om vurdering av eksamensbesvarelser 2018

Transkript

1 Eksmensveiledning om vurdering v eksmensbesvrelser 2018 Mtemtikk. Sentrlt gitt skriftlig eksmen Studieforberedende og yrkesfglige utdnningsprogrm Kunnskpsløftet LK06 Bokmål

2 Innhold 1 Vurdering eksmensmodell og vurdering v eksmensbesvrelser 2 Formelrk 3 Måleenheter SI-stndrd 4 Symbol- og terminologiliste Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 2 v 56

3 1 Vurdering v sentrlt gitt skriftlig eksmen i mtemtikk i videregående opplæring 2018 Denne eksmensveiledningen gjelder sentrlt gitt skriftlig eksmen i mtemtikk for disse eksmenskodene i videregående opplæring 2018: Studieforberedende utdnningsprogrm MAT1011 Mtemtikk 1P MAT1013 Mtemtikk 1T MAT1015 Mtemtikk 2P REA3022 Mtemtikk R1 REA3026 Mtemtikk S1 REA3024 Mtemtikk R2 REA3028 Mtemtikk S2 Yrkesfglige utdnningsprogrm MAT1005 Mtemtikk 2P-Y, påbygging til generell studiekompetnse, yrkesfg Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 3 v 56

4 1.1 Eksmensmodell og eksmensordning Eksmensmodell Eksmen vrer i 5 timer og består v to deler Eksmensordning Eksmen hr ingen forberedelsesdel. Del 1 og Del 2 v eksmen deles ut smtidig til kndidtene. Etter nøyktig 2 timer eller 3 timer (vhengig v eksmenskode) skl besvrelsen v Del 1 leveres inn. Smtidig kn digitle verktøy og ndre hjelpemidler til bruk i Del 2 ts frm. I enkelte oppgver i Del 2 skl kndidten bruke digitle verktøy. Besvrelsen v Del 2 skl leveres inn innen 5 timer etter eksmensstrt. Kndidten kn begynne på Del 2 når som helst (men uten hjelpemidler frm til det hr gått 2 timer eller 3 timer (vhengig v eksmenskode) og besvrelsen v Del 1 er levert inn). Videregående opplæring (prktisk mtemtikk). Elever og privtister. Eksmenskode Krv til digitle verktøy på dtmskin i Del 2 Del 1 Uten hjelpemidler Del 2 Alle hjelpemidler MAT1011 Mtemtikk 1P MAT1015 Mtemtikk 2P MAT1005 Mtemtikk 2P-Y 1) Regnerk 2) Grftegner 2 timer 3 timer Videregående opplæring (teoretisk mtemtikk og mtemtikk progrmfg). Elever og privtister. Eksmenskode Krv til digitle verktøy på dtmskin i Del 2 Del 1 Uten hjelpemidler Del 2 Alle hjelpemidler MAT1013 Mtemtikk 1T REA3022 Mtemtikk R1 REA3024 Mtemtikk R2 REA3026 Mtemtikk S1 REA3028 Mtemtikk S2 1) CAS* 2) Grftegner 3 timer 2 timer *CAS: Computer Algebr System Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 4 v 56

5 1.1.3 Levering v eksmensbesvrelsen Levering på ppir Del 1 og Del 2 sendes på ppir til sensor som «ekspress over ntten», slik t besvrelsen kommer rskest mulig frm. Del 1 v eksmen i mtemtikk skl besvres på ppir. Når Del 2 leveres på ppir, nbefler vi t kndidtene besvrer oppgver som krever bruk v digitle verktøy, ved å t skjermdumper fr de ulike verktøyene, lime disse skjermdumpene inn i et tekstdokument, kommentere og redegjøre for løsningene og så skrive ut tekstdokumentet. Kndidtene må h utskriftsmuligheter. Vi presiserer t en ppirbsert eksmen inkluderer bruk v dtmskin med påkrevd progrmvre. Besvrelsen leveres d utelukkende på ppir som utskrifter eller som en blnding v håndskrift og utskrifter Digitl levering v eksmensbesvrelsen vi PGS (nbeflt) Besvrelsen v Del 1 og Del 2 v eksmen lstes opp i PGS. Besvrelsen v Del 1 v eksmen i mtemtikk føres v eleven med penn. Besvrelsen v Del 1 må sknnes og lstes opp i PGS v skolen. Del 2 kn bestå v: en kombinsjon v håndskrift og utskrifter. Del 2 må d sknnes til ett PDF-dokument som lstes opp i PGS v skolen. digitle dokumenter som lstes opp i PGS Kndidtene kn ikke levere Del 2 delvis på ppir og delvis digitlt. NB! Dersom skolene sknner Del 1 og lster den opp i PGS, står skolene nsvrlig for t lesekvliteten på besvrelsen er tilstrekkelig god etter sknningen. Anbefling Ved digitl levering v eksmen nbefler vi t hele besvrelsen v Del 2 smles i én fil. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 5 v 56

6 1.2 Hjelpemidler, kommuniksjon og særskilt tilrettelegging Hjelpemidler på Del 1 På Del 1 er skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler eneste tilltte hjelpemidler. Del 1 v eksmen er ppirbsert. Kndidtene skl skrive med blå eller svrt penn. Konstruksjonsoppgver skl løses med psser, blynt og linjl. Tegning v grfer og skisser kn gjøres enten med penn eller med blynt. På Del 1 er det ikke tilltt å bruke dtmskin. Merk t ved særskilt tilrettelegging v eksmen er det heller ikke tilltt å bruke ndre hjelpemidler enn de som er spesifisert ovenfor, jf. kpittel Hjelpemidler på Del 2 Alle hjelpemidler er i utgngspunktet tilltt, men det er ikke tilltt med progrmvre/verktøy som gir muligheter for å utveksle informsjon med ndre under eksmen. Skoler og ndre som rrngerer eksmen, kn velge å l kndidtene benytte nettbserte hjelpemidler som digitle forberedelsesdeler og læringsressurser, oppslgsverk og ordbøker, men dette gjelder bre dersom ktuelle IP-dresser isoleres Kommuniksjon Under eksmen hr kndidtene ikke nledning til å kommunisere med hverndre eller utenforstående Særskilt tilrettelegging v eksmen Når det gjelder særskilt tilrettelegging v eksmen, viser vi til rundskriv Udir , som er publisert på Utdnningsdirektortets nettsider, Innholdet i eksmensoppgvene Ved utformingen v eksmensoppgver ts det utgngspunkt i kompetnsemålene i læreplnen for fget. Integrert i kompetnsemålene finner vi de grunnleggende ferdighetene. Oppgvesettene er bygd opp slik t besvrelsen skl gi grunnlg for å vurdere kndidtens kompetnse i mtemtikk. Kndidten skl få mulighet til å vise i hvilken grd hn eller hun kn t i bruk sine fglige kunnskper og ferdigheter i forbindelse med teoretiske problemstillinger og i virkelighetsnære situsjoner. Oppgvene i både Del 1 og Del 2 v eksmen inneholder derfor elementer v ulik vnskegrd. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 6 v 56

7 Smlet sett prøver eksmen kndidtene i kompetnsemål fr lle hovedområdene i læreplnen, men ikke nødvendigvis fr lle kompetnsemålene i læreplnen Innhold i Del 1 I Del 1 vektlegges regneferdigheter, begreps- og tllforståelse, evne til resonnement og problemløsning. Del 1 inneholder oppgver med ulik vnskegrd Formler i Del 1 Kpittel 2 i denne eksmensveiledningen lister opp formler som vi forutsetter er kjent til Del 1 v eksmen. Lærebøker kn h ulike måter å skrive formler og symboler på, og det er selvsgt opp til den enkelte kndidt og lærer å bruke den skrivemåten en er vnt med. Hovedsken er å kjenne innholdet i formlene og å kunne bruke dem. Dersom kndidtene er vnt til å bruke ndre formler i tillegg til dem som er nevnt i vedleggene, er det selvfølgelig tilltt å bruke disse. Merk: Eksmensoppgvene er lget ut fr kompetnsemålene i læreplnen, og utvlget v formler ngir derfor ikke begrensninger v kompetnsemål som kn prøves i Del 1. Dersom oppgvetemet krever det, kn mer kompliserte formler bli oppgitt som en del v oppgveteksten i Del 1. Det forutsettes t kndidtene behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng Innhold i Del 2 I Del 2 vektlegges begrepsforståelse, evne til resonnement, modellering, problemløsning og digitl kompetnse. Del 2 inneholder oppgver med ulik vnskegrd. Noen oppgver i Del 2 v oppgvesettet skl løses ved hjelp v bestemte typer digitle verktøy. I ndre oppgver i Del 2 står kndidten fritt til å velge metode/hjelpemiddel selv. Del 2 inneholder oppgver som prøver kndidtenes mtemtiske kompetnse med ulik kompleksitet. I Del 2 kn det forekomme temer som ikke lle kndidter hr forhåndskunnskper om. Problemstillingene og formuleringene i de enkelte oppgvene vil imidlertid enten være uvhengige v forhåndskunnskp om temet, eller så vil de bli fulgt v en forklring som kn knytte oppgven til temet. Del 2 består v en del oppgver som igjen er delt inn i flere delspørsmål. Oppgvene og de fleste delspørsmålene vil kunne løses uvhengig v hverndre. Likevel kn det forekomme Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 7 v 56

8 oppgver der svret på ett delspørsmål skl brukes i det neste, og så videre. Formålet med smmenhengende delspørsmål i en oppgve er å hjelpe kndidtene på vei i problemløsningen. Del 2 kn også inneholde formler og liknende som kn frmstå som nye utfordringer for kndidtene. Del 2 vil ofte inneholde mer tekst og illustrsjoner enn Del 1. Oppgvene i både Del 1 og Del 2 skl formuleres slik t de frmstår som klre problemstillinger i en så enkel språkdrkt som mulig. Det forventes t kndidtene kjenner vnlige ord, uttrykk og begreper fr det norske språket som inngår i forbindelse med mtemtiske begreper og problemstillinger og i kommuniksjonen v problemløsningen. I oppgveformuleringene skl det helst brukes korte setninger. Fguttrykk skl bre brukes der det er nødvendig. Illustrsjoner, i form v bilder og tegninger, skl understøtte lesingen og forståelsen v oppgvene. 1.4 Språket i eksmensoppgvene Ved formuleringer som «Finn», «Løs» og «Bestem» legges det ikke opp til bruk v bestemte frmgngsmåter eller hjelpemidler. Kndidten kn velge å løse oppgven grfisk, ved regning (lgebrisk) eller ved å benytte ulike kommndoer i digitle verktøy. Her hr kndidten full metodefrihet. Del 2 vil ikke inneholde oppgveformuleringer som «Finn / Løs / Bestem ved regning» eller «Regn ut». I enkelte oppgver i Del 2 vil kndidtene bli bedt om å bruke «regnerk», «grftegner» eller «CAS» for å løse oppgven. I ndre oppgver i Del 2 kn kndidtene bruke den metoden / det hjelpemiddelet / det digitle verktøyet som de finner hensiktsmessig. Dersom det oppstår tvil og ulike oppftninger v oppgveteksten, vil sensorene være åpne for rimelige tolkninger. 1.5 Frmgngsmåte og forklring Der oppgveteksten ikke sier noe nnet, kn kndidten selv velge frmgngsmåte og hjelpemidler. Dersom oppgven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en lterntiv metode kunne gi noe uttelling. I noen oppgver vil en «prøve-og-feile»-metode være nturlig. For å få full uttelling ved bruk v en slik metode må kndidten rgumentere for strtegien og vise en systemtisk tilnærming. Frmgngsmåte, utregning og forklring skl belønnes også om resulttet ikke er riktig. Ved følgefeil skl sensor likevel gi uttelling dersom den videre frmgngsmåten er riktig og oppgven ikke blir urimelig forenklet. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 8 v 56

9 Hvis kndidten bruker grfiske løsningsmetoder, må kndidten rgumentere for løsningen og forklre figuren. Nødvendig mellomregning og forklring er påkrevd for å vise hv som er gjort, både i Del 1 og i Del 2 v eksmen. Evnen til å kommunisere mtemtikk er viktig her. Kndidten skl presentere løsningene på en ryddig, oversiktlig og tydelig måte. Mngel på konklusjon, benevning, bruk v nødvendig notsjon og liknende kn føre til lvere uttelling ved sensuren. Dersom kndidten ikke hr med frmgngsmåten, men bre et korrekt svr, skl det gis noe uttelling for dette selv om kndidten hr vist mnglende kommuniksjonskompetnse. Ved mer åpne oppgveformuleringer er det spesielt viktig t kndidten begrunner sin tolkning v oppgven og sitt vlg v løsningsstrtegi. Mellomregning og mellomresultter må ts med i rimelig omfng også når kndidten bruker digitle verktøy. Når kndidtene bruker digitle verktøy, kn de for eksempel t skjermdump v det som er gjort i det digitle verktøyet, lime det inn i et tekstdokument og så knytte nødvendige kommentrer til løsningen. For eksempler på frmgngsmåte og begrunnelse ved bruk v CAS og ndre digitle verktøy, se for eksempel disse dokumentene som er publisert på Utdnningsdirektortets hjemmesider: «Eksempeloppgve MAT1011 Mtemtikk 1P Ny eksmensordning våren 2015» «Eksempeloppgve REA3024 Mtemtikk R2 Ny eksmensordning våren 2015» Dersom en oppgve krever bruk v et digitlt verktøy og kndidten ikke bruker det digitle verktøyet, oppnås lv/noe uttelling ved sensuren dersom oppgven ellers er korrekt besvrt. 1.6 Andre kommentrer Konstruksjon i Del 1 for REA3022 Mtemtikk R1 Konstruksjonsoppgver skl løses med psser, blynt og linjl. Det er generelt ikke noe krv om hjelpefigur, men kndidten skl lltid gi en konstruksjonsforklring. Besvrelse v konstruksjonsoppgver bør skje på blnkt ppir, slik t konstruksjonen kommer frm så klrt som mulig. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 9 v 56

10 1.6.2 Grftegning og skisser i Del 1 Tegning v grfer og skisser kn gjøres enten med penn eller med blynt. Det skl gå klrt frm v den grfiske frmstillingen hvilken skl som er brukt, og hvilken størrelse som kn leses v, på hver v ksene. Det er generelt ikke noe krv om verditbell over utregnede funksjonsverdier, med mindre det er spurt spesielt om det i oppgven. Dersom kndidtene blir bedt om å skissere en grf, er det tilstrekkelig t de skisserer kurvens form i besvrelsen. Her stilles det ikke så høye krv til nøyktighet som ved tegning v grfer. Det er imidlertid viktig t sentrle punkter (som for eksempel null-, bunn-, topp- og vendepunkt) kommer klrt frm. På skissen/tegningen v grfen skl vlesninger mrkeres tydelig. Når begrepet «skisse» blir brukt i forbindelse med tegninger, grfer og liknende, er det ikke snkk om en nøyktig tegning i riktig målestokk. Kndidtene kn d ikke uten videre måle på selve skissen for å besvre oppgven. Når kndidtene blir bedt om å bestemme eventuelle topp-, bunn- eller vendepunkter på grfen til en funksjon, en drøfting v funksjonen, kn de enten bruke fortegnslinjer og drøfte den deriverte og/eller den dobbeltderiverte, eller på nnen måte redegjøre for grfens form Digitle verktøy på Del 2 v eksmen Det forutsettes t kndidtene er kjent med ulike digitle verktøy, og t de kn bruke disse på en hensiktsmessig måte under Del 2 v eksmen. Dtmskin med digitle verktøy er obligtorisk å bruke i lle eksmenskodene: Eksmenskode MAT1011 Mtemtikk 1P MAT1015 Mtemtikk 2P MAT1005 Mtemtikk 2P-Y Dtmskin med digitlt verktøy Regnerk Grftegner MAT1013 Mtemtikk 1T REA3022 Mtemtikk R1 REA3024 Mtemtikk R2 REA3026 Mtemtikk S1 REA3028 Mtemtikk S2 CAS Grftegner Vi nbefler mest mulig oppdtert progrmvre instllert på dtmskinen. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 10 v 56

11 Dynmisk geometriprogrm (progrmvre på dtmskin). Ikke obligtorisk. Dynmisk geometriprogrm kn brukes til å tegne geometriske figurer. Det er spesielt i eksmenskoden REA3022 Mtemtikk R1 t denne typen digitle verktøy kn være ktuelt å bruke. Denne typen progrmvre er ikke obligtorisk å bruke. Ved tegning v geometriske figurer med dynmisk geometriprogrm («Tegn») under Del 2 v eksmen tilltes lle funksjonstster/kommndoer direkte brukt i progrmvren. Eksempler på slike er funksjonstster/kommndoer som tegner normler, hlverer vinkler, lger midtnorml, tegner prllelle linjer, og så videre. Kndidtene må legge ved en oversikt over hv som er gjort i progrmvren, i besvrelsen sin. Kndidtene vil bli prøvd i klssisk konstruksjon med psser og linjl under Del 1, jf. kpittel I Del 2 kn det for eksempel stå «tegn eller konstruer». Kndidtene kn d velge om de vil bruke dynmisk geometriprogrm eller konstruere med psser og linjl. Vi bruker ikke ordet «konstruer» når vi åpner opp for dynmisk geometriprogrm. D foretrekker vi «tegn» i stedet Grftegner (progrmvre på dtmskin). Obligtorisk. En digitl grftegner finnes i mnge vrinter og skl brukes i lle skriftlige eksmenskoder i mtemtikk. Det skl gå klrt frm v den grfiske frmstillingen hvilken skl som er brukt, og hvilken størrelse som kn leses v, på hver v ksene. Det er en fordel t funksjonsuttrykket som er tstet inn i grftegneren, kommer frm, slik t sensor enklere kn vurdere grftegningen. Hvis kndidtene bruker en slik grftegner, trenger de ikke å oppgi verken verditbell eller frmgngsmåte (hvordn de hr gått frm for å tegne grfen). Kndidtene må oppgi hvilke kommndoer som er brukt for å bestemme skjæringspunkter, ekstremlpunkter, stigningstll og ndre verdier som oppgven etterspør. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 11 v 56

12 Fr Eksmen MAT1015 Mtemtikk 2P Våren 2017, Oppgve 1 i Del 2: Funksjonen V gitt ved V( x) 0,064x 4 2,41x 3 28,4x 2 105x 39, 0 x 18 viser vnnstnden Vx ( ) centimeter over eller under middelvnn x timer etter midntt i Tromsø en dg. ) Bruk grftegner til å tegne grfen til V. b) Vis t vnnstnden er c. 40 cm under middelvnn én time etter midntt og c. 31 cm over middelvnn 12 timer etter midntt. c) Bestem forskjellen mellom høyeste og lveste vnnstnd i perioden fr midntt og frm til klokk d) Bestem den momentne vekstfrten til funksjonen V klokk Gi en prktisk tolkning v dette svret. Eksempel på besvrelse med grftegner: ) Et tydelig, klrt bilde v grfen til V innenfor definisjonsområdet. Det går frm v den grfiske frmstillingen hvilken skl som er brukt, og hvilken størrelse som kn leses v, på hver v ksene. T også gjerne med funksjonsuttrykket som er tstet inn. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 12 v 56

13 b) Jeg l inn linjene x 1 og x 12 og fnt skjæringspunktene mellom linjene og grfen. Skjæringspunktene (1, 39,9) og (12, 31,2) viser t vnnstnden er c. 40 cm under middelvnn én time etter midntt og c. 31 cm over middelvnn 12 timer etter midntt. Se koordintsystemet ovenfor. c) Jeg brukte kommndoen «Ekstremlpunkt» og fnt bunnpunket (2,7, 81,5) og toppunktet (9,6, 59,7). Se koordintsystemet ovenfor. Forskjellen mellom høyeste og lveste vnnstnd er 59,7cm ( 81,5cm) 141,2cm d) Jeg fnt tngenten i punktet (7, V (7)) og stigningstllet til denne tngenten ved å bruke kommndoene «Tngent(7,V)» og «Stigning». Se koordintsystemet ovenfor. Den momentne vekstfrten i punktet er stigningstllet til denne tngenten. Den momentne vekstfrten er 26,1 cm/h. Det betyr t vnnstnden klokk er i ferd med å stige med 26,1 cm per time. Kndidtene kn besvre spørsmålene kortfttet ved å henvise til grftegningen. Det er ikke nødvendig å t med frmgngsmåte for hvordn grfen er kommet frm. Verditbell er ikke et krv. Det er en fordel t kndidtene får frm hvilket funksjonsuttrykk de hr tstet inn i progrmmet. De etterspurte punktene bør komme frm med koordinter CAS Computer Algebr System (progrmvre på dtmskin). Obligtorisk. CAS forstås som en symbolbehndlende (og numerisk) klkultor. CAS skl brukes i eksmenskodene for 1T, R1, R2, S1 og S2. Eksmenskndidtene skl dokumentere bruken v CAS. Vi nbefler t det ts en skjermdump som limes inn i et tekstdokument. Kndidtene må så knytte nødvendige kommentrer til utregningene i CAS-verktøyet og konkludere i forhold til problemstillingen. Eksmenskndidtene må selv finne riktig setning, kommndo eller stille opp en riktig likning. Deretter kn CAS brukes direkte. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 13 v 56

14 Fr «Eksempeloppgve REA3024 Mtemtikk R2 Ny eksmensordning våren 2015», oppgve 2 i Del 2: En rett linje går gjennom punktene A(0, R ) og B ( h, r ). Se figur 1. En rett vkortet kjegle frmkommer ved å rotere linjestykket AB 360 om x-ksen. Se figur 2. A(0, R ) O B ( h, r ) r Figur 1 Figur 2 ) Vis t linjen gjennom A og B hr likningen r R y x R h b) Bruk CAS til å vise t volumet V v den rett vkortede kjeglen er h V R Rr r ( ) Eksempel på besvrelse med krv til CAS i oppgve 2 b): ) Den rette linjen går gjennom punktene A(0, R ) og B ( h, r ). b) Jeg ser t dette er det smme uttrykket som er gitt i oppgven. I linje 3 ser jeg t uttrykket er det smme som er gitt i oppgven. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 14 v 56

15 I oppgve b) skl kndidtene bruke CAS. Hvis ikke vil kndidten bre få noe uttelling ved sensuren. I denne oppgven kreves det ikke forklrende tekst utover å dokumentere det som er gjort i CAS. I ndre oppgver og besvrelser kn det være nødvendig å knytte noen korte kommentrer til enkelte utregninger i CAS. Fr «Eksempeloppgve MAT1013 Mtemtikk 1T Ny eksmensordning våren 2015», oppgve 5 i Del 2: Funksjonen f er gitt ved 10 f( x) 5, x 0 2 x Punktet A hr koordintene 0, 0, punktet B ligger på x - ksen, punktet C ligger på grfen til f, og B 90. Bruk CAS til å bestemme den ekskte verdien v x slik t relet v Hvor stort blir relet d? ABC blir minst mulig. Funksjonen F gir relet v treknten. Jeg finner eventuelle stsjonære punkter ved å løse likningen F( x) 0. Jeg tr stikkprøver og ser t den deriverte går fr å være negtiv til å være positiv. Funksjonen hr d et bunnpunkt for x 2. Arelet er minst mulig når x 2. Arelet er d 5 2. Vi viser ellers til publiserte eksempeloppgver i eksmenskodene for 1T, R1, S1, R2 og S2 for flere eksempler på oppgver som krever bruk v CAS. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 15 v 56

16 Regnerk (progrmvre på dtmskin). Obligtorisk. Det skl brukes regnerk i eksmenskodene for 1P, 2P og 2P-Y. Ved bruk v regnerk bør kndidten i størst mulig grd benytte formler, slik t løsningen blir dynmisk, det vil si t løsningen endres dersom tllene i en oppgve endres. En løsning der formlene som er brukt, ikke kommer klrt frm, vil få lv uttelling ved sensuren. Eksmenskndidtene skl dokumentere bruken v regnerk. Vi nbefler t det først ts en skjermdump v selve regnerket og t denne limes inn i et tekstdokument. Etterpå må det ts en skjermdump også v formlene som er brukt. Husk å få med rd- og kolonneoverskrifter. Eventuelt kn formlene som er brukt, skrives inn i besvrelsen. Om kndidter som leverer besvrelsen v Del 2 på ppir, ønsker å skrive ut regnerket direkte, skl utskriften h med rd- og kolonneoverskrifter. Kndidtene må d også t en formelutskrift. Husk t utskriftene må være identifiserbre, det vil si t de inneholder oppgvenummer, skolens nvn og kndidtnummer. Selv om det er det fglige innholdet som primært skl vurderes, vil også presentsjonen v løsningen bli vurdert (kommuniksjonskompetnse). Vi viser til «Eksempeloppgve MAT1011 Mtemtikk 1P Ny eksmensordning våren 2015» for eksempler på bruk v regnerk. Kndidtene bør lge regnerkmodellene selv, og kndidtenes bruk v formler blir vurdert i forhold til om regnerket er «dynmisk», dvs. t dersom vi endrer inndt, endres også utdt utomtisk, slik t det blir enkelt å bruke smme regnerk om igjen til liknende oppgver. Det er derfor ikke lltid hensiktsmessig eller en fordel å bruke ferdigmodeller Digitle verktøy og mtemtisk symbolbruk I digitle verktøy kn mtemtisk symbolbruk vvike noe fr den klssiske symbolnotsjonen. Eksempler på dette er /, *, ^, 4.5E06 og så videre. Dette er godkjent notsjon, og kndidtene må ikke trekkes for dette under sensuren. Mer klssisk (og korrekt) notsjon, og symbol- og formlismekompetnse prøves i Del 1 v eksmen. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 16 v 56

17 1.7 Kommentrer til kjennetegn på måloppnåelse Bkgrunnen for kjennetegn på måloppnåelse er St.meld. nr. 30 ( ), som slår fst t når det innføres nye læreplner med mål for elevenes kompetnse (Kunnskpsløftet), vil en stndrdbsert (kriteriebsert) vurdering legges til grunn for eksmenskrkterene. Kjennetegnene på måloppnåelse uttrykker i hvilken grd eleven hr nådd kompetnsemålene i læreplnen. Mtemtikkompetnsen som kjennetegnene beskriver, er delt inn i tre ktegorier: begreper, forståelse og ferdigheter problemløsning kommuniksjon Innholdet i disse ktegoriene beskriver mtemtikkompetnse på tvers v læreplnens kompetnsemål og er ment å være til hjelp for sensors fglige skjønn når elevens prestsjon vurderes. De tre ktegoriene kn ikke forstås tskilt, men er ngitt slik for oversiktens skyld, slik t sensor lettere skl få et helhetsinntrykk v besvrelsen. Kjennetegnene for lle tre ktegoriene gjelder for både Del 1 og Del 2 v eksmen. Begreper, forståelse og ferdigheter Denne ktegorien er en viktig og grunnleggende del v mtemtikkompetnsen. God kunnskp her er vgjørende for å kunne tkle større og mer smmenstte utfordringer. Kjennetegnene i denne ktegorien beskriver i hvilken grd eleven kjenner, forstår og håndterer mtemtiske begreper. Videre forventes det t eleven kn vkode, oversette og behndle blnt nnet symboler og formler. Det er ikke bre snkk om bokstvregning og likningsløsning, men også om tllsymboler, mtemtiske tegn og formelle sider ved elementær regning. For eksempel er det ikke lov å skrive 6 5 eller 6 3. Videre er 2 (3 4) ikke det smme som , og 2 er ikke det smme som ( 2). I denne ktegorien inngår også det å forstå og håndtere ulike representsjoner v begreper. For eksempel kn π (pi) representeres ved hjelp v symbolet π eller som en uendelig desimlbrøk 3, eller som en rsjonl tilnærming (for eksempel brøkene eller 71 ) eller geometrisk som omkretsen v en sirkel med dimeter 1, osv. Et nnet eksempel er begrepet lineær funksjon, som kn representeres som et funksjonsuttrykk eller en regel y f ( x) 2x 1, som en tegnet grf i et koordintsystem, som en verditbell med verdier for x og y, som et geometrisk objekt, for eksempel den rette linjen som går gjennom punktene (0, 1) og (2,3), eller lgebrisk som løsningsmengden til en likning, for eksempel 3y6x 3 0. Problemløsning Denne ktegorien sier noe om elevens evne til å løse ulike problemstillinger. «Problem» må her forstås vidt fr enkle, rutinemessige oppgver til større, mer smmenstte problemer. Det er ltså snkk om hvordn eleven bruker kunnskper og ferdigheter på ulike mtemtiske problemstillinger og ser smmenhenger i fget og mellom læreplnens hovedområder. «Problem» kn også forstås reltivt. Det som er et problem for én elev, kn oppleves som elementært for ndre elever, vhengig v på hvilket nivå eleven befinner seg. Denne ktegorien vil også beskrive elevens kompetnse når det gjelder modellering i hvilken grd eleven kn lge, t i bruk og vurdere modeller. Det kn for eksempel dreie seg om å betrkte en vekstfunksjon eller undersøke kostndene ved å bruke mobiltelefon. I denne ktegorien er det også nturlig å vurdere i hvilken grd eleven er kjent med ulike hjelpemidler og kn bruke Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 17 v 56

18 disse på en hensiktsmessig måte under eksmen. Videre er det nturlig å vurdere i hvilken grd eleven viser mtemtisk tnkegng, og om eleven hr evne til å vurdere svr i forbindelse med ulike mtemtiske problemstillinger. Kommuniksjon Denne ktegorien beskriver blnt nnet i hvilken grd eleven klrer å sette seg inn i en mtemtisk tekst, og i hvilken grd eleven kn uttrykke seg i mtemtikk ved hjelp v det mtemtiske symbolspråket. Det er viktig t eleven viser frmgngsmåter, rgumenterer og forklrer den mtemtiske løsningen. Dette er spesielt viktig i forbindelse med bruk v digitle verktøy. *** *** *** Ktegorien «Problemløsning» er den mest sentrle ktegorien for sensors vurderingsgrunnlg, men det er også viktig t kjennetegnene på måloppnåelse i lle tre ktegorier ses i smmenheng og ikke tskilt fr hverndre. Det er ikke «vnntette skott» mellom ktegoriene, heller flytende overgnger. Kjennetegnene på måloppnåelse skl gi informsjon om hv som vektlegges i vurderingen v elevprestsjonen. De skl videre beskrive kvliteten på den kompetnsen elevene viser (hv de mestrer), ikke mngel på kompetnse. Kjennetegnene beskriver kvliteten på elevenes mtemtiske kompetnse på tvers v læreplnens hovedområder og kompetnsemål. Ved å benytte kjennetegn på måloppnåelse og eventuelt poeng kn sensor dnne seg et bilde v eller lge en profil over den mtemtiske kompetnsen eleven hr vist. Ktegoriene v mtemtikkompetnse inneholder kjennetegn knyttet til tre ulike krkternivåer: «låg» kompetnse (krkteren 2) «nokså god» / «god» kompetnse (krkterene 3 og 4) «mykje god» / «frmifrå» kompetnse (krkterene 5 og 6) Målet med kjennetegnene er å gi en pekepinn, en retning for hvordn sensor skl bedømme prestsjonen, og er ikke nødvendigvis en «millimeterpresis» beskrivelse v ulike kompetnsenivåer. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 18 v 56

19 Kjennetegn på måloppnåelse Mtemtikk fellesfg og progrmfg i videregående opplæring Kompetnse Krkteren 2 Krkterene 3 og 4 Krkterene 5 og 6 Eleven Eleven Eleven Begreper, forståelse og ferdigheter forstår en del grunnleggende begreper behersker en del enkle, stndrdiserte frmgngsmåter forstår de fleste grunnleggende begreper og viser eksempler på forståelse v smmenhenger i fget behersker de fleste enkle, stndrdiserte frmgngsmåter, hr middels god regneteknikk og bruk v mtemtisk formspråk, viser eksempler på logiske resonnementer og bruk v ulike mtemtiske representsjoner forstår lle grunnleggende begreper, kombinerer begreper fr ulike områder med sikkerhet og hr god forståelse v dypere smmenhenger i fget viser sikkerhet i regneteknikk, logiske resonnementer, bruk v mtemtisk formspråk og bruk v ulike mtemtiske representsjoner Eleven Eleven Eleven viser eksempler på å kunne løse enkle problemstillinger med utgngspunkt i tekster, figurer og prktiske og enkle situsjoner løser de fleste enkle og en del middels kompliserte problemstillinger med utgngspunkt i tekster, figurer og prktiske situsjoner, og viser eksempler på bruk v fgkunnskp i nye situsjoner utforsker problemstillinger, stiller opp mtemtiske modeller og løser oppgver med utgngspunkt i tekster, figurer og nye og komplekse situsjoner Problemløsning klrer iblnt å plnlegge enkle løsningsmetoder eller utsnitt v mer kompliserte metoder klrer delvis å plnlegge løsningsmetoder i flere steg og å gjøre fornuftige ntkelser viser sikkerhet i plnlegging v løsningsmetoder i flere steg og formulering v ntkelser knyttet til løsningen, viser kretivitet og originlitet kn vgjøre om svr er rimelige, i en del enkle situsjoner kn ofte vurdere om svr er rimelige viser sikkerhet i vurdering v svr, kn reflektere over om metoder er hensiktsmessige viser eksempler på bruk v hjelpemidler knyttet til enkle problemstillinger bruker hjelpemidler på en hensiktsmessig måte i en del smmenhenger viser sikkerhet i vurdering v hjelpemidlenes muligheter og begrensninger, og i vlg mellom hjelpemidler kn bruke hjelpemidler til å se en del enkle mønstre klrer delvis å bruke digitle verktøy til å finne mtemtiske smmenhenger kn bruke digitle verktøy til å finne mtemtiske smmenhenger, og kn sette opp hypoteser ut fr dette Eleven Eleven Eleven Kommuniksjon presenterer løsninger på en enkel måte, for det meste med uformelle uttrykksformer presenterer løsninger på en forholdsvis smmenhengende måte med forklrende tekst i et delvis mtemtisk formspråk presenterer løsninger på en oversiktlig, systemtisk og overbevisende måte med forklrende tekst i et mtemtisk formspråk Krkteren 1 uttrykker t eleven hr svært lv kompetnse i fget. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 19 v 56

20 1.8 Vurdering v oppnådd kompetnse Vurdering i mtemtikk Læreplnene og forskrift til opplæringslov er grunndokumenter for vurderingsrbeidet. Forskrift til opplæringslov 3-25 og 4-18 slår fst: Eksmen skl orgniserst slik t eleven/deltkren eller privtisten kn få vist kompetnsen sin i fget. Eksmenskrkteren skl fstsetjst på individuelt grunnlg og gi uttrykk for kompetnsen til eleven/deltkren eller privtisten slik den kjem frm på eksmen. Kompetnse er i denne smmenhengen definert som evnen til å møte en kompleks utfordring eller utføre en kompleks ktivitet eller oppgve. 1 Eksmensoppgvene blir utformet slik t de prøver denne kompetnsen. Grunnlget for å vurdere kompetnsen elevene viser i eksmensbesvrelsen, er kompetnsemålene i læreplnen for fg. 2 De grunnleggende ferdighetene er integrert i kompetnsemålene i lle læreplnene for fg. Grunnleggende ferdigheter vil derfor kunne prøves indirekte til sentrlt gitt eksmen. Grunnleggende ferdigheter utgjør ikke et selvstendig vurderingsgrunnlg. Forskrift til opplæringslov 3-4 og 4-4 hr generelle krkterbeskrivelser for grunnopplæringen: ) Krkteren 6 uttrykkjer t eleven hr frmifrå kompetnse i fget. b) Krkteren 5 uttrykkjer t eleven hr mykje god kompetnse i fget. c) Krkteren 4 uttrykkjer t eleven hr god kompetnse i fget. d) Krkteren 3 uttrykkjer t eleven hr nokså god kompetnse i fget. e) Krkteren 2 uttrykkjer t eleven hr låg kompetnse i fget. f) Krkteren 1 uttrykkjer t eleven hr svært låg kompetnse i fget. Sensuren v eksmensoppgvene er kriteriebsert. Sensorene skl vurdere hv eleven kn, frmfor å finne ut hv eleven ikke kn. Når sensor bruker poeng, skl det gis uttelling for det eleven hr prestert, ikke poengtrekk for det eleven ikke hr fått til. Det er sjelden uten verdi t eleven løser oppgven på en nnen måte enn den det i utgngspunktet bes om i oppgveteksten, selv om svret d ikke kn betrktes som fullgodt. Dersom det oppstår tvil om ulike oppftninger v oppgveteksten, vil sensorene være åpne for rimelige tolkninger. 1 St.meld. nr. 30 ( ) Kultur for læring. 2 Forskrift til opplæringslov 3-3 og 4-3. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 20 v 56

21 Den endelige krkteren skl bygge på sensors fglige skjønn og på en smlet vurdering v kndidtens prestsjon bsert på kjennetegn på måloppnåelse. Krkterfstsettelsen kn derfor ikke utelukkende være bsert på en poengsum eller på ntll feil og mngler ved prestsjonen. Poenggrenser ved sensuren er veiledende og må stå i et rimelig forhold til kjennetegnene på måloppnåelse. Bruk v poeng og poenggrenser er, som tidligere nevnt, bre veiledende i vurderingen. Sensor må se nærmere på hvilke oppgver kndidten oppnår poeng på, ikke bre på en poengsum. Krkteren blir fststt etter en smlet vurdering v Del 1 og Del 2. Sensor vurderer derfor, med utgngspunkt i kjennetegnene på måloppnåelse, i hvilken grd kndidten viser regneferdigheter og mtemtisk forståelse gjennomfører logiske resonnementer ser smmenhenger i fget, er oppfinnsom og kn t i bruk fgkunnskp i nye situsjoner kn bruke hensiktsmessige hjelpemidler vurderer om svr er rimelige forklrer frmgngsmåter og begrunner svr skriver oversiktlig og er nøyktig med utregninger, benevninger, tbeller og grfiske frmstillinger Sensorveiledning og vurderingsskjem Utdnningsdirektortet publiserer sensorveiledninger på eksmensdgen i lle eksmenskoder i mtemtikk. Smmen med sensorveiledningene blir det også publisert vurderingsskjemer som sensorene skl bruke. Hensikten med disse publiksjonene er å støtte opp om den sentrle sensuren og sikre en rettferdig sensur. Sensorveiledning og vurderingsskjem publiseres på eksmensdgen, etter t eksmen i den ktuelle fgkoden er vholdt. Disse dokumentene blir lgt ut på Utdnningsdirektortets nettsider. Sensorveiledningen inneholder kommentrer til oppgvene og retningslinjer til sensor om vurderingen. Vi forutsetter t lle sensorer følger veiledningen. Sensorveiledningen og vurderingsskjemet inneholder poengfordeling for hver fgkode. Alle sensorene må følge denne poengfordelingen i sin sensur. NB! Bruk v poeng er bre veiledende i vurderingen. Krkteren fstsettes ut fr en helhetsvurdering v besvrelsen, bruk v kjennetegn på måloppnåelse og sensors fglige skjønn i henhold til forhåndssensurrpporten. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 21 v 56

22 1.8.3 Forhåndssensur og forhåndssensurrpport Som tidligere vholdes det ved våreksmen forhåndssensur på bkgrunn v førsteinntrykkene fr sensorene noen få dger etter eksmen i fget. På bkgrunn v dette utrbeides det en forhåndssensurrpport som publiseres på Utdnningsdirektortets nettsider på smme sted som sensorveiledningen. Forhåndssensurrpportene er til sensorene og er ikke et endelig resultt v sensuren. Forhåndssensurrpporten kn inneholde justeringer v sensorveiledningene som blir publisert på eksmensdgen. Vi forutsetter t lle sensorer følger veiledningen i forhåndssensurrpporten. Forhåndssensurrpporten vil vnligvis inneholde poengfordeling og poenggrenser. Alle sensorene må følge denne poengfordelingen i sin sensur. NB! Bruk v poeng er bre veiledende i vurderingen. Krkteren fstsettes på bkgrunn v en smlet vurdering v besvrelsen, bruk v kjennetegn på måloppnåelse og sensors fglige skjønn i henhold til forhåndssensurrpporten. Alle sensorer er forpliktet til å følge ll veiledning fr Utdnningsdirektortet, det vil si eksmensveiledningen inkludert kjennetegn på måloppnåelse sensorveiledningen og vurderingsskjem forhåndssensurrpporten Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 22 v 56

23 2 Formelrk. Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen. Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i MAT1011 Mtemtikk 1P (Formelrket kn ikke brukes på Del 1 v eksmen.) Rektngel A g h Treknt gh A 2 Prllellogrm A g h Trpes b h A ( ) 2 Sirkel A r Prisme V G h Sylinder V r 2 h 2 O 2 r Geometri Formlikhet Målestokk Pytgors setning Proporsjonlitet Rette linjer y x b Vekstfktor Proporsjonle størrelser Omvendt proporsjonle størrelser p p Økonomi Snnsynlighet Prisindeks Kroneverdi Rellønn Snnsynlighet ved systemtiske opptellinger P( A) 1 P( A) P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige Eksmensoppgvene lges ut fr kompetnsemålene i læreplnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kompetnsemål som kn prøves i Del 1. Dersom oppgvetemet krever det, kn mer kompliserte formler bli oppgitt som en del v oppgveteksten i Del 1. Det forutsettes t kndidten behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 23 v 56

24 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i MAT1015 Mtemtikk 2P (Formelrket kn ikke brukes på Del 1 v eksmen.) Potenser Stndrdform Vekstfktor Sttistikk p q pq p p p p ( b) b pq q 0 1 p q pq ( ) p 1 p p p p b b n k 10 1 k 10 og n er et helt tll p p Gjennomsnitt Medin Eksmensoppgvene lges ut fr kompetnsemålene i læreplnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kompetnsemål som kn prøves i Del 1. Dersom oppgvetemet krever det, kn mer kompliserte formler bli oppgitt som en del v oppgveteksten i Del 1. Det forutsettes t kndidten behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 24 v 56

25 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i MAT1005 Mtemtikk 2P Yrkesfg Påbygging til generell studiekompetnse (Formelrket kn ikke brukes på Del 1 v eksmen.) Stndrdform Potenser Vekstfktor n k 10 1 k 10 og n er et helt tll p q pq p q p q ( ) p p q pq b b p p p p ( b) b 0 p 1 p p p 1 p Rette linjer y x b Snnsynlighet ved systemtiske opptellinger P( A) 1 P( A) Snnsynlighet P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige Sttistikk Gjennomsnitt Medin Eksmensoppgvene lges ut fr kompetnsemålene i læreplnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kompetnsemål som kn prøves i Del 1. Dersom oppgvetemet krever det, kn mer kompliserte formler bli oppgitt som en del v oppgveteksten i Del 1. Det forutsettes t kndidten behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 25 v 56

26 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i MAT1013 Mtemtikk 1T (Formelrket kn ikke brukes på Del 1 v eksmen.) Stndrdform k 10 1 k 10 og n er et helt tll Vekstfktor p p n Rette linjer Potenser y x b y2 y1 x2 x1 y y ( x x ) 1 1 p q pq p q p q ( ) p p q pq b b p p ( b) b 0 p 1 p p p 1 p Kvdrtsetningene og konjugtsetningen Likning v ndre grd Logritmer Vekst og derivsjon Trigonometri i rettvinklede treknter ( b) 2b b ( b) 2b b ( b)( b) b b b 4c x bx c 0 x 2 b lg lg x b x lg x c x 10 c Gjennomsnittlig veksthstighet Momentn veksthstighet f( x x) f( x) Definisjon v den deriverte f( x) lim x 0 x Derivsjonsregel for polynomfunksjoner motstående ktet sinv hypotenus hosliggende ktet cosv hypotenus motstående ktet tnv hosliggende ktet Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 26 v 56

27 Trigonometri Trigonometri Snnsynlighet Kunne bruke rettvinklede treknter til å bestemme ekskte verdier for sinus, cosinus og tngens til vinkler Arel 1 bc sin A 2 2 b 2 c 2 2bccos A sin A B C sin sin b c Snnsynlighet ved systemtiske oppstillinger P( A) 1 P( A) P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige Eksmensoppgvene lges ut fr kompetnsemålene i læreplnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kompetnsemål som kn prøves i Del 1. Dersom oppgvetemet krever det, kn mer kompliserte formler bli oppgitt som en del v oppgveteksten i Del 1. Det forutsettes t kndidten behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 27 v 56

28 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i REA3022 Mtemtikk R1 (Formelrket kn ikke brukes på Del 1 v eksmen.) Likning v ndre grd Fktorisering v ndregrdsuttrykk Polynomer Logritmer Grenseverdier Derivsjon Kombintorikk Snnsynlighet Vektorregning x bx c 0 x b b c 2 2 x bx c ( x x )( x x ) 1 2 Nullpunkter og polynomdivisjon lg x 10 x lg x x lg lg( b) lg lg b lg lg lg b b x b b x lg lg e ln ln x x x x ln ln( b) ln lnb ln lnlnb b x b b x ln ln x x 10 b x lg b e b x ln b c c lg x c x 10 ln x c x e Utregning v grenseverdier Horisontle og vertikle symptoter f( x x) f( x) Definisjon v den deriverte f( x) lim x 0 x Derivsjonsregler for potens-, kvdrtrot-, eksponentil- og logritmefunksjoner Derivsjonsregler for sum, differnse, produkt og kvotient Kjerneregel n! 1 23 n n! n P r n( n 1)... ( n r 1 ) ( n r)! n n! nc r r r! ( n r)! Snnsynlighet ved systemtiske oppstillinger P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige P( AB) P( A) P( B A) P( A B) P( B) P( B) Regning med vektorer geometrisk som piler i plnet [ x, y] xe ye t[ x, y] [ tx,ty] x y [ x 1, y1] [ x 2, y2] [ x1 x 2, y1 y2] [ x, y ] [ x, y ] x x y y [ x, y ] x y 2 2 [ x, y ] [ x, y ] x x og y y Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 28 v 56

29 Vektorfunksjon Geometri AB [ x x, y y ] fr A( x, y ) til B( x, y ) b b cos u u er vinkel mellom og b 2 b tb b b 0 x x0 t ( x 0, y0) er et punkt på linj y y0 bt v [,b] er prllell med linj r( t) [ x( t), y( t)] Vektorfunksjon v( t) r '( t) [ x '( t), y '( t)] Frtsvektor vt ( ) Frt ( t) v '( t) [ x ''( t), y ''( t)] Akselersjonsvektor t ( ) Akselersjon Pytgors setning Formlikhet Periferivinkler Skjæringssetninger for høydene, hlveringslinjene, midtnormlene og medinene i en treknt Sirkellikning: ( x x0) ( y y0) r S( x0, y 0) er sentrum i sirkelen, r er rdius i sirkelen Sirkellikningen må kunne utledes ved hjelp v vektorregning på koordintform og omformes ved hjelp v fullstendige kvdrters metode. Sirkelen må også kunne tegnes som to grfer. Eksmensoppgvene lges ut fr kompetnsemålene i læreplnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kompetnsemål som kn prøves i Del 1. Dersom oppgvetemet krever det, kn mer kompliserte formler bli oppgitt som en del v oppgveteksten i Del 1. Det forutsettes t kndidten behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 29 v 56

30 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i REA3026 Mtemtikk S1 (Formelrket kn ikke brukes på Del 1 v eksmen.) Potenser Kvdrtsetningene og konjugtsetningen Likning v ndre grd Logritmer Vekst og derivsjon Kombintorikk Snnsynlighet p q pq p ( b) b pq q 0 1 p q pq ( ) p 1 p p p p b b ( b) 2b b ( b) 2b b ( b)( b) b 2 2 p p p x bx c 0 x lg 10 lg x x lg lg ( b) lg lg b b b c 2 x b lg b x lg lg x c x 10 c lg lg lg b b Gjennomsnittlig veksthstighet Momentn vekst f( x x) f( x) Definisjon v den deriverte f( x) lim x 0 x Derivsjonsregler for polynomfunksjoner Pscls treknt n! 1 23 n n! n P r n( n 1)... ( n r 1 ) ( n r)! n n! nc r r r! ( n r)! Snnsynlighet ved systemtiske opptellinger Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 30 v 56

31 Binomisk og hypergeometrisk fordeling Hvis binomisk eller hypergeometrisk fordeling inngår i Del 1 v eksmen, vil formlene bli oppgitt slik: Binomisk fordeling: n k P( X k) p (1 p) k nk Antll uvhengige forsøk er n. X er ntll gnger A inntreffer. P(A) = p i hvert forsøk. Hypergeometrisk fordeling: m n m k r k P( X k ) n r m elementer i D. n m elementer i D. r elementer trekkes tilfeldig. X er ntll elementer som trekkes fr D. Eksmensoppgvene lges ut fr kompetnsemålene i læreplnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kompetnsemål som kn prøves i Del 1. Dersom oppgvetemet krever det, kn mer kompliserte formler bli oppgitt som en del v oppgveteksten i Del 1. Det forutsettes t kndidten behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 31 v 56

32 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i REA3024 Mtemtikk R2 (Formelrket kn ikke brukes på Del 1 v eksmen.) Aritmetiske rekker Geometriske rekker Uendelige geometriske rekker Induksjonsbevis Derivsjon Ubestemt integrl Integrsjonsmetoder Bestemt integrl Vektorregning n 1 ( n 1) d 1 n sn n 2 n-1 k n 1 n ( 1) 1 k sn når k 1 k 1 1 s når 1 k 1 1 k Bestemme konvergensområdet for rekker med vrible kvotienter Gjennomføre og gjøre rede for induksjonsbevis Kunne derivere polynomfunksjoner, potensfunksjoner, rsjonle funksjoner, logritmefunksjoner og eksponentilfunksjoner og bruke 1 (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tn x) = 2 cos x = 1 + tn2 x Kunne derivere smmensetninger v funksjoner F( x) f( x) dx betyr t F( x) f( x) 1 r 1 1 d x ln x C x x x e dx e C r r 1 x dx x C når r 1 x 1 x dx C ln cos x dx sin x C sin x dx cos x C 2 (1 tn x) dx tn x C 1 dx tn x C 2 cos x ( u( x) v( x)) d x u( x) d x v( x) dx k u( x) d x k u( x) dx, k er en konstnt x i bsolutt vinkelmål Integrsjon ved vribelskifte, substitusjon Delvis integrsjon Integrsjon ved delbrøkoppsplting med lineære nevnere b f( x) d x F( b) F( ) der F( x) f( x) Tolke det bestemte integrlet i prktiske situsjoner Formel for volum v omdreiningslegemer Regning med vektorer geometrisk som piler i rommet Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 32 v 56

33 [ x, y, z] xex yey zez t[ x, y, z ] = [ tx, ty, tz ] [ x, y, z ] [ x, y, z ] [ x x, y y, z z ] [ x, y, z ] [ x, y, z ] x x y y z z [ x, y, z] x y z [ x, y, z ] [ x, y, z ] x x og y y og z z AB [ x2 x1, y2 y1, z2 z1] fr A( x1, y1, z 1) til B( x2, y2, z 2) Definisjonen v vektorproduktet b Kunne regne ut vektorproduktet b på koordintform Arelet v treknt: 1 2 b Linjer, pln og kuleflter Differensillikninger Trigonometri Volum v tetreder: 1 ( ) 6 b c x x0 t ( x0, y0, z0) er et punkt på linj y y0 bt v [, b, c] er retningsvektor z z0 ct ( x x0) b( y y0) c( z z0) 0 P0 ( x0, y0, z 0) er punkt i plnet, n [, b, c] er normlvektor ( x x0) ( y y0) ( z z0) r S( x0, y0, z 0) er sentrum i kul, r er rdius i kul Avstnd fr punkt til linje Avstnd fr punkt til pln Kunne løse første ordens differensillikninger Kunne løse seprble differensillikninger Kunne løse ndre ordens homogene differensillikninger med konstnte koeffisienter Definisjonen v bsolutt vinkelmål Kunne regne om mellom grder og bsolutt vinkelmål Kunne den generelle definisjonen v sinus, cosinus og tngens Kunne bruke rettvinklede treknter og enhetssirkelen til å bestemme ekskte verdier for sinus, cosinus og tngens til vinkler Kunne bestemme sinus og cosinus til summer og differnser v vinkler Kunne omforme trigonometriske uttrykk v typen sinkx bcos kx, og bruke det til å modellere periodiske fenomener Kunne løse trigonometriske likninger Eksmensoppgvene lges ut fr kompetnsemålene i læreplnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kompetnsemål som kn prøves i Del 1. Dersom oppgvetemet krever det, kn mer kompliserte formler bli oppgitt som en del v oppgveteksten i Del 1. Det forutsettes t kndidten behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 33 v 56

34 Formler som skl være kjent ved Del 1 v eksmen i REA3028 Mtemtikk S2 (Formelrket kn ikke brukes på Del 1 v eksmen.) Aritmetiske rekker Geometriske rekker Uendelige geometriske rekker Fktorisering v ndregrdsuttrykk Polynomer Likninger og likningssett Logritmer Derivsjon Arel under grfer Økonomi Snnsynlighetsfordeling n 1 ( n 1) d 1 n sn n 2 n 1 k n 1 ( n 1) 1 k sn, når k 1 k 1 1 s, når 1 k 1 1 k 2 x bx c ( x x )( x x ) 1 2 Nullpunkter, polynomdivisjon og fktorisering Kunne løse likninger med polynomer og rsjonle funksjoner Kunne løse lineære likningssett med flere ukjente ln x e x og lne x x x lnb b x x ln x ln ln x ln( b) ln lnb e b x lnb ln x c x e c ln lnlnb b Derivsjonsregler for potens-, eksponentil- og logritmefunksjoner Derivsjonsregler for summer, differnser, produkter og kvotienter Kjerneregel Kunne tolke relet under grfer i prktiske situsjoner Grensekostnd: K ( x) Grenseinntekt: I ( x) Utregning v forventningsverdi, vrins og stndrdvvik For en binomisk fordeling X med n forsøk og snnsynlighet p er E() x np og np(1 p) Summen v n uvhengige stokstiske vribler hr forventningsverdi n og stndrdvvik n Kunne regne ut snnsynligheter knyttet til normlfordelinger (Aktuelle deler v tbell over stndrd normlfordeling vil bli oppgitt i Del 1 v eksmen.) Eksmensoppgvene lges ut fr kompetnsemålene i læreplnen, og utvlget v formler ovenfor ngir derfor ikke begrensninger v kompetnsemål som kn prøves i Del 1. Dersom oppgvetemet krever det, kn mer kompliserte formler bli oppgitt som en del v oppgveteksten i Del 1. Det forutsettes t kndidten behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 34 v 56

35 3 Måleenheter. SI-stndrd. 3 Måleenhetene nedenfor er ktuelle i vrierende grd for de ulike eksmenskodene ved sentrlt gitt skriftlig eksmen i mtemtikk. Noen utvlgte SI-grunnenheter 4 Størrelse Grunnenhet Nvn Symbol Lengde meter m Msse kilogrm kg Tid sekund s Elektrisk strøm mpere A Noen vledede SI-enheter uttrykt ved grunnenhetene og supplementenhetene Størrelse Arel SI-enhet Nvn kvdrtmeter Symbol 2 m Volum kubikkmeter 3 m Hstighet meter per sekund m / s Mssekonsentrsjon (mssetetthet) kilogrm per kubikkmeter 3 kg /m Akselersjon meter per sekund i ndre 2 m / s Vinkelhstighet rdin per sekund rd / s Densitet kilogrm per kubikkmeter 3 kg /m Noen vledede SI-enheter som hr eget nvn og symbol Størrelse SI-enhet Uttrykt i Nvn Symbol vledede enheter Pln vinkel rdin rd Frekvens hertz Hz Krft newton N Trykk, spenning pscl P 2 N /m Energi, rbeid, vrme joule J Nm Effekt wtt W J / s grunnenheter og supplementenheter mm 1 s 1 mkg s 2 m m m kg s 1 2 kg s 2 2 kg s I henhold til lov om målenheter, måling og normltid og forskrift om målenheter og måling kpittel 2, 2-1 til 2-10 (Justervesenet). Kilde: (2010). 4 SI = Système Interntionl d Unités (1960), i Norge fr Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 35 v 56

36 Noen utvlgte desimle multipler v SI-enheter (prefikser) Fktorer Prefiks Nvn Symbol ter T 9 10 gig G 6 10 meg M 1000 kilo k 100 hekto h 10 dek d 0,1 deci d 0,01 centi c 0,001 milli m 6 10 mikro μ 9 10 nno n Nvn og symbol for multipler v grunnenheten for msse lges ved å føye prefiksene til betegnelsen grm (g), for eksempel milligrm (mg), hektogrm (hg), etc. Spesielle nvn på visse desimle multipler v SI-enheter Størrelse Enhet Nvn Symbol Uttrykt i SI-enheter Volum liter L L 1 dm 0,001 m Msse tonn t 1 t 1 Mg 1000 kg Fltemål r ml (milliliter), cl (centiliter), dl (desiliter) etc m klles dekr (d) m klles hektr (h) m Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 36 v 56

37 Noen enheter som er definert ut fr SI-enhetene, men som ikke er desimle multipler Størrelse Enhet Nvn Symbol Uttrykt i SI-enheter Tid minutt min 1 min 60 s time h 1 h60 min 3600 s døgn d 1 d24 h s Vinkel grd deg 1 deg π /180 rd minutt ' 1 ' 1 deg / 60 sekund '' 1'' 1'/ m 1 1 km /h m / s 3,6 km /h 1 m / s 3600 s 3,6 π /10800 rd π / rd Andre utvlgte enheter Størrelse Enhet Nvn Symbol, verdi Elektrisk strøm mpere A Termodynmisk tempertur kelvin K Celsiustempertur celsiusgrd C Effekt wtt W Elektrisk spenning volt V Resistns ohm Ω Lengde nutisk mil 1 nutisk mil = 1852 m Hstighet knop 1 knop = 1 nutisk mil per time Ellers vises det til forskrift om måleenheter og måling kpittel 2, 2-1 til 2-10 (Justervesenet). Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 37 v 56

38 4 Symbol- og terminologiliste 5 Nedenfor følger en oversikt over hvilke mtemtiske symboler og hvilken terminologi som kn brukes ved sentrlt gitt skriftlig eksmen i mtemtikk. De ulike symbolene og terminologien kn vriere for de ulike eksmenskodene. Ellers forutsettes symboler og terminologi fr grunnskolen kjent, jf. eksmensveiledningen for MAT0010 Mtemtikk 10. årstrinn. Mengder Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr... Mengden v... Mengde på listeform Mengde Mengde v de... som er slik t... Mengdebygger, f.eks.: 2 Bestem x x 5x 6 0 Løsningsmengde L 2 x 5x 14 0 x 7 x 2 L 7, 2 Elementtegn Er element i... Er ikke element i... Tom mengde Den tomme Mengden hr ingen elementer. mengden L Mengdelikhet... er lik... A B betyr t mengdene hr kkurt de smme elementene. A B ( x)( x A x B) Inklusjon... er delmengde A B betyr t lle elementer i A v... også er elementer i B. Union... union... A B inneholder de elementene som enten er i A eller i B eller i begge. Snitt... snitt... A B inneholder de elementene som er i både A og B. Mengdediffernse \... minus... A\ B inneholder de elementene som er i A og ligger utenfor B. Mengden v de 1, 2, 3,... nturlige tllene Vi kn i tillegg bruke 0 0, 1, 2, 3,... Mengden v de hele tllene... 2, 1, 0, 1, 2,... Mengden v de rsjonle tllene Et rsjonlt tll er v formen b, Mengden v de reelle tllene Mengden v de komplekse tllene, b. Alle tll på tllinjen. : Alle positive, reelle tll. 5 Grunnlget for denne listen er en tidligere symbol- og terminologiliste publisert v Rådet for videregående opplæring og Gyldendl Norsk Forlg 1989 og Jmes Stewrt, Clculus Erly Trnscendentls 7th Edition Stewrt Metric Interntion Version, Brooks/Cole, Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 38 v 56

39 Intervll Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Lukket intervll, b Det lukkede intervllet fr og med til og med b, b x x b Åpent intervll, b Det åpne intervllet, b x x b fr til b Dessuten brukes, b x x b Hlvåpent intervll, b Det hlvåpne intervllet fr og med til b Hlvåpent intervll, b Det hlvåpne intervllet fr til og med b, x x,, b x x b Dessuten brukes, x x, b x x b Dessuten brukes, b x x b Logikk Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Disjunksjon (Veljunksjon) p q... eller... p eller q eller begge er snne. Konjunksjon p q... og smtidig... p og q er begge snne. Impliksjon p q... impliserer... Tilsvrende for q p... medfører... «premiss medfører... hvis... så... konklusjon». v... følger... Ekvivlens p q... hvis og bre hvis; p q p q er ekvivlent med; Impliksjon begge veier er ensbetydende med; biimpliserer Negsjon p ikke p q q p Allkvntor for lle for hvert... Eksistenskvntor... det finnes det eksisterer... eksisterer ikke Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 39 v 56

40 Vektorer Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Vektor En størrelse som hr -vektor både lengde og retning AB AB-vektor Nullvektor Nullvektor Lengde eller bsoluttverdi v en vektor Vinkel mellom vektorer Motstte vektorer Normlvektor Enhetsvektor Ortonormert bsis Vektor på koordintform i plnet Vektor på koordintform i rommet Sklrprodukt (Prikkprodukt) 0 AB (, b) Lengden v... Absoluttverdien v... Vinkel mellom... Den motstte til Normlvektor til... n e ex, e y, e z e1, e2, e 3 x, y (, b) 0, 180 Dessuten brukes ( AB, AC) Vektor med lengde 1 Enhetsvektorene lngs henholdsvis første-, ndre- og tredjeksen Til hvert punkt P ( x, y ) i plnet svrer en vektor OP x, y, der O er origo. x, y, z Til hvert punkt P ( x, y, z) i rommet svrer en vektor b -vektor prikk b-vektor OP x, y, z, der O er origo. Sklrproduktet er et tll. Vektorprodukt (Kryssprodukt) b -vektor kryss b-vektor Vektorproduktet er en vektor. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 40 v 56

41 Geometri Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Vinkel u, v,,,... Vinkel u,... Se også vinkel mellom vektorer. Dessuten brukes u, v,... (, b) Vinkel mellom strålene og b A Vinkel A Brukes gjerne om vinkelen ved hjørnet A i en mngeknt. ABC Vinkel ABC Vinkel med toppunkt B og vinkelbein BA og BC Positiv dreieretning Mot dreieretningen for viserne på en klokke Negtiv dreieretning Med dreieretningen for viserne på en klokke Komplementvinkler u v 90 To vinkler med sum 90 Supplementvinkler u v 180 To vinkler med sum 180 Eksplementvinkler To vinkler med sum 360 Sinus Cosinus Tngens sin cos tn Sinus Cosinus Tngens Det brukes ikke tg for tn. Vinkelrett AB DE Linjestykket AB står vinkelrett på linjestykket DE. Normlt Ortogonlt Perpendikulært Prllellitet AB DE Linjestykket AB er prllelt med linjestykket DE. Treknt ABC Treknt ABC A kn også brukes om Arel v treknt rel. T ABC, F ABC ABC Firknt ABCD Firknt ABCD Formlikhet ABC DEF Treknt ABC er formlik treknt DEF. Kongruens ABC DEF Treknt ABC er kongruent med treknt DEF. Sirkelbue ABC, AC Buen ABC, buen AC Vinklene i de to formlike trekntene er prvis like store. Vinklene og sidene i de to kongruente trekntene er prvis like store. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 41 v 56

42 Funksjonslære Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Ortonormert koordintsystem Også klt krtesisk koordintsystem. Rettvinklet koordintsystem med smme sklering på ksene Førstekse Også klt rgumentkse eller x-kse Andrekse Også klt funksjonskse eller y-kse Førstekoordint x Andrekoordint y f( x) Funksjonsverdi f( x), g( x ),... f v x Argument eller fri vribel x Annet nvn for uvhengig vribel Definisjonsmengde Df, D g,... Definisjonsmengden til f, g,... Verdimengde Vf, V g,... Verdimengden til f, g,... Vf f( x) x Df Grf til funksjon Mengden v punkter ( x, y ) der x Df og Digrm eller grfisk bilde Smmenstt funksjon Strengt voksende Strengt minkende (vtgende) Asymptote Symmetrisk funksjon Invers funksjon Omvendt funksjon y f( x) Koordintsystem med grfen til én eller flere funksjoner inntegnet f( g( x )) f v g v x Også klt funksjonsfunksjon. f er ytre funksjon, og g er indre funksjon. gx ( ) klles kjernen Også klt strengt opptil monoton. Brukes om funksjoner og tllfølger. En funksjon er strengt voksende når x2 x1 f( x2) f( x1) Klles også strengt ned til monoton x2 x1 f( x2) f( x1) Vertikl, horisontl eller skrå symptote Funksjonens grf er symmetrisk om en linje eller et punkt. rcsin, sin, sin Eks.: sin rccos, cos, cos rctn, tn, tn Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 42 v 56

43 Spesielle funksjonstyper Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Konstntfunksjon f( x) Lineær funksjon f( x) x b Et nnet nvn er førstegrdsfunksjon. er stigningstllet til førstegrdsfunksjonen. Andregrdsfunksjon 2 f( x) x bx c Polynomfunksjon v n n1 f( x) nx n 1x n-te grd... 1x 0 Rsjonl funksjon px ( ) p og q er polynomer. fx ( ) qx ( ) Potensfunksjon r f( x) x r Generell x f( x) i x-te eksponentilfunksjon 0 Spesiell ( ) e x n fx 1 eksponentilfunksjon e lim 1 2,718 n n Logritmefunksjon f( x) log g x log-g-x def y y log g x g x g er grunntllet. Briggsk logritme lg Grunntllet er 10. log kn også brukes. Nturlig logritme ln Grunntllet er e. Trigonometrisk f( x) sin x funksjon f( x) sin(2 x) (eksempler) g( x) cos x Trigonometrisk funksjon Stndrdform for tll g( x) cos(2x 1) h( x) tn x h( x) tn(4 x) Absoluttverdifunksjon f( x) x Nullpunkt til en funksjon Rot/røtter i en likning Dobbelt nullpunkt til en funksjon f( x) sin n x Sinus i n-te x n n n sin x (sin x) 10 n 1 10, n Løsning v likningen fx ( ) 0. Løsningen klles også rot i likningen fx ( ) 0. x er et dobbelt nullpunkt til en funksjon f dersom 2 f( x) ( x ) g( x) der g ( ) 0. (, 0) er tngeringspunkt med x-ksen. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 43 v 56

44 Grenseverdi Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Grenseverdi lim fx ( ) Grenseverdien for fx ( ) «lim» kommer v x når x går mot. «limes», som betyr grenseverdi. lim fx ( ) Grenseverdien for fx ( ) Tilsvrende når x går x når x går mot mot minus uendelig. uendelig. Høyresidig lim fx ( ) Grenseverdien for fx ( ) x grenseverdi når x går mot fr Venstresidig grenseverdi Ensidig grenseverdi lim fx ( ) x høyre. Grenseverdien for fx ( ) når x går mot fr venstre. Enten høyresidig eller venstresidig grenseverdi Kontinuitet Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Kontinuitet i et lim f( x) lim f( x) f( ) x x punkt Kontinuitet i et intervll Funksjonen er kontinuerlig i hvert punkt i intervllet. Diskontinuitet Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 44 v 56

45 Derivert Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Argumentdiffernse x,... delt x,... Eller rgumenttilvekst Funksjonsdiffernse y,... delt y,... f( x) f( x x) f( x) fx () delt f v x fx () klles også funksjonstilvekst. Gjennomsnittlig stigningstll, gjennomsnittlig vekstfrt Deriverbrhet i et punkt y x fx ( ) x Deriverbrhet i et intervll Den deriverte f () x f derivert v x Veksthstighet Vekstfrt Kjerneregelen d fx ( ) dx, d ( ) dx fx y, d y dx f () x Differensil d x, d y, Differensiler v høyere orden Differensilkvotient df df (4) f ( x), f ( x), f ( x), f (5) ( x), n dy dx ( n f ) ( x ), f v x derivert Gjennomsnittlig vekstfrt for f mellom rgumentverdiene og x er f( x) f( x) f( ) x x f er kontinuerlig for lim f( x) lim f( x ) x x x Funksjonen er deriverbr i hvert punkt i intervllet. fx ( ) f( x) lim x 0 x f( x x) f( x) lim x 0 x Førstederivert v fx ( ) Regel for å finne den deriverte v en smmenstt funksjon (funksjonsfunksjon) d f( x) f( x)dx dy ydx Er lik y Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 45 v 56

46 Derivert. Fortstt. Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Mksimlverdi fx ( ) mks Også klt loklt mksimum Lokl mksimlverdi Minimlverdi fx ( ) min Også klt loklt minimum Lokl minimlverdi Ekstremlverdier Mksiml- eller minimlverdier Ekstremlpunkter Mksiml- eller minimlpunkter (rgumentet til en ekstremlverdi) Absolutt mksimum y Den største verdien som mks funksjonen kn få i definisjonsmengden Absolutt minimum y Den minste verdien som min funksjonen kn få i definisjonsmengden Kritisk x-verdi En kritisk x-verdi til en funksjon f er et tll c Df (kritisk punkt) slik t enten er f( c) 0 eller så er f () c ikke definert. Hvis f hr et loklt mksimum eller et loklt minimum i c, er c en kritisk x-verdi til f. Toppunkt Et toppunkt er et punkt på grfen med mksimlpunkt og mksimlverdi. Bunnpunkt Et bunnpunkt er et punkt på grfen med minimlpunkt og minimlverdi. Knekkpunkt Et punkt på grfen hvor funksjonen er kontinuerlig, men ikke deriverbr Vendepunkt Et punkt på grfen hvor funksjonen er kontinuerlig, og som skiller mellom to deler v grfen som vender sin hule side opp og sin hule side ned Infleksjonspunkt Argumentet (x-verdien) til et vendepunkt Konkv ned f( x) 0 Grfen hr «hul side ned». Konkv opp (konveks) f( x) 0 Grfen hr «hul side opp». En nnen betegnelse er «konveks». Stsjonært punkt I et stsjonært punkt er f( x) 0. Et stsjonært punkt er et toppunkt eller et bunnpunkt hvis f () x skifter fortegn i punktet. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 46 v 56

47 Terrssepunkt Et terrssepunkt er et stsjonært punkt hvor funksjonen ikke endrer seg fr voksende til minkende eller fr minkende til voksende. Absolutt mksimum og bsolutt minimum: En funksjon f hr bsolutt mksimum i c hvis f( c) f( x) mksimumsverdien til f i x D f. fc () er minimumsverdien til f i f x D. fc () klles f D. En funksjon f hr bsolutt minimum i c hvis f( c) f( x) D f. Her klles fc () ekstremlverdier til f. Loklt mksimum og loklt minimum: En funksjon f hr et loklt mksimum i c hvis det finnes et åpent intervll I om c slik t f( c) f( x) x I. Hvis f hr et loklt mksimum i c, klles fc () for lokl mksimumsverdi. En funksjon f hr et loklt minimum i c hvis det finnes et åpent intervll I om c slik t f( c) f( x) x I. Hvis f hr et loklt minimum i c, klles fc () for lokl minimumsverdi. Fellesbetegnelsen for lokle mksimums- og minimumsverdier til en funksjon f er lokle ekstremlverdier for f. Merk! Med denne definisjonen kn en funksjon f ikke h et loklt mksimum eller et loklt minimum i noen v endepunktene i D f ettersom det ikke finnes et åpent intervll om et endepunkt. Lukket intervll-metode: For å finne bsolutte mksimums- og minimumsverdier til en kontinuerlig funksjon f på et lukket intervll, b : 1. Finn fx-verdier ( ) for kritiske x-verdier til f i, b. 2. Finn fx-verdier ( ) i endepunktene og b. 3. De største fx-verdiene ( ) fr trinn 1 og 2 er bsolutte mksimumsverdier. De minste fx-verdiene ( ) fr trinn 1 og 2 er bsolutte minimumsverdier. Førstederivert-test: Ant t c er en kritisk x-verdi til en kontinuerlig funksjon f. ) Hvis f( x) 0 før c og f( x) 0 etter c, hr f et loklt mksimum i c. b) Hvis f( x) 0 før c og f( x) 0 etter c, hr f et loklt minimum i c. c) Hvis f () x ikke skifter fortegn (hvis f( x) 0 på begge sider v c, eller hvis f( x) 0 på begge sider v c), hr f ikke loklt mksimum eller loklt minimum i c. Fermts teorem: Hvis funksjonen f hr et loklt minimum eller mksimum i c, og hvis f () c eksisterer, så er f( c) 0. NB! Selv om f( c) 0, behøver ikke f h loklt minimum eller loklt mksimum i c. Eksempel: Hvis f( x) 3 x, d er (0) 0 f. Men f hr ikke noe mksimum eller minimum. Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 47 v 56

48 Andrederivert-test: Ant t f er kontinuerlig nær c. ) Hvis f( c) 0 og f( c) 0, hr f et loklt minimum i c. b) Hvis f( c) 0 og f( c) 0, hr f et loklt mksimum i c. Konkvitetstest: ) Hvis f( x) 0 x, b, er grfen til f konkv opp på, b. b) Hvis f( x) 0 x, b, er grfen til f konkv ned på, b. Hvis grfen til f ligger over lle sine tngenter på, b, klles grfen konkv opp på, b. Hvis grfen til f ligger under lle sine tngenter på, b, klles grfen konkv ned på, b. Vendepunkt: Et punkt P på grfen til f klles et vendepunkt hvis f er kontinuerlig der og grfen endrer seg fr konkv opp til konkv ned eller fr konkv ned til konkv opp i P. NB! Selv om f( c) 0 behøver ikke f h et vendepunkt for x c. Eksempel 1 En funksjon f er gitt ved f x x x x D f 3 2 ( ) 3 2 1, [ 4, 2] Grfen til f : y Absolutt mksimum f(2) 19 Toppunkt ( 2,3, 9,3) Loklt mksimum Nullpunkt x 3,6 Vendepunkt ( 1, 5) Infleksjonspunkt x 1 Bunnpunkt (0,3, 0,7) Loklt minimum x Absolutt minimum f( 4) 7 Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 48 v 56

49 Kommentrer til eksempel 1: 1. Nullpunkt til f: f( x) 0 x 3,6 (et nullpunkt er løsningen v likningen fx ( ) 0 ) Når nullpunktet er 3,6, er skjæringspunktet mellom grfen og x-ksen (3,6, 0). 2. Bunnpunkt: (0,3, 0,7) Et punkt på grfen til f. Bunnpunkt består v en lokl minimlverdi ( fx-verdi) ( ) og en kritisk x- verdi. 3. Toppunkt: ( 2,3, 9,3) Et punkt på grfen til f. Toppunkt består v en lokl mksimlverdi ( fx-verdi) ( ) og en kritisk x-verdi. 4. Ekstremlpunkt: Argumentet (x-verdien) til toppunkt og/eller bunnpunkt, jf. punkt 2. og Vendepunkt: ( 1, 5) Et punkt på grfen til f. 6. Infleksjonspunkt: x 1 7. Absolutt mksimum f(2) 19 Største verdi som funksjonen kn få i D [ 4, 2] f 8. Absolutt minimum f( 4) 7 Minste verdi som funksjonen kn få i Df [ 4, 2] Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 49 v 56

50 Eksempel 2 En funksjon f er gitt ved f x x x x D f ( ) , [ 1, 4] Grfen til f: Absolutt mksimum f( 1) 37 y (4) 32 f er verken loklt eller bsolutt mksimum Vendepunkt (0,45, 2,32) Infleksjonspunkt x 0,45 Bunnpunkt (0, 0) Loklt minimum f(0) 0 Nullpunkt x 0 Toppunkt (1, 5) Loklt mksimum f(1) 5 Nullpunkt x 1,61 Nullpunkt x 2,72 x Vendepunkt (2,22, 13,36) Infleksjonspunkt x 2,22 Bunnpunkt Loklt og bsolutt minimum f(3) 27 Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 50 v 56

51 Eksempel 3 En funksjon g er gitt ved g( x) x 3x 1, D f, y Absolutt mksimum g(4) 17 Toppunkt (0, 1) Loklt mksimum g(0) 1 Nullpunkt x 0,65 Nullpunkt x 2,88 x 1 1 g er 2 8 verken et loklt minimum eller et bsolutt minimum Vendepunkt (1, 1) Infleksjonspunkt x 1 Bunnpunkt (2, 3) Loklt og bsolutt minimum g(2) 3 Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 51 v 56