1T kapittel 2 Likninger

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "1T kapittel 2 Likninger"

Transkript

1 Løsninger til oppgvene i ok T kpittel Likninger Løsninger til oppgvene i ok VS 6 8 HS 6 ( 6) Sien VS HS når 6, er 6 en løsning på likningen. ( + ) VS HS ( + ) 5 Sien VS HS når, er en løsning på likningen. ( 5) VS ( 5) (6 5) HS Sien VS HS når, er en løsning på likningen. Ashehoug Sie v 78

2 Løsninger til oppgvene i ok e f Ashehoug Sie v 78

3 Løsninger til oppgvene i ok ( ) + ( + 9) ( + ) ( ) ( + ) 5 + ( ) Ashehoug Sie v 78

4 Løsninger til oppgvene i ok ( ) ( ) ( ) gjør t nevnerne lir null. Altså er ikke ette en tilltt løsning og L Ashehoug Sie v 78

5 Løsninger til oppgvene i ok 6 6 ( + 5) ( ) Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGer og ruker kommnoen Løs[ <Likning me > ] til å løse likningen: Ashehoug Sie 5 v 78

6 Løsninger til oppgvene i ok Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGer og ruker kommnoen Løs[ <Likning me > ] til å løse likningen: Altså er løsningsmengen tom, noe som etyr t likningen hr ingen løsning ( ) ,7,7 6,7,7, Ashehoug Sie 6 v 78

7 Løsninger til oppgvene i ok ( + ) Ashehoug Sie 7 v 78

8 Løsninger til oppgvene i ok ( + ) ( + ) + +. Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGer og ruker kommnoen Løs[ <Likning me > ] til å løse likningen: Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGer og ruker kommnoen Løs[ <Likning me > ] til å løse likningen: Ashehoug Sie 8 v 78

9 Løsninger til oppgvene i ok Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGer og ruker kommnoen Løs[ <Likning me > ] til å løse likningen: ( ) 6 ( 5) ( 9 ) ( ) ( ) ( ) 8+ Ashehoug Sie 9 v 78

10 Løsninger til oppgvene i ok. t etyr t t n. Vi setter ette inn i likningen n n n+ n n n n ( + ) n t t+ n. n n. Nevneren i en røk kn ikke være null. Altså må, + og. Sien ( )( + ), holer et å løse likningene + og for å finne ut hvilke verier for som ikke kn være løsning på likningen. og + Altså kn og ikke være løsninger på likningen. ( + )( ) ifølge treje kvrtsetning. Sien og + som er e to fktorene i ette uttrykket, er e to nre nevnerne i likningen, ( + )( ), fellesnevneren. Ashehoug Sie v 78

11 + + ( + )( ) + ( + )( ) ( + )( ) Løsninger til oppgvene i ok. Vi setter inn 5 i likningen + ( + ) ( + 5) Derme må høyresien h veri 9 når 5. Et eksempel er HS 8. + ( + ) Dersom vi setter HS 7, får vi likningen 7+ 7 som hr ingen løsning. Dersom vi setter HS 7 +, får vi likningen er vi hr likhet unsett hvilket reelt tll er..5 ( + ).6 Vi lr være ntll kroner Ahme tjener. D lir ntll kroner fren hns sponser hn me. Summen v em må være 6 kr. Dette gir likningen Dette etyr t Ahme må selv tjene kr for å få rå til turen. Ashehoug Sie v 78

12 .7 Vi må først finne ut hvor mnge skritt Simen tr til smmen: s+ 5s+ s+ s+ 5s 5s Løsninger til oppgvene i ok Altså tr hn til smmen 5 skritt. For å finne ut hvor lnge hvert v skrittene er eler vi strekningen 5 m på ntll skritt 5, 5 Dette etyr t hvert skritt er på, m. Vi vet t summen v vinklene i en treknt er 8. Dette gir likningen Dette etyr t vinklene i treknten er, 96 og Vi lr være leren til Dvi og Even. D er + 5 leren til Frøyis. Sien e til smmen er år, får vi likningen Dette etyr t Dvi og Even er 6 år gmle og Frøyis er år gmmel..9 Vi lr siene i treknten være m. Det gir likningen Dette etyr t hver v siene er m lnge.. Vi lr siene i kvrtet være m. Det gir likningen Dette etyr t hver v siene er m lnge. Ashehoug Sie v 78

13 . Løsninger til oppgvene i ok Vi lr en minste vinkelen i treknten være grer. D er e to nre + grer og + grer. Sien summen v vinklene i en treknt er 8, gir ette gir likningen Dette etyr t vinklene i treknten er 59, og Vi lr være ntll kmper lget til Jostein spilte uvgjort. D er + 7 ntll kmper lget vnt. Det gir likningen + ( + 7) Dette etyr t lget vnt kmper.. Vi lr kortsiene i rektnglet være m lnge. D er lngsiene ( 5) likningen + ( + 5) Dette etyr t kortsiene er m og lngsiene er m + 5 m 5 m.. + m lnge. Dette gir Vi lr en minste spisse vinkelen være grer. D er en nre spisse vinkelen grer. Sien en rette vinkelen er 9 og summen v vinklene i en treknt er 8, får vi likningen ,5 Dette etyr t vinklene i treknten er,5,,5 67,5 og 9. Ashehoug Sie v 78

14 Løsninger til oppgvene i ok.5 Vi lr være ntll personer på treningskvelen. D rev personer me styrketrening og 5 personer me teknisk trening. Det gir likningen Dette etyr t et vr 6 personer på treningskvelen..6 Vi lr Reiun være år gmmel nå. D er Synne ( ) år gmmel. For år sien vr Reiun ( ) + år gmmel nå. Om 5 år er Synne år gmmel. Sien isse lerne skl være et smme, får vi likningen + 7 ( ). + 7 ( ) Dette etyr t Reiun er 5 år gmmel og Synne er år gmmel nå..7 :6 : 6: : :(+ 6) :8 :.8 6:(+ 6) 6:8 : Forholet mellom hvit og gul mling skl være :. Ingeorg trenger L hvit mling. D er forholet mellom hvit og gul mling :7. Sien isse forholene skl være like, får vi likningen ,5 Ingeorg trenger,5 L hvit mling. Ashehoug Sie v 78

15 .9 Løsninger til oppgvene i ok 6 Forholet mellom Ms og Is investering er. Is fortjeneste er på 8 kr, og 6 Ms fortjeneste er på kr. Forholet mellom Ms og Is fortjeneste er. Sien 8 forholet mellom fortjenestene eres skl være et smme som forholet mellom investeringene, får vi likningen Fortjesten til Ms er på 9 kr.. På skolen er et totlt 7 + eler elever. Forholet mellom ntll jenter og ntll elever er :7. Vi lr være ntll jenter et er på skolen. Forholet mellom ntll jenter og ntll elever på skolen er : 9. Sien isse forholene uttrykker et smme, må e være like. Vi får likningen Det er jenter på skolen Likningen er ikke en proporsjon Ashehoug Sie 5 v 78

16 Løsninger til oppgvene i ok + ( + ) +. 5 I utgngspunktet inneholer mlingslningen L 5 L + 5 gul mling og L L + lå mling. Vi tenker t mlermester Grønn må tilsette L lå mling for t forholet skl li :. D inneholer lningen 5 L gul mling og ( + ) L lå mling. Det gir likningen 5 + ( + ) ,5 Hn må tilsette,5 L lå mling Ashehoug Sie 6 v 78

17 Løsninger til oppgvene i ok 5 7,5 7, Forholet mellom ntll msker og ntll m er :. Vi tenker t John trenger msker for å få 58 m. Det gir forholet : 58 mellom ntll msker og ntll m. Sien isse forholene uttrykker et smme, må e være like. Det gir likningen ,6 Hn må lge 8 msker..5 Forholet mellom rø mling og feriglnet mling er :(+ 5) :8. Me,5 L rø mling kn hun lge L feriglnet mling. Det gir forholet,5 : mellom rø mling og feriglnet mling. Sien isse forholene uttrykker et smme, må e være like. Det gir likningen,5 8,5 8 6 Hun kn lge L ferig mling. Ashehoug Sie 7 v 78

18 Løsninger til oppgvene i ok.6 Forholet mellom kortsien og summen v en kortsie og en lngsie er :(+ ) :5. Sien omkretsen er 6 m, vil summen v en lngsie og en kortsie være 6 m m. Vi tenker t kortsien er m lng. Det gir forholet : mellom en kortsie og summen v en kortsie og en lngsie. Sien isse forholene uttrykker et smme, må e være like. Det gir likningen 5 5 Altså er kortsien m, og lngsien er m m 8 m..7 Sien forholet mellom ensin og olje er 5 :, etyr et t et er 5 eler ensin og el olje. Altså estår lningen v 5 olje og ensin. I en lning på L vil et være 6 6 L,65 L 6 olje og 5 L 9,75 L ensin. For t forholet mellom ensin og olje skl 6 li :, må vi tilsette liter ensin. Dette gir likningen, 65 9,75 + Vi ruker CAS til å løse enne likningen: Dette etyr t Johnny må tilsette 5 8 L ensin..8 Forholet mellom ntll msker og ntll m er 5 :. Vi tenker t Ingun trenger msker for å få 8 m. Det gir forholet : 8 mellom ntll msker og ntll m. Sien isse forholene uttrykker et smme, må e være like. Det gir likningen Hun må lge msker. Ashehoug Sie 8 v 78

19 Løsninger til oppgvene i ok Hun må øke me 5 msker. For t økningen skl være jevn, må hun legge til en ny mske etter hver mske hun hr strikket..9 Volumet v prisme A er VA lh. Volumet v prisme B er VB l h 8 lh. Forholet mellom volumet v et første og et nre prisme er lh. 8 lh 8 Volumet v et første prismet er V lh. Volumet v et nre prismet er V l h 6 lh. Forholet mellom volumet v prisme A og prisme B er lh. 6 lh 6. Vi lr være lengen v lngsien. D er forholet mellom lngsien og kortsien + 5 (+ 5) Dette forholet må være et smme som et gylne snitt. Det gir likningen + 5 (+ 5) + 5 (+ 5) Altså er lngsien. + 5 (+ 5) Forholet mellom siene er ( 5+ ) ( 5+ ) ( 5+ ) 5+ 5 ( 5 ) ( 5 ) ( 5 + ) 5 Sien ette er et gylne snitt er rektnglet gyllent.. 9 ± 9 Ashehoug Sie 9 v 78

20 Løsninger til oppgvene i ok 6 ± 6 ± Likningen hr ingen løsning. ±. ( + ) 9 + ± 9 + ± Løsningsmengen er L { 5,}. ( 7) 8 7 ± 8 7± Løsningsmengen er L {,6}. ( ) 6 ± 6 ± Løsningsmengen er L {,}. Ashehoug Sie v 78

21 Løsninger til oppgvene i ok (5 ) 5 5 ± 5 5 ± Løsningsmengen er L {,}.. 8, og Vi omformer likningen til Vi omformer likningen til + 5. D ser vi t, og D ser vi t, og.. Her er, S og 6. Vi setter inn i -formelen og får ± ± ± Likningen hr løsningen og. Vi kontrollerer ette ve å ruke CAS: Her er, og. Vi setter inn i -formelen og får ± ± + ± ( ) () ( ) 6 56 Likningen hr løsningen og 5. Vi kontrollerer ette ve å ruke CAS: Ashehoug Sie v 78

22 Vi omformer likningen til -formelen og får Løsninger til oppgvene i ok. D er, og. Vi setter inn i ( ) ( ) ± ± + ± + Likningen hr løsningen og 5. Vi kontrollerer ette ve å ruke CAS:.5 Her er, og. Vi setter inn i -formelen og får ± ± 6 6 ± Likningen hr løsningen. Her er, og. Vi setter inn i -formelen og får ± ± ± ( ) ( ) ( ) 8 Vi får et negtivt tll uner rottegnet. Det etyr t et ikke fins noe reelt tll som psser for i enne likningen. Likningen hr ingen løsning, L D er, 8 og 6. Vi setter inn i - Vi omformer likningen til formelen og får ± ± ± Likningen hr løsningen..6 ( )( + ) + ( )( + ) + Ashehoug Sie v 78

23 Løsninger til oppgvene i ok ( 6)( ) 6 6 e f ( ) + 5 ( + 5) ( ).7 Vi tenker t lngsien er m. D er kortsien ( ) m, og vi kn uttrykke relet v rektnglet me likningen ( ) som vi kn løse. ( ) ± ± + ± ± ( ) ( ) ( ) Vi ser t likningen hr to løsninger for lengen v lngsien, men for t vi skl kunne h et rektngel, må lengen v siene være større enn null. Det etyr t er en ugylig løsning for ette prolemet. Altså er lngsien m, og kortsien er m m m..8 Prtllet som kommer etter n, kn skrives som n +. At prouktet v to prtll som kommer etter hvernre, skl være, kn skrives n(n+ ) som er en likning vi kn løse: Ashehoug Sie v 78

24 Løsninger til oppgvene i ok n n(n+ ) + n Vi ruker Løs[ <Likning>, <Vriel> ] i CAS til å løse likningen: Sien vi skl h n, er et re n 7 som er en gylig løsning. Dette etyr t e to tllene er 7 og e 7+ ± ± ± ± ( 7) ( 7) ± ± + ± ± ( ) ( ) ( 8) ± ± + ± ± ( ) 6 + ± ± + ± ± ± ( ) 6 6 ( ) ( ) ± ± + ± Ashehoug Sie v 78

25 Løsninger til oppgvene i ok f 6+ ± ± ± ± ( 6) ( 6) Likning og er nregrslikningslikninger. Likning er en trejegrslikning, og likning er en førstegrlikning. 9 ± 9 ± ± ± ± ± ( ) ( ) 6 ( 6) ( 6) ± ± ± ± ± ± ± Vi får et negtivt tll uner rottegnet. Det etyr t et ikke fins noe reelt tll som psser for i enne likningen. Likningen hr ingen løsning, L. ± ± + ± ± ( ) ( ) Ashehoug Sie 5 v 78

26 e f 8 + ± ± ± + 8 ( 8) ± ± Løsninger til oppgvene i ok Vi får et negtivt tll uner rottegnet. Det etyr t et ikke fins noe reelt tll som psser for i enne likningen. Likningen hr ingen løsning, L..5 ( ) ( 5) ( + ) ( )(+ 6) Vi lr være lengen v siene i kvrtet. Arelet v kvrtet er 6 m. Det gir likningen 6 ± Lengene v siene kn ikke være negtive, ltså er 8 en ugylig løsning. Det etyr t siene er 8 m. Vi lr lengen v kortsien være m. D er lngsien ( ) + m. Arelet v rektnglet er 57 m. Det gir likningen Ashehoug Sie 6 v 78

27 Løsninger til oppgvene i ok ( + ) Vi ruker CAS til å løse likningen: Sien lengen v en sie ikke kn være negtiv, er en ugylig løsning. Dette etyr t lengen v kortsien er 7 m og lengen v lngsien er 7 m + m m. Altså er omkretsen 7 m + m 56 m..5 + ( ) 9 ( ) ± ( ) ± ± ± + ( ) ± (6 5 ) 6 (6 5 ) ± ± 6.55 Ashehoug Sie 7 v 78

28 Løsninger til oppgvene i ok ( ) ( )(5 + ) ( )( + ) + ( )(5 ) ( )(( + ) + (5 )) ( )(6+ ) ( ) + 8 ( + ) ( ) ± Ashehoug Sie 8 v 78

29 Løsninger til oppgvene i ok Vi løser enne oppgven ve å gjøre et vrielytte lr u +. Derme lir likningen u + 8u+ 6 8 ± ± ± 8 u For å finne setter vi inn u i likningen for u Vi lr m være lengen v grunnlinj. D er høyen ( ) gir likningen ( + ) 7 ( + ) Vi ruker CAS til å løse enne nregrslikningen: + m. Arelet v treknten er 7 m. Det Lengene v siene kn ikke være negtive, ltså er en ugylig løsning. Dette etyr t grunnlinj er m..58 Vi lr kortsien være m og lngsien være y m. Arelet v rektnglet er 8 m, og omkretsen er 5 m. Det gir likningene y 8 og + y 5. Dette er et likningssett me to ukjente. Vi løser ette ve innsettingsmetoen. Vi tr utgngpunkt i likningen for omkretsen + y 5 ( + y) 5 7 y Vi setter ette inn likningen for relet: y 8 (7 y) y 8 y y 7 8 y + y 7 8 Ashehoug Sie 9 v 78

30 Løsninger til oppgvene i ok Denne likningen løser vi i CAS: Vi setter isse to løsningene inn i likningen for : Dette etyr t siene i rektnglet er m og 5 m lnge..59 Vi vet t en nregrslikning re hr én løsning når uttrykket uner rottegnet er null. + + m m Altså må vi finne ut når m 8m mm ( 8) ± ± 8 m m m m m m m 8m. m m 8 m m 8 Dette etyr t likningen hr én løsning for m og for m 8..6 Sien og er løsningene til nregrslikningen + + skrive Dette etyr t og og + + +, etyr et t vi kn ( ) ( ) ( ) + ( + ) ( ) +. Ashehoug Sie v 78

31 Løsninger til oppgvene i ok Her er 5 og 6. Det etyr t + 5 og 6. Vi må ltså finne to tll som gjør t summen er 5 og prouktet er 6. Tllene og oppfyller isse krvene. Vi hr erme løsningen og..6 Først finner vi nullpunktene til uttrykket ve å løse likningen 7+. Det gir 5 og. Vi ruker eretter nullpunktmetoen me og får 7 + ( 5)( ) Vi kontrollerer svret ve å multiplisere fktorene ( 5)( ) + ( ) 5 5 ( ) Først finner vi nullpunktene til uttrykket ve å løse likningen 8+. Det gir. Vi ruker eretter nullpunktmetoen me og får 8+ ( ) Vi kontrollerer svret ve å multiplisere fktorene ( ) ( + ) 8+ Først finner vi nullpunktene til uttrykket ve å løse likningen reelle løsninger. Altså kn ikke uttrykket fktoriseres Dette gir ingen.6 Sien nullpunktene til nregrsutrykket er og, vet vi t og er fktorer. Alle nregrsuttrykk er på formen ( )( ). Velger vi, får vi ( )( ) + + Sien nullpunktene til nregrsutrykket er 6 og, vet vi t 6 og ( ) + er fktorer. Alle nregrsuttrykk er på formen ( 6)( + ). Velger vi, får vi ( 6)( + ) 6+ Sien nullpunktene til nregrsutrykket er 6, vet vi t 6 og 6 er fktorer. Alle nregrsuttrykk er på formen ( 6). Velger vi, får vi ( 6) + 6 Ashehoug Sie v 78

32 .6 Vi fktoriserer telleren ve å ruke treje kvrtsetning: 5 ( + 5)( 5) Løsninger til oppgvene i ok Nevneren fktoriseres ve hjelp v nullpunktene. Vi løser likningen 5, som gir nullpunktene 5 og. Altså er 5 ( 5)( + ). Det gir 5 ( + 5)( 5) ( 5)( + ) + Vi fktoriserer telleren ve å ruke første kvrtsetning: ( + ) Nevneren fktoriseres ve hjelp v nullpunktene. Vi løser likningen +, som gir nullpunktene og. Altså er + ( )( + ). Det gir ( + ) + + ( )( + ) Vi fktoriserer telleren ve å ruke treje kvrtsetning: + ( ) ( )( ) Nevneren fktoriseres ve hjelp v nullpunktene. Vi løser likningen + 8, som gir nullpunktene og. Altså er ( )( + ). Det gir + + ( )( ) ( ) ( )( + ) +.6 Først finner vi nullpunktene til uttrykket ve å løse likningen +. Det gir og. Vi ruker eretter nullpunktmetoen me og får + ( )( ) Først finner vi nullpunktene til uttrykket ve å løse likningen og. Vi ruker eretter nullpunktmetoen me og får 7 ( ) + Først finner vi nullpunktene til uttrykket ve å løse likningen reelle løsninger. Altså kn ikke uttrykket fktoriseres.. Det gir Dette gir ingen Først finner vi nullpunktene til uttrykket ve å løse likningen Det gir. Vi ruker eretter nullpunktmetoen me og får ( + ) Ashehoug Sie v 78

33 .65 Først finner vi nullpunktene til uttrykket ve å løse likningen og. Vi ruker eretter nullpunktmetoen me og får Løsninger til oppgvene i ok +. Det gir ( + ) Først finner vi nullpunktene til uttrykket ve å løse likningen og. Vi ruker eretter nullpunktmetoen me og får ( ) + ( ) + Først finner vi nullpunktene til uttrykket ve å løse likningen reelle løsninger. Altså kn ikke uttrykket fktoriseres. Først finner vi nullpunktene til uttrykket ve å løse likningen og. Vi ruker eretter nullpunktmetoen me og får +. Det gir + +. Dette gir ingen Det gir ( )( ).66 Sien nullpunktene til nregrsutrykket er og 5, vet vi t og 5 er fktorer. Alle nregrsuttrykk er på formen ( )( 5). Velger vi, får vi + + ( )( 5) 5 9 Sien nullpunktene til nregrsutrykket er og 7, vet vi t og ( 7) + 7 er fktorer. Alle nregrsuttrykk er på formen ( )( + 7). Velger vi, får vi ( )( + 7) Vi ruker nullpunktene til å fktorisere uttrykket. Vi løser likningen + 5 6, som gir nullpunktene og 6. Altså er ( )( + 6). Vi kn eretter ruke ette til å forkorte røken ( )( + 6).68 Sien nullpunktene til nregrsutrykket er og, vet vi t og ( ) + er fktorer. Alle nregrsuttrykk er på formen ( + ). Velger vi, får vi ( + ) + Ashehoug Sie v 78

34 Løsninger til oppgvene i ok Sien nullpunktene til nregrsutrykket er 5, vet vi t 5 og 5 er fktorer. Alle nregrsuttrykk er på formen ( 5) + 5 ( 5). Velger vi, får vi Sien nullpunktene til nregrsutrykket er og, vet vi t og ( ) + er fktorer. Alle nregrsuttrykk er på formen ( )( + ). Sien vi vet t uttrykket skl h verien når, får vi ( )( + ) ( ) Dette gir nregrsuttrykket ( )( ) ( ) Først finner vi nullpunktene til uttrykket ve å løse likningen 8 +. Det gir og. Vi ruker eretter nullpunktmetoen me 8 og får Først finner vi nullpunktene til uttrykket ve å løse likningen reelle løsninger. Altså kn ikke uttrykket fktoriseres. Først finner vi nullpunktene til uttrykket ve å løse likningen Dette gir ingen m m. ( m) ± ( m) m m± m + m m± m m± m m+ m m m m m Vi ruker eretter nullpunktmetoen me og får m m + m m Ashehoug Sie v 78

35 Løsninger til oppgvene i ok.7 For t uttrykket + 6+ skl kunne skrives som proukt v førstegrsfunksjoner, må likningen + 6+ h reelle løsninger. Dette hr en ersom uttrykket uner rottegnet er positivt når vi ruker -formelen. ± ± Dette etyr t vi må h 6. Løser ulikheten 6 6 Altså kn uttrykket skrives som et proukt v førstegrsfunksjoner når..7 Vi fktoriserer telleren ve hjelp v nullpunktene. Vi løser likningen +, som gir nullpunktene og. Altså er + ( )( ). Det gir + ( )( ) ( ) Vi fktoriserer telleren ve hjelp v nullpunktene. Vi løser likningen nullpunktene og 5. Altså er 5 ( + )( 5). Vi fktoriserer telleren ve å ruke treje kvrtsetning: Det gir + 75 ( 5) ( 5)( 5) ( )( 5) 75 ( + 5)( 5) ( + 5) 5, som gir Vi fktoriserer telleren ve hjelp v nullpunktene. Vi løser likningen + ( + ), som gir nullpunktene, og. Altså er + ( )( + ). Vi fktoriserer nevneren ve å ruke nre kvrtsetning: Det gir + 8 ( 6+ 9) ( ) + ( )( + ) ( + ) + 8 ( ) ( ) Ashehoug Sie 5 v 78

36 Løsninger til oppgvene i ok ( )( ) ( )( ) 8 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 5 ( ) 9( ) t For å finne ut hvor mnge yr et er på øy etter 6 år, setter vi inn t 6 i formelen N, : N t 6,, 77, Det vr 77 yr på øy etter 6 år..75 For å finne ut hvor mye ørreten veier, setter vi inn l, m, m i formelen m 969 t : m 969 t 969, 6, Ørreten veier 6 grm..76 Når Liv sykler me en gjennomsnittsfrt på km/h i en hlvtime, er v og t,5. Vi s s setter ette inn i formelen v og får likningen som vi kn løse: t,5 s,5,5,5 s Liv hr syklet km. Ashehoug Sie 6 v 78

37 Løsninger til oppgvene i ok Når Thor sykler me en gjennomsnittsfrt på 5 km/h på en strekning på 9 km, er v 5 og s 9 s 9. Vi setter ette inn i formelen v og får likningen 5 som vi kn løse: t t 9 5 t t t 5t t,75 Thor syklet i,75 timer, ltså i 5 minutter..77 For å finne ut hvor mnge mskineler som kn prouseres for kr, setter vi inn K K, 5 i formelen + + og får likningen, + + 5, + 5 Ve å ruke -formelen finner vi nullpunktene 79,9 og 6,6. Sien mn ikke kn prousere et negtivt ntll mskineler, er 6,6 en ugylig løsning for ette prolemet. Altså kn mn prousere 79 mskineler for kr..78 T, 5 5 T + 5, 5, 5, 5 T + 5, 5 T + T + 5 Formelen for er ltså T +., 5 Vi kontrollerer me CAS: Vi velger kommnoen Løs[ <Likning>, <Vriel> ] og skriver inn formelen er et står <Likning>, og hv vi vil finne en formel for er et står <Vriel>. Dette gir Ashehoug Sie 7 v 78

38 Løsninger til oppgvene i ok.79 E P t E Pt t t Pt E En formel for E er ltså E Pt. Pt E Pt E P P E t P E En formel for t er ltså t. P.8 m I h m I h h h I h m En formel for m er ltså m I h m I h m I I m h I h ± m I I h. m Sien vi re kn h positive høyer, er formelen for h ltså h. I Vi kontrollerer me CAS: Vi velger kommnoen Løs[ <Likning>, <Vriel> ] og skriver inn formelen er et står <Likning>, og hv vi vil finne en formel for er et står <Vriel>. Dette gir Ashehoug Sie 8 v 78

39 Løsninger til oppgvene i ok.8 Figuren er stt smmen v en hlvkule og en syliner. For å finne en formel for overflten v figuren må vi legge smmen overflten v en hlve kul og overflten v sylineren (uten topp). Overflten til hlvkul me rius R: A π R π R R Overflten til sylineren (uten topp) me rius R og høye : R 5 Aπ R + πr π R + π R π R 5 Til smmen gir ette A π R + π R π R.8 Ve prouksjon v 5 enheter er 5. Vi setter ette inn i formelen og får U Utgiftene er på 65 kr. Når utgiftene er på 5 kr, er U 5. Vi setter ette inn i formelen og får likningen som vi kn løse: Det le prousert 6 enheter..8 Når effekten er, kw og spenningen er V, er P og U. Vi setter ette inn i formelen og får I 9, Strømmen er 9, A. Ashehoug Sie 9 v 78

40 P I U P I U U U IU P En formel for effekten er P IU P IU P I I P U I IU. P En formel for spenningen er U. I Løsninger til oppgvene i ok Når effekten er 6 W og strømmen er,7 A, er P 6 og A, 7. Vi setter ette inn i formelen og får 6 U,, 7 Spenningen er, kv..8 y 5 y y 5 y 5 y + y 5 5 y 5 y y 5 y y 5y y 5 y 5 y y 5 Ashehoug Sie v 78

41 Løsninger til oppgvene i ok.85 Vi lr være leren til guttene og H være høyen i m. D er en formel for høyen H 5,+ 9 Når gutten er 6 år, er 6. Vi setter ette inn i formelen og får H 5, Gutten er 7 m..86 Arelet v kvrtet er A kvrt Arelet v sirkelen er Asirkel π r Arelet A v et grå områet er relet v kvrtet minus relet v sirkelen. Det gir formelen A π r Sien sirkelen er inni kvrtet, kn ikke imeteren være større enn m. Dette etyr t rien kn mksimlt være 5 m. Rien i en sirkel kn heller ikke være negtiv. Altså må rius være større enn eller lik m. Når rien er,5 m, er,5. Vi setter ette inn i formelen og får A π,5 8, Arelet er 8, m. Når relet er m, er A 5. Vi setter ette inn i formelen og får 5 πr π r 5 Vi ruker CAS til å løse enne likningen: Sien rien må være større enn m, hr 5 r. Altså er rien m. π.87 Vi lr være ntll mil ilen hr kjørt, og B være hvor mnge liter ensin som er igjen på tnken. D er en formel for B gitt ve B 6, 7 Ashehoug Sie v 78

42 Løsninger til oppgvene i ok Når et er 5 liter ensin igjen, er B 5. Vi setter ette inn i formelen og får likningen 5 6, 7, 7 6 5, 7 55,7,7 78,6 Bilen hr kjørt 78,6 mil..88 Figuren estår v et trpes er et rektngel er ttt ort. Arelet v trpeset er A trpes ( + ) Arelet v rektnglet er A rektngel Arelet A v et hvite områet er relet v trpeset minus relet v rektnglet. Det gir formelen 6 5 A Når relet er 6, er A 6. Vi setter ette inn i formelen. Det gir likningen ± 6 ± 6 Sien ikke kn være negtiv, hr vi 6. Ashehoug Sie v 78

43 Løsninger til oppgvene i ok.89 Figuren estår v et rektngel er en hlvsirkel er ttt ort. Arelet v rektnglet er Arektngel 5 Arelet v hlvsirkelen er A hlvsirkel π π Arelet A v et hvite områet er relet v rektnglet minus relet v hlvsirkelen. Det gir formelen A π Sien hlvsirkelen er inni rektnglet kn ikke rien være større enn 5. Dette etyr t mksimlt kn være 5. Rien i en sirkel kn heller ikke være negtiv. Altså må være større enn. Når relet er 5, er A 5. Vi setter ette inn i formelen. Det gir likningen π + 5 π 5 Vi ruker CAS til å løse enne likningen: Dette gir nullpunktene,95 og,..9 W P t W Pt t t Pt W P P W t P Ashehoug Sie v 78

44 Løsninger til oppgvene i ok V ( n ) 8 V 8 n 6 V n 8 8 V + n 8 π +π A r rs π π πr πr A r s πr A r rs E mv E mv E mv m m ± E m v ± E v m e + R R R R R + R R R R R R + R R R R R R R + R R R R R + R R + R R R R R R R R + R R.9 lg lg 6 lg 6 lg lg Ashehoug Sie v 78

45 Løsninger til oppgvene i ok e f g h lg, lg lg, lg lg lg lg lg lg lg.9 lg lg lg lg lg lg + 5 lg 5 lg, lg( + 5) lg( + 5) Ashehoug Sie 5 v 78

46 .9 5 lg lg 5lg lg 5lg lg + lg lg lg Vi kontrollerer ette i CAS ve å ruke kommnoen Løs[ <Likning> ]: Løsninger til oppgvene i ok lg lg 7 lg lg 7 9 Vi kontrollerer ette i CAS ve å ruke kommnoen Løs[ <Likning> ]: lg lg lg lg 8 8 Vi kontrollerer ette i CAS ve å ruke kommnoen Løs[ <Likning> ]:.9 lg lg lg lg 8 lg 8 Ashehoug Sie 6 v 78

47 Løsninger til oppgvene i ok lg, lg.95 lg lg lg lg, lg lg 5lg 5lg 5 5 lg lg.96 lg + lg lg lg + lg lg lg lg 5 lg( + ) lg( + ) + 8 Ashehoug Sie 7 v 78

48 Løsninger til oppgvene i ok.97 lg 6 lg 6 lg lg lg.98 7 lg lg 5 lg lg 5 5 lg lg lg + lg Vi setter inn 5lg 5 5 lg lg 5, i uttrykket for ph: 5 5 ph lg(, ) lg ( 5) 5 ph er 5, i løsningen. Vi setter ph,5 inn i uttrykket for ph:,5 lg,,5 lg.99 lg, lg 5 lg 5 6 lg lg( ) lg 6 lg lg Ashehoug Sie 8 v 78

49 Løsninger til oppgvene i ok.. lg + lg lg, lg( + ) lg(+ ) lg 6lg 6 6 lg lg lg lg lg 8 (lg ) 9 lg ± 9 lg lg lg lg, 5 lg lg + 5lg lg lg lg, Ashehoug Sie 9 v 78

50 Løsninger til oppgvene i ok (lg ) lg + Vi ytter vriel til u u+ u lg og får nregrslikningen Vi ruker eretter -formelen og finner nullpunktene u og u. Vi setter em inn i uttrykket for u: lg lg lg lg lg( + ) lg Vi ruker eretter -formelen og finner nullpunktene og.. Vi setter inn I i uttrykket for lystyrke:, L Dette er B. Vi setter inn lg(, ) lg ( ) I 6 i uttrykket for lystyrke: L lg( ) ( 5,5) 6,8 Dette er 6,8 B. Vi setter inn L 7 i uttrykket for lystyrke og får likningen 7 lg I + 7 lg I 5 lg I 5 I Lyeffekten er 5 W/m. 5 Vi vet t ersom lyeffekten er W/m, så er lystyrken 7 B. En oling v lyeffekten etyr t en er på 5 W/m. Vi setter inn i uttrykket for lystyrke og får L + 5 lg( ) 7 Lystyrken er 7 B. Altså øker en me B. Ashehoug Sie 5 v 78

51 Løsninger til oppgvene i ok e L lg I + L lg I,L lg I,L lg I,L I, En formel for I er I L.. ph lg ph lg ph. En uke etter åpningen er 7. Vi setter ette inn i formelen: N lg(7 + ) lg Det vr esøkene. På åpningsgen er. Vi setter ette inn i formelen: N lg( + ) Det vr esøkene på åpningsgen. Vi setter inn N 5 i formelen og løser likningen. 5 lg( + ) Vi ruker CAS til å løse likningen: Antll esøkene psserte 5 på en tolvte gen..5 lg E, M, 5 lg E, M, 5, 5, 5,5M +, lg E,5M+, lg E,5M +, E En formel for E er E,5, M +. Ashehoug Sie 5 v 78

52 I jorskjelvet i Chile i 96 vr M 9,5. Vi setter ette inn i formelen for E: 8 E,7 Den frigjorte energien vr 8, 7 joule. Løsninger til oppgvene i ok.6 lg(5 6) lg lg( + ) lg lg( + ) lg + 6,5 lg 9 lg lg lg 9 9lg lg lg(5 6) lg lg(5+ 6) lg Vi ruker eretter -formelen og finner nullpunktene og. lg 8 lg 8 8 ± 8 ± Ashehoug Sie 5 v 78

53 lg 8 lg 8 lg Løsninger til oppgvene i ok Regelen om t lg lg gjeler re når >. Derme mister vi en negtive løsningen når vi ruker enne frmgngsmåten. lg 8 lg 8 8 ± ± 8.8 lg lg lg ( ) lg lg lg lg lg lg, lg lg lg > lg 5 > lg Derme lir tllene skrevet i stigene rekkefølge: lg lg lg, lg lg5.9 lg lg lg ( ) lg lg Dette etyr t. Vi kn eretter t logritmen på hver sie v enne likningen og får lg lg lg lg lg lg. 8 Ashehoug Sie 5 v 78

54 Løsninger til oppgvene i ok e lg 5,7,5 lg. 9 Vi ruker CAS til å løse likningen:,6 5, Vi ruker CAS til å løse likningen: Ashehoug Sie 5 v 78

55 Løsninger til oppgvene i ok 6 Vi ruker CAS til å løse likningen: 7, 5 Vi ruker CAS til å løse likningen:. Vi setter inn t i formelen N 67, Dette etyr t et er 67 yr som settes ut på øy. Vi setter N inn i formelen og løser likningen. 67, t Vi ruker CAS til å løse likningen: Det tr år før ntll yr hr økt til.. Ashehoug Sie 55 v 78

56 Løsninger til oppgvene i ok 9.5 Vi løser likningen me CAS: 5 Vi løser likningen me CAS: 5 Vi løser likningen me CAS:,5+,,5 Vi løser likningen me CAS:.6 Vi setter inn i formelen V 75, Birger etlte 75 kr for trktoren. Ashehoug Sie 56 v 78

57 Vi setter inn V i formelen og løser likningen 75 75,85 Vi løser likningen me CAS: Løsninger til oppgvene i ok..7 Det tr 8 år før verien hr sunket me kr., 5, Ashehoug Sie 57 v 78

58 Løsninger til oppgvene i ok.8,5 lg lg,5, Vi ruker eretter -formelen og finner nullpunktene og. Ashehoug Sie 58 v 78

59 . t T 78,9 + T 78, T lg 78 t lg,9 En formel for t er T lg 78 t. lg,9 Vi setter inn T 65 i formelen og får 65 t,8 lg 5, 6 78 t Løsninger til oppgvene i ok Det tr 5,6 timer 5 timer og 6 minutter før temperturen hr sunket til 65 C.. Vi setter inn t i formelen og får T 5, + 5,,955 5, + 5, 5, + 5,, Temperturen vr, C vrmen le slått v. Vi setter inn T i formelen og løser likningen 5, + 5,,955 t Vi ruker CAS til å løse likningen: Det tr,8 timer timer og 8 minutter før temperturen hr sunket til C. Vi setter inn, T,5 i formelen og løser likningen,5 5, + 5,,955 t Vi løser likningen i CAS: Det tr,8 timer timer og 8 minutter før temperturen er hlvert. Ashehoug Sie 59 v 78

60 Løsninger til oppgvene i ok.. 6 ± ± 6 ± 6 ± ± ± 9 Vi løser enne likningen i CAS ve å ruke kommnoen NLøs[ <Likning> ]: 5 Vi løser enne likningen i CAS ve å ruke kommnoen NLøs[ <Likning> ]: Vi løser enne likningen i CAS ve å ruke kommnoen NLøs[ <Likning> ]: Ashehoug Sie 6 v 78

61 Løsninger til oppgvene i ok,5 + 7 Vi løser enne likningen i CAS ve å ruke kommnoen NLøs[ <Likning> ]:. e 8 ± ± 9 ± ± ( ) ± ± 7.5 Vi ruker CAS til å løse likningen: Ashehoug Sie 6 v 78

62 Løsninger til oppgvene i ok Vi ruker CAS til å løse likningen:.6 Volumet v vnntnken er gitt ve formelen V formelen og løser likningen Vi ruker CAS til å løse likningen:. Volumet er m. Vi setter ette inn i Siene i tnken er 6,7 m. Volumet v 6 terninger er 8, m. Dette gir likningen V 6 8, Vi ruker CAS til å løse likningen: 6 8, som vi kn løse Siene i en ytsy-terning er, m..7 8 ( ) Ashehoug Sie 6 v 78

63 Løsninger til oppgvene i ok ± ± 67 Vi løser enne likningen i CAS ve å ruke kommnoen NLøs[ <Likning> ]: 6 Vi løser enne likningen i CAS ve å ruke kommnoen NLøs[ <Likning> ]: e,5 5 Vi løser enne likningen i CAS ve å ruke kommnoen NLøs[ <Likning> ]:.8 Vi setter l 5 m inn i formelen,9 m, 5 77 Slngen veier 77 g. Vi setter m 5 g inn i formelen og får likningen ve å ruke kommnoen NLøs[ <Likning> ]:,9 5, l. Den kn vi løse me CAS Slngen er m lng. Ashehoug Sie 6 v 78

64 .9 Vi setter inn, E k Vi ruker CAS til å løse likningen inn i formelen og løser likningen Løsninger til oppgvene i ok Konstnten k. Vi setter E inn i formelen 95 Dimeteren er 95 m. Vi setter E 8E inn i formelen E og får E og får (8 E) 8 E E Altså lir imeteren oelt så stor når en utløste energien lir åtte gnger større. E E E E En formel for E er E e Vi setter 5 inn i formelen og får E 5 7, 6. Den utløste energien er på 7,6 megtonn TNT. For å finne ut hvor mye ette tilsvrer i joule, må vi multiplisere me 8: 6 7,6 8 6 Altså le et utløst 6 6 TJ 6 6 J 8 6 J. Ashehoug Sie 6 v 78

65 Løsninger til oppgvene i ok. 5 Vekstfktoren ve 5 % økning er +, 5. 5 Vekstfktoren ve 5 % økning er +,5. 5,5 Vekstfktoren ve 5,5 % økning er +,55.,5 Vekstfktoren ve,5 % økning er +, Vekstfktoren ve 5 % reuksjon er,95. 5 Vekstfktoren ve 5 % reuksjon er,85. 5,5 Vekstfktoren ve 5,5 % reuksjon er,85.,5 Vekstfktoren ve,5 % reuksjon er +,995.. Når vekstfktoren er,75, etyr et t et er en økning på 75 %. Når vekstfktoren er,5, etyr et t et er en økning på,5 %. Når vekstfktoren er,6, etyr et t et er en reuksjon på %. Når vekstfktoren er,975, etyr et t et er en reuksjon på,5 %.. Vekstfktoren ve % økning er +,., 88 Den nye prisen er 88 kr. 8 Vekstfktoren ve 8 % reuksjon,9.,9,8 Den nye prisen er,8 kr. Ashehoug Sie 65 v 78

66 Løsninger til oppgvene i ok. 5 Vekstfktoren ve 5 % økning er +, 5. N GV gir likningen 6 G,5 6 G,5, 5, 5 76 G Den gmle lønn er 76 kr..5 5,5 Vekstfktoren ve 5,5 % negng er,95. N GV gir likningen 97 G,95 97 G,95,95,95 7 G Energiprouksjonen vr 7 GWh..6 N GV gir likningen,, V,, V,,, V Vekstfktoren er,. Dette tilsvrer en økning på % % %. Treet vokste me %..7 N GV gir likningen 5 V 85 5 V ,87 V Vekstfktoren er,87. Dette tilsvrer en reuksjon på % 87 % %. Verien snk me %. Ashehoug Sie 66 v 78

67 .8 7 Vekstfktoren ve 7 % økning er +, 7. N GeoGer: n GV gir likningen 75,7 n Løsninger til oppgvene i ok. Vi løser potenslikningen me CAS i Det tr 5 år før kunstverket er vert million kroner. N GeoGer: n GV gir likningen V. Vi løser potenslikningen me CAS i Vekstfktoren er,9. Dette tilsvrer en reuksjon på % 9 % 6 %. Det årlige veritpet vr 6 %..9 Vekstfktoren ve % rtt er % % 8 %,8.,8 96 Hns må etle 96 kr for teppet. 5 Vekstfktoren ve 5 % økning er % + 5 % 5 % +, 5.. N GV 85,5 65 Teppet koster 65 kr me merverivgift. gir likningen 85 V 6 85 V 6 6 6, V Vekstfktoren er,. Dette tilsvrer en økning på % % %. Prisen økte me %. Ashehoug Sie 67 v 78

68 . N GV gir likningen 95 V V ,6 V Vekstfktoren er,6. Dette tilsvrer en reuksjon på % 6 % 9 %. Dette vr et vslg på 9 %.. Løsninger til oppgvene i ok Lønn til Erlen øker først me,8 % v 5 kr. Deretter øker en me, % v en nye lønn. Denne økningen er mer enn ersom et he vært en økning på, % v en opprinnelige lønn. Derfor vil en smlee lønnsøkningen være større enn,8 % +, %.,8 Vekstfktoren ve,8 % økning er +, 8., Vekstfktoren ve, % økning er +,. 5,8, 79 Den nye årslønn er på 79 kr.. Vekstfktoren ve % reuksjon er,8. Vekstfktoren ve % økning er +,.,8, 96 Den nye prisen er 96 kr.. Vekstfktoren ve % økning er +,. Det er år fr strten v til strten v , 86 Folketllet er 86. N n GV gir Ashehoug Sie 68 v 78

69 Løsninger til oppgvene i ok N GeoGer: n GV gir likningen 757, n. Vi løser potenslikningen me CAS i Det tr år før folketllet hr pssert..5 Vekstfktoren ve % negng er,96. Det er år fr strten v til strten v ,96 5 Folketllet er på 5. N GeoGer: n GV gir likningen ,96 n N n GV gir. Vi løser potenslikningen me CAS i Det tr 5 år før folketllet er uner 5..6 p +, 5 p, 5 p,5 p 5 p,855 p,855 p ( ),5 ( ) p,5 Ashehoug Sie 69 v 78

70 Løsninger til oppgvene i ok p +, p + ±, p + ±, p p,, p p,, p p p,8 p ±,8 p ±,9 p p,9,9 p p ( ), ( ) ( ),9 ( ) p p 9.7,7 Vekstfktoren ve,7 % økning er +, 7. n Det er år fr til. N GV gir 7 5,7 8 9 Folketllet vr 8 9 i. n Det er 8 år fr til. N GV gir G,7 7 5 G,,, G Folketllet vr i. Ashehoug Sie 7 v 78

71 Det er år fr til. N GV gir 8 9 V 8 9 V, V Vekstfktoren er,. Dette tilsvrer en økning på % % %. Folketllet økte me %..8 Det er år fr til. N GV gir 5 V Vi løser likningen i CAS: Løsninger til oppgvene i ok Dette tilsvrer en økning på % % %. Mleriet økte i gjennomsnitt me % per år. Når verien v mleriet er forolet, er et vert 5 kr. 5 5, n Vi løser potenslikningen me CAS i GeoGer: N n GV gir Verien v mleriet vil være forolet i år + 7,67 9,67, ltså i løpet v år 9..9 Prisen etter e to prisenringene vil være minre enn før prisenringene. Det er fori t etter t prisen er stt ne me %, vil prisen øke me % v en nye verien. Dette er en minre veri enn en verien vren først le stt ne me. Dersom vi ser på vekstfktoren ve økning, er en,, og ve negng er en,8.,,8,96. Det etyr t en totle vekstfktoren tilsvrer en negng på %..5, 5 Vekstfktoren ve en,5 % månelig økning er % +,5 %,5 % +, 5. n I løpet v år er et måneer. N GV gir,5, N G G Verien v størrelsen øker me % % % på to år. Ashehoug Sie 7 v 78

72 Løsninger til oppgvene i ok n Vi setter N G. N GV gir G G, 5 G G, 5 G G n, 5 n n Vi løser potenslikningen me CAS i GeoGer: Det tr 6,6 måneer mellom hver gng verien v størrelsen foroler seg..5 Vi setter N,5G. N,5G GV,5G GV G G 5,5 V 5,5 V,87 V 5 5 n GV gir Vekstfktoren er,87. Dette tilsvrer en reuksjon på % 87 % %. De må reusere utslippene me % hvert år..5 En foroling vil si % økning. Det vil si en vekstfktor på + +. N n GV gir 9 n Vi løser potenslikningen me CAS i GeoGer: Det tr. ger før kolonien inneholer en millir kterier. Ashehoug Sie 7 v 78

73 Løsninger til oppgvene i ok.5, En rente på, % tilsvrer en vekstfktor på +,. 5, En rente på 5, % tilsvrer en vekstfktor på +, 5. N n GV gir, n 5,5 Vi løser potenslikningen me CAS i GeoGer: n I løpet v et femtene året hr e like mye inneståene. Kpitteltest Oppgve ( ) 5 (+ ) , 5 6, ,5 7 7 ( ) Ashehoug Sie 7 v 78

74 e f ( + )( ) g h lg lg lg ± ± + ± ± 7 7 ( ) lg(7 ) lg(7 ) Løsninger til oppgvene i ok Ashehoug Sie 7 v 78

75 Løsninger til oppgvene i ok i j ± 8 Oppgve Vi setter m tonn og v inn i formelen E Energien er på 5 J. 5 Vi setter v v inn i formelen og får E m ( v ) m v mv E Altså vil energien fireoles ersom frten oles. E mv E mv v v E m v E En formel for mssen er m. v E mv E mv E mv m m E ± v m E mv, og får Ashehoug Sie 75 v 78

76 En formel for frten er E v. m Løsninger til oppgvene i ok Oppgve En nregrslikning hr nøyktig én løsning ersom uttrykket uner rottegnet er null. Dette gir ( 6) Dersom 9, hr likningen nøyktig en løsning. Oppgve Gjeret skl estå v to kortsier på m og én lngsie. Sien omkretsen skl være m, må lngsien være ( ) m lng. Derme lir relet v lufteplssen A ( ) Vi setter A inn i uttrykket og løser likningen + Vi ruker eretter -formelen og finner nullpunktene og. Dette etyr t enten er siene m og ( ) m 6 m, eller så er e m og ( ) m m lnge. Vi setter A 5 inn i uttrykket og løser likningen ( ) ( ) 5 ± ± ± Dette gir en negtiv veri uner rottegnet og vil erme ikke gi noen reelle løsninger. Altså kn ikke relet være 5 m Oppgve 5 Vi setter K 7 inn i formelen S S,9,9, 567 K, ,9 Skjelettet til John veier 5,9 kg.,9, 567 K og får Ashehoug Sie 76 v 78

77 Løsninger til oppgvene i ok Vi setter S 787 inn i formelen og løser likningen,9 787, 567 K Vi løser eretter potenslikningen me CAS i GeoGer: Elefnten veier 665 kg. Vekstfktoren ve en % ukentlig vektnegng er % % 99 %,99. n N GV gir 6 N 7,99 59,6 John kommer til å veie 59,6 kg etter ent kur. n N GV gir 6 7,99 n Vi løser eretter potenslikningen me CAS i GeoGer: Det vil t litt over uker før John vil veie 6 uker. Oppgve 6 Vekstfktoren er,8. Dette tilsvrer en reuksjon på % 8 % %. Dette etyr t tien mn mksimlt kn opphole seg i et rom, synker me % for hver esiel støyen øker. Vi setter M 5 inn i formelen og løser likningen 5,8 Vi løser eretter potenslikningen me CAS i GeoGer: Støyen er på 5, esiel over støygrensen. Ashehoug Sie 77 v 78

78 Løsninger til oppgvene i ok M,8 M,8 M lg lg,8 M lg lg,8 M lg lg,8 Oppgve 7 πr π( R) π 8R πr Volumet v kule A er VA, og volumet v kule B er VB. Derme lir forholet mellom volumet v kule A og volumet v kule B V V A B πr πr πr πr 8 Ashehoug Sie 78 v 78

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok. 8 ( ) 5 9. e = = 9 = = 8 5 = = 0 = 0 0 0 = 000 =. e Ashehoug www.lokus.no Sie v Løsninger til oppgvene i ok..5..7 = = + 5 =

Detaljer

2P kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

2P kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til oppgavene i læreboka P kpittel 1 Tll og lger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 1.1 ( ) Oppgve 1. 8 = 8 8 = = = 00 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 ( ) = =() = 7 Oppgve 1. 81 = 9 9 = 9 81= = 1= = = ( ) ( ) = = Oppgve 1. 8 = 1

Detaljer

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve. 0 8 ( 0) + 0 + ( 0) 0 8 Oppgve. 7 ( ) + + ( ) 7 Oppgve. ( ) + Oppgve. 0 ( ) 0 ( 0) ( ) 0 ( 0) : ( ) 0 : ( ) Oppgve. ( ) ( ) ( ) (,) ( ) (,) 9 Oppgve.

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013 Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer

Detaljer

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv

Detaljer

Oppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du?

Oppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du? KAPITTEL 3 GEOMETRI Mer øving kpittel 3 I e første oppgvene skl u gjøre om enheter på en lgeriske måten. Det vil si t når u skl gjøre om mellom relenheter skl u gå veien om å gjøre om mellom lengeenheter.

Detaljer

Mer øving til kapittel 1

Mer øving til kapittel 1 Mer øving til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Finn svret ve hoeregning. Velg to v oppgvene og forklr hvilken strtegi u hr rukt. 27 + 38 e 160 70 i 130 4 35 + 75 f 19 5 j 6 7,5 58 + 42

Detaljer

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen

Detaljer

1T kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til innlæringsoppgavene

1T kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til innlæringsoppgavene T kapittel Tall og algera Løsninger til innlæringsoppgavene. a 8 + ( ) 8 ( ) +. a Temperaturen er C. Så reuseres en me C. Da lir temperaturen C C 8 C Temperaturen er C. Så reuseres en me x. Da lir temperaturen

Detaljer

YF kapittel 1 Tall Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 1 Tall Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 1 Tll Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 10,, 0, 1,, 5,,, 0 Oppgve 10 Tllet 5 står til høyre for tllet på tllinj. Altså er 5>. Tllet 5 står til venstre for tllet 1 på tllinj. Altså er 5

Detaljer

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49

Detaljer

... ÅRSPRØVE 2014...

... ÅRSPRØVE 2014... Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

R1 kapittel 1 Algebra

R1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5

Detaljer

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING FLERE UTFORDRINGER Oppgve 1 Du hr sifrene A 1 3 5 7 9 og B 2 4 6 8 Ve å ruke tre v sifrene i enten A eller B skl u lge ett tll så nærme 500 som mulig. Du kn re ruke ett siffer

Detaljer

Mer om algebra. Sti 1 Sti 2 Sti 3 500, 501, 503, 504, 505, 511 513, 514, 515, 516, 517, 519, 520, 521, 525 531, 534, 535, 538

Mer om algebra. Sti 1 Sti 2 Sti 3 500, 501, 503, 504, 505, 511 513, 514, 515, 516, 517, 519, 520, 521, 525 531, 534, 535, 538 5 Mer om lger Kompetnsemål: Mål for opplæringen er t eleven skl kunne regne me rsjonle og kvrtiske uttrykk me tll og okstver og ruke kvrtsetningene til å fktorisere lgeriske uttrykk løse likninger, ulikheter

Detaljer

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra Bsisoppgver til P kp. Tll og lger. Potenser. Nye potenser. Store og små tll. Stnrform. Tllsystemer. Femtllsystemet. Totllsystemet.7 Prosentregning me vekstfktor.8 Renteregning Ashehoug www.lokus.no Ashehoug

Detaljer

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og

Detaljer

... JULEPRØVE

... JULEPRØVE Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

Oppgaver i matematikk, 9-åringer

Oppgaver i matematikk, 9-åringer Oppgver i mtemtikk, 9-åringer Her er gjengitt e frigitte oppgvene fr TIMSS 2003. For 4. klsse enyttes nå etegnelsen mønstre for et som i 1995 le omtlt som lger. Oppgvene er innelt i isse emnene: Tll Geometri

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

Tillegg til kapittel 2 Grunntall 10

Tillegg til kapittel 2 Grunntall 10 8.09.0 Kvrtsetningene Tillegg til kpittel Grunntll 0 Ne læringsmål i reviert lærepln 0 Mål for et u skl lære: kunne ruke kvrtsetningene til å multiplisere to prentesuttrkk kunne fktorisere ve å ruke kvrtsetningene

Detaljer

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014 Terminprøve våren 014 Tll i rei Påygging terminprøve våren 014 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1 Skriv tllet Skriv tllet 6 3,15

Detaljer

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis

Detaljer

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014 Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2

Detaljer

Mer øving til kapittel 2

Mer øving til kapittel 2 Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem

Detaljer

YF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 7 Flte Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 701 Vinkel C er en rett vinkel. Altså er C = 90. c AB er motstående side til den rette vinkelen i treknten. Derfor er AB ypotenus. AC er osliggende

Detaljer

1P kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til innlæringsoppgavene

1P kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til innlæringsoppgavene 1P kapittel 1 Tall og algera Løsninger til innlæringsoppgavene 1.1 a 10 8 10 + ( ) 10 8 10 1 10 ( ) 10 + 1 1. a Temperaturen er C. Så reuseres en me 11 C. Da lir temperaturen C 11 C 8 C Temperaturen er

Detaljer

1 c 6. 1 c 2. b Olav får 1500 kr. Trine får 3000 kr. c 4 Oppgave 39 165,50 kr 6 Oppgave 40 a 0 b 28 c 9 d F.eks. 15 8 e

1 c 6. 1 c 2. b Olav får 1500 kr. Trine får 3000 kr. c 4 Oppgave 39 165,50 kr 6 Oppgave 40 a 0 b 28 c 9 d F.eks. 15 8 e Fsit Fsit I gng igjen Oppgve 0 Oppgve > < > < Oppgve 9 Oppgve 6 6 Oppgve = < < < Oppgve 6 0 0 0 0 Oppgve 7 6 6 6 Oppgve 0,7 000 Oppgve 9 0,09 700 0,79 7 Oppgve 0 0, 0, 0, 0, Oppgve 0,07 0,7,,7 Oppgve Oppgve

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge

Detaljer

Navn: Klasse: Ekstrahefte 2. Brøk

Navn: Klasse: Ekstrahefte 2. Brøk Nvn: Klsse: Ekstrhefte Brøk Brøk Oppg. ) Finn største felles fktor (sff) for teller og nevner ved å fktorisere. Bruk dette til å forkorte røken. 0 6 ) Finn minste felles multiplum (mfm) for nevnerne ved

Detaljer

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve.

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 5 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHET MER ØVING Oppgve 1 Digrmmet neenfor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4?

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

Oppgaver i matematikk, 13-åringer

Oppgaver i matematikk, 13-åringer Oppgver i mtemtikk, 13-åringer Her er gjengitt e frigitte oppgvene fr TIMSS 2003. Oppgvene er innelt i isse emnene: Tll Geometri Alger Dtrepresentsjon og snnsynlighet Målinger Proporsjonlitet Emnetilhørighet

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

2P kapittel 2 Funksjoner

2P kapittel 2 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok P kpittel Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok.1 D f = [ 1, 6,5] V = [ 1,4] f V f. D f Vnnstnden kl. 16 er gitt i punktet A på figuren. Vnnstnden vr c. 190 cm. Aschehoug www.lokus.no

Detaljer

Mer øving til kapittel 3

Mer øving til kapittel 3 Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?

Detaljer

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10

Detaljer

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2 Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten

Detaljer

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving Kpittel 5 Sttistikk og snnsynlighet Mer øving Oppgve 1 Digrmmet nefor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4? Hvor mnge elever er et i klssen?

Detaljer

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047

Detaljer

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll

Detaljer

1P kapittel 5 Areal og volum

1P kapittel 5 Areal og volum Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 5 Arel og volum Løsninger til oppgvene i ok 5.1 Vi skl gå ett hkk mot høyre og gnger derfor med 100. 14 m 14 100 mm 1400 mm Vi skl gå to hkk mot høyre og gnger derfor

Detaljer

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016 Integrsjon et supplement til Klkulus Hrl Hnhe-Olsen 14. novemer 2016 Dette nottet er ment som et supplement og elvis lterntiv til eler v kpittel 8 i Tom Linstrøm: Klkulus (åe 3. og 4. utgve). Foruten et

Detaljer

1P kapittel 4 Lengder og vinkler

1P kapittel 4 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 4 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4.1 6 MW 6 1 000 000 W 6 000 000 W 7,5 MW 7,5 1 000 000 W 7 500 000 W c 8 000 000 W 8 1 000 000 W 8 MW d 14

Detaljer

Kapittel 2 Mer om tall og tallregning Mer øving

Kapittel 2 Mer om tall og tallregning Mer øving Kpittel Mer om tll og tllregning Mer øving Oppgve Plsser isse tllene på ei tllinje:,, 9,, Skriv røkene i stigene rekkefølge. Skriv lle tllene som esimltll Oppgve Skriv en røk og fortell hv som er teller,

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

Innledning. Kategori Regnerekkefølge. 1.2 Bokstavregning og parenteser

Innledning. Kategori Regnerekkefølge. 1.2 Bokstavregning og parenteser Innledning Ktegori. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten lommeregner. b) ( ) d) ( ) Oppgve. Regn uten lommeregner. b) d) Oppgve. Regn ut med og uten lommeregner. b) ( ) d) ( 9) Oppgve. Regn ut med lommeregner.

Detaljer

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall 1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige

Detaljer

R1 kapittel 8 Eksamenstrening

R1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler Oppgve E Hvis er et nullpunkt for De mulige nullpunktene for P, er konstntleddet 8 delelig med. P er

Detaljer

DELPRØVE 2 (35 poeng)

DELPRØVE 2 (35 poeng) DELPRØVE 2 (35 poeng) På denne delprøven er lle hjelpemidler tilltt. Alle oppgvene i del 2 skl føres på eget rk. Før svrene oversiktlig, slik t det går tydelig frm hvordn du hr løst oppgvene. Bruk penn.

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål Fsit Grunnok Kpittel 4 Bokmål Kpittel 4 Kvdrtiske funksjoner ndregrdsfunksjoner 4.1 Stigningstll Skjæring -kse Skjæring y-kse 4 ( 2, 0) (0, 8) 1 (1, 0) (0, 1) 1 (9, 0) (0, 3) 3 4.5 y = + = 0, y =, y =

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 De fem lppene kn ordnes i rekkefølge på 5! = 15 = forskjellige måter. Vi kn

Detaljer

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b) Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302

LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Sie 1 v 6 LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302 12. esemer 2006 Oppgve 1 ) Skriv ne efinisjonen på en tutologi. Svr: En tutologi

Detaljer

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka Påygging kpittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgvene i ok 2.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A = (125,10) B = (0, 12,5)

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

Regn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 =

Regn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 10 Divisjon 2 1 Regn i hodet. ) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = 2 Regn i hodet. ) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 3 ) 39 : 3 = b) 56 : 4 = c) 96 : 8 = d) 98 : 7 = 4 Gi svret med

Detaljer

S2 kapittel 5 Vekstmodeller. Løsninger til oppgavene i boka Vi løser oppgaven i CAS i GeoGebra.

S2 kapittel 5 Vekstmodeller. Løsninger til oppgavene i boka Vi løser oppgaven i CAS i GeoGebra. Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 5 Vekstmodeller Løsninger til oppgvene i ok 5. Vi løser oppgven i CAS i GeoGer. Veksten er lineær på formen y = x +. Vi ser t stigningstllet lir 59, og t konstntleddet

Detaljer

1P kapittel 2 Algebra

1P kapittel 2 Algebra 1P kapittel Algera Løsninger til oppgavene i oka.1 a a+ a a 5+ 4 9 c 8c 6c c d d d 0d 0. a + + 5+ 4+ 10 c 5 9 4 d 4 7. a 7 5+ + 8 5+ 8+ 7 + + 10 5y+ + y + 5y+ y 4 4y c 8y 8y + 8y 8y 4+ 0y 4.4 7r+ 10h+

Detaljer

1P kapittel 8 Eksamenstrening

1P kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 Vi ytter ut 7,60 kr med 8 kr og 104 euro med euro. Det gir: 8 kr 4 300 kr. For fire overnttinger

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1 Årsprøve 2015 9. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 og Del 2 skl deles ut smtidig Del 1 skl du levere

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1 Juleprøve 2015 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Frmgngsmåte og forklring 5 timer totlt Del 1 og del 2 lir delt ut smtidig. Del 1 skl leveres inn seinest

Detaljer

2P kapittel 5 Eksamenstrening

2P kapittel 5 Eksamenstrening P kpittel 5 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 3 4 0 3+ 4+ 0 7 = = = = 5 5 5 ( ) ( ) c d 7 5 3 3 3 3 6 4 3 6 4 3 3x x = 3 x x = 3 x x = 3 x = 3 x = 7x 1, 10 5,0 10 = 1, 5,0

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:

Detaljer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.

Detaljer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk

Detaljer

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen

Detaljer

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter!

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter! Nytt skoleår, nye øker, nye muligheter! Utstyret dere trenger, er som i fjor: Læreok lånes v skolen vinkelmåler, --9 og - -9-treknter, psser, lynt, viskelær, penn, A-rk til innføring og A klddeok. Og en

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012 Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet

R1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7. Hvis A hr inntruffet, ltså t den første kul er lå, så er det tre røde og én lå kule igjen i esken når vi skl trekke

Detaljer

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka R1 kpittel 6 Vektorer Løsninger til oppgvene i ok Løsninger til oppgvene i ok 6.1 Tilfellene, e og f er vektorstørrelser fordi de hr retning. Tilfellene, og d er sklrer fordi de ikke hr retning. 6. d e

Detaljer

2 Tallregning og algebra

2 Tallregning og algebra Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)

Detaljer

1 Mandag 1. mars 2010

1 Mandag 1. mars 2010 Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte

Detaljer

Flere utfordringer til kapittel 1

Flere utfordringer til kapittel 1 Flere utfordringer til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Forklr forskjellen på rsjonle og irrsjonle tll. Hv kjennetegner dem? Hvordn kn vi se t et tll er rsjonlt eller irrsjonlt? Skriv

Detaljer

1T kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 7.1 Vi vet t kokepunktet til vnn er 100 C (ve hvoverflten). Derfor vet vi på forhån t vnnet til Anres ikke vil koke ve re 50 C. The vil

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

Løsninger til oppgaver i boka

Løsninger til oppgaver i boka Løsninger til oppgver i ok Kpittel 1 Alger Løsninger til oppgver i ok 1.9 d På ildet ser vi t den lengste siden i tkåpningen er omtrent så lng som den korteste. Om vi kller den korteste siden for x, hr

Detaljer

Kompetansemål: Sti 1 Sti 2 Sti 3 2.1 Enheter for lengde og areal 2.2 Målenøyaktighet 200, 201, 202, 206, 208 209, 211, 212, 213, 215

Kompetansemål: Sti 1 Sti 2 Sti 3 2.1 Enheter for lengde og areal 2.2 Målenøyaktighet 200, 201, 202, 206, 208 209, 211, 212, 213, 215 2 Geometri Kompetnsemål: Mål for opplæringen er t eleven skl kunne ruke formlikhet og Pytgors setning til eregninger og i prktisk reid løse prktiske prolemer knyttet til lengde, vinkel, rel og volum ruke

Detaljer

1 Tall og variabler. Oppgave Regn ut uten lommeregner. Oppgave Sett inn symbolet eller i de tomme rutene. a) 9 N b) π Q c) 3 R

1 Tall og variabler. Oppgave Regn ut uten lommeregner. Oppgave Sett inn symbolet eller i de tomme rutene. a) 9 N b) π Q c) 3 R Tll og vribler. TALL OG TALLREGNING Oppgve.0 Sett inn smbolet eller i de tomme rutene. ) N π Q R Oppgve. Sett inn smbolet eller i de tomme rutene. { } { π } ), 0,,,,,,, Oppgve. Skriv disse mengdene på

Detaljer

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR.

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. Nvn: Klsse: DELPRØVE 1 uten lommeregner og p (41 poeng) Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er det en regnerute. Her skl du føre oppgven oversiktlig

Detaljer

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL Anne Rsch-Hlvorsen Oddvr Asen Illustrtør: Bjørn Eidsvik 7B NY UTGAVE ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL CAPPELEN DAMM AS, 2011 Mterilet i denne publiksjonen er omfttet v åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt

Detaljer

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1 TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis

Detaljer

Påbygging kapittel 6 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i læreboka

Påbygging kapittel 6 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i læreboka Påygging kpittel 6 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6.1 (Vi nøyer oss me å lge én tell, hvor vi også fører inn svrene fr oppgve og.) Antll kst 50 100 500 1000 5000 10 000 Antll enere

Detaljer

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper Brøk I dette kpitlet lærer elevene om røk som del v en helhet, der helheten kn være en mengde, en lengde eller en figur, og de skl lære om røk som del v en mengde. De skl lære å finne delen når det hele

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1 Navn:

Juleprøve trinn Del 1 Navn: Juleprøve 2014 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 1 Prøvetid 5 timer totlt. Del1 og Del 2 skl deles ut smtidig. Del 1 skl du levere innen 2 timer. Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Del 2 skl du

Detaljer

R2 - Heldagsprøve våren 2013

R2 - Heldagsprøve våren 2013 Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse

Detaljer

Andre funksjoner som NAND, NOR, XOR og XNOR avledes fra AND, To funksjoner er ekvivalente hvis de for alle input-kombinasjoner gir

Andre funksjoner som NAND, NOR, XOR og XNOR avledes fra AND, To funksjoner er ekvivalente hvis de for alle input-kombinasjoner gir 2 1 Dgens temer Dgens temer hentes fr kpittel 3 i Computer Orgnistion n Arhiteture Kort repetisjon fr forrige gng Komintorisk logikk Anlyse v kretser Eksempler på yggelokker Forenkling vh. Krnugh-igrm

Detaljer

Kapittel 9 ALGEBRA. Hva er algebra?

Kapittel 9 ALGEBRA. Hva er algebra? Kpttel 9 ALGEBRA Hv er lger? Kpttel 9 ALGEBRA Alger Ekelt k v s t lger er å rege me okstver steet for tll. Når v løser lgger, står okstve (vlgvs for et estemt tll. Når v ruker lger tl å utlee formler eller

Detaljer