1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka
|
|
|
- Marit Asbjørg Aas
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 T kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve. 0 8 ( 0) ( 0) 0 8 Oppgve. 7 ( ) + + ( ) 7 Oppgve. ( ) + Oppgve. 0 ( ) 0 ( 0) ( ) 0 ( 0) : ( ) 0 : ( ) Oppgve. ( ) ( ) ( ) (,) ( ) (,) 9 Oppgve. 8 ( ) ( ) ( ) Ashehoug Sie v
2 Oppgve.7 ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) 7 Oppgve.8 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) 8 8 ( ) 8 8 ( ) ( ) ( ) Oppgve Oppgve.0 ( ) ( ) ( ), er et tll mellom og 9, fori er et tll mellom og, fori ( ) I stigene rekkefølge får vi erme Oppgve. 8 8 ( ), og 9 og 8 + ( ) 8 + ( ) 8 + ( ) 8 7 Oppgve. : : , 8 0, 0 0, ( ) () () () + Ashehoug Sie v
3 Oppgve. 0 ( + ) ( ) ( ) ( ) 9 Oppgve. Kine ener opp me tllet, og Mri ener opp me tllet 7. ( 7+ ) ( 7) ( 7 + ) ( 7) ( ) ( 7) ( ) + 7 Oppgve. 9 9 ( 9) + 9 ( 9) 7 e 9 : ( ) Oppgve.7 7 C ( 9 C) 7 C + 9 C 9 C Temperturforskjellen mellom smeltepunktet og kokepunktet for kvikksølv er 9 C. Oppgve.8 8 ( ) ( ) ( ) 9 er et tll mellom 8 og 9, fori ( ) ( ) ( ) ( ) I stigene rekkefølge får vi erme 9 Oppgve ( 8) ( ) og ( ) ( ) ( ) Ashehoug Sie v
4 Oppgve.0 ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8) ( ) + 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + Oppgve ( ) : : : ( + ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( 0) 0 Oppgve. Svret er feil, fori Me prentes lir svret riktig: ( + ) 9 7 Svret er feil, fori Me prentes lir svret riktig: ( ) Svret er feil, fori 8 0 Me prentes lir svret riktig: ( ) Oppgve. ( ) ( ) + ( ) er et tll mellom 8 og 9, men nærmest 8, fori 8 8 og er et tll mellom 8 og 9, men nærmest 9. Dessuten er 80 > sien 80 >.,,,, >,, 0 I stigene rekkefølge får vi erme ( ) 80 ( ) 9 ( ), 8 er et tll mellom 9 og 0, fori,7 er et tll mellom og 9, fori 9 8 og og ,9 er et tll mellom 0 og (men nærmest 0 sien eksponenten er stor). ( ) ( ) ( ) I stigene rekkefølge får vi erme ( ) 99 0,9,7 ( ) 8 Ashehoug Sie v
5 Oppgve. Vi kn for eksempel tenke på tllet 7. Det gir regnestykket 7 (7 ) Det viser seg t vi llti ener opp me 0, unsett hvilket tll vi strter me. ( ) + ( ) 9 ( ) + ( ) 9 Oppgve. ( 8) + ( 0) ( ) + ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 9) ( ) Oppgve. 8, er ikke et helt tll, 8,. 7 er et rsjonlt tll, 7. 7 er et reelt tll, 7. er ikke et nturlig tll, sien ikke er positivt,. e f π π er ikke et rsjonlt tll, sien π ikke er rsjonlt,., er et rsjonlt tll, sien,,,. 00 Oppgve.7 9 [ 0,9] sien intervllet er lukket., sien intervllet er åpent., sien <. 9, [ 0,9] sien 9, > 9. π π e, sien, 7 <. f 0, sien,. Ashehoug Sie v
6 Oppgve.8,8,8 [,8 ], e,8 Oppgve.9 Intervllet [,] inneholer tllene fr og me til og me. Intervllet, inneholer tllene fr og me til. Intervllet, inneholer tllene som er minre enn. Oppgve.0, etyr t tllet er minre enn, <. y, etyr t tllet y er større enn eller lik, y. z [,] etyr t tllet z er større enn eller lik og minre enn eller lik, z. Oppgve. [, ] etyr et smme som, ltså utsgn 8., etyr et smme som < <, ltså utsgn., etyr et smme som <, ltså utsgn., etyr et smme som <, ltså utsgn. e, etyr et smme som, ltså utsgn. f, etyr et smme som >, ltså utsgn 7. Ashehoug Sie v
7 g, etyr et smme som, ltså utsgn. h, etyr et smme som <, ltså utsgn. Oppgve., og 7 er rsjonle tll, mens er irrsjonlt. De rsjonle tllene er ltså, og. Oppgve. er ikke et nturlig tll, sien ikke er positivt,., er et rsjonlt tll, sien π er et reelt tll, π. er et helt tll,. Oppgve.,7 sien intervllet er åpent.,,9 sien, >., sien <. [,] sien intervllet er lukket.,,,. 0 Oppgve. Tllene mellom og 7 svrer til intervllet,7. Tllene som er minre enn 7 svrer til intervllet,7. Oppgve. Intervllet, inneholer tllene mellom og. Intervllet, inneholer tllene som er minre enn. Intervllet,0 inneholer tllene fr og me til 0. Ashehoug Sie 7 v
8 Oppgve.7 Løsninger Tllene som er større enn og minre enn eller lik svrer til intervllet,. De negtive tllene er tllene som er minre enn 0, ltså intervllet,0. De reelle tllene svrer til et intervll som er uegrenset i egge ener, ltså,. Oppgve.8 9 er ikke et nturlig tll, sien 9 ikke er positivt,. er ikke efinert, sien et ikke finnes noe reelt tll som kvrert lir lik. Altså er.,, er et rsjonlt tll,,. ( ) ( ) ( ) er ikke me i intervllet, sien intervllet er åpent i nere ene. Altså er Oppgve.9 ( ),., etyr t tllet er minre enn, <., etyr t tllet er større enn og minre enn, < <., etyr t tllet er større enn eller lik og minre enn, <. Intervllet, inneholer tllene som er større enn. Når ikke er me i ette intervllet, etyr et t må være minre enn eller lik,. Oppgve.0 0q q 0,...,...,...,... Smtiig vet vi t 0q q 9q. Dette etyr t 9q, eller q 9 som viser t q er et rsjonlt tll, q. Ashehoug Sie 8 v
9 00r r 00,...,...,, Smtiig vet vi t 00r r 99r. Dette etyr t 99r 09, eller 09 r 99 som viser t r er et rsjonlt tll, r. Oppgve y y y y y y y Oppgve. ( y) y y (8 ) 8 ( y) y 8 y 8 y ( ) 7 Oppgve. + + y y 7 ( ) ( ) 7 y ( y) y 8y Oppgve. ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 8 8 y y y ( y ) Ashehoug Sie 9 v
10 Oppgve ( ) 98 ( ) ( ) Løsninger ( ) ( ) ( 7) ( 0) ( 0) Oppgve. ( ) 9 Oppgve.7 0 ( ) 8 ( ) ( ) ( )( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0+ ( ) ( ) Oppgve.8 0, 0, 0, 0 0, 0, 0 0, I stigene rekkefølge får vi erme 0 0, Ashehoug Sie 0 v
11 Oppgve : ( ) e ( ) f Oppgve π ( ) (Forutstt t 0.) Oppgve. ( ) 9 9 ( ) ( ) e f Oppgve. : ( ) ( ) 8 ( ) Ashehoug Sie v
12 e f ( ) ( )( ) Oppgve. y y y y y y y ( ) ( ) n n n n n n ( n) n 8n 8 n Oppgve. Tllet Tllet Tllet Tllet 0,, og tilsvrer erfor punktet G. 0, og tilsvrer erfor punktet H. 0,, og tilsvrer erfor punktet F. ( ), og tilsvrer erfor punktet I. Tllet ( ), og tilsvrer erfor punktet D. Oppgve. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) + 0 y y y y y y y y y y ( ) + ( ) + 7 ( ) 7 ( ) 7+ 8 Oppgve. + 8 ( ) ( ) Ashehoug Sie v
13 ( )( ) 0 0 ( ) ( )( ) + 7 e ( ) ( ) f ( ) Oppgve.7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Oppgve.8 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) 8 ( ) 0, ( ) ( ) ( ) ( ) Oppgve.9 + ( ) ( ) + Løsninger + ( ) ( ) + ( ) ( ) + + Tllet 0,, og tilsvrer erfor punktet G. 0 Tllet,, og tilsvrer erfor punktet I. Tllet 0 0,, og tilsvrer erfor punktet E. 0 0, og tilsvrer erfor punktet B. Tllet ( ) Tllet Tllet 0, 0,, og tilsvrer erfor punktet F. 0,8,, og tilsvrer erfor punktet J. Ashehoug Sie v
14 Oppgve.0 n n n n n n n n 9 + ( ) n n n + n + n ( ) ( n) n n n n n n n+ n n+ Oppgve. 8 ( ) , ( ) 0 0 Oppgve. ( ) ( ) 8 9 Sien 9> 8 er Oppgve. 9 > 8. Det største tllet er ltså ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( )( ) ( ) ( ) ( ) er ikke efinert for 0. I tillegg hr vi elt på flere steer i uttrykket. Vi må erfor forutsette t 0. Oppgve., 0 er ikke skrevet på stnrform, sien,. 0,8 0 er ikke skrevet på stnrform, sien 0,8 <. 7 0 er ikke skrevet på stnrform, sien 0. Det eneste tllet som er skrevet på stnrform er ltså,, 0. Ashehoug Sie v
15 Oppgve , ,0 0 0, , ,0, 0,0, 0 Oppgve ,8 0, ,99 0,99 0, 000 0, ,00 0,00 0,00 0,00 00 Oppgve.7, 0 0, , 0,0 0,, , 0 9, 0, , 0 0, Oppgve.8 ( ) ,000 7, 0 0 7, , , , 0, ( 7) , 0 0, 0 0 ( ) , Oppgve ,7 0 0,00 0, ,8 0, 0,8 0, 0,00 0,9 0 ( ) Ashehoug Sie v
16 Oppgve J 9 0 J 9 MJ 000 g 0 g kg 0,00 s 0 s ms W, 0 W, GW Oppgve.7 9 GB 0 B 0 0 B 0 MB 000 MB Moiltelefonen hr et minne på 000 MB. Oppgve.7 7 7, MW 7, 0 W W 7, 0 W 8, 0 W, 0 0 W, 0 MW 0 MW,8 0 W,8 0 0 W,8 0 mw 0, 8 mw Oppgve.7 Vekt per insulinenhet: 7 g, 0 0 enheter 9,8 0 g/enhet Vekt for 0 enheter : 0 9,8 0 g,8 0 g 0, 8 mg 0, mg Insulinet i én ose veier. 0, mg. Oppgve.7 0 0, , ,000 09,7 0, Oppgve , , 0 0,008 8, 0,00 8, 0 0, 0 0, 0, Ashehoug Sie v
17 Oppgve.7 Vi skriver først lle tllene på stnrform. 0, ,7 0 0,000 0 I stigene rekkefølge får vi erme 0 0, , Oppgve ,00 0, , ( ) Oppgve J 0 J kj 9 0 Hz 9 MHz 0, m 0 m µ m m 70 nm Oppgve.79 Oljeprouksjon per uke: uker Oljeprouksjon i løpet v tre uker: I løpet v tre uker prouserte Norge. Oppgve.80 0,00, 0,00, 0 0 8, 0 L, 0 9 L/uke 7 0 7, 0 0 7, 0 7, , , ( ) , 0 L,90 0 L,9 0 L 9,9 0 L olje. 0, 00,0 0 0,0 0 0,0 0 0,0 0 8 ( 8) Ashehoug Sie 7 v
18 Oppgve.8, ,0 0, 0,0, , 0, 0, ,0 0 9,0 0 9,0 0 9,0 8 ( ) ( ) 0,8 0, 0 0, 00, 0 0, 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0, Oppgve.8 ( ) , ( 0) mm 0 0 m 0 m 0 m 0 0 m 0,0 µ m Lengen v kterien er µ. 8 0 m 0,0 m mm mm kterier gir en smlet lenge på mm. m m kterier gir en smlet lenge på m. Oppgve.8 Lyset eveger seg Løsninger 8,0 0 meter på ett sekun. Ett år estår v 00 sekuner. 8, m 9, 0 m 9, 0 m Et lysår er. 9, 0 m., 9, 0 m, 0 m Avstnen fr sol til Proim Centuri er, 0 m. Oppgve.8 Ett år estår v 0 minutter 00 minutter. Oljeprouksjon per minutt: 0 8, 0 L Oljeprouksjon i løpet v minutter: 70 L/min 00 min I løpet v minutter prouserte Norge. 70 L L 7, 0 L 7, 0 L olje. Ashehoug Sie 8 v
19 Oppgve Oppgve.8 + (0 ) + 0 (0 ) (0 ) 0 0 (0 ) Oppgve.87 9 (y+ ) 9 y 9 y 0 y y(y ) + 0y y yy + 0y y 0y+ 0y y y( y ) y y+ y y+ 0y ( + ) + + y y y y y y y Oppgve.88 ( )( ) 7 y+ y+ y + y+ y+ y + y+ (y+ )( y ) y y+ y y + y ( )( ) y y y y y+ y y+ y y+ y+ y y y + y+ ( )( ) Oppgve ( ) ( ) 8 + ( 8)( ) Oppgve ( ) Ashehoug Sie 9 v
20 Oppgve.9 ( ) ( + )( ) ( + 0) ( 0) 0 ( y y ) y( + y) y y y y y ( z) ( z )( + z) + z z (z+ z z) + z Oppgve.9 z (z + z ) + z zz z+ + z 8 z ( m)( m+ ) ( m+ m m) ( m m+ ) m m ( n )( n) ( n 8)( n) n 0n 8 0n 0n n 8 ( s)(s+ )(8 + s) (8s+ s s)(8 + s) ( s + 7s+ )(8 + s) Løsninger s 0s s s 0s 0s 9s 7s Oppgve.9 Sum: ( + ) + ( ) Differnse: ( + ) ( ) + + Proukt: ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) Oppgve.9 Det store rektnglet hr sier og +. Arelet er erfor ( + ). Vi kn ele et store rektnglet i to små rektngler. De to små rektnglene hr sier og, og og. Summen v relene er erme +. Altså er ( + ) +. Det store rektnglet hr sier + og +. Arelet er erfor ( + )( + ). Vi kn ele et store rektnglet i fire små rektngler. De fire små rektnglene hr sier og, og, og, og og. Summen v relene er erme Altså er ( + )( + ) Rektnglet til venstre (tegnet i lyserøt) hr sier og. Arelet er erfor ( ). Vi kn også finne ette relet ve å t iffernsen mellom relet v et store rektnglet og relet v rektnglet til høyre. Det gir. Altså er ( ). Ashehoug Sie 0 v
21 Oppgve.9 ( + ) ( ) 9 ( + ) ( 8) Oppgve.9 ( ) + + ( ) ( ) (+ ) ( ) ( ) ( ) + y ( ) + y + y + 8y + y Oppgve.97 Figuren viser et kvrt me sie og rel. De stiplee linjene eler figuren inn i fire områer. Vi er interessert i et største v isse områene, som er et kvrt me sie og erme rel ( ) (mrkert me lyserøt). I tillegg estår et store kvrtet v: To rektngler me sier og Arel: ( ) Kvrt me sie Arel: Arelet v et lyserøe kvrtet er erme ( ) ( ) + Oppgve.98 + ( )( ) + ( + )( ) ( )( + ) Oppgve.99 ( )( ) ( ) y y ( ) y y ( )( ) ( ) + ( ) Ashehoug Sie v
22 Oppgve.00 ( + y) + y+ y + y+ y ( + ) ( ) ( + )( ) 9 Oppgve.0 ( + 9) ( + ) ( n ) n n + n 8n+ ( + )( ) Oppgve.0 ( 9) ( + ) ( m ) m m + m m+ (8 )(8 + ) 8 Oppgve ( 8) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) (+ 7 )( 7 ) (7 ) 9 Oppgve.0 ( 8) ( ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + + ) ( ) 0 0 ( + )( ) ( ) ( ) + Oppgve.0 ( + ) ( n ) n n + n 0n+ Ashehoug Sie v
23 Oppgve.0 (+ 9) ( ) ( ) ( ) Oppgve.07 ( ) ( ) ( + ) ( ) + + ( ) 0 0 ( ) + ( ) (9 + ) 8 8+ ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + + ) (n+ ) (n+ )(n ) ( n) + n + ( ( n) ) Oppgve n n (n ) n n n n Tenk t e to heltllene vi skl multiplisere er n og n +. Differnsen mellom tllene er ( n+ ) ( n ) n+ n+ Det ene tllet er ltså større enn et nre tllet. Prouktet v tllene finner vi fr treje kvrtsetning: ( n )( n+ ) n n Vi ser ltså t prouktet er minre enn kvrtet v tllet n, som er mit mellom e to opprinnelige tllene. Oppgve (00 ) (00 + ) Oppgve.0 I utgngspunktet fyller ropsene et kvrt me sie n og rel n. Tenk t lengen v rektnglet skl være n+ m og reen skl være n m. Det svrer til t vi «klipper ut» rektnglet i røt neerst på figuren, roterer et 90, og flytter et opp til høyre. Dropsene vi får til overs er tegnet i lått på figuren, og svrer ltså til et kvrt me sie m og rel m. Antll rops til overs er erfor et kvrttll. Vi kn også regne ut ntll rops vi får til overs. Det opprinnelige kvrtet hr rel n, og et nye rektnglet hr sier n+ m og n m. Det gir n ( n+ m)( n m) n ( n m ) n n + m m Ashehoug Sie v
24 Oppgve. y y y y 7 y y 99 Oppgve. + + ( + ) ( + ) 8 ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( + ) 8 ( + ) Oppgve. 8 ( ) ( ) y y y y y y ( y) 8 y( y) ( + ) ( + ) ( ) 9( ) Oppgve ( + ) + + ( ) Uttrykket + psser ikke me noen v kvrtsetningene, og kn erfor ikke fktoriseres. ( + )( ) Oppgve ( + ) Uttrykket psser ikke me noen v kvrtsetningene, og kn erfor ikke fktoriseres ve hjelp v em. ( + )( ) ( + )( ) Oppgve. + ( ) ( )( ) 9 (7 ) Ashehoug Sie v
25 ( ) ( ) ( ) (+ )( ) ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + 7)( ) ( )( ) Oppgve er et fullstenig kvrt, fori + + er ikke et fullstenig kvrt, fori er ikke et fullstenig kvrt, fori + er et fullstenig kvrt, fori Oppgve.8 Uttrykket Uttrykket Uttrykket Uttrykket Oppgve mngler leet 8 mngler leet + mngler leet mngler leet (( ) )(( ) ). ( ).. 8 ( ) ( + ) ( + ) ( + )( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) (( ) )(( ) ) + ( + )( ) Ashehoug Sie v
26 ( ) Fori et står pluss mellom e to leene, kn ikke uttrykket fktoriseres ve å ruke treje kvrtsetning. Vi kn erfor ikke fktorisere + +. Oppgve ( + ) ( + ) 9 ( + )( ) Oppgve ( ) 7 ( ) π r + π rh π r r+ π r h π r ( r+ h) π r( r+ h) Oppgve. 7y y y y + + ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + )( ) Oppgve. 7+ 7y y Leene 7 og 7 y ( ) 7( ) ( + )( ) hr ingen felles fktorer. Uttrykket kn erfor ikke fktoriseres. Uttrykket + + psser ikke me noen v kvrtsetningene, sien et står pluss mellom leene. Uttrykket kn erfor ikke fktoriseres. Oppgve. Arelet v et skrverte områet er gitt ve S s S s S s ( + )( ). Ashehoug Sie v
27 Oppgve. Uttrykket + 8+ ( + ) + 8+ er et fullstenig kvrt, fori 8. Uttrykket Uttrykket ( 0) er ikke et fullstenig kvrt, fori er et fullstenig kvrt, fori 8 0 ( 0) 00.. Oppgve. Uttrykket psser ikke me noen v kvrtsetningene, sien et står pluss mellom leene. Uttrykket kn erfor ikke fktoriseres. 9 ( ) 7 (+ 7)( 7) ( + ) ( + ) 9 ( + ) (( ) )(( ) ) ( + 8)( + ) Oppgve ( ) 9 (9 ) ( ) (+ )( ) 0 ( ) ( ) ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( + )( + )( ) ( ) Oppgve.8 Den store sirkelen hr rius R, og en lille sirkelen hr rius r. Arelet v en store sirkelen er erfor π R, og relet v en lille sirkelen er Arelet v et skrverte områet er erme πr π r π ( R r ) π ( R+ r)( R r) π r. Ashehoug Sie 7 v
28 Oppgve.9 Kvrtet ( ) Løsninger + m kn lri li negtivt. Den minste verien kvrtet kn h, er null. Den minste verien uttrykket Uttrykket hr sin minste veri når + m 0 m Uttrykket ( ) ( + m) + n kn h, er erfor 0 + n n. ( m) ( + ) Oppgve ( + ) + hr sin minste veri når Uttrykket i prentes er et fullstenig kvrt hvis D lir ( ) ( + ) 0. Verien er ( + ). y y+ y y+ Uttrykket i prentes er et fullstenig kvrt hvis 7 D lir y y+ y y+ y. Ashehoug Sie 8 v
29 Oppgve. Ettersom 0, multipliserer vi me i teller og nevner. 0 Ettersom, multipliserer vi me i teller og nevner. Ettersom ( + ) ( ), multipliserer vi me i teller og nevner. ( ) + ( + ) ( ) Oppgve y y y y y y Oppgve. ( ) + ( + ) ( + ) + + y + Teller og nevner hr ingen felles fktor. Brøken kn ikke forkortes. 8 ( ) ( ) Oppgve. + + ( + ) ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( ) Ashehoug Sie 9 v
30 ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( + ) ( ) ( + ) ( ) + Oppgve. Nevnerne er og 8. Fellesnevneren er erfor Nevnerne er, og. Fellesnevneren er erfor Nevnerne er og. Fellesnevneren er erfor Nevnerne er, og. Fellesnevneren er erfor Oppgve. Nevnerne er, og. Fellesnevneren er erfor. ( ) () + ( ) Nevnerne er og. Fellesnevneren er erfor. () + Nevnerne er og +. Fellesnevneren er erfor ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( )( + ) ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) 9 Ashehoug Sie 0 v
31 Oppgve.7 Nevnerne er ( ) og. Fellesnevneren er erfor ( ). + + ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) Nevnerne er ( + ) ( ) og +. Fellesnevneren er erfor ( + ) ( ). ( ) + ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) + ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) Vi fktoriserer nevnerne ( + ) ( + ) ( ) Fellesnevneren er ( + ) ( ). ( ) + 0 ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Oppgve ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) Ashehoug Sie v
32 Oppgve.9 () 9 ( ) 9 ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) (7 + ) (7 ) (7 ) 9 (9 ) (7 ) Oppgve.0 9 : : : : 8 Oppgve. ( ) : () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) (8 ) (9 + ) : + 9 ( + 9) (9 ) (9 +) 9 Oppgve. 7 : : Ashehoug Sie v
33 : 0 0 : 0 0 Oppgve. Vi skriver lle tllene me fellesnevneren I stigene rekkefølge får vi erme 7 Oppgve y y y y y y y y y y y y y + ( + ) + Oppgve. + 9 ( + ) + 7 ( ) ( + ) + ( ) ( + ) + Ashehoug Sie v
34 Oppgve Teller og nevner hr ingen felles fktor. Brøken kn ikke forkortes. n 9 n 7 ( n + 7) ( n 7) n 7 n+ 7 n+ 7 ( n + 7) n + n + Telleren n + kn ikke fktoriseres, sien et står pluss mellom leene. Teller og nevner hr erfor ingen felles fktor. Brøken kn ikke forkortes. n n n+ n+ Teller og nevner hr ingen felles fktor. Brøken kn ikke forkortes. Oppgve.7 Nevnerne er og. Fellesnevneren er erfor : Oppgve : 8 8 : Ashehoug Sie v
35 Oppgve.9 Nevnerne er og. Fellesnevneren er erfor Nevnerne er, og. Fellesnevneren er erfor Nevnerne er,, og. Fellesnevneren er erfor Nevnerne er, og. Fellesnevneren er erfor Oppgve Nevnerne er og. Fellesnevneren er erfor. + ( + ) ( ) Nevnerne er og 0. Fellesnevneren er erfor ( + ) (7) + + () (8 ) Løsninger Nevnerne er og. Fellesnevneren er erfor. + ( + ) + + ( ) Nevnerne er og. Fellesnevneren er erfor. + + ( + ) (+ ) Ashehoug Sie v
36 Oppgve. : 8 : y : y y y y y : y y y y Oppgve : 0, 0 0 : : Fellesnevneren for tllene er. Vi skriver tllene me som nevner I stigene rekkefølge får vi erme 0, Ashehoug Sie v
37 Oppgve. 8 ( ) ( + ) ( ) 9 ( ) ( ) ( + ) + ( ) ( + ) ( ) ( ) + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( ) ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) 8 Oppgve ( ) ( + ) ( ) Teller og nevner hr ingen felles fktor. Brøken kn ikke forkortes. y + 0y y ( y+ ) ( ) y y ( y+ ) y y y ( y + ) ( y ) ( y) y + 9 ( + ) ( + ) 8 ( 9) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) + ( + ) Oppgve. + ( + ) + ( ) : ( + ) ( + ) ( ) ( ) (+ ) (+ ) + ( ) (+ ) ( + 7) ( + ) ( + ) () ( + 7) () 0 9 ( 9) ( ) ( ) + + ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) + 9 Ashehoug Sie 7 v
38 Oppgve. Nevnerne er, og. Fellesnevneren er erfor : Nevnerne er og. Fellesnevneren er erfor Oppgve Løsninger + kg smågot koster 8 kr. 8 kr 8 Pris per kg: 8 : kr/kg 8 kr/kg kr/kg kr/kg 0 kr/kg kg Pris i kr for kg : kg smågot koster 0 kr. Oppgve (+ 8) ( + ) + ( + ) ( + ) (+ ) ( ) ( + ) ( ) : + ( ) ( + ) ( ) ( + ) 8+ 8 ( ) (8+ 8) ( ) ( + ) + 8 ( + ) (8) ( + ) ( ) ( ) ( ) : + ( + ) ( + ) ( + ) ( + + ) Ashehoug Sie 8 v
39 Oppgve.9 Nevnerne er + og ( ) + +. Fellesnevneren er erfor ( + ) Nevnerne er,, og. Fellesnevneren er erfor ( ) Nevnerne er, og. Fellesnevneren er erfor. + () ( ) (9 ) ( + ) 9+ Oppgve.0 Nevnerne er, ( ) 9 ( + )( ) og. Fellesnevneren er erfor () ( + ) ( 9) 9 ( ) ( ) 9 ( 9) ( 8) 8 ( ) 9 ( + ) ( ) + Vi fktoriserer nevnerne. ( + ) ( ) 0 ( ) Fellesnevneren er ( + ) ( ). ( + ) + 0 ( ) (0) ( + ) ( + )( ) ( + )( ) (+ ) + + ( )( ) ( )( ) ( ) 0 Ashehoug Sie 9 v
40 Nevnerne er + og 9 ( + )( ). Fellesnevneren er erfor 9. ( ) ( ) ( + ) ( ) 9 ( + )( ) ( + )( ) Oppgve. 7 7 : Løsninger + ( ) + + ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) 9 : 0 Fellesnevneren for smånevnerne er 0. Vi utvier erfor teller og nevner me : e Fellesnevneren for smånevnerne er. Vi utvier erfor teller og nevner me Oppgve. Tllet vi strter me: Vi multipliserer me 7: 7 Vi legger til : 7 + Vi trekker fr tllet selv: 7+ Vi ivierer me : 7+ Til slutt forkorter vi røken: 7+ + ( + ) Vi ener til slutt opp me tllet vi tenkte på pluss. Hvis vi trekker to fr svret, vet vi ltså hv personen tenkte på. + Ashehoug Sie 0 v
41 Oppgve. y y y : y + y y y y y y y y y y y y y : ( )( ) ( y ) y y y y y 9y 9y ( ) 9y y y : y 9y 9y y + 9 y 9 Oppgve : : Vi ser t neste nivå hele tien er pluss en omvente røken fr forrige nivå. Derme finner vi rskt e fire neste nivåene: Telleren lir ltså nevner i neste røk. Summen v teller og nevner lir neste teller. Hvis vi fortsetter rekken, ser vi t tilnærmingsverien går mot,8. (Grenseverien er en løsning v likningen +. Løsningen er +,8.) Ashehoug Sie v
42 Oppgve Det finnes ikke noe reelt tll som opphøy i fjere potens er lik. er erfor ikke efinert. ( ) ( ) Oppgve er et tll som ligger mellom og, sien ( ) I stigene rekkefølge får vi erme Oppgve.7,0 0,8 0, 0,8 7 7,0 og 8. Oppgve ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I stigene rekkefølge får vi erme 0 ( ) ( ) 7 8 Ashehoug Sie v
43 Oppgve.9 n n n n n ( ) ( ) ( ) ( ) y y y 8 8 Oppgve e 0,9 f 7, 09 g ( ) h Oppgve.7 e f g h Ashehoug Sie v
44 Oppgve.7 ( ) ( ) + + Oppgve.7 Tllet Tllet 7 7, og tilsvrer erfor punktet E., og tilsvrer erfor punktet C. Tllet, og tilsvrer erfor punktet F. Tllet ( ) ( ) Tllet, og tilsvrer erfor punktet D., og tilsvrer erfor punktet H. Oppgve.7 ( ) ( n ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Oppgve.7 0, Tllet, og tilsvrer erfor punktet E. Tllet 0,, og tilsvrer erfor punktet F. Tllet Tllet, og tilsvrer erfor punktet B. ( ), og tilsvrer erfor punktet C. Ashehoug Sie v
45 Oppgve.7 Vi kn erfor velge f.eks. og. Vi kn erfor velge f.eks. og. 8 Vi kn erfor velge f.eks. og. Vi kn erfor velge f.eks. og. Oppgve.77 Oppgve e 0 Oppgve Ashehoug Sie v
46 Oppgve.80 Løsninger ( 8) ( ) 8+ ( 8) ( + 8) ( ) ( 8) ( 8+ )( 8 ) ( 8) ( ) 8 Oppgve Oppgve Oppgve Ashehoug Sie v
47 Oppgve.8 ( ) ( ) ( ) 8 8 ( ) ( 7 ) ( )( ) ( ) + Oppgve Oppgve n n n n 8 8 Oppgve ( ) + + Ashehoug Sie 7 v
48 Oppgve.88 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( + )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Oppgve Oppgve Ashehoug Sie 8 v
49 Oppgve.9 ( )( ) ( ) m+ n m n m n m n Sien m og n er nturlige tll, er ( ) ( ) ( ) m n et helt tll. ( ) ( ) + ( ) ( ) Løsninger Kpitteltest Del Uten hjelpemiler Oppgve + 7 ( ) + 7 ( ) + 7 ( 8) + 8 ( ) : ( ) ( ) ( 8) , 0 0, , Oppgve ( ) 0, 0 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, ( ) (+ ) + (( ) + + ) ( ) () ( 7) 9 + ( 9) ( + ) ( + 7) ( 7) ( + ) ( 7) ( ) Ashehoug Sie 9 v
50 Oppgve ( ) + n n n n n n n n n n n n ( ) ( ) ( ) 8n n n n n n n n n n n n n n n 7 n + ( ) + ( ) ( 7) + 7 Oppgve ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) () ( ) Vi fktoriserer nevnerne. 9 ( + ) ( ) + ( + ) Fellesnevneren er ( + ) ( ). ( ) 9 + ( 9) (+ ) ( ) ( + )( ) ( + )( ) ( ) + ( + ) ( + )( ) ( + )( ) ( + ) ( ) ( ) Ashehoug Sie 0 v
51 Oppgve Vi forenkler tllene: ( ) ,7 0,7 0,000 0, Vi ser t lle tllene unnttt 0 er rsjonle. 0 er et tll mellom og 7, sien og 7 9. Smmen me oversikten i oppgve kn vi erme skrive tllene i stigene rekkefølge: 7, Del Me hjelpemiler Oppgve, 0 J, 0 9, 0 J Det er Oppgve 7 8 8, 0 fotoner i lserpulsen. Arelet v hele metllplten er y. Hvert v e fire hjørnene som er fjernet hr relet Arelet som er igjen v metllplten er erfor y y ( ) y+ y ( )( ). Ashehoug Sie v
S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka
Løsninger til oppgvene i ok S kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok. 8 ( ) 5 9. e = = 9 = = 8 5 = = 0 = 0 0 0 = 000 =. e Ashehoug www.lokus.no Sie v Løsninger til oppgvene i ok..5..7 = = + 5 =
Tillegg til kapittel 2 Grunntall 10
8.09.0 Kvrtsetningene Tillegg til kpittel Grunntll 0 Ne læringsmål i reviert lærepln 0 Mål for et u skl lære: kunne ruke kvrtsetningene til å multiplisere to prentesuttrkk kunne fktorisere ve å ruke kvrtsetningene
YF kapittel 1 Tall Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 1 Tll Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 10,, 0, 1,, 5,,, 0 Oppgve 10 Tllet 5 står til høyre for tllet på tllinj. Altså er 5>. Tllet 5 står til venstre for tllet 1 på tllinj. Altså er 5
R1 kapittel 1 Algebra
Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5
2P kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til oppgavene i læreboka
P kpittel 1 Tll og lger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 1.1 ( ) Oppgve 1. 8 = 8 8 = = = 00 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 ( ) = =() = 7 Oppgve 1. 81 = 9 9 = 9 81= = 1= = = ( ) ( ) = = Oppgve 1. 8 = 1
Kapittel 3. Potensregning
Kpittel. Potensregning I potensregning skriver vi tll som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kpitlet hndler blnt nnet om: Betydningen v potenser som hr negtiv eksponent eller
Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.
Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.
Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr
KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING FLERE UTFORDRINGER Oppgve 1 Du hr sifrene A 1 3 5 7 9 og B 2 4 6 8 Ve å ruke tre v sifrene i enten A eller B skl u lge ett tll så nærme 500 som mulig. Du kn re ruke ett siffer
... ÅRSPRØVE 2014...
Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl
a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.
Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv
Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra
Bsisoppgver til P kp. Tll og lger. Potenser. Nye potenser. Store og små tll. Stnrform. Tllsystemer. Femtllsystemet. Totllsystemet.7 Prosentregning me vekstfktor.8 Renteregning Ashehoug www.lokus.no Ashehoug
1T kapittel 2 Likninger
Løsninger til oppgvene i ok T kpittel Likninger Løsninger til oppgvene i ok. 6+ 8 6 8 + 5 5 5 6 VS 6 8 HS 6 ( 6) + 8 6 + 8 8 Sien VS HS når 6, er 6 en løsning på likningen. ( + ) 6 + 6 6 VS HS ( + ) 5
1T kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til innlæringsoppgavene
T kapittel Tall og algera Løsninger til innlæringsoppgavene. a 8 + ( ) 8 ( ) +. a Temperaturen er C. Så reuseres en me C. Da lir temperaturen C C 8 C Temperaturen er C. Så reuseres en me x. Da lir temperaturen
2 Tallregning og algebra
Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)
Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013
Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer
Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016
Integrsjon et supplement til Klkulus Hrl Hnhe-Olsen 14. novemer 2016 Dette nottet er ment som et supplement og elvis lterntiv til eler v kpittel 8 i Tom Linstrøm: Klkulus (åe 3. og 4. utgve). Foruten et
Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving
Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en
Løsninger til oppgaver i boka
Løsninger til oppgver i ok Kpittel 1 Alger Løsninger til oppgver i ok 1.9 d På ildet ser vi t den lengste siden i tkåpningen er omtrent så lng som den korteste. Om vi kller den korteste siden for x, hr
LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302
Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Sie 1 v 6 LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302 12. esemer 2006 Oppgve 1 ) Skriv ne efinisjonen på en tutologi. Svr: En tutologi
S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka
Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen
5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato
5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet
Kapittel 2 Mer om tall og tallregning Mer øving
Kpittel Mer om tll og tllregning Mer øving Oppgve Plsser isse tllene på ei tllinje:,, 9,, Skriv røkene i stigene rekkefølge. Skriv lle tllene som esimltll Oppgve Skriv en røk og fortell hv som er teller,
Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving
Kpittel 5 Sttistikk og snnsynlighet Mer øving Oppgve 1 Digrmmet nefor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4? Hvor mnge elever er et i klssen?
S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka
S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)
YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49
Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve.
Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 5 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHET MER ØVING Oppgve 1 Digrmmet neenfor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4?
Oppgaver i matematikk, 9-åringer
Oppgver i mtemtikk, 9-åringer Her er gjengitt e frigitte oppgvene fr TIMSS 2003. For 4. klsse enyttes nå etegnelsen mønstre for et som i 1995 le omtlt som lger. Oppgvene er innelt i isse emnene: Tll Geometri
1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka
1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og
Mer øving til kapittel 1
Mer øving til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Finn svret ve hoeregning. Velg to v oppgvene og forklr hvilken strtegi u hr rukt. 27 + 38 e 160 70 i 130 4 35 + 75 f 19 5 j 6 7,5 58 + 42
... JULEPRØVE 9. trinn...
.... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver
1P kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til innlæringsoppgavene
1P kapittel 1 Tall og algera Løsninger til innlæringsoppgavene 1.1 a 10 8 10 + ( ) 10 8 10 1 10 ( ) 10 + 1 1. a Temperaturen er C. Så reuseres en me 11 C. Da lir temperaturen C 11 C 8 C Temperaturen er
... JULEPRØVE
Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres
1 Tallregning og algebra
Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn
Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall
1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige
Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014
Terminprøve våren 014 Tll i rei Påygging terminprøve våren 014 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1 Skriv tllet Skriv tllet 6 3,15
DEL 1 Uten hjelpemidler
Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge
Mer om algebra. Sti 1 Sti 2 Sti 3 500, 501, 503, 504, 505, 511 513, 514, 515, 516, 517, 519, 520, 521, 525 531, 534, 535, 538
5 Mer om lger Kompetnsemål: Mål for opplæringen er t eleven skl kunne regne me rsjonle og kvrtiske uttrykk me tll og okstver og ruke kvrtsetningene til å fktorisere lgeriske uttrykk løse likninger, ulikheter
Oppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du?
KAPITTEL 3 GEOMETRI Mer øving kpittel 3 I e første oppgvene skl u gjøre om enheter på en lgeriske måten. Det vil si t når u skl gjøre om mellom relenheter skl u gå veien om å gjøre om mellom lengeenheter.
Eksempeloppgaver 2014 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis
DEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Vrisjonsredden er differnsen mellom største og minste verdi. Største verdi vr 20 poeng. Minste
Mer øving til kapittel 3
Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?
DEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Vrisjonsredden er differnsen mellom største og minste verdi. Største verdi vr 20 poeng. Minste
1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka
T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047
1 dx cos 1 x =, 1 x 2 sammen med kjerneregelen for derivasjon. For å forenkle utregningen lar vi u = Vi regner først ut den deriverte til u,
TMA0 Høst 205 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg 3.5.30: Vi bruker erivsjonsregelen for cos x, x cos x =, x 2 smmen me kjerneregelen for erivsjon. For å forenkle utregningen
Kapittel 1. Potensregning
Kapittel. Potensregning I potensregning skriver vi tall som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kapitlet handler blant annet om: Betydningen av potenser som har negativ eksponent
DEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Melk: 2 14,95 2 15 30 Potet: 2,5 8,95 2,5 9 22,5 Ost: 0,5 89,95 0,5 90 45 Skinke: 0, 2 199
Påbygging kapittel 6 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i læreboka
Påygging kpittel 6 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6.1 (Vi nøyer oss me å lge én tell, hvor vi også fører inn svrene fr oppgve og.) Antll kst 50 100 500 1000 5000 10 000 Antll enere
Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene
Oppgaver i matematikk, 13-åringer
Oppgver i mtemtikk, 13-åringer Her er gjengitt e frigitte oppgvene fr TIMSS 2003. Oppgvene er innelt i isse emnene: Tll Geometri Alger Dtrepresentsjon og snnsynlighet Målinger Proporsjonlitet Emnetilhørighet
S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199
Integrasjon av trigonometriske funksjoner
Integrsjon v trigonometriske funksjoner øistein Søvik 3. november 15 I dette dokumentet skl jeg vise litt ulike integrsjonsteknikker og metoder for å utforske integrlene v (cos x) og (sin x). De bestemte
Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål
Fsit 9 Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Lineære funksjoner rette linjer. ƒ(x) = 4x + 5 ƒ() = 3 ƒ(4) = ƒ(6) = 9.6 ƒ(x) = -x b ƒ(x) = x b ƒ(x) = (x + ) 3 ƒ() = ƒ(4) = 8 ƒ(6) = 4 ƒ(x) = x 4 ƒ() = - ƒ(4) =
Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014
Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2
Eksamen høsten 2015 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1, 4 4 = = 6 0, 4 4 Du kn innt mksimlt 6 g slt per dg. 00 0,8 0,8, 4 100 = = Én porsjon pizz
Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål
Fsit Grunnok Kpittel 4 Bokmål Kpittel 4 Kvdrtiske funksjoner ndregrdsfunksjoner 4.1 Stigningstll Skjæring -kse Skjæring y-kse 4 ( 2, 0) (0, 8) 1 (1, 0) (0, 1) 1 (9, 0) (0, 3) 3 4.5 y = + = 0, y =, y =
YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.
Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010
Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning
Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside
Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:
Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014
Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker
Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon
Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross
Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2
Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten
R1 kapittel 8 Eksamenstrening
Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler Oppgve E Hvis er et nullpunkt for De mulige nullpunktene for P, er konstntleddet 8 delelig med. P er
1 c 6. 1 c 2. b Olav får 1500 kr. Trine får 3000 kr. c 4 Oppgave 39 165,50 kr 6 Oppgave 40 a 0 b 28 c 9 d F.eks. 15 8 e
Fsit Fsit I gng igjen Oppgve 0 Oppgve > < > < Oppgve 9 Oppgve 6 6 Oppgve = < < < Oppgve 6 0 0 0 0 Oppgve 7 6 6 6 Oppgve 0,7 000 Oppgve 9 0,09 700 0,79 7 Oppgve 0 0, 0, 0, 0, Oppgve 0,07 0,7,,7 Oppgve Oppgve
DEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 10 % v 60 er 0,1 60 = 6. Prisen øker d med 6 kr. Vren vil derfor koste 60 kr + 6 kr = 70
1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll
DEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 f( ) + f + ( ) 4 g ( ) ln( ) 1 g ( ) h ( ) ( 1) h ( ) ( 1) 4 1 ( 1) Oppgve er en fktor i P
Kapittel 9 ALGEBRA. Hva er algebra?
Kpttel 9 ALGEBRA Hv er lger? Kpttel 9 ALGEBRA Alger Ekelt k v s t lger er å rege me okstver steet for tll. Når v løser lgger, står okstve (vlgvs for et estemt tll. Når v ruker lger tl å utlee formler eller
1T kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i læreboka
1T kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 7.1 Vi vet t kokepunktet til vnn er 100 C (ve hvoverflten). Derfor vet vi på forhån t vnnet til Anres ikke vil koke ve re 50 C. The vil
M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon
M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved
Fasit. Oppgavebok. Kapittel 5. Bokmål
Fsit Oppgvebok 8 Kpittel 5 Bokmål KAPITTEL 5 5.1 8, 10, 1 b Antll pinner i en figur er figurnummeret gnget med. 5. 14, 17, 0 b gnger figurnummeret pluss. c 14, 17, 0, 5. Figur 1 4 5 Antll pinner 5 8 11
YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10
Brøkregning og likninger med teskje
Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere
Uttrykket 2 kaller vi en potens. Eksponenten 3 forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet 2 med seg selv. Dermed er ) ( 2) 2 2 4
9.9 Potenslikninger Uttrykket kaller vi en potens. Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv. Dermed er 8 Når vi skriver 5, betyr det at vi skal multiplisere
Mer øving til kapittel 2
Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem
R2 - Heldagsprøve våren 2013
Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse
YF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 7 Flte Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 701 Vinkel C er en rett vinkel. Altså er C = 90. c AB er motstående side til den rette vinkelen i treknten. Derfor er AB ypotenus. AC er osliggende
3.7 Pythagoras på mange måter
Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen
1P kapittel 4 Lengder og vinkler
Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 4 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4.1 6 MW 6 1 000 000 W 6 000 000 W 7,5 MW 7,5 1 000 000 W 7 500 000 W c 8 000 000 W 8 1 000 000 W 8 MW d 14
1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1
TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis
R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka
Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 De fem lppene kn ordnes i rekkefølge på 5! = 15 = forskjellige måter. Vi kn
1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)
Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5
1 Tall og variabler. Oppgave Regn ut uten lommeregner. Oppgave Sett inn symbolet eller i de tomme rutene. a) 9 N b) π Q c) 3 R
Tll og vribler. TALL OG TALLREGNING Oppgve.0 Sett inn smbolet eller i de tomme rutene. ) N π Q R Oppgve. Sett inn smbolet eller i de tomme rutene. { } { π } ), 0,,,,,,, Oppgve. Skriv disse mengdene på
Andre funksjoner som NAND, NOR, XOR og XNOR avledes fra AND, To funksjoner er ekvivalente hvis de for alle input-kombinasjoner gir
2 1 Dgens temer Dgens temer hentes fr kpittel 3 i Computer Orgnistion n Arhiteture Kort repetisjon fr forrige gng Komintorisk logikk Anlyse v kretser Eksempler på yggelokker Forenkling vh. Krnugh-igrm
Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra
Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:
Eksamen våren 2018 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 5x+ y = 4 x+ 4y = 6 Vi multipliserer likningen 5x+ y = 4 med på egge sider og får 10x+ 4y
Løsningsforslag til eksamen i INF2270
Løsningsforslg til eksmen i INF2270 Omi Mirmothri (oppgve 1 4) Dg Lngmyhr (oppgve 5 6) 13. juni 2014 Eksmen 2270 V2013 - Fsit 1) Konverter følgene tll til inært. Vis utregning (5%). (43)es 43 / 2 = 21
DEL 1 Uten hjelpemidler
DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve f = + f ( ) = 6 ( ) 3 g = ( ) e g = + = + ( ) e e e ( ) h = 3 ( ) ln( ) 3 h ( ) = 3 = 3 3 Oppgve
Eksamen høsten 2015 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 30 Vekstfktoren er 1 1 0,30 0, 70. 100 N GV N V G 80 800 V 400 0,70 7 Vren kostet 400 kr
1P kapittel 3 Funksjoner
Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =
Flere utfordringer til kapittel 1
Flere utfordringer til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Forklr forskjellen på rsjonle og irrsjonle tll. Hv kjennetegner dem? Hvordn kn vi se t et tll er rsjonlt eller irrsjonlt? Skriv
! Brukes for å beskrive funksjoner i digitale kretser. ! Tre grunnleggende funksjoner: AND, OR og NOT
Dgens temer Boolsk lger! Brukes for å eskrive funksjoner i igitle kretser! Dgens temer hentes fr kpittel 3 i Computer Orgnistion n Arhiteture! Kort repetisjon fr forrige gng! Komintorisk logikk! Tre grunnleggene
MAT 100A: Mappeeksamen 4
. november, MAT A: Mppeeksmen Løsningsforslg Oppgve ) Vi bruker produktregelen: f (x) x rctn x + x + x Siden x og rctn x hr smme fortegn, og x ldri er negtiv, er f (x) positiv overlt, bortsett fr t f ().
Mer om likninger og ulikheter
Mer om likninger og ulikheter Studentene skal kunne utføre polynomdivisjon anvende nullpunktsetningen og polynomdivisjon til faktorisering av polynomer benytte polynomdivisjon til å løse likninger av høyere
Innledning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 1 Innledning Mål for opplæringen er at eleven skal kunne løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritme funksjoner, både ved regning
Nøtterøy videregående skole
Til elever og forestte Borgheim, 1. ugust 2018 Viktig info om vlg v mtemtikkfg for elever på vg1 studiespesilisering I vg1 får elevene vlget mellom to ulike mtemtikkfg. Mtemtikk 1T (teoretisk) og Mtemtikk
S2 kapittel 5 Vekstmodeller. Løsninger til oppgavene i boka Vi løser oppgaven i CAS i GeoGebra.
Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 5 Vekstmodeller Løsninger til oppgvene i ok 5. Vi løser oppgven i CAS i GeoGer. Veksten er lineær på formen y = x +. Vi ser t stigningstllet lir 59, og t konstntleddet
Navn: Klasse: Ekstrahefte 2. Brøk
Nvn: Klsse: Ekstrhefte Brøk Brøk Oppg. ) Finn største felles fktor (sff) for teller og nevner ved å fktorisere. Bruk dette til å forkorte røken. 0 6 ) Finn minste felles multiplum (mfm) for nevnerne ved