Eksamensrettleiing. om vurdering av eksamenssvar 2018

Transkript

1 Eksmensrettleiing om vurdering v eksmenssvr 2018 Mtemtikk. Sentrlt gitt skriftleg eksmen Studieførebunde og yrkesfglege utdnningsprogrm Kunnskpsløftet LK06 Nynorsk

2 Innhld 1 Vurdering eksmensmodell og vurdering v eksmenssvr 2 Formelrk 3 Måleiningr SI-stndrd 4 Symbol- og terminologiliste Eksmensveiledning, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 3 v 57

3 1 Vurdering v sentrlt gitt skriftleg eksmen i mtemtikk i vidregånde opplæring 2018 Denne eksmensrettleiing gjeld sentrlt gitt skriftleg eksmen i mtemtikk for desse eksmenskodne i vidregånde opplæring 2018: Studieførebunde utdnningsprogrm MAT1011 Mtemtikk 1P MAT1013 Mtemtikk 1T MAT1015 Mtemtikk 2P REA3022 Mtemtikk R1 REA3026 Mtemtikk S1 REA3024 Mtemtikk R2 REA3028 Mtemtikk S2 Yrkesfglege utdnningsprogrm MAT1005 Mtemtikk 2P-Y, påbygging til generell studiekompetnse, yrkesfg Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 4 v 57

4 1.1 Eksmensmodell og eksmensordning Eksmensmodell Eksmen vrer i 5 timr og består v to delr Eksmensordning Eksmen hr ingen førebuingsdel. Del 1 og Del 2 v eksmen skl delst ut smtidig til kndidtne. Etter nøyktig 2 timr eller 3 timr (vhengig v eksmenskode) skl svret v Del 1 leverst inn. Smtidig kn digitle verktøy og ndre hjelpemiddel til bruk i Del 2 tkst frm. I enkelte oppgåver i Del 2 skl kndidten bruke digitle verktøy. Svret v Del 2 skl leverst inn innn 5 timr etter eksmensstrt. Kndidten kn begynne på Del 2 når som helst (men utn hjelpemiddel frm til det hr gått 2 timr eller 3 timr (vhengig v eksmenskode) og svret v Del 1 er levert inn). Vidregånde opplæring (prktisk mtemtikk). Elevr og privtistr. Eksmenskode Krv til digitle verktøy på dtmskin i Del 2 Del 1 Utn hjelpemiddel Del 2 Alle hjelpemiddel MAT1011 Mtemtikk 1P MAT1015 Mtemtikk 2P MAT1005 Mtemtikk 2P-Y 1) Reknerk 2) Grfteiknr 2 timr 3 timr Vidregånde opplæring (teoretisk mtemtikk og mtemtikk progrmfg). Elevr og privtistr. Eksmenskode Krv til digitle verktøy på dtmskin i Del 2 Del 1 Utn hjelpemiddel Del 2 Alle hjelpemiddel MAT1013 Mtemtikk 1T REA3022 Mtemtikk R1 REA3024 Mtemtikk R2 REA3026 Mtemtikk S1 REA3028 Mtemtikk S2 1) CAS* 2) Grfteiknr 3 timr 2 timr *CAS: Computer Algebr System Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 5 v 57

5 1.1.3 Levering v eksmenssvret Levering på ppir Del 1 og Del 2 skl sendst på ppir til sensor som «ekspress over ntt», slik t svret kjem rskst mogleg frm. Del 1 v eksmen i mtemtikk skl svrst på på ppir. Når Del 2 blir levert på ppir, nbefler vi t kndidtne svrer på oppgåver som krev bruk v digitle verktøy, ved å t skjermdumpr frå dei ulike verktøy, lime desse skjermdumpne inn i eit tekstdokument, kommentere og gjere greie for løysingne og så skrive ut tekstdokumentet. Kndidtne må h høve til å t utskrift. Vi presiserer t ein ppirbsert eksmen inkluderer bruk v dtmskin med påkrvd progrmvre. Svret skl d leverst utelukknde på ppir som utskrifter eller som ei blnding v hndskrift og utskrifter Digitl levering v eksmenssvret vi PGS (nbeflt) Svret v Del 1 og Del 2 v eksmen skl lstst opp i PGS. Svret v Del 1 v eksmen i mtemtikk skl først v eleven med penn. Svret v Del 1 må sknnst og lstst opp i PGS v skolen. Del 2 kn bestå v: ein kombinsjon v hndskrift og utskrifter. Del 2 må d sknnst til eitt PDF-dokument og lstst opp i PGS v skolen. digitle dokument som blir lst opp i PGS Kndidtne kn ikkje levere Del 2 delvis på ppir og delvis digitlt. NB! Dersom skolne sknnr Del 1 og lstr hn opp i PGS, står skolne nsvrleg for t lesekvliteten på svret er tilstrekkeleg god etter sknning. Anbefling Ved digitl levering v eksmen nbefler vi t heile svret v Del 2 er sml i éi fil. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 6 v 57

6 1.2 Hjelpemiddel, kommuniksjon og særskild tilrettelegging Hjelpemiddel på Del 1 På Del 1 er skrivesker, pssr, linjl med centimetermål og vinkelmålr dei einste tilltne hjelpemidl. Del 1 v eksmen er ppirbsert. Kndidtne skl skrive med blå eller svrt penn. Konstruksjonsoppgåver skl løysst med pssr, blynt og linjl. Teikning v grfr og skisser kn gjerst nten med penn eller med blynt. På Del 1 er det ikkje tillte å bruke dtmskin. Merk t ved særskild tilrettelegging v eksmen er det heller ikkje tillte å bruke ndre hjelpemiddel enn dei som er spesifiserte over, jf. kpittel Hjelpemiddel på Del 2 Alle hjelpemiddel er i utgngspunktet tilltne, men det er ikkje tillte med progrmvre/verktøy som gjer det mogleg å utveksle informsjon med ndre under eksmen. Skolr og ndre som rrngerer eksmen, kn velje å l kndidtne bruke nettbserte hjelpemiddel som digitle førebuingsdelr og læringsressursr, oppslgsverk og ordbøker, men dette gjeld berre dersom ktuelle IP-dresser blir isolerte Kommuniksjon Under eksmen hr kndidtne ikkje høve til å kommunisere med kvrndre eller utnforstånde Særskild tilrettelegging v eksmen Når det gjeld særskild tilrettelegging v eksmen, viser vi til rundskriv Udir , som er publisert på Utdnningsdirektortets nettsider, Innhldet i eksmensoppgåvene Ved utforming v eksmensoppgåver blir det teke utgngspunkt i kompetnsemål i læreplnen for fget. Integrert i kompetnsemål finn vi dei grunnleggjnde ferdigheitene. Oppgåvesett er bygde opp slik t svret skl gi grunnlg for å vurdere kompetnsen i mtemtikk hos kndidten. Kndidten skl få høve til å vise i kv grd hn eller ho kn t i bruk fglege kunnskpr og ferdigheiter i smbnd med teoretiske problemstillingr og i verkelegheitsnære situsjonr. Oppgåvene i både Del 1 og Del 2 v eksmen inneheld derfor element v ulik vnskegrd. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 7 v 57

7 Sml sett prøver eksmen kndidtne i kompetnsemål frå lle hovudområd i læreplnen, men ikkje nødvendigvis frå lle kompetnsemål i læreplnen Innhld i Del 1 I Del 1 blir det lgt vekt på rekneferdigheiter, omgreps- og tlforståing, evne til resonnement og problemløysing. Del 1 inneheld oppgåver med ulik vnskegrd Formlr i Del 1 Kpittel 2 i denne eksmensrettleiing listr opp formlr som vi føreset er kjende til Del 1 v eksmen. Lærebøker kn h ulike måtr å skrive formlr og symbol på, og det er sjølvsgt opp til den enkelte kndidt og lærr å bruke den skrivemåten ein er vn med. Hovudsk er å kjenne innhldet i formlne og å kunne bruke dei. Dersom kndidtne er vne med å bruke ndre formlr i tillegg til dei som er nemnde i vedlegg, er det sjølvsgt tillte å bruke dei. Merk: Eksmensoppgåvene er lg ut frå kompetnsemål i læreplnen, og utvlet v formlr ngir derfor ikkje vgrensingr v kompetnsemål som kn prøvst i Del 1. Dersom oppgåvetemet krev det, kn meir kompliserte formlr bli oppgitt som ein del v oppgåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t kndidtne beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng Innhld i Del 2 I Del 2 blir det lgt vekt på omgrepsforståing, evne til resonnement, modellering, problemløysing og digitl kompetnse. Del 2 inneheld oppgåver med ulik vnskegrd. Nokre oppgåver i Del 2 v oppgåvesettet skl løysst ved hjelp v bestemte typr digitle verktøy. I ndre oppgåver i Del 2 står kndidten fritt til å velje metode/hjelpemiddel sjølv. Del 2 inneheld oppgåver som prøver den mtemtiske kompetnsen hos kndidtne med ulik kompleksitet. I Del 2 kn det førekomme tem som ikkje lle kndidtr hr førehndskunnskpr om, men problemstillingne og formuleringne i dei enkelte oppgåvene vil nten vere uvhengige v førehndskunnskp om temet, eller så vil dei bli følgde v ei forklring som kn knyte oppgåv til temet. Del 2 består v ein del oppgåver som igjen er delte inn i fleire delspørsmål. Oppgåvene og dei fleste delspørsmål vil kunne løysst uvhengig v kvrndre. Likevel kn det førekomme Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 8 v 57

8 oppgåver der svret på eitt delspørsmål skl brukst i det neste, og så vidre. Formålet med smnhengnde delspørsmål i ei oppgåve er å hjelpe kndidtne på veg i problemløysing. Del 2 kn også innehlde formlr og liknnde som kn frmstå som nye utfordringr for kndidtne. Del 2 vil ofte innehlde meir tekst og illustrsjonr enn Del 1. Oppgåvene i både Del 1 og Del 2 skl formulerst slik t dei frmstår som klre problemstillingr i ei så enkel språkdrkt som mogleg. Det er forvent t kndidtne kjenner vnlege ord, uttrykk og omgrep frå det norske språket som inngår i smbnd med mtemtiske omgrep og problemstillingr og i kommuniksjonen v problemløysing. I oppgåveformuleringne skl det helst brukst korte setningr. Fguttrykk skl berre brukst der det er nødvendig. Illustrsjonr, i form v bilete og teikningr, skl støtte opp under lesing og forståing v oppgåvene. 1.4 Språket i eksmensoppgåvene Ved formuleringr som «Finn», «Løys» og «Bestem» er det ikkje lgt opp til bruk v bestemte frmgngsmåtr eller hjelpemiddel. Kndidten kn velje å løyse oppgåv grfisk, ved rekning (lgebrisk) eller ved å bruke ulike kommndor i digitle verktøy. Her hr kndidten full metodefridom. Del 2 vil ikkje innehlde oppgåveformuleringr som «Finn / Løys / Bestem ved rekning» eller «Rekn ut». I enkelte oppgåver i Del 2 vil kndidtne bli bedt om å bruke «reknerk», «grfteiknr» eller «CAS» for å løyse oppgåv. I ndre oppgåver i Del 2 kn kndidtne bruke den metoden / det hjelpemiddelet / det digitle verktøyet som dei finn formålstenleg. Dersom det oppstår tvil og ulike oppftningr v oppgåveteksten, vil sensorne vere opne for rimelege tolkingr. 1.5 Frmgngsmåte og forklring Der oppgåveteksten ikkje seier noko nn, kn kndidten sjølv velje frmgngsmåte og hjelpemiddel. Dersom oppgåv krev ein bestemt løysingsmetode, vil også ein lterntiv metode kunne gi noko utteljing. I nokre oppgåver vil ein «prøve-og-feile»-metode vere nturleg. For å få full utteljing ved bruk v ein slik metode må kndidten rgumentere for strtegien og vise ei systemtisk tilnærming. Frmgngsmåte, utrekning og forklring skl belønnst også om resulttet ikkje er riktig. Ved følgjefeil skl sensor likevel gi utteljing dersom den vidre frmgngsmåten er riktig og oppgåv ikkje blir urimeleg forenkl. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 9 v 57

9 Dersom kndidten bruker grfiske løysingsmetodr, må kndidten rgumentere for løysing og forklre figuren. Nødvendig mellomrekning og forklring er påkrvd for å vise kv som er gjort, både i Del 1 og i Del 2 v eksmen. Evn til å kommunisere mtemtikk er viktig her. Kndidten skl presentere løysingne på ein ryddig, oversiktleg og tydeleg måte. Mngel på konklusjon, nemning, bruk v nødvendig notsjon og liknnde kn føre til lågre utteljing ved sensuren. Dersom kndidten ikkje hr med frmgngsmåten, men berre eit korrekt svr, skl ein gi noko utteljing for dette sjølv om kndidten hr vist mnglnde kommuniksjonskompetnse. Ved meir opne oppgåveformuleringr er det spesielt viktig t kndidten grunngir tolking v oppgåv og vlet v løysingsstrtegi. Mellomrekning og mellomresultt må tkst med i rimeleg omfng også når kndidten bruker digitle verktøy. Når kndidtne bruker digitle verktøy, kn dei for eksempel t skjermdump v det som er gjort i det digitle verktøyet, lime det inn i eit tekstdokument og så knyte nødvendige kommentrr til løysing. For eksempel på frmgngsmåte og grunngiving ved bruk v CAS og ndre digitle verktøy, sjå for eksempel desse dokument som er publiserte på Utdnningsdirektortets heimesider: «Eksempeloppgåve MAT1011 Mtemtikk 1P Ny eksmensordning våren 2015» «Eksempeloppgåve REA3024 Mtemtikk R2 Ny eksmensordning våren 2015» Dersom ei oppgåve krev bruk v eit digitlt verktøy og kndidten ikkje bruker det digitle verktøyet, oppnår hn/ho låg/noko utteljing ved sensuren dersom oppgåv elles hr eit korrekt svr. 1.6 Andre kommentrr Konstruksjon i Del 1 for REA3022 Mtemtikk R1 Konstruksjonsoppgåver skl løysst med pssr, blynt og linjl. Det er generelt ikkje noko krv om hjelpefigur, men kndidten skl lltid gi ei konstruksjonsforklring. Svr på konstruksjonsoppgåver bør skje på blnkt ppir, slik t konstruksjonen kjem frm så klrt som mogleg. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 10 v 57

10 1.6.2 Grfteikning og skisser i Del 1 Teikning v grfr og skisser kn gjerst nten med penn eller med blynt. Det skl gå klrt frm v den grfiske frmstilling kv skl som er brukt, og kv størrelse som kn lesst v, på kvr v ksne. Det er generelt ikkje noko krv om verditbell over utrekn funksjonsverdir, med mindre det er spurt spesielt om det i oppgåv. Dersom kndidtne blir bedt om å skissere ein grf, er det tilstrekkeleg t dei skisserer form på kurv i svret. Her blir det ikkje stilt så store krv til nøyktigheit som ved teikning v grfr, men det er viktig t sentrle punkt (som for eksempel null-, botn-, toppog vendepunkt) kjem klrt frm. På skiss/teikning v grfen skl vlesingr mrkerst tydeleg. Når omgrepet «skisse» blir brukt i smbnd med teikningr, grfr og liknnde, er det ikkje snkk om ei nøyktig teikning i riktig målestokk. Kndidtne kn d ikkje utn vidre måle på sjølve skiss for å svre på oppgåv. Når kndidtne blir bedt om å bestemme eventuelle topp-, botn- eller vendepunkt på grfen til ein funksjon, ei drøfting v funksjonen, kn dei nten bruke forteiknslinjer og drøfte den deriverte og/eller den dobbeltderiverte, eller på nnn måte gjere greie for form på grfen Digitle verktøy på Del 2 v eksmen Det er ein føresetnd t kndidtne er kjende med ulike digitle verktøy, og t dei kn bruke desse verktøy på ein formålstenleg måte under Del 2 v eksmen. Dtmskin med digitle verktøy er obligtorisk å bruke i lle eksmenskodne: Eksmenskode MAT1011 Mtemtikk 1P MAT1015 Mtemtikk 2P MAT1005 Mtemtikk 2P-Y Dtmskin med digitlt verktøy Reknerk Grfteiknr MAT1013 Mtemtikk 1T REA3022 Mtemtikk R1 REA3024 Mtemtikk R2 REA3026 Mtemtikk S1 REA3028 Mtemtikk S2 CAS Grfteiknr Vi nbefler mest mogleg oppdtert progrmvre instllert på dtmskin. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 11 v 57

11 Dynmisk geometriprogrm (progrmvre på dtmskin). Ikkje obligtorisk. Dynmisk geometriprogrm kn brukst til å teikne geometriske figurr. Det er spesielt i eksmenskoden REA3022 Mtemtikk R1 t denne typen digitle verktøy kn vere ktuelt å bruke. Denne typen progrmvre er ikkje obligtorisk å bruke. Ved teikning v geometriske figurr med dynmisk geometriprogrm («Teikn») under Del 2 v eksmen er det tillte å bruke lle funksjonststr/kommndor direkte i progrmvr. Eksempel på slike er funksjonststr/kommndor som teiknr normlr, hlverer vinklr, lgr midtnorml, teiknr prllelle linjer, og så vidre. Kndidtne må leggje ved ei oversikt over kv som er gjort i progrmvr, i svret sitt. Kndidtne vil bli prøvde i klssisk konstruksjon med pssr og linjl under Del 1, jf. kpittel I Del 2 kn det for eksempel stå «teikn eller konstruer». Kndidtne kn d velje om dei vil bruke dynmisk geometriprogrm eller konstruere med pssr og linjl. Vi bruker ikkje ordet «konstruer» når vi opnr opp for dynmisk geometriprogrm. D føretrekkjer vi «teikn» i stden Grfteiknr (progrmvre på dtmskin). Obligtorisk. Ein digitl grfteiknr finst i mnge vrintr og skl brukst i lle skriftlege eksmenskodr i mtemtikk. Det skl gå klrt frm v den grfiske frmstilling kv skl som er brukt, og kv størrelse som kn lesst v, på kvr v ksne. Det er ein fordel t funksjonsuttrykket som er tst inn i grfteiknren, kjem frm, slik t sensor enklre kn vurdere grfteikning. Dersom kndidtne bruker ein slik grfteiknr, treng dei ikkje å oppgi verken verditbell eller frmgngsmåte (korleis dei hr gått frm for å teikne grfen). Kndidtne må oppgi kv kommndor som er brukte for å bestemme skjeringspunkt, ekstremlpunkt, stigingstl og ndre verdir som oppgåv spør etter. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 12 v 57

12 Frå Eksmen MAT1015 Mtemtikk 2P Våren 2017, Oppgåve 1 i Del 2: Funksjonen V gitt ved V( x) 0,064x 4 2,41x 3 28,4x 2 105x 39, 0 x 18 viser vss-stnden Vx ( ) centimeter over eller under middelvtn x timr etter midntt i Tromsø ein dg. ) Bruk grfteiknr til å teikne grfen til V. b) Vis t vss-stnden er c. 40 cm under middelvtn éin time etter midntt og c. 31 cm over middelvtn 12 timr etter midntt. c) Bestem forskjellen mellom høgste og lågste vss-stnd i perioden frå midntt og frm til klokk d) Bestem den momentne vekstfrten til funksjonen V klokk Gi ei prktisk tolking v dette svret. Eksempel på svr med grfteiknr: ) Eit tydeleg, klrt bilete v grfen til V innnfor definisjonsområdet. Det går frm v den grfiske frmstilling kv skl som er brukt, og kv størrelse som kn lesst v, på kvr v ksne. T også gjerne med funksjonsuttrykket som er tst inn. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 13 v 57

13 b) Eg l inn linjene x 1 og x 12 og fnn skjeringspunkt mellom linjene og grfen. Skjeringspunkt (1, 39,9) og (12, 31,2) viser t vss-stnden er c. 40 cm under middelvtn éin time etter midntt og c. 31 cm over middelvtn 12 timr etter midntt. Sjå koordintsystemet ovnfor. c) Eg brukte kommndoen «Ekstremlpunkt» og fnn botnpunket (2,7, 81,5) og toppunktet (9,6, 59,7). Så koordintsystemet ovnfor. Forskjellen mellom høgste og lågste vss-stnd er 59,7cm ( 81,5cm) 141,2cm d) Eg fnn tngenten i punktet (7, V (7)) og stigingstlet til denne tngenten ved å bruke kommndone «Tngent(7,V)» og «Stigning». Sjå koordintsystemet ovnfor. Den momentne vekstfrten i punktet er stigingstlet til denne tngenten. Den momentne vekstfrten er 26,1 cm/h. Det betyr t vss-stnden klokk er i ferd med å stige med 26,1 cm per time. Kndidtne kn svre kortftt på spørsmål ved å vise til grfteikning. Det er ikkje nødvendig å t med frmgngsmåte for korleis grfen er kommen frm. Verditbell er ikkje eit krv. Det er ein fordel t kndidtne får frm kv funksjonsuttrykk dei hr tst inn i progrmmet. Dei etterspurde punkt bør komme frm med koordintr CAS Computer Algebr System (progrmvre på dtmskin). Obligtorisk. CAS er å forstå som ein symbolbehndlnde (og numerisk) klkultor. CAS skl brukst i eksmenskodne for 1T, R1, R2, S1 og S2. Eksmenskndidtne skl dokumentere bruken v CAS. Vi nbefler t dei tek ein skjermdump som dei limr inn i eit tekstdokument. Kndidtne må så knyte nødvendige kommentrr til utrekningne i CAS-verktøyet og konkludere i forhold til problemstilling. Eksmenskndidtne må sjølve finne riktig setning, kommndo eller stille opp ei riktig likning. Deretter kn CAS brukst direkte. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 14 v 57

14 Frå «Eksempeloppgåve REA3024 Mtemtikk R2 Ny eksmensordning våren 2015», oppgåve 2 i Del 2: Ei rett linje går gjennom punkt A(0, R ) og B ( h, r ). Sjå figur 1. Ei rett vkort kjegle kjem frm ved å rotere linjestykket AB 360 om x-ksen. Sjå figur 2. A(0, R ) O B ( h, r ) r Figur 1 Figur 2 ) Vis t linj gjennom A og B hr likning r R y x R h b) Bruk CAS til å vise t volumet V v den rett vkort kjegl er h V R Rr r ( ) Eksempel på svr med krv til CAS i oppgåve 2 b): ) Den rette linj går gjennom punkt A(0, R ) og B ( h, r ). b) Eg ser t dette er det sme uttrykket som er gitt i oppgåv. I linje 3 ser eg t uttrykket er det sme som er gitt i oppgåv. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 15 v 57

15 I oppgåve b) skl kndidtne bruke CAS. Viss ikkje vil kndidten berre få noko utteljing ved sensuren. I denne oppgåv krevst det ikkje forklrnde tekst utover å dokumentere det som er gjort i CAS. I ndre oppgåver og svr kn det vere nødvendig å knyte nokre korte kommentrr til enkelte utrekningr i CAS. Frå «Eksempeloppgåve MAT1013 Mtemtikk 1T Ny eksmensordning våren 2015», oppgåve 5 i Del 2: Funksjonen f er gitt ved 10 f( x) 5, x 0 2 x Punktet A hr koordintne 0, 0, punktet B ligg på x - ksen, punktet C ligg på grfen til f, og B 90. Bruk CAS til å bestemme den ekskte verdien v x slik t relet v Kor stort blir relet d? ABC blir minst mogleg. Funksjonen F gir relet v treknten. Eg finn eventuelle stsjonære punkt ved å løyse likning F( x) 0. Eg tek stikkprøver og ser t den deriverte går frå å vere negtiv til å vere positiv. Funksjonen hr d eit botnpunkt for x 2. Arelet er minst mogleg når x 2. Arelet er d 5 2. Vi viser elles til publiserte eksempeloppgåver i eksmenskodne for 1T, R1, S1, R2 og S2 for fleire eksempel på oppgåver som krev bruk v CAS. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 16 v 57

16 Reknerk (progrmvre på dtmskin). Obligtorisk. Det skl brukst reknerk i eksmenskodne for 1P, 2P og 2P-Y. Ved bruk v reknerk bør kndidten i størst mogleg grd bruke formlr, slik t løysing blir dynmisk, det vil seie t løysing endrr seg dersom tl i ei oppgåve blir endr. Ei løysing der formlne som er brukte, ikkje kjem klrt frm, vil få låg utteljing ved sensuren. Eksmenskndidtne skl dokumentere bruken v reknerk. Vi nbefler t dei først tek ein skjermdump v sjølve reknerket og limr inn i eit tekstdokument. Etterpå må det tkst ein skjermdump også v formlne som er brukte. Hugs å få med rd- og kolonneoverskrifter. Eventuelt kn formlne som er brukte, skrivst inn i svret. Om kndidtr som leverer svret v Del 2 på ppir, ønskjer å skrive ut reknerket direkte, skl utskrift h med rd- og kolonneoverskrifter. Kndidtne må d også t ei formelutskrift. Hugs t utskriftene må vere identifiserbre, det vil seie t dei inneheld oppgåvenummer, nmnet på skolen og kndidtnummer. Sjølv om det er det fglege innhldet som primært skl vurderst, vil også presentsjonen v løysing bli vurdert (kommuniksjonskompetnse). Vi viser til «Eksempeloppgåve MAT1011 Mtemtikk 1P Ny eksmensordning våren 2015» for eksempel på bruk v reknerk. Kndidtne bør lge reknerkmodellne sjølve, og bruken v formlr blir vurdert i forhold til om reknerket er «dynmisk», dvs. t dersom vi endrr inndt, endrr også utdt seg utomtisk, slik t det blir enkelt å bruke det sme reknerket om igjen til liknnde oppgåver. Det er derfor ikkje lltid formålstenleg eller ein fordel å bruke ferdigmodellr Digitle verktøy og mtemtisk symbolbruk I digitle verktøy kn mtemtisk symbolbruk vvike noko frå den klssiske symbolnotsjonen. Eksempel på dette er /, *, ^, 4.5E06 og så vidre. Dette er godkjend notsjon, og kndidtne må ikkje trekkjst for dette under sensuren. Meir klssisk (og korrekt) notsjon, og symbol- og formlismekompetnse blir prøvd i Del 1 v eksmen. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 17 v 57

17 1.7 Kommentrr til kjenneteikn på måloppnåing Bkgrunnen for kjenneteikn på måloppnåing er St.meld. nr. 30 ( ), som slår fst t når det blir innført nye læreplnr med mål for kompetnsen til elevne (Kunnskpsløftet), vil ei stndrdbsert (kriteriebsert) vurdering leggjst til grunn for eksmenskrkterne. Kjenneteikn på måloppnåing uttrykkjer i kv grd eleven hr nådd kompetnsemål i læreplnen. Mtemtikkompetnsen som kjenneteikn beskriv, er delt inn i tre ktegorir: omgrep, forståing og ferdigheiter problemløysing kommuniksjon Innhldet i desse ktegorine beskrive mtemtikkompetnse på tvers v kompetnsemål i læreplnen og er meint å vere til hjelp for det fglege skjønnet til sensor når elevprestsjonen skl vurderst. Dei tre ktegorine kn ikkje forståst kvr for seg, men er ngitt slik for å gi ei oversikt, slik t sensor lettre skl få eit heilskpsinntrykk v svret. Kjenneteikn for lle tre ktegorine gjeld for både Del 1 og Del 2 v eksmen. Omgrep, forståing og ferdigheiter Denne ktegorien er ein viktig og grunnleggjnde del v mtemtikkompetnsen. God kunnskp her er vgjernde for å kunne tkle større og meir smnsette utfordringr. Kjenneteikn i denne ktegorien beskriv i kv grd eleven kjenner, forstår og hndterer mtemtiske omgrep. Vidre er det forvent t eleven kn vkode, omsetje og behndle mellom nn symbol og formlr. Det er ikkje berre snkk om bokstvrekning og løysing v likningr, men også om tlsymbol, mtemtiske teikn og formelle sider ved elementær rekning. For eksempel er det ikkje lov å skrive 6 5 eller 6 3. Vidre er 2 (3 4) ikkje det sme 2 2 som 2 3 4, og 2 er ikkje det sme som ( 2). I denne ktegorien inngår også det å forstå og hndtere ulike representsjonr v omgrep. For eksempel kn π (pi) representerst ved hjelp v symbolet π eller som ein uendeleg desimlbrøk 3, eller som ei rsjonl tilnærming (for eksempel brøkne eller 71 ) eller geometrisk som omkretsen v ein sirkel med dimeter 1, osv. Eit nn eksempel er omgrepet lineær funksjon, som kn representerst som eit funksjonsuttrykk eller ein regel y f ( x) 2x 1, som ein teikn grf i eit koordintsystem, som ein verditbell med verdir for x og y, som eit geometrisk objekt, for eksempel den rette linj som går gjennom punkt (0, 1) og (2,3), eller lgebrisk som løysingsmengd til ei likning, for eksempel 3y6x 3 0. Problemløysing Denne ktegorien seier noko om evn eleven hr til å løyse ulike problemstillingr. «Problem» må ein her forstå vidt frå enkle, rutinemessige oppgåver til større, meir smnsette problem. Det er ltså snkk om korleis eleven bruker kunnskpr og ferdigheiter på ulike mtemtiske problemstillingr og ser smnhengr i fget og mellom hovudområd i læreplnen. «Problem» kn ein også forstå reltivt. Det som er eit problem for éin elev, kn opplevst som elementært for ndre elevr, vhengig v nivået eleven er på. Denne ktegorien vil også beskrive kompetnsen hos eleven når det gjeld modellering i kv grd eleven kn lge, t i bruk og vurdere modellr. Det kn for eksempel dreie seg om å betrkte ein vekstfunksjon eller undersøkje kostndene ved å bruke mobiltelefon. I denne ktegorien er det også nturleg å vurdere i kv grd eleven er kjend med ulike hjelpemiddel og kn bruke desse hjelpemidl på Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 18 v 57

18 ein formålstenleg måte under eksmen. Vidre er det nturleg å vurdere i kv grd eleven viser mtemtisk tnkegng, og om eleven hr evne til å vurdere svr i smbnd med ulike mtemtiske problemstillingr. Kommuniksjon Denne ktegorien beskriv mellom nn i kv grd eleven klrer å setje seg inn i ein mtemtisk tekst, og i kv grd eleven kn uttrykkje seg i mtemtikk ved hjelp v det mtemtiske symbolspråket. Det er viktig t eleven viser frmgngsmåtr, rgumenterer og forklrer den mtemtiske løysing. Dette er spesielt viktig i smbnd med bruk v digitle verktøy. *** *** *** Ktegorien «Problemløysing» er den mest sentrle ktegorien for vurderingsgrunnlget til sensor, men det er også viktig t kjenneteikn på måloppnåing i lle tre ktegorine blir sett i smnheng og ikkje kvr for seg. Det er ikkje «vsstette skott» mellom ktegorine, heller flytnde overgngr. Kjenneteikn på måloppnåing skl gi informsjon om kv det blir lgt vekt på i vurdering v elevprestsjonen. Dei skl vidre beskrive kvliteten på den kompetnsen elevne viser (kv dei meistrr), ikkje mngel på kompetnse. Kjenneteikn beskriv kvliteten på den mtemtiske kompetnsen til elevne på tvers v hovudområd og kompetnsemål i læreplnen Ved å bruke kjenneteikn på måloppnåing og eventuelt poeng kn sensor dnne seg eit bilete v eller lge ein profil over den mtemtiske kompetnsen eleven hr vist. Ktegorine v mtemtikkompetnse inneheld kjenneteikn knytte til tre ulike krkternivå: «låg» kompetnse (krkteren 2) «nokså god» / «god» kompetnse (krkterne 3 og 4) «mykje god» / «frmifrå» kompetnse (krkterne 5 og 6) Målet med kjenneteikn er å gi ein peikepinn, ei retning for korleis sensor skl vurdere prestsjonen, og er ikkje nødvendigvis ei «millimeterpresis» beskriving v ulike kompetnsenivå. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 19 v 57

19 Kjenneteikn på måloppnåing Mtemtikk fellesfg og progrmfg i vidregånde opplæring Kompetnse Krkteren 2 Krkterne 3 og 4 Krkterne 5 og 6 Eleven Eleven Eleven Omgrep, forståing og ferdigheiter forstår ein del grunnleggjnde omgrep beherskr ein del enkle, stndrdiserte frmgngsmåtr forstår dei fleste grunnleggjnde omgrep og viser eksempel på forståing v smnhengr i fget beherskr dei fleste enkle, stndrdiserte frmgngsmåtr, hr middels god rekneteknikk og bruk v mtemtisk formspråk, viser eksempel på logiske resonnement og bruk v ulike mtemtiske representsjonr forstår lle grunnleggjnde omgrep, kombinerer omgrep frå ulike område på ein sikker måte og hr god forståing v djupre smnhengr i fget er sikker i rekneteknikk, logiske resonnement, bruk v mtemtisk formspråk og bruk v ulike mtemtiske representsjonr Eleven Eleven Eleven viser eksempel på å kunne løyse enkle problemstillingr med utgngspunkt i tekstr, figurr og prktiske og enkle situsjonr løyser dei fleste enkle og ein del middels kompliserte problemstillingr med utgngspunkt i tekstr, figurr og prktiske situsjonr, og viser eksempel på bruk v fgkunnskp i nye situsjonr utforskr problemstillingr, stiller opp mtemtiske modellr og løyser oppgåver med utgngspunkt i tekstr, figurr og nye og komplekse situsjonr Problemløysing klrer iblnt å plnleggje enkle løysingsmetodr eller utsnitt v meir kompliserte metodr klrer delvis å plnleggje løysingsmetodr i fleire steg og å gjere fornuftige ntkingr er sikker i plnlegging v løysingsmetodr i fleire steg og formulering v ntkingr knytte til løysing, viser kretivitet og originlitet kn vgjere om svr er rimelege, i ein del enkle situsjonr kn ofte vurdere om svr er rimelege er sikker i vurdering v svr, kn reflektere over om metodr er formålstenlege viser eksempel på bruk v hjelpemiddel knytte til enkle problemstillingr bruker hjelpemiddel på ein formålstenleg måte i ein del smnhengr er sikker i vurdering v kv moglegheiter og vgrensingr hjelpemidl hr, og i vl mellom hjelpemiddel kn bruke hjelpemiddel til å sjå ein del enkle mønster klrer delvis å bruke digitle verktøy til å finne mtemtiske smnhengr kn bruke digitle verktøy til å finne mtemtiske smnhengr, og kn setje opp hypotesr ut frå det Eleven Eleven Eleven Kommuniksjon presenterer løysingr på ein enkel måte, for det meste med uformelle uttrykksformer presenterer løysingr på ein forholdsvis smnhengnde måte med forklrnde tekst i eit delvis mtemtisk formspråk presenterer løysingr på ein oversiktleg, systemtisk og overtydnde måte med forklrnde tekst i eit mtemtisk formspråk Krkteren 1 uttrykkjer t eleven hr svært låg kompetnse i fget. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 20 v 57

20 1.8 Vurdering v oppnådd kompetnse Vurdering i mtemtikk Læreplnne og forskrift til opplæringslov er grunndokument for vurderingsrbeidet. Forskrift til opplæringslov 3-25 og 4-18 slår fst: Eksmen skl orgniserst slik t eleven/deltkren eller privtisten kn få vist kompetnsen sin i fget. Eksmenskrkteren skl fstsetjst på individuelt grunnlg og gi uttrykk for kompetnsen til eleven/deltkren eller privtisten slik den kjem frm på eksmen. Kompetnse er i denne smnhengen definert som evn til å møte ei kompleks utfordring eller utføre ein kompleks ktivitet eller oppgåve. 1 Eksmensoppgåvene blir utform slik t dei prøver denne kompetnsen. Grunnlget for å vurdere kompetnsen elevne viser i eksmenssvret, er kompetnsemål i læreplnen for fg. 2 Dei grunnleggjnde ferdigheitene er integrerte i kompetnsemål i lle læreplnne for fg. Grunnleggjnde ferdigheiter vil derfor kunne prøvst indirekte til sentrlt gitt eksmen. Grunnleggjnde ferdigheiter utgjer ikkje eit sjølvstendig vurderingsgrunnlg. Forskrift til opplæringslov 3-4 og 4-4 hr generelle krkterbeskrivingr for grunnopplæring: ) Krkteren 6 uttrykkjer t eleven hr frmifrå kompetnse i fget. b) Krkteren 5 uttrykkjer t eleven hr mykje god kompetnse i fget. c) Krkteren 4 uttrykkjer t eleven hr god kompetnse i fget. d) Krkteren 3 uttrykkjer t eleven hr nokså god kompetnse i fget. e) Krkteren 2 uttrykkjer t eleven hr låg kompetnse i fget. f) Krkteren 1 uttrykkjer t eleven hr svært låg kompetnse i fget. Sensuren v eksmensoppgåvene er kriteriebsert. Sensorne skl vurdere kv eleven kn, frmfor å finne ut kv eleven ikkje kn. Når sensor bruker poeng, skl ein gi utteljing for det eleven hr prestert, ikkje poengtrekk for det eleven ikkje hr fått til. Det er sjeldn utn verdi t eleven løyser oppgåv på ein nnn måte enn den det i utgngspunktet blir bedt om i oppgåveteksten, sjølv om svret d ikkje kn betrktst som fullgodt. Dersom det oppstår tvil om ulike oppftningr v oppgåveteksten, vil sensorne vere opne for rimelege tolkingr. 1 St.meld. nr. 30 ( ) Kultur for læring. 2 Forskrift til opplæringslov 3-3 og 4-3. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 21 v 57

21 Den endelege krkteren skl byggje på det fglege skjønnet til sensor og på ei sml vurdering v prestsjonen til kndidten bsert på kjenneteikn på måloppnåing. Krkterfstsetjing kn derfor ikkje utelukknde vere bsert på ein poengsum eller på feil og mnglr ved prestsjonen. Poenggrenser ved sensuren er rettleinde og må stå i eit rimeleg forhold til kjenneteikn på måloppnåing. Bruk v poeng og poenggrenser er, som tidlegre nemnt, berre rettleinde i vurdering. Sensor må sjå nærmre på kv oppgåver kndidten oppnår poeng på, ikkje berre på ein poengsum. Krkteren blir fstsett etter ei sml vurdering v Del 1 og Del 2. Sensor vurderer derfor, med utgngspunkt i kjenneteikn på måloppnåing, i kv grd kndidten viser rekneferdigheiter og mtemtisk forståing gjennomfører logiske resonnement ser smnhengr i fget, er oppfinnsm og kn t i bruk fgkunnskp i nye situsjonr kn bruke formålstenlege hjelpemiddel vurderer om svr er rimelege forklrer frmgngsmåtr og grunngir svr skriv oversiktleg og er nøyktig med utrekningr, nemningr, tbellr og grfiske frmstillingr Sensorrettleiing og vurderingsskjem Utdnningsdirektortet publiserer sensorrettleiingr på eksmensdgen i lle eksmenskodr i mtemtikk. Smn med sensorrettleiingne blir det også publisert vurderingsskjem som sensorne skl bruke. Formålet med desse publiksjonne er å støtte opp om den sentrle sensuren og sikre ein rettferdig sensur. Sensorrettleiing og vurderingsskjemet blir publiserte på eksmensdgen, etter t eksmen i den ktuelle fgkoden er hlden. Desse dokument blir lgde ut på Utdnningsdirektortets nettsider. Sensorrettleiing inneheld kommentrr til oppgåvene og retningslinjer til sensor om vurdering. Vi føreset t lle sensorr følgjer rettleiing. Sensorrettleiing og vurderingsskjemet inneheld poengfordeling for kvr fgkode. Alle sensorne må følgje denne poengfordeling i sensuren sin. NB! Bruk v poeng er berre rettleinde i vurdering. Krkteren blir fstsett ut frå ei heilskpsvurdering v svret, bruk v kjenneteikn på måloppnåing og det fglege skjønnet til sensor i smsvr med førehndssensurrpporten. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 22 v 57

22 1.8.3 Førehndssensur og førehndssensurrpport Som tidlegre blir det ved våreksmen hlde førehndssensur på bkgrunn v førsteinntrykk frå sensorne nokre få dgr etter eksmen i fget. På bkgrunn v dette blir det utrbeidd ein førehndssensurrpport som blir publisert på nettsidene til Utdnningsdirektortet, på sme std som sensorrettleiing. Førehndssensurrpportne er til sensorne og er ikkje eit endeleg resultt v sensuren. Førehndssensurrpporten kn innehlde justeringr v sensorrettleiingne som blir publiserte på eksmensdgen. Vi føreset t lle sensorr følgjer rettleiing i førehndssensurrpporten. Førehndssensurrpporten vil vnlegvis innehlde poengfordeling og poenggrenser. Alle sensorne må følgje denne poengfordeling i sensuren sin. NB! Bruk v poeng er berre rettleinde i vurdering. Krkteren blir fstsett på bkgrunn v ei sml vurdering v svret, bruk v kjenneteikn på måloppnåing og det fglege skjønnet til sensor i smsvr med førehndssensurrpporten. Alle sensorr er forplikt til å følgje ll rettleiing frå Utdnningsdirektortet, det vil seie eksmensrettleiing inkludert kjenneteikn på måloppnåing sensorrettleiing og vurderingsskjem førehndssensurrpporten Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 23 v 57

23 2 Formelrk. Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen. Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i MAT1011 Mtemtikk 1P (Formelrket kn ikkje brukst på Del 1 v eksmen.) Rektngel A g h Treknt gh A 2 Prllellogrm A g h Trpes b h A ( ) 2 2 Sirkel A r Prisme V G h Sylinder V r 2 h O 2 r Geometri Formlikskp Målestokk Pytgors setning Proporsjonlitet Rette linjer y x b Vekstfktor Proporsjonle størrelsr Omvendt proporsjonle størrelsr p p Økonomi Snnsyn Prisindeks Kroneverdi Rellønn Snnsyn ved systemtiske oppteljingr P( A) 1 P( A) P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige Eksmensoppgåvene blir lg ut frå kompetnsemål i læreplnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kompetnsemål som kn prøvst i Del 1. Dersom oppgåvetemet krev det, kn meir kompliserte formlr bli oppgitt som ein del v oppgåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t kndidten beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 24 v 57

24 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i MAT1015 Mtemtikk 2P (Formelrket kn ikkje brukst på Del 1 v eksmen.) Potensr Stndrdform Vekstfktor Sttistikk p q pq p p p p ( b) b pq q 0 1 p q pq ( ) p 1 p p p p b b n k 10 1 k 10 og n er et helt tll p p Gjennomsnitt Medin Eksmensoppgåvene blir lg ut frå kompetnsemål i læreplnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kompetnsemål som kn prøvst i Del 1. Dersom oppgåvetemet krev det, kn meir kompliserte formlr bli oppgitt som ein del v oppgåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t kndidten beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 25 v 57

25 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i MAT1005 Mtemtikk 2P Yrkesfg Påbygging til generell studiekompetnse (Formelrket kn ikkje brukst på Del 1 v eksmen.) Stndrdform Potensr Vekstfktor n k 10 1 k 10 og n er et helt tll p q pq p q p q ( ) p p q pq b b p p p p ( b) b 0 p 1 p p p 1 p Rette linjer y x b Snnsyn ved systemtiske oppteljingr P( A) 1 P( A) Snnsyn P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige Sttistikk Gjennomsnitt Medin Eksmensoppgåvene blir lg ut frå kompetnsemål i læreplnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kompetnsemål som kn prøvst i Del 1. Dersom oppgåvetemet krev det, kn meir kompliserte formlr bli oppgitt som ein del v oppgåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t kndidten beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 26 v 57

26 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i MAT1013 Mtemtikk 1T (Formelrket kn ikkje brukst på Del 1 v eksmen.) Stndrdform k 10 1 k 10 og n er et helt tll Vekstfktor p p n Rette linjer Potensr y x b y2 y1 x2 x1 y y ( x x ) 1 1 p q pq p q p q ( ) p p q pq b b p p ( b) b 0 p 1 p p p 1 p Kvdrtsetningne og konjugtsetning Likning v ndre grd Logritmr Vekst og derivsjon Trigonometri i rettvinkl trekntr ( b) 2b b ( b) 2b b ( b)( b) b b b 4c x bx c 0 x 2 b lg lg x b x lg x c x 10 c Gjennomsnittleg veksthstigheit Momentn veksthstigheit f( x x) f( x) Definisjon v den deriverte f( x) lim x 0 x Derivsjonsregel for polynomfunksjonr motstående ktet sinv hypotenus hosliggende ktet cosv hypotenus motstående ktet tnv hosliggende ktet Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 27 v 57

27 Trigonometri Trigonometri Snnsyn Kunne bruke rettvinkl trekntr til å bestemme ekskte verdir for sinus, cosinus og tngens til vinklr Arel 1 bc sin A 2 2 b 2 c 2 2bccos A sin A B C sin sin b c Snnsyn ved systemtiske oppstillingr P( A) 1 P( A) P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige Eksmensoppgåvene blir lg ut frå kompetnsemål i læreplnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kompetnsemål som kn prøvst i Del 1. Dersom oppgåvetemet krev det, kn meir kompliserte formlr bli oppgitt som ein del v oppgåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t kndidten beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 28 v 57

28 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i REA3022 Mtemtikk R1 (Formelrket kn ikkje brukst på Del 1 v eksmen.) Likning v ndre grd Fktorisering v ndregrdsuttrykk Polynom Logritmr Grenseverdir Derivsjon Kombintorikk Snnsyn Vektorrekning x bx c 0 x b b c 2 2 x bx c ( x x )( x x ) 1 2 Nullpunkt og polynomdivisjon lg x 10 x lg x x lg lg( b) lg lg b lg lg lg b b x b b x lg lg e ln ln x x x x ln ln( b) ln lnb ln lnlnb b x b b x ln ln x x 10 b x lg b e b x ln b c c lg x c x 10 ln x c x e Utrekning v grenseverdir Horisontle og vertikle symptotr f( x x) f( x) Definisjon v den deriverte f( x) lim x 0 x Derivsjonsreglr for potens-, kvdrtrot-, eksponentil- og logritmefunksjonr Derivsjonsreglr for sum, differnse, produkt og kvotient Kjerneregel n! 1 23 n n! n P r n( n 1)... ( n r 1 ) ( n r)! n n! nc r r r! ( n r)! Snnsyn ved systemtiske oppstillingr P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige P( AB) P( A) P( B A) P( A B) P( B) P( B) Rekning med vektorr geometrisk som piler i plnet [ x, y] xe ye x y t[ x, y] [ tx,ty] [ x 1, y1] [ x 2, y2] [ x1 x 2, y1 y2] [ x, y ] [ x, y ] x x y y [ x, y ] x y 2 2 [ x, y ] [ x, y ] x x og y y Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 29 v 57

29 Vektorfunksjon Geometri AB [ x x, y y ] frå A( x, y ) til B( x, y ) b b cos u u er vinkel mellom og b 2 b tb b b 0 x x0 t ( x 0, y0) er et punkt på linj y y0 bt v [,b] er prllell med linj r( t) [ x( t), y( t)] Vektorfunksjon v( t) r '( t) [ x '( t), y '( t)] Frtsvektor vt ( ) Frt ( t) v '( t) [ x ''( t), y ''( t)] Akselersjonsvektor t ( ) Akselersjon Pytgors setning Formlikskp Periferivinklr Skjeringssetningr for høgdene, hlveringslinjene, midtnormlne og medinne i ein treknt Sirkellikning: ( x x0) ( y y0) r S( x0, y 0) er sentrum i sirkelen, r er rdius i sirkelen Sirkellikning må kunne utleist ved hjelp v vektorrekning på koordintform og omformst ved hjelp v metoden med fullstendige kvdrt. Sirkelen må også kunne teiknst som to grfr. Eksmensoppgåvene blir lg ut frå kompetnsemål i læreplnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kompetnsemål som kn prøvst i Del 1. Dersom oppgåvetemet krev det, kn meir kompliserte formlr bli oppgitt som ein del v oppgåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t kndidten beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 30 v 57

30 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i REA3026 Mtemtikk S1 (Formelrket kn ikkje brukst på Del 1 v eksmen.) Potensr Kvdrtsetningne og konjugtsetning Likning v ndre grd Logritmr Vekst og derivsjon Kombintorikk Snnsyn p q pq p ( b) b pq q 0 1 p q pq ( ) p 1 p p p p b b ( b) 2b b ( b) 2b b ( b)( b) b 2 2 p p p x bx c 0 x lg 10 lg x x lg lg ( b) lg lg b b b c 2 x b lg b x lg lg x c x 10 c lg lg lg b b Gjennomsnittleg veksthstigheit Momentn vekst f( x x) f( x) Definisjon v den deriverte f( x) lim x 0 x Derivsjonsreglr for polynomfunksjonr Pscls treknt n! 1 23 n n! n P r n( n 1)... ( n r 1 ) ( n r)! n n! nc r r r! ( n r)! Snnsyn ved systemtiske oppteljingr Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 31 v 57

31 Binomisk og hypergeometrisk fordeling Dersom binomisk eller hypergeometrisk fordeling inngår i Del 1 v eksmen, vil formlne bli oppgitt slik: Binomisk fordeling: n k P( X k) p (1 p) k Tlet på uvhengige forsøk er n. X er tlet på gonger A inntreffer. P(A) = p i kvrt forsøk. nk Hypergeometrisk fordeling: m n m k r k P( X k ) n r m element i D. n m element i D. r element blir trekte tilfeldig. X er tlet på element som blir trekte frå D. Eksmensoppgåvene blir lg ut frå kompetnsemål i læreplnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kompetnsemål som kn prøvst i Del 1. Dersom oppgåvetemet krev det, kn meir kompliserte formlr bli oppgitt som ein del v oppgåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t kndidten beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 32 v 57

32 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i REA3024 Mtemtikk R2 (Formelrket kn ikkje brukst på Del 1 v eksmen.) Aritmetiske rekkjer Geometriske rekkjer Uendelege geometriske rekkjer Induksjonsbevis Derivsjon Ubestemt integrl Integrsjonsmetodr Bestemt integrl Vektorrekning n 1 ( n 1) d 1 n sn n 2 n-1 k n 1 n ( 1) 1 k sn når k 1 k 1 1 s når 1 k 1 1 k Bestemme konvergensområdet for rekkjer med vrible kvotientr Gjennomføre og gjere greie for induksjonsbevis Kunne derivere polynomfunksjonr, potensfunksjonr, rsjonle funksjonr, logritmefunksjonr og eksponentilfunksjonr og bruke 1 (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tn x) = 2 cos x = 1 + tn2 x Kunne derivere smnsetningr v funksjonr F( x) f( x) dx betyr t F( x) f( x) 1 r 1 1 d x ln x C x x x e dx e C r r 1 x dx x C når r 1 x 1 x dx C ln cos x dx sin x C sin x dx cos x C 2 (1 tn x) dx tn x C 1 dx tn x C 2 cos x ( u( x) v( x)) d x u( x) d x v( x) dx k u( x) d x k u( x) dx, k er ein konstnt x i bsolutt vinkelmål Integrsjon ved vribelskifte, substitusjon Delvis integrsjon Integrsjon ved delbrøkoppsplting med lineære nemnrr b f( x) d x F( b) F( ) der F( x) f( x) Tolke det bestemte integrlet i prktiske situsjonr Formel for volum v omdreiingslekmr Rekning med vektorr geometrisk som piler i rommet Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 33 v 57

33 [ x, y, z] xex yey zez t[ x, y, z ] = [ tx, ty, tz ] [ x1, y1, z1] [ x2, y2, z2] [ x1 x2, y1 y2, z1 z2] [ x, y, z ] [ x, y, z ] x x y y z z [ x, y, z] x y z [ x, y, z ] [ x, y, z ] x x og y y og z z AB [ x2 x1, y2 y1, z2 z1] frå A( x1, y1, z 1) til B( x2, y2, z 2) Definisjonen v vektorproduktet b Kunne rekne ut vektorproduktet b på koordintform Arelet v treknt: 1 2 b Linjer, pln og kuleflter Differensillikningr Trigonometri Volum v tetreder: 1 ( ) 6 b c x x0 t ( x0, y0, z0) er et punkt på linj y y0 bt v [, b, c] er retningsvektor z z0 ct ( x x0) b( y y0) c( z z0) 0 P0 ( x0, y0, z 0) er punkt i plnet, n [, b, c] er normlvektor ( x x0) ( y y0) ( z z0) r S( x0, y0, z 0) er sentrum i kul, r er rdius i kul Avstnd frå punkt til linje Avstnd frå punkt til pln Kunne løyse differensillikningr v første orden Kunne løyse seprble differensillikningr Kunne løyse homogene differensillikningr v ndre orden med konstnte koeffisientr Definisjonen v bsolutt vinkelmål Kunne rekne om mellom grder og bsolutt vinkelmål Kunne den generelle definisjonen v sinus, cosinus og tngens Kunne bruke rettvinkl trekntr og einingssirkelen til å bestemme ekskte verdir for sinus, cosinus og tngens til vinklr Kunne bestemme sinus og cosinus til summr og differnsr v vinklr Kunne omforme trigonometriske uttrykk v typen sinkx bcos kx, og bruke det til å modellere periodiske fenomen Kunne løyse trigonometriske likningr Eksmensoppgåvene blir lg ut frå kompetnsemål i læreplnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kompetnsemål som kn prøvst i Del 1. Dersom oppgåvetemet krev det, kn meir kompliserte formlr bli oppgitt som ein del v oppgåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t kndidten beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 34 v 57

34 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i REA3028 Mtemtikk S2 (Formelrket kn ikkje brukst på Del 1 v eksmen.) Aritmetiske rekkjer Geometriske rekkjer Uendelege geometriske rekkjer Fktorisering v ndregrdsuttrykk Polynom Likningr og likningssett Logritmr Derivsjon Arel under grfr Økonomi Snnsynsfordeling n 1 ( n 1) d 1 n sn n 2 n 1 k n 1 ( n 1) 1 k sn, når k 1 k 1 1 s, når 1 k 1 1 k 2 x bx c ( x x )( x x ) 1 2 Nullpunkt, polynomdivisjon og fktorisering Kunne løyse likningr med polynom og rsjonle funksjonr Kunne løyse lineære likningssett med fleire ukjende ln x e x og lne x x x lnb b x x ln x ln ln x ln( b) ln lnb e b x lnb ln x c x e c ln lnlnb b Derivsjonsreglr for potens-, eksponentil- og logritmefunksjonr Derivsjonsreglr for summr, differnsr, produkt og kvotientr Kjerneregel Kunne tolke relet under grfr i prktiske situsjonr Grensekostnd: K ( x) Grenseinntekt: I ( x) Utrekning v forventningsverdi, vrins og stndrdvvik For ei binomisk fordeling X med n forsøk og snnsyn p er E() x np og np(1 p) Summen v n uvhengige stokstiske vriblr hr forventningsverdi n og stndrdvvik n Kunne rekne ut snnsyn knytte til normlfordelingr (Aktuelle delr v tbell over stndrd normlfordeling vil bli oppgitt i Del 1 v eksmen.) Eksmensoppgåvene blir lg ut frå kompetnsemål i læreplnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kompetnsemål som kn prøvst i Del 1. Dersom oppgåvetemet krev det, kn meir kompliserte formlr bli oppgitt som ein del v oppgåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t kndidten beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 35 v 57

35 3 Måleiningr. SI-stndrd. 3 Måleiningne under er ktuelle i vriernde grd for dei ulike eksmenskodne ved sentrlt gitt skriftleg eksmen i mtemtikk. Nokre utvlde SI-grunneiningr 4 Størrelse Grunneining Nmn Symbol Lengd meter m Msse kilogrm kg Tid sekund s Elektrisk strum mpere A Nokre vleidde SI-einingr uttrykte ved grunneiningne og supplementeiningne Størrelse Arel Volum SI-eining Nmn kvdrtmeter kubikkmeter Symbol 2 m 3 m Hstigheit meter per sekund m / s Mssekonsentrsjon (mssetettleik) kilogrm per kubikkmeter 3 kg /m Akselersjon meter per sekund i ndre 2 m / s Vinkelhstigheit rdin per sekund rd / s Densitet kilogrm per kubikkmeter 3 kg /m Nokre vleidde SI-einingr som hr eige nmn og symbol Størrelse SI-eining Uttrykt i Nmn Symbol vleidde einingr Pln vinkel rdin rd Frekvens hertz Hz Krft newton N Trykk, spenning pscl P 2 N /m Energi, rbeid, vrme joule J Nm Effekt wtt W J / s grunneiningr og supplementeiningr mm 1 s 1 mkg s 2 m m m kg s 1 2 kg s 2 2 kg s I smsvr med lov om målenheter, måling og normltid og forskrift om målenheter og måling kpittel 2, 2-1 til 2-10 (Justervesenet). Kjelde: (2010). 4 SI = Système Interntionl d Unités (1960), i Noreg frå Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 36 v 57

36 Nokre utvlde desimle multiplr v SI-einingr (prefiks) Fktorr Prefiks Nmn Symbol ter T 9 10 gig G 6 10 meg M 1000 kilo k 100 hekto h 10 dek d 0,1 deci d 0,01 centi c 0,001 milli m 6 10 mikro μ 9 10 nno n Nmn og symbol for multiplr v grunneining for msse blir lg ved å føye prefiks til nemning grm (g), for eksempel milligrm (mg), hektogrm (hg), etc. Spesielle nmn på visse desimle multiplr v SI-einingr Størrelse Eining Nmn Symbol Uttrykt i SI-einingr Volum liter L L 1 dm 0,001 m Msse tonn t 1 t 1 Mg 1000 kg Fltemål r ml (milliliter), cl (centiliter), dl (desiliter) etc m kllr vi dekr (d) m kllr vi hektr (h) m Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 37 v 57

37 Nokre einingr som er definerte ut frå SI-einingne, men som ikkje er desimle multiplr Størrelse Eining Nmn Symbol Uttrykt i SI-einingr Tid minutt min 1 min 60 s time h 1 h60 min 3600 s døgn d 1 d24 h s Vinkel grd deg 1 deg π /180 rd minutt ' 1 ' 1 deg / 60 sekund '' 1'' 1'/ m 1 1 km /h m / s 3,6 km /h 1 m / s 3600 s 3,6 π /10800 rd π / rd Andre utvlde einingr Størrelse Eining Nmn Symbol, verdi Elektrisk strum mpere A Termodynmisk tempertur kelvin K Celsiustempertur celsiusgrd C Effekt wtt W Elektrisk spenning volt V Resistns ohm Ω Lengd nutisk mil 1 nutisk mil = 1852 m Hstigheit knop 1 knop = 1 nutisk mil per time Elles viser vi til forskrift om måleeiningr og måling kpittel 2, 2-1 til 2-10 (Justervesenet). Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 38 v 57

38 4 Symbol- og terminologiliste 5 Under følgjer ei oversikt over kv mtemtiske symbol og kv terminologi som kn brukst ved sentrlt gitt skriftleg eksmen i mtemtikk. Dei ulike symbol og terminologien kn vriere for dei ulike eksmenskodne. Vi føreset elles t kndidtne er kjende med symbol og terminologi frå grunnskolen, jf. eksmensrettleiing for MAT0010 Mtemtikk 10. årstrinn. Mengder Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr... Mengd v... Mengd på listeform Mengd Mengd v dei... som er slik t... Mengdebyggjr, f.eks.: 2 Bestem x x 5x 6 0 Løysingsmengd L 2 x 5x 14 0 x 7 x 2 L 7, 2 Elementteikn Er element i... Er ikkje element i... Tom mengd Den tomme mengd Mengd hr ingen element. L Mengdelikskp... er lik... A B betyr t mengdene hr kkurt dei sme element. A B ( x)( x A x B) Inklusjon... er delmengd A B betyr t lle element i A også v... er element i B. Union... union... A B inneheld dei element som nten er i A eller i B eller i begge. Snitt... snitt... A B inneheld dei element som er i både A og B. Mengdediffernse \... minus... A\ B inneheld dei element som er i A og ligg utnfor B. Mengd v dei 1, 2, 3,... nturlege tl Vi kn i tillegg bruke 0 0, 1, 2, 3,... Mengd v dei heile tl... 2, 1, 0, 1, 2,... Mengd v dei rsjonle tl Eit rsjonlt tl er v form b, Mengd v dei reelle tl Mengd v dei komplekse tl, b. Alle tl på tllinj. : Alle positive, reelle tl 5 Grunnlget for denne list er ei tidlegre symbol- og terminologiliste publisert v Rådet for vidregånde opplæring og Gyldendl Norsk Forlg 1989 og Jmes Stewrt, Clculus Erly Trnscendentls 7th Edition Stewrt Metric Interntion Version, Brooks/Cole, Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 39 v 57

39 Intervll Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Lukk intervll, b Det lukk intervllet frå og med til og med b, b x x b Opent intervll, b Det opne intervllet, b x x b frå til b Dessutn blir brukt:, b x x b Hlvopent intervll, b Det hlvopne intervllet frå og med til b Hlvopent intervll, b Det hlvopne intervllet frå til og med b, x x,, b x x b Dessutn blir brukt:, x x, b x x b Dessutn blir brukt, b x x b Logikk Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Disjunksjon (Veljunksjon) p q... eller... p eller q eller begge er snne. Konjunksjon p q... og smtidig... p og q er begge snne. Impliksjon p q... impliserer... Tilsvrnde for q p... medfører... «premiss medfører... viss... så... konklusjon» v... følgjer... Ekvivlens p q... viss og berre viss; p q p q er ekvivlent med; Impliksjon begge vegr er det sme som; biimpliserer Negsjon p ikkje p q q p Allkvntor for lle for kvrt... Eksistenskvntor... det finst det eksisterer... eksisterer ikkje Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 40 v 57

40 Vektorr Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Vektor Ein størrelse som hr -vektor både lengd og retning AB AB-vektor Nullvektor Lengd eller bsoluttverdi v ein vektor Vinkel mellom vektorr Motsette vektorr Normlvektor Einingsvektor Ortonormert bsis Vektor på koordintform i plnet Vektor på koordintform i rommet Sklrprodukt (Prikkprodukt) 0 AB (, b) Nullvektor Lengd v... Absoluttverdien v... Vinkel mellom... Den motsette til n Normlvektor til... e ex, e y, e z e1, e2, e 3 x, y (, b) 0, 180 Dessutn blir brukt: ( AB, AC) Vektor med lengd 1 Einingsvektorne lngs høvesvis første-, ndreog tredjeksen Til kvrt punkt P ( x, y ) i plnet svrer ein vektor OP x, y, der O er origo. x, y, z Til kvrt punkt P ( x, y, z) i rommet svrer ein vektor b -vektor prikk b-vektor OP x, y, z, der O er origo. Sklrproduktet er eit tl. Vektorprodukt (Kryssprodukt) b -vektor kryss b-vektor Vektorproduktet er ein vektor. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 41 v 57

41 Geometri Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Vinkel u, v,,,... Vinkel u,... Sjå også vinkel mellom vektorr. Dessutn blir brukt: u, v,... (, b) Vinkel mellom strålne og b A Vinkel A Blir gjerne brukt om vinkelen ved hjørnet A i ein mngeknt ABC Vinkel ABC Vinkel med toppunkt B og vinkelbein BA og BC Positiv dreieretning Mot dreieretning for visrne på ei klokke Negtiv dreieretning Med dreieretning for visrne på ei klokke Komplementvinklr u v 90 To vinklr med sum 90 Supplementvinklr u v 180 To vinklr med sum 180 Eksplementvinklr To vinklr med sum 360 Sinus Cosinus Tngens sin cos tn Sinus Cosinus Tngens Det blir ikkje brukt tg for tn. Vinkelrett AB DE Linjestykket AB står vinkelrett på linjestykket DE. Normlt Ortogonlt Perpendikulært Prllellitet AB DE Linjestykket AB er prllelt med linjestykket DE. Treknt ABC Treknt ABC A kn også brukst om Arel v treknt rel. T ABC, F ABC ABC Firknt ABCD Firknt ABCD Formlikskp ABC DEF Treknt ABC er formlik treknt DEF. Kongruens ABC DEF Treknt ABC er kongruent med treknt DEF. Sirkelboge Bogen ABC, bogen ABC, AC AC Vinklne i dei to formlike trekntne er prvis like store. Vinklne og sidene i dei to kongruente trekntne er prvis like store. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 42 v 57

42 Funksjonslære Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Ortonormert koordintsystem Også kll krtesisk koordintsystem. Rettvinkl koordintsystem med sme sklering på ksne Førstekse Også kll rgumentkse eller x-kse Andrekse Også kll funksjonskse eller y-kse Førstekoordint x Andrekoordint y f( x) Funksjonsverdi f( x), g( x ),... f v x Argument eller fri vribel x Ann nmn for uvhengig vribel Definisjonsmengd Df, D g,... Definisjonsmengd til f, g,... Verdimengd Vf, V g,... Verdimengd til f, g,... Vf f( x) x Df Grf til funksjon Mengd v punkt ( x, y ) der x Df og y f( x) Digrm eller grfisk bilete Koordintsystem med grfen til éin eller fleire funksjonr innteikn Smnsett funksjon f( g( x )) f v g v x Også kll funksjonsfunksjon. f er ytre funksjon, og g er indre funksjon. gx ( ) kllr vi kjernen. Strengt veksnde Også kll strengt opptil monoton. Blir brukt om funksjonr og tlfølgjer. Ein funksjon er strengt veksnde når x2 x1 f( x2) f( x1) Strengt minknde (vtknde) Blir også kll strengt ned til monoton x2 x1 f( x2) f( x1) Asymptote Vertikl, horisontl eller skrå symptote Symmetrisk funksjon Grfen til funksjonen er symmetrisk om ei linje eller eit punkt. Invers funksjon rcsin, sin, sin Omvend funksjon Eks.: sin rccos, cos, cos rctn, tn, tn Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 43 v 57

43 Spesielle funksjonstypr Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Konstntfunksjon f( x) Lineær funksjon f( x) x b Eit nn nmn er førstegrdsfunksjon. er stigingstlet til førstegrdsfunksjonen. Andregrdsfunksjon 2 f( x) x bx c Polynomfunksjon v n n1 f( x) nx n 1x n-te grd... 1x 0 Rsjonl funksjon px ( ) p og q er polynom. fx ( ) qx ( ) Potensfunksjon r f( x) x r Generell x f( x) i x-te eksponentilfunksjon 0 Spesiell ( ) e x n fx 1 eksponentilfunksjon e lim 1 2,718 n n Logritmefunksjon f( x) log g x log-g-x def y y log g x g x g er grunntlet. Briggsk logritme lg Grunntlet er 10. log kn også brukst. Nturleg logritme ln Grunntlet er e. Trigonometrisk f( x) sin x funksjon f( x) sin(2 x) (eksempel) g( x) cos x Trigonometrisk funksjon Stndrdform for tl g( x) cos(2x 1) h( x) tn x h( x) tn(4 x) Absoluttverdifunksjon f( x) x Nullpunkt til ein funksjon Rot/røter i ei likning Dobbelt nullpunkt til ein funksjon f( x) sin n x Sinus i n-te x n n n sin x (sin x) 10 n 1 10, n Løysing v likning fx ( ) 0. Løysing blir også kll rot i likning fx ( ) 0. x er eit dobbelt nullpunkt til ein funksjon f dersom 2 f( x) ( x ) g( x) der g ( ) 0. (, 0) er tngeringspunkt med x-ksen. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 44 v 57

44 Grenseverdi Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Grenseverdi lim fx ( ) Grenseverdien for fx ( ) «lim» kjem v «limes», x når x går mot som betyr grenseverdi. lim fx ( ) Grenseverdien for fx ( ) Tilsvrnde når x går x når x går mot mot minus uendeleg uendeleg Høgresidig lim fx ( ) Grenseverdien for fx ( ) x grenseverdi når x går mot frå høgre Venstresidig lim fx ( ) Grenseverdien for fx ( ) x grenseverdi Einsidig grenseverdi når x går mot frå venstre Anten høgresidig eller venstresidig grenseverdi Kontinuitet Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Kontinuitet i eit lim f( x) lim f( x) f( ) x x punkt Kontinuitet i eit intervll Funksjonen er kontinuerleg i kvrt punkt i intervllet. Diskontinuitet Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 45 v 57

45 Derivert Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Argumentdiffernse x,... delt x,... Eller rgumenttilvekst Funksjonsdiffernse y,... delt y,... f( x) f( x x) f( x) fx () delt f v x fx () Blir også kll funksjonstilvekst. Gjennomsnittleg stigingstl, gjennomsnittleg vekstfrt Deriverbrheit i eit punkt y x fx ( ) x Deriverbrheit i eit intervll Den deriverte f () x f derivert v x Veksthstigheit Vekstfrt Kjerneregelen d fx ( ) dx, d ( ) dx fx y, d y dx f () x Differensil d x, d y, Differensil v høgre orden Differensilkvotient df df (4) f ( x), f ( x), f ( x), f (5) ( x), n dy dx ( n f ) ( x ), f v x derivert Gjennomsnittleg vekstfrt for f mellom rgumentverdine og x er f( x) f( x) f( ) x x f er kontinuerleg for x lim f( x) lim f( x ) x x Funksjonen er deriverbr i kvrt punkt i intervllet. fx ( ) f( x) lim x 0 x f( x x) f( x) lim x 0 x Førstederivert v fx ( ) Regel for å finne den deriverte v ein smnsett funksjon (funksjonsfunksjon) d f( x) f( x)dx dy ydx Er lik y Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 46 v 57

46 Derivert. Frmhld. Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Mksimlverdi fx ( ) mks Også kll loklt Lokl mksimum mksimlverdi Minimlverdi fx ( ) min Også kll loklt minimum Lokl minimlverdi Ekstremlverdir Mksiml- eller minimlverdir Ekstremlpunkt Mksiml- eller minimlpunkt (rgumentet til ein ekstremlverdi) Absolutt mksimum y Den største verdien som mks funksjonen kn få i definisjonsmengd Absolutt minimum y Den minste verdien som min funksjonen kn få i definisjonsmengd Kritisk x-verdi Ein kritisk x-verdi til ein funksjon f er eit tl (kritisk punkt) c D f slik t nten er f( c) 0 eller så er f () c ikkje definert. Dersom f hr eit loklt mksimum eller eit loklt minimum i c, er c ein kritisk x-verdi til f. Toppunkt Eit toppunkt er eit punkt på grfen med mksimlpunkt og mksimlverdi. Botnpunkt Eit botnpunkt er eit punkt på grfen med minimlpunkt og minimlverdi. Knekkpunkt Eit punkt på grfen der funksjonen er kontinuerleg, men ikkje deriverbr Vendepunkt Eit punkt på grfen der funksjonen er kontinuerleg, og som skil mellom to delr v grfen som vender den hole sid opp og den hole sid ned Infleksjonspunkt Argumentet (x-verdien) til eit vendepunkt Konkv ned f( x) 0 Grfen hr «hol side ned». Konkv opp (konveks) f( x) 0 Grfen hr «hol side opp». Ei nn nemning er «konveks». Stsjonært punkt I eit stsjonært punkt er f( x) 0. Eit stsjonært punkt er eit toppunkt eller eit botnpunkt dersom f () x skiftr forteikn i punktet. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 47 v 57

47 Terrssepunkt Eit terrssepunkt er eit stsjonært punkt der funksjonen ikkje endrr seg frå veksnde til minknde eller frå minknde til veksnde. Absolutt mksimum og bsolutt minimum: Ein funksjon f hr bsolutt mksimum i c dersom f( c) f( x) mksimumsverdien til f i x D f. fc () er minimumsverdien til f i f x D. fc () kllr vi f D. Ein funksjon f hr bsolutt minimum i c dersom f( c) f( x) D f. Her kllr vi fc () ekstremlverdir til f. Loklt mksimum og loklt minimum: Ein funksjon f hr eit loklt mksimum i c dersom det finst eit opent intervll I om c slik t f( c) f( x) x I. Dersom f hr eit loklt mksimum i c, kllr vi fc () for lokl mksimumsverdi. Ein funksjon f hr eit loklt minimum i c dersom det finst eit opent intervll I om c slik t f( c) f( x) x I. Dersom f hr eit loklt minimum i c, kllr vi fc () for lokl minimumsverdi. Fellesnemning for lokle mksimums- og minimumsverdir til ein funksjon f er lokle ekstremlverdir for f. Merk! Med denne definisjonen kn ein funksjon f ikkje h eit loklt mksimum eller eit loklt minimum i nokon v endepunkt i D f ettersom det ikkje finst eit opent intervll om eit endepunkt. Lukk intervll-metode: For å finne bsolutte mksimums- og minimumsverdir til ein kontinuerleg funksjon f på eit lukk intervll, b : 1. Finn fx-verdir ( ) for kritiske x-verdir til f i, b. 2. Finn fx-verdir ( ) i endepunkt og b. 3. Dei største fx-verdine ( ) frå trinn 1 og 2 er bsolutte mksimumsverdir. Dei minste fx-verdine ( ) frå trinn 1 og 2 er bsolutte minimumsverdir. Førstederivert-test: Gå ut frå t c er ein kritisk x-verdi til ein kontinuerleg funksjon f. ) Dersom f( x) 0 før c og f( x) 0 etter c, hr f eit loklt mksimum i c. b) Dersom f( x) 0 før c og f( x) 0 etter c, hr f eit loklt minimum i c. c) Dersom f () x ikkje skiftr forteikn (dersom f( x) 0 på begge sider v c, eller dersom f( x) 0 på begge sider v c), hr f ikkje loklt mksimum eller loklt minimum i c. Fermts teorem: Dersom funksjonen f hr eit loklt minimum eller mksimum i c, og som f () c eksisterer, så er f( c) 0. NB! Sjølv om f( c) 0, treng ikkje f h loklt minimum eller loklt mksimum i c. Eksempel: Dersom f( x) 3 x, d er (0) 0 f. Men f hr ikkje noko mksimum eller minimum. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 48 v 57

48 Andrederivert-test: Gå ut frå t f er kontinuerleg nær c. ) Dersom f( c) 0 og f( c) 0, hr f eit loklt minimum i c. b) Dersom f( c) 0 og f( c) 0, hr f eit loklt mksimum i c. Konkvitetstest: ) Dersom f( x) 0 x, b, er grfen til f konkv opp på, b. b) Dersom f( x) 0 x, b, er grfen til f konkv ned på, b. Dersom grfen til f ligg over lle sine tngentr på, b, kllr vi grfen konkv opp på, b. Dersom grfen til f ligg under lle sine tngentr på, b, kllr vi grfen konkv ned på, b. Vendepunkt: Eit punkt P på grfen til f kllr vi eit vendepunkt dersom f er kontinuerleg der og grfen endrr seg frå konkv opp til konkv ned eller frå konkv ned til konkv opp i P. NB! Sjølv om f( c) 0 treng ikkje f h eit vendepunkt for x c. Eksempel 1 Ein funksjon f er gitt ved f x x x x D f 3 2 ( ) 3 2 1, [ 4, 2] Grfen til f : y Absolutt mksimum f(2) 19 Toppunkt ( 2,3, 9,3) Loklt mksimum Nullpunkt x 3,6 Vendepunkt ( 1, 5) Infleksjonspunkt x 1 Botnpunkt (0,3, 0,7) Loklt minimum x Absolutt minimum f( 4) 7 Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 49 v 57

49 Kommentrr til eksempel 1: 1. Nullpunkt til f: f( x) 0 x 3,6 (eit nullpunkt er løysing v likning fx ( ) 0 ) Når nullpunktet er 3,6, er skjeringspunktet mellom grfen og x-ksen (3,6, 0). 2. Botnpunkt: (0,3, 0,7) Eit punkt på grfen til f. Botnpunkt består v ein lokl minimlverdi ( fx-verdi) ( ) og ein kritisk x- verdi. 3. Toppunkt: ( 2,3, 9,3) Eit punkt på grfen til f. Toppunkt består v ein lokl mksimlverdi ( fx-verdi) ( ) og ein kritisk x-verdi. 4. Ekstremlpunkt: Argumentet (x-verdien) til toppunkt og/eller botnpunkt, jf. punkt 2. og Vendepunkt: ( 1, 5) Eit punkt på grfen til f. 6. Infleksjonspunkt: x 1 7. Absolutt mksimum f(2) 19 Største verdi som funksjonen kn få i D [ 4, 2] f 8. Absolutt minimum f( 4) 7 Minste verdi som funksjonen kn få i Df [ 4, 2] Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 50 v 57

50 Eksempel 2 Ein funksjon f er gitt ved f x x x x D f ( ) , [ 1, 4] Grfen til f: Absolutt mksimum f( 1) 37 y (4) 32 f er verken loklt eller bsolutt mksimum Vendepunkt (0,45, 2,32) Infleksjonspunkt x 0,45 Botnpunkt (0, 0) Loklt minimum f(0) 0 Nullpunkt x 0 Toppunkt (1, 5) Loklt mksimum f(1) 5 Nullpunkt x 1,61 Nullpunkt x 2,72 x Vendepunkt (2,22, 13,36) Infleksjonspunkt x 2,22 Botnpunkt Loklt og bsolutt minimum f(3) 27 Eksmensrettleiing, Mtemtikk i videregående opplæring 2018 Side 51 v 57