Fart. Eksempel: Gjennomsnittsfart

Transkript

1 Far ALV EGELAND, NAROM Når vi ilbakelegger 100 km i løpe av 2 imer uavhengig av om vi opper unervei har vi en gjennomnifar på 50 km/h. Vi ville ha bruk like lang i erom vi hae kjør me konan far på 50 km/h. Fagoff Lien [1] Gjennomnifaren (For gjennomni og mielverier bruke en re rek om ymbole.) kan vi urykke me følgene formel: gjennomnifar=forflyningienhev =ΔΔ Man bruker en greke bokaven Δ (ela) for å urykke må, kore inervaller eller forkjeller. I ekemple har vi bruk måleenheen km/h for faren. SI-enheen for far = m/. 1km/h=1000m/3600=0,2778m/ Ekempel: Gjennomnifar Hvilken banefar har en geoajonær aelli? Svar: Saellibevegeler er ikke relinje. Men vi vil her bare vie faren. Vi behanler båe forflyningen og erme ogå faren om kalarer. En geoajonær aelli kreer i ca km høye over e fa punk på ekvaoren. Vi regner me en omløpi T = 24 h og jora raiu R j = 6370 km. v &=ΔΔ=2π (Rj+h)T&=2π (6,37 106m+3,6 107m) =3,1 103m/ Gjennomnifaren il en geoajonær aelli er 3,1 km/. (Sørrelen me min anall gjelene ifre i beregningen beemmer anall ifre vi angir luvare me. Høyen il aellien er gi me o gjelene ifre. Derfor angir vi luvare me o gjelene ifre.)

2 Momenanfar Når vi har en gjennomnifar på 50 km/h kan vi go ha kjør 100 km/h enkele eer. Ve farkonroller måler poliie om vi holer o il fargrenen på e beem e. Poliie vil vie faren i e øyeblikke bilen paerer målepunke. For å få faren å nøyakig ommulig, må vi gjøre veirekningen Δ korere og korere. Dee gjøre normal ve å la ien, Δ, gå mo null. Faren i e øyeblikke bilen paerer målepunke kalle momenanfar. I agligale bruker vi bare ore far, men e er vikig å vie om vi er inereer i gjennomnifar eller faren i e beem øyeblikk. Speeomeere på en ykkel eller i en bil måler momenanfaren. Vi kan beregne momenanfaren v, når iinervalle Δ er mege kor. Maemaik urykker vi e ve å la greneverien (lim) Δ gå mo 0: v=δδn??rδ 0ellerv()=limΔ 0ΔΔ

3 Forypning: Momenanfar For å vie a inervallene går mo null bruker man <mah><mrow><mi mahvarian="normal"></mi></mrow></mah> om ymbol i ee for Δ <mah><mrow><mi>δ</mi></mrow></mah>. Derme blir v ( ) = <mah><mrow><mi>v</mi><mrow><mo form="prefix">(</mo> <mi></mi><mo form="pofix">)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac linehickne="1"><mrow> <mi mahvarian="normal"></mi><mi></mi></mrow><mrow><mi mahvarian="normal"></mi><mi></mi> </mrow></mfrac></mrow></mah>. De er lik erivajon er efiner, nemlig <mah></mah> v ( ) = = ( ) <mah><mrow></mrow></mah> Likningen lee: Momenanfaren v <mah> <mrow><mi>v</mi></mrow></mah> er en erivere av veien <mah> <mrow><mi></mi></mrow></mah> me henyn på ien <mah><mrow><mi></mi> </mrow></mah>. I laboraorie beemmer vi momenanfaren v. gjennomnifaren for en lien rekning. Mege kore avaner kan vi f.ek. måle me e kyvelær eller en mikromeerkrue. Me hjelp av f.ek. fooceller om arer og opper en elekronik klokke kan vi måle velig kore iinervaller. Om momenanfaren ikke varierer lang veien, flyer legeme eg me konan far. Vi beregner veilengen il e legeme me konan far: = v Ekempel: Skøyeløper

4 Hvor or gjennomnifar har en køyeløper om går 1500 m på 1 min og 55? Oppgi vare i båe m/ og km/h. v==1500m115=13m/ 13m/= km/h=46,8km/h Grafik framilling av far og forflyning E iagram om vier forflyning om funkjon av i kalle e --iagram eller veigraf. I e lik iagram framkommer faren om igningen il grafen. Dee gjeler båe for konan far, gjennomnifar og momenanfar. I figur a) er vi a gjennomnifaren er gi ve igningen il en ree linjen mellom arpunk A og lupunk D: v()==100km2h=50km/h På amme måe regner vi u faren på e forkjellige eappene. Mellom A og B er faren konan 60 km/h, mellom B og C er faren 0, men faren mellom C og D er faren konan 80 km/h. En bevegele me konan far på 50 km/h gir en amme ree linjen mellom A og D om gjennomnifaren. a) --iagramme vier forflyningen om funkjon av ien. Signingen il grafen mellom o punker gir gjennomnifaren for rekninginervalle. NAROM Ogå figur b) vier e --iagram, v. en framilling av forflyning om funkjon av ien. Men i ee ekemple enrer faren eg koninuerlig. Signingen il linjen mellom punk 1 og 2 er lik gjennomnifaren i iromme Δ. Om vi nå lar Δ 0, vil punke 2 aig komme nærmere punk 1. Linjen mellom 1 og 2 blir a en angen i punke 1. Derfor er faren ve e vilkårlig ipunk 1 gi ve angenen i punke ( 1, 1 ) på kurven i figur b). Definijon av momenanfar: Når iinervalle går mo null er momenanfaren gi ve igningen il angenen i målepunke. b) --iagramme vier grafik efinijon av momenanfar. Når iinervalle går mo null er momenanfaren gi ve igningen il angenen i målepunke. Når Δ 0 er

5 v = = (). NAROM v--iagram Opphavmann: Narom E iagram om vier faren om funkjon av ien kalle e v--iagram eller en fargraf. Figur c) illurerer a forflyningen er gi om areale mellom grafen og føreaken. Fra figuren er vi a areale mellom grafen og føreaken kan beregne om v Δ. Dee er lik en ilbakelage rekningen Δ. Vi beregner rekningen av gjennomnifaren gange me ien: Δ=v Δ Δ=50km/h 2h=100km Eller vi kan beregne ummen av arealene i avniene me ulik far. ) v- -iagram for bevegele me variere ne far. Areale mellom grafen og føreaken ilvarer en ilbakelage rekningen : = limδ 0i=1v i Δ n Δ=vAB ΔAB+vBC ΔBC +vcd ΔCD Vi kan beregne areale om um av rekangelarealer når Δ 0 60km/h 1h+0 12h+80km/h 12h=100km. Ogå for koninuerlig, varierene far kan vi beregne en ilbakelage rekningen om areale mellom v--grafen og føre aken om illurer i figur ). Dee gjeler båe for konan far og for varierene far. Som ilnærming kan vi beregne areale uner grafen om um av rekangelarealer. I hver iinervall aner vi faren om konan. For ore iinervaller er ee kun en grov ilnærming. Jo minre iinervaller vi velger, eo bere blir ilnærmingen. Den ilbakelage veien i hver iinervall er gi ve areale og kan urykke om Dee kan vi ogå kriv e om e inegral. NAROM Δ1=v1 Δ1,Δ2=v2 Δ2,...,Δn=Δvn n

6 Den oale ilbakelage veien er ummen av enkelinervallene Δ. =Δ1+Δ2+ +Δn Før når vi lar iinervallene går mo null får vi e nøyakig reula: =limδ 0 i=1nvi Δ Denne ummen kan vi ogå krive om e inegral: = 12v