Mer om algebra. Sti 1 Sti 2 Sti 3 500, 501, 503, 504, 505, , 514, 515, 516, 517, 519, 520, 521, , 534, 535, 538

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Mer om algebra. Sti 1 Sti 2 Sti 3 500, 501, 503, 504, 505, 511 513, 514, 515, 516, 517, 519, 520, 521, 525 531, 534, 535, 538"

Transkript

1 5 Mer om lger Kompetnsemål: Mål for opplæringen er t eleven skl kunne regne me rsjonle og kvrtiske uttrykk me tll og okstver og ruke kvrtsetningene til å fktorisere lgeriske uttrykk løse likninger, ulikheter og likningssystemer v første og nre gr og enkle likninger me eksponentil- og logritmefunksjoner åe ve regning og me igitle hjelpemiler omforme en prktisk prolemstilling til en likning, ulikhet eller et likningssystem, løse ette og vurere gyligheten v løsningen STIFINNEREN 5. Brøkregning og fktorisering Sti Sti Sti 500, 50, 50, 50, 505, 5 50, 50, 506, 508, 509, 50, 5, 5 50, 50, 507, 508, 50, 5, 5 5. Kvrtsetningene 5, 5, 55, 56, 57, 59, 50, 5, 55 5, 5, 55, 59, 50, 5, 5 5, 5, 55, 58, 59, 5, 5, 55, Førstegrslikninger 57, 58 57, 58, 59 58, 59, Likningssett 5, 5, 55, 58 5, 5, 5, 58, 59, 50 5, 5, 5, 58, 59, 50, Anregrslikninger 5, 55, 556, 557 5, 5, 59, 550, 55, 55, 556, 558 5, 5, 56, 57, 59, 550, 55, 55, 556, 558, 559, Ulikheter v første gr 56, 56, , 56, 565, , 56, 565, 568, Ulikheter v nre gr 57, 57, 57, 57, , 57, 57, 57, , 57, 57, 57, 575, Eksponentillikninger og potenslikninger 577, 580, , 580, 58, , 58, 587, Logritmelikninger , 59, , 59, 59 5 rette eller gle: s. Blnee oppgver (59 X5.): s. Utvlgte løsninger: s. 77 Skriftlige ferigheter: 58, 58 Leseferigheter: 58, 56, 59, 550 Digitle ferigheter: 557, 56, 57, 590 Grunnleggene ferigheter: Muntlige ferigheter: 58, 58 Interktive oppgver: Lokus.no

2 Kpittel 5: Mer om lger 5. Brøkregning og fktorisering 500 Regn ut uten lommeregner : 5 6 e f : : g 5 h i : 50 På en skole er et 60 gutter. Det er fire sjueler v lle elevene. Hvor stor røkel v elevene er jenter? Hvor stor prosentel v elevene er gutter? Hvor mnge elever er et til smmen på enne skolen? 50 Fktoriser. 6 e 6 f Forkort røkene hvis et er mulig * e f g h 6 8y y 50 Regn ut : Trekk smmen. e g 5 f 9 : Du kn få en go kontroll på t ine svr på e seks oppgvene er riktige. Velg en veri for (og ), større enn. Regn ut e oppgitte uttrykkene og ine svr for en vlgte -verien og smmenlikn. Bruk enne metoen på noen v oppgvene i enne oppgven.

3 Kpittel 5: Mer om lger Trekk smmen Trekk smmen. 509 e g f 5 5 e f Regn ut uten lommeregner. 5 5 : : h Gjør røkene urune uten å ruke lommeregner Kri joet som visu og tjente 6000 kr. Hun kjøpte en CD til 500 kr. Av et som vr igjen, rukte hun tre femeler til en ferietur. Hvor mye rukte hun på ferieturen? Hvor stor røkel v lønn he hun igjen? 5 Fktoriser 9 5. Fktoriser ve å sette utenfor en prentes. Fktoriser ve å sette utenfor en prentes. Fktoriser 8 0, 5 ve å sette 8 utenfor en prentes. e Fktoriser ve å sette 6 utenfor en prentes.

4 6 Kpittel 5: Mer om lger 5 Regn ut. e : 6 : 6 : 6 f 5. Kvrtsetningene 5 Regn ut. ( 9) ( ) ( 8 5) e f ( ) ( 5) 5 Regn ut. ( ) ( ) ( ) 5 e f 55 Regn ut. ( 7) ( 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) f 56 Fktoriser e 6 f Hoeregning (eller elvis hoeregning) kn noen gnger li lettere hvis vi ruker en kvrtsetning klengs. Se på isse eksemplene: 8 = ( 0 ) ( 0 )= 00 = 96 5 = ( 0 5) = = 65 8 = ( 8 ) ( 8 )= 0 6 = 80 Lg selv noen eksempler er u ruker kvrtsetningene ve hoeregning. I en rettvinklet treknt er hypotenusen 7 m og en ene kteten 8 m. Finn lengen v en nre kteten uten å ruke lommeregner.

5 Kpittel 5: Mer om lger 7 58 ( ) = ( ) = Bruk figuren til å forklre t. Lg en figur og forklr ut fr figuren t Fktoriser ( ) ( ) ( 6) e 9 f ( ) ( ) ( ) ( ) g h i * Forkort røkene hvis mulig. 9 6 e f 8 g 9 8 h Regn ut. : Trekk smmen. 5 5 ( )

6 8 Kpittel 5: Mer om lger 5 Regn ut uttrykket ( ) ( ) ( ) ( ). Sett = 6 i uttrykket i oppgve og regn ut. Sett = 6 i et svret u fikk i oppgve, og regn ut. Smmenlikn me et svret u fikk i oppgve. Kn u være sikker på t svret u fikk i oppgve, er rett når u får smme tll som svr i oppgve og oppgve? Begrunn svret itt Trekk smmen. 5 9 Fktoriser ve å ruke en v kvrtsetningene klengs e f 56 Regn ut : 9 5. Førstegrslikninger 57 Løs likningene. 5 = = = 8 6 = Løs likningene. ( ) 5 = 0 ( 7)= ( ) 8( 7) ( )= ( )= 8 ( ) Løs likningene. ( 5 )= = = Venstresien i en likning er ( ) Lg en høyresie i likningen slik t 5 lir en løsning. Lg en høyresie i likningen slik t likningen ikke får noen løsning. = 5 0

7 Kpittel 5: Mer om lger 9 5. Likningssett 5 Løs hvert likningssett grfisk på ppir. Løs også likningssettene grfisk på lommeregneren. Smmenlikn grfen u hr tegnet på ppir, me grfen på lommeregneren. y = y = y = y = * 5 Bruk innsettingsmetoen til å løse likningssettene. y = y = 7 y = 0 y = y = 06, y =, y = y = 6 y =, 5 y = 5, y = 05, y = 5 Summen v to tll er 79. Forskjellen på tllene er. Finn tllene. Lrs spør tnte Lise hvor gmmel hun er. Tnte Lise svrer: «Til smmen er vi to 5 år. Tr vi min ler og trekker fr in ler, får vi 0 år.» Hvor gmmel er tnte Lise? 5 På loppemrkeet selger skolekorpset kffe og kker. Én kopp kffe og to kkestykker koster til smmen 6 kroner. To kopper kffe og tre kkestykker koster til smmen kroner. L være prisen for én kopp kffe og y prisen på ett kkestykke. Sett opp et likningssett og finn prisen på én kopp kffe og prisen på ett kkestykke. 55 Fmiliene Olsen og Khn esøker sommerlnet Sol. Fmilien Olsen estår v fire voksne og tre rn. De etler til smmen 5 kr. Fmilien Khn estår v to voksne og to rn. De etler til smmen 750 kr. Finn illettprisen for rn og for voksne. 56 Bestem konstnten slik t likningssettet y = 5 y = 9 får en løsning er =. 57 En rett linje me likningen y = går gjennom punktene (, 57) og ( 67, 6). Sett opp et likningssett er konstntene og er e ukjente. Bruk likningssettet til å regne ut veriene for og.

8 0 Kpittel 5: Mer om lger 58 I læreok lærte u å løse likningssett ve å ruke innsettingsmetoen. I enne oppgven skl vi vise en nnen løsningsmetoe, isjonsmetoen. Når vi ruker isjonsmetoen, multipliserer vi likningene me hvert sitt tll slik t en ene ukjente fller ort når vi legger smmen likningene. Vi skl ruke isjonsmetoen til å løse likningssettet y = y = Vi estemmer oss for t skl flle ort når vi erer smmen likningene. Vi multipliserer me, og me. D får vi 6 9y = 6 8y = 7y = y = 7 y = Sett inn for y i eller, og finn. I steet for å multiplisere me og kunne vi h multiplisert me og me. D ville y flle ort når vi l smmen likningene. Gjennomfør en utregningen også. Løs ette likningssettet ve å ruke isjonsmetoen: y = 5 y = Løs oppgve 5 ve å ruke isjonsmetoen. 59 * 50 Kffehuset selger sitt eget kffemerke Super. Super er en lning v kffemerkene Arom og Lu. Kffehuset selger Super for 56,50 kr per kg, Arom for 60 kr per kg og Lu for 50 kr per kg. Hvor mnge prosent Arom og hvor mnge prosent Lu er et i lningen? Elevrået ve en skole selger melk og yoghurt til elevene. I løpet v en måne le et solgt krtonger melk og y krtonger yoghurt. Melken kostet 8 kr og yoghurten kr per krtong. Til smmen le et solgt 5085 krtonger til en smlet sum v 6 60 kr. Hvor mye le et solgt v melk og yoghurt? 5 En eske me 0 tletter veier 80 g. Me 0 tletter i esken er vekten 50 g. Hv veier esken me 00 tletter?

9 Kpittel 5: Mer om lger 5.5 Anregrslikninger Løsningsprogrm for nregrslikninger (Tes): Se s Løs likningene. = 6 89 = 0 6 = 0 6= 0 e 0, 5= 0 f 6 = 0 5 Løs likningene ve å ruke -formelen. 6 = 0 = 0 5 = 0 5 = 0 e = f 6 6 = g 0 6 = 0 h 8 = 0 i = 0 j 5 = 0 k 5 8 = 0 l = Løs likningene. 60 = 80 = 0, 6 = 0 y y = e 8 0 ( )= ( 5) f ( ) 5= 0 ( 5 ) Løs likningene ve å ruke prouktregelen. ( ) = 0 5 ( ) ( )= 0 ( ) ( 8 )= 0 = 0 e 9 7 = 0 f 9 8 = 0 56 Vi kn fktorisere uttrykket 9 ve å ruke treje kvrtsetning klengs. 9= ( )( ) De to siene er like for lle verier v. Derfor er e også null for e smme -veriene, et vil si for = og =. Dette gir oss nøkkelen til en ny metoe for å fktorisere nregrsuttrykk. Vi strter me å finne nullpunktene til uttrykket. Vi skl fktorisere 6. Vi setter uttrykket lik null og får = eller =. D må en ene fktoren være. og en nre må være, 6 = ( )( ) Dette kn vi formulere i følgene regel: Hvis et nregrsuttrykk er lik null for lik og for =, kn uttrykket fktoriseres slik: = ( )( ) Bruk metoen og fktoriser e 6 0 f 9 * 57 Fktoriser. Forkort røken. Trekk smmen og skriv svret enklest mulig: 7

10 Kpittel 5: Mer om lger 58 Figuren er ttt fr en jpnsk læreok i mtemtikk. Dette er en lgoritme som inngår i et tprogrm for å løse likninger. Hv reier enne elen seg om? Lg en tekst i steet for en jpnske elen v teksten. 59 I læreok skrev vi opp -formelen uten å egrunne t en er riktig. Nå skl u være me på å utlee formelen. Men først løser vi likningen 5 = 0 uten formel. 5 = 0 Vi flytter over konstntleet og ivierer me på egge sier. 5 = 5 Vi legger til kvrtet v på egge sier = = = eller = = 5 eller = 6 6 = eller =

11 Den viktigste overgngen er fr likning til likning. Her gjør vi tre ting på én gng: 5 Vi hlverer fktoren i førstegrsleet og får Vi kvrerer og får Vi erer på egge sier v likhetstegnet. 6 Dette kn vi summere opp i en enkel huskeregel: hlvere, kvrere, ere. Venstre sie i likning lir ofte klt et ufullstenig kvrt. Venstre sie i likning lir klt et fullstenig kvrt. 5 Det vr for å få et fullstenig kvrt på venstre sie i likning t vi l til på egge sier. 6 Merk: Dersom vi he fått null på høyre sie i likning, ville likningen htt re én løsning. Dersom vi he fått et negtivt tll på høyresien i, ville ikke likningen htt noen løsning. Bruk metoen ovenfor til å løse likningene 5 5 0= 0 0= 0 8 = 0 8= 0 Bruk metoen ovenfor til å utlee -formelen. 550 Denne oppgven forutsetter t u hr joet me oppgve 59. Huskeregelen hlvere, kvrere, ere rukes ikke re ve løsning v likninger. Den kn også rukes ve fktorisering v nregrsuttrykk. Som eksempel vil vi fktorisere 0. Her setter vi først utenfor en prentes. Deretter ruker vi huskeregelen ovenfor på fktoren i et nye nregrsleet. Men nå er et ikke ktuelt å ere på egge sier. Her må vi først ere og så sutrhere et smme. (Hvorfor?) 0 = ( 0) Hlverer, kvrerer, erer og sutrherer = 0 = 9 7 = 7 = ( 5) ( ) Kpittel 5: Mer om lger Bruk enne metoen til å fktorisere e 6 8 f 0 6

12 Kpittel 5: Mer om lger 55 Hvis vi ivierer me i en generelle nregrslikningen =0, får vi =0 Setter vi = p og = q, kn likningen skrives slik: p q =0 Bruk -formelen til å vise t likningen p q =0 hr løsningene p± p q Vi kller løsningene og. Regn ut og. Bruk svrene u får til å vise t vi også kn skrive = og = Bruk svrene fr oppgve til å lge en nregrslikning som hr løsningene og. 55 * Lengen v et rektngulært svømmesseng er 5 m større enn reen. Finn et uttrykk for lengen når reen er m. Arelet v ssenget er 6 m. Bestem lengen og reen v ssenget. Tone er år elre enn Jens. Skriv et uttrykk for leren til Tone når Jens er år. Hvor gmmel er Jens når leren til Jens multiplisert me leren til Tone er 8? 55 Det ukentlige overskuet ve prouksjonen v en vre er gitt ve O ( ) = 0, Her er O ( ) overskuet i kroner når et prouseres og selges enheter per uke. Regn ut overskuet når et lir prousert 00 enheter 00 enheter Løs likningen 0, = 0 Hv forteller svret? Unersøk om et er mulig å få et ukentlig oversku på 500 kr 5000 kr Hvor mnge enheter må et i så fll prouseres per uke?

13 Kpittel 5: Mer om lger 5 55 Finn nullpunktene til f ( )= 8ve regning. Finn skjæringspunktene mellom grfene til f ( )= 8 og g ( )= 5 ve regning. Finn skjæringspunktene mellom f ( )= og g ( )= ve regning. 555 Du skl lge en lufteplss for en hun. Innhegningen skl h form som et rektngel og skl stå inntil en husvegg. Du hr 0 meter me gjere. Vi lr kortsien i rektnglet være meter. Den ene lngsien skl ligge inntil husveggen (uten gjere). Vis t relet v lufteplssen lir A ( )= 0, er A ( ) er ntll kvrtmeter. Hv er siene i rektnglet når lufteplssen hr relet m? Unersøk om lufteplssen kn få relet 5 m Totlkostnen per uke ve å prousere enheter v en mskinel er gitt ve K ( ) = 0, Inntekten er gitt ve I = 80. Finn et uttrykk for overskuet O ( ). Når er overskuet 00 kr? Finn svret ve regning. Løs likningssettene grfisk på lommeregneren og ve regning. y = 5 y = 0 y = 7 y = 0 y = 0 y = 5 y = 8 y = 558 Løs likningssettene ve regning. Kontroller svrene ve å løse likningssettene grfisk. y = y = y = y 5 = y = y = y = y = 559 Løs likningen 6 = 0 grfisk. Omform likningen i ve å sette = u. Bruk ette til å løse likningen i oppgve ve regning. Løs likningen = 0 ve regning. 560 Bruk -formelen til å løse likningen 5 = 0. For hvilke verier v hr likningen = 0 to løsninger én løsning ingen løsning

14 6 Kpittel 5: Mer om lger 56 Hnsen hr en rektngelformet hge som er 6 m lng og m re. Hn hr plntet lomster lngs tre v ytterkntene. Resten v hgen er plen. Arelet v plenen er 60 m. Blomstereet er like ret overlt. Finn enne reen. 56 Løs likningssettet y = 6 y = 0 grfisk. Bruk lommeregneren og unersøk når likningssettet y = 6 y = 0 hr én, to eller ingen løsning. 5.6 Ulikheter v første gr 56 Løs ulikhetene ve regning. Kontroller svrene ve å løse ulikhetene grfisk. > < 5 * 5 8 e > 5 5 f Jon Arne løste ulikheten 5 slik: 5 ( ) > ( ) > 5 > > > Kontroller overgngene i Jon Arnes løsning. ( ) 565 Løs ulikhetene ve regning. < ( ) ( ) > 8 ( ) ( ) < < Vi hr to eholere me vnn. I eholer A er et 00 liter vnn, og et renner ut 0 liter vnn per minutt. I eholer B er et 00 liter vnn, og et renner inn liter vnn per minutt. Still opp en ulikhet u kn ruke til å finne hvor lng ti et tr før et er mest vnn i eholer B. Løs ulikheten. For en vre er etterspørselen y kg når prisen er kr. y = Løs ulikheten y > 600. Hv forteller svret?

15 Kpittel 5: Mer om lger Melemskpet i treningsstuioet Form koster 50 kr per måne. D kn u trene så ofte u vil. Uten melemskp må u etle 5 kr hver gng u trener. L være ntll gnger u trener per måne. Sett opp en ulikhet og regn ut hvor mnge gnger u må trene for t et skl lønne seg å li melem. 569 Kjøper u et sesongkort til 50 kr på Beussen, koster hver tur 5 kr. Uten sesongkort koster hver tur 0 kr. Hv kn ulikheten 50 5 < 0 fortelle oss? Løs ulikheten og tolk svret. ( ) < 570 I ulikheten er en konstnt. Bestem slik t ulikheten får 5 løsningen <. 5.7 Ulikheter v nre gr 57 Tegn grfen til y = 6 på lommeregneren. Løs ulikheten 6 < 9 grfisk. Løs ulikheten 6 6 grfisk. 57 Tegn fortegnslinj til 6 57 Løs ulikhetene ve regning. > 0 < > 0 e > 0 f Løs ulikhetene ve regning. * > < < > 5 6 e f 7 < 9 Et firm prouserer og selger kulepenner me reklmetrykk per g. Kulepennene selges for 6,00 kr per stykk. Det koster K ( ) krå prousere kulepenner på en g. K ( ) = 0, 0 5, 6 85 L I ( ) være slgsinntektene når et selges penner per g. Still selv noen spørsmål og svr på em ve å ruke K ( ) og I ( ). Løs ulikhetene ve regning. < > 5 < 50 > 0 e 5 < 7 7 f 6 > 8 g 5 h 0 < 5

16 8 Kpittel 5: Mer om lger 5.8 Eksponentillikninger og potenslikninger 577 Løs likningene ve regning. = 07, = 5, = 60 Løs likningene ve regning. 7 = 8 5 = 0 = 5 Lg en oppgve som psser til likningen , 85 = Løs likningen. Lg en oppgve som psser til likningen = * Løs likningene ve regning. 000, 05 = 6000 = 5 = ( ) 50= 0 e f 0 = 0 = 0 Løs likningene ve å skrive venstre sie og høyre sie som potenser me smme grunntll. = 6 7 = 6 = = 8 Ulrik kjøpte en il for kr i egynnelsen v 006. Vi regner me t ilens veri synker me 5 % per år. Finn ve regning ilens veri ve egynnelsen v Finn ve regning i løpet v hvilket år verien hr sunket til kr kr Hvilket år er ilens veri hlvert? I en perioe me konstnt utetempertur le vrmen i et hus slått v. Målinger viser t timer etter t vrmen le slått v, vr innetemperturen (i elsiusgrer) me go tilnærming gitt ve formelen T ( ) = 5, 0 5, 0, 955 Hv vr temperturen i huset vrmen le slått v? Regn ut og fyll ut tellen T ( ) Tegn grfen til T for -verier mellom 0 og 5. Finn ve regning hvor lng ti et tok før temperturen i huset le C. e Christin stuerer formelen for T ( ) og sier t temperturen i huset snk me,5 % per time. Hr Christin rett? Gi grunn for svret itt.

17 Kpittel 5: Mer om lger 9 58 Et mleri le verstt til kr i 005. I 006 le verien stt til 7 00 kr. Hvor mnge prosent økte verien fr 005 til 006? Hvilken vekstfktor svrer et til? Vi regner me t veristigningen i prosent vil være en smme e neste årene. Hv vil verien v ilet li i 00? Finn ve regning hvor lng ti et vil t før verien hr økt til kr. 58 Temperturen i en steikeovn er gitt ve T ( ) = , 75, er er ntll minutter etter t ovnen le slått på. Hv vr temperturen i steikeovnen vi slo en på? Temperturen i steikeovnen vil etter hvert nærme seg en konstnt veri, T konstnt. Finn T konstnt. Når temperturen er 99 % v T konstnt, slokner termosttlmp. Hvor lng ti tr et før termosttlmp slokner? Finn svret grfisk og ve regning. 58 I Tutnkhmons grv i Egypt hr en funnet trerester er innholet v C- vr 66 % v mengen i levene tre. Bestem leren på enne treiten. Hlveringstien for C- er 570 år. 585 I 990 kjøpte Pelle og Kri en leilighet for kr. I 005, etter 5 år, solgte e leiligheten for kr. Regn ut gjennomsnittlig veristigning per år i prosent. Verien v en mskin gikk ne fr kr til kr på tre år. Hvor stor vr negngen i prosent? Hvor stor prosentvis negng per år svrer et til? En frikk slipper ut 5 tonn forurensning per måne i en elv. Frikken lir pålgt å reusere utslippene me 5 % per måne. Hv er vekstfktoren for utslippene? Etter hvor mnge måneer vil utslippet være hlvert? Etter hvor mnge måneer vil utslippene være omtrent 5 % v en opprinnelig verien? Løs oppgve og åe grfisk og ve regning. En fmilie vnt i Lotto. De kjøpte seg en il som kostet kr og en myntsmling som kostet kr. Verien v ilen vtok me 7 % per år, mens verien v myntene steg me 5 % i året. Hvor mnge år tok et før ilen og myntsmlingen he smme veri? Finn svret grfisk og ve regning. 588 Folkemengen i Norge vr i 98 og i 006. Hv vr økningen i prosent? Hv vr en prosentvise økningen per år fr 98 til 006? Bruk svret i oppgve til å nslå folketllet i Norge i 00.

18 0 Kpittel 5: Mer om lger 589 Et tre vokste fr 0 m til 8 m på 0 år. Hvor mnge prosent årlig økning svrer et til? Per mente t ette vr enkelt. Treet vokste 80 % på 0 år. Det etyr 8 % per år. Pål mente t e først måtte sette opp en vekstfunksjon. Hv mener u? 5.9 Logritmelikninger 590 Løs likningene grfisk og ve regning. lg =, lg = 05, lg 0, 85= 0 * lg 0, 85=, 5 e lg ( )= 0, 8 f lg lg 0, 85= Lystyrke måles i esiel, B. Lystyrken, L, er gitt ve L = 0lg I 0 I er lyeffekten i W/m. Den svkeste lyen vi kn oppftte, hr en lyeffekt på 0 W/m. Hvor mnge esiel svrer et til? En vnlig smtle hr en lyeffekt på. 0 6 W/m. Hvor mnge esiel svrer et til? Lystyrken i en hovegte måles til 70 B. Hvor stor er lyeffekten? Hv skjer me lystyrken ersom lyeffekten oles? Fornøyelsesprken Thunerir åpnet igjen etter å h vært stengt i flere år. De første gene vr ntll esøkene per g gitt ve f ( ) = 000 lg( ), D = [ 0, 0] Her er er ntll ger etter t prken åpnet. ( = 0 svrer til åpningsgen, = er gen etter åpning, osv.) Tegn grfen til f. Hvor mnge esøkene vr et på åpningsgen? Når psserte ntll esøkene 500? Finn svret grfisk og ve regning. Kjemikere ruker ph-verien når e skl oppgi surhetsgren for en væske. ph er et tll i intervllet [ 0, ]. Dette tllet er et mål for konsentrsjonen v HO -ioner i væsken. Hvis konsentrsjonen v HO -ioner i en væske er 0 5 mol per m, sier vi t ph-verien til væsken er 5. Generelt hr vi t Konsentrsjonen v HO = 0 ph. ph = lg ( konsentrsjonen v HO -ioner) Hvis ph for en væske er minre enn 7, er væsken sur. Er ph-verien større enn 7, er væsken sisk. Det er 70 0, mol HO -ioner per m i en væske. Hvilken ph hr en?

19 En væske hr en ph på,. Finn konsentrsjonen v HO -ioner. Væske A hr ph =, og væske B hr en ph på. Finn forholet mellom konsentrsjonene v HO -ioner i e to væskene. 5 rette eller gle En nregrslikning hr llti to løsninger., f ( ) = er eksempel på en potensfunksjon. Vi må snu ulikhetstegnet når vi trekker fr et negtivt tll på egge sier i en ulikhet. Vi må snu ulikhetstegnet når vi multipliser me et negtivt tll på egge sier i en ulikhet. 5 Uttrykket er llti minre enn null. 6 Vi kn ikke fktorisere ve å ruke nre kvrtsetning klengs. 7 Et likningssett me to førstegrslikninger hr llti en løsning. 8 Vi ruker e smme reglene når vi løser en førstegrsulikhet som når vi løser en førstegrslikning. 9 > for lle verier v. 0 Det fins ulikheter v nre gr som hr re én -veri som løsning. Hvis et ikke fins noen veri for som gjør t VS = HS, så hr ikke likningen løsning. kn lri li større enn. 05, er et smme som 5,. Når vi fktoriserer, får vi ( ) ( ). 5 For > 0 er større enn. Kpittel 5: Mer om lger Blnee oppgver 59 Følgene setning gjeler for lle nturlige tll: Hvis n er et oetll, så er ( n ) n elelig me 8. Sett opp en tell og kontroller t ette gjeler for,, 5, 7 og 9. I oppgve så u t setningen gjeler for e fem første oetllene, men ette er ikke noe evis for t setningen llti gjeler. Et oetll kn llti skrives på formen n = k, er k er et positivt heltll eller null. Bruk ette til å evise setningen. I oppgve eviste u t når n er et oetll, så er ( n ) n elelig me 8. Den omvente setningen er: Hvis ( n ) n er elelig me 8, så er n et oetll. Kn u evise et?

20 Kpittel 5: Mer om lger 595 En trimgruppe skl rrngere en tur og innhenter tilu fr reiseselskpet Turussen. Turussen skl h 6500 kr pluss 000 kr for hver eltker. Hvor mye vil turen koste til smmen hvis et lir me 0 eltkere? Hvor mye må hver enkelt person etle? Når personer lir me, koster turen til smmen K ( )kr. Finn et uttrykk for K ( ). Tegn grfen til K for -verier mellom 0 og 0. Trimgrupp får også et tilu fr reiseselskpet Gofoten. Gofoten skl også h et fst eløp kr pluss et eløp kr for hver eltker. Hvis 0 personer eltr, kommer turen til smmen på kr. Me 0 eltkere kommer turen til smmen på kr. Regn ut og. Skriv et uttrykk P ( ) for et turen vil koste til smmen etter tiluet fr Gofoten. Hvor mnge må mele seg på turen for t tiluene fr Turussen og Gofoten skl være like? e Turussen enrer sitt tilu og gir 5 % rtt på en vrile elen (000 kr per eltker). Den fste elen (6500 kr) forlir uenret. Hvor mnge prosent utgjør rtten v et opprinnelige tiluet hvis et reiser 0 personer? 596 Funksjonen f er gitt ve f ( ) = 05, 5,. Tegn grfen til f i et koorintsystem. Velg fr til når u tegner. Finn funksjonens nullpunkter, åe grfisk og ve regning. Grfen til en lineær funksjon g går gjennom punktene (, 5) og ( 8, 7). Finn funksjonsuttrykket for g. Tegn grfen til g i smme koorintsystem som grfen til f. Finn skjæringspunktene mellom grfene grfisk og ve regning. e Bestem en største lorette vstnen mellom grfene i et områet er grfen til f ligger over grfen til g. 597 Fktoriser 5 6. Forkort røken 5 6. Trekk smmen. 5 6 Fktoriser Trekk smmen 5 9. Forkort røkene Regn ut uten å ruke lommeregner. e Skriv enklest mulig uten å ruke lommeregner. 8 ( )( ) ( ) ( 8 8)

21 598 Teofyllin er et stoff som rukes til ehnling mot stm. En psient får stt en sprøyte me teofyllin. Konsentrsjonen v teofyllin i loet (et vil si ntll milligrm teofyllin per liter lo) er gitt ve moellen f ( ) = 0, 85, er er ntll timer etter t sprøyt lir stt. Hv er konsentrsjonen like etter t sprøyt lir stt etter 8 timer Finn ve regning hvor lng ti et tr før konsentrsjonen lir,7 mg/l. Hvor mnge prosent vtr konsentrsjonen fr timer til timer etter t sprøyt lir stt fr timer til timer 599 Likningen = 8 hr én løsning. Finn. Løs ve regning likningen ( 6) (, 5, 5)= 0 uten å ruke -formelen. For hvilke verier v hr likningen 8 = 0 én løsning to løsninger ingen løsninger X5. Tegn grfen til funksjonen f gitt ve f ( )= Velg -verier i intervllet [, ]. Bruk grfen i og estem grfisk for hvilke verier v k likningen = k hr ingen løsninger hr én løsning hr to løsninger Fktoriser og forkort uttrykket (Eksmen MX høsten 005) X5. Figuren viser nen til en golfll etter et perfekt slg. y Kpittel 5: Mer om lger A B C Bllen strter i A og lner i C. Vi legger et koorintsystem me -ksen gjennom A og C og me origo i A. Bnen til llen psser got me grfen til funksjonen f gitt ve f ( ) = 0, 005 0, 5

22 Kpittel 5: Mer om lger er vstnen fr A i meter, og f ( ) er høyen over kken i meter. Løs likningen 0, 005 0, 5 = 0 Finn vstnen fr A til C. Hvor høyt vr llen i et høyeste punktet på nen? I punktet B står et et tre som er m høyt. Bllen sneier kkurt toppen v treet. Du skl finne ut hvor lngt fr C treet står. Vis t ette prolemet leer til å løse nregrslikningen = 0 e Finn ut hvor lngt fr C treet står når vi vet t et står nærmere C enn A. (Eksmen MY våren 005) X5. Funksjonen f er gitt ve f ( )= 6 Finn slik t f hr nullpunktene og 9. Finn slik t f hr re ett nullpunkt. (Eksmen MX våren 005) X5. Skriv uttrykket så enkelt som mulig: ( ) ( ) Løs likningen 5= 0 Fktoriser og forkort uttrykket. (Eksmen MX våren 005, enret) X5.5 Lufttrykket vtr me høyen over hvet. Vi måler trykket i millir. Normlt lufttrykk ve hvoverflten er 0 millir. Lufttrykket vtr me % per 000 meter over hvet. Hv er normlt lufttrykk 000 meter over hvet? Funksjonen f er gitt ve f ( ) = 0 0, 88 Forklr t f er en mtemtisk moell for lufttrykket når er høyen over hvet målt i kilometer. Tegn grfen til f. Velg -verier fr 0 til 0. Bruk grfen til å finne normlt lufttrykk på toppen v Glhøpiggen, 69 meter over hvet, og Mount Everest, 8850 meter over hvet (ifølge e siste målingene). e På en fjelltur hr u me eg et rometer som måler lufttrykket. Hvor høyt over hvet er u når rometeret viser 800 millir? (Eksmen MY høsten 00)

23 Kpittel 5: Mer om lger 5 X5.6 Vnn er gjennomsiktig, men sorerer en el lys. Kommer en lngt nok ne i vnnet, er et stummene mørkt. Funksjonen I viser hvor mye lysstyrke som er igjen (målt i prosent) meter uner hvoverflten, og er gitt ve I ( ) = 00 0, 95 Tegn grfen til I i et koorintsystem. Velg -verier mellom 0 og 50. Hvor mnge prosent v lysstyrken er igjen på 0 meters yp? Hvor ypt må en ykke før lysstyrken er hlvert? Finn svret åe grfisk og ve regning. I Svrtehvet viser målingene t lysstyrken vtr me 0 % for hver 0. meter. Lysstyrken vtr me en fst prosent for hver meter. Bestem enne prosenten ve regning. (Eksmen MY våren 00) X5.7 Forkort røken. Trekk smmen og skriv så enkelt som mulig Lengen v et rektngel øker me 0 %, og reen minker me 0 %. Unersøk hvilken påstn som er snn: «Arelet fornres ikke.» «Om relet minker eller øker, vhenger v hvor lnge siene vr opprinnelig.» «Arelet lir større.» «Arelet lir minre.» (Eksmen MX våren 00) X5.8 y Du kn ruke linjene i koorintsystemet ovenfor for å løse et likningssystem. Hv lir løsningen på ette likningssystemet? Skriv et likningssystem som svrer til isse to linjene. (Eksmen MX våren 00)

24 6 Kpittel 5: Mer om lger X5.9 Fktoriser uttrykket Trekk smmen ( ) ( ) Skriv så enkelt som mulig 9 : 7 98 (Eksmen MX høsten 00) X5.0 Tegn inn en rett linje gjennom punktene, og, 6 i et koorintsystem. Bestem likningen for enne linj. Velg m som enhet på egge ksene. 8 ( ) ( ) Funksjonen g er gitt ve g ( )=. Grfen til funksjonen er tegnet i koorintsystemet ovenfor. Hvilken veri hr? Tegn grfen til g i smme koorintsystem som u rukte i. For hvilke verier v skjærer grfene hvernre? Finn svret grfisk og ve regning. (Eksmen MX høsten 00)

25 X5. Ekstr lett melk inneholer 0,7 % fett. Lettmelk inneholer,5 % fett. Helmelk inneholer,9 % fett. Hvor mnge grm fett er et i en liter helmelk når en liter veier kg? En g er kjøleskpet til Grethe tomt for lettmelk, men hun hr helmelk og ekstr lett melk. Hun estemmer seg for å lge liter lettmelk ve å lne ekstr lett melk me helmelk. Hun skriver følgene på en lpp: : ntll liter ekstr lett melk : ntll liter helmelk Kpittel 5: Mer om lger 7 = 0, 007 0, 09 = 0, 05 Forklr hv likning eskriver. Forklr hv likning eskriver. Hvor mye melk v hver sort skl hun lne? (Eksmen MX høsten 00) X5. Grunnstoffet kron (C) fins i flere utgver. En utgve klles C-. Når en orgnisme ør, egynner mengen v C- i orgnismen å minke. Mengen lir hlvert i løpet v 570 år. Vi lr M være en mengen v C- som er igjen i orgnismen t år etter t en øe. Vi kn regne ut M me enne formelen: t M = 05, 570 Eksempel: Hvis vi setter t = 500 inn i formelen, finner vi t M 08,. Det etyr t 500 år etter t orgnismen øe, er 8 prosent v en opprinnelige mengen C- til stee i levningene. Bruk formelen til å finne ut hvor mnge prosent C- som er igjen etter 000 år. Det er gjort funn v yreknokler hvor et vr igjen 77,8 prosent C-. Hvor lenge er et sien ette yret øe? Finn en formel for tien t uttrykt ve M. (Eksmen MX våren 00, enret)

26 8 Kpittel 5: Mer om lger Løsningsprogrm for nregrslikninger (Tes) Tes TI-8 hr et løsningsprogrm uner APPS som løser nregrslikninger. (Se sie 8 og oppgve 5.8 i læreok.) På Tes TI-8 og elre moeller kn u lste ne et slikt progrm, eller u kn skrive et inn selv. Kolonnen til venstre viser et ferige progrmmet. Kolonnen til høyre viser hvorn u legger inn progrmlinjene. PRGM ENTER Du lir nå et om å skrive nvnet på progrmmet. Trykk for eksempel A B C ENTER. PRGM 8 ENTER PRGM A (Trykk ALPHA først) ENTER PRGM B ENTER PRGM C ENTER B A C STOË D ENTER PRGM D TEST 50 ENTER PRGM '' INGEN LOESNING '' ENTER PRGM D TEST 50 ENTER PRGM 0 ENTER ( ( ) B AB D ) ) ( A ) STOË E ENTER ( ( ) B AB D ) ) ( A ) STOË F ENTER PRGM E TEST F ENTER PRGM '' X,T,q,n TEST X,T,q,n TEST '', E ENTER PRGM E TEST F ENTER PRGM X,T,q,n TEST '' '' X,T,q,n TEST '' '' PRGM 9 ENTER For tsten '' : Trykk ALPHA For tsten mellomrom: Trykk ALPHA 0 Når progrmmet er lgt inn, trykker u QUIT., F ENTER, E, For å kjøre progrmmet trykker u PRGM, velger progrmmet fr list, og trykker ENTER to gnger. Kommentr: Ovenfor hr u sett et eksempel på progrmmering i mtemtikkfget. Hv me å unersøke progrmmeringsmulighetene i et igitle verktøyet u ruker?

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013 Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014 Terminprøve våren 014 Tll i rei Påygging terminprøve våren 014 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1 Skriv tllet Skriv tllet 6 3,15

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

... ÅRSPRØVE 2014...

... ÅRSPRØVE 2014... Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING FLERE UTFORDRINGER Oppgve 1 Du hr sifrene A 1 3 5 7 9 og B 2 4 6 8 Ve å ruke tre v sifrene i enten A eller B skl u lge ett tll så nærme 500 som mulig. Du kn re ruke ett siffer

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve.

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 5 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHET MER ØVING Oppgve 1 Digrmmet neenfor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4?

Detaljer

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra Bsisoppgver til P kp. Tll og lger. Potenser. Nye potenser. Store og små tll. Stnrform. Tllsystemer. Femtllsystemet. Totllsystemet.7 Prosentregning me vekstfktor.8 Renteregning Ashehoug www.lokus.no Ashehoug

Detaljer

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014 Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2

Detaljer

Mer øving til kapittel 1

Mer øving til kapittel 1 Mer øving til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Finn svret ve hoeregning. Velg to v oppgvene og forklr hvilken strtegi u hr rukt. 27 + 38 e 160 70 i 130 4 35 + 75 f 19 5 j 6 7,5 58 + 42

Detaljer

Oppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du?

Oppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du? KAPITTEL 3 GEOMETRI Mer øving kpittel 3 I e første oppgvene skl u gjøre om enheter på en lgeriske måten. Det vil si t når u skl gjøre om mellom relenheter skl u gå veien om å gjøre om mellom lengeenheter.

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving Kpittel 5 Sttistikk og snnsynlighet Mer øving Oppgve 1 Digrmmet nefor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4? Hvor mnge elever er et i klssen?

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

1T kapittel 2 Likninger

1T kapittel 2 Likninger Løsninger til oppgvene i ok T kpittel Likninger Løsninger til oppgvene i ok. 6+ 8 6 8 + 5 5 5 6 VS 6 8 HS 6 ( 6) + 8 6 + 8 8 Sien VS HS når 6, er 6 en løsning på likningen. ( + ) 6 + 6 6 VS HS ( + ) 5

Detaljer

Oppgaver i matematikk, 9-åringer

Oppgaver i matematikk, 9-åringer Oppgver i mtemtikk, 9-åringer Her er gjengitt e frigitte oppgvene fr TIMSS 2003. For 4. klsse enyttes nå etegnelsen mønstre for et som i 1995 le omtlt som lger. Oppgvene er innelt i isse emnene: Tll Geometri

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012 Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5

Detaljer

2P kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

2P kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til oppgavene i læreboka P kpittel 1 Tll og lger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 1.1 ( ) Oppgve 1. 8 = 8 8 = = = 00 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 ( ) = =() = 7 Oppgve 1. 81 = 9 9 = 9 81= = 1= = = ( ) ( ) = = Oppgve 1. 8 = 1

Detaljer

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve. 0 8 ( 0) + 0 + ( 0) 0 8 Oppgve. 7 ( ) + + ( ) 7 Oppgve. ( ) + Oppgve. 0 ( ) 0 ( 0) ( ) 0 ( 0) : ( ) 0 : ( ) Oppgve. ( ) ( ) ( ) (,) ( ) (,) 9 Oppgve.

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis

Detaljer

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge

Detaljer

1 c 6. 1 c 2. b Olav får 1500 kr. Trine får 3000 kr. c 4 Oppgave 39 165,50 kr 6 Oppgave 40 a 0 b 28 c 9 d F.eks. 15 8 e

1 c 6. 1 c 2. b Olav får 1500 kr. Trine får 3000 kr. c 4 Oppgave 39 165,50 kr 6 Oppgave 40 a 0 b 28 c 9 d F.eks. 15 8 e Fsit Fsit I gng igjen Oppgve 0 Oppgve > < > < Oppgve 9 Oppgve 6 6 Oppgve = < < < Oppgve 6 0 0 0 0 Oppgve 7 6 6 6 Oppgve 0,7 000 Oppgve 9 0,09 700 0,79 7 Oppgve 0 0, 0, 0, 0, Oppgve 0,07 0,7,,7 Oppgve Oppgve

Detaljer

... JULEPRØVE

... JULEPRØVE Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres

Detaljer

Mer øving til kapittel 3

Mer øving til kapittel 3 Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?

Detaljer

Oppgaver i matematikk, 13-åringer

Oppgaver i matematikk, 13-åringer Oppgver i mtemtikk, 13-åringer Her er gjengitt e frigitte oppgvene fr TIMSS 2003. Oppgvene er innelt i isse emnene: Tll Geometri Alger Dtrepresentsjon og snnsynlighet Målinger Proporsjonlitet Emnetilhørighet

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen

Detaljer

2 Tallregning og algebra

2 Tallregning og algebra Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)

Detaljer

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b) Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5

Detaljer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

R1 kapittel 1 Algebra

R1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302

LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Sie 1 v 6 LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302 12. esemer 2006 Oppgve 1 ) Skriv ne efinisjonen på en tutologi. Svr: En tutologi

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok. 8 ( ) 5 9. e = = 9 = = 8 5 = = 0 = 0 0 0 = 000 =. e Ashehoug www.lokus.no Sie v Løsninger til oppgvene i ok..5..7 = = + 5 =

Detaljer

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og

Detaljer

Mer øving til kapittel 2

Mer øving til kapittel 2 Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem

Detaljer

Innledning. Kategori Regnerekkefølge. 1.2 Bokstavregning og parenteser

Innledning. Kategori Regnerekkefølge. 1.2 Bokstavregning og parenteser Innledning Ktegori. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten lommeregner. b) ( ) d) ( ) Oppgve. Regn uten lommeregner. b) d) Oppgve. Regn ut med og uten lommeregner. b) ( ) d) ( 9) Oppgve. Regn ut med lommeregner.

Detaljer

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll

Detaljer

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere

Detaljer

Tillegg til kapittel 2 Grunntall 10

Tillegg til kapittel 2 Grunntall 10 8.09.0 Kvrtsetningene Tillegg til kpittel Grunntll 0 Ne læringsmål i reviert lærepln 0 Mål for et u skl lære: kunne ruke kvrtsetningene til å multiplisere to prentesuttrkk kunne fktorisere ve å ruke kvrtsetningene

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:

Detaljer

YF kapittel 1 Tall Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 1 Tall Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 1 Tll Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 10,, 0, 1,, 5,,, 0 Oppgve 10 Tllet 5 står til høyre for tllet på tllinj. Altså er 5>. Tllet 5 står til venstre for tllet 1 på tllinj. Altså er 5

Detaljer

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016 Integrsjon et supplement til Klkulus Hrl Hnhe-Olsen 14. novemer 2016 Dette nottet er ment som et supplement og elvis lterntiv til eler v kpittel 8 i Tom Linstrøm: Klkulus (åe 3. og 4. utgve). Foruten et

Detaljer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.

Detaljer

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall 1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige

Detaljer

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR.

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. Nvn: Klsse: DELPRØVE 1 uten lommeregner og p (41 poeng) Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er det en regnerute. Her skl du føre oppgven oversiktlig

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1 Juleprøve 2015 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Frmgngsmåte og forklring 5 timer totlt Del 1 og del 2 lir delt ut smtidig. Del 1 skl leveres inn seinest

Detaljer

Andre funksjoner som NAND, NOR, XOR og XNOR avledes fra AND, To funksjoner er ekvivalente hvis de for alle input-kombinasjoner gir

Andre funksjoner som NAND, NOR, XOR og XNOR avledes fra AND, To funksjoner er ekvivalente hvis de for alle input-kombinasjoner gir 2 1 Dgens temer Dgens temer hentes fr kpittel 3 i Computer Orgnistion n Arhiteture Kort repetisjon fr forrige gng Komintorisk logikk Anlyse v kretser Eksempler på yggelokker Forenkling vh. Krnugh-igrm

Detaljer

1T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter

1T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter Løsninger til oppgavene i oka Oppgave 4. a Vi tegner grafene til y = og y = + 3 i samme koordinatsystem. Skjæringspunktet mellom grafene har koordinatene (, ).

Detaljer

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49

Detaljer

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1 Årsprøve 2015 9. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 og Del 2 skl deles ut smtidig Del 1 skl du levere

Detaljer

Regn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 =

Regn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 10 Divisjon 2 1 Regn i hodet. ) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = 2 Regn i hodet. ) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 3 ) 39 : 3 = b) 56 : 4 = c) 96 : 8 = d) 98 : 7 = 4 Gi svret med

Detaljer

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2 Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten

Detaljer

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

Oppgaver i naturfag, 9-åringer

Oppgaver i naturfag, 9-åringer Oppgver i nturfg, 9-åringer Her er gjengitt e frigitte oppgvene fr TIMSS 2003. Oppgvene til 9- åringene er innelt i isse emnene: Biologi Fysikk/kjemi Geofg Emnetilhørighet er ngitt forn hver oppgve. S012033

Detaljer

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.

Detaljer

Eksamensdato: 25. mai. I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram.

Eksamensdato: 25. mai. I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram. Lokl gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg for elever og privtister Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: 25. mi Del 1: oppgve 1-5 Del 2: oppgve 6-11 Del 3: oppgve 12-13 I del 3 skl du gjøre oppgvene

Detaljer

Kapittel 2 Mer om tall og tallregning Mer øving

Kapittel 2 Mer om tall og tallregning Mer øving Kpittel Mer om tll og tllregning Mer øving Oppgve Plsser isse tllene på ei tllinje:,, 9,, Skriv røkene i stigene rekkefølge. Skriv lle tllene som esimltll Oppgve Skriv en røk og fortell hv som er teller,

Detaljer

Flere utfordringer til kapittel 1

Flere utfordringer til kapittel 1 Flere utfordringer til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Forklr forskjellen på rsjonle og irrsjonle tll. Hv kjennetegner dem? Hvordn kn vi se t et tll er rsjonlt eller irrsjonlt? Skriv

Detaljer

R2 - Heldagsprøve våren 2013

R2 - Heldagsprøve våren 2013 Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse

Detaljer

BARN og DIGITALE MEDIER 2012 Foreldreundersøkelsen, 1-12 år

BARN og DIGITALE MEDIER 2012 Foreldreundersøkelsen, 1-12 år BARN og DIGITALE MEDIER 2012 Forelreunersøkelsen, 1-12 år Weunersøkelse 1500 forelre me rn i leren 1-12 år Bkgrunnsinformsjon Kjønn Mnn Kvinne Aler (netrekksmeny?) Hr u rn i leren mellom 1-12 år? (FILTER:

Detaljer

Kapittel 9 ALGEBRA. Hva er algebra?

Kapittel 9 ALGEBRA. Hva er algebra? Kpttel 9 ALGEBRA Hv er lger? Kpttel 9 ALGEBRA Alger Ekelt k v s t lger er å rege me okstver steet for tll. Når v løser lgger, står okstve (vlgvs for et estemt tll. Når v ruker lger tl å utlee formler eller

Detaljer

2P kapittel 2 Funksjoner

2P kapittel 2 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok P kpittel Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok.1 D f = [ 1, 6,5] V = [ 1,4] f V f. D f Vnnstnden kl. 16 er gitt i punktet A på figuren. Vnnstnden vr c. 190 cm. Aschehoug www.lokus.no

Detaljer

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL Anne Rsch-Hlvorsen Oddvr Asen Illustrtør: Bjørn Eidsvik 7B NY UTGAVE ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL CAPPELEN DAMM AS, 2011 Mterilet i denne publiksjonen er omfttet v åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt

Detaljer

DELPRØVE 2 (35 poeng)

DELPRØVE 2 (35 poeng) DELPRØVE 2 (35 poeng) På denne delprøven er lle hjelpemidler tilltt. Alle oppgvene i del 2 skl føres på eget rk. Før svrene oversiktlig, slik t det går tydelig frm hvordn du hr løst oppgvene. Bruk penn.

Detaljer

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,

Detaljer

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved

Detaljer

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrsjon Forståelsen v integrlet som et rel ligger til grunn når vi skl beregne integrler numerisk. Litt mer presist: Når f(x) 0 for lle x i

Detaljer

1 Tall og variabler. Oppgave Regn ut uten lommeregner. Oppgave Sett inn symbolet eller i de tomme rutene. a) 9 N b) π Q c) 3 R

1 Tall og variabler. Oppgave Regn ut uten lommeregner. Oppgave Sett inn symbolet eller i de tomme rutene. a) 9 N b) π Q c) 3 R Tll og vribler. TALL OG TALLREGNING Oppgve.0 Sett inn smbolet eller i de tomme rutene. ) N π Q R Oppgve. Sett inn smbolet eller i de tomme rutene. { } { π } ), 0,,,,,,, Oppgve. Skriv disse mengdene på

Detaljer

Navn: Klasse: Ekstrahefte 2. Brøk

Navn: Klasse: Ekstrahefte 2. Brøk Nvn: Klsse: Ekstrhefte Brøk Brøk Oppg. ) Finn største felles fktor (sff) for teller og nevner ved å fktorisere. Bruk dette til å forkorte røken. 0 6 ) Finn minste felles multiplum (mfm) for nevnerne ved

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål Fsit 9 Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Lineære funksjoner rette linjer. ƒ(x) = 4x + 5 ƒ() = 3 ƒ(4) = ƒ(6) = 9.6 ƒ(x) = -x b ƒ(x) = x b ƒ(x) = (x + ) 3 ƒ() = ƒ(4) = 8 ƒ(6) = 4 ƒ(x) = x 4 ƒ() = - ƒ(4) =

Detaljer

Kompetansemål: Sti 1 Sti 2 Sti 3 2.1 Enheter for lengde og areal 2.2 Målenøyaktighet 200, 201, 202, 206, 208 209, 211, 212, 213, 215

Kompetansemål: Sti 1 Sti 2 Sti 3 2.1 Enheter for lengde og areal 2.2 Målenøyaktighet 200, 201, 202, 206, 208 209, 211, 212, 213, 215 2 Geometri Kompetnsemål: Mål for opplæringen er t eleven skl kunne ruke formlikhet og Pytgors setning til eregninger og i prktisk reid løse prktiske prolemer knyttet til lengde, vinkel, rel og volum ruke

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål Fsit Grunnok Kpittel 4 Bokmål Kpittel 4 Kvdrtiske funksjoner ndregrdsfunksjoner 4.1 Stigningstll Skjæring -kse Skjæring y-kse 4 ( 2, 0) (0, 8) 1 (1, 0) (0, 1) 1 (9, 0) (0, 3) 3 4.5 y = + = 0, y =, y =

Detaljer

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper Brøk I dette kpitlet lærer elevene om røk som del v en helhet, der helheten kn være en mengde, en lengde eller en figur, og de skl lære om røk som del v en mengde. De skl lære å finne delen når det hele

Detaljer

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter!

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter! Nytt skoleår, nye øker, nye muligheter! Utstyret dere trenger, er som i fjor: Læreok lånes v skolen vinkelmåler, --9 og - -9-treknter, psser, lynt, viskelær, penn, A-rk til innføring og A klddeok. Og en

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1 Navn:

Juleprøve trinn Del 1 Navn: Juleprøve 2014 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 1 Prøvetid 5 timer totlt. Del1 og Del 2 skl deles ut smtidig. Del 1 skl du levere innen 2 timer. Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Del 2 skl du

Detaljer

Kapittel 5 Verb. 5.4 For å få tak i en engelsk avis. For å finne utenlandske varer. For å treffe venninna si. For å invitere henne med til lunsj.

Kapittel 5 Verb. 5.4 For å få tak i en engelsk avis. For å finne utenlandske varer. For å treffe venninna si. For å invitere henne med til lunsj. Kpittel 5 Ver 5.1 For eksempel: Hver dg pleier jeg å sove middg Liker du ikke å dnse? I dg kn jeg ikke hndle mt. Jeg orker ikke å lge slt. Nå må jeg lese norsk. Jeg hr ikke tid til å t ferie. Kn du synge?

Detaljer

Basisoppgaver til Tall i arbeid P kap. 1 Tall og algebra

Basisoppgaver til Tall i arbeid P kap. 1 Tall og algebra Bsisoppgver til Tll i reid P kp. 1 Tll og lger 1.1 Regning med hele tll 1. Brøk 1.3 Store og små tll 1.4 Bokstvuttrykk 1.5 Likninger 1.6 Formler 1.7 Hverdgsmtemtikk 1.8 Proporsjonlitet Bsisoppgver 1.1

Detaljer

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo Løsningsforslg til seminr i ECON : Internsjonl økonomi.seminruke V ) Den økonomien vi her står ovenfor produserer re to goder, tø og vin. Altså vil lterntivkostnden for den ene vren nødvendigvis måles

Detaljer

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka Påygging kpittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgvene i ok 2.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A = (125,10) B = (0, 12,5)

Detaljer

! Brukes for å beskrive funksjoner i digitale kretser. ! Tre grunnleggende funksjoner: AND, OR og NOT

! Brukes for å beskrive funksjoner i digitale kretser. ! Tre grunnleggende funksjoner: AND, OR og NOT Dgens temer Boolsk lger! Brukes for å eskrive funksjoner i igitle kretser! Dgens temer hentes fr kpittel 3 i Computer Orgnistion n Arhiteture! Kort repetisjon fr forrige gng! Komintorisk logikk! Tre grunnleggene

Detaljer

1T kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til innlæringsoppgavene

1T kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til innlæringsoppgavene T kapittel Tall og algera Løsninger til innlæringsoppgavene. a 8 + ( ) 8 ( ) +. a Temperaturen er C. Så reuseres en me C. Da lir temperaturen C C 8 C Temperaturen er C. Så reuseres en me x. Da lir temperaturen

Detaljer

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2007

Oppfriskningskurs i matematikk 2007 Oppfriskningskurs i mtemtikk 2007 Mrte Pernille Htlo Institutt for mtemtiske fg, NTNU 6.-11. ugust 2007 Velkommen! 2 Temer Algebr Trigonometri Funksjoner og derivsjon Integrsjon Eksponensil- og logritmefunksjoner

Detaljer

R1 kapittel 8 Eksamenstrening

R1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler Oppgve E Hvis er et nullpunkt for De mulige nullpunktene for P, er konstntleddet 8 delelig med. P er

Detaljer