digitle verktøyet som eleven finn formålstenleg. Mellomrekning og mellomresultt må tkst med i rimeleg omfng også når eleven bruker digitle verktøy. Dersom det ostår tvil og ulike oftningr v ogåveteksten, vil sensorne vere one for rimelege tolkingr. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 8 v 68

9 1.5 Frmgngsmåte og forklring Der ogåveteksten ikkje seier noko nn, kn eleven velje frmgngsmåte og hjelemiddel sjølv. Dersom ogåv krev ein bestemt løysingsmetode, vil også ein lterntiv metode kunne gi noko utteljing. Verifisering ved innsetjing kn gi noko utteljing, men ikkje full utteljing ved sensuren. I nokre ogåver vil ein røve-og-feile -metode vere nturleg. For å få full utteljing ved bruk v ein slik metode må eleven rgumentere for strtegien og vise ei systemtisk tilnærming. I ndre ogåver kn verifisering ved innsetjing vere den mest nturlege frmgngsmåten. D vil innsetjing kunne gi full utteljing. Frmgngsmåte, utrekning og forklring skl honorerst også om resulttet ikkje er riktig. Ved følgjefeil skl sensor likevel gi utteljing dersom den vidre frmgngsmåten er riktig og ogåv ikkje blir urimeleg forenkl. Nødvendig mellomrekning og forklring er eit krv for å vise kv som er gjort, både i Del 1 og i Del v eksmen. Evn til å kommunisere mtemtikk er viktig her. Eleven skl resentere løysingne å ein ryddig, oversiktleg og tydeleg måte. Mnglnde konklusjon, nemning, bruk v nødvendig notsjon og liknnde kn føre til lågre utteljing ved sensuren. Dersom eleven ikkje hr med frmgngsmåten, men berre eit korrekt svr, skl ein gi noko utteljing for dette sjølv om eleven hr vist mnglnde kommuniksjonskometnse. Ved meir one ogåveformuleringr er det sesielt viktig t eleven grunngir tolking v ogåv og vlet v løysingsstrtegi. Bruk v digitle verktøy i Del v eksmen skl dokumenterst. Dette kn for eksemel gjerst ved å bruke «skjermdum» (PrintScreen) og koiere dette inn i eit tekstdokument og deretter skrive ut. Bruk v digitle verktøy kn også dokumenterst gjennom ein IKT-bsert eksmen. Eksemel å frmgngsmåte og grunngiving ved bruk v CAS og ndre digitle verktøy: Jmfør for eksemel dokument «Eksemelogåve MAT1011 Mtemtikk 1P Ny eksmensordning våren 015» og «Eksemelogåve REA304 Mtemtikk R Ny eksmensordning våren 015» som er ubliserte å heimesid til Utdnningsdirektortet, htt:// Dersom ei ogåve krev bruk v eit digitlt verktøy og eleven ikkje bruker det digitle verktøyet, blir det låg /noko utteljing ved sensuren dersom det elles er gitt eit korrekt svr å ogåv. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 9 v 68

10 1.6 Andre kommentrr Konstruksjon (irbsert svr Del 1) for REA30 Mtemtikk R1 Konstruksjonsogåver skl i Del 1 løysst med ssr, blynt og linjl. Det er generelt ikkje noko krv om hjelefigur, men eleven skl lltid gi ei konstruksjonsforklring. Svr å konstruksjonsogåver i Del 1 bør skje å blnkt ir, slik t konstruksjonen kjem frm så klrt som mogleg Grfteikning og skisse (irbsert svr Del 1) Teikning v grfr og skisser kn gjerst for hnd å ir. Dette kn gjerst nten med enn eller blynt. Det er viktig t elevne fører å skl og nmn å ksne når dei teiknr grfr i svret sitt. Det er generelt ikkje noko krv om verditbell over utrekn funksjonsverdir, med mindre det er surt sesielt om det i ogåv. Når omgreet skisse blir brukt i smbnd med teikningr, grfr og liknnde, er det ikkje snkk om ei nøyktig teikning i riktig målestokk. Eleven kn d ikkje utn vidre måle å sjølve skiss for å svre å ogåv. Dersom elevne blir bedt om å skissere ein grf, er det tilstrekkeleg t dei skisserer form å kurv i svret. Her blir det ikkje stilt så store krv til å vere nøyktig som ved teikning v grfr. Ein bør likevel t med viktige unkt som null-, botn-, to- og eventuelt vendeunkt. På skiss/teikning v grfen skl vlesingr mrkerst tydeleg. Når elevne blir bedt om å bestemme eventuelle to-, botn- eller vendeunkt å grfen til ein funksjon, ei drøfting v funksjonen, kn dei nten bruke forteiknslinjer og drøfte den deriverte eller å nnn måte gjere greie for forteiknet til den deriverte, eventuelt bruke den dobbelt deriverte for å vgjere om dei kritiske x-verdine gir tounkt (t grfen er konkv ned) eller botnunkt (t grfen er konveks). Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 10 v 68

11 1.6.3 Digitle verktøy å Del v eksmen Det er ein føresetnd t elevne er kjende med ulike digitle verktøy, og t dei kn bruke dei å ein formålstenleg måte under Del v eksmen. Dtmskin med digitle verktøy er obligtorisk å bruke i ulike eksmenskodr: Eksmenskode Dtmskin med digitlt verktøy MAT0010 Mtemtikk (grunnskole) Reknerk Grfteiknr MAT1011 Mtemtikk 1P MAT1015 Mtemtikk P MAT1005 Mtemtikk P-Y Reknerk Grfteiknr MAT1013 Mtemtikk 1T MAT1017 Mtemtikk T MAT1010 Mtemtikk T-Y REA30 Mtemtikk R1 REA304 Mtemtikk R REA306 Mtemtikk S1 REA308 Mtemtikk S CAS Grfteiknr Vi nbeflr mest mogeleg odtert rogrmvre instllert å dtmskin Dynmisk geometrirogrm (rogrmvre å dtmskin). Ikkje obligtorisk. Dynmisk geometrirogrm kn brukst til å teikne geometriske figurr. Det er sesielt i eksmenskoden REA30 Mtemtikk R1 t dette digitle verktøyet kn vere ktuelt å bruke. Denne rogrmvr er ikkje obligtorisk å bruke. Ved teikning v geometriske figurr med dynmisk geometrirogrm ( Teikn ) under Del v eksmen er det tillte å bruke lle funksjonststr/kommndor direkte i rogrmvr. Eksemel å slike er funksjonststr/kommndor som teiknr normlr, hlverer vinklr, lgr midtnorml, teiknr rllelle linjer, og så vidre. Elevne må leggje ved ei oversikt over kv som er gjort i rogrmvr, i svret sitt. Elevne vil bli røvde i klssisk konstruksjon med ssr og linjl under Del 1, jf. kittel I Del kn det for eksemel stå «teikne eller konstruer». Elevne kn d velje om dei vil bruke dynmisk geometrirogrm eller konstruere med ssr og linjl. Vi bruker ikkje ordet «konstruer» når vi onr o for dynmisk geometrirogrm. D føretrekkjer vi «teikne» i stden. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 11 v 68

12 Grfteiknr (rogrmvre å dtmskin). Obligtorisk. Ein digitl grfteiknr finst i mnge vrintr og skl brukst i lle skriftlege eksmenskodr i mtemtikk. Det skl gå klrt frm v den grfiske frmstilling kv skl som er brukt, og kv storleik som kn lesst v, å kvr v ksne. Det er ein fordel t funksjonsuttrykket som er tst inn i grfteiknren, kjem frm, slik t sensor enklre kn vurdere grfteikning. Dersom elevne bruker ein slik grfteiknr, treng dei ikkje å ogi verken verditbell eller frmgngsmåte (korleis dei hr gått frm for å teikne grfen). Elevne må derimot forklre kv kommndor dei hr brukt for å finne for eksemel skjeringsunkt og ekstremlunkt. Elevne kn leggje ved forklringr over kv som er gjort i rogrmvr, dersom dei finn det formålstenleg. Frå Eksmen MAT1013 Mtemtikk 1T Husten 014, Ogåve i Del : Grete observerer ein bkteriekultur. Funksjonen B gitt ved B x x x x x 4 3 ( ) 0,1 5, viser tlet å bkterir Bx ( ) i bkteriekulturen x timr etter t ho strt observsjonne. ) Teikne grfen til B for x 0, 60. b) Bestem tounktet å grfen og skjeringsunkt mellom grfen og ksne. c) Kv fortel svr i ogåve b) om bkteriekulturen? d) Bestem den momentne vekstfrten til bkteriekulturen etter 40 timr. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 1 v 68

13 Eksemel å svr med grfteiknr: ) Grfen til f (innnfor definisjonsområdet). Nmn å ksen og skl. b) Tounkt: Sjå unkt T. Kommndo: Ekstremlunkt. Skjeringsunkt med y-ksen: Sjå unkt S. Skjeringsunkt med x-ksen: Sjå unkt N. Kommndo: Nullunkt. c) Det vr bkterir i bkteriekulturen d Grete strt observsjonne, sjå unkt S. Cirk 56,5 h etter t Grete strt observsjonne, vr det ingen bkterir igjen i bkteriekulturen. Sjå unkt N. d) Momentn vekstfrt etter 40 timr: Stigingstl i unkt M. Tlet å bkterir går d ned med 5700 er time. Kndidtne kn kortftt svre å sørsmål ved å vise til grfteikning. Det er ikkje nødvendig å t med frmgngsmåte for å vise korleis grfen hr komme frm. Heller ikkje verditbell er eit krv. Det er ein fordel t kndidtne får frm kv funksjonsuttrykk dei hr tst inn i rogrmmet. Dei ulike unkt bør komme frm med koordintr. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 13 v 68

14 CAS Comuter Algebr System (rogrmvre å dtmskin). Obligtorisk. CAS er å forstå som ein symbolbehndlnde (og numerisk) klkultor. CAS skl brukst i eksmenskodne for 1T, T, T-Y, R1, R, S1 og S. Eksmenskndidtne skl dokumentere bruken v CAS. Dei kn for eksemel t ein «skjermdum» (Print Screen). Dei kn eventuelt knyte kommentrr til CAS og konkludere i forhold til roblemstilling. Eksmenskndidtne må sjølve finne for eksemel ei riktig setning, kommndo eller stille o ei riktig likning. Deretter kn CAS brukst direkte. Frå «Eksemelogåve REA304 Mtemtikk R Ny eksmensordning våren 015», ogåve i Del : Ei rett linje går gjennom unkt A(0, R ) og B( h, r ). Sjå figur 1. Ei rett, vkort kjegle kjem frm ved å rotere linjestykket AB 360 om x-ksen. Sjå figur. A(0, R) B( h, r ) O r Figur 1 Figur ) Vis t linj gjennom A og B hr likning r R y x R h b) Bruk CAS til å vise t volumet V v den rette, vkort kjegl er h V R Rr r 3 ( ) c) Forklr kort kv for omdreiingslekm vi får dersom r 0 og dersom r R. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 14 v 68

15 Eksemel å svr med krv til CAS i ogåve b): ) Den rette linj hr likning y x b. Skjering med y-ksen: b R. Stigingstl: r R r R h 0 h Dermed er likning for den rette linj r R y x R h b) Bruker CAS til å bestemme volumet v den rette, vkort kjegl: Kommentr: I denne ogåv skl kndidten bruke CAS. Viss ikkje onår eleven låg/noko utteljing ved sensuren. Her krevst det ikkje forklrnde tekst utover å dokumentere det som er gjort i CAS. I ndre ogåver og svr kn det vere nødvendig å knyte nokre korte kommentrr til enkelte utrekningr i CAS. c) Dersom 0 Dersom r r, går linj gjennom A(0, R ) og Bh (, 0). Omdreiingslekm: Rett kjegle. R, går linj gjennom A(0, R ) og B( h, R ). Omdreiingslekm: Rett sylinder. Vi viser elles til ubliserte eksemelogåver i eksmenskodne for 1T, T, T-Y, R1, S1, R og S for fleire eksemel å ogåver som krev bruk v CAS. htt:// Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 15 v 68

16 Reknerk (rogrmvre å dtmskin). Obligtorisk. Det skl brukst reknerk i eksmenskodne for 1P, P og P-Y. Bruk v reknerk er også obligtorisk ved sentrlt gitt skriftleg eksmen i MAT0010 Mtemtikk, og elevne skl h fått kjennsk til dette digitle verktøyet å ungdomsskolen. Ei reknerkutskrift skl h med rd- og kolonneoverskrifter. Utskrift skl også vere identifiserbr, det vil seie t ho inneheld ogåvenummer, nmn å skolen og kndidtnummer. Ved bruk v reknerk bør eleven i størst mogleg grd nytte formlr, slik t løysing blir dynmisk, det vil seie t løysing endrr seg dersom tl i ei ogåve blir endr. Når eit reknerk blir skrive ut, skl rd- og kolonneoverskrifter vere med å utskrift. Eleven skl nten t ei formelutskrift v reknerket eller skrive formlne som er brukte, i ein tekstboks. Eleven bør tilsse løysing å reknerket til eitt eller to utskriftsrk ved bruk v førehndsvising før utskrift. Sjølv om det er det fglege innhldet som rimært skl vurderst, vil også resentsjonen v løysing bli vurdert (kommuniksjonskometnse). Vi viser til «Eksemelogåve MAT1011 Mtemtikk 1P Ny eksmensordning våren 015» for eksemel å bruk v reknerk. Elevne bør lge reknerkmodellne sjølve, og bruken v formlr blir vurdert i forhold til om reknerket er blitt «dynmisk», det vil seie, dersom vi endrr inndt, blir også utdt endr utomtisk, slik t det blir enkelt å bruke sme reknerk om igjen til liknnde ogåver. Det er derfor ikkje lltid formålstenleg eller ein fordel å bruke ferdigmodellr Digitle verktøy og mtemtisk symbolbruk I digitle verktøy kn mtemtisk symbolbruk vvike noko frå den klssiske symbolnotsjonen. Eksemel å dette er /, *, ^, 4.5E06 og så vidre. Dette er godkjend notsjon, og elevne må ikkje trekkjst for dette under sensuren. Meir klssisk (og korrekt) notsjon, og symbol- og formlismekometnse blir røvd i Del 1 v eksmen. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 16 v 68

17 1.7 Pirbsert eksmen Del 1 v eksmen i mtemtikk er irbsert. Når Del skl leverst som ein irbsert eksmen, kn kndidtne svre å Del å ir og t utskrifter frå rogrmvre å dtmskin. Pirbsert eksmen betyr også t det må vere mogleg for kndidtne å t utskrifter. Vi resiserer t ein irbsert eksmen også inkluderer bruk v dtmskin med åkrvd rogrmvre. Kndidtne svrer d utelukknde å ir / utskrifter frå rogrmvre. Del 1 og Del skl sendst som svr å ir til sensor med «eksress over ntt», slik t svret kjem rskst mogleg frm til sensor. 1.8 IKT-bsert eksmen I vidregånde olæring og i grunnskolen står skolne fritt til å rrngere IKT-bsert eksmen for Del v den todelte eksmenen i mtemtikk. Medn Del 1 v todelt eksmen skl svrst å med ir og sendst er vnleg ost til sensor, vil IKT-bsert eksmen v Del måtte svrst å ved hjel v dtmskin og eit dtdokument som blir sendt elektronisk til sensor. Dersom ein vil rrngere IKT-bsert eksmen, er det viktig å setje seg grundig inn i korleis dette skl gjerst, og kv systemkrv og krv til formt som gjeld. Informsjon om IKT-bsert eksmen finn du her: htt:// IKT-bsert eksmen skl gjennomførst slik: 1) Eksmenskndidten loggr seg inn å Utdnningsdirektortets røvegjennomføringssystem (PGS) med tildelt brukrnmn og ssord. ) Eksmenskndidten lstr ned eksmensogåv frå Utdnningsdirektortets røvegjennomføringssystem PGS-A når Del kn begynne. 3) Eksmenskndidten svrer å eksmensogåv ved hjel v dtmskin og diverse digitle verktøy, og lgrr svret. 4) Eksmenskndidten lstr o svret til PGS-A. 5) Sensor hentr svret i røvedministrsjonssystemet PAS, der også krkterne blir sette ved fellessensuren. På htt:// finn du diverse odterte brukrrettleiingr for skolen, for eksmenskndidtne og for sensur. Gode råd for korleis ein går frm, og kv filformt som er tilltne for eksmenskndidtr som skl svre å Del v todelt, sentrlt gitt eksmen i mtemtikk som IKT-bsert eksmen: Avhengig v kv fgkode i mtemtikk du skl t eksmen i, er det viktig t du hr ei dtmskin og dei digitle verktøy du treng for å svre å eksmen i denne fgkoden. Som bsisdokument bør du h eit tekstbehndlingsrogrm (for eksemel Word). Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 17 v 68

18 Hugs å lge to- eller botntekst i tekstbehndlingsdokumentet, der du skriv nmnet å skolen og kndidtnummeret ditt. For meir informsjon om identifisering v svret ditt kn du lese brukrrettleiing for kndidtr her: htt:// Hugs også lønde ogåvenummerering, der du koierer inn for eksemel ein del v eit reknerk eller eit digrm i ei ogåve, medn du koierer inn ei digitl grfteikning eller ei utrekning frå CAS til neste ogåve, og så vidre. Skriv elles utfyllnde kommentrr til kvr ogåve, slik t du svrer best mogleg å ogåv. Når du er ferdig med Del v todelt eksmen i mtemtikk, må du hugse å lgre og lste o svret ditt i PGS-A. Sjå brukrrettleiing for kndidtr: htt:// Det finst svært mnge tyr digitle verktøy i mtemtikk, noko som inneber t det finst mnge filformt. PGS godtek ikkje lle tyr filformt. Derfor kn det vere mest rktisk å bruke eit tekstbehndlingsdokument og deretter koiere frå dei ndre digitle verktøy og inn i tekstbehndlingsdokumentet. PGS godtek for eksemel filformtet -.doc (tekstbehndlingsdokument). Desse filformt kn nyttst i smbnd med IKT-bsert eksmen: doc, df, rtf, xls, ods, odt, xlsx, docx, sxc, sxw, html, txt. Det er lgt inn ein kontroll i PGS-A som gjer t ndre tyr filformt blir vviste. Mksiml filstorleik å svret er 10 MB. Dersom fil er større enn det, må ho først kkst ( zist ). Desse formt kn nyttst til slik kking: 7z, z, gz, rr, tr, zi Ved IKT-bsert eksmen i mtemtikk må HEILE svret å Del smlst i éi fil og leverst digitlt til sensor, ikkje berre delvis. Elevne/rivtistne kn ltså ikkje levere Del delvis å ir og delvis som IKT-bsert eksmen eller levere fleire filer. NB! Dersom skolen sknnr Del 1 og leverer elektronisk til sensor, står skolen nsvrleg for t lesekvliteten å svret er tilstrekkeleg god. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 18 v 68

19 1.9 Kommentrr til kjenneteikn å målonåing Bkgrunnen for kjenneteikn å målonåing er St.meld. nr. 30 ( ), som slår fst t når det blir innført nye lærelnr med mål for kometnsen hos elevne (Kunnsksløftet), vil ei stndrdbsert (kriteriebsert) vurdering leggjst til grunn for eksmenskrkterne. Kjenneteikn å målonåing uttrykkjer i kv grd eleven hr nådd kometnsemål i lærelnen. Mtemtikkometnsen som kjenneteikn beskriv, er delt inn i tre ktegorir: omgre, forståing og ferdigheiter roblemløysing kommuniksjon Innhldet i desse ktegorine beskriv mtemtikkometnse å tvers v kometnsemål i lærelnen og er meint å vere til hjel for det fglege skjønnet til sensor når restsjonen til eleven blir vurdert. Dei tre ktegorine kn ikkje forståst kvr for seg, men er ngitt slik for å gi ei oversikt, slik t sensor lettre skl få eit heilsksinntrykk v svret. Kjenneteikn for lle tre ktegorine gjeld for både Del 1 og Del v eksmen. Omgre, forståing og ferdigheiter Denne ktegorien er ein viktig og grunnleggjnde del v mtemtikkometnsen. God kunnsk her er vgjernde for å kunne tkle større og meir smnsette utfordringr. Kjenneteikn i denne ktegorien beskriv i kv grd eleven kjenner, forstår og hndterer mtemtiske omgre. Vidre ventr ein t eleven kn vkode, omsetje og behndle mellom nn symbol og formlr. Det er ikkje berre snkk om bokstvrekning og løysing v likningr, men også tlsymbol, mtemtiske teikn og formelle sider ved elementær rekning. For eksemel er det ikkje lov å skrive 6 5 eller 6 3. Vidre er (3 4) ikkje det sme som 3 4, og er ikkje det sme som ( ). I denne ktegorien inngår også det å forstå og hndtere ulike reresentsjonr v omgre. For eksemel kn π (i) reresenterst ved hjel v symbolet π eller som ein uendeleg desimlbrøk 3, eller som ei rsjonl tilnærming (for eksemel brøkne 7 eller 3 71 ) eller geometrisk som omkretsen v ein sirkel med dimeter 1, og så vidre. Eit nn eksemel er omgreet «lineær funksjon», som kn reresenterst som eit funksjonsuttrykk eller ein regel y f ( x) x 1, som ein teikn grf i eit koordintsystem, som ein verditbell med verdir for x og y, som eit geometrisk objekt, for eksemel den rette linj som går gjennom unkt (0, 1) og (,3), eller lgebrisk som løysingsmengd til ei likning, for eksemel 3y6x 3 0. Problemløysing Denne ktegorien seier noko om evn eleven hr til å løyse ulike roblemstillingr. Problem må ein her forstå vidt frå enkle, rutinemessige ogåver til større, meir smnsette roblem. Det er ltså snkk om korleis eleven bruker kunnskr og ferdigheiter å ulike mtemtiske roblemstillingr og ser smnhengr i fget og mellom hovudområd i lærelnen. Problem kn ein også forstå reltivt. Det som er eit roblem for éin elev, kn olevst som elementært for ndre elevr, vhengig v nivået eleven er å. Denne ktegorien vil også beskrive kometnsen hos eleven når det gjeld modellering i kv grd eleven kn lge, t i bruk og vurdere modellr. Det kn for eksemel dreie seg om å betrkte ein vekstfunksjon eller undersøkje kostndene ved å bruke mobiltelefon. I denne ktegorien er det også nturleg å vurdere i kv grd eleven er kjend med ulike hjelemiddel og kn bruke dei å ein Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 19 v 68

20 formålstenleg måte under eksmen. Vidre er det nturleg å vurdere i kv grd eleven viser mtemtisk tnkegng, og om eleven hr evne til å vurdere svr i smbnd med ulike mtemtiske roblemstillingr. Kommuniksjon Denne ktegorien beskriv mellom nn i kv grd eleven klrer å setje seg inn i ein mtemtisk tekst, og i kv grd eleven kn uttrykkje seg i mtemtikk ved hjel v det mtemtiske symbolsråket. Det er viktig t eleven viser frmgngsmåtr, rgumenterer og forklrer den mtemtiske løysing. Dette er sesielt viktig i smbnd med bruk v digitle verktøy. *** *** *** Ktegorien roblemløysing er den mest sentrle ktegorien for vurderingsgrunnlget til sensor, men det er også viktig t kjenneteikn å målonåing i lle tre ktegorir blir sett i smnheng og ikkje kvr for seg. Det er ikkje vsstette skott mellom ktegorine, men flytnde overgngr. Kjenneteikn å målonåing skl gi informsjon om kv det blir lgt vekt å i vurdering v restsjonen til eleven. Dei skl vidre beskrive kvliteten å den kometnsen elevne viser (kv dei beherskr), ikkje mngel å kometnse. Kjenneteikn beskriv kvliteten å den mtemtiske kometnsen til elevne å tvers v hovudområd og kometnsemål i lærelnen. Ved å bruke kjenneteikn å målonåing og eventuelt oeng kn sensor dnne seg eit bilete v eller lge ein rofil over den mtemtiske kometnsen eleven hr vist. Ktegorine v mtemtikkometnse inneheld kjenneteikn knytte til tre ulike krkternivå: låg kometnse (krkteren ) nokså god / god kometnse (krkterne 3 og 4) mykje god / frmifrå kometnse (krkterne 5 og 6) Målet med kjenneteikn er å gi ein eikeinn, ei retning for korleis sensor skl vurdere restsjonen, og er ikkje nødvendigvis ei millimeterresis beskriving v ulike kometnsenivå. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 0 v 68

21 Kjenneteikn å målonåing Mtemtikk fellesfg og rogrmfg i vidregånde olæring Kometnse Krkteren Krkterne 3 og 4 Krkterne 5 og 6 Eleven Eleven Eleven Omgre, forståing og ferdigheiter forstår ein del grunnleggjnde omgre beherskr ein del enkle, stndrdiserte frmgngsmåtr forstår dei fleste grunnleggjnde omgre og viser eksemel å forståing v smnhengr i fget beherskr dei fleste enkle, stndrdiserte frmgngsmåtr, hr middels god rekneteknikk og bruk v mtemtisk formsråk, viser eksemel å logiske resonnement og bruk v ulike mtemtiske reresentsjonr forstår lle grunnleggjnde omgre, kombinerer omgre frå ulike område å ein sikker måte og hr god forståing v djure smnhengr i fget er sikker i rekneteknikk, logiske resonnement, bruk v mtemtisk formsråk og bruk v ulike mtemtiske reresentsjonr Eleven Eleven Eleven viser eksemel å å kunne løyse enkle roblemstillingr med utgngsunkt i tekstr, figurr og rktiske og enkle situsjonr løyser dei fleste enkle og ein del middels komliserte roblemstillingr med utgngsunkt i tekstr, figurr og rktiske situsjonr, og viser eksemel å bruk v fgkunnsk i nye situsjonr utforskr roblemstillingr, stiller o mtemtiske modellr og løyser ogåver med utgngsunkt i tekstr, figurr og nye og komlekse situsjonr Problemløysing klrer iblnt å lnleggje enkle løysingsmetodr eller utsnitt v meir komliserte metodr klrer delvis å lnleggje løysingsmetodr i fleire steg og å lge seg fornuftige hyotesr er sikker i lnlegging v løysingsmetodr i fleire steg og formulering v hyotesr knytte til løysing, viser kretivitet og originlitet kn vgjere om svr er rimelege, i ein del enkle situsjonr kn ofte vurdere om svr er rimelege er sikker i vurdering v svr, kn reflektere over om metodr er formålstenlege viser eksemel å bruk v hjelemiddel knytte til enkle roblemstillingr bruker hjelemiddel å ein formålstenleg måte i ein del ulike smnhengr er sikker i vurdering v kv moglegheiter og vgrensingr hjelemidl hr, og i vl mellom hjelemiddel kn bruke hjelemiddel til å sjå ein del enkle mønster klrer delvis å bruke digitle verktøy til å finne mtemtiske smnhengr kn bruke digitle verktøy til å finne mtemtiske smnhengr, og kn setje o hyotesr ut frå det Eleven Eleven Eleven Kommuniksjon resenterer løysingr å ein enkel måte, for det meste med uformelle uttrykksformer resenterer løysingr å ein reltivt smnhengnde måte med forklrnde tekst i eit delvis mtemtisk formsråk resenterer løysingr å ein oversiktleg, systemtisk og overtydnde måte med forklrnde tekst i eit mtemtisk formsråk Krkteren 1 uttrykkjer t eleven hr svært låg kometnse i fget. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 1 v 68

22 1.10 Vurdering v onådd kometnse Vurdering i mtemtikk Lærelnne og forskrift til olæringslov er grunndokument for vurderingsrbeidet. Forskrift til olæringslov 3-5 og 4-18 slår fst: Eksmen skl orgniserst slik t eleven/deltkren eller rivtisten kn få vist kometnsen sin i fget. Eksmenskrkteren skl fstsetjst å individuelt grunnlg og gi uttrykk for kometnsen til eleven/deltkren eller rivtisten slik den kjem frm å eksmen. Kometnse er i denne smnhengen definert som evn til å møte ei komleks utfordring eller utføre ein komleks ktivitet eller ogåve. 1 Eksmensogåvene blir utform slik t dei røver denne kometnsen. Grunnlget for å vurdere kometnsen elevne viser i eksmenssvret, er kometnsemål i lærelnen for fg. Dei grunnleggjnde ferdigheitene er integrerte i kometnsemål i lle lærelnne for fg. Grunnleggjnde ferdigheiter vil derfor kunne røvst indirekte til sentrlt gitt eksmen. Grunnleggjnde ferdigheiter utgjer ikkje eit sjølvstendig vurderingsgrunnlg. Forskrift til olæringslov 3-4 og 4-4 hr generelle krkterbeskrivingr for grunnolæring: ) Krkteren 6 uttrykkjer t eleven hr frmifrå kometnse i fget. b) Krkteren 5 uttrykkjer t eleven hr mykje god kometnse i fget. c) Krkteren 4 uttrykkjer t eleven hr god kometnse i fget. d) Krkteren 3 uttrykkjer t eleven hr nokså god kometnse i fget. e) Krkteren uttrykkjer t eleven hr låg kometnse i fget. f) Krkteren 1 uttrykkjer t eleven hr svært låg kometnse i fget. Sensuren v eksmensogåvene er kriteriebsert. Sensorne skl vurdere kv eleven kn, frmfor å finne ut kv eleven ikkje kn. Når sensor bruker oeng, skl ein gi utteljing for det eleven hr restert, ikkje oengtrekk for det eleven ikkje hr fått til. Det er sjeldn utn verdi t eleven løyser ogåv å ein nnn måte enn den det i utgngsunktet blir bedt om i ogåveteksten, sjølv om ein d ikkje kn sjå å svret som fullgodt. Dersom det ostår tvil om ulike oftningr v ogåveteksten, vil sensorne vere one for rimelege tolkingr. 1 St.meld. nr. 30 ( ) Kultur for læring. Forskrift til olæringslov 3-3 og 4-3. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side v 68

23 Den endelege krkteren skl byggje å det fglege skjønnet til sensor og å ei sml vurdering v restsjonen til eleven bsert å kjenneteikn å målonåing. Krkterfstsetjing kn derfor ikkje utelukknde vere bsert å ein oengsum eller å feil og mnglr ved restsjonen. Poenggrenser ved sensuren er rettleinde og må stå i eit rimeleg forhold til kjenneteikn å målonåing. Bruk v oeng og oenggrenser er, som tidlegre nemnt, berre rettleinde i vurdering. Sensor må sjå nærmre å kv ogåver eleven onår oeng å, og ikkje berre å ein oengsum. Krkteren blir fstsett etter ei sml vurdering v Del 1 og Del. Sensor vurderer derfor, med utgngsunkt i kjenneteikn å målonåing, i kv grd eleven viser rekneferdigheiter og mtemtisk forståing gjennomfører logiske resonnement ser smnhengr i fget, er ofinnsm og kn t i bruk fgkunnsk i nye situsjonr kn bruke formålstenlege hjelemiddel vurderer om svr er rimelege forklrer frmgngsmåtr og grunngir svr skriv oversiktleg og er nøyktig med utrekningr, nemningr, tbellr og grfiske frmstillingr Sensorrettleiing og vurderingsskjem Utdnningsdirektortet ubliserer sensorrettleiingr å eksmensdgen i lle eksmenskodr i mtemtikk. Smn med sensorrettleiingne blir det ublisert vurderingsskjem som sensorne skl bruke. Formålet med desse ubliksjonne er å støtte o om den sentrle sensuren og sikre ein rettferdig sensur. Sensorrettleiing og vurderingsskjem blir ubliserte å eksmensdgen, etter t eksmen i den ktuelle fgkoden er hlden. Desse dokument blir lgde ut å nettsidene til Utdnningsdirektortet: htt:// Sensorrettleiing inneheld kommentrr til ogåvene og retningslinjer til sensor om vurdering. Vi føreset t lle sensorr følgjer rettleiing. Sensorrettleiing og vurderingsskjemet inneheld oengfordeling for kvr fgkode. Alle sensorr må følgje denne oengfordeling i sensuren sin. NB! Bruk v oeng er berre rettleinde i vurdering. Krkteren blir fstsett ut frå ei heilsksvurdering v svret, bruk v kjenneteikn å målonåing og det fglege skjønnet til sensor i smsvr med rorten om førehndssensur. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 3 v 68

24 Førehndssensur og rort om førehndssensur Som tidlegre blir det ved våreksmen hlde førehndssensur å bkgrunn v førsteinntrykk frå sensorne nokre få dgr etter eksmen i fget. På bkgrunn v dette blir det utrbeidd ein rort om førehndssensuren, som blir ublisert å nettsidene til Utdnningsdirektortet å sme std som sensorrettleiing. Desse rortne er til sensorne og er ikkje eit endeleg resultt v sensuren. htt:// Rorten om førehndssensur kn innehlde justeringr v sensorrettleiingne som blir ubliserte å eksmensdgen. Vi føreset t lle sensorr følgjer rettleiing i rorten. Rorten vil vnlegvis innehlde oengfordeling og oenggrenser. Alle sensorne må følgje denne oengfordeling i sensuren sin. NB! Bruk v oeng er berre rettleinde i vurdering. Krkteren blir fstsett å bkgrunn v ei sml vurdering v svret, bruk v kjenneteikn å målonåing og det fglege skjønnet til sensor i smsvr med rorten om førehndssensuren. Alle sensorr er forlikt til å følgje ll rettleiing frå Utdnningsdirektortet, det vil seie eksmensrettleiing inkludert kjenneteikn å målonåing sensorrettleiing og vurderingsskjem rorten om førehndssensur Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 4 v 68

25 Formelrk. Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen. Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i MAT1011 Mtemtikk 1P (Formelrket kn ikkje brukst å Del 1 v eksmen.) Rektngel A g h Treknt gh A Prllellogrm A g h Tres b h A ( ) Sirkel A r Prisme V G h Sylinder V r h Geometri O r Formliksk Målestokk Pytgors setning Proorsjonlitet Rette linjer y x b Vekstfktor Proorsjonle storleikr Omvendt roorsjonle storleikr Økonomi Snnsyn Prisindeks Kroneverdi Rellønn Snnsyn ved systemtiske oteljingr P( A) 1 P( A) P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige Eksmensogåvene blir lg ut frå kometnsemål i lærelnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kometnsemål som kn røvst i Del 1. Dersom ogåvetemet krev det, kn meir komliserte formlr bli ogitt som ein del v ogåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 5 v 68

26 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i MAT1015 Mtemtikk P (Formelrket kn ikkje brukst å Del 1 v eksmen.) Potensr Stndrdform Vekstfktor Sttistikk q q q q q b b q n b b k 10 1 k 10 og n er et helt tll Gjennomsnitt Medin Eksmensogåvene blir lg ut frå kometnsemål i lærelnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kometnsemål som kn røvst i Del 1. Dersom ogåvetemet krev det, kn meir komliserte formlr bli ogitt som ein del v ogåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 6 v 68

27 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i MAT1005 Mtemtikk P Yrkesfg Påbygging til generell studiekometnse (Formelrket kn ikkje brukst å Del 1 v eksmen.) Stndrdform Potensr Vekstfktor n k 10 1 k 10 og n er et helt tll q q q q q b b q b b Rette linjer y x b Snnsyn Sttistikk Snnsyn ved systemtiske oteljingr P( A) 1 P( A) P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige Gjennomsnitt Medin Eksmensogåvene blir lg ut frå kometnsemål i lærelnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kometnsemål som kn røvst i Del 1. Dersom ogåvetemet krev det, kn meir komliserte formlr bli ogitt som ein del v ogåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 7 v 68

28 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i MAT1013 Mtemtikk 1T (Formelrket kn ikkje brukst å Del 1 v eksmen.) Stndrdform k 10 n 1 k 10 og n er et helt tll Vekstfktor Rette linjer Potensr y x b y x y x 1 1 y y ( x x ) 1 1 q q q q q b b q b b Kvdrtsetningne og konjugtsetning Likning v ndre grd Logritmr Vekst og derivsjon Trigonometri i rettvinkl trekntr ( b) b b ( b) b b ( b)( b) b b b 4c x bx c 0 x b lg lg x b x lg x c x 10 c Gjennomsnittleg vekstfrt Momentn vekstfrt f( x x) f( x) Definisjon v den deriverte f( x) lim x 0 x Derivsjonsregel for olynomfunksjonr motstående ktet sinv hyotenus hosliggende ktet cosv hyotenus motstående ktet tnv hosliggende ktet Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 8 v 68

29 Geometri Snnsyn Arel 1 bc sin A b c bccos A sin A B C sin sin b c Snnsyn ved systemtiske ostillingr P( A) 1 P( A) P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige Eksmensogåvene blir lg ut frå kometnsemål i lærelnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kometnsemål som kn røvst i Del 1. Dersom ogåvetemet krev det, kn meir komliserte formlr bli ogitt som ein del v ogåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 9 v 68

30 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i MAT1017 Mtemtikk T (Formelrket kn ikkje brukst å Del 1 v eksmen.) Vektorrekning Snnsyn Kombintorikk [ x, y] xe ye x y t[ x,y] [ tx,ty] [ x 1,y1] [ x,y] [ x1 x,y1 y] [ x,y ] [ x,y ] x x y y [ x, y ] x y [ x 1,y1] [ x,y] x1 x og y1 y AB [ x x,y y ] frå A( x,y ) til B( x,y ) b b cosu u er vinkel mellom og b b tb b b 0 x x0 t ( x 0, y0) er et unkt å linj y y0 bt v [,b] er rllell med linj P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige P( AB) P( A) P( B A) P( A B) P( B) P( B) n! 13 n n! np r n( n 1)... ( n r 1 ) ( n r)! n n! nc r r r! ( n r)! Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 30 v 68

31 Binomisk og hyergeometrisk fordeling Dersom binomisk eller hyergeometrisk fordeling inngår i Del 1 v eksmen, vil formlne bli ogitt slik: Binomisk fordeling: n k P( X k) (1 ) k Tlet å uvhengige forsøk er n. X er tlet å gonger A inntreffer. P(A) = i kvrt forsøk. nk Hyergeometrisk fordeling: m element i D. n m X er tlet å element som blir trekte frå D. m n m k r k P( X k ) n r element i D. r element blir trekte tilfeldig. Eksmensogåvene blir lg ut frå kometnsemål i lærelnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kometnsemål som kn røvst i Del 1. Dersom ogåvetemet krev det, kn meir komliserte formlr bli ogitt som ein del v ogåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 31 v 68

32 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i MAT1010 Mtemtikk T Yrkesfg Påbygging til generell studiekometnse (Formelrket kn ikkje brukst å Del 1 v eksmen.) Vekstfktor Rette linjer Logritmr Vekst og derivsjon Kombintorikk Snnsyn Vektorrekning y x b y x y x 1 1 y y ( x x ) 1 1 b lg lg x b x c lg x c x 10 Gjennomsnittleg vekstfrt Momentn vekstfrt f( x x) f( x) Definisjon v den deriverte f( x) lim x 0 x Derivsjonsregel for olynomfunksjonr n! 13 n n! np r n( n 1)... ( n r 1 ) ( n r)! n n! nc r r r! ( n r)! Snnsyn ved systemtiske ostillingr P( A) 1 P( A) P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige P( AB) P( A) P( B A) P( A B) P( B) P( B) [ x, y] xe ye x y t[ x,y] [ tx,ty] [ x 1,y1] [ x,y] [ x1 x,y1 y] [ x,y ] [ x,y ] x x y y [ x, y ] x y [ x,y ] [ x,y ] x x og y y [ ] frå A( x,y ) til B( x,y ) AB x x,y y b b cos u u er vinkel mellom og b b t b Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 3 v 68

33 b b 0 x x0 t y y0 bt ( x, y ) er et unkt å linj 0 0 v [,b] er rllell med linj Eksmensogåvene blir lg ut frå kometnsemål i lærelnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kometnsemål som kn røvst i Del 1. Dersom ogåvetemet krev det, kn meir komliserte formlr bli ogitt som ein del v ogåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 33 v 68

34 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i REA30 Mtemtikk R1 (Formelrket kn ikkje brukst å Del 1 v eksmen.) Likning v ndre grd Fktorisering v ndregrdsuttrykk Polynom Logritmr Grenseverdir Derivsjon Kombintorikk Snnsyn Vektorrekning 4 x bx c 0 x b b c x bx c ( x x )( x x ) 1 Nullunkt og olynomdivisjon lg x 10 x lg x x lg lg( b) lg lg b e ln ln x x x x ln ln( b) ln lnb lg lg lg b ln lnlnb b b x b b x lg x b b x ln lg ln x x 10 b x lg b e b x ln b c c lg x c x 10 ln x c x e Utrekning v grenseverdir Horisontle og vertikle symtotr f( x x) f( x) Definisjon v den deriverte f( x) lim x 0 x Derivsjonsreglr for otens-, kvdrtrot-, eksonentil- og logritmefunksjonr Derivsjonsreglr for sum, differnse, rodukt og kvotient Kjerneregel n! 13 n n! np r n( n 1)... ( n r 1 ) ( n r)! n n! nc r r r! ( n r)! Snnsyn ved systemtiske ostillingr P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige P( AB) P( A) P( B A) P( A B) P( B) P( B) Rekning med vektorr geometrisk som iler i lnet [ x, y] xe ye x y t[ x,y] [ tx,ty] [ x 1,y1] [ x,y] [ x1 x,y1 y] [ x,y ] [ x,y ] x x y y [ x, y ] x y Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 34 v 68

35 Vektorfunksjon Geometri [ x,y ] [ x,y ] x x og y y [ ] frå A( x,y ) til B( x,y ) AB x x,y y b b cos u u er vinkel mellom og b b tb b b 0 x x0 t ( x 0, y0) er et unkt å linj y y0 bt v [,b] er rllell med linj r( t) [ x( t), y( t)] Vektorfunksjon v( t) r '( t) [ x '( t), y '( t)] Frtsvektor vt ( ) Frt ( t) v '( t) [ x ''( t), y ''( t)] Akselersjonsvektor t ( ) Akselersjon Pytgors setning Formliksk Periferivinklr Skjeringssetningr for høgdene, hlveringslinjene, midtnormlne og medinne i ein treknt Sirkellikning: ( x x ) ( y y ) r S( x, y ) er sentrum i sirkelen, r er rdius i sirkelen Sirkellikning må kunne utleist ved hjel v vektorrekning å koordintform og omformst ved hjel v metoden med fullstendige kvdrt. Sirkelen må også kunne teiknst som to grfr, jf. kittel 5. Eksmensogåvene blir lg ut frå kometnsemål i lærelnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kometnsemål som kn røvst i Del 1. Dersom ogåvetemet krev det, kn meir komliserte formlr bli ogitt som ein del v ogåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 35 v 68

36 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i REA306 Mtemtikk S1 (Formelrket kn ikkje brukst å Del 1 v eksmen.) Potensr Kvdrtsetningne og konjugtsetning Likning v ndre grd Logritmr Vekst og derivsjon Kombintorikk Snnsyn q q q q q q b b ( b) b b ( b) b b ( b)( b) b b b x bx c 0 x lg 10 lg x x lg lg ( b) lg lg b b b c x b lg b x lg lg x c x 10 c lg lg lg b b Gjennomsnittleg vekstfrt Momentn vekst f( x x) f( x) Definisjon v den deriverte f( x) lim x 0 x Derivsjonsreglr for olynomfunksjonr Pscls treknt n! 13 n n! np r n( n 1)... ( n r 1 ) ( n r)! n n! nc r r r! ( n r)! Snnsyn ved systemtiske oteljingr Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 36 v 68

37 Binomisk og hyergeometrisk fordeling Dersom binomisk eller hyergeometrisk fordeling inngår i Del 1 v eksmen, vil formlne bli ogitt slik: Binomisk fordeling: n k P( X k) (1 ) k Tlet å uvhengige forsøk er n. X er tlet å gonger A inntreffer. P(A) = i kvrt forsøk. nk Hyergeometrisk fordeling: m n m k r k P( X k ) n r m element i D. n m element i D. r element blir trekte tilfeldig. X er tlet å element som blir trekte frå D. Eksmensogåvene blir lg ut frå kometnsemål i lærelnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kometnsemål som kn røvst i Del 1. Dersom ogåvetemet krev det, kn meir komliserte formlr bli ogitt som ein del v ogåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 37 v 68

38 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i REA304 Mtemtikk R (Formelrket kn ikkje brukst å Del 1 v eksmen.) Aritmetiske rekkjer Geometriske rekkjer Uendelege geometriske rekkjer Induksjonsbevis Derivsjon Ubestemt integrl Integrsjonsmetodr Bestemt integrl Vektorrekning n 1 ( n 1) d s n n 1 n n n-1 k 1 n ( 1) 1 k sn når k 1 k 1 1 s når 1 k 1 1 k Bestemme konvergensområdet for rekkjer med vrible kvotientr Gjennomføre og gjere greie for induksjonsbevis Kunne derivere olynomfunksjonr, otensfunksjonr, rsjonle funksjonr, logritmefunksjonr og eksonentilfunksjonr og bruke 1 (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tn x) = cos x = 1 + tn x Kunne derivere smnsetningr v funksjonr F( x) f( x) dx betyr t F( x) f( x) 1 r 1 1 d x ln x C x x x e dx e C r r 1 x dx x C når r 1 x 1 x dx C ln cos x dx sin x C sin x dx cos x C (1 tn x) dx tn x C 1 dx tn x C cos x ( u( x) v( x)) d x u( x) d x v( x) dx k u( x) d x k u( x) dx, k er ein konstnt x i bsolutt vinkelmål Integrsjon ved vribelskifte, substitusjon Delvis integrsjon Integrsjon ved delbrøkoslting med lineære nemnrr b f( x) d x F( b) F( ) der F( x) f( x) Tolke det bestemte integrlet i rktiske situsjonr Formel for volum v omdreiingslekmr Rekning med vektorr geometrisk som iler i rommet Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 38 v 68

39 [ x, y, z] xex yey zez t[ x, y, z ] = [ tx, ty, tz ] [ x1, y1, z1] [ x, y, z] [ x1 x, y1 y, z1 z] [ x, y, z ] [ x, y, z ] x x y y z z [ x, y, z] x y z [ x1, y1, z1] [ x, y, z] x1 x og y1 y og z1 z AB [ x x1, y y1, z z1] frå A( x1, y1, z 1) til B( x, y, z ) Definisjonen v vektorroduktet b Kunne rekne ut vektorroduktet b å koordintform Arelet v treknt: 1 b Linjer, ln og kuleflter Differensillikningr Trigonometri Volum v tetreder: 1 ( ) 6 b c x x0 t ( x0, y0, z0) er et unkt å linj y y0 bt v [, b, c] er retningsvektor z z0 ct ( x x0) b( y y0) c( z z0) 0 P0 ( x0, y0, z 0) er unkt i lnet, n [, b, c] er normlvektor ( x x0) ( y y0) ( z z0) r S( x0, y0, z 0) er sentrum i kul, r er rdius i kul Avstnd frå unkt til linje Avstnd frå unkt til ln Kunne løyse differensillikningr v første orden Kunne løyse serble differensillikningr Kunne løyse homogene differensillikningr v ndre orden med konstnte koeffisientr Definisjonen v bsolutt vinkelmål Kunne rekne om mellom grder og bsolutt vinkelmål Kunne den generelle definisjonen v sinus, cosinus og tngens Kunne omforme trigonometriske uttrykk v tyen sinkx bcos kx, og bruke det til å modellere eriodiske fenomen Kunne løyse trigonometriske likningr Eksmensogåvene blir lg ut frå kometnsemål i lærelnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kometnsemål som kn røvst i Del 1. Dersom ogåvetemet krev det, kn meir komliserte formlr bli ogitt som ein del v ogåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 39 v 68

40 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i REA308 Mtemtikk S (Formelrket kn ikkje brukst å Del 1 v eksmen.) Aritmetiske rekkjer Geometriske rekkjer Uendelege geometriske rekkjer Fktorisering v ndregrdsuttrykk Polynom Likningr og likningssett Logritmr Derivsjon Arel under grfr Økonomi Snnsynsfordeling n 1 ( n 1) d 1 n sn n n s s n n 1 1 k n ( 1) 1 k k 1 1 k, når k 1 1, når 1 k 1 x bx c ( x x )( x x ) 1 Nullunkt, olynomdivisjon og fktorisering Kunne løyse likningr med olynom og rsjonle funksjonr Kunne løyse lineære likningssett med fleire ukjende ln x e x og lne x x lnb x b x x ln ln x ln ln( b) ln lnb x e b x lnb lnx c x e c ln lnlnb b Derivsjonsreglr for otens-, eksonentil- og logritmefunksjonr Derivsjonsreglr for summr, differnsr, rodukt og kvotientr Kjerneregel Kunne tolke relet under grfr i rktiske situsjonr Grensekostnd: K ( x) Grenseinntekt: I ( x) Utrekning v forventningsverdi, vrins og stndrdvvik For ei binomisk fordeling X med n forsøk og snnsyn er E() x n og n(1 ) Summen v n uvhengige stokstiske vriblr hr forventningsverdi n og stndrdvvik n Kunne rekne ut snnsyn knytte til normlfordelingr (Aktuelle delr v tbell over stndrd normlfordeling vil bli ogitt i Del 1 v eksmen.) Eksmensogåvene blir lg ut frå kometnsemål i lærelnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kometnsemål som kn røvst i Del 1. Dersom ogåvetemet krev det, kn meir komliserte formlr bli ogitt som ein del v ogåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 40 v 68

41 3 Måleiningr. SI-stndrd. 3 Måleiningne under er ktuelle i vriernde grd for dei ulike eksmenskodne ved sentrlt gitt skriftleg eksmen i mtemtikk. Nokre utvlde SI-grunneiningr 4 Storleik Grunneining Nmn Symbol Lengd meter m Msse kilogrm kg Tid sekund s Elektrisk strum mere A Nokre vleidde SI-einingr uttrykte ved grunneiningne og sulementeiningne Storleik SI-eining Nmn Symbol Arel kvdrtmeter m Volum kubikkmeter 3 m Frt meter er sekund m / s Mssekonsentrsjon (mssetettleik) kilogrm er kubikkmeter 3 kg /m m / s Akselersjon meter er sekund i ndre Vinkelfrt rdin er sekund rd / s Densitet kilogrm er kubikkmeter 3 kg /m Nokre vleidde SI-einingr som hr eige nmn og symbol Storleik SI-eining Uttrykt i Nmn Symbol vleidde einingr Pln vinkel rdin rd 1 Frekvens hertz Hz s Krft newton N Trykk, senning scl P N /m Energi, rbeid, vrme joule J Nm Effekt wtt W J / s grunneiningr og sulementeiningr mm 1 mkg s m kg s m kg s m kg s I smsvr med lov om målenheter, måling og normltid og forskrift om målenheter og måling kittel, -1 til -10 (Justervesenet). Kjelde: (010). 4 SI = Système Interntionl d Unités (1960), i Noreg frå Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 41 v 68

42 Nokre utvlde desimle multilr v SI-einingr (refiks) Fktorr 1 Prefiks Nmn 10 ter T 9 10 gig G 6 10 meg M 1000 kilo k 100 hekto h 10 dek d 0,1 deci d 0,01 centi c 0,001 milli m 6 10 mikro μ 9 10 nno n Symbol Nmn og symbol for multilr v grunneining for msse lgr vi ved å føye refiks til nemning grm (g), for eksemel milligrm (mg), hektogrm (hg), etc. Sesielle nmn å visse desimle multilr v SI-einingr Storleik Eining Nmn Symbol Uttrykt i SI-einingr Volum liter L 1 L 1 dm 0,001 m 3 3 Msse tonn t 1 t 1 Mg 1000 kg Fltemål r ml (milliliter), cl (centiliter), dl (desiliter) etc m kllr vi dekr (d) m kllr vi hektr (h) m Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 4 v 68

43 Nokre einingr som er definerte ut frå SI-einingne, men som ikkje er desimle multilr Storleik Eining Nmn Symbol Uttrykt i SI-einingr Tid minutt min 1 min 60 s time h 1 h60 min 3600 s døgn d 1 d4 h s Vinkel grd deg 1 deg π /180 rd 1000 m 1 1 km /h m / s 3600 s 3,6 minutt ' 1' 1 deg /60 sekund '' 1'' 1'/60 3,6 km /h 1 m / s π /10800 rd π / rd Andre utvlde einingr Storleik Eining Nmn Symbol, verdi Elektrisk strum mere A Termodynmisk temertur kelvin K Celsiustemertur celsiusgrd C Effekt wtt W Elektrisk senning volt V Resistns ohm Ω Lengd nutisk mil 1 nutisk mil = 185 m Frt kno 1 kno = 1 nutisk mil er time Elles viser vi til forskrift om måleiningr og måling kittel, -1 til -10 (Justervesenet). Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 43 v 68

44 4 Symbol- og terminologiliste 5 Under følgjer ei oversikt over kv for mtemtiske symbol og kv for terminologi som kn brukst ved sentrlt gitt skriftleg eksmen i mtemtikk. Dei ulike symbol og terminologien kn vriere for dei ulike eksmenskodne. Vi føreset elles t kndidtne er kjende med symbol og terminologi frå grunnskolen, jf. eksmensrettleiing for MAT0010 Mtemtikk 10. årstrinn. Mengder Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Mengd v... Mengd å listeform Mengde Mengd v dei... som er slik t... Løysingsmengd L Mengdbyggjr, f.eks.: Bestem x x 5x 6 0 x 5x 14 0 x 7 x L 7, Elementteikn Er element i... Er ikkje element i... Tom mengd Den tomme mengd Mengd hr ingen element. L Mengdliksk... er lik... A B betyr t mengdene hr kkurt dei sme element. A B ( x)( x A x B) Inklusjon... er delmengd A B betyr t lle element i A v... også er element i B. Union... union... A B inneheld dei element som nten er i A eller i B eller i begge. Snitt... snitt... A B inneheld dei element som er i både A og B. Mengdediffernse \... minus... A\ B inneheld dei element som er i A og ligg utnfor B. Mengd v dei 1,, 3,... nturlege tl Vi kn i tillegg bruke 0 0, 1,, 3,... Mengd v dei heile tl..., 1, 0, 1,,... Mengd v dei rsjonle tl Eit rsjonlt tl er v form b,, b. Mengd v dei reelle tl Alle tl å tllinj. : Alle ositive, reelle tl Mengd v dei 5 Grunnlget for denne list er tidlegre symbol- og terminologiliste ublisert v Rådet for vidregånde olæring og Gyldendl Norsk Forlg 1989 og Jmes Stewrt, Clculus Erly Trnscendentls 7th Edition Stewrt Metric Interntion Version, Brooks/Cole, 011. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 44 v 68

45 komlekse tl Intervll Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Lukk intervll, b Det lukk intervllet frå og med til og med b, b x x b Oe intervll, b Det one intervllet, b x x b frå til b Dessutn blir brukt:, b x x b Hlvoe intervll, b Det hlvone intervllet frå og med til b Hlvoe intervll, b Det hlvone intervllet frå til og med b, x x,, b x x b Dessutn blir brukt:, x x, b x x b Dessutn blir brukt:, b x x b Logikk Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Disjunksjon (Veljunksjon) q... eller... eller q eller begge er snne Konjunksjon q... og smtidig... og q er begge snne Imliksjon q... imliserer... Tilsvrnde for q... medfører... «remiss medfører... dersom... så... konklusjon» v... følgjer... Ekvivlens q... dersom og berre q q dersom; er Imliksjon begge vegr ekvivlent med; betyr det sme som; biimliserer Negsjon ikkje q q Allkvntor for lle for kvrt... Eksistenskvntor... det finst det eksisterer... eksisterer ikkje Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 45 v 68

46 Vektorr Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Vektor Ein storleik som hr -vektor både lengd og retning AB AB-vektor Nullvektor Nullvektor Lengd eller bsoluttverdi v ein vektor Vinkel mellom vektorr Motsette vektorr Normlvektor Einingsvektor Ortonormert bsis Vektor å koordintform i lnet Vektor å koordintform i rommet Sklrrodukt (Prikkrodukt) 0 AB (, b) Lengd v... Absoluttverdien v... (Minste) vinkel mellom... Den motsette til Normlvektor til... n e ex, ey, e z e1, e og e 3 x, y Dessutn blir brukt: ( AB, AC) Vektor med lengd 1 Einingsvektorne lngs høvesvis første-, ndreog tredjeksen Til kvrt unkt P ( x, y ) i lnet svrer ein vektor OP x, y, der O er origo. x, y, z Til kvrt unkt P ( x, y, z) i rommet svrer ein vektor b -vektor rikk b-vektor OP x, y, z, der O er origo. Sklrroduktet er eit tl. Vektorrodukt (Kryssrodukt) b -vektor kryss b-vektor Vektorroduktet er ein vektor. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 46 v 68

47 Geometri Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Vinkel u, v,,,... Vinkel u,... Sjå også vinkel mellom vektorr. Dessutn blir brukt: u, v,... (, b) Vinkel mellom strålne og b A Vinkel A Blir gjerne brukt om vinkelen ved hjørnet A i ein mngeknt ABC Vinkel ABC Vinkel med tounkt B og vinkelbein BA og BC Positiv dreieretning Mot dreieretning for visrne å ei klokke Negtiv dreieretning Med dreieretning for visrne å ei klokke Komlementvinklr uv 90 To vinklr med sum 90 Sulementvinklr uv180 To vinklr med sum 180 Ekslementvinklr To vinklr med sum 360 Sinus Cosinus Tngens sin cos tn Sinus Cosinus Tngens Det blir ikkje brukt tg for tn Vinkelrett AB DE Linjestykket AB står vinkelrett å linjestykket DE. Normlt Ortogonlt Perendikulært Prllellitet AB DE Linjestykket AB er rllelt med linjestykket DE. Treknt ABC Treknt ABC A kn også brukst om T ABC, Arel v treknt rel. F ABC ABC Firknt ABCD Firknt ABCD Formliksk ABC DEF Treknt ABC er formlik treknt DEF Kongruens ABC DEF Treknt ABC er kongruent med treknt DEF Sirkelboge ABC, AC Bogen ABC, bogen AC Vinklne i dei to formlike trekntne er rvis like store. Vinklne og sidene i dei to kongruente trekntne er rvis like store. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 47 v 68

48 Funksjonslære Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Ortonormert koordintsystem Også kll krtesisk koordintsystem. Rettvinkl koordintsystem med sme sklering å ksne Førstekse Også kll rgumentkse eller x-kse Andrekse Også kll funksjonskse eller y-kse Førstekoordint x Andrekoordint y f( x) Funksjonsverdi f( x), g( x ),... f v x Argument eller fri vribel x Ann nmn for uvhengig vribel Definisjonsmengd Df, D g,... Definisjonsmengd til f, g,... Verdimengd Vf, V g,... Verdimengd til f, g,... Vf f( x) x Df Grf til funksjon Mengd v unkt ( x, y ) der x Df og y f( x) Digrm eller grfisk bilete Koordintsystem med grfen til éin eller fleire funksjonr innteikn Smnsett funksjon f( g( x )) f v g v x Også kll funksjonsfunksjon. f er ytre funksjon, og g er indre funksjon. gx ( ) kllr vi kjernen. Strengt veksnde Også kll strengt otil monoton. Blir brukt om funksjonr og tlfølgjer. Ein funksjon er strengt veksnde når x x1 f( x) f( x1) Strengt minknde Blir også kll strengt ned til monoton x x1 f( x) f( x1) Asymtote Vertikl, horisontl eller skrå symtote Symmetrisk funksjon Invers funksjon Omvend funksjon rcsin, sin, sin 1 rccos, cos, cos 1 rctn, tn, tn 1 Grfen til funksjonen er symmetrisk om ei linje eller eit unkt. Eks.: sin Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 48 v 68

49 Sesielle funksjonstyr Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Konstntfunksjon f( x) Lineær funksjon f() x x b Eit nn nmn er førstegrdsfunksjon. er stigingstlet til førstegrdsfunksjonen. Andregrdsfunksjon f( x) x bx c Polynomfunksjon v n n1 f( x) nx n 1x n-te grd... 1x 0 Rsjonl funksjon x ( ) og q er olynom. fx ( ) qx ( ) Potensfunksjon r f( x) x r Generell x f( x) i x-te eksonentilfunksjon 0 Sesiell ( ) e x n fx 1 eksonentilfunksjon e lim 1,718 n n Logritmefunksjon f( x) log g x log-g-x def y y log g x g x g er grunntlet. Briggsk logritme lg Grunntlet er 10. log kn også brukst. Nturleg logritme ln Grunntlet er e. Trigonometrisk f( x) sin x funksjon f( x) sin( x) (eksemel) g( x) cos x g( x) cos(x 1) h( x) tn x h( x) tn(4 x) Trigonometrisk f( x) sin n x Sinus i n-te x n funksjon n n sin x (sin x) Stndrdform for tl 10 n 1 10, n Absoluttverdifunksjon f( x) x Nullunkt til ein Løysing v likning funksjon fx ( ) 0. Løysing blir Rot/røter i ei likning også kll rot i likning fx ( ) 0. Dobbelt nullunkt til x er eit dobbelt ein funksjon nullunkt til ein funksjon f dersom f( x) ( x ) g( x) der g ( ) 0. x er tngeringsunkt med x-ksen. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 49 v 68

50 Grenseverdi Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Grenseverdi lim fx ( ) x Grenseverdien for fx ( ) når x går mot. lim fx ( ) Grenseverdien for fx ( ) x når x går mot uendeleg. Høgresidig lim fx ( ) Grenseverdien for fx ( ) x grenseverdi når x går mot frå høgre. Venstresidig lim fx ( ) x grenseverdi Grenseverdien for fx ( ) Einsidig grenseverdi når x går mot frå venstre. «lim» kjem v «limes», som betyr grenseverdi. Tilsvrnde når x går mot minus uendeleg. Anten høgresidig eller venstresidig grenseverdi. Kontinuitet Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Kontinuitet i eit Grfen er unkt smnhengnde i Kontinuitet i eit intervll Diskontinuitet unktet. Funksjonen er kontinuerleg i kvrt unkt i intervllet. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 50 v 68

51 Derivert Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Argumentdifferens x,... delt x,... Eller rgumenttilvekst Funksjonsdifferens y,... delt y,... f( x) f( x x) f( x) fx ( ) delt f v x fx ( ) blir også kll funksjonstilvekst. Gjennomsnittleg stigingstl, gjennomsnittleg vekstfrt Deriverbrheit i eit unkt Deriverbrheit i eit intervll y x fx ( ) x Den deriverte f ( x) f derivert v x Veksthstigheit Vekstfrt Kjerneregelen d fx ( ) dx, d ( ) dx fx y, d y dx f ( x) Differensil d x, d y, df df Differensil v d y, d f eller f ( x) høgre orden Differensilkvotient f x f x f x (4) (5) ( ), ( ), ( ), ( n f ) ( x ), n dy dx f v x derivert Gjennomsnittleg vekstfrt for f mellom rgumentverdine og x er f( x) f( x) f( ) x x Funksjonen er deriverbr i kvrt unkt i intervllet. fx ( ) f( x) lim x 0 x f( x x) f( x) lim x 0 x Førstederivert v fx ( ) Regel for å finne den deriverte v ein smnsett funksjon (funksjonsfunksjon) d f( x) f( x)dx dy ydx Den fullstendige nemning er d fx ( ). Er lik y Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 51 v 68

52 Derivert. Frmhld. Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Mksimlverdi Lokl fx ( ) mks mksimlverdi Minimlverdi Lokl minimlverdi fx ( ) min Ekstremlverdir Mksiml- eller minimlverdir Ekstremlunkt Mksiml- eller minimlunkt (rgumentet til ein ekstremlverdi) Absolutt mksimum y Den største verdien som mks funksjonen kn få i definisjonsmengd Absolutt minimum y Den minste verdien som min funksjonen kn få i definisjonsmengd Kritisk x-verdi Ein kritisk x-verdi til ein funksjon fx ( ) er eit tl (kritisk unkt) c D f slik t nten er f( c) 0 eller så er f () c ikkje definert. Dersom f hr eit loklt mksimum eller eit loklt minimum i c, er c ein kritisk x-verdi til f. Tounkt Eit unkt å grfen med mksimlunkt og mksimlverdi. Botnunkt Eit unkt å grfen med minimlunkt og minimlverdi. Knekkunkt Eit unkt å grfen der funksjonen er kontinuerleg, men ikkje deriverbr Vendeunkt Eit unkt å grfen der funksjonen er kontinuerleg, og som skil mellom to delr v grfen som vender den hole sid o og den hole sid ned. Infleksjonsunkt Argumentet (x-verdien) til eit vendeunkt Konkv ned f( x) 0 Grfen hr «hol side ned». Konkv o (konveks) f( x) 0 Grfen hr «hol side o». Ei nn nemning er «konveks». Stsjonært unkt I eit stsjonært unkt er f( x) 0. Eit stsjonært unkt er eit tounkt eller eit botnunkt dersom f ( x) skiftr forteikn i unktet. Terrsseunkt Eit terrsseunkt er eit stsjonært unkt der funksjonen ikkje endrr seg frå veksnde til minknde eller frå minknde til veksnde. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 5 v 68

53 Absolutt mksimum og bsolutt minimum: Ein funksjon f hr bsolutt mksimum i c dersom f( c) f( x) mksimumsverdien til f i x D f. fc () er minimumsverdien til f i f x Df. fc () kllr vi D. Ein funksjon f hr bsolutt minimum i c dersom f( c) f( x) D f. Her kllr vi fc () ekstremlverdir til f. Loklt mksimum og loklt minimum: Ein funksjon f hr eit loklt mksimum i c dersom det finst eit oe intervll I om c slik t f( c) f( x) x I. Dersom f hr eit loklt mksimum i c, kllr vi fc () for lokl mksimumsverdi. Ein funksjon f hr eit loklt minimum i c dersom det finst eit oe intervll I om c slik t f( c) f( x) x I. Dersom f hr eit loklt minimum i c, kllr vi fc () for lokl minimumsverdi. Fellesnemning for lokle mksimums- og minimumsverdir til ein funksjon f er lokle ekstremlverdir for f. Merk! Med denne definisjonen kn ein funksjon f ikkje h eit loklt mksimum eller eit loklt minimum i nokon v endeunkt i D f ettersom det ikkje finst eit oe intervll om eit endeunkt. Lukk intervll-metode: For å finne bsolutte mksimums- og minimumsverdir til ein kontinuerleg funksjon f å eit lukk intervll, b : 1. Finn fx-verdir ( ) for kritiske x-verdir til f i, b.. Finn fx-verdir ( ) i endeunkt og b. 3. Dei største fx-verdine ( ) frå trinn 1 og er bsolutte mksimumsverdir. Dei minste fx-verdine ( ) frå trinn 1 og er bsolutte minimumsverdir. Førstederivert-test: Gå ut frå t c er ein kritisk x-verdi til ein kontinuerleg funksjon f. ) Dersom f( x) 0 før c og f( x) 0 etter c, hr f eit loklt mksimum i c. b) Dersom f( x) 0 før c og f( x) 0 etter c, hr f eit loklt minimum i c. c) Dersom f ( x) ikkje skiftr forteikn (dersom f( x) 0 å begge sider v c, eller dersom f( x) 0 å begge sider v c), hr f ikkje loklt mksimum eller loklt minimum i c. Fermts teorem: Dersom funksjonen f hr eit loklt minimum eller mksimum i c, og dersom f () c eksisterer, så er f( c) 0. NB! Sjølv om f( c) 0, treng ikkje f h loklt minimum eller loklt mksimum i c. Eksemel: Dersom f( x) 3 x, d er (0) 0 f. Men f hr ikkje noko mksimum eller minimum. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 53 v 68

54 Andrederivert-test: Gå ut frå t f er kontinuerleg nær c. ) Dersom f( c) 0 og f( c) 0, hr f eit loklt minimum i c. b) Dersom f( c) 0 og f( c) 0, hr f eit loklt mksimum i c. Konkvitetstest: ) Dersom f( x) 0 x, b, er grfen til f konkv o å, b. b) Dersom f( x) 0 x, b, er grfen til f konkv ned å, b. Dersom grfen til f ligg over lle sine tngentr å, b, kllr vi grfen konkv o å, b. Dersom grfen til f ligg under lle sine tngentr å, b, kllr vi grfen konkv ned å, b. Vendeunkt: Eit unkt P å grfen til f kllr vi eit vendeunkt dersom f er kontinuerleg der og grfen endrr seg frå konkv o til konkv ned eller frå konkv ned til konkv o i P. NB! Sjølv om f( c) 0 treng ikkje f h eit vendeunkt for x c. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 54 v 68

55 Eksemel 1 Ein funksjon f er gitt ved f x x x x D f 3 ( ) 3 1, [ 4, ] Grfen til f : Absolutt mksimum y f() 19 Tounkt (,3, 9,3) Nullunkt x 3,6 Vendeunkt( 1, 5) Infleksjonsunkt x 1 Botnunkt (0,3, 0,7) Loklt minimum x Absolutt minimum f( 4) 7 Kommentrr til eksemel 1: 1. Nullunkt til f: f( x) 0 x 3,6 (eit nullunkt er løysing v likning fx ( ) 0 ) Når nullunktet er 3,6, er skjeringsunktet mellom grfen og x-ksen (3,6, 0).. Botnunkt: (0,3, 0,7) Eit unkt å grfen til f. Botnunkt består v ein lokl minimlverdi ( fx-verdi), ( ) og ein kritisk x- verdi. 3. Tounkt: (,3, 9,3) Eit unkt å grfen til f. Tounkt består v ein lokl mksimlverdi ( fx-verdi), ( ) og ein kritisk x-verdi. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde olæring 017 Side 55 v 68