Det neste tallet er 11+5=16. d Vi får tallene i følgen ved å multiplisere det foregående tallet med 4.

Transkript

1 Løiger til oppgvee i ok R kpittel 7 Følger og rekker Løiger til oppgvee i ok 7. Vi får tllee i følge ve å legge til et foregåee tllet. Det ete tllet er. Vi får tllee i følge ve å trekke fr et foregåee tllet. Det ete tllet er. Vi får tllee i følge ve å legge til mer for hvert tll.,,, 7, Det ete tllet er +6. Vi får tllee i følge ve å multipliere et foregåee tllet me.,, 6, 6 Det ete tllet er 6 6. e Vi får tllee i følge ve å multipliere et foregåee tllet me. f,, 9, 7 ( ) ( ) ( ) Det ete tllet er ( ) ( 7) 8. Vi får tllee i følge ve å legge til mer for hvert tll.,,9,6. 7 Det ete tllet er Følge øker me for hvert le. Tllet om mgler, er erfor + 6. Vi er t hvert tll i følge er et foregåee tllet multipliert me. Tllet om mgler, er erfor. Følge miker me for hvert tll. Tllet om mgler, er 8. Vi er t?, 8, 8,, og erme t tllee øker me mer for hvert le. Vi fortetter møtret kleg og får, 8, 8,, Tllet om mgler, er. Ahehoug Sie v 9

2 Løiger til oppgvee i ok Vi er t hvert le er lik leummeret, lik t Etterom følge er -gge, er.. Følge er kott lik for hvert le. Det gir. Vi er t følge er me ltereree forteg. D k vi ruke t ( ) opphøy i et prtll er, og ( ) opphøy i oetll er ( ). Altå ( ). Ahehoug Sie v 9

3 7. Løiger til oppgvee i ok Vi teller tll kuler og får e fire førte hutllee til å være,, og. Følger vi møtret, vil hutll ummer e lik ut: Atll kuler er h. Vi legger merke til t figuree er tt mme v kvrter og likeiee trekter. Figur ummer etår v et kvrt me ielege og e likeiet trekt me ielege. For å fie et femte hutllet kue vi lgt mme kvrttll ummer og trekttll ummer : h k + t Geerelt er mmehege mellom hutllee, kvrttllee og trekttllee h k + t er t 0 0. ( + ) De ekpliitte formlee for kvrttll og trekttll er k og t. Vi treger å fie et uttrykk for et forrige trekttllet t. Dette fier vi ve å utituere me : ( ) ( ) ( ) + ( ) t D k vi fie e ekpliitt formel for et -te hutllet, h : h k + t ( ) + + ( ) 7.6 Løig me igitlt verktøy Vi legger følge i i regerket i GeoGer, Ahehoug Sie v 9

4 Løiger til oppgvee i ok og ruker regrejolyeverktøyet til å fie e pee regrejomoell. Alye me Polyom v gr gir t 0, +, per perfekt me veriee i + følge. De ekpliitte formele er erme +. Løig for hå Vi er på iffere mellom hvert le i følge,, 0, 6,, og legger merke til t e øker me for hvert ye le, kkurt om ho trekttllee. Hvi vi er på følge om trter me et treje trekttllet, er vi t leee 6, 0,,, 8, er tørre e e tilvree leee i følge vi uerøker. Vi tr erfor utggpukt i e + ( ) ekpliitte formele for trekttellee og utituerer me +, lik t vi trter me et treje trekttllet: ( + )( + ) Etterom hvert le i trekttllee er tørre, treger vi re å trekke fr i formele for rekk vi uerøker. Derme får vi ( + )( + ) Dette temmer me formele vi ft ve å ruke igitlt verktøy. Ahehoug Sie v 9

5 Løiger til oppgvee i ok Løig me igitlt verktøy Vi ruker mme frmggmåte om i forrige oppgve og får ve hjelp v regrejolyeverktøyet t regrpolyomet ekpliitt formel for følge. + er e Løig for hå Ve å mmelike følge me trekttllee 9 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) er vi t ethvert trekttll er tørre e tllee i vår følge. Vi fier e formel for e + ( ) følge me ethvert trekttll ve å utituere i. Derme k vi gjøre utitujoe og trekke fr : (+ ) ( + ) + Dette er vi temmer me formele vi ft ve å ruke igitlt verktøy. Ahehoug Sie v 9

6 Løiger til oppgvee i ok 7.7 Vi etter i i e rekurive formlee og får ( ) ( ) ( ) Vi er t følge miker me for hvert le, et vil i t hvert le er mire e et foregåee. De rekurive formele er erfor og +. Hvert le er hlvprte v et foregåee. D er 0 og + e rekuriv formel for følge. Vi fier et ete leet uttrykt ve et forrige Dette gir o e rekurive formele og + +. Ahehoug Sie 6 v 9

7 Altertivt: 6 Dette gir o e rekurive formele og +. Løiger til oppgvee i ok Vi er t hvert le er et forrige leet multipliert me ( ). Derfor får vi og +. e f Vi legger førte merke til t følge øker me +, +6, +8 ov. Vi prøver å ruke ette til å uttrykke et ete leet ve hjelp v et foregåee Dette hjelper o til å fie e rekurive formele og + + ( + ). I ee følge k vi e t leee øker me +, +, + ov. Dette utytter vi til å krive D får vi t og I ee følge er vi t hvert le miker me. Derme får vi 0, 7,,,8,, Vi er på iffere mellom hvert le og oppger møtret:, 7,, 7,,, Igje er vi på iffere og fier 00, 90, 60, 0, 0, 0, Tllet 6 eert til høyre i igrmmet iikerer t vi kl legge til 6 til for å få e ete iffere i følge, 6 +. Når vi vet t iffere mellom 66 og et ete leet i følge er, legger vi til 66 for å fie et ete leet, Ahehoug Sie 7 v 9

8 Løiger til oppgvee i ok Vi er t følge kopiere i ifferere, oe om etyr t vi ikke vil få et kott tll ve å ruke ee metoe. Vi k likevel e t e ete tllee er 6 og e Vi er t følge gjet i iffere, oe om etyr t vi lri vil få et kott tll til lutt. Dette er e erømte Fioi-følge hvor hvert le er umme v e to foregåee leee. Derfor vil e ete tllee være og. f Ahehoug Sie 8 v 9

9 Løiger til oppgvee i ok Vi er t et ete leet er tørre e et forrige. Derme får vi e rekurive formele 7 og + +. Ahehoug Sie 9 v 9

10 Løiger til oppgvee i ok Hvert le er tørre e et foregåee. D er og + + e rekuriv formel for følge Differe mellom hvert le i koloe B er +6, +, +6 ov. E foreklig v prolemet er å etrkte ethvert le i koloe B og fie verie v le ummer 00. Etterom + 6 8, vil iffere mellom ethvert le i koloe være 8, og + 8 vil være e ekpliitt formel for ee følge. D er le ummer 000 gitt ve Av telle vi fylte ut i oppgve, k vi e t lle turlige tll vil frmkomme i telle. Vi fktorierer Dette etyr t 000 er et. tllet i 8-gge. Aehver r i koloe A gir et tll i 8-gge, å 000 må ligge i koloe A. Derme ligger 000 på r ummer Vi legger merke til t hvert le er to etterfølgee tll multipliert me hverre. Så r 6 0. A B C D E Ahehoug Sie 0 v 9

11 Løiger til oppgvee i ok Totlt tll kuler er tll kuler i ree multipliert me tll kuler i høye. Høye gir leummeret, og ree er llti e mer e høye. Derme får vi r ( + ) Trekttllee er hlvprte v rektgeltllee. 7.6 Vi illutrerer kuikktllee ve hjelp v kuer: 7.7 Hvert tll i trekte er umme v e to oveforliggee tllee, forute e ytre ielijee på høyre og vetre ie om etår v eere. De mrkerte igole i grøt gjekjeer vi om trekttllee. (Dette pg. t igole til høyre er e turlige tllee, og t vi fier et ete tllet i e grøe igole ve å ere et forrige trekttllet me.) Når vi egyer å telle igolee fr 0, trter e grøe igole fr. Derme treger vi å fie trekttll ummer : t Summe v e førte tllee i e igol om går eover fr vetre mot høyre, er lik et tllet om tår på igole eefor til vetre og re eefor et ite tllet i umme. Ahehoug Sie v 9

12 7.8 Løiger til oppgvee i ok Vi ruker regrejolyeverktøyet i GeoGer og fier perfekt mth ve å velge femtegrpolyom om moell. Formele for et -te leet er +. Vi legger merke til t gre på polyomet ekpliitte formel er tll gger vi måtte t iffere før vi fikk et kott tll (0). Vi er ogå t vi får kotte 0 år vi eriverer polyomet fem gger. Ahehoug Sie v 9

13 7.9 Vi reger ut e førte ek leee ve å ette i for x i f( x ). 6 f 0 () f () 6 f () f f () () 8 f( 6) 6 96 Løiger til oppgvee i ok Vi lr f( ). Rekuriv formel: Vi er t et ete leet i følge er et foregåee multipliert me. Derfor er og rekuriv formel for følge. + Ekpliitt formel: Vi hr t følge frmkommer v fukjoe f( x) x. Fukjoe gir erfor le r. x, lik t vi får e ekpliitte formele ve å gjøre utitujoe x. Altå. 7.0 Vi teller tll kuler og får t et femte femkttllet er. Vi er t et ete femkttllet er et forrige ert me +. Derme får vi f f f f f f f f Ahehoug Sie v 9

14 Vi kriver opp møtret fr oppgve mer geerelt. f f f f f f f f f f + + f + + f + + f + + f + + f f f + + De rekurive formele for { f } er og f f e f Løiger til oppgvee i ok De orje lijee i figure eler e i i tre områer tilvree tre trekttll. Til vetre er tll kuler lik trekttll ummer, og e to re trekttll ummer. Derme k vi i t totlt tll kuler i femkttll ummer er trekttll ummer ert me to gger trekttll ummer : f t + t Vi ruker oervjoe i oppgve e og e ekpliitte formele for trekttll til å fie e ekpliitte formele for femkttllee (er t 0 0): f t + t ( + ) ( )( + ) ( ) 7. Vi utituerer + og får ( + + ) ( ) 6 6 Vi etter i i uttrykket + ( + ) ( + 6) Ahehoug Sie v 9

15 Løiger til oppgvee i ok Vi flytter over i uttrykket fr oppgve Deretter fier vi ve å ette i i e ekpliitte formele + 6 Ekpliitt: Rekuriv: e Vi ruker metoe vi hr lært, og fier t + + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ( ) + ) ( ) ( + + ( ) + + ) ( ) Vi er t hvert le i følge øker me et oelte v forrige økig og t hvert le i følge er mire e e kjete rekk Ahehoug Sie v 9

16 Løiger til oppgvee i ok Derme lir e ekpliitt formel for følge Vi er på iffere mellom hvert le +, og e rekuriv formel og og legger merke til t følge øker me for hvert le. Følge om e v og vi er t hvert le er mire e e. D lir e ekpliitt formel. For å fie rekuriv formel ruker vi tekikke vi lærte i oppgve ( ) + ( ) + + For å fie ekpliitt formel for ee rekk k vi tuere iffere mellom hvert tll på mme måte om oppgve Vi oppår et kott tll etter å t iffere to gger. Dette etyr t følge er et polyom v re gr, kkurt om for trekttllee. Etterom vi kjeer e ekpliitte formele for em, prøver vi å gjøre om trekttllee til vår følge. Trekttllee: 6 0 Trekttllee multipliert me : Trekttllee multipliert me og ert me ( ) : om er ietik me vår følge. Derme k vi multipliere trekttllformele me og trekke fr for å få e ekpliitt formel, er Ahehoug Sie 6 v 9

17 Løiger til oppgvee i ok t ( + ) + + (Det eklete er ok å ruke regrejo i GeoGer, me m k gjøre et for hå ogå.) E rekuriv formel for følge fier vi ve å ruke tekikke i oppgve ( + + ( + ) ) + ( + 9+ ) ( + ) + + ( ) ( 6 + 6) + ( ) ( 9 ) Hvert treje le er prtll: 8 89 Summe v to oetll er et prtll, og umme v et prtll og et oetll er et oetll. De to førte tllee er oetll, og et treje tllet er prtll. Derme er et fjere og femte tllet et oetll ov. Hvert treje Fioi-tll vil være umme v to oetll, om er et prtll. 7. Vi ruker formele og etter i for Ahehoug Sie 7 v 9

18 Løiger til oppgvee i ok Vi kjeer igje kuikktllee fr oppgve 7.6, å Vi etter i 0 og får 7.6 Vi ruker CAS i GeoGer og får Vi ruker CAS i GeoGer og får 0 8. Vi ruker CAS i GeoGer og får Ahehoug Sie 8 v 9

19 Løiger til oppgvee i ok Vi ruker CAS i GeoGer og får 0, t8 6 i i ( ) ( ) ( ) ( ) (6 6) i i k 0 i k ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) Ahehoug Sie 9 v 9

20 7.9 Vi er t hvert le øker me 7. Dette etyr t et ete leet er ( + 7) + ( + 7) + (+ 7) + (+ + ) Løiger til oppgvee i ok 8 For hå: I utregige v å vi t trekttllee opptår i formele for. Vi k erme e t umformele for rekk er + 7t t Digitlt: Formele for et -te leet i rekk er + 7( ). Derme gir CAS t Vi er t hvert le er hlvprte v et forrige, å Oppgve gir o e rekurive formele + og 000. Vi fier e ekpliitte formele for et -te leet i rekk og ruker e til å rege ut tll 000 le:. Vi etter og løer for : Ahehoug Sie 0 v 9

21 Løiger til oppgvee i ok CAS-verktøyet i GeoGer gir o t umme v rekk er Vi kjeer formele for et -te trekttllet og ruker CAS i GeoGer til å fie 0. I oppgve 7. l vi merke til t hvert rektgeltll er et oelte v itt tilhøree trekttll. Derfor må umme v e 0 førte rektgeltllee være oelt å tor om 0 i oppgve Vi ruker tekikke vi lærte i ekemplet på ie 9, og fier t i + ve å ruke CAS. i Dette kue vi ogå fuet ut ve regig: Ahehoug Sie v 9

22 Løiger til oppgvee i ok i i ( ) t ( + ) ( + ) + 7. Vi vet t umme v e førte oetllee er umme v prtllee.. Vi ruker ette til å fie e formel for (+ ) ) + ( mme ( ) ( ) ( ) Legger til for hvert oetll: til For utleig v umformel ve hjelp v trekttllee, e Vi ruker CAS i GeoGer i ee oppgve. Summe v e fire førte leee er, Ahehoug Sie v 9

23 Løiger til oppgvee i ok Se GeoGer ovefor. Vi er t umme v e førte leee ærmer eg et etemt tll år går mot ueelig. Tllet rekkeumme ærmer eg, kjeer vi igje om Euler tll e. lim e 7. e 6 6 ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + (8 ) + (6 ) + ( ) + (6 ) i 0 ( i ) ( 0 ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) i ( ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 0) + ( ) + ( ) + (8 9) + (6 6) + ( ) + (6 6) + (8 9) + (6 6) ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) i gger + ( + ) + ( 6+ 6 ) + ( 7+ 7 ) + ( 8+ 8) De fem førte pyrmietllee er 0. Når vi er på hver etje i pyrmiee, k vi e t e er kvrter. Derfor vil tll kuer være umme v hver etje, eller umme v e førte kvrttllee. p i i Ahehoug Sie v 9

24 Løiger til oppgvee i ok Vi ruker formele Sum og får t + + p ( ) + 8 Vi kjeer igje trekttllee om trter fr le. 0 ( + ) , i i 0 Ahehoug Sie v 9

25 Løiger til oppgvee i ok 0, i 0 i 0, i i 0 i 0, 000 i e f 0 i i 0 77, i i Så e tre førte leee i rekk er L være e rekke. Differe gir o mmehege ( ) Vi ruker mmehege vi utleet i oppgve til å fie e ekpliitt formel for. (( ) ( ) ) ( + ) ( + ) ( ) 7.0 Vi k viuliere mmehege ve å t for o tilfellet. Ahehoug Sie v 9

26 Løiger til oppgvee i ok Vi kjeer formlee for et -te kvrttllet og oetllet, og kriver opp iffere ve hjelp v umformler. k o i i i i ( ) + i ( i ) i i i ( ) Her ruker vi. kvrtetig. 7. Vi jekker om utget temmer for. VS HS ( + ) Vi tr t utget gjeler for k, et vil i k kk ( + ) Vi kl vie t utget gjeler for k+, emlig t k+ ( k+ ) ( k+ ) ( k+ ) Vi er på VS og ruker tkele * ( + + ( ((( 6+ + k+ ( k+ ) kk ( + ) + ( k+ ) * ( k+ )( k+ ) om vr et vi kulle vie. Utget må erfor være t for lle ifølge iukjopriippet. Ahehoug Sie 6 v 9

27 7. Vi kl vie t P( ): ( x ) x P() : VS ( x ) 0 HS ( x ) x k At t Pk ( ) temmer for e k, v. ( x ) v. Pk ( + ) : k+ k+ ( x ) ( k+ ) x k ( k+ ) x Vi hr k+ k ( x ) ( x x) k k ( x ) x+ x x k k kx x+ x Vi ruker tkele. k k kx + x k ( k+ ) x Løiger til oppgvee i ok gjeler for lle. Vi jekker ført utget for () k kx.vi kl vie t ( ) Vi hr å vit ve iukjo t P ( ) temmer for lle turlige tll. P. Pk+ følger v tkele, 7. Vi jekker om e ekpliitte formele temmer for. At å t formele temmer for et turlig tll k, v. k k * Vi kl vie t k + k + Vi ruker e rekurive formele og etter i tkele * k+ k + k + k + + k + om vr et vi kulle vie. Vi hr erme evit ve iukjo t formele gjeler for lle turlige tll. Ahehoug Sie 7 v 9

28 7. ( + ) Løiger til oppgvee i ok Vi jekker om uttrykket er elelig me år. 0 om er elelig me. At t uttrykket er elelig me for e k. Vi kl erme vie t uttrykket er elelig me for k+. Dv. t ( k+ ) ( k+ ) er elelig me. Vi kriver ut ve hjelp v Pl trekt: ( ) ( ) ( ) ((( ((( elelig me elelig me per t ele Summe v to tll om er elelig me, er ogå elelig me. Vi hr erme vit ve iukjo t er elelig me for lle. 7. Det er ut til t ulikhete er oppfylt for. > k Vi jekket i oppgve t ulikhete er oppfylt for. At t > k for k. Vi kl k vie t > ( k + ), å vi egyer på VS. k+ k > k Vi ruker tkele. > ( k+ ) Fori k > k+ for k (*) Vi hr erme vit ve iukjo t ulikhete gjeler for lle turlige tll. Vi vier påte (*) k > k + k k > Ahehoug Sie 8 v 9

29 7.6 Vi jekker tilfellet VS HS ( + ) At t (k ) k(k+ ) for e k. Vi kl vie t (k ) + ( ( k+ ) ) ( k+ ) ( ( k+ ) + ) ( k + )( k + ) k + k+ k+ k + k + Vi er på VS. ruker tkele ( ) ( ) ) (k ) + ( k+ ) k(k+ ) + ( k+ (( ( (((( k + k+ k + k k Løiger til oppgvee i ok + + om vr et vi kulle vie. Derme hr vi vit ve iukjo t formele gjeler for lle turlige tll. Vi jekker om er elelig me for. 0 er elelig me. At t k k er elelig me for e k. Vi kl vie t ( k+ ) ( k+ ) er elelig me. ( + ) ( + ) elelig me elelig me per t ele Summe v to prtll er prtll. Vi hr erme vit ve iukjo t for lle. er elelig me 7.7 Vi kl vie ( + )(+ ) P ( ): Vi jekker P (). VS ( + )( + ) HS 6 6 At Pk ( ) for et tll k. Vi kl vie t Pk+ ( ) temmer, ltå Ahehoug Sie 9 v 9

30 Løiger til oppgvee i ok Pk ( ) 9 + k ( k ) Vi er på VS kk ( + )(k+ ) (( (( k + ( k + ) + ( k+ ) 6 P( k) ( k+ )( k+ )(k+ ) 6 ( k + k+ )(k + ) 6 k + 6k + k+ k + 9k+ 6 6 k + 9k + k kk ( + )(k+ ) 6( k + k+ ) ( k + k)(k+ ) + 6k + k+ 6 6 k + k + k + k+ 6k + k+ 6 6 k + 9k + k+ 6 6 om vr et vi kulle vie. Vi hr erme vit ve iukjo t formele temmer for lle. 7.8 Vi kl vie t + P ( ) : , for Vi jekker P () : VS + HS At t Pk ( ) temmer for e k. Vi kl vie t Pk+ ( ) følger v ee tkele. Dv. k k+ k + P ( k + ) : k k+ k+ Vi er på VS. Ahehoug Sie 0 v 9

31 Løiger til oppgvee i ok k k + k + k k k+ k k+ ((( ((( P( k) k + k + k+ k+ k + k k + k + k + om vr et vi kulle vie. Derme hr vi vit ve iukjo t P ( ) temmer for lle. 7.9 At et tll er prtll, etyr t vi k krive et på forme m, er m er et helt tll. Vi jekker om uttrykket er prtll for. + om er et prtl l At t k k+ m for et helt tll m. Vi kl vie t ( k ) ( k ) i tll i. ( k+ ) ( k+ ) + k + k + k + k ( k ( + + k m m+ ( k ) ( m+ k ) m+ k er et helt tll ( ( : i for et helt i om vr et vi kulle vie. Vi hr erme vit ve iukjo t uttrykket er prtll for lle. Vi fktorierer uttrykket på følgee måte: ( ) +. Hvi er prtll, er ( ) ogå prtll, og prtll ert me må igje være prtll. Hvi er oetll, må ( ) være prtll, og erme må ( ) ogå være prtll. Prtll ert me må igje være prtll. Vi hr erme vit t uttrykket er prtll for lle. 7.0 Vi jekker om formele temmer for. k At t k er e ekpliitt formel for følge for et helt tll k. Vi kl vie t k + k + ve å ruke e rekurive formele og tkele k k+ k+ k k ( ) Ahehoug Sie v 9

32 Løiger til oppgvee i ok Vi hr erme vit ve iukjo t formele temmer for lle. 7. Vi kl vie t P ( ): for ( ) ( + ) +. Vi jekker P (). VS HS + At t Pk ( ) temmer for e k. Vi kl vie Pk+ ( ), v. t k P( k ) : ( ) ( ) + ( k ) (k ) k + Vi er på VS. k ( ) (+ ) (k+ ) (k+ ) k+ (k+ ) (k+ ) (((((( (((((( P( k) k(k+ ) + (k+ )(k+ ) (k+ ) (k+ ) k + k + (k+ )(k+ ) kk ( + ) + k + (k+ ) (k+ ) ( k+ )(k+ ) (k+ )(k+ ) k + k + om vr et vi kulle vie. Vi hr erme vit ve iukjo t formele gjeler for lle turlige tll. 7. Vi er t hvert le er mire e. Derfor er umformele ut til å være Vi kl vie mmehege Ahehoug Sie v 9

33 ve å ruke iukjo. Vi jekker formele for. VS 0 HS At t formele gjeler for k, v k k Vi kl å vie t formele temmer for k+, v k + k k+ Vi er på VS. k k k k ( ) + ((( ((( tkele k k + Vi hr erme vit ve iukjo t formele temmer for lle turlige tll. Løiger til oppgvee i ok 7. Vi kl vie påte + P ( ) : Vi er t ikke gir e lovlig veri på vetreie, å vi må trte me P (). VS HS At t Pk ( ) temmer for et turlig tll k. Vi kl vie Pk+ ( ) : Pk ( + ) : ( k + ) Pk ( + ) : k k k + k ( k + )( k + ) Vi etrkter vetreie. k ( k ) ( k ) ( k ). Vi jekker Ahehoug Sie v 9

34 Løiger til oppgvee i ok k (((((( (((((( k k + k k + k k + k tkele k + + kk ( + ) kk ( + ) (k+ )( k+ ) ( k+ ) kk ( + )( k+ ) kk ( + )( k+ ) k + k+ k+ k kk ( + )( k+ ) k + k kk ( + )( k+ ) k + ( k+ )( k+ ) Vi hr vit ve iukjo t formele temmer for lle turlige tll. 7. Vi gger ut preteee og kriver uttrykket om et trejegrpolyom. ( + )(+ ) ( + )(+ ) kott Vi må ruke metoe gger, et vil i «erivere» gger for å få e kott. Huk t e eriverte ekriver hvor mye y ere år går mot 0, me i ee metoe er. For hvert teg i metoe får vi gjeomittlig vektfrt år øker me. Når vi eriverer et trejegrpolyom tre gger, får vi e kott. e Vi etter i 0 i og får t Derme må kottleet til polyomet være 0, ltå 0. Ahehoug Sie v 9

35 f De tre førte leee i rekk gir o tre likiger me tre ukjete. I : II : III : g I gir. Vi etter i for i II: II 6+ gir Vi etter i i III: Vi etter i for i I og II: I : + 6 II : 8+ I gir og. Vi etter i i II: Vi etter i for og i I: Løige på likigytemet er oppgve. Løiger til oppgvee i ok,,. Dette temmer me polyomet vi ft i 6 Ahehoug Sie v 9

36 7. Løiger til oppgvee i ok kk ( + ) At k + for et turlig tll k. For å vie t utget temmer for k+, ytter vi utituerer vi tkele i i VS. kk ( + ) + (( + + ( ( + k+ ( k+ ) + ( k+ ) tkele kk ( + ) k+ + kk ( + ) + ( k + ) ( k+ )( k+ ) om vr et vi kulle vie. Vi k imilerti ikke kokluere me t påte er, fori gir VS (+ ) HS + gir VS + ( + ) HS + Vi er t formele på høyre ie gir mer i tllveri e vetreie, lik t et fi ige iukjoe k trte på. (Formele på høyre ie er formele for trekttllee ert me.) 7.6 De førte Fioi-tllee er 8 89 Vi er t f er et prtll. At t f k er prtll, v. fk m for m. Vi må vie t f( k+ ) fk+ ogå er et prtll. Vi ruker t ethvert Fioi-tll er umme v e to foregåee leee: fk+ fk+ + fk+ ( fk+ + fk) + fk+ fk+ + fk fk + + m Bruker tkele ( fk + + m) ( ( et helt tll Vi hr erme vit ve iukjo t hvert treje Fioi-tll er prtll. 7.7 Vi kl her vie ve iukjo t vi k ette felle fktor k utefor prete. For hr vi Ahehoug Sie 6 v 9

37 Løiger til oppgvee i ok At t k k k( ) k i i i k k i i i i i temmer for et turlig tll. Vi må vie t utget temmer for +. + k k + k i i + i i k + k i + i i i + k i + i k + Bruker tkele om vr et vi kulle vie. Smmehege gjeler erfor for lle turlige tll. Vi jekker t mmehege gjeler for. ( + ) + ( ) + ( ) + i i i i i i i At t mmehege temmer for et tll. Vi må vie t ( + ) + i i i i i i Vi er på + ( + ) ( + ) + ( + ) i i i i + + i i i i i i + + ( + ) i i + i + i i i i i om vr et vi kulle vie. i Bruker tkele 7.8 Vi er t hvert le er mire e et foregåee, å rekk er rimetik me. Rekk er i hvert le kott lik, å vi k i t hvert le øker me 0. Derfor er rekk ritmetik og 0. Ahehoug Sie 7 v 9

38 Løiger til oppgvee i ok Rekk øker ikke me e kott for hvert le og er erfor ikke ritmetik. π ( π ) π π ππ Vi ruker formele for et -te leet i e ritmetik rekke. + ( ) 7 + ( ) 7+ + Vi er t og 7 om gir t Ahehoug Sie 8 v 9

39 Løiger til oppgvee i ok + ( ) + ( )( 7) I ee rekk er og. Derme hr vi t + ( ) + ( ) Vi fier ført ve å trekke fr 7 ( ) D er formele for et -te leet + ( )( ) Vi vet t rekk er ritmetik, å et 6. leet er et. leet plu. D må 6 7 For å fie trekker vi ifferer fr : 7 7 D er formele for et -te leet + ( ) 7 + ( ) + og e fem førte leee er Det 9. leet er 8 ifferer fr et. leet. Derfor er Vi fier på mme måte D er formele for et -te leet Ahehoug Sie 9 v 9

40 + ( ) og e fem førte leee ( ) Løiger til oppgvee i ok. Rekk er ritmetik fori hvert le llti miker me. Derme er, om ogå er koeffiiete til. De rekurive formele gir o t iffere er, å rekk er ritmetik. Det -te leet lir + ( ) + ( ) Vi kjeer igje formele for trekttllee, å + ( ) Dee rekk er ikke ritmetik, fori e ikke øker me e mme iffere for hvert le. 7.6 Vi er t rekk er ritmetik,, og t vi hr 8 le. Derme er umme v leee Rekk er ritmetik me og 8. D er Igje er vi t rekk er ritmetik, me me og Ahehoug Sie 0 v 9

41 7.6 Vi ruker formele for umme v e førte leee i e ritmetik rekke Vi treger 0 for å ruke formele. 0 + D lir umme Løiger til oppgvee i ok Vi fier iffere 0 ( ), og erme. Vi treger ogå , lik t umme lir Vi hr 6 0. Rekk er kott lik, om gir Vi ruker formele for et -te leet til å fie hvor mge le et er. Differe er 6, og et førte leet er : 6 + ( ) D lir umme v rekk Vi ruker mme metoe om ovefor år iffere er og et førte leet er 7: ( )( ) Derme er umme Vi ruker CAS om vit i ekempel 8. Ahehoug Sie v 9

42 Løiger til oppgvee i ok Dette etyr t rekkeumme er lik år 7. Derfor må vi h me mit 7 le for t ulikhete kl være oppfylt. CAS gir Dette etyr t vi må h me mit le for t rekkeumme oppfyller ulikhete. CAS gir Vi må erfor h mit le for t rekkeumme oppfyller ulikhete Vi hr t 0 og 0, 7 me ehete millioer. Derme lir 0 + ( )0, 7 9, + 0,7 gir ometig om 0 år, emlig 0 millioer. Vi må fie umme v e førte leee i e ritmetike rekk vi ft i oppgve (9, + 0, 7 ) 7, De mlee ometige e førte åree er 7, millioer Rekk er ritmetik fori hvert le øker me. Rekk er ritmetik fori hvert le øker me. Rekk er ikke ritmetik fori leee ikke øker me mme iffere. For ekempel Rekk er ritmetik fori hvert le miker me. e Rekk er ikke ritmetik fori leee ikke øker me mme iffere. For ekempel π π π(π ) π π π π ) 6 ( f Rekk er ritmetik fori iffere mellom hvert le er 0. Ahehoug Sie v 9

43 7.69 Vi er t rekk hr 0 le, å umme lir e f Atll le i rekk er + ( ) 0 å umme lir Vi fier ført tll le 99 + ( )( ) 00 + og umme lir erme Løiger til oppgvee i ok ( 0 )(0 + ) (0 ) 99 Vi fier tll le + ( )( ) 6 + Derme lir rekkeumme lik 8 8 Atll le i rekk er + ( ) å umme v rekk lir + Vi er t tll le er 0, å rekkeumme lir Ahehoug Sie v 9

44 7.70 De førte prtllee hr førte le + + ( + ) + Løiger til oppgvee i ok og -te le. D lir umme Rekk me lle oetll hr førte le og -te le. Vi etter ette i i umformele Fori hu øker prige me 0 kr per uke, er preeløpee hee e ritmetik rekke me 0 og 00. D får vi uttrykket 00 + ( ) ( + ) I uke 0 vil hu pre eløpet tilvree 0 i rekk vi ft i oppgve. Vi fier 0 0(0 + ) 0 0 Hu må pre 0 kr i uke 0. Vi etter 800 og reger ut ve hjelp v formele i oppgve ( + ) 6 + Hu prer 800 kr i uke. Vi reger ut umme v lt hu hr prt, og etter et -te leet i i umformele får vi likige ( + ) (0 + + ) Ve å ette i uttrykket for Vi ruker CAS i GeoGer til å fie e umerik løig på ee likige. For t hu kl h prt kr, må et gå 9 uker. Ahehoug Sie v 9

45 7.7 Vi jekker om formele temmer for. + ( ) + 0 At t + ( k ) temmer for et turlig tll k. Vi kl me ette vie t k (( ) ) k + + k+ + k Vi ruker egekpe til ritmetike rekker ekrevet i oppgve. + k + k ( ( ) ) + k + + k + + k Bruker tkele Løiger til oppgvee i ok Vi hr erme vit ve iukjo t -teleformele for ritmetike rekker temmer. 7.7 Vi fier ført ve å e t et er ifferer mellom og 8 6 Summe v rekk lir ( + (0 )6 ) Vi etter opplyigee vi hr fått, i i umformele og formele for et -te leet (0 ) 0 + 9( ) 0 0 Ahehoug Sie v 9

46 Løiger til oppgvee i ok 7.7 Vi hr, og ( ) CAS gir o løige.. Dette gir o likige 7.7 Førte rotjo tilvrer π, og rotjoe øker me formele + ( ) π π π + π π for hvert «klikk». D får vi Vi må fie umme v lle viklee om kiv hr rotert etter et 0. klikket π π π + + ( 0 ) 0 9π π+ 0 π 0 π Vi vet et er π rier i et omløp, å tll omløp lir π + + 0,7, 7 π Ahehoug Sie 6 v 9

47 Løiger til oppgvee i ok Atll «klikk» tilvrer tll le i rekk, og 0 omløp tilvrer 0 π 0π rier. Derfor får vi likige + 0π π π π + + ( ) 0π π π π + 0π π π 0 + 0π π CAS gir o t vi må h 9 «klikk» for å pere 0 omløp Når i og i + + i er ritmetike rekker, hr vi umformlee i Vi ruker t + og etter i for og ( + ) + ( + ) Vi etter opp umformele og reger viere på uttrykket Ahehoug Sie 7 v 9

48 Løiger til oppgvee i ok ( ) Dette er et polyom v re gr ute kottle. For t e to uttrykkee kl være like for lle, må koeffiietee til + + p q p q p p q+ p q+ p 7.78 Vi teger «grfe» til følge. og være like Ahehoug Sie 8 v 9

49 Løiger til oppgvee i ok Vi reger ut itegrlet 6 ( + ) + x x x x ( ) I oppgve reget vi ut øvre trppeum, me i oppgve reget vi rel uer kurve. Se figuree eefor Vi jekker t formele temmer for. + + k At k k for et turlig tll k. Vi kl vie t + k + k + ( k + ) Vi hr Ahehoug Sie 9 v 9

50 Løiger til oppgvee i ok + k+ k k+ + k k + k + k+ kk k+ + k + k( ) + + k + k k + + k + k + ( k) + k+ kk+ + + k+ + k + + k + k + + k + ( k + ) k+ k+ k+ Bruker k k+ k+ k+ k+ k+ k+ k+ Bruker tkele Bruker k + + k Vi hr erme vit ve iukjo t formele for umme v e førte leee i e ritmetik rekke temmer Vi reger ut kvotiete mellom to etterfølgee le og er t rekk er geometrik me kvotiet k. Vi er t rekk er geometrik fori lle leee er like. Derme er kvotiete k. Vi er på kvotiete mellom to etterfølgee le, π π π π π π og er t rekk ikke er geometrik fori kvotiete ikke er lik. Ahehoug Sie 0 v 9

51 Løiger til oppgvee i ok Vi reger ut kvotiete mellom to etterfølgee le og er t rekk er geometrik me kvotiet k Vi fier ført k. 9 k 6 D er 6 k Vi ruker formele 7 k og får Det førte leet er gitt, å vi treger å fie k. Etterom vi får oppgitt t rekk er geometrik, treger vi re å fie k ve e utregig. k Derme lir formele for et -te leet 6 Ahehoug Sie v 9

52 Vi fier k på mme måte, k å et -te leet lir Vi hr oppgitt k, å vi må fie ve å e t ( ) 8 D er formele for et -te leet 0 ( ) Løiger til oppgvee i ok k. Vi etter i og reger ut t 7.8 Vi fier k ve og k k ( ) Formele for et -te leet er Vi fier k ve k 6 k ± 80, og e førte leee lir Dette etyr t et er to forkjellige geometrike rekker om oppfyller og. Når k, er k ( ) 6 og formele for et -te leet De førte leee lir Ahehoug Sie v 9

53 Løiger til oppgvee i ok Når k, er k ( ) og formele for et -te leet De førte leee lir Vi fier k. k 6 k ± ± Igje hr vi to ulike geometrike rekker om oppfyller krvet. Når k, er og e førte fem leee Når k, er og ( ( ) ( ) ) Vi følger frmggmåte gitt i ekempel, og fier og k 7. Derme er 7. Ahehoug Sie v 9

54 Løiger til oppgvee i ok Igje ruker vi CAS og får to løiger. Die løigee gir hver i geometrike rekke. ( ) ( ) 7.8 Vi teller 8 le i rekk me og k. D er umme k ( ) ( ) (6 k 6 ) 0 Rekk hr le me og 8 k. D er 0 0 ( ) Vi etter umformele for eelige geometrike rekker i i CAS og får Vi gjør et mme om i oppgve og får Vi reger ut k og i CAS og får Ahehoug Sie v 9

55 Løiger til oppgvee i ok Vi er t ee rekk ikke ere og er erfor kott lik i lle le gger Fori k, k vi ikke ruke umformele på ee rekk Vi ruker CAS i GeoGer og får 0 8 7, Smme frmggmåte om i oppgve gir Ahehoug Sie v 9

56 Løiger til oppgvee i ok Vi reger ut k og i CAS og får t Vi er t k og ruker formele for et -te leet i e geometrik rekke for å fie hvilket leummer hr. 6 D lir umme v rekk 6 Vi fier ført k. 6 ( ) k Vi vet t 8, å et må være le mellom 8 og. Derme er leet me tllveri ummer 7 i rekk. ( ) 7 ( ) ( ) Vi er t k, og t 6. Vi ruker formele for et -te leet til e geometrik rekke og får Ahehoug Sie 6 v 9

57 6 6 6 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 Til lutt ruker vi umformele for å fie umme: ( ) Løiger til oppgvee i ok Vi er t k π, 0, og t rekk hr 7 le. Derme lir umme v rekk 7 π + 0 π π+ 0π + 0π 7.89 Vi er t e førte leee oppfyller k, og vi tr erme t rekk er geometrik. Vi fier tll le i CAS. Vi ruker umformele og får t Vi er t, og t k, og fier umme v rekk uttrykt ve. k k me hjelp v CAS i GeoGer. Vi løer likige 000 Dette etyr t vi må mit h me 7 le for t umme kl li tørre e 000. Ahehoug Sie 7 v 9

58 Løiger til oppgvee i ok 9 Vi hr t 00 og k. Vi fier umme v rekk uttrykt ve tll le. 0 k k ( ) ( ) 00 Vi løer likige 000 me hjelp v CAS i GeoGer. Dette etyr t vi må mit h me le for t umme kl li tørre e Vi teger opp et igrm om vier hvor lege hvert eløp lir tåee på koto: Summe v e 8 eløpee er e geometrik rekke me 000 og k, 0. Vi fier 8 8, 0 8 k 000 6,6 k, 0 Mrie hr 6,6 kr på koto like etter ikuet i jur 0. Vi ruker mme umformel om i oppgve, me me ukjet. Vi får erme likige, , 0 Vi løer likige me CAS. Dette etyr t hu perer é millio etter 0 år, v. i år 06. Ahehoug Sie 8 v 9

59 Løiger til oppgvee i ok Atll eløp hu etter i, lir Vi teger tilvree igrm om i oppgve. 6 Vi løer likige 0 me x og k, 0, 0 6 x 0, ,0 x 6 6,0 Dette etyr t e måelige eløpee hee måtte vært 6 6 kr for t hu kulle h pert millioe like etter ikuet i jur Sue hr igje 0, 0( 0, 0) ue etter to ger på eitet h (0, 0 0, 0 0, 977) g fr ge før og 0,0 g fr ge i g. Derme vil + g C-7 i kroppe. Hvi vi fortetter møtret vi ekrev i oppgve, får vi e geometrike rekk 0, 0 + 0,0 0, , 0 0,977 9 er 0, 0, k 0,977 og 0. Vi reger ut umme v rekk for å fie umme v riktivt toff ue hr i kroppe etter 0 ger. 0 0, ,0, 0,977 Sue hr, g C-7 i kroppe etter 0 ger på eitet. Vi må fie tll le om må til for t umme v rekk kl li. 0,977 0, 0 0,977 Vi legger likige i i CAS. Sue må eite i 7 ger for t e oppmlee mege C-7 i ue kl li g. Vi treger å fie vektfktor k for e re ue og løer erfor likige 0, me 0, 0 og ukjet k Ahehoug Sie 9 v 9

60 Løiger til oppgvee i ok 0 k, 0, 0 k Vi etter likige i i CAS. Dette etyr t ue ryter e, % riktivt toff hver tt. 7.9 Vi teger et igrm tilvree ekempel. Summe v lle termieløpee vil gi e geometrik rekke me refretipukt er luttverie v lået , 0 kr. Vi løer erme likige , 0 0.,0 x ,0, 0 0, , 0 x, De årlige termieløpee vil være på 7 0 kr. x og k, 0. Me mme Ahehoug Sie 60 v 9

61 Løiger til oppgvee i ok e Vi er t Her er k. Derme lir e førte ek leee i rekk k og Vi fier f 0 0 k k De ek førte leee er erme Igje fier vi k ført k k De ek førte leee er Vi jekker om lle leee hr mme kvotiet Rekk er geometrik fori kvotiete er k for lle le. Ahehoug Sie 6 v 9

62 Løiger til oppgvee i ok Vi er t 0 og ft t k. Derme er formele for et -te leet 0 lik t Vi ft e ekpliitt formel for rekk i oppgve, emlig 0. Vi fier e rekurive formele ve å oervere t et ete leet er et foregåee multipliert me, å + og Vi etter i i formele for eelige geometrike rekker. k Vi fier ført : ( ) 00 D er og ( )( ) ) ( ) ( k ( ) k 0 0 ( ) 87 ( ) k k 0 0 (( ) ) ( ( ) ) k 0, 0 k 0, 0, ( 0, ),9 0,67 0 ( 0, ) Vi er t k. D lir Ahehoug Sie 6 v 9

63 0 k ( ) ( ) k 0 ( ( ) ) 69, 0,0 00 e Vi hr t k, å 0, (( ) ) k ( ) ( ) 0, 0, k ( ) 0, 9 ( ) 0 f Vi hr t og k, å ( ) ( ) k 9 k (( ) ) 0 (( ) ) 9 0, (( 0) ) Løiger til oppgvee i ok 7.98 Når rete er,%, hr vi vektfktor,0. Vi teger et igrm. Til høyre i igrmmet får vi e geometrik rekke me le, og k, 0. Summe v ee rekk er luttverie v Ol lå. For å fie hvor mye h tr opp i lå å, må vi løe likige x, 0, er x er tørrele på lået., x,0,0 Dette etyr t Ol tr opp et uitetlå på kr. Ahehoug Sie 6 v 9

64 7.99 Vi jekker t formele temmer for. k k 0 At t formele temmer for et turlig tll k t t t, v. Vi kl å vie t formele ogå temmer for t+, v. t + k t Løiger til oppgvee i ok Vi ruker t et ete leet i e geometrik rekke er et forrige multipliert me k. t+ k t t k k k k t + t Bruker tkele Vi hr erme vit ve iukjo t formele temmer for lle turlige tll Vi teger et igrm om vier hvor lege hvert eløp tår på koto. Atll le i rekk er, fori vi teller fr og me 7 år til og me 67 år: Summe v lle ikuee me tilhøree reter er e geometrik rekke me k, 0 og Vi fier umme v rekk, ,0, 0 Dette etyr t Håko hr 69 8,0 kr på koto like etter et ite ikuet. H tr ut førte eløp året h fyller 68, og 8. uttk året h fyller 7. Summe v ie uttkee me tilhøree reter kl være lik fr eloppgve me reter. Vi teger et ytt igrm. Ahehoug Sie 6 v 9

65 Løiger til oppgvee i ok Vi er t umme v uttkee me tilhøree reter er e geometrik rekke me 8 le, k, 0 og x. Derme får vi likige, 0 8 8, 0 x, 0 H k mkimlt t ut 9 966, kr hvert år. 7.0 Grue til ette er t likige x, er og, hr to løiger, me likige x hr é løig. For ekempel x 6 gir x ±, me x 8 gir x. Ve prtllekpoeter får vi e egtiv løig i tillegg. Når le r. og r. i e geometrik rekke er gitt, må vi multipliere me kvotiete k tre 0 gger, og vi får e likig me oetllekpoet k om hr é løig. 6 0 Når le r. og le r. 8 er gitt, får vi k om hr to løiger. 7.0 Vi jekker om formele temmer for. Ahehoug Sie 6 v 9

66 Løiger til oppgvee i ok VS k k i HS i 0 k k At t formele temmer for et turlig tll t, emlig t t i k i t k k Vi kl å vie t formele temmer for t+, v. t+ i k Vi er på VS. t+ i i t+ k k t i i t + k i k k t k t + k Bruker tkele k t k t + k k t t k k ( k ) + k k t t+ t k k k ) + k k k t t+ t k + k k k k t+ Vi hr erme vit ve iukjo t formele temmer for lle turlige tll. 7.0 Vi legger merke til t tll åkor ole for hver rute. For e ite rute vil me få 6 8 9, 0 åkor. Det er 6 ruter, å me vil til mme få om er e geometrik rekke me 6 le, og k. Summe v rekk er 6 6,8 0 9 Me får totlt,8 0 åkor. 6 9 Ahehoug Sie 66 v 9

67 Løiger til oppgvee i ok Vi fier ført hvor mge to et er i 00 mg. 9 to 000 kg g mg 0 mg 00mg 0 7 to 9 7 Såkoree vil til mme veie, 8 0 0, 8 0 to. 7.0 Vi er t og k, å k k Vi etter i i e oppgitte ulikhete. > > > Vi hr ekvivle fori vi re hr ert me på hver ie v ulikhete. Dette erer ikke løigmege. 7 7 Vi er t Dette etyr t ( ) lg lg0 7 lg0 7 E tilærmet veri for uttrykket er 7. Vi må løe ulikhete > ve å fie tilærmee verier v logritme til hver ie. lg > lg( ) 7 lg > > +, lg 0, 0 Ve å ruke tilærmee verier er t vi må h le for t umme kl være tørre e Vi fier og k ve å ette opp et likigytem i CAS. Ahehoug Sie 67 v 9

68 Løiger til oppgvee i ok eller Derme er og k. Dette gir Når vi hr og k, er formele for et -te leet ve ummjoteget. 0 0 i i i i 0. Derme lir umme uttrykt 7.06 L være e ritmetik rekke me iffere. Vi kl vie t for lle t > gjeler t + t+ t Vi ruker formele for et -te leet i e ritmetik rekke på t og t+. ( ( t ) ) + ( ( t ) ) t + t ( + ( t ) ) + ( + t ) ( + ( t ) ) + ( + t ) + t + + t + t + t + ( t ) t Ahehoug Sie 68 v 9

69 Løiger til oppgvee i ok L være e geometrik rekke me kvotiet k. Vi kl vie t for lle t > gjeler t t t+ Vi ruker formele for et -te leet i e geometrik rekke på t og t+. t t+ ( )( ) k k t t+ k k t k t + t k t k k ( t ) t ( k ) t ( k ) t t t 7.07 Vi hr 0 og k, 0 0. Vi fier 0 0 k, 0 66,6 k, 0 0 k, ,6 k, 00 00, 00 k , k, Det er ut til t rekk ivergerer fori umme ikke ærmer eg e etemt veri år går mot ueelig. Når k 0, 7, er k 0, , 7 k 0, k 0, , k 0, k 0, , k 0,7 Det er ut til t rekk kovergerer, og t umme ærmer eg 00 år. Ahehoug Sie 69 v 9

70 Når k 0, 7, er 0 0 ( 0,7) 0 k 0 6,96 7 k 0, 7 0 ( ) 0 0 k 0,7 0 8,7 k 0, 7 ( ) 00 0,7 00 k 0 8,7 8 k 0, 7 Det er ut til t rekk kovergerer mot e veri mire e 9. Vi hr å t k,. Vi fier k (, ) 0 8,7 k (, ) 0 0 k (, ) k (, ) Løiger til oppgvee i ok k (, ) k (, ) Det er ut til t rekk ivergerer fori umme ikke ærmer eg e etemt veri år lir tørre ,8 0 0,9687 0,8 8, ( 0, 7) 0, ( 0, 7), Når er velig tor og k, proetvi mikig.), vil 0,, ,, ,,97 00, 780,6 k ærme eg 0. (Tek på k om vektfktor ve 7.09 Vi fier 6 k og er t rekk kovergerer fori k, 0 k. Summe v rekk lir Ahehoug Sie 70 v 9

71 Vi fier 00 k 000 og er t rekk ivergerer fori k, rekk. Løiger til oppgvee i ok. Det ekiterer erme ikke e um for ee e Vi fier 0 k 0 og er t rekk ivergerer fori k,. Summe ltererer mellom 0 og 0. Vi fier 8 k 7 og er t rekk kovergerer fori k,. Summe v rekk lir ( ) + Vi fier 0 k 0 og er t rekk kovergerer fori k,. Summe v rekk lir Vi er t mege legemiel i piete vil forløpe på lik måte om i ekempel, lik t vi får e ueelig geometrik rekke me, og k 0, 70. Mege virkemiel om hu hr i kroppe, vil være umme v e ueelige geometrike rekk.,,, + 8, 0, 7 0, 0 Dette etyr t år piete tr ee oerige over lg ti, vil mege gifttoff i kroppe hee være 8, mg. Dee oerige er forvrlig fori mege gifttoff er uer 0 mg. 7. Vi teger et igrm om vier åverie til e frmtiige eløpee Ahehoug Sie 7 v 9

72 Løiger til oppgvee i ok Verie v foet kl være lik umme v e ueelig mge leee i e geometrike x rekk me og k. Vi får erme likige om vi løer,0,0 me hey på x x,0,0 x,0 x,0 0 0, ,0 6 x 0 0,0,0 7,8 Dette etyr t foet k utetle 7,8 kr hvert år i ll frmti, erom rete holer eg på, %. L x være vektfktore tilhøree e vktigproete. Vi mmeliker e frmtiige utetligee me foet veri i g ve å tege et igrm Når, lir umme v lle utetligee e ueelig geometrik rekke me 000 og k. Summe v ee rekk kl være lik foet veri i g, å vi får 0 x x likige Ahehoug Sie 7 v 9

73 Løiger til oppgvee i ok k x x x x x x Dette etyr t foet må mit h e vktig på,6 % for å utetle 000 kr hvert år i ll frmti. 7. x Vi er t k, og vi vet t k må t verier mellom og for å være koverget. Vi løer ulikhete x < < < x < ( ) > x > Rekk er koverget for x,. 7. Summe v rekk er x ( ) kx ( ) ( x) x Vi etter i for x ( ) og løer likigee x x x x Fori x ikke er me i kovergeområet, k ikke umme v rekk li. Ahehoug Sie 7 v 9

74 7. k x x Løiger til oppgvee i ok Vi er t kx ( ) er lieær, å vi fier kovergeområet ve å løe oeltulikhete < x < < x < 6 < x < + Rekk kovergerer for lle x,. For lle x i kovergeområet er umme v rekk ( x) k ( x ) 6 x Vi løer likige 6 x 6 x x 6 x ( ). x Vi er t, >,, å v rekk er. e Vi løer likige x ( ). 6 x 6 x x 6+ x er i kovergeområet, og verie gjør t umme x 6 Vi er t +,66 >, å 6 6 k ikke li. x er ikke i kovergeområet. Summe v rekk 6 Ahehoug Sie 7 v 9

75 7. Rekk er ikke koverget fori k <. Rekk er koverget, fori Vi fier k. 0 k og vi er t rekk kovergerer fori 9 ( ) Vi er t k, å rekk er ikke koverget. 7 < <. D lir umme v rekk 0 < <. D lir umme v rekk Løiger til oppgvee i ok 7.6 Vi hr t 0 k, å rekk kovergerer. Vi fier umme , Rekk er ikke koverget fori k, >. 8 Vi hr t k, å rekk er koverget. Derme er umme ( ) e Vi fier k e 0,679, å rekk er koverget. D er umme v rekk e e e e e e ( ) 7.7 Vi er t kx ( ) Vi hr x) ( x x, å kovergeområet er,. Vi fier umme v rekk x kx ( ) x og løer e oeltulikhet for å fie kovergeområet: Ahehoug Sie 7 v 9

76 Løiger til oppgvee i ok < x < < x < Kovergeområet er,. For lle x i kovergeområet er umme x ( ) x Vi er t kx ( ) e x, og vi fier kovergeområet ve å løe (e x x ( e ) e x < < 0 x )(e + ) < 0 kx ( ) <. Så kovergeområet er,0 Vi hr t, og umme x ( ) e. x kx ( ), og vi fier kovergeområet ve å løe ulikhete x x < x x x + < 0 x x x x x x < 0 x x x( x) < 0 ( x) < 0 kx ( ) <. Ahehoug Sie 76 v 9

77 Løiger til oppgvee i ok Derme er kovergeområet,0,, og umme er ( x) x ( x) ( ) x ( x) ( x) x x ( ) x ( ) x x 7.8 Vi fier t kt ( ) t og kovergeområet ve å løe oelulikhete < t < > t > Vi løer likige t (). ( ) t + t + t t t Vi er t 0, > 0,, å t-verie ligger i kovergeområet. Summe v rekk er år t. Vi ft i oppgve 7.7 t kovergeområet til rekk er,0 t ().. Vi løer likige Ahehoug Sie 77 v 9

78 Løiger til oppgvee i ok t e t e t e t l Vi vet t logritme til et tll mellom 0 og er egtiv, å t-verie er i kovergeområet. Summe v rekk er år t l. 7.9 Vi er t kx ( ) x < x <, og fier kovergeområet ve å løe oeltulikhete + < x < < x < ( x) (x ) x+ x x Vi løer likigee og er om løigee ligger i kovergeområet. x ( ) x ( ) x x ( x) x + x) x x Summe v rekk k li, me ikke fori, og,. Vi må fie verier for x om åe oppfyller x ( ) < 0 og om ligger i kovergeområet. < 0 x x < 0 Vet t x x > Det fi ige tll x om åe er tørre e og mire e. Derfor er et ige verier for x om gjør t umme v rekk er egtiv. 7.0 At kroppe ryter e 60 % v virketoffet, etyr t et er 0 % igje ge etter. Vi teger e igrm om vier hvor mye om er igje v hver tlett etter ger. Ahehoug Sie 78 v 9

79 Løiger til oppgvee i ok Summe v virketoffet for hver tlett år, er e ueelig geometrik rekke me og k 0,. Mege virketoff piete hr i kroppe, lir mg mg 0 mg 0 mg 0, 0,6 6 Det er erfor ikke forvrlig å t ee oerige over lg ti, fori mege virketoff overkrier mg. For ee piete vil virketoffet eryte i to ger, før e y tlett t. To ger etter t førte tlett er ttt, vil et være igje mg 0,, 8 mg v tlette. Vi får mme rekke om i oppgve, re me k 0, i teet. Dette gir rekkeumme mg 8,7 mg 0, Dee oerige er forvrlig fori piete vil h. 9 mg virketoff i kroppe år tlette t ehver g over lg ti. 7. Vi vet t omkrete til e hel irkel er π r, og til e hlv irkel π r. Derme får vi e ueelige geometrike rekk π r+ π r+ π r+ π r+ Summe v e ueelig geometrik rekke me πr π r π r π r og k er ltå, gger å lg om omkrete v e irkel me riu r. 7. Vi lr x være e årlige termieløpee og teger et igrm om vier hvor tort hvert frmtiige eløp er mmeliket me ge veri (eløpee åveri). Ahehoug Sie 79 v 9

80 Løiger til oppgvee i ok x Vi er t umme v lle eløpee gir e eelig geometrik rekke me og k.,0,0 Summe v ee rekk me 0 le kl være lik låeeløpet på, millioer, å vi får likige 6, 0 0, k k Termieløpet er på 9 kr. 7. De førte utetlige er på og e ete på 0 000, 0 ov. Vi teger et igrm om vier åverie v hver frmtiig utetlig år ret er på 7 %. Ahehoug Sie 80 v 9

81 Løiger til oppgvee i ok 0 Vi er t eløpee til vetre er e ueelig geometrik rekke me og, 07 Vi reger ut umme v rekk 0,07,0,07 00 For t ee utetligple kl gå, må foet h e veri på kr., 0 k., 07 Når vktige er på %, vil vi få mme geometrike rekke om i oppgve, me me, 0 k. Fori tellere er tørre e evere, er røke tørre e. Dette etyr t rekk, 0 ikke kovergerer, og t utetligee vil øke for ll frmti. Derfor vil foet gå tomt for peger uvhegig v tørrele. 7. o x Vi er t k o x, å vi løer k <, v. o o x < x < 0 ( o x )(o x + ) < 0 Så rekk kovergerer for lle x-verier fr 0 til π uteom π : { } x 0,π π Ahehoug Sie 8 v 9

82 Løiger til oppgvee i ok Vi etter i i formele for umme v e ueelig geometrik rekke. x ( ) ox Vi løer e trigoometrike likigee o x o x o x 0 π π x x Begge løigee for x ligger i kovergeområet, å umme v rekk k li for ie to veriee. o x o x o x x π Eete mulige løig i et gitte itervllet er x π, me ee løige er ikke me i kovergeområet. Derfor k ikke umme v rekk li På et tiee prettet vil lle prette, 7 0,7 0, 08 meter, eller,8 m. Skie eefor vier itee lle eveger eg. Ahehoug Sie 8 v 9

83 Løiger til oppgvee i ok Blle fller ført,7 meter og eveger eg eretter 70 % v,7 meter to gger. Dette møtret fortetter «i et ueelige», og vi får e koverget geometrik rekke me k 0,7. Vi reger ut umme v vtee og får 0,7,7,7+ ( 0,7,7+ 0,7,7+ 0,7,7+ ),7+ 9,6 0,7 Blle eveger eg totlt 9,6 meter før e ligger i ro Vi er t rekk er geometrik me og k, å vi får t i k 99 i i Hvi vi kriver om hvert le i rekk til eimltll, er vi , 7 + 0, , , Reulttet fr oppgve gir o erme 7 0, , , , Dee metoe gir o et grulg for å evie t lle perioike eimltll er rjole tll. Ahehoug Sie 8 v 9

84 Løiger til oppgvee i ok 7.7 x Vi er t kx ( ) og løer ulikhete x ( x) x < x x < 0 x x x x x + < 0 x x x x x + x x+ x < 0 x x x < 0 x x x < 0 kx ( ) <. Kovergeområet til rekk er,. 7.8 Kvotiete er Vi løer ulikhete kx ( ). ( x ) x x kx ( ) <. < ( x ) Dee ulikhete er åp pe t vi k fie løige ve ipekjo. Når x 0 og x, er vetreie lik. Die veriee er e eete om gir på vetreie, og e må erfor være greee i løigitervllet. Ahehoug Sie 8 v 9

85 Løiger til oppgvee i ok Vi etter i e veri tørre e, x om gir E veri mellom og, E veri mellom 0 og, x, gir x, gir E veri mire e 0, x, gir VS < ( ) 6 VS 6 < ( ) ( ) VS 6 < ( ) ( ) VS < ( ) 6 å kovergeområet til rekk er,0,. Her er utregige gjort på vlig måte. < ( x ) < 0 ( x ) ( x ) < 0 ( x ) ( x ) x x + x x+ ( x ) ( 6 ) ( x ) x x x x < 0 < 0 xx ( x + 6x ) < 0 Ser t er rot i trejegrpolyomet. Polyomivijo gir ( x ) xx ( )( x x + ) < 0 ( x ) Ahehoug Sie 8 v 9

86 Løiger til oppgvee i ok å rekk kovergerer for lle x-verier lik t x,0,. Vi etter i i formele for kovergete geometrike rekker. x ( x ) ( x ) ( x ) x ( ) ( x ) x x+ xx ( ) ( x ) Vi løer likige ( x ) x xx ( ) ( x ) x ( x ) x x + x x x x + x 0 ± ( ) ( ) ± x ( ) Vi hr to mulige løiger for x, me vi må jekke om e ligger i kovergeområet. Vi fier e tilærmet veri for : < < 9 å er omtret 9 + +,,6, 0, tørre e, ltå,. D er Av e to mulige løigee for x er et re er erfor eete løig. + x om ligger i kovergeområet, og Ahehoug Sie 86 v 9

87 Løiger til oppgvee i ok e Vi må løe ulikhete x ( ) > 0 for x i kovergeområet. ( x ) > 0 xx ( ) Vi teger fortegkjem De veriee for x om åe oppfyller ulikhete og ligger i kovergeområet, er x,. 7.9 Arelet v kvrtet er li., å umme v lle firktee ie i kvrtet må til mme Arelet v e frgee områee er e ueelig geometrik rekke me og å umme lir Vi er t rekkee vi reget på i oppgve og er peiltilfeller v rekk vi kl evie i k, ee oppgve. Vi kierer et tilfelle er k 8 og umme v e frgee områee er 7 : Rekk er geometrik me og kvotiet k k. Etterom k >, lir ogå kvotiete mire e, lik t e ueelige geometrike rekk lir koverget. Ahehoug Sie 87 v 9

88 Løiger til oppgvee i ok k k k k k k k k k k k ( ) 7.0 «Feile» i ette eviet er å t t umme v rekk ekiterer. Etterom k ( ), vet vi t rekk ikke kovergerer, og erfor ikke hr e um. (Dette er ikke el v kompetemålee i R, me mge mtemtikere hr forket på hv om kjer hvi m teker t ee rekk likevel hr e e lg um klt Ceàru um på. Du k lee mer om ee rekk ve å øke «Gri erie» på Wikipei. E v e merkelige reulttee om følger v ette, er umme ) Ahehoug Sie 88 v 9

89 Løiger til oppgvee i ok Kpitteltet Del Ute hjelpemiler Oppgve Fortetter vi møtret, får vi Vi teller tll kuler og får Vi er t hvert eiffeltll er e trekt me e lije. Til mme er tll kuler umme v trekttll ummer og tll. E + t + Vi ruker formele fr oppgve. E 00 ( + ) ( + ) Oppgve Vi jekker t kvotiete mellom hvert le er lik Rekk er geometrik fori kvotiete mellom hvert le er lik, og e kovergerer fori < k <. Ahehoug Sie 89 v 9

90 Vi etter i og 0 Løiger til oppgvee i ok k i i umformele for kovergete rekker, og får Oppgve Vi ruker formele for et -te leet i e ritmetik rekke til å få to likiger me to ukjete. I II I II 9 + ( ) 7 + ( ) Det førte leet i rekk er, og iffere er 6. Vi etter i i formele for et -te leet i e ritmetik rekke. + ( ) + ( ) Vi løer likige 97 : er i le ummer 00. Vi etter i for i umformele for ritmetike rekker e Vi prøver å løe likige Summe v e førte leee k ikke li 06 fori 0 ikke er et kvrttll. Ahehoug Sie 90 v 9

91 Oppgve x kx ( ) x Vi løer oeltulikhete < k <. < x < < x < ( ) > x > < x < Rekk er koverget for x,. For x-verier i kovergeområet er umme x ( ) kx ( ) ( x) x x ( x ) e x 6 x 7 x 7 Summe v rekk lir år x x x 6 Løiger til oppgvee i ok 7 x fori ee verie ligger i kovergeområet. Summe v rekk k ikke li fori 6 ikke ligger i kovergeområet. Oppgve Vi jekker om formele temmer for. At t VS 6 ( + 7) HS 6 t(t+ 7) (t + ) temmer for et turlig tll t. Vi kl vie t formele må temme for t+, ltå Ahehoug Sie 9 v 9

92 Løiger til oppgvee i ok ( t+ )(( t+ ) + 7) (t+ ) + (( t+ ) + ) ( t+ )(t+ ) (t+ ) + ( t+ 6) Vi etrkter umme på høyre ie. t(t+ 7) (t+ ) + (t+ 6) + (t+ 6) ((( ( ((((( tkele t(t+ 7) + (t+ 6) t + 7t+ 0t+ t + t+ t+ tt ( + ) + ( t+ ) ( t+ )(t+ ) Vi hr erme vit ve iukjo t formele temmer for lle turlige tll. Del Me hjelpemiler Oppgve 6 Vi teger et igrm om vier verie v hvert iku me reter. Vi er t umme v lle ikuee me reter gir e geometrik rekke me 7 le, 000 og k, 08. Summe v rekk er 7 7, ,66,08 Rihr hr 9 9,66 kr på kotoe like etter et 7. ikuet. Ahehoug Sie 9 v 9

93 Løiger til oppgvee i ok Vi løer likige , ,08 Beløpet på kotoe perer kr i et h etter i et. ikuet, v. etter år. Oppgve 7 Når vi tr e ft proetvi erig hvert år, vil vi få e geometrik rekke me og vektfktore (kvotiete) k gitt ve k k 0, 9 00 Vi teller fr og me 98 til og me 990, å tll le i rekk er Summe v rekk lir erme 0 0, , 0,9 Det mlee SO -utlippet i ee perioe vr 8 87, to. Oppgve 8 Vi jekker t påte temmer for. VS (+ ) HS At t Pk ( ) temmer for et turlig tll k. Vi kl vie t Pk+ ( ) temmer, v. t ( k+ )( k+ ) k + ( k + ) Ahehoug Sie 9 v 9