Eksamensrettleiing. om vurdering av eksamenssvar 2016

Transkript

1 Eksmensrettleiing om vurdering v eksmenssvr 016 Mtemtikk. Sentrlt gitt skriftleg eksmen Studieførebunde og yrkesfglege utdnningsprogrm Kunnskpsløftet LK06 Nynorsk

2 Innhld 1 Vurdering eksmensmodell og vurdering v eksmenssvr Formelrk 3 Måleiningr SI-stndrd 4 Symbol- og terminologiliste 5 Spesielt om REA30 Mtemtikk R1. Sirkelen som ein geometrisk std Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side v 68

3 1 Vurdering v sentrlt gitt skriftleg eksmen i mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Denne eksmensrettleiing gjeld sentrlt gitt skriftleg eksmen i mtemtikk for desse eksmenskodne i vidregånde opplæring 016: Studieførebunde utdnningsprogrm MAT1011 Mtemtikk 1P MAT1013 Mtemtikk 1T MAT1015 Mtemtikk P MAT1017 Mtemtikk T REA30 Mtemtikk R1 REA306 Mtemtikk S1 REA304 Mtemtikk R REA308 Mtemtikk S Yrkesfglege utdnningsprogrm MAT1005 Mtemtikk P-Y, påbygging til generell studiekompetnse, yrkesfg MAT1010 Mtemtikk T-Y, påbygging til generell studiekompetnse, yrkesfg Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 3 v 68

4 1.1 Eksmensmodell og eksmensordning Eksmensmodell Eksmen vrer i 5 timr og består v to delr. Denne eksmensmodellen er vld ut frå ei fgleg vurdering v eigenrten til mtemtikkfget og kompetnsemål i læreplnen Eksmensordning Eksmen hr ingen førebuingsdel. Del 1 og Del v eksmen skl delst ut smtidig til elevne. Etter nøyktig timr eller 3 timr (vhengig v eksmenskode) skl svret på Del 1 leverst inn. Smtidig kn digitle verktøy og ndre hjelpemiddel til bruk i Del tkst frm. I enkelte oppgåver i Del skl eleven bruke digitle verktøy. Svret på Del skl leverst inn innn 5 timr etter eksmensstrt. Eleven kn begynne på Del når som helst (men utn hjelpemiddel frm til det hr gått timr eller 3 timr (vhengig v eksmenskode) og svret på Del 1 er levert inn). Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 4 v 68

5 Eksmensordning Vidregånde opplæring (prktisk mtemtikk). Elevr og privtistr. Eksmenskode Krv til digitle verktøy på Del 1 Del dtmskin i Del Utn hjelpemiddel Alle hjelpemiddel MAT1011 Mtemtikk 1P MAT1015 Mtemtikk P MAT1005 Mtemtikk P-Y 1) Reknerk ) Grfteiknr timr 3 timr Vidregånde opplæring (teoretisk mtemtikk og mtemtikk progrmfg). Elevr og privtistr. Eksmenskode Krv til digitle verktøy på Del 1 Del dtmskin i Del Utn hjelpemiddel Alle hjelpemiddel MAT1013 Mtemtikk 1T MAT1017 Mtemtikk T MAT1010 Mtemtikk T-Y REA30 Mtemtikk R1 REA304 Mtemtikk R REA306 Mtemtikk S1 REA308 Mtemtikk S 1) CAS* ) Grfteiknr 3 timr timr *CAS: Computer Algebr Systems 1. Hjelpemiddel, kommuniksjon og særskild tilrettelegging 1..1 Hjelpemiddel på Del 1 På Del 1 er skrivesker, pssr, linjl med centimetermål og vinkelmålr dei einste tilltne hjelpemidl. På Del 1 er det ikkje tillte å bruke dtmskin. Merk t ved særskild tilrettelegging v eksmen er det heller ikkje tillte å bruke ndre hjelpemiddel enn dei som er spesifiserte ovnfor, jf. kpittel Hjelpemiddel på Del Alle hjelpemiddel er tilltne. Med bruk v nettbserte hjelpemiddel må IP-dressene være isolerte. Skolne kn velge å l elevene nytte nettbserte hjelpemiddel under modell 1 og modell, del. Dette gjeld kun dersom skolne er i stnd til å isolere dei ktuelle IP-dressene. Nettbserte hjelpemiddel vil si førebuingsdelr, læringsressursr, Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 5 v 68

6 oppslgsverk eller ordbøker. Det er ikkje tillt med smskriving, cht og ndre mogligheiter for å kunne utveksle informsjon med ndre under eksmen. Elevne må på eksmensdgen sjølve velje og bruke formålstenlege hjelpemiddel, jf. kpittel 1.9 Kjenneteikn på måloppnåing nednfor. På enkelte oppgåver skl eleven bruke digitle verktøy Kommuniksjon Under eksmen hr elevne ikkje høve til å kommunisere med kvrndre eller utnforstånde Særskild tilrettelegging v eksmen Når det gjeld særskild tilrettelegging v eksmen, viser vi til rundskriv Udir-4-010, som er publisert på nettsidene til Utdnningsdirektortet, Innhldet i eksmensoppgåvene Ved utforming v eksmensoppgåver blir det teke utgngspunkt i kompetnsemål i læreplnen for fget. Integrerte i kompetnsemål finn vi dei grunnleggjnde ferdigheitene å kunne uttrykkje seg munnleg i mtemtikk (ikkje på skriftleg eksmen) å kunne uttrykkje seg skriftleg i mtemtikk å kunne lese i mtemtikk å kunne rekne i mtemtikk å kunne bruke digitle verktøy i mtemtikk Frå formålet for fellesfget mtemtikk: Mtemtisk kompetnse inneber å bruke problemløysing og modellering til å nlysere og omforme eit problem til mtemtisk form, løyse det og vurdere kor gyldig løysing er. Dette hr òg språklege spekt, som det å formidle, smtle om og resonnere omkring ider. I det meste v mtemtisk ktivitet nyttr ein hjelpemiddel og teknologi. Tl- og omgrepsforståing og ferdigheitsrekning utgjer fundmentet i mtemtikkfget. Oppgåvesett er bygde opp slik t svret skl gi grunnlg for å vurdere den individuelle kompetnsen i mtemtikk hos elevne. Elevne skl få høve til å vise i kv grd dei kn t i bruk fglege kunnskpr og ferdigheiter i smbnd med teoretiske problemstillingr og i verkelegheitsnære situsjonr. Oppgåvene i både Del 1 og Del v eksmen inneheld derfor element v ulik vnskegrd. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 6 v 68

7 Sml sett (Del 1 og Del ) prøver eksmen elevne i kompetnsemål frå lle hovudområd i læreplnen, men ikkje nødvendigvis lle kompetnsemål i læreplnen. Avhengig v tem og kontekst kn eksmen innehlde fleire oppgåver som høyrer til sme hovudområde Innhld i Del 1 I Del 1 blir elevne prøvde i rekneferdigheiter og grunnleggjnde mtemtikkforståing, omgreps- og tlforståing, evne til resonnement og fgkunnskp. Del 1 inneheld oppgåver med ulik vnskegrd. Det kn vere fleire mindre oppgåver med tem som er spreidde ut over kompetnsemål i læreplnen. I tillegg kn det vere meir smnhengnde oppgåver. Del 1 v eksmen er ppirbsert. Kndidtne skl skrive med blå eller svrt penn. Unntket er eventuelt konstruksjon v geometriske figurr Formlr i Del 1 Kpittel i denne eksmensrettleiing listr opp formlr som skl vere under Del 1 v eksmen. Lærebøker kn h ulike måtr å skrive formlr og symbol på, og det er sjølvsgt opp til den enkelte eleven og lærren å bruke den skrivemåten dei er vne med. Hovudsk er t dei kjenner innhldet i formlne og kn bruke dei. Dersom elevne er vne med å bruke ndre formlr i tillegg til dei som er nemnde i vedlegg, er det sjølvsgt tillte å bruke dei. Merk: Eksmensoppgåvene er lg ut frå kompetnsemål i læreplnen, og utvlet v formlr ngir derfor ikkje vgrensingr v kompetnsemål som kn prøvst i Del 1. Dersom oppgåvetemet krev det, kn meir kompliserte formlr bli oppgitt som ein del v oppgåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng Innhld i Del Del inneheld oppgåver med ulik vnskegrd. Nokre oppgåver i Del v oppgåvesettet skl løysst ved hjelp v ngitte digitle verktøy. I ndre oppgåver i Del står eleven fritt til å velje metode/hjelpemiddel sjølv. Del inneheld oppgåver som med ulik kompleksitet prøver den mtemtiske kompetnsen hos elevne. I Del kn det vere tem som ikkje lle elevne hr førehndskunnskpr om, men problemstillingne og formuleringne i dei enkelte oppgåvene vil nten vere uvhengige Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 7 v 68

8 v førehndskunnskp om temet, eller dei vil vere følgde v ei forklring som kn knyte oppgåv til temet. Del består v ein del oppgåver som igjen er delte inn i fleire delspørsmål. Oppgåvene og dei fleste delspørsmål vil kunne løysst uvhengig v kvrndre. Likevel kn det hende det er oppgåver der svret på eit delspørsmål skl brukst i det neste, og så vidre. Formålet med smnhengnde delspørsmål i ei oppgåve er å hjelpe elevne på veg i problemløysing. Del kn også innehlde formlr og liknnde som kn frmstå som nye utfordringr for elevne. Del vil ofte innehlde meir tekst og illustrsjonr enn Del 1. Oppgåvene i både Del 1 og Del skl formulerst slik t dei frmstår som klre problemstillingr i ein så enkel språkdrkt som mogleg. Det er forvent t elevne kjenner vnlege ord, uttrykk og omgrep frå det norske språket som inngår i smbnd med mtemtiske omgrep og problemstillingr og i kommuniksjonen v problemløysing. I oppgåveformuleringne skl ein helst bruke korte setningr. Fguttrykk skl berre brukst der det er nødvendig. Illustrsjonr, i form v bilete og teikningr, skl støtte opp under lesing og forståing v oppgåvene. Del v eksmen kn gjennomførst som ppirbsert eksmen i så fll skl det brukst blå eller svrt penn og/eller tkst utskrifter. Del v eksmen kn også gjennomførst som IKTbsert eksmen, jf. kpittel Språket i eksmensoppgåvene Ved formuleringr som Finn, Løys og Bestem er det ikkje lgt opp til bestemte frmgngsmåtr eller spesielle hjelpemiddel. Eleven kn velje å løyse oppgåv grfisk, ved rekning (lgebrisk) eller ved å nytte ulike kommndor i eit digitlt verktøy. Her hr eleven full metodefridom. Dersom eleven bruker grfiske løysingsmetodr, må eleven rgumentere for løysing og forklre figuren. NB! Del vil ikkje lenger innehlde oppgåveformuleringr som Finn/Løys/Bestem ved regning eller Rekne ut. I enkelte oppgåver i Del vil elevne bli bedt om å bruke «reknerk» eller «grfteiknr» eller «CAS» for å løyse oppgåv. I ndre oppgåver i Del kn elevne bruke den metoden / det hjelpemiddelet / det digitle verktøyet som eleven finn formålstenleg. Mellomrekning og mellomresultt må tkst med i rimeleg omfng også når eleven bruker digitle verktøy. Dersom det oppstår tvil og ulike oppftningr v oppgåveteksten, vil sensorne vere opne for rimelege tolkingr. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 8 v 68

9 1.5 Frmgngsmåte og forklring Der oppgåveteksten ikkje seier noko nn, kn eleven velje frmgngsmåte og hjelpemiddel sjølv. Dersom oppgåv krev ein bestemt løysingsmetode, vil også ein lterntiv metode kunne gi noko utteljing. Verifisering ved innsetjing kn gi noko utteljing, men ikkje full utteljing ved sensuren. I nokre oppgåver vil ein prøve-og-feile -metode vere nturleg. For å få full utteljing ved bruk v ein slik metode må eleven rgumentere for strtegien og vise ei systemtisk tilnærming. I ndre oppgåver kn verifisering ved innsetjing vere den mest nturlege frmgngsmåten. D vil innsetjing kunne gi full utteljing. Frmgngsmåte, utrekning og forklring skl honorerst også om resulttet ikkje er riktig. Ved følgjefeil skl sensor likevel gi utteljing dersom den vidre frmgngsmåten er riktig og oppgåv ikkje blir urimeleg forenkl. Nødvendig mellomrekning og forklring er eit krv for å vise kv som er gjort, både i Del 1 og i Del v eksmen. Evn til å kommunisere mtemtikk er viktig her. Eleven skl presentere løysingne på ein ryddig, oversiktleg og tydeleg måte. Mnglnde konklusjon, nemning, bruk v nødvendig notsjon og liknnde kn føre til lågre utteljing ved sensuren. Dersom eleven ikkje hr med frmgngsmåten, men berre eit korrekt svr, skl ein gi noko utteljing for dette sjølv om eleven hr vist mnglnde kommuniksjonskompetnse. Ved meir opne oppgåveformuleringr er det spesielt viktig t eleven grunngir tolking v oppgåv og vlet v løysingsstrtegi. Bruk v digitle verktøy i Del v eksmen skl dokumenterst. Dette kn for eksempel gjerst ved å bruke «skjermdump» (PrintScreen) og kopiere dette inn i eit tekstdokument og deretter skrive ut. Bruk v digitle verktøy kn også dokumenterst gjennom ein IKT-bsert eksmen. Eksempel på frmgngsmåte og grunngiving ved bruk v CAS og ndre digitle verktøy: Jmfør for eksempel dokument «Eksempeloppgåve MAT1011 Mtemtikk 1P Ny eksmensordning våren 015» og «Eksempeloppgåve REA304 Mtemtikk R Ny eksmensordning våren 015» som er publiserte på heimesid til Utdnningsdirektortet, Dersom ei oppgåve krev bruk v eit digitlt verktøy og eleven ikkje bruker det digitle verktøyet, blir det låg /noko utteljing ved sensuren dersom det elles er gitt eit korrekt svr på oppgåv. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 9 v 68

10 1.6 Andre kommentrr Konstruksjon (ppirbsert svr Del 1) for REA30 Mtemtikk R1 Konstruksjonsoppgåver skl i Del 1 løysst med pssr, blynt og linjl. Det er generelt ikkje noko krv om hjelpefigur, men eleven skl lltid gi ei konstruksjonsforklring. Svr på konstruksjonsoppgåver i Del 1 bør skje på blnkt ppir, slik t konstruksjonen kjem frm så klrt som mogleg Grfteikning og skisse (ppirbsert svr Del 1) Teikning v grfr og skisser kn gjerst for hnd på ppir. Dette kn gjerst nten med penn eller blynt. Det er viktig t elevne fører på skl og nmn på ksne når dei teiknr grfr i svret sitt. Det er generelt ikkje noko krv om verditbell over utrekn funksjonsverdir, med mindre det er spurt spesielt om det i oppgåv. Når omgrepet skisse blir brukt i smbnd med teikningr, grfr og liknnde, er det ikkje snkk om ei nøyktig teikning i riktig målestokk. Eleven kn d ikkje utn vidre måle på sjølve skiss for å svre på oppgåv. Dersom elevne blir bedt om å skissere ein grf, er det tilstrekkeleg t dei skisserer form på kurv i svret. Her blir det ikkje stilt så store krv til å vere nøyktig som ved teikning v grfr. Ein bør likevel t med viktige punkt som null-, botn-, topp- og eventuelt vendepunkt. På skiss/teikning v grfen skl vlesingr mrkerst tydeleg. Når elevne blir bedt om å bestemme eventuelle topp-, botn- eller vendepunkt på grfen til ein funksjon, ei drøfting v funksjonen, kn dei nten bruke forteiknslinjer og drøfte den deriverte eller på nnn måte gjere greie for forteiknet til den deriverte, eventuelt bruke den dobbelt deriverte for å vgjere om dei kritiske x-verdine gir toppunkt (t grfen er konkv ned) eller botnpunkt (t grfen er konveks). Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 10 v 68

11 1.6.3 Digitle verktøy på Del v eksmen Det er ein føresetnd t elevne er kjende med ulike digitle verktøy, og t dei kn bruke dei på ein formålstenleg måte under Del v eksmen. Dtmskin med digitle verktøy er obligtorisk å bruke i ulike eksmenskodr: Eksmenskode Dtmskin med digitlt verktøy MAT0010 Mtemtikk (grunnskole) Reknerk Grfteiknr MAT1011 Mtemtikk 1P MAT1015 Mtemtikk P MAT1005 Mtemtikk P-Y Reknerk Grfteiknr MAT1013 Mtemtikk 1T MAT1017 Mtemtikk T MAT1010 Mtemtikk T-Y REA30 Mtemtikk R1 REA304 Mtemtikk R REA306 Mtemtikk S1 REA308 Mtemtikk S CAS Grfteiknr Vi nbeflr mest mogeleg oppdtert progrmvre instllert på dtmskin Dynmisk geometriprogrm (progrmvre på dtmskin). Ikkje obligtorisk. Dynmisk geometriprogrm kn brukst til å teikne geometriske figurr. Det er spesielt i eksmenskoden REA30 Mtemtikk R1 t dette digitle verktøyet kn vere ktuelt å bruke. Denne progrmvr er ikkje obligtorisk å bruke. Ved teikning v geometriske figurr med dynmisk geometriprogrm ( Teikn ) under Del v eksmen er det tillte å bruke lle funksjonststr/kommndor direkte i progrmvr. Eksempel på slike er funksjonststr/kommndor som teiknr normlr, hlverer vinklr, lgr midtnorml, teiknr prllelle linjer, og så vidre. Elevne må leggje ved ei oversikt over kv som er gjort i progrmvr, i svret sitt. Elevne vil bli prøvde i klssisk konstruksjon med pssr og linjl under Del 1, jf. kpittel I Del kn det for eksempel stå «teikne eller konstruer». Elevne kn d velje om dei vil bruke dynmisk geometriprogrm eller konstruere med pssr og linjl. Vi bruker ikkje ordet «konstruer» når vi opnr opp for dynmisk geometriprogrm. D føretrekkjer vi «teikne» i stden. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 11 v 68

12 Grfteiknr (progrmvre på dtmskin). Obligtorisk. Ein digitl grfteiknr finst i mnge vrintr og skl brukst i lle skriftlege eksmenskodr i mtemtikk. Det skl gå klrt frm v den grfiske frmstilling kv skl som er brukt, og kv storleik som kn lesst v, på kvr v ksne. Det er ein fordel t funksjonsuttrykket som er tst inn i grfteiknren, kjem frm, slik t sensor enklre kn vurdere grfteikning. Dersom elevne bruker ein slik grfteiknr, treng dei ikkje å oppgi verken verditbell eller frmgngsmåte (korleis dei hr gått frm for å teikne grfen). Elevne må derimot forklre kv kommndor dei hr brukt for å finne for eksempel skjeringspunkt og ekstremlpunkt. Elevne kn leggje ved forklringr over kv som er gjort i progrmvr, dersom dei finn det formålstenleg. Frå Eksmen MAT1013 Mtemtikk 1T Husten 014, Oppgåve i Del : Grete observerer ein bkteriekultur. Funksjonen B gitt ved B x x x x x 4 3 ( ) 0,1 5, viser tlet på bkterir Bx ( ) i bkteriekulturen x timr etter t ho strt observsjonne. ) Teikne grfen til B for x 0, 60. b) Bestem toppunktet på grfen og skjeringspunkt mellom grfen og ksne. c) Kv fortel svr i oppgåve b) om bkteriekulturen? d) Bestem den momentne vekstfrten til bkteriekulturen etter 40 timr. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 1 v 68

13 Eksempel på svr med grfteiknr: ) Grfen til f (innnfor definisjonsområdet). Nmn på ksen og skl. b) Toppunkt: Sjå punkt T. Kommndo: Ekstremlpunkt. Skjeringspunkt med y-ksen: Sjå punkt S. Skjeringspunkt med x-ksen: Sjå punkt N. Kommndo: Nullpunkt. c) Det vr bkterir i bkteriekulturen d Grete strt observsjonne, sjå punkt S. Cirk 56,5 h etter t Grete strt observsjonne ø, vr det ingen bkterir igjen i bkteriekulturen. Sjå punkt N. d) Momentn vekstfrt etter 40 timr: Stigingstl i punkt M. Tlet på bkterir går d ned med 5700 per time. Kndidtne kn kortftt svre på spørsmål ved å vise til grfteikning. Det er ikkje nødvendig å t med frmgngsmåte for å vise korleis grfen hr komme frm. Heller ikkje verditbell er eit krv. Det er ein fordel t kndidtne får frm kv funksjonsuttrykk dei hr tst inn i progrmmet. Dei ulike punkt bør komme frm med koordintr. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 13 v 68

14 CAS Computer Algebr System (progrmvre på dtmskin). Obligtorisk. CAS er å forstå som ein symbolbehndlnde (og numerisk) klkultor. CAS skl brukst i eksmenskodne for 1T, T, T-Y, R1, R, S1 og S. Eksmenskndidtne skl dokumentere bruken v CAS. Dei kn for eksempel t ein «skjermdump» (Print Screen). Dei kn eventuelt knyte kommentrr til CAS og konkludere i forhold til problemstilling. Eksmenskndidtne må sjølve finne for eksempel ei riktig setning, kommndo eller stille opp ei riktig likning. Deretter kn CAS brukst direkte. Frå «Eksempeloppgåve REA304 Mtemtikk R Ny eksmensordning våren 015», oppgåve i Del : Ei rett linje går gjennom punkt A(0, R ) og B( h, r ). Sjå figur 1. Ei rett, vkort kjegle kjem frm ved å rotere linjestykket AB 360 om x-ksen. Sjå figur. A(0, R) B( h, r ) O r Figur 1 Figur ) Vis t linj gjennom A og B hr likning r R y x R h b) Bruk CAS til å vise t volumet V v den rette, vkort kjegl er h V R Rr r 3 ( ) c) Forklr kort kv for omdreiingslekm vi får dersom r 0 og dersom r R. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 14 v 68

15 Eksempel på svr med krv til CAS i oppgåve b): ) Den rette linj hr likning y x b. Skjering med y-ksen: b R. Stigingstl: r R r R h 0 h Dermed er likning for den rette linj r R y x R h b) Bruker CAS til å bestemme volumet v den rette, vkort kjegl: Kommentr: I denne oppgåv skl kndidten bruke CAS. Viss ikkje oppnår eleven låg/noko utteljing ved sensuren. Her krevst det ikkje forklrnde tekst utover å dokumentere det som er gjort i CAS. I ndre oppgåver og svr kn det vere nødvendig å knyte nokre korte kommentrr til enkelte utrekningr i CAS. c) Dersom r 0, går linj gjennom A(0, R ) og Bh (, 0). Omdreiingslekm: Rett kjegle. Dersom r R, går linj gjennom A(0, R ) og B( h, R ). Omdreiingslekm: Rett sylinder. Vi viser elles til publiserte eksempeloppgåver i eksmenskodne for 1T, T, T-Y, R1, S1, R og S for fleire eksempel på oppgåver som krev bruk v CAS. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 15 v 68

16 Reknerk (progrmvre på dtmskin). Obligtorisk. Det skl brukst reknerk i eksmenskodne for 1P, P og P-Y. Bruk v reknerk er også obligtorisk ved sentrlt gitt skriftleg eksmen i MAT0010 Mtemtikk, og elevne skl h fått kjennskp til dette digitle verktøyet på ungdomsskolen. Ei reknerkutskrift skl h med rd- og kolonneoverskrifter. Utskrift skl også vere identifiserbr, det vil seie t ho inneheld oppgåvenummer, nmn på skolen og kndidtnummer. Ved bruk v reknerk bør eleven i størst mogleg grd nytte formlr, slik t løysing blir dynmisk, det vil seie t løysing endrr seg dersom tl i ei oppgåve blir endr. Når eit reknerk blir skrive ut, skl rd- og kolonneoverskrifter vere med på utskrift. Eleven skl nten t ei formelutskrift v reknerket eller skrive formlne som er brukte, i ein tekstboks. Eleven bør tilpsse løysing på reknerket til eitt eller to utskriftsrk ved bruk v førehndsvising før utskrift. Sjølv om det er det fglege innhldet som primært skl vurderst, vil også presentsjonen v løysing bli vurdert (kommuniksjonskompetnse). Vi viser til «Eksempeloppgåve MAT1011 Mtemtikk 1P Ny eksmensordning våren 015» for eksempel på bruk v reknerk. Elevne bør lge reknerkmodellne sjølve, og bruken v formlr blir vurdert i forhold til om reknerket er blitt «dynmisk», det vil seie, dersom vi endrr inndt, blir også utdt endr utomtisk, slik t det blir enkelt å bruke sme reknerk om igjen til liknnde oppgåver. Det er derfor ikkje lltid formålstenleg eller ein fordel å bruke ferdigmodellr Digitle verktøy og mtemtisk symbolbruk I digitle verktøy kn mtemtisk symbolbruk vvike noko frå den klssiske symbolnotsjonen. Eksempel på dette er /, *, ^, 4.5E06 og så vidre. Dette er godkjend notsjon, og elevne må ikkje trekkjst for dette under sensuren. Meir klssisk (og korrekt) notsjon, og symbol- og formlismekompetnse blir prøvd i Del 1 v eksmen. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 16 v 68

17 1.7 Ppirbsert eksmen Del 1 v eksmen i mtemtikk er ppirbsert. Når Del skl leverst som ein ppirbsert eksmen, kn kndidtne svre på Del på ppir og t utskrifter frå progrmvre på dtmskin. Ppirbsert eksmen betyr også t det må vere mogleg for kndidtne å t utskrifter. Vi presiserer t ein ppirbsert eksmen også inkluderer bruk v dtmskin med påkrvd progrmvre. Kndidtne svrer d utelukknde på ppir / utskrifter frå progrmvre. Del 1 og Del skl sendst som svr på ppir til sensor med «ekspress over ntt», slik t svret kjem rskst mogleg frm til sensor. 1.8 IKT-bsert eksmen I vidregånde opplæring og i grunnskolen står skolne fritt til å rrngere IKT-bsert eksmen for Del v den todelte eksmenen i mtemtikk. Medn Del 1 v todelt eksmen skl svrst på med ppir og sendst per vnleg post til sensor, vil IKT-bsert eksmen v Del måtte svrst på ved hjelp v dtmskin og eit dtdokument som blir sendt elektronisk til sensor. Dersom ein vil rrngere IKT-bsert eksmen, er det viktig å setje seg grundig inn i korleis dette skl gjerst, og kv systemkrv og krv til formt som gjeld. Informsjon om IKT-bsert eksmen finn du her: IKT-bsert eksmen skl gjennomførst slik: 1) Eksmenskndidten loggr seg inn på Utdnningsdirektortets prøvegjennomføringssystem (PGS) med tildelt brukrnmn og pssord. ) Eksmenskndidten lstr ned eksmensoppgåv frå Utdnningsdirektortets prøvegjennomføringssystem PGS-A når Del kn begynne. 3) Eksmenskndidten svrer på eksmensoppgåv ved hjelp v dtmskin og diverse digitle verktøy, og lgrr svret. 4) Eksmenskndidten lstr opp svret til PGS-A. 5) Sensor hentr svret i prøvedministrsjonssystemet PAS, der også krkterne blir sette ved fellessensuren. På finn du diverse oppdterte brukrrettleiingr for skolen, for eksmenskndidtne og for sensur. Gode råd for korleis ein går frm, og kv filformt som er tilltne for eksmenskndidtr som skl svre på Del v todelt, sentrlt gitt eksmen i mtemtikk som IKT-bsert eksmen: Avhengig v kv fgkode i mtemtikk du skl t eksmen i, er det viktig t du hr ei dtmskin og dei digitle verktøy du treng for å svre på eksmen i denne fgkoden. Som bsisdokument bør du h eit tekstbehndlingsprogrm (for eksempel Word). Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 17 v 68

18 Hugs å lge topp- eller botntekst i tekstbehndlingsdokumentet, der du skriv nmnet på skolen og kndidtnummeret ditt. For meir informsjon om identifisering v svret ditt kn du lese brukrrettleiing for kndidtr her: Hugs også løpnde oppgåvenummerering, der du kopierer inn for eksempel ein del v eit reknerk eller eit digrm i ei oppgåve, medn du kopierer inn ei digitl grfteikning eller ei utrekning frå CAS til neste oppgåve, og så vidre. Skriv elles utfyllnde kommentrr til kvr oppgåve, slik t du svrer best mogleg på oppgåv. Når du er ferdig med Del v todelt eksmen i mtemtikk, må du hugse å lgre og lste opp svret ditt i PGS-A. Sjå brukrrettleiing for kndidtr: Det finst svært mnge typr digitle verktøy i mtemtikk, noko som inneber t det finst mnge filformt. PGS godtek ikkje lle typr filformt. Derfor kn det vere mest prktisk å bruke eit tekstbehndlingsdokument og deretter kopiere frå dei ndre digitle verktøy og inn i tekstbehndlingsdokumentet. PGS godtek for eksempel filformtet -.doc (tekstbehndlingsdokument). Desse filformt kn nyttst i smbnd med IKT-bsert eksmen: doc, pdf, rtf, xls, ods, odt, xlsx, docx, sxc, sxw, html, txt. Det er lgt inn ein kontroll i PGS-A som gjer t ndre typr filformt blir vviste. Mksiml filstorleik på svret er 10 MB. Dersom fil er større enn det, må ho først pkkst ( zippst ). Desse formt kn nyttst til slik pkking: 7z, z, gz, rr, tr, zip Ved IKT-bsert eksmen i mtemtikk må HEILE svret på Del smlst i éi fil og leverst digitlt til sensor, ikkje berre delvis. Elevne/privtistne kn ltså ikkje levere Del delvis på ppir og delvis som IKT-bsert eksmen eller levere fleire filer. NB! Dersom skolen sknnr Del 1 og leverer elektronisk til sensor, står skolen nsvrleg for t lesekvliteten på svret er tilstrekkeleg god. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 18 v 68

19 1.9 Kommentrr til kjenneteikn på måloppnåing Bkgrunnen for kjenneteikn på måloppnåing er St.meld. nr. 30 ( ), som slår fst t når det blir innført nye læreplnr med mål for kompetnsen hos elevne (Kunnskpsløftet), vil ei stndrdbsert (kriteriebsert) vurdering leggjst til grunn for eksmenskrkterne. Kjenneteikn på måloppnåing uttrykkjer i kv grd eleven hr nådd kompetnsemål i læreplnen. Mtemtikkompetnsen som kjenneteikn beskriv, er delt inn i tre ktegorir: omgrep, forståing og ferdigheiter problemløysing kommuniksjon Innhldet i desse ktegorine beskriv mtemtikkompetnse på tvers v kompetnsemål i læreplnen og er meint å vere til hjelp for det fglege skjønnet til sensor når prestsjonen til eleven blir vurdert. Dei tre ktegorine kn ikkje forståst kvr for seg, men er ngitt slik for å gi ei oversikt, slik t sensor lettre skl få eit heilskpsinntrykk v svret. Kjenneteikn for lle tre ktegorine gjeld for både Del 1 og Del v eksmen. Omgrep, forståing og ferdigheiter Denne ktegorien er ein viktig og grunnleggjnde del v mtemtikkompetnsen. God kunnskp her er vgjernde for å kunne tkle større og meir smnsette utfordringr. Kjenneteikn i denne ktegorien beskriv i kv grd eleven kjenner, forstår og hndterer mtemtiske omgrep. Vidre ventr ein t eleven kn vkode, omsetje og behndle mellom nn symbol og formlr. Det er ikkje berre snkk om bokstvrekning og løysing v likningr, men også tlsymbol, mtemtiske teikn og formelle sider ved elementær rekning. For eksempel er det ikkje lov å skrive 6 5 eller 6 3. Vidre er (3 4) ikkje det sme som 3 4, og er ikkje det sme som ( ). I denne ktegorien inngår også det å forstå og hndtere ulike representsjonr v omgrep. For eksempel kn π (pi) representerst ved hjelp v symbolet π eller som ein uendeleg desimlbrøk 3, eller som ei rsjonl tilnærming (for eksempel brøkne 3 7 eller 71 ) eller geometrisk som omkretsen v ein sirkel med dimeter 1, og så vidre. Eit nn eksempel er omgrepet «lineær funksjon», som kn representerst som eit funksjonsuttrykk eller ein regel y f ( x) x 1, som ein teikn grf i eit koordintsystem, som ein verditbell med verdir for x og y, som eit geometrisk objekt, for eksempel den rette linj som går gjennom punkt (0, 1) og (,3), eller lgebrisk som løysingsmengd til ei likning, for eksempel 3y6x 3 0. Problemløysing Denne ktegorien seier noko om evn eleven hr til å løyse ulike problemstillingr. Problem må ein her forstå vidt frå enkle, rutinemessige oppgåver til større, meir smnsette problem. Det er ltså snkk om korleis eleven bruker kunnskpr og ferdigheiter på ulike mtemtiske problemstillingr og ser smnhengr i fget og mellom hovudområd i læreplnen. Problem kn ein også forstå reltivt. Det som er eit problem for éin elev, kn opplevst som elementært for ndre elevr, vhengig v nivået eleven er på. Denne ktegorien vil også beskrive kompetnsen hos eleven når det gjeld modellering i kv grd eleven kn lge, t i bruk og vurdere modellr. Det kn for eksempel dreie seg om å betrkte ein vekstfunksjon eller undersøkje kostndene ved å bruke mobiltelefon. I denne ktegorien er det også nturleg å vurdere i kv grd eleven er kjend med ulike hjelpemiddel og kn bruke dei på ein Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 19 v 68

20 formålstenleg måte under eksmen. Vidre er det nturleg å vurdere i kv grd eleven viser mtemtisk tnkegng, og om eleven hr evne til å vurdere svr i smbnd med ulike mtemtiske problemstillingr. Kommuniksjon Denne ktegorien beskriv mellom nn i kv grd eleven klrer å setje seg inn i ein mtemtisk tekst, og i kv grd eleven kn uttrykkje seg i mtemtikk ved hjelp v det mtemtiske symbolspråket. Det er viktig t eleven viser frmgngsmåtr, rgumenterer og forklrer den mtemtiske løysing. Dette er spesielt viktig i smbnd med bruk v digitle verktøy. *** *** *** Ktegorien problemløysing er den mest sentrle ktegorien for vurderingsgrunnlget til sensor, men det er også viktig t kjenneteikn på måloppnåing i lle tre ktegorir blir sett i smnheng og ikkje kvr for seg. Det er ikkje vsstette skott mellom ktegorine, men flytnde overgngr. Kjenneteikn på måloppnåing skl gi informsjon om kv det blir lgt vekt på i vurdering v prestsjonen til eleven. Dei skl vidre beskrive kvliteten på den kompetnsen elevne viser (kv dei beherskr), ikkje mngel på kompetnse. Kjenneteikn beskriv kvliteten på den mtemtiske kompetnsen til elevne på tvers v hovudområd og kompetnsemål i læreplnen. Ved å bruke kjenneteikn på måloppnåing og eventuelt poeng kn sensor dnne seg eit bilete v eller lge ein profil over den mtemtiske kompetnsen eleven hr vist. Ktegorine v mtemtikkompetnse inneheld kjenneteikn knytte til tre ulike krkternivå: låg kompetnse (krkteren ) nokså god / god kompetnse (krkterne 3 og 4) mykje god / frmifrå kompetnse (krkterne 5 og 6) Målet med kjenneteikn er å gi ein peikepinn, ei retning for korleis sensor skl vurdere prestsjonen, og er ikkje nødvendigvis ei millimeterpresis beskriving v ulike kompetnsenivå. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 0 v 68

21 Kjenneteikn på måloppnåing Mtemtikk fellesfg og progrmfg i vidregånde opplæring Kompetnse Krkteren Krkterne 3 og 4 Krkterne 5 og 6 Eleven Eleven Eleven Omgrep, forståing og ferdigheiter forstår ein del grunnleggjnde omgrep beherskr ein del enkle, stndrdiserte frmgngsmåtr forstår dei fleste grunnleggjnde omgrep og viser eksempel på forståing v smnhengr i fget beherskr dei fleste enkle, stndrdiserte frmgngsmåtr, hr middels god rekneteknikk og bruk v mtemtisk formspråk, viser eksempel på logiske resonnement og bruk v ulike mtemtiske representsjonr forstår lle grunnleggjnde omgrep, kombinerer omgrep frå ulike område på ein sikker måte og hr god forståing v djupre smnhengr i fget er sikker i rekneteknikk, logiske resonnement, bruk v mtemtisk formspråk og bruk v ulike mtemtiske representsjonr Eleven Eleven Eleven viser eksempel på å kunne løyse enkle problemstillingr med utgngspunkt i tekstr, figurr og prktiske og enkle situsjonr løyser dei fleste enkle og ein del middels kompliserte problemstillingr med utgngspunkt i tekstr, figurr og prktiske situsjonr, og viser eksempel på bruk v fgkunnskp i nye situsjonr utforskr problemstillingr, stiller opp mtemtiske modellr og løyser oppgåver med utgngspunkt i tekstr, figurr og nye og komplekse situsjonr Problemløysing klrer iblnt å plnleggje enkle løysingsmetodr eller utsnitt v meir kompliserte metodr klrer delvis å plnleggje løysingsmetodr i fleire steg og å lge seg fornuftige hypotesr er sikker i plnlegging v løysingsmetodr i fleire steg og formulering v hypotesr knytte til løysing, viser kretivitet og originlitet kn vgjere om svr er rimelege, i ein del enkle situsjonr kn ofte vurdere om svr er rimelege er sikker i vurdering v svr, kn reflektere over om metodr er formålstenlege viser eksempel på bruk v hjelpemiddel knytte til enkle problemstillingr bruker hjelpemiddel på ein formålstenleg måte i ein del ulike smnhengr er sikker i vurdering v kv moglegheiter og vgrensingr hjelpemidl hr, og i vl mellom hjelpemiddel kn bruke hjelpemiddel til å sjå ein del enkle mønster klrer delvis å bruke digitle verktøy til å finne mtemtiske smnhengr kn bruke digitle verktøy til å finne mtemtiske smnhengr, og kn setje opp hypotesr ut frå det Eleven Eleven Eleven Kommuniksjon presenterer løysingr på ein enkel måte, for det meste med uformelle uttrykksformer presenterer løysingr på ein reltivt smnhengnde måte med forklrnde tekst i eit delvis mtemtisk formspråk presenterer løysingr på ein oversiktleg, systemtisk og overtydnde måte med forklrnde tekst i eit mtemtisk formspråk Krkteren 1 uttrykkjer t eleven hr svært låg kompetnse i fget. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 1 v 68

22 1.10 Vurdering v oppnådd kompetnse Vurdering i mtemtikk Læreplnne og forskrift til opplæringslov er grunndokument for vurderingsrbeidet. Forskrift til opplæringslov 3-5 og 4-18 slår fst: Eksmen skl orgniserst slik t eleven/deltkren eller privtisten kn få vist kompetnsen sin i fget. Eksmenskrkteren skl fstsetjst på individuelt grunnlg og gi uttrykk for kompetnsen til eleven/deltkren eller privtisten slik den kjem frm på eksmen. Kompetnse er i denne smnhengen definert som evn til å møte ei kompleks utfordring eller utføre ein kompleks ktivitet eller oppgåve. 1 Eksmensoppgåvene blir utform slik t dei prøver denne kompetnsen. Grunnlget for å vurdere kompetnsen elevne viser i eksmenssvret, er kompetnsemål i læreplnen for fg. Dei grunnleggjnde ferdigheitene er integrerte i kompetnsemål i lle læreplnne for fg. Grunnleggjnde ferdigheiter vil derfor kunne prøvst indirekte til sentrlt gitt eksmen. Grunnleggjnde ferdigheiter utgjer ikkje eit sjølvstendig vurderingsgrunnlg. Forskrift til opplæringslov 3-4 og 4-4 hr generelle krkterbeskrivingr for grunnopplæring: ) Krkteren 6 uttrykkjer t eleven hr frmifrå kompetnse i fget. b) Krkteren 5 uttrykkjer t eleven hr mykje god kompetnse i fget. c) Krkteren 4 uttrykkjer t eleven hr god kompetnse i fget. d) Krkteren 3 uttrykkjer t eleven hr nokså god kompetnse i fget. e) Krkteren uttrykkjer t eleven hr låg kompetnse i fget. f) Krkteren 1 uttrykkjer t eleven hr svært låg kompetnse i fget. Sensuren v eksmensoppgåvene er kriteriebsert. Sensorne skl vurdere kv eleven kn, frmfor å finne ut kv eleven ikkje kn. Når sensor bruker poeng, skl ein gi utteljing for det eleven hr prestert, ikkje poengtrekk for det eleven ikkje hr fått til. Det er sjeldn utn verdi t eleven løyser oppgåv på ein nnn måte enn den det i utgngspunktet blir bedt om i oppgåveteksten, sjølv om ein d ikkje kn sjå på svret som fullgodt. Dersom det oppstår tvil om ulike oppftningr v oppgåveteksten, vil sensorne vere opne for rimelege tolkingr. 1 St.meld. nr. 30 ( ) Kultur for læring. Forskrift til opplæringslov 3-3 og 4-3. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side v 68

23 Den endelege krkteren skl byggje på det fglege skjønnet til sensor og på ei sml vurdering v prestsjonen til eleven bsert på kjenneteikn på måloppnåing. Krkterfstsetjing kn derfor ikkje utelukknde vere bsert på ein poengsum eller på feil og mnglr ved prestsjonen. Poenggrenser ved sensuren er rettleinde og må stå i eit rimeleg forhold til kjenneteikn på måloppnåing. Bruk v poeng og poenggrenser er, som tidlegre nemnt, berre rettleinde i vurdering. Sensor må sjå nærmre på kv oppgåver eleven oppnår poeng på, og ikkje berre på ein poengsum. Krkteren blir fstsett etter ei sml vurdering v Del 1 og Del. Sensor vurderer derfor, med utgngspunkt i kjenneteikn på måloppnåing, i kv grd eleven viser rekneferdigheiter og mtemtisk forståing gjennomfører logiske resonnement ser smnhengr i fget, er oppfinnsm og kn t i bruk fgkunnskp i nye situsjonr kn bruke formålstenlege hjelpemiddel vurderer om svr er rimelege forklrer frmgngsmåtr og grunngir svr skriv oversiktleg og er nøyktig med utrekningr, nemningr, tbellr og grfiske frmstillingr Sensorrettleiing og vurderingsskjem Utdnningsdirektortet publiserer sensorrettleiingr på eksmensdgen i lle eksmenskodr i mtemtikk. Smn med sensorrettleiingne blir det publisert vurderingsskjem som sensorne skl bruke. Formålet med desse publiksjonne er å støtte opp om den sentrle sensuren og sikre ein rettferdig sensur. Sensorrettleiing og vurderingsskjem blir publiserte på eksmensdgen, etter t eksmen i den ktuelle fgkoden er hlden. Desse dokument blir lgde ut på nettsidene til Utdnningsdirektortet: Sensorrettleiing inneheld kommentrr til oppgåvene og retningslinjer til sensor om vurdering. Vi føreset t lle sensorr følgjer rettleiing. Sensorrettleiing og vurderingsskjemet inneheld poengfordeling for kvr fgkode. Alle sensorr må følgje denne poengfordeling i sensuren sin. NB! Bruk v poeng er berre rettleinde i vurdering. Krkteren blir fstsett ut frå ei heilskpsvurdering v svret, bruk v kjenneteikn på måloppnåing og det fglege skjønnet til sensor i smsvr med rpporten om førehndssensur. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 3 v 68

24 Førehndssensur og rpport om førehndssensur Som tidlegre blir det ved våreksmen hlde førehndssensur på bkgrunn v førsteinntrykk frå sensorne nokre få dgr etter eksmen i fget. På bkgrunn v dette blir det utrbeidd ein rpport om førehndssensuren, som blir publisert på nettsidene til Utdnningsdirektortet på sme std som sensorrettleiing. Desse rpportne er til sensorne og er ikkje eit endeleg resultt v sensuren. Rpporten om førehndssensur kn innehlde justeringr v sensorrettleiingne som blir publiserte på eksmensdgen. Vi føreset t lle sensorr følgjer rettleiing i rpporten. Rpporten vil vnlegvis innehlde poengfordeling og poenggrenser. Alle sensorne må følgje denne poengfordeling i sensuren sin. NB! Bruk v poeng er berre rettleinde i vurdering. Krkteren blir fstsett på bkgrunn v ei sml vurdering v svret, bruk v kjenneteikn på måloppnåing og det fglege skjønnet til sensor i smsvr med rpporten om førehndssensuren. Alle sensorr er forplikt til å følgje ll rettleiing frå Utdnningsdirektortet, det vil seie eksmensrettleiing inkludert kjenneteikn på måloppnåing sensorrettleiing og vurderingsskjem rpporten om førehndssensur 1.11 Meir informsjon om ny eksmensordning frå og med våren 015 Sentrlt gitt eksmen i mtemtikk blei gjennomført med ny eksmensordning første gong våren 015. Det er ing overgngsordning mellom gmml og ny eksmensordning. Vi viser til meir utfyllnde informsjon her: Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 4 v 68

25 Formelrk. Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen. Rektngel A g h Treknt Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i MAT1011 Mtemtikk 1P (Formelrket kn ikkje brukst på Del 1 v eksmen.) gh A Prllellogrm A g h Trpes b h A ( ) Sirkel A r Prisme V G h Sylinder V r h Geometri O Formlikskp Målestokk Pytgors setning r Proporsjonlitet Proporsjonle storleikr Omvendt proporsjonle storleikr Rette linjer y x b Vekstfktor p p Økonomi Snnsyn Prisindeks Kroneverdi Rellønn Snnsyn ved systemtiske oppteljingr P( A) 1 P( A) P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige Eksmensoppgåvene blir lg ut frå kompetnsemål i læreplnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kompetnsemål som kn prøvst i Del 1. Dersom oppgåvetemet krev det, kn meir kompliserte formlr bli oppgitt som ein del v oppgåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 5 v 68

26 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i MAT1015 Mtemtikk P (Formelrket kn ikkje brukst på Del 1 v eksmen.) Potensr Stndrdform Vekstfktor Sttistikk p q pq p b p p b p pq q 0 1 p q pq p 1 p p p p b b n k 10 1 k 10 og n er et helt tll p p Gjennomsnitt Medin Eksmensoppgåvene blir lg ut frå kompetnsemål i læreplnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kompetnsemål som kn prøvst i Del 1. Dersom oppgåvetemet krev det, kn meir kompliserte formlr bli oppgitt som ein del v oppgåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 6 v 68

27 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i MAT1005 Mtemtikk P Yrkesfg Påbygging til generell studiekompetnse (Formelrket kn ikkje brukst på Del 1 v eksmen.) Stndrdform Potensr Vekstfktor n k 10 1 k 10 og n er et helt tll p q pq p q p q p pq b b p p pq p p b b 0 p 1 p p p 1 p Rette linjer y x b Snnsyn ved systemtiske oppteljingr P( A) 1 P( A) Snnsyn P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige Gjennomsnitt Sttistikk Medin Eksmensoppgåvene blir lg ut frå kompetnsemål i læreplnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kompetnsemål som kn prøvst i Del 1. Dersom oppgåvetemet krev det, kn meir kompliserte formlr bli oppgitt som ein del v oppgåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 7 v 68

28 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i MAT1013 Mtemtikk 1T (Formelrket kn ikkje brukst på Del 1 v eksmen.) Stndrdform k 10 1 k 10 og n er et helt tll n Vekstfktor p p Rette linjer Potensr y x b y y1 x x1 y y ( x x ) 1 1 p q pq p q p q p pq b b pq p p b b 0 p 1 p p p 1 p Kvdrtsetningne og konjugtsetning Likning v ndre grd Logritmr Vekst og derivsjon Trigonometri i rettvinkl trekntr ( b) b b ( b) b b ( b)( b) b b b 4c x bx c 0 x b lg lg x b x lg x c x 10 c Gjennomsnittleg vekstfrt Momentn vekstfrt f( x x) f( x) Definisjon v den deriverte f( x) lim x 0 x Derivsjonsregel for polynomfunksjonr motstående ktet sinv hypotenus hosliggende ktet cosv hypotenus motstående ktet tnv hosliggende ktet Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 8 v 68

29 Geometri Snnsyn Arel 1 bc sin A b c bccos A sin A B C sin sin b c Snnsyn ved systemtiske oppstillingr P( A) 1 P( A) P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige Eksmensoppgåvene blir lg ut frå kompetnsemål i læreplnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kompetnsemål som kn prøvst i Del 1. Dersom oppgåvetemet krev det, kn meir kompliserte formlr bli oppgitt som ein del v oppgåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 9 v 68

30 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i MAT1017 Mtemtikk T (Formelrket kn ikkje brukst på Del 1 v eksmen.) Vektorrekning Snnsyn Kombintorikk [ x, y] xe ye x y t[ x,y] [ tx,ty] [ x 1,y1] [ x,y] [ x1 x,y1 y] [ x,y ] [ x,y ] x x y y [ x, y ] x y [ x 1,y1] [ x,y] x1 x og y1 y AB [ x x,y y ] frå A( x,y ) til B( x,y ) b b cosu u er vinkel mellom og b b tb b b 0 x x0 t ( x 0, y0) er et punkt på linj y y0 bt v [,b] er prllell med linj P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige P( AB) P( A) P( B A) P( A B) P( B) P( B) n! 13 n n! np r n( n 1)... ( n r 1 ) ( n r)! n n! nc r r r! ( n r)! Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 30 v 68

31 Binomisk og hypergeometrisk fordeling Dersom binomisk eller hypergeometrisk fordeling inngår i Del 1 v eksmen, vil formlne bli oppgitt slik: Binomisk fordeling: n k P( X k) p (1 p) k Tlet på uvhengige forsøk er n. X er tlet på gonger A inntreffer. P(A) = p i kvrt forsøk. nk Hypergeometrisk fordeling: m n m k r k P( X k ) n r m element i D. n m element i D. r element blir trekte tilfeldig. X er tlet på element som blir trekte frå D. Eksmensoppgåvene blir lg ut frå kompetnsemål i læreplnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kompetnsemål som kn prøvst i Del 1. Dersom oppgåvetemet krev det, kn meir kompliserte formlr bli oppgitt som ein del v oppgåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 31 v 68

32 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i MAT1010 Mtemtikk T Yrkesfg Påbygging til generell studiekompetnse (Formelrket kn ikkje brukst på Del 1 v eksmen.) Vekstfktor Rette linjer Logritmr Vekst og derivsjon Kombintorikk Snnsyn Vektorrekning p p y x b y y1 x x1 y y ( x x ) 1 1 b lg lg x b x c lg x c x 10 Gjennomsnittleg vekstfrt Momentn vekstfrt f( x x) f( x) Definisjon v den deriverte f( x) lim x 0 x Derivsjonsregel for polynomfunksjonr n! 13 n n! np r n( n 1)... ( n r 1 ) ( n r)! n n! nc r r r! ( n r)! Snnsyn ved systemtiske oppstillingr P( A) 1 P( A) P( A B ) = P( A ) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige P( AB) P( A) P( B A) P( A B) P( B) P( B) [ x, y] xe ye x y t[ x,y] [ tx,ty] [ x 1,y1] [ x,y] [ x1 x,y1 y] [ x,y ] [ x,y ] x x y y [ x, y ] x y [ x,y ] [ x,y ] x x og y y AB [ x x,y y ] frå A( x,y ) til B( x,y ) b b cos u u er vinkel mellom og b Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 3 v 68

33 b t b b b 0 x x0 t ( x 0, y0) er et punkt på linj y y0 bt v [,b] er prllell med linj Eksmensoppgåvene blir lg ut frå kompetnsemål i læreplnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kompetnsemål som kn prøvst i Del 1. Dersom oppgåvetemet krev det, kn meir kompliserte formlr bli oppgitt som ein del v oppgåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 33 v 68

34 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i REA30 Mtemtikk R1 (Formelrket kn ikkje brukst på Del 1 v eksmen.) Likning v ndre grd Fktorisering v ndregrdsuttrykk Polynom Logritmr Grenseverdir Derivsjon Kombintorikk Snnsyn Vektorrekning 4 x bx c 0 x b b c x bx c ( x x )( x x ) 1 Nullpunkt og polynomdivisjon lg x 10 x lg x x lg lg( b) lg lg b lg lg lg b b x b b x lg lg e ln ln x x x x ln ln( b) ln lnb ln lnlnb b x b b x ln ln x x 10 b x lg b e b x ln b c c lg x c x 10 ln x c x e Utrekning v grenseverdir Horisontle og vertikle symptotr f( x x) f( x) Definisjon v den deriverte f( x) lim x 0 x Derivsjonsreglr for potens-, kvdrtrot-, eksponentil- og logritmefunksjonr Derivsjonsreglr for sum, differnse, produkt og kvotient Kjerneregel n! 13 n n! np r n( n 1)... ( n r 1 ) ( n r)! n n! nc r r r! ( n r)! Snnsyn ved systemtiske oppstillingr P( A B) P( A) P( B A) P( A B ) = P( A) P( B) når A og B er uvhengige P( AB) P( A) P( B A) P( A B) P( B) P( B) Rekning med vektorr geometrisk som piler i plnet [ x, y] xe ye x y t[ x,y] [ tx,ty] [ x 1,y1] [ x,y] [ x1 x,y1 y] [ x,y ] [ x,y ] x x y y [ x, y ] x y Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 34 v 68

35 Vektorfunksjon Geometri [ x,y ] [ x,y ] x x og y y AB [ x x,y y ] frå A( x,y ) til B( x,y ) b b cos u u er vinkel mellom og b b tb b b 0 x x0 t ( x 0, y0) er et punkt på linj y y0 bt v [,b] er prllell med linj r( t) [ x( t), y( t)] Vektorfunksjon v( t) r '( t) [ x '( t), y '( t)] Frtsvektor vt ( ) Frt ( t) v '( t) [ x ''( t), y ''( t)] Akselersjonsvektor t ( ) Akselersjon Pytgors setning Formlikskp Periferivinklr Skjeringssetningr for høgdene, hlveringslinjene, midtnormlne og medinne i ein treknt Sirkellikning: ( x x0) ( y y0) r S( x0, y 0) er sentrum i sirkelen, r er rdius i sirkelen Sirkellikning må kunne utleist ved hjelp v vektorrekning på koordintform og omformst ved hjelp v metoden med fullstendige kvdrt. Sirkelen må også kunne teiknst som to grfr, jf. kpittel 5. Eksmensoppgåvene blir lg ut frå kompetnsemål i læreplnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kompetnsemål som kn prøvst i Del 1. Dersom oppgåvetemet krev det, kn meir kompliserte formlr bli oppgitt som ein del v oppgåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 35 v 68

36 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i REA306 Mtemtikk S1 (Formelrket kn ikkje brukst på Del 1 v eksmen.) Potensr Kvdrtsetningne og konjugtsetning Likning v ndre grd Logritmr Vekst og derivsjon Kombintorikk Snnsyn p q pq p q p q p pq pq p p b b ( b) b b ( b) b b ( b)( b) b b b 0 p 1 p p p 1 p 4 x bx c 0 x lg 10 lg x x lg lg ( b) lg lg b b b c x b lg b x lg lg x c x 10 c lg lg lg b b Gjennomsnittleg vekstfrt Momentn vekst f( x x) f( x) Definisjon v den deriverte f( x) lim x 0 x Derivsjonsreglr for polynomfunksjonr Pscls treknt n! 13 n n! np r n( n 1)... ( n r 1 ) ( n r)! n n! nc r r r! ( n r)! Snnsyn ved systemtiske oppteljingr Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 36 v 68

37 Binomisk og hypergeometrisk fordeling Dersom binomisk eller hypergeometrisk fordeling inngår i Del 1 v eksmen, vil formlne bli oppgitt slik: Binomisk fordeling: n k P( X k) p (1 p) k Tlet på uvhengige forsøk er n. X er tlet på gonger A inntreffer. P(A) = p i kvrt forsøk. nk Hypergeometrisk fordeling: m n m k r k P( X k ) n r m element i D. n m element i D. r element blir trekte tilfeldig. X er tlet på element som blir trekte frå D. Eksmensoppgåvene blir lg ut frå kompetnsemål i læreplnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kompetnsemål som kn prøvst i Del 1. Dersom oppgåvetemet krev det, kn meir kompliserte formlr bli oppgitt som ein del v oppgåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 37 v 68

38 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i REA304 Mtemtikk R (Formelrket kn ikkje brukst på Del 1 v eksmen.) Aritmetiske rekkjer Geometriske rekkjer Uendelege geometriske rekkjer Induksjonsbevis Derivsjon Ubestemt integrl Integrsjonsmetodr Bestemt integrl n 1 ( n 1) d 1 n sn n n-1 k n 1 n ( 1) 1 k sn når k 1 k 1 1 s når 1 k 1 1 k Bestemme konvergensområdet for rekkjer med vrible kvotientr Gjennomføre og gjere greie for induksjonsbevis Kunne derivere polynomfunksjonr, potensfunksjonr, rsjonle funksjonr, logritmefunksjonr og eksponentilfunksjonr og bruke 1 (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tn x) = cos x = 1 + tn x Kunne derivere smnsetningr v funksjonr F( x) f( x) dx betyr t F( x) f( x) 1 r 1 1 d x ln x C x x x e dx e C r r 1 x dx x C når r 1 x 1 x dx C ln cos x dx sin x C sin x dx cos x C (1 tn x) dx tn x C 1 dx tn x C cos x ( u( x) v( x)) d x u( x) d x v( x) dx k u( x) d x k u( x) dx, k er ein konstnt x i bsolutt vinkelmål Integrsjon ved vribelskifte, substitusjon Delvis integrsjon Integrsjon ved delbrøkoppsplting med lineære nemnrr b f( x) d x F( b) F( ) der F( x) f( x) Tolke det bestemte integrlet i prktiske situsjonr Formel for volum v omdreiingslekmr Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 38 v 68

39 Vektorrekning Linjer, pln og kuleflter Differensillikningr Trigonometri Rekning med vektorr geometrisk som piler i rommet [ x, y, z] xex yey zez t[ x, y, z ] = [ tx, ty, tz ] [ x1, y1, z1] [ x, y, z] [ x1 x, y1 y, z1 z] [ x, y, z ] [ x, y, z ] x x y y z z [ x, y, z] x y z [ x1, y1, z1] [ x, y, z] x1 x og y1 y og z1 z AB [ x x1, y y1, z z1] frå A( x1, y1, z 1) til B( x, y, z ) Definisjonen v vektorproduktet b Kunne rekne ut vektorproduktet b på koordintform Arelet v treknt: 1 b Volum v tetreder: 1 ( ) 6 b c x x0 t ( x0, y0, z0) er et punkt på linj y y0 bt v [, b, c] er retningsvektor z z0 ct ( x x0) b( y y0) c( z z0) 0 P0 ( x0, y0, z 0) er punkt i plnet, n [, b, c] er normlvektor ( x x0) ( y y0) ( z z0) r S( x0, y0, z 0) er sentrum i kul, r er rdius i kul Avstnd frå punkt til linje Avstnd frå punkt til pln Kunne løyse differensillikningr v første orden Kunne løyse seprble differensillikningr Kunne løyse homogene differensillikningr v ndre orden med konstnte koeffisientr Definisjonen v bsolutt vinkelmål Kunne rekne om mellom grder og bsolutt vinkelmål Kunne den generelle definisjonen v sinus, cosinus og tngens Kunne omforme trigonometriske uttrykk v typen sinkx bcos kx, og bruke det til å modellere periodiske fenomen Kunne løyse trigonometriske likningr Eksmensoppgåvene blir lg ut frå kompetnsemål i læreplnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kompetnsemål som kn prøvst i Del 1. Dersom oppgåvetemet krev det, kn meir kompliserte formlr bli oppgitt som ein del v oppgåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 39 v 68

40 Formlr som skl vere kjende ved Del 1 v eksmen i REA308 Mtemtikk S (Formelrket kn ikkje brukst på Del 1 v eksmen.) Aritmetiske rekkjer Geometriske rekkjer Uendelege geometriske rekkjer Fktorisering v ndregrdsuttrykk Polynom Likningr og likningssett Logritmr Derivsjon Arel under grfr Økonomi Snnsynsfordeling n 1 ( n 1) d 1 n sn n n 1 k n 1 ( n 1) 1 k sn, når k 1 k 1 1 s, når 1 k 1 1 k x bx c ( x x )( x x ) 1 Nullpunkt, polynomdivisjon og fktorisering Kunne løyse likningr med polynom og rsjonle funksjonr Kunne løyse lineære likningssett med fleire ukjende ln x e x og lne x x x lnb b x x ln x ln ln x ln( b) ln lnb e b x lnb lnx c x e c ln lnlnb b Derivsjonsreglr for potens-, eksponentil- og logritmefunksjonr Derivsjonsreglr for summr, differnsr, produkt og kvotientr Kjerneregel Kunne tolke relet under grfr i prktiske situsjonr Grensekostnd: K ( x) Grenseinntekt: I ( x) Utrekning v forventningsverdi, vrins og stndrdvvik For ei binomisk fordeling X med n forsøk og snnsyn p er E() x np og np(1 p) Summen v n uvhengige stokstiske vriblr hr forventningsverdi n og stndrdvvik n Kunne rekne ut snnsyn knytte til normlfordelingr (Aktuelle delr v tbell over stndrd normlfordeling vil bli oppgitt i Del 1 v eksmen.) Eksmensoppgåvene blir lg ut frå kompetnsemål i læreplnen, og utvlet v formlr ovnfor ngir derfor ikkje vgrensingr v kompetnsemål som kn prøvst i Del 1. Dersom oppgåvetemet krev det, kn meir kompliserte formlr bli oppgitt som ein del v oppgåveteksten i Del 1. Det er ein føresetnd t eleven beherskr grunnleggjnde formlr og frmgngsmåtr frå tidlegre kurs og skolegng. Det forutsettes t eleven behersker grunnleggende formler og frmgngsmåter fr tidligere kurs og skolegng. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 40 v 68

41 3 Måleiningr. SI-stndrd. 3 Måleiningne under er ktuelle i vriernde grd for dei ulike eksmenskodne ved sentrlt gitt skriftleg eksmen i mtemtikk. Nokre utvlde SI-grunneiningr 4 Storleik Grunneining Nmn Symbol Lengd meter m Msse kilogrm kg Tid sekund s Elektrisk strum mpere A Nokre vleidde SI-einingr uttrykte ved grunneiningne og supplementeiningne Storleik Arel Volum SI-eining Nmn kvdrtmeter kubikkmeter Symbol m 3 m Frt meter per sekund m / s Mssekonsentrsjon (mssetettleik) kilogrm per kubikkmeter 3 kg /m Akselersjon meter per sekund i ndre m / s Vinkelfrt rdin per sekund rd / s Densitet kilogrm per kubikkmeter 3 kg /m Nokre vleidde SI-einingr som hr eige nmn og symbol Storleik SI-eining Uttrykt i Nmn Symbol vleidde einingr Pln vinkel rdin rd Frekvens hertz Hz Krft newton N Trykk, spenning pscl P N /m Energi, rbeid, vrme joule J Nm Effekt wtt W J / s grunneiningr og supplementeiningr mm 1 s 1 mkg s m m m kg s 1 kg s kg s 3 3 I smsvr med lov om målenheter, måling og normltid og forskrift om målenheter og måling kpittel, -1 til -10 (Justervesenet). Kjelde: (010). 4 SI = Système Interntionl d Unités (1960), i Noreg frå Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 41 v 68

42 Nokre utvlde desimle multiplr v SI-einingr (prefiks) Fktorr Prefiks Nmn Symbol 1 10 ter T 9 10 gig G 6 10 meg M 1000 kilo k 100 hekto h 10 dek d 0,1 deci d 0,01 centi c 0,001 milli m 6 10 mikro μ 9 10 nno n Nmn og symbol for multiplr v grunneining for msse lgr vi ved å føye prefiks til nemning grm (g), for eksempel milligrm (mg), hektogrm (hg), etc. Spesielle nmn på visse desimle multiplr v SI-einingr Storleik Eining Nmn Symbol Uttrykt i SI-einingr Volum liter L L 1 dm 0,001 m Msse tonn t 1 t 1 Mg 1000 kg Fltemål r ml (milliliter), cl (centiliter), dl (desiliter) etc m kllr vi dekr (d) m kllr vi hektr (h) m Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 4 v 68

43 Nokre einingr som er definerte ut frå SI-einingne, men som ikkje er desimle multiplr Storleik Eining Nmn Symbol Uttrykt i SI-einingr Tid minutt min 1 min 60 s time h 1 h60 min 3600 s døgn d 1 d4 h s Vinkel grd deg 1 deg π /180 rd minutt ' 1' 1 deg / 60 sekund '' 1'' 1'/ m 1 1 km /h m / s 3,6 km /h 1 m / s 3600 s 3,6 π /10800 rd π / rd Andre utvlde einingr Storleik Eining Nmn Symbol, verdi Elektrisk strum mpere A Termodynmisk tempertur kelvin K Celsiustempertur celsiusgrd C Effekt wtt W Elektrisk spenning volt V Resistns ohm Ω Lengd nutisk mil 1 nutisk mil = 185 m Frt knop 1 knop = 1 nutisk mil per time Elles viser vi til forskrift om måleiningr og måling kpittel, -1 til -10 (Justervesenet). Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 43 v 68

44 4 Symbol- og terminologiliste 5 Under følgjer ei oversikt over kv for mtemtiske symbol og kv for terminologi som kn brukst ved sentrlt gitt skriftleg eksmen i mtemtikk. Dei ulike symbol og terminologien kn vriere for dei ulike eksmenskodne. Vi føreset elles t kndidtne er kjende med symbol og terminologi frå grunnskolen, jf. eksmensrettleiing for MAT0010 Mtemtikk 10. årstrinn. Mengder Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Mengde... Mengd v... Mengd på listeform Mengd v dei... som er slik t... Mengdbyggjr, f.eks.: Bestem x x 5x 6 0 Løysingsmengd L x 5x 14 0 x 7 x L 7, Elementteikn Er element i... Er ikkje element i... Tom mengd Den tomme Mengd hr ingen element. mengd L Mengdlikskp... er lik... A B betyr t mengdene hr kkurt dei sme element. A B ( x)( x A x B) Inklusjon... er delmengd A B betyr t lle element i A v... også er element i B. Union... union... A B inneheld dei element som nten er i A eller i B eller i begge. Snitt... snitt... A B inneheld dei element som er i både A og B. Mengdediffernse \... minus... A\ B inneheld dei element som er i A og ligg utnfor B. Mengd v dei 1,, 3,... nturlege tl Vi kn i tillegg bruke 0 0, 1,, 3,... Mengd v dei heile tl..., 1, 0, 1,,... Mengd v dei rsjonle tl Eit rsjonlt tl er v form b,, b. Mengd v dei reelle tl Alle tl på tllinj. : Alle positive, reelle tl Mengd v dei komplekse tl 5 Grunnlget for denne list er tidlegre symbol- og terminologiliste publisert v Rådet for vidregånde opplæring og Gyldendl Norsk Forlg 1989 og Jmes Stewrt, Clculus Erly Trnscendentls 7th Edition Stewrt Metric Interntion Version, Brooks/Cole, 011. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 44 v 68

45 Intervll Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Lukk intervll, b Det lukk intervllet frå og med til og med b, b x x b Ope intervll, b Det opne intervllet, b x x b frå til b Dessutn blir brukt:, b x x b Hlvope intervll, b Hlvope intervll, b Det hlvopne intervllet frå og med til b Det hlvopne intervllet frå til og med b, x x,, b x x b Dessutn blir brukt:, x x, b x x b Dessutn blir brukt:, b x x b Logikk Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Disjunksjon (Veljunksjon) p q... eller... p eller q eller begge er snne Konjunksjon p q... og smtidig... p og q er begge snne Impliksjon p q... impliserer... Tilsvrnde for q p... medfører... «premiss medfører... dersom... så... konklusjon» v... følgjer... Ekvivlens p q... dersom og berre p q p q dersom; er Impliksjon begge vegr ekvivlent med; betyr det sme som; biimpliserer Negsjon p ikkje p q q p Allkvntor for lle for kvrt... Eksistenskvntor... det finst det eksisterer... eksisterer ikkje Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 45 v 68

46 Vektorr Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Vektor Ein storleik som hr -vektor både lengd og retning AB AB-vektor Nullvektor Nullvektor Lengd eller bsoluttverdi v ein vektor Vinkel mellom vektorr Motsette vektorr Normlvektor Einingsvektor Ortonormert bsis Vektor på koordintform i plnet Vektor på koordintform i rommet Sklrprodukt (Prikkprodukt) 0 AB (, b) Lengd v... Absoluttverdien v... (Minste) vinkel mellom... Den motsette til Normlvektor til... n e ex, ey, e z e1, e og e 3 x, y Dessutn blir brukt: ( AB, AC) Vektor med lengd 1 Einingsvektorne lngs høvesvis første-, ndreog tredjeksen Til kvrt punkt P ( x, y ) i plnet svrer ein vektor OP x, y, der O er origo. x, y, z Til kvrt punkt P ( x, y, z) i rommet svrer ein vektor b -vektor prikk b-vektor OP x, y, z, der O er origo. Sklrproduktet er eit tl. Vektorprodukt (Kryssprodukt) b -vektor kryss b-vektor Vektorproduktet er ein vektor. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 46 v 68

47 Geometri Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Vinkel u, v,,,... Vinkel u,... Sjå også vinkel mellom vektorr. Dessutn blir brukt: u, v,... (, b) Vinkel mellom strålne og b A Vinkel A Blir gjerne brukt om vinkelen ved hjørnet A i ein mngeknt ABC Vinkel ABC Vinkel med toppunkt B og vinkelbein BA og BC Positiv dreieretning Mot dreieretning for visrne på ei klokke Negtiv dreieretning Med dreieretning for visrne på ei klokke Komplementvinklr uv 90 To vinklr med sum 90 Supplementvinklr uv180 To vinklr med sum 180 Eksplementvinklr To vinklr med sum 360 Sinus Cosinus sin cos Sinus Cosinus Det blir ikkje brukt tg for tn Tngens tn Tngens Vinkelrett AB DE Linjestykket AB står vinkelrett på linjestykket DE. Normlt Ortogonlt Perpendikulært Prllellitet AB DE Linjestykket AB er prllelt med linjestykket DE. Treknt ABC Treknt ABC A kn også brukst om T ABC, Arel v treknt rel. F ABC ABC Firknt ABCD Firknt ABCD Formlikskp ABC DEF Treknt ABC er formlik treknt DEF Kongruens ABC DEF Treknt ABC er kongruent med treknt DEF Sirkelboge ABC, AC Bogen ABC, bogen AC Vinklne i dei to formlike trekntne er prvis like store. Vinklne og sidene i dei to kongruente trekntne er prvis like store. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 47 v 68

48 Funksjonslære Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Ortonormert koordintsystem Også kll krtesisk koordintsystem. Rettvinkl koordintsystem med sme sklering på ksne Førstekse Også kll rgumentkse eller x-kse Andrekse Også kll funksjonskse eller y-kse Førstekoordint x Andrekoordint y f( x) Funksjonsverdi f( x), g( x ),... f v x Argument eller fri vribel x Ann nmn for uvhengig vribel Definisjonsmengd Df, D g,... Definisjonsmengd til f, g,... Verdimengd Vf, V g,... Verdimengd til f, g,... Vf f( x) x Df Grf til funksjon Mengd v punkt ( x, y ) der x Df og y f( x) Digrm eller grfisk bilete Koordintsystem med grfen til éin eller fleire funksjonr innteikn Smnsett funksjon f( g( x )) f v g v x Også kll funksjonsfunksjon. f er ytre funksjon, og g er indre funksjon. gx ( ) kllr vi kjernen. Strengt veksnde Også kll strengt opptil monoton. Blir brukt om funksjonr og tlfølgjer. Ein funksjon er strengt veksnde når x x1 f( x) f( x1) Strengt minknde Blir også kll strengt ned til monoton x x1 f( x) f( x1) Asymptote Vertikl, horisontl eller skrå symptote Symmetrisk funksjon Grfen til funksjonen er symmetrisk om ei linje Invers funksjon Omvend funksjon rcsin, sin, sin 1 rccos, cos, cos 1 rctn, tn, tn 1 eller eit punkt. 1 1 Eks.: sin 6 Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 48 v 68

49 Spesielle funksjonstypr Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Konstntfunksjon f( x) Lineær funksjon f() x x b Eit nn nmn er førstegrdsfunksjon. er stigingstlet til førstegrdsfunksjonen. Andregrdsfunksjon f( x) x bx c Polynomfunksjon v n n1 f( x) nx n 1x n-te grd... 1x 0 Rsjonl funksjon px ( ) p og q er polynom. fx ( ) qx ( ) Potensfunksjon r f( x) x r Generell x f( x) i x-te eksponentilfunksjon 0 Spesiell ( ) e x n fx 1 eksponentilfunksjon e lim 1,718 n n Logritmefunksjon f( x) log g x log-g-x def y y log g x g x g er grunntlet. Briggsk logritme lg Grunntlet er 10. log kn også brukst. Nturleg logritme ln Grunntlet er e. Trigonometrisk f( x) sin x funksjon f( x) sin( x) (eksempel) g( x) cos x g( x) cos(x 1) h( x) tn x h( x) tn(4 x) Trigonometrisk f( x) sin n x Sinus i n-te x n funksjon n n sin x (sin x) Stndrdform for tl 10 n 1 10, n Absoluttverdifunksjon f( x) x Nullpunkt til ein Løysing v likning funksjon fx ( ) 0. Løysing blir Rot/røter i ei likning også kll rot i likning fx ( ) 0. Dobbelt nullpunkt til x er eit dobbelt ein funksjon nullpunkt til ein funksjon f dersom f( x) ( x ) g( x) der g ( ) 0. x er tngeringspunkt med x-ksen. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 49 v 68

50 Grenseverdi Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Grenseverdi lim fx ( ) x Grenseverdien for fx ( ) når x går mot. lim fx ( ) Grenseverdien for fx ( ) x når x går mot uendeleg. Høgresidig lim fx ( ) Grenseverdien for fx ( ) x grenseverdi når x går mot frå høgre. Venstresidig lim fx ( ) x grenseverdi Grenseverdien for fx ( ) Einsidig grenseverdi når x går mot frå venstre. «lim» kjem v «limes», som betyr grenseverdi. Tilsvrnde når x går mot minus uendeleg. Anten høgresidig eller venstresidig grenseverdi. Kontinuitet Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Kontinuitet i eit Grfen er punkt smnhengnde i Kontinuitet i eit intervll Diskontinuitet punktet. Funksjonen er kontinuerleg i kvrt punkt i intervllet. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 50 v 68

51 Derivert Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Argumentdifferens x,... delt x,... Eller rgumenttilvekst Funksjonsdifferens y,... delt y,... f( x) f( x x) f( x) fx ( ) delt f v x fx ( ) blir også kll funksjonstilvekst. Gjennomsnittleg stigingstl, gjennomsnittleg vekstfrt Deriverbrheit i eit punkt Deriverbrheit i eit intervll y x fx ( ) x Den deriverte f ( x) f derivert v x Veksthstigheit Vekstfrt Kjerneregelen d fx ( ) dx, d ( ) dx fx y, d y dx f ( x) Differensil d x, d y, df df Differensil v d y, d f eller f ( x) høgre orden Differensilkvotient f x f x f x (4) (5) ( ), ( ), ( ), ( n f ) ( x ), n dy dx f v x derivert Gjennomsnittleg vekstfrt for f mellom rgumentverdine og x er f( x) f( x) f( ) x x Funksjonen er deriverbr i kvrt punkt i intervllet. fx ( ) f( x) lim x 0 x f( x x) f( x) lim x 0 x Førstederivert v fx ( ) Regel for å finne den deriverte v ein smnsett funksjon (funksjonsfunksjon) d f( x) f( x)dx dy ydx Den fullstendige nemning er d fx ( ). Er lik y Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 51 v 68

52 Derivert. Frmhld. Terminologi Symbol Lesemåte Kommentr Mksimlverdi Lokl fx ( ) mks mksimlverdi Minimlverdi Lokl minimlverdi fx ( ) min Ekstremlverdir Mksiml- eller minimlverdir Ekstremlpunkt Mksiml- eller minimlpunkt (rgumentet til ein ekstremlverdi) Absolutt mksimum y Den største verdien som mks funksjonen kn få i definisjonsmengd Absolutt minimum y Den minste verdien som min funksjonen kn få i definisjonsmengd Kritisk x-verdi Ein kritisk x-verdi til ein funksjon fx ( ) er eit tl (kritisk punkt) c D f slik t nten er f( c) 0 eller så er f () c ikkje definert. Dersom f hr eit loklt mksimum eller eit loklt minimum i c, er c ein kritisk x-verdi til f. Toppunkt Eit punkt på grfen med mksimlpunkt og mksimlverdi. Botnpunkt Eit punkt på grfen med minimlpunkt og minimlverdi. Knekkpunkt Eit punkt på grfen der funksjonen er kontinuerleg, men ikkje deriverbr Vendepunkt Eit punkt på grfen der funksjonen er kontinuerleg, og som skil mellom to delr v grfen som vender den hole sid opp og den hole sid ned. Infleksjonspunkt Argumentet (x-verdien) til eit vendepunkt Konkv ned f( x) 0 Grfen hr «hol side ned». Konkv opp (konveks) f( x) 0 Grfen hr «hol side opp». Ei nn nemning er «konveks». Stsjonært punkt I eit stsjonært punkt er f( x) 0. Eit stsjonært punkt er eit toppunkt eller eit botnpunkt dersom f ( x) skiftr forteikn i punktet. Terrssepunkt Eit terrssepunkt er eit stsjonært punkt der funksjonen ikkje endrr seg frå veksnde til minknde eller frå minknde til veksnde. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 5 v 68

53 Absolutt mksimum og bsolutt minimum: Ein funksjon f hr bsolutt mksimum i c dersom f( c) f( x) mksimumsverdien til f i x D f. fc () er minimumsverdien til f i f x Df. fc () kllr vi D. Ein funksjon f hr bsolutt minimum i c dersom f( c) f( x) D f. Her kllr vi fc () ekstremlverdir til f. Loklt mksimum og loklt minimum: Ein funksjon f hr eit loklt mksimum i c dersom det finst eit ope intervll I om c slik t f( c) f( x) x I. Dersom f hr eit loklt mksimum i c, kllr vi fc () for lokl mksimumsverdi. Ein funksjon f hr eit loklt minimum i c dersom det finst eit ope intervll I om c slik t f( c) f( x) x I. Dersom f hr eit loklt minimum i c, kllr vi fc () for lokl minimumsverdi. Fellesnemning for lokle mksimums- og minimumsverdir til ein funksjon f er lokle ekstremlverdir for f. Merk! Med denne definisjonen kn ein funksjon f ikkje h eit loklt mksimum eller eit loklt minimum i nokon v endepunkt i D f ettersom det ikkje finst eit ope intervll om eit endepunkt. Lukk intervll-metode: For å finne bsolutte mksimums- og minimumsverdir til ein kontinuerleg funksjon f på eit lukk intervll, b : 1. Finn fx-verdir ( ) for kritiske x-verdir til f i, b.. Finn fx-verdir ( ) i endepunkt og b. 3. Dei største fx-verdine ( ) frå trinn 1 og er bsolutte mksimumsverdir. Dei minste fx-verdine ( ) frå trinn 1 og er bsolutte minimumsverdir. Førstederivert-test: Gå ut frå t c er ein kritisk x-verdi til ein kontinuerleg funksjon f. ) Dersom f( x) 0 før c og f( x) 0 etter c, hr f eit loklt mksimum i c. b) Dersom f( x) 0 før c og f( x) 0 etter c, hr f eit loklt minimum i c. c) Dersom f ( x) ikkje skiftr forteikn (dersom f( x) 0 på begge sider v c, eller dersom f( x) 0 på begge sider v c), hr f ikkje loklt mksimum eller loklt minimum i c. Fermts teorem: Dersom funksjonen f hr eit loklt minimum eller mksimum i c, og dersom f () c eksisterer, så er f( c) 0. NB! Sjølv om f( c) 0, treng ikkje f h loklt minimum eller loklt mksimum i c. Eksempel: Dersom f( x) 3 x, d er (0) 0 f. Men f hr ikkje noko mksimum eller minimum. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 53 v 68

54 Andrederivert-test: Gå ut frå t f er kontinuerleg nær c. ) Dersom f( c) 0 og f( c) 0, hr f eit loklt minimum i c. b) Dersom f( c) 0 og f( c) 0, hr f eit loklt mksimum i c. Konkvitetstest: ) Dersom f( x) 0 x, b, er grfen til f konkv opp på, b. b) Dersom f( x) 0 x, b, er grfen til f konkv ned på, b. Dersom grfen til f ligg over lle sine tngentr på, b, kllr vi grfen konkv opp på, b. Dersom grfen til f ligg under lle sine tngentr på, b, kllr vi grfen konkv ned på, b. Vendepunkt: Eit punkt P på grfen til f kllr vi eit vendepunkt dersom f er kontinuerleg der og grfen endrr seg frå konkv opp til konkv ned eller frå konkv ned til konkv opp i P. NB! Sjølv om f( c) 0 treng ikkje f h eit vendepunkt for x c. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 54 v 68

55 Eksempel 1 Ein funksjon f er gitt ved f x x x x D f 3 ( ) 3 1, [ 4, ] Grfen til f : Absolutt mksimum y f() 19 Toppunkt (,3, 9,3) Loklt mksimum Nullpunkt x 3,6 Vendepunkt( 1, 5) Infleksjonspunkt x 1 Botnpunkt (0,3, 0,7) Loklt minimum x Absolutt minimum f( 4) 7 Kommentrr til eksempel 1: 1. Nullpunkt til f: f( x) 0 x 3,6 (eit nullpunkt er løysing v likning fx ( ) 0 ) Når nullpunktet er 3,6, er skjeringspunktet mellom grfen og x-ksen (3,6, 0).. Botnpunkt: (0,3, 0,7) Eit punkt på grfen til f. Botnpunkt består v ein lokl minimlverdi ( fx-verdi), ( ) og ein kritisk x- verdi. 3. Toppunkt: (,3, 9,3) Eit punkt på grfen til f. Toppunkt består v ein lokl mksimlverdi ( fx-verdi), ( ) og ein kritisk x-verdi. Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 55 v 68

56 4. Ekstremlpunkt: Argumentet (x-verdien) til toppunkt og/eller botnpunkt. Jmfør punkt og Vendepunkt: ( 1, 5) Eit punkt på grfen til f. 6. Infleksjonspunkt: x 1 7. Absolutt mksimum f() 19 Største verdi som funksjonen kn få i D [ 4, ] f 8. Absolutt minimum f( 4) 7 Minste verdi som funksjonen kn få i D [ 4, ] f Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 56 v 68

57 Eksempel Ein funksjon f er gitt ved f x x x x D f 4 3 ( ) , [ 1, 4] Grfen til f: Absolutt mksimum f( 1) 37 y (4) 3 f er verken loklt eller bsolutt mksimum Toppunkt (1, 5) Vendepunkt (0,45,,3) Infleksjonspunkt x 0,45 Loklt mksimum f(1) 5 Nullpunkt x 1,61 Nullpunkt x,7 x Botnpunkt (0, 0) Loklt minimum f(0) 0 Nullpunkt Vendepunkt (,, 13,36) Infleksjonspunkt x, Botnpunkt Loklt og bsolutt minimum f(3) 7 Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 57 v 68

58 Eksempel 3 Ein funksjon g er gitt ved g( x) x 3x 1, D f, y Absolutt mksimum g(4) 17 Toppunkt (0, 1) Loklt mksimum g(0) 1 Nullpunkt x 0,65 Nullpunkt x,88 x 1 1 g er 8 verken eit loklt minimum eller eit bsolutt minimum. Vendepunkt(1, 1) Infleksjonspunkt x 1 Botnpunkt (, 3) Loklt og bsolutt minimum g() 3 Eksmensrettleiing, Mtemtikk i vidregånde opplæring 016 Side 58 v 68