Det digitale verktøyet. Matematikk 1T. Kristen Nastad

Transkript

1 Det digitale verktøyet og Matematikk 1T Kristen Nastad

2 Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon av operativsystemet til programmene TI-nspire TM CAS Student Software og TI-nspire TM CAS Teacher Software for Windows, kalkulatoren TI-nspire TM CAS Touchpad og Aschehougs lærebok Matematikk 1T på de Studieforberedende utdanningsprogrammene. Programmet inneholder applikasjonene (noen funksjoner i parentes) Kalkulator (algebra, funksjonsanalyse, sannsynlighet, statistikk og vektor) Grafer & geometri (graf- og tegneverktøy, geometri og analyseverktøy) Lister & regneark (regresjon, fordeling, test, konfidensintervall og tabell) Notes (tekstredigering) Data & statistikk (plott, diagram, regresjon) Datainnsamling-konsoll (hente og bearbeide data fra en eller flere sensorer) I heftet finner du forklaringer på bruk av programmet TI-nspire CAS i eksempler der inntastingen for TEXAS er tatt med i læreboka. I TI-nspire CAS Hjelp finner du nærmere beskrivelse av applikasjonsverktøyene. Klikk på Hjelp på menylinja eller trykk på F1-tasten. I tillegg finner du forklaringer på hvordan du kan bruke programmet i noen andre eksempler. Side 3 finner du innholdsfortegnelsen med sidehenvisningene til læreboka lengst til venstre. Noen avsnitt er merket med *. Der finner du eksempler på kalkulatorbruk. Du finner en beskrivelse av startskjermbildet side 5, arbeidsområdet side 6, verktøylinjene sidene 7 9, paneler sidene 9 10, virtuelle tastatur sidene og hurtigtaster side 12. Sett deg godt inn i informasjonen som fulgte med programmet. På nettstedet Atomic Learning finner du animerte opplæringssekvenser. Se også Digitale verktøy i Lenkesamling på Lokus. Den norske sida til Texas Instruments: gir informasjon om kalkulatoren og programvarene. Lykke til med bruken av heftet! Kristen Nastad Side 2 av 61

3 Innhold Startskjermbildet... 5 Arbeidsområdet... 6 Verktøylinjene... 7 Hovedverktøylinja... 7 Verktøylinjene for Kalkulator, Grafer og Geometri... 8 Verktøylinja for Lister & regneark... 8 Verktøylinjene for Notes og Data & statistikk... 8 Verktøylinja for Datainnsamling-konsoll... 9 Paneler... 9 Tastaturet Clickpad Touchpad Hjem-menyen for TI-Nspire CAS Touchpad Hurtigtaster : Tall og algebra Regning med hele tall Brøk Store og små tall * Bokstavuttrykk Likninger * Formler Potenser n-terøtter Andregradslikninger : Trigonometri Tangens Sinus og cosinus Sinus og cosinus for vinkler i intervallet [0, 180 ] Arealformelen og sinussetningen Cosinussetningen Side 3 av 61

4 3: Funksjoner Førstegradsfunksjoner Praktisk bruk av førstegradsfunksjoner Polynomfunksjoner * Rasjonale funksjoner Prosentvis vekst Eksponentialfunksjoner og potensfunksjoner : Sannsynlighet Sannsynlighet og relativ frekvens Binomiske sannsynligheter : Mer om algebra Faktorisering og forkorting Kvadratsetningene Likninger med brøkuttrykk Likningssett Ulikheter Eksponentiallikninger Logaritmelikninger : Derivasjon Gjennomsnittlig vekstfart Momentan vekstfart Derivasjonsregler Fortegnslinje for den deriverte * Drøfting av funksjoner Side 4 av 61

5 Startskjermbildet Forhåndsvisning: Hvis du fører musemarkøren over en av applikasjonene eller lenkene til venstre i bildet vises den til høyre i bildet. En kort beskrivelse ser du nederst i forhåndsvisningen. Navnet på programvaren Lukker startskjermbildet: Klikk her eller på en av applikasjonene eller lenkene til venstre i bildet for å lukke dette skjermbildet. Deretter kan du begynne å arbeide med programvaren. Viser de aller nyeste dokumentene Hurtigstartlenker: Klikk på ett av disse alternativene for å åpne et nytt dokument med den applikasjonen du velger åpne et eksisterende dokument opprette et nytt dokument Lærerverktøy: Disse verktøyene er kun tilgjengelige i TI-Nspire CAS lærerprogramvare. Læreren kan gå direkte til Vis innhold: Finner innhold på datamaskinen, på nettet eller på tilkoplede grafregnere. Administrere grafregnere: Bruker innholds- og arbeidsområdet for å vise alle grafregnerne som er koplet til datamaskinen og statusen for hver av dem. Overføre dokumenter: Bruker innholds- og arbeidsområdet for å sende dokumenter, mapper eller nye grafregner-os-filer til de tilkoplede grafregnerne. Side 5 av 61

6 Arbeidsområdet Dokumentnavn Menylinja Verktøylinja Applikasjonsverktøylinja Applikasjoner Høyre panelområde Venstre panelområde Hovedarbeidsområdet Panelfaner Statuslinje Side 6 av 61

7 Verktøylinjene I startskjermbildet finner du alle verktøyene du trenger for å opprette dokumenter og arbeide med oppgaver. Nedenfor ser du startskjermbildet med navn på hoveddelene. Hovedverktøylinja Nytt dokument Åpne dokument Lagre som Til klasse (ikke elevversjon) Skriv ut Bare i lærerversjonen: Finne innhold som kan brukes i klassen Skrive og vise innhold i arbeidsområdet Angre Gjør om Klipp ut Kopier Lim inn Slett Gå til forrige side Gå til neste side Sideoppsett Sett inn Variabler Ta skjermdump Fyllfarge Linjefarge Tekstfarge Side 7 av 61

8 Verktøylinjene for Kalkulator, Grafer og Geometri Verktøylinja for Lister & regneark Verktøylinjene for Notes og Data & statistikk Side 8 av 61

9 Verktøylinja for Datainnsamling-konsoll Paneler Du kan egendefinere et panel for å få enkel og rask tilgang til applikasjonens verktøy og funksjoner. Du kan flytte, minimere, maksimere, feste, flytte symboler over fra Hjelpefunksjoner til aktuell applikasjon i arbeidsområdet og skalere et panel. Her er noen av de tilgjengelige panelene: TI-SmartView /Tastatur Sidesortering Innhold Hjelpefunksjoner Hjelp Sidesortering TI-SmartView / Tastatur TI-SmartView / Tastatur Side 9 av 61

10 Innhold Hjelpefunksjoner Hjelp I TI-nspire CAS Hjelp finner du nærmere beskrivelse av applikasjonsverktøylinjene. Klikk på Hjelp på menylinja, Hjelp på panelmenyen øverst til høyre eller trykk på F1-tasten. Tastaturet Du kan vise og bruke et virtuelt tastatur. Det virker på samme måte som tastaturet på den håndholdte kalkulatoren. Flere av tastetrykkene er også tilgjengelige på PC-tastaturet. Clickpad / gir tilgang til funksjoner eller tegn som vises øverst på hver tast.. sletter kommandolinja eller valgt objekt. k viser kommandokatalogen. g skriver det neste tegnet som stor bokstav. behandler et uttrykk, utfører en instruksjon eller velger et menyemne. Side 10 av 61

11 Touchpad Pekeplate Bruk midtfeltet på samme måte som du bruker pekeplaten på PC n. Ytterkantene virker som høyre-, venstre-, opp- og nedtasten. c slår på grafregneren. Når grafregneren er på, viser denne tasten startmenyen. d fjerner menyer eller dialogbokser fra skjermen. Stopper også en beregning som er i gang.» åpner kladdeark for å utføre raske beregninger e flytter til neste innleggingsfelt. / gir tilgang til funksjoner eller tegn som vises over hver tast. Aktiverer også hurtigtaster i kombinasjon med andre taster. g skriver det neste tegnet som stor bokstav. ~ åpner verktøymenyen b viser applikasjons- eller kontekstmenyen.. sletter forrige tegn. h viser lagrede variabler. behandler et uttrykk, utfører en instruksjon eller velger et menyelement. Bruk disse flerfunksjonstastene enten alene eller i kombinasjon med andre, for eksempel /. Hjem-menyen for TI-Nspire CAS Touchpad Hjem-menyen for den håndholdte kalkulatoren kommer fram når du for første gang slår på kalkulatoren. Du kommer alltid tilbake til Hjem-menyen ved å taste c. Bruk pekeplata og klikk på ikonet når du velger en applikasjon eller klikk på menyen når du velger meny fra Scratchpad eller Dokumenter. Det kommer fram en kort tekst når du beveger å over et av ikonene. Som et alternativ kan du trykke på e-tasten,,, eller. Trykk på x eller når du velger en uthevet meny eller et uthevet ikon. Du kan også velge ved å taste tilhørende bokstav eller tall. Side 11 av 61

12 Hurtigtaster I tabellen nedenfor finner du en liste over noen hurtigtastkombinasjoner på PC-tastaturet og en del av tastaturet på kalkulatoralternativet Click eller Touch. Vær oppmerksom på at ikke alle alternativene alltid er tilgjengelige. Redigere tekst PC Navigasjon PC Klipp ut Ctrl+X Hjem Ctrl+Home Kopier Ctrl+C Slutt Ctrl+End Sett inn tegn, Tastatur Lim inn Ctrl+V symboler Click eller Touch Angre Ctrl+Z Ikke lik /= eller /= Gjør om Ctrl+Y Senket strek /_ eller /_ Dokumentstyring PC /> eller /= Opprette nytt dokument Ctrl+N /< eller /= Sette inn ny side Ctrl+I Semikolon /: eller º Velg applikasjon Ctrl+K /j eller ¹ Lagre aktuelt dokument Ctrl+S $ /" eller º Hjelp PC Symbol for grader /' eller º TI-Nspire CAS Hjelp F1 Side 12 av 61

13 9 15 Regning med hele tall 1: Tall og algebra og kalkulatorverktøylinja. Eksempel 1 Addisjon og subtraksjon med negative tall Vi skiller mellom regneminus Ans og fortegnsminus ( ) Negere. Første eksempel i ramma med PC-tastaturet: 5+(-3 Siste eksempel i ramma med PC-tastaturet: - 5-(-3 Eksempel 2 Multiplikasjon med negative tall Vi skiller mellom regneminus Ans og fortegnsminus ( ) Negere. Første eksempel i ramma med PC-tastaturet: 6(-3 Siste eksempel i ramma med PC-tastaturet: - 1(-2(-3(-4 Eksempel 3 Potenser og fortegn Vi skiller mellom regneminus Ans og fortegnsminus ( ) Negere. Første eksempel i ramma med PC-tastaturet: (-2 ^2 Siste eksempel i ramma med PC-tastaturet: (-2 ^5 Eksempel 4 Regnerekkefølge Vi skiller mellom regneminus Ans og fortegnsminus ( ) Negere. PC-tastaturet: 8-2*3^2 +(5-7 ^4 /8. Eksempel 5 Regnerekkefølge og digitale verktøy Vi skiller mellom regneminus Ans og fortegnsminus ( ) Negere. Første eksempel i ramma med PC-tastaturet: (-3 ^6 Første eksempel i ramma med PC-tastaturet: 23(17+28 Det tredje eksemplet er Eksempel 4 Regnerekkefølge. Side 13 av 61

14 15 19 Brøk og kalkulatorverktøylinja. Eksempel 1 Utviding og forkorting Kalkulatoreapplikasjonen forkorter automatisk. PC-tastaturet: 12/18. Eksempel 2 Fra desimaltall til brøk 1,3 til brøk. PC-tastaturet: 1.3. Klikk og 2:Tilnærme til brøk 1,06 til brøk. PC-tastaturet: Klikk og 2:Tilnærme til brøk Eksempel 6 Brøkregning med digitale verktøy Alternativ 1: Klikk på venstre panel, bruk Touchpad-tastaturet, klikk t og velg. Tast/klikk t 3 7*2. Alternativ 2: Aktiver under i venstre panel. Deretter drar du brøkikonet to ganger over til kalkulatorapplikasjonen og setter inn tallene med regnetegn. Alternativ 3: Tast (5+9 /6+3/(7*2. Du kan slette loggen (beregninger som allerede fyller kalkulatorvinduet): Klikk og 5:Slett logg Store og små tall og kalkulatorverktøylinja. I vinduet kan du skifte tallformatet: Dobbeltklikk Innstillinger på statuslinja. I Eksponentsielt format i dialogboksen Dokumentinnstillinger velger du enten Normal (Desimalform) eller Vitenskapelig (Standardform). Eksempel Skrive tall på standardform 1) PC-tastaturet: 7.2*10^11 2) PC-tastaturet, venstre panel og kalkulatortast: 7.2 s11 3) PC-tastaturet, venstre panel og kalkulatortast: 7.2 i11 Side 14 av 61

15 Eksempel 2 Omforming til standardform I Eksponentsielt format: velger du Vitenskapelig (Standardform). Bruk desimalpunktum i tallene du vil skrive om til standardform. E er på kalkulatortastaturet : Klikk på i. Eksempel 3 Regning med tall på standardform I Eksponentsielt format: velger du Vitenskapelig (Standardform). Bruk desimalpunktum i minst et av tallene du vil skrive om til standardform. Det siste produktet taster/klikker du slik: 3.5 i 10*2 i 5. Kalkulatoren TI-Nspire CAS Touchpad I vinduet kan du skifte tallformatet: Tast c521ee. Nå har du valgt tallformatet Vitenskapelig (Standardform). Tast c og velg applikasjonen Kalkulator ved for eksempel å klikke på ikonet. Tast ^ bakerst i minst et av tallene når beregninger skal utføres på bare hele tall. Det siste produktet taster/klikker du slik: 3^5i10r2i5. Side 15 av 61

16 25 27 Bokstavuttrykk og kalkulatorverktøylinja. Eksempel 1 Innsetting av tall i bokstavuttrykk Skriv inn det første uttrykket ved hjelp av PC-tastaturet. Avslutt med. Husk mellomrom på hver side av and. Symbolet betyr forutsatt eller gitt. Tasten finner du ofte sammen med -tegnet på PC-tastaturet. Deretter kan du kopiere det du skrev/tastet inn ved å taste. Bytt ut 3 med 2, 7 med 6 og tast. Eksempel 2 Sammentrekking av ledd av samme type Skriv inn uttrykkene og tast etter hvert av dem. Eksempel 3 Regning med parenteser Skriv inn de to første uttrykkene og tast etter hvert av dem. Framfor hvert av de to siste uttrykkene bruker du expand-funksjonen. Bruk verktøyknappen i kalkulatormenyen. Velg 3:Utvid. Skriv inn uttrykket og avslutt med Likninger og kalkulatorverktøylinja. Eksempel 1 x-ledd og tall på hver sin side! I kalkulatorvinduet skriver du inn likningen og avslutter med. Du flytter 5 over på høyre side og 2x over på venstre side ved +5-2x. Til slutt forkorter du med 4 på begge sider ved /4. Svaret får du direkte ved: Bruk verktøyknappen. Velg 1:Løs. Skriv inn likningen og avslutt med,x. Side 16 av 61

17 Eksempel 4 Å løse likninger med digitalt verktøy Bruk verktøyknappen. Velg 1:Løs. Skriv inn likningen og avslutt med,x. Dersom du vil ha svaret på desimalform, kan du holde nede Ctrl-tasten samtidig som du taster rett etter at du fikk svaret som en brøk. Du kan bruke andre symboler for den ukjente enn x, for eksempel k. Du får svaret direkte som et desimaltall dersom du legger inn et desimalpunktum rett etter et av tallene i likningen. Kalkulatoren TI-Nspire CAS Touchpad Tast c og velg applikasjonen Kalkulator ved for eksempel å klikke på ikonet. Det andre eksemplet: Tast b31xp2+5=3x- 1p3,X/. Brøken i første eksempel får du ved å utelate /. Eksempel 5 Kryssmultiplikasjon I kalkulatorvinduet skriver du inn likningen og avslutter med. Multipliser med 5x ved å taste *5x. Avslutt med /3. Legg merke til at kryssmultiplikasjonen gir samme resultat som når du multipliserer med fellesnevneren 5x Formler og kalkulatorverktøylinja. Eksempel 1 Innsetting Skriv inn formelen for kroppsmasseindeksen BMI og betingelsene for m og h ved hjelp av PC-tastaturet. Husk mellomrom på hver side av and. Avslutt med. Side 17 av 61

18 Eksempel 3 Omforming av en formel Du får m uttrykt ved h og i ved å løse likningen gitt ved formelen for kroppsmasseindeksen BMI med hensyn på m Potenser og kalkulatorverktøylinja. Eksempel 1 Multiplikasjon og divisjon med potenser I tredje eksempel taster du ved hjelp av PC-tataturet: x^6*x^2*x/(x^3*x^4 I fjerde eksempel taster du: x*y^5*x^4*y^3*x^8 Legg merke til varslet som kommer fram nederst i kalkulatorvinduet. Hele teksten kommer fram ved først å flytte markøren opp til svaret x 2. Høyreklikk på svaret, og deretter klikker du på 1:Vis varsel-info. Eksempel 4 Grunntallet er en potens I siste eksempel taster du: (x^6 /5 ^2 Eksempel 5 Negative eksponenter I første eksempel taster du: x^5 *x^-4 I siste eksempel taster du: (2 *x^-3 ^-2 Eksempel 6 Sammensatte eksempler I det andre eksemplet taster du: (x^5 /(4*y^3 ^-2*2^-3 Side 18 av 61

19 46 49 n-terøtter og kalkulatorverktøylinja. Eksempel 6-teroten av et tall Alternativ 1: Tast t, velg og tast Alternativ 2: Aktiver under i venstre panel, klikk og dra n-terot-ikonet over til kalkulatorapplikasjonen og sett inn tallene. Et desimaltall får du ved å taste Ctrl. Eksempel 1 Potenser med brøkeksponenter og n-terøtter Første eksempel: Tast 8^(2/3. Tredje eksempel: Bruk et av alternativene i Eksempel 6- teroten av et tall ovenfor og tast 4 2^12. Fjerde eksempel: Bruk et av alternativene i Eksempel 6- teroten av et tall ovenfor og tast 8 2*x ^40. Eksempel 3 Potenslikninger Første eksempel: Klikk. Velg 1:Løs. Skriv inn likningen x^3=4096 og,x til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Andre eksempel: Klikk. Velg 1:Løs. Skriv inn likningen x^6=4096 og,x til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Tredje eksempel: Klikk. Velg 1:Løs. Skriv inn likningen 2.3*x^4.5=678 og,x til slutt i parentesen. - tasten gir svaret. Side 19 av 61

20 49 55 Andregradslikninger og kalkulatorverktøylinja. Eksempel 2 To løsninger Klikk. Velg 1:Løs. Skriv inn likningen x^2+8x+15=0 og,x til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Se også øverst side 54 i læreboka. Prøve: Tast x^2+8x+15 x=5. -tasten gir svaret.. Svaret 0 får du også når du setter inn betingelsen x = 3. Eksempel 4 Ingen løsning Klikk. Velg 1:Løs. Skriv inn likningen x^2-2x+6=0 og,x til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Meldingen false betyr at likningen ikke har løsning. Eksempel 5 Eksakte og tilnærmede løsninger Klikk. Velg 1:Løs. Skriv inn likningen x^2-5x-2=0 og,x til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Du får to eksakte løsninger. De to tilnærmede løsningene får du ved å taste Ctrl. Eksempel 8 Stopplengde Klikk. Velg 1:Løs. Skriv inn likningen 100=0.016v^ *v=0 og,v til slutt i parentesen. - tasten gir svaret. Løsningen v = 71,0684 betyr at farten er ca. 71 km/h. Side 20 av 61

21 2: Trigonometri Tangens og kalkulatorverktøylinja. Vi regner vinkler i grader. Dobbeltklikk på Innstillinger på statuslinja. I dialogboksen Dokumentinnstillinger klikker du på Grafer og geometri og setter Grafvinkel til Grader i dialogboksen Applikasjonsinnstillinger. Tast etter behov, og/eller. Klikk på venstre panel og bruk Touchpadtastaturet. Du kan også klikke og dra over ikoner/operatorer fra underkatalogen Trigonometri i katalogen under i venstre panel. Eksempel 3 Admirs metode Skriv inn 20, klikk og µ, klikk tan og skriv inn 31. -tasten gir svaret. Dersom du ikke får desimaltallet, taster du Ctrl. Du kan også klikke og velge 1:Omregne til desimal. Ved å legge inn desimaltegnet(punktum) etter 20tan(31 og taste får du svaret direkte. Som standard kan det være bedre å bruke Auto som fast innstilling. Følg beskrivelsen ovenfor. Tilnærmede svar får du ved enten å klikke / eller ^ i Touchpad-tastaturet til slutt i minst ett av tallene. PC-tastaturet er kanskje mest effektivt. Klikk eller tast etter at du har skrevet uttrykket. Eksempel 5 Vi finner hosliggende katet med tangens Klikk. Velg 1:Løs. Skriv inn likningen ved å klikke, µ og tan. Skriv inn 28.2, tast = 12.5/x og,x til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Du kan få tilnærmede svar som standard. Dobbeltklikk på Innstillinger på statuslinja. I Beregningsmodus velger du Tilnærmet i dialogboksen Dokumentinnstillinger. Bruk ç, og/eller tastene og etter behov når du flytter fram og tilbake i dialogboksen. I Auto eller tilnærmet velger du Tilnærmet. Bekreft valget med. Som standard kan det være bedre å bruke Auto. Dette gjør du slik det beskrives ovenfor. Side 21 av 61

22 Eksempel 6 Vi finner vinkelen med tangens Klikk, µ og tan -1. Bruk lommeregnerog/eller PC-tastaturet: 5.0/8.0. A = 32, Sinus og cosinus og kalkulatorverktøylinja. Eksempel 3 Vi finner hypotenusen med sinus Klikk. Velg 1:Løs. Skriv inn likningen ved å skrive sin(32, taste = 5.3/x og,x til slutt i parentesen. -tasten gir svaret: AC = 10 cm Eksempel 6 Vi finner vinkelen med cosinus Klikk, µ og cos -1. Bruk lommeregnerog/eller PC-tastaturet:4.4/4.8. B = 23, Sinus og cosinus for vinkler i intervallet [0, 180 ] venstre panel, bruk Touchpad-tastaturet og/eller PC-tastaturet og kalkulatorverktøylinja. Eksempel 2 Vi finner vinklene når sinus er gitt Klikk. Velg 1:Løs. Skriv inn likningen ved å skrive sin(v, taste = og,v til slutt i parentesen. Betingelsen etter parentesen skriver du inn ved å taste v>=0 and v<=180. -tasten gir svaret: v 26,8 eller v 153, 2 Eksempel 3 Vi finner vinklene når cosinus er gitt Klikk. Velg 1:Løs. Skriv inn likningen ved å skrive cos(v, taste = og,v til slutt i parentesen. Betingelsen etter parentesen skriver du inn ved å taste v>=0 and v<=180. -tasten gir svaret: v 127,5 Side 22 av 61

23 87 94 Arealformelen og sinussetningen og kalkulatorverktøylinja. Eksempel 3 Vi finner vinkelen med arealformelen Klikk. Velg 1:Løs. Skriv inn likningen ved å skrive 1/2*10*8*sin(v, taste = 36 og,v til slutt i parentesen. Betingelsen etter parentesen skriver du inn ved å taste v>=0 and v<=180. -tasten gir svaret. Løsningen på desimalform får du ved å taste Ctrl eller ved å legge inn et desimalpunktum etter et av tallene i likningen, og til slutt taste. v 64, 2 eller v 115,8 Eksempel 6 To sider og den motstående vinkelen til den korteste Klikk. Velg 1:Løs. Skriv inn likningen ved å skrive sin(b, taste /12. = sin(31, taste /8 og,b til slutt i parentesen. Betingelsen etter parentesen skriver du inn ved å taste b>=0 and b<=180. -tasten gir svaret: B 50,6 eller B 129, Cosinussetningen og kalkulatorverktøylinja. Eksempel 1 To sider og mellomliggende vinkel Klikk. Velg 1:Løs. Skriv inn likningen ved å skrive sl^2=16^2+13^2-2*16*13*cos(104 og,sl til slutt i parentesen. Betingelsen etter parentesen skriver du inn ved å taste sl>0. Ctrl og -tasten gir svaret: SL 22,9 Eksempel 2 Tre sider og ingen vinkler Klikk. Velg 1:Løs. Skriv inn likningen ved å skrive 10.^2 =5^2 +8^2-2*5*8*cos(b og,sl til slutt i parentesen. Betingelsen etter parentesen skriver du inn ved å taste b>=0 and b<=180. -tasten gir svaret: B 97,9. Side 23 av 61

24 Førstegradsfunksjoner 3: Funksjoner og Grafverktøylinja. Dokumentinnstillinger Du endrer dokumentinnstillinger ved først å dobbeltklikke på Innstillinger på statuslinja. I dialogboksen Dokumentinnstillinger bruker du ç og/eller tastene, og etter behov når du flytter fram og tilbake. Bekreft til slutt valgene med -tasten eller ved å klikke på OKknappen.. Grafer med digitalt verktøy På kommandolinja blinker markøren bak =. Skriv inn funksjonsuttrykket 2.50x+0.50 til høyre for f1(x)=. Husk at tasten for desimalkomma er punktum. Tast, og grafen legges inn i koordinatsystemet. Funksjonsnavnet f2(x) kommer fram på kommandolinja. I tillegg tegnes grafen, og funksjonsuttrykket legges inn i grafvinduet. Ved hjelp av og/eller,, og kan du flytte fram og tilbake på kommandolinja. Trykk på. Du får fram f1(x). Grafen kan du skjule ved å merke og deretter trykke på -tasten. til høyre for bruker du når etikett- eller grafstilen skal endres. Da kommer det opp en søyle med ikoner, og på en merkelapp står det noen stikkord om det aktive ikonet. Vi lager verditabell med digitalt verktøy for å få fram Vis- På verktøylinja klikker du på menyen. Velg. Gå til grafvinduet. Grip tak i funksjonsuttrykket og legg det oppe i grafvinduet. La funksjonstabellen være aktiv. Du forandrer tabelloppsettet ved først å hente dialogboksen Funksjonstabell. Dette gjør du ved å klikke på på verktøylinja og deretter velge 5:Rediger funksjonsinnstillinger. Side 24 av 61

25 Fyll inn i dialogboksen som figuren viser. Bekreft valgene med -tasten. Før du tegner grafen, må du stille inn ytterverdiene for x og y. La grafvinduet være aktivt (klikk med pila i grafvinduet). Ytterverdiene for x setter vi til 0 og 12. Ved hjelp av Funksjonstabell kan du bestemme ytterverdiene for y. Still inn ytterverdier for aksene Gå nedover i funksjonstabellen, og innenfor definisjonsmengden finner du at den minste y-verdien er 0,50 og den største er 30,5. Funksjonstabellen kan du ta bort ved for eksempel å klikke på angreknappen noen ganger inntil bare grafvinduet kommer fram i arbeidsområdet eller ved å klikke på og eller ved hurtigvalget Ctrl T når grafvinduet er aktivt. Nå bør du se hele grafvinduet i arbeidsområdet. Klikk på verktøylinja og deretter. Legg inn verdiene som vist i dialogboksen Vindusinnstillinger. Bekreft valgene med -tasten eller ved å klikke på OK-knappen. Grafen til funksjonen kommer fram i lommeregnervinduet. Skalaverdiene beregnes automatisk. Kommandolinja kan du deaktivere/aktivere ved å bruke tastekombinasjonen Ctrl G. Automatisk innstilling av ytterverdiene for y Legg inn funksjonsuttrykket 2.50x+0.50 for f1(x) på kommandolinja. Velg på verktøylinja og. Legg inn verdiene for XMin og XMax som du finner i dialogboksen Vindusparametere ovenfor. Bekreft valgene med -tasten. Grafen til funksjonen kommer fram i kalkulatorvinduet. Side 25 av 61

26 Passende ytterverdier for y får du ved først å klikke på verktøylinja. Deretter velger du. Grafen tegnes på nytt, og nå fyller den grafvinduet. Kommandolinja nederst i grafvinduet kan du skjule eller vise ved å bruke tastekombinasjonen Ctrl G mens grafvinduet er aktivt Praktisk bruk av førstegradsfunksjoner venstre panel, bruk Touchpad-tastaturet og/eller PC-tastaturet og Grafverktøylinja. Eksempel 2 Vi finner y eller x med digitalt verktøy Vi tegner grafen til funksjonen P(x) = 25x+50 for XMin = 0, XMax = 12, YMin = 0 og YMax = 350. Bekreft valgene med -tasten. På verktøylinja klikker du på. Velg. Gå til grafvinduet. Flytt å bort til grafen der du vil at punktet skal være, og en è peker på grafen. Bekreft valget ved å klikke. Ta bort ikonet for Punkt på øverst til venstre i grafvinduet ved å høyreklikke i vinduet eller bruke Esctasten Flytt pekeren til førstekoordinaten, klikk to ganger, skriv inn 9.6 og trykk på -tasten. Punktet (9,6, 290) legges på linja. Prisen for en tur på 9,6 km er 290 kr Legg et annet punkt på den rette linja. Bruk samme metode som ovenfor. Denne gangen flytter du pekeren til andrekoordinaten, klikk to ganger, skriv inn 147 og trykk på -tasten. Punktet (3,88, 147) legges på linja. Vi kan kjøre 3,88 km for 147 kr. Som alternativ kan du legge inn funksjonsuttrykket 147 for f1(x). Etter at grafen for funksjonen kommer fram i vinduet, bestemmer du skjæringspunktet mellom f1 og f2. Side 26 av 61

27 Eksempel Proporsjonalitet Klikk. Klikk. Velg. Dette eksemplet kommer i tillegg til eksemplet sidene 123 og 124: I tabellen til høyre finner du hva Maria må betale i kassa i en forretning når hun kjøper elgkjøtt på tilbud. Legg tallene inn i et regneark: Flytt markøren til det hvite feltet øverst i hver av tallkolonnene og skriv inn listenavnene kr og kg. Flytt over til grafvinduet: Klikk på Deretter velger du. for graftype. Klikk på hovedverktøylinja og velg fra lista som kommer fram kg for x og kr for y. Flytt over til koordinatsystemet. Klikk på. De seks punktene legges inn i koordinatsystemet. for vindu og deretter Gå nå til regnearket. Klikk på verktøyknappen for statistikk. Velg 1:Stat beregning og 3:Lineær regresjon (mx+b). I X-liste velger du kg og i Y-liste kr. Tast. I regnearket kommer det fram en oversikt over beregningene. Flytt over til grafvinduet: Klikk på for Graftypemenyen og velg. På kommandolinja velger du funksjonen f1 ved hjelp av tasten eller. Tast. Nå ser du både punktene og grafen i koordinatsystemet. Tallet 4.E 13 er så lite at du kan ta det bort på kommandolinja. Begge aksene kan du starte i origo: Velg og, XMin lik 0 og YMin lik 0. Tast. Grafen er ei rett linje som starter i origo. Side 27 av 61

28 Forholdet y/x kan vi bestemme i regnearket på denne måten: Gå til celle C1 og skriv inn =b1/a1. Tast. Merk celle C1, Klikk på noen ganger til celle C6 er merket. og 3:Fyll ned. Tast Formelen i celle C1 kopieres nå inn i de fire cellene nedenfor celle C1. Se figuren til høyre. Er x og y proporsjonale? Eksemplet ovenfor kan vi også gjennomføre ved hjelp av grafvinduet med tabell: Klikk. På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykket 120x for f1(x) og f1(x)/x for f2(x). Trykk på tasten, velg på kommandolinja og trykk på -tasten. Grafen til f2(x) deaktiviseres. Gå inn i koordinatsystemet med museklikk inntil pila dukker opp. Grip tak i funksjonsuttrykket og flytt det over x-aksen, litt til høyre for y-aksen. Velg og, XMin lik 0 og XMax lik 100. Tast. Velg og. Vi skal nå opprette en funksjonstabell ved siden av grafvinduet: La grafvinduet være aktivt. Klikk for Vis-menyen og velg. Gå til grafvinduet. Grip tak i funksjonsuttrykket og legg det øverst i vinduet. I tabellvinduet ser du at kolonnene for x, f1(x) og f2(x) er utfylt. Legg merke til endringene i kolonnene når du skyver og/eller dreier på den rette linja. Du kan skyve eller rotere linja på denne måten: Flytt å bort til linja, og å går over til é eller ö. Du utfører rotasjon med det første alternativet; med det andre forskyver du linja horisontalt eller vertikalt. Du kan endre pekeren ved å flytte den langs linja. Flyttingen kan du gjennomføre mens du holder nede venstre musetast. Øverst i grafvinduet endres funksjonsuttrykket. Dersom funksjonsuttrykket og tabellkolonnen viser at linja akkurat eller tilnærmet går gjennom origo, kan vi si at y og x er proporsjonale størrelser. En kan også avgjøre om to størrelser er omvendt proporsjonale ved å gjennomføre tilsvarende undersøkelse som for proporsjonale størrelser. Side 28 av 61

29 I applikasjonen Data & statistikk kan du også finne funksjonen som beskriver sammenhengen mellom massen og prisen. Klikk. Under forutsetning av at sammenhørende verdier er lagt inn i, klikker du på teksten på førsteaksen og velger kg. Dersom tekstfeltet på andreaksen ikke kommer fram, klikker du på og velger 7:Legg til Y-variabel. Etter at punktene kommer fram i koordinatsystemet klikker du på. Til slutt velger du 6:Regresjon og 1:Vis lineær (mx+b). NB! Det siste leddet 4.E-13 = er så lite at du kan se bort fra det i dette tilfellet. Eksempel Skjæringspunkt mellom grafer og Grafverktøylinja. På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykkene f1(x) = x og f2(x) = x. Tast, og litt av grafen til f2(x) kommer fram i vinduet. På grafverktøylinja klikker du og velger. Legg inn ytterverdiene XMin = 0, XMax = 1000, YMin = 0 og YMax = Bekreft valgene med -tasten. Grafene tegnes på nytt og du ser skjæringspunktet. Vi skal nå bestemme koordinatene til skjæringspunktet. På verktøylinja klikker du. Velg. Flytt å bort til den ene grafen inntil den blinker, klikk, flytt så pila til den andre grafen og klikk. Skjæringspunktet med koordinatene blir lagt inn i grafvinduet. De to tilbudene gir samme pris når kjørelengden er 500 km. Prisen er da 9500 kr.. Side 29 av 61

30 Eksempel Lineær regresjon Klikk. Velg. Legg inn i kolonnene A og B i regnearket tallene fra tabellen på 126. Flytt markøren til det hvite feltet øverst i hver av tallkolonnene og skriv inn listenavnene måneder og kg. Klikk på verktøyknappen for statistikk. Velg Stat beregning og Lineær regresjon (mx+b). I X-liste velger du år og i Y-liste antall. Tast. I to regnearkkolonner kommer det fram en oversikt over beregningene. I den ene kolonnen finner du verdiene for m og b. Hele innholdet i den merkede cella ser du nederst i regnearket. Vi skal nå sette inn ei ny side i dokumentet. Gå til verktøylinja. Klikk. Klikk på kommandolinja. for graftype. Deretter velger du. La markøren stå rett bak x på Klikk på hovedverktøylinja og velg fra lista som kommer fram måneder for x og kg for y. Pass på at det da står riktig sidetall, for eksempel s1, på kommandolinja. Du kommer til riktig sidetall ved å bruke eller i grafvinduet. Flytt over til koordinatsystemet. Klikk på for vindu og deretter. De fire punktene legges inn i koordinatsystemet. Flytt markøren til et av de fire punktene og høyreklikk Det kommer opp ei søyle med ikoner, og på en merkelapp står det noen stikkord om det aktive ikonet. Bruk eller, og velg punkttype ved å klikke. Du kan nå tegne regresjonslinja sammen med punktene. Gå til verktøylinja, klikk på og velg. På kommandolinja velger du ved hjelp av eller funksjonen f1(x). Trykk på -tasten. Nå ser du både punktene og grafen i koordinatsystemet. Linja y = 0,61x + 3,68 passer best til punktene. I grafvinduet kan du redigere funksjonsuttrykket ved å dobbelklikke på det. Du kan flytte fram og tilbake i uttrykket ved hjelp av og. Tall kan du skrive inn på vanlig måte eller slette med Delete-tasten. Funksjonsuttrykket kan du flytte ved å dra det til ønsket posisjon. Side 30 av 61

31 Polynomfunksjoner og Grafverktøylinja. Andregradsfunksjoner På kommandolinja blinker markøren bak =. Skriv inn funksjonsuttrykket x 2 2x 3. Tast, og grafen legges inn i koordinatsystemet. Funksjonsnavnet f2(x) kommer fram på kommandolinja. I tillegg tegnes grafen, og funksjonsuttrykket legges inn i grafvinduet. Funksjonsuttrykket kan du flytte til en annen posisjon ved først å gripe tak i det med {. Deretter bruker du,, og. På verktøylinja klikker du på. Velg. Gå til grafvinduet. Flytt å bort til grafen der du vil at punktet skal være, og en è peker på grafen. Bekreft valget ved å klikke. Ta bort ikonet for Punkt på øverst til venstre i grafvinduet ved å høyreklikke i vinduet eller bruke Esctasten Grip tak i punktet og flytt punktet bort til et av punktene du ønsker å finne. En liten ramme med for eksempel minimum kommer fram. Punktet med koordinater plasseres etter at du klikker eller taster. Grafisk løsning av andregraslikninger På kommandolinja blinker markøren bak =. Skriv inn funksjonsuttrykket 4x 2 7x 2. Tast, og grafen legges inn i koordinatsystemet. Funksjonsnavnet f2(x) kommer fram på kommandolinja. Legg inn 0 bak =. Tast, og linja y = 0 legges inn i koordinatsystemet. På verktøylinja klikker du på. Velg Flytt å bort til parabelen, klikk på den når ø kommer fram, flytt til linja y = 0 og klikk på den når ø kommer fram. Førstekoordinatene til skjæringspunktene gir løsningene: 0,25 og 2 Side 31 av 61

32 Eksempel 2 Maksimalt overskudd. Toppunktet på grafen Klikk.Legg inn funksjonsuttrykket x x 300 for f1(x) på kommandolinja. På grafverktøylinja klikker du og velger. Legg inn XMin = 20, XMaks = 75, YMin = 200 og YMaks = 800. Bekreft valgene med -tasten. Grafen til funksjonen kommer fram i kalkulatorvinduet. Du kan nå merke et punkt på grafen ved først å klikke på. Velg. Flytt å bort til grafen der du vil at punktet skal være. è peker på grafen. Bekreft valget med et klikk eller -tasten. Bruk Esc-tasten. Ikonet for Punkt på øverst til venstre i grafvinduet forsvinner. Grip tak i punktet og flytt punktet mot toppunktet du ønsker å finne. En liten ramme med maksimum kommer fram. Punktet med koordinater plasseres etter at du venstreklikker eller taster. Eventuelle bunnpunkter finner du på samme måte. Da kommer det fram ei lita ramme med minimum. Grafen til funksjonen har toppunktet (30, 600). 30 enheter per dag gir størst overskudd. Overskuddet er da 600 kr. Eksempel 3 To skjæringspunkter. Inntekt lik kostnad Klikk. På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykkene f1(x) = 0,2x og f2(x) = 12x. Trykk på -tasten, og litt av grafen til f2(x) kommer fram i vinduet. På grafverktøylinja klikker du og velger. Legg inn verdiene XMin = 0, XMax = 70, YMin = 100 og YMax = 900. Bekreft valgene med -tasten. Grafene tegnes på nytt og du ser to skjæringspunkter. Vi skal nå bestemme de to skjæringspunktene. På verktøylinja klikker du på. Velg. Flytt å bort til den ene grafen inntil den blinker, klikk, flytt så å til den andre grafen og klikk. De to skjæringspunktene med koordinater dukker opp i grafvinduet. Inntekt og kostnad er like for produksjonen 10 eller 5o enheter per dag. Det blir overskudd der grafen til f1(x) ligger under grafen til f2(x), altså når det produseres mellom 10 og 50 enheter per dag. Side 32 av 61

33 Kalkulatoren TI-Nspire CAS Touchpad Tast c og velg applikasjonen Grafer ved for eksempel å klikke på ikonet. Legg inn funksjonsuttrykkene for f1 og f2 på kommandolinja. Kommandolinja kan du aktivere/skjule ved å taste /G. Deretter legger du inn ytterverdiene ved å klikke/taste b410e70ee0e900 b73. Flytt å bort til den ene grafen slik at ø peker på den nå blinkende grafen. Tast eller klikk a. Flytt å bort til den andre grafen på samme måte og tast eller klikk a.de to skjæringspunktene med koordinater dukker opp i grafvinduet Rasjonale funksjoner og Grafverktøylinja. Eksempel med skyvelinje Skriv inn funksjonsuttrykket ved å taste: (a*x+b)/(c*x+d) En Skyvekontroll legger du inn ved å klikke: Flytt markøren bort til skyvekontrollen og høyreklikk. Velg 1:Innstillinger. I dialogboksen Skyveinnstillinger legger du inn verdier og variabelnavn. Du kan nå variere a, b, c og d og samtidig se hva som skjer med grafen. Bruk -tasten når du flytter ned til neste felt. Legg merke til at du kan forstørre eller forminske skyvekontrollen. Side 33 av 61

34 og Grafverktøylinja. Innledende eksempel På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykket f1(x) = (3x+3)/(2x 4). Trykk på -tasten, og grafen til f1(x) kommer fram i vinduet. Pass på at XMin = 20, XMax = 20, YMin = 10 og YMax = 10. Disse ytterverdiene bør komme automatisk opp i grafvinduet. Klikk for Vis-menyen og velg Gå til grafvinduet. Grip tak i funksjonsuttrykket og legg det oppe i grafvinduet. La funksjonstabellen være aktiv. Du forandrer tabelloppsettet ved først å hente dialogboksen Funksjonstabell. Dette gjør du ved å klikke på verktøylinja og deretter velge 5:Rediger funksjonsinnstillinger. Fyll inn i dialogboksen som figuren viser. Bekreft valgene med -tasten. på Flytt markøren til den første cella i x-kolonna. Ved å flytte cellemarkøren nedover i tabellen ser du tydelig at f1(x) nærmer seg 1,5 når x blir større. Hva skjer når x er negativ og blir stadig mindre? Bruk samme metode som ovenfor, men nå legger du inn 3000 i feltet Tabelltrinn:. Det er tydelig at f1(x) nærmer seg 1,5 når x blir mindre. Dette viser at f1(x) nærmer seg 1,5 når x går mot eller når x går mot. Hva skjer med funksjonsverdien når x kommer stadig nærmere 2? Sett inn i dokumentet en regnearkside. Gå til den øverste verktøylinja. Klikk. Velg. Kontroller at dokumentinnstillingene er Radianer, Tilnærmet og Reell. Du endrer dokumentinnstillinger ved først å dobbeltklikke på Innstillinger på statuslinja. I dialogboksen Dokumentinnstillinger bruker du ç og/eller tastene, og etter behov når du flytter fram og tilbake. Bekreft til slutt valgene med -tasten eller ved å klikke på OK-knappen. Side 34 av 61

35 Skriv først inn tallene 1, 2 og 3 i kolonne A som den første figuren til høyre viser. Stå i celle A3, hold nede - tasten og tast. Du skal nå sette inn tallene 4, 5 og 6 i de tre første cellene nedenfor celle A3. Gå til verktøylinja for regnearket. Klikk på og 3:Fyll ned. Tast og avslutt med -tasten. I kolonne A er nå de første seks cellene fylt opp med tallene 1 til 6. Gå til celle B1 og skriv inn: =2+1/10 A1 for x-verdier større enn, men nær 2. I celle C1 skriver du inn: =(3B1+3)/(2B1-4) Merk cellene B1 og C1 ved å holde nede -tasten når du står i B1, og trykk på tasten. Gå til verktøylinja for regnearket. Klikk på og 3:Fyll ned. Tast og avslutt med -tasten. Kolonnebredden til kolonne B utvider du på denne måten: Merk ei celle i kolonnen, gå til verktøylinja for regnearket og klikk. Velg 2:Skaler og 1:Kolonnebredde. Med musemarkøren regulerer du nå kolonnebredden. Et klikk avslutter endringen. Du kan også forandre kolonnebredden direkte ved å dra i høyre kant i den hvite cella øverst i kolonne B. Utvid også bredden for kolonne C. Vi skal nå lage en tabell for x-verdier mindre enn, men nær 2. Gå til celle B1, erstatt + med og trykk på - tasten. Kopier den nye formelen nedover i kolonne B på samme måte som foran. Den første av de to tabellene til høyre tyder på at f1(x) går mot når x er større enn 2, men nærmer seg 2. Den andre tabellen tyder på at f1(x) går mot når x er mindre enn 2, men nærmer seg 2. Side 35 av 61

36 Prosentvis vekst og kalkulatorverktøylinja. Eksempel 20 % av 800 Tast 800*20. Klikk, / og k.på Touchpadtastaturet. I symboloversikten finner du prosentsymbolet. Merk symbolet og tast. NB! Det raskeste er å taste 800*20% på PC-tastaturet. 20 % av 800 er 160. Eksempel 2 Prosent og lønnsøkning Her kan du beregne forholdet mellom ny lønn og gammel lønn. I Dokumentinnstillinger velger du Normal under Eksponentsielt format. Tast 125/115-1 *100. Lønna gikk opp 8,7 %. Eksempel 3 Prisen blir satt opp Bestem vekstfaktoren for 20 % prisøkning. Multipliser resultatet med 800. Eksempel 4 Prisen blir satt ned Bestem vekstfaktoren for 20 % prisfall. Multipliser resultatet med Eksempel 5 Opprinnelig pris Bestem vekstfaktoren for 20 % prisfall. Divider den nye prisen med resultatet. Ny verdi, gammel verdi og vekstfaktoren Sammenhengen mellom ny verdi n, gammel verdi g og vekstfaktoren v, n = g n, kan du bestemme i kalkulatorvinduet. Side 36 av 61

37 Eksponentialfunksjoner og potensfunksjoner og kalkulatorverktøylinja. Eksempel 1 Sparing. Positiv eksponentiell vekst Vi bestemmer først vekstfaktoren: Tast 1+3/100. Deretter multipliserer du kapitalen med vekstfaktoren opphøyd i x. og velger betingelsen x = 5. Tast 2000*1.03^x x=5. Det er kr på kontoen etter fem år. Eksempel 2 Temperaturen avtar. Negativ eksponentiell vekst Vi bestemmer først vekstfaktoren. Tast 1 8/100. Deretter multipliserer du starttemperaturen med vekstfaktoren opphøyd i x. og velger betingelsen x = 3. Tast 85*0.92^x x=3. Temperaturen er ca. 66,2 C etter tre timer. Eksempel 3 Vi finner likningen for en eksponentialfunksjon Klikk. Velg 1:Løs. Skriv inn likningen *b^5= og,b til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Vekstfaktoren er 0,885. Etter t år er bilens verdi gitt ved: Vt ( ) ,885 t Eksempel 4 Vi regner bakover Vi bestemmer først vekstfaktoren: Tast 1+4/100. Deretter multipliserer du kapitalen med vekstfaktoren opphøyd i x. og velger betingelsen x = 5. Tast 2000*1.04^x x= 5. Christian satte kr inn på kontoen for fem år siden. Side 37 av 61

38 4: Sannsynlighet Sannsynlighet og relativ frekvens Klikk. Klikk på og Lister & regnearkverktøylinja. Eksempel: Terningkast med regnearket Skriv inn teksten Øyne terning i celle A1. Teksten i cella skriver du inn ved å starte med. Avslutt innskrivingen i cella med -tasten. Utvid kolonnen inntil du ser hele teksten. Kolonnebredden utvider du på denne måten: Merk ei celle i kolonnen, gå til verktøylinja for regnearket og klikk. Velg 2:Skaler og 1:Kolonnebredde. Med musemarkøren regulerer du nå kolonnebredden. Et klikk avslutter endringen. Du kan også forandre kolonnebredden direkte ved å dra i høyre kant i den hvite cella øverst i kolonnen. Gå til celle B1, skriv først =-tegnet. Aktiver i venstre panel, bruk Touchpad-tastaturet, klikk k tast 2 og gå til katalogen Sannsynlighet. Nå henter du formelen for Tilfeldig heltall fra underkatalogen Tilfeldig. Du kan også hente (dra over) Tilfeldig heltall fra underkatalogen Tilfeldig til katalogen Sannsynlighet i katalogen under i venstre panel. I parentesen skriver du inn tallene 1 og 6 for minste og høyeste antall øyne. Avslutt med -tasten. Du skal nå kopiere cellene A1 og B1 til de fem radene nedenfor: Stå i celle A1, holde nede -tasten, og trykk på tasten. Gå til verktøylinja for regnearket og klikk. Velg 3:Fyll ned. Tast og avslutt med -tasten. I kolonne B står nå resultatet av seks terningkast. Resultatet av seks nye terningkast får du ved å stå i ei av cellene B1 til B6 og trykke. Side 38 av 61

39 Eksempel: Terningkast med kalkulator og kalkulatorverktøylinja. Skriv inn teksten 10 terningkast: Gå til kalkulatorverktøylinja. Klikk, velg 6:Sett inn kommentar, skriv inn teksten og avslutt med -tasten. Du skal nå skrive inn formelen for Tilfeldig heltall: Gå til kalkulatorverktøylinja. Klikk 4:Tilfeldig og 2:Heltall., velg I parentesen skriver du 1,6,10 for laveste og høyeste antall øyne, og deretter antall kast, for eksempel 10. Trykk på -tasten. Resultatet legges inn i en mengdeklamme, for eksempel {2,5,6,5,1,3,4,4,3,2}. De neste ti kastene får du ved å trykke på -tasten. Ett og ett kast kan du utføre ved å sløyfe antall kast i parentesen. Du finner rekkefølgen til de enkelte tallene i formelen ved først å klikke k etter at du har aktivert venstre panel. Tast 1 for fane nummer 1 og r for første bokstav i randint(. Deretter taster du så mange ganger at formelen kommer fram i kalkulatorvinduet. Nederst i vinduet finner du rekkefølgen. i Binomiske sannsynligheter og kalkulatorverktøylinja. Side 39 av 61

40 Eksempel: Binomialkoeffisienter s. 187 og 188 Gå til kalkulatorverktøylinja. Klikk, velg 3:Kombinasjoner. I parentesen skriver du inn 5,2 for henholdsvis n og r. Avslutt med -tasten. Du finner rekkefølgen til de enkelte tallene i formelen ved først å klikke k etter at du har aktivert venstre panel. i Tast 1 for fane nummer 1 og n for første bokstav i ncr. Nederst i vinduet finner du rekkefølgen. Eksempel 2 Ti terningkast Klikk 5:Fordelinger og D:Binomisk Pdf. og velg I dialogboksen skriver du inn de aktuelle tallene. Bekreft valgene med -tasten. Sannsynligheten er 15,5 % for at vi får tre seksere når vi kaster én terning ti ganger. Eksempel 3 Flervalgsprøve Klikk. Vi finner først sannsynligheten for at Eldrid får nøyaktig fire riktige svar. Gå til kalkulatorverktøylinja. Klikk 5:Fordelinger og D:Binomisk Pdf. og velg I dialogboksen skriver du inn de aktuelle tallene. Bekreft valgene med -tasten. Sannsynligheten er 22,8 % for at Eldrid får fire riktige svar. Side 40 av 61

41 Eksempel Flervalgsprøve s. 192 og 193 Vi finner så sannsynligheten for at Eldrid får høyst fire riktige svar. Gå til kalkulatorverktøylinja. Klikk 5:Fordelinger og E:Binomisk Cdf. og velg I dialogboksen skriver du inn de aktuelle tallene. Bekreft valgene med -tasten. Sannsynligheten er 78,7 % for at Eldrid får høyst fire riktige svar. Sannsynligheten for at Eldrid får minst fem riktige svar finner du ved først å taste 1 på ei ny linje i Kalkulatorvinduet. Deretter går du opp på linja ovenfor, merker siste uttrykk ved å taste og klikker på kopieringsknappen på øverste verktøylinje. Gå ned til siste linje, bak 1, klikk på lim inn knappen og trykk på -tasten. Sannsynligheten er 21,3 % for at Eldrid får minst fem riktige svar. Istedenfor samtidig. Istedenfor samtidig. kan du trykke på tastene Ctrl og C kan du trykke på tastene Ctrl og V Eksempel 5 Tusen terningkast Klikk og velg 5:Fordelinger og E:Binomisk Cdf. I dialogboksen skriver du inn de aktuelle tallene. Bekreft valgene med - tasten. Sannsynligheten er 0,808 = 80,8 % for å få minst 150 og høyst 180 seksere når vi kaster én terning 1000 ganger. Eksempel 6 Politisk meningsmåling Klikk og velg 5:Fordelinger og E:Binomisk Cdf. I dialogboksen skriver du inn de aktuelle tallene. Bekreft valgene med - tasten. Sannsynligheten er 0,159 = 15,9 % for at Arbeiderpartiets oppslutning på meningsmålingen er minst 31,5 %. Side 41 av 61

42 5: Mer om algebra Faktorisering og forkorting og kalkulatorverktøylinja. Eksempel 1 Vi faktoriserer enkle uttrykk Klikk med.. Velg 2:Faktor, skriv uttrykket og avslutt Primtallsfaktorene for 12 får du fram ved å bruke factorfunksjonen på 12. Dette viser at: a b a b a a b Eksempel 2 Faktorisering av flerleddet uttrykk Klikk med., velg 2:Faktor, skriv uttrykket og avslutt Primtallsfaktorene for 4 får du fram ved å bruke factorfunksjonen på 4. Eksempel 3 Negativt tall utenfor en parentes Klikk med., velg 2:Faktor, skriv uttrykket og avslutt Eksempel 4 Vi forkorter brøker Uttrykket og. NB! Parentes om nevneren og multiplikasjonstegn mellom a og b i nevneren i det første eksemplet. I det fjerde eksemplet må du sette parentes om telleren og om nevneren. Legg merke til varslet som kommer fram nederst i kalkulatorvinduet. Hele teksten kommer fram ved først å flytte markøren opp til svaret. Deretter høyreklikker du og velger Vis varsel-info. Side 42 av 61

43 Eksempel 5 Vi multipliserer brøker Uttrykket og. NB! Parentes om den andre brøken i hvert av uttrykkene og i tillegg parentes om nevneren i den første brøken i det andre uttrykket. Eksempel 6 Vi dividerer brøker Uttrykket og. NB! Parentes om den andre brøken i hvert av uttrykkene og i tillegg parentes om nevneren i den første brøken i det andre uttrykket. Eksempel 7 og 8 Vi subtraherer brøker Klikk, velg 8:Brøkverktøy og 4:Fellesnevner, skriv uttrykket og avslutt med. NB! Husk parenteser om flerleddede nevnere og tellere. Eksempel 9 Fra brudne brøker til vanlige brøker Tast uttrykket vad hjelp av 4/9/(5/12) og tast. NB! Parentes om den andre brøken Kvadratsetningene og kalkulatorverktøylinja. Eksempel 1 og 2 Klikk med. Første og andre kvadratsetning, velg 3:Utvid, skriv uttrykket og avslutt Eksempel 3 Tredje kvadratsetning Klikk med., velg 3:Utvid, skriv uttrykket og avslutt Side 43 av 61

44 Eksempel 4 Faktorisering med tredje kvadratsetning Klikk, velg 2:Faktor, skriv uttrykket og tast. Eksempel 5 Setter felles faktor utenfor en parentes Klikk, velg 2:Faktor, skriv uttrykket og tast. Eksempel 6 Et av kvadratene er et flerleddet uttrykk Klikk, velg 2:Faktor, skriv uttrykket og tast. Eksempel 7 Vi bruker første kvadratsetning baklengs Klikk, velg 2:Faktor, skriv uttrykket og tast. Eksempel 8 Vi bruker andre kvadratsetning baklengs Klikk, velg 2:Faktor, skriv uttrykket og tast. Eksempel 9 Vi faktoriserer og forkorter med tredje kvadratsetning Enten Uttrykket og eller klikk, velg 3:Utvid, skriv uttrykket og tast eller klikk, velg 8:Brøkverktøy og 4:Fellesnevner, skriv uttrykket og avslutt med. Eksempel 10 Vi finner fellesnevneren med tredje kvadratsetning Uttrykket og. Eksempel 11 Faktorisering med nullpunktmetoden Klikk, velg 2:Faktor, skriv uttrykket og tast. Eksempel 12 Hva når det ikke står x 2? Klikk, velg 2:Faktor, skriv uttrykket og tast. NB! Her legger du inn desimaltall ved å taste punktum bak minst et av tallene i uttrykket. Side 44 av 61

45 Likninger med brøkuttrykk og kalkulatorverktøylinja. Eksempel 1 Likning med flerleddet teller Klikk og velg 1: Løs. Skriv inn likningen og tast,x til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Eksempel 2 Likning med brøker og parenteser Klikk og velg 1: Løs. Skriv inn likningen og tast,x til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Eksempel 3 og 4 Likning med x i nevner Klikk og velg 1: Løs. Skriv inn likningen og tast,x til slutt i parentesen. -tasten gir svaret Likningssett og Grafverktøylinja. Eksempel Grafisk løsning side 216 På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykkene f1(x) = 7-x og f2(x) = -2+x. På grafverktøylinja klikker du og velger. Velg XMin = -1, XMax = 10, YMin = -2 og YMax = 8. Bekreft valgene med. Grafene tegnes på nytt og du ser skjæringspunktet. Vi skal nå bestemme koordinatene til skjæringspunktet. Klikk og velg. Flytt å bort til den ene grafen inntil den blinker, klikk, flytt så pila til den andre grafen og klikk. Skjæringspunktet med koordinatene blir lagt inn i grafvinduet. Avlesning: x = 4,5 og y = 2,5 Side 45 av 61

46 Eksempel 1 Hva koster én softis og én cola? og kalkulatorverktøylinja. Alternativ 1: Klikk og velg 1: Løs. Klikk k, velg fane 5 og sjablonen system av to likninger, skriv inn likningene og tast,x,y til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Alternativ 2: Klikk og velg 1: Løs. Tast t, velg, skriv inn likningene og tast,x,y til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Alternativ 3: Klikk under og velg 1: Løs. Aktiver i venstre panel, klikk og dra sjablonen for et system av to likninger over til kalkulatorapplikasjonen, skriv inn likningene og tast,x,y til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Alternativ 4: Klikk og velg 1: Løs. Ta fram sjablonen ved å høyreklikke i arbeidsområdet, velg Matematiske sjabloner og klikk på aktuell sjablon, skriv inn likningene og tast,x,y til slutt i parentesen. - tasten gir svaret. NB! Bruk -tasten etter hver av de to likningene. Likningssettet har løsningen x = 15 og y = 12. En cola kostet 15 kr, og en softis kostet 12 kr. Eksempel 2 Et likningssett uten løsning Klikk. Klikk og velg 1: Løs. Ta fram sjablonen ved å høyreklikke i arbeidsområdet, velg Matematiske sjabloner og klikk på aktuell sjablon, skriv inn likningene og tast,x,y til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Meldingen false betyr at likningen ikke har løsning. Side 46 av 61

47 Eksempel 3 Likningssett av første og andre grad Klikk. Klikk og velg 1: Løs. Ta fram sjablonen ved å høyreklikke i arbeidsområdet, velg Matematiske sjabloner og klikk på aktuell sjablon, skriv inn likningene og tast,x,y til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Løsningen: x = 4 og y = 4 eller x = 3 og y = 4. Eksempel 4 Grafisk løsning Klikk. På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykket f1(x) = -x 2 +5 og f2(x) = -2x+2. Bekreft funksjonene med -tasten. Grafene tegnes, og du ser skjæringspunktene. Vi skal nå bestemme koordinatene til skjæringspunktet. Klikk og velg. Flytt å bort til den ene grafen inntil den blinker, klikk, flytt pila bort til den andre grafen og klikk. Skjæringspunktet med koordinatene blir lagt inn i grafvinduet. Avlesning: x = 1 og y = 4 eller x = 3 og y = Ulikheter og Grafverktøylinja. Ulikheter av første grad side 221 og 222 Alternativ 1: På kommandolinja legger du inn ulikhetene y<80x 5600 og y>7000. Trykk på slettetasten når markøren står til høyre for f1(x)=. Tast >, skriv inn 7000 og tast. Tast <, skriv inn 80x 5600 og tast. Ingen graf eller markering kommer fram i vinduet. Vi lar definisjonsområdet være mellom 0 og 200. Klikk velger, og legg inn verdiene for XMin og XMaks som dialogboksen Vindusinnstillinger viser. Bekreft valgene med -tasten. Passende ytterverdier for y får du ved å klikke og velge. og Side 47 av 61

48 Hver av ulikhetene blir fargelagt, og nå fyller de grafvinduet. En mørkere fargeetone markerer området Vi skal nå bestemme skjæringspunktet mellom grenselinjene til de to skyggelagte områdene. På verktøylinja klikker du på og velger. Alternativt kan du høyreklikke i grafvinduet. Velg Nyeste og Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grenselinja. En pekefinger kommer fram. Klikk og gå til den andre grenselinja. Pekefingeren kommer fram. Klikk. Skjæringspunktet med koordinatene blir lagt inn i grafvinduet. Ulikheten stemmer i det mørkere området. Ulikheten har løsningen x > 157,5. Alternativ 2: Klikk På kommandolinja legger du inn f1(x) = 80x 5600 og f2(x) = Bruk -tasten etter hvert av yttrykkene. Ingen graf kommer fram i vinduet. Vi lar definisjonsområdet være mellom 0 og 200. Klikk og velger. Legg inn verdiene for XMin og XMaks som dialogboksen Vindusinnstillinger viser. Bekreft valgene med. Passende ytterverdier for y får du ved å klikke og velge. Grafene tegnes på nytt. Nå fyller de grafvinduet. Vi bestemmer skjæringspunktet mellom grafene. Klikk og velg. Alternativt kan du høyreklikke i grafvinduet. Velg Nyeste og Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grafen. En pekefinger kommer fram. Klikk og gå til den andre grafen. Pekefingeren kommer fram. Klikk. Skjæringspunktet med koordinatene blir lagt inn i grafvinduet. Ulikheten stemmer når grafen til f1(x) ligger over grafen til f2(x). Ulikheten har løsningen x > 157,5. I kalkulatorapplikasjonen Klikk. Klikk og velg 1:Løs. Skriv inn ulikheten 80x 5600>7000 og,x til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Svaret får du på desimalform ved å klikke, velge Omregne til desimal og avslutte med -tasten. Ulikheten har løsningen x > 157,5. Side 48 av 61

49 Eksempel Ulikheter av andre grad side 225 Klikk. Alternativ 1: På kommandolinja legger du inn ulikhetene y< 0,8x x 3280 og y>2000. Trykk på slettetasten når markøren står til høyre for f1(x)=. Tast >, skriv inn 2000 og tast. Tast <, skriv inn 0,8x x 3280 og tast. Ingen graf eller markering kommer fram i vinduet. Vi lar definisjonsområdet være mellom 0 og 200. Klikk, velg, og legg inn verdiene for XMin og XMaks som dialogboksen Vindusinnstiilinger viser. Bekreft valgene med -tasten. Noe av grafen til den ene ulikheten kommer fram i grafvinduet. Passende ytterverdier for y får du ved å klikke og velge. Hver av ulikhetene blir fargelagt, og nå fyller de grafvinduet. En mørkere fargetone markerer området der begge ulikheten gjelder. Vi skal nå bestemme skjæringspunktene mellom grenselinjene til de to skyggelagte områdene. På verktøylinja klikker du på og velger. Alternativt kan du høyreklikke i grafvinduet. Velg Nyeste og Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grenselinja. En pekefinger kommer fram. Klikk og gå til den andre grenselinja. Pekefingeren kommer fram. Klikk. Skjæringspunktene med koordinatene blir lagt inn i grafvinduet. Ulikheten stemmer i det mørkere området. Ulikheten har løsningen x > 60 og x <110; altså: L = 60,110 Alternativ 2: Klikk. På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykkene f1(x) = 0,8x x 3280 og f2(x) = Bruk -tasten etter hvert av uttrykkene. Ingen graf kommer fram i vinduet. Vi lar definisjonsområdet være mellom 0 og 200. Klikk og velg. Legg inn verdiene for XMin og XMaks som dialogboksen Vindusinnstillinger viser. Bekreft valgene med. Side 49 av 61

50 Noe av grafen til den ene funksjonen kommer fram i grafvinduet.. Passende ytterverdier for y får du ved å klikke og velge. Grafene tegnes på nytt. Nå fyller de grafvinduet. Vi bestemmer skjæringspunktene mellom grafene. Klikk og velg. Alternativt kan du høyreklikke i grafvinduet. Velg Nyeste og Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grafen. En pekefinger kommer fram. Klikk og gå til den andre grafen. Pekefingeren kommer fram. Klikk. Skjæringspunktene med koordinatene blir lagt inn i grafvinduet. Ulikheten stemmer når grafen til f1(x) ligger over grafen til f2(x). Ulikheten har løsningen x > 60 og x <110; altså: I kalkulatorapplikasjonen L = 60,110. Klikk. Klikk og velg 1: Løs. Skriv inn ulikheten 0.8x x 3280>2000 og,x til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Ulikheten har løsningen 60 < x < 110; altså: L = 60,110. Eksempel 7 Vi løser en andregradsulikhet Klikk. Klikk og velg 1: Løs. Skriv inn ulikheten 6 x<=x^2 og,x til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Ulikheten har løsningen x 3 eller x 2; altså: L =, 3] [2,. Eksempel 9 Andregradsulikhet uten løsning Klikk. Klikk og velg 1: Løs. Skriv inn ulikheten x^2 + 2x > 0 og,x til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Meldingen false betyr at likningen ikke har løsning. Side 50 av 61

51 Eksponentiallikninger og Grafverktøylinja. Grafisk løsning av eksponentiallikninger Legg inn på kommandolinja funksjonsuttrykkene f1(x) = x og f2(x) = 50. Bruk -tasten etter hvert av uttrykkene. Ingen graf kommer fram i vinduet. Vi lar definisjonsområdet være mellom 0 og 10. Klikk og velg. Legg inn verdiene for XMin og XMaks som dialogboksen Vindusinnstillinger viser. Bekreft valgene med. Passende ytterverdier for y får du ved å klikke og velge. Grafene tegnes på nytt. Nå fyller de grafvinduet. Vi bestemmer skjæringspunktet mellom grafene: Klikk og velg. Alternativt kan du høyreklikke i grafvinduet. Velg Nyeste og eventuelt Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grafen. En pekefinger kommer fram. Klikk, gå bort til den andre grafen og pekefingeren kommer fram. Klikk, og skjæringspunktet med koordinatene blir lagt inn i grafvinduet. Det tar ca. 6,4 timer før temperaturen er sunket til 50 ºC. I kalkulatorapplikasjonen Klikk. Klikk og velg 1: Løs, skriv inn likningen 85*0.92 x = 50 og,x til slutt i parentesen. -tasten gir svaret. Det tar ca. 6,4 timer før temperaturen er sunket til 50 ºC. Side 51 av 61

52 Logaritmelikninger og Grafverktøylinja. Eksempel Logaritmelikninger side 235 Legg inn på kommandolinja funksjonsuttrykkene f1(x) = log 10 x og f2(x) = 1.8. log 10 x finner du ved å klikke og k, velge fane 1, taste L og klikke på log(. Skriv inn x. Tast. Vi velger definisjonsområdet mellom 0 og 100. Klikk og velg. Legg inn verdiene for XMin og XMaks i dialogboksen Vindusinnstillinger. Bekreft valgene med. Passende ytterverdier for y får du ved å klikke grafvinduet. og velge. Grafene tegnes på nytt. Nå fyller de Vi bestemmer skjæringspunktet mellom grafene: Klikk og velg. Alternativt kan du høyreklikke i grafvinduet. Velg Nyeste og Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grafen. En pekefinger kommer fram. Klikk og gå til den andre grafen. Pekefingeren kommer fram. Klikk. Skjæringspunktet med koordinatene blir lagt inn i grafvinduet. Likningen log x = 1,8 har løsningen: x = 63,096 I kalkulatorapplikasjonen og kalkulatorverktøylinja. Klikk og velg 1: Løs, skriv inn likningen log 10 x = 1.8 og,x til slutt i parentesen. log 10 x skriver du ved å klikke og k, velge fane 1, taste L, klikke på log(, skrive inn x og taste. log 10 x kommer ikke fram før etter at du har skrevet ferdig likningen og brukt -tasten for å finne svaret. NB! Den raskeste måten å skrive likningen på er å taste log(x =1.8,x. Likningen log x = 1,8 har løsningen: x = 63,1 Side 52 av 61

53 Gjennomsnittlig vekstfart 6: Derivasjon og Grafverktøylinja. Gjennomsnittlig vekstfart Alternativ 1: Klikk. Legg inn på kommandolinja funksjonsuttrykket f1(x) = 1.1x Tast. Vi velger definisjonsområdet mellom 0 og 3. Klikk og velg. Legg inn verdiene som figuren til høyre viser. Tast. Alternativt får du passende ytterverdier for y ved å klikke og velge. Grafen tegnes, og nå fyller den grafvinduet, men x-aksen kommer egentlig ikke med i vinduet. Klikk og velg, og legg inn verdien 10 for YMin. Tast. Nå ser du x-aksen. Kommandolinja nederst i grafvinduet kan du skjule eller vise ved å bruke tastekombinasjonen Ctrl G mens grafvinduet er aktivt. Sett av to punkter P og Q på grafen: Klikk. Velg. Tegn en normal (klikk og velg ) til y-aksen gjennom P og en parallell (klikk og velg ) til y-aksen gjennom Q. Bestem skjæringspunktet S mellom normalen og parallellen: På verktøylinja klikker du på. Velg. Flytt å bort til normalen inntil den blinker, klikk, flytt så å til parallellen og klikk. Tegn linjestykkene PS og SQ: Klikk og velg. Mål lengdene av de to linjestykkene: Klikk og velg. Merk linjestykkene. Bruk -tasten og dobbeltklikk på hvert av de to linjestykkene, og måleresultatet kommer tydelig fram. Symbolet finner du i under i venstre panel eller ved å aktivere i venstre panel, bruke Touchpad-tastaturet, klikke k og taste 4. Side 53 av 61

54 Tegn en tangent i (x p,f1(x p )): Klikk og velg, flytt å bort til punkt P på grafen inntil det blinker, klikk, og tangenten legges inntil grafen. Bruk Esc-tasten. Klikk og velg. Finn stigningstallene til sekanten og tangenten. Bruk Esc-tasten. Endre Δx. Legg merke til at gjennomsnittlig vekstfart nærmer seg momentan vekstfart når Δx avtar mot null. Trekanten PSQ kan du nå markere ved hjelp av trekantverktøyet: Klikk og velg. Trekanten kommer fram etter at du klikker på trekantens hjørner. Fargelegg trekanten: Merk trekanten ved å klikke på ei av sidene. Klikk og velg. Attributter kan du også velge ved å høyreklikke på aktuelt objekt. Du kan nå velge å endre Linjebredde og/eller Linjestil. Flytt markøren å bort til mangekanten, Ei åpen hånd med navnet trekant PQS kommer fram. Høyreklikk, flytt ned til B:Farge og velg 2:Fyllfarge. I dialogboksen Fyllfarge velger du aktuell farge. Skjul det du ikke trenger ved å klikke velge. og deretter Prøv nå å endre Δx ved å flytte P. Legg merke til at trekanten følger med. Tekst legger du inn ved å klikke og deretter. Endre igjen Δx. Legg merke til at gjennomsnittlig vekstfart nærmer seg signingstallet for tangenten når Δx avtar mot null. Alternativ 2: Klikk. Legg inn på kommandolinja funksjonsuttrykket f1(x) = 1.1x Tast. Vi velger definisjonsområdet mellom 0 og 3. Klikk og velg. Legg inn verdiene for XMin og XMaks. Tast. Passende ytterverdier for y får du ved å klikke og velge. Grafen tegnes, og nå fyller den grafvinduet. Du kan også velge verdiene for YMin og YMaks som boksen Vindusparametere viser i Alternativ 1. Side 54 av 61

55 Merk av to punkter på grafen: Klikk. Velg. Skjul koordinatene til punktene: Klikk og velg. Tegn sekanten: Klikk og velg. Klikk på de to punktene. Klikk og velg. Flytt å bort til venstre punkt på grafen inntil det blinker. Klikk, og tangenten legges inntil grafen. Klikk og velg, og finn stigningstallene til sekanten og tangenten. Bruk Esc-tasten. Grip tak i et av punktene, flytt det mot det andre punktet, og legg merke til hvordan gjennomsnittlig vekstfart nærmer seg momentan vekstfart. Tekst legger du inn ved å klikke og deretter. Grip tak i et av punktene, flytt det mot det andre punktet og legg merke til hvordan gjennomsnittlig vekstfart nærmer seg stigningstallet for tangenten t Momentan vekstfart Momentan vekstfart I grafapplikasjonen Klikk. Legg inn på kommandolinja funksjonsuttrykket f1(x) = 1.1x Tast. Vi velger definisjonsområdet mellom 0 og 3. Klikk og velg XMaks. Tast.. Legg inn verdiene for XMin og Passende ytterverdier for y får du ved å klikke velge. og Grafen tegnes, og nå fyller den grafvinduet. Legg punktet P for x = 2 på grafen. Klikk. Velg. Flytt å bort til grafen inntil den blinker. Klikk eller tast, klikk på punktets førstekoordinat og erstatt den med tallet 2. Tast. Punktet med koordinater legges på grafen. Klikk og velg. Flytt å bort til punktet på grafen inntil det blinker. Ved å klikke legges tangenten inntil grafen. Side 55 av 61

56 Momentan vekstfart ved hjelp av stigningstallet Klikk og velg. Flytt å bort til tangenten inntil den blinker. Klikk eller tast, og stigningstallet 4,4 legges i vinduet. Den momentane vekstfarten er 4,4 liter per minutt etter to minutter. Momentan vekstfart ved hjelp av likningen for tangenten Klikk og velg. Flytt å bort til tangenten inntil den blinker. Klikk eller tast, og likningen legges inntil tangenten. Likningen gir tangentens stigningstall 4,4 når x = 2. Den momentane vekstfarten er 4,4 liter per minutt etter to minutter. Momentan vekstfart i kalkulatorapplikasjonen Klikk. Alternativ 1: Klikk og velg 1:Derivert, tast x, skriv inn uttrykket ved å taste 1.1x^2 +10 x=2. -tasten gir svaret 4,4. Den momentane vekstfarten er 4,4 l/min etter to minutter. Alternativ 2: Aktiver i venstre panel, bruk Touchpadtastaturet, klikk k og tast 1N 1.1x^2 +10,X=2. - tasten gir svaret 4,4. Den momentane vekstfarten er 4,4 l/min etter to minutter. Alternativ 3: Aktiver i venstre panel, bruk Touchpad-tastaturet, klikk k og tast 1N 1.1x^2 + 10,X x=2. -tasten gir svaret 4,4. Den momentane vekstfarten er 4,4 l/min etter to minutter. NB! I andre og tredje alternativ ovenfor kommer skjermbildet til høyre fram i kalkulatoren. Nederst i vinduet viser den andre linja rekkefølgen og argumentene du skal legge inn. Symbolet betyr forutsatt eller gitt. Tasten, ofte sammen med, kan du finne på raden for tall, enten en delt eller hel loddrett strek. Side 56 av 61

57 Alternativ 4: Du kan også aktivere under i venstre panelsjablon. Deretter drar du derivasjonsikonet over til kalkulatorapplikasjonen. Fyll ut feltene i dialogboksen Derivert i et punkt. Avslutt ved å klikke på OK-knappen eller tast Derivasjonsregler Eksempel Derivasjon side 260 og kalkulatorverktøylinja. Alternativ 1: Klikk og velg 1:Derivert, tast x, skriv inn funksjonsuttrykket og tast. Uttrykket for den deriverte kommer fram i vinduet. Alternativ 2: Aktiver i venstre panel, bruk Touchpadtastaturet, tast t, velg, skriv inn funksjonsuttrykket og tast. Uttrykket for den deriverte kommer fram i vinduet. Alternativ 3: Du kan også ta fram sjablonen ved å høyreklikke på den tomme plassen i kalkulatorvinduet, velge Matematiske sjabloner og til slutt klikke korrekt sjablon. Alternativ 4: Klikk k, tast 1n, skriv inn funksjonsuttrykket og tast,x. Uttrykket for den deriverte kommer fram i vinduet. Alternativ 5: Aktiver under i venstre panel, klikk og dra sjablonen for derivert over til kalkulatorapplikasjonen, skriv inn funksjonsuttrykket og tast. Uttrykket for den deriverte kommer fram i vinduet. Side 57 av 61

58 Fortegnslinje for den deriverte Eksempel Fortegnslinja for den deriverte side 261 Klikk Legg inn på kommandolinja funksjonsuttrykket f1(x) = x 2 4x+5. Tast. Vi velger definisjonsområdet mellom 1 og 5. Velg YMin= 1 og YMaks=7. Klikk og velg, og legg inn verdiene for XMin, XMaks, YMin og YMaks. Grafen tegnes. Vi skal nå bestemme stigningstallet for tangenten i et punkt på grafen. Først legger vi punktet på grafen. Klikk. Velg. Flytt å bort til grafen. å endres til è. Klikk eller tast. Punktet med koordinater legges på grafen. Klikk nok en gang., men velg nå. Klikk, og tangenten legges inntil grafen. Klikk og velg. Klikk eller tast, og stigningstallet legges inntil tangenten. Ta bort måleikonet øverst til venstre ved å bruke Esc-tasten. Flytt stigningstallet slik at du observerer verdien mens du drar punktet på grafen forbi bunnpunktet. Dersom du drar punktet fra venstre mot høyre, vil stigningstallet skifte fortegn fra til +. Merk deg verdien for stigningstallet når punktet passerer bunnen. I det siste vinduet er tangentlikningen lagt inn. Det kan du gjøre ved å klikke og velge. Flytt å bort til tangenten inntil den blinker/ø peker på den. Dobbelklikk eller tast to ganger, og likningen legges inntil tangenten. Likningen viser også stigningstallet for tangenten. Du bestemmer stigningstallet(den deriverte) for en bestemt x-verdi ved å klikke på førstekoordinaten til tangeringspunktet. Deretter skriver du inn x-verdien og taster. NB! Pass på at du har tatt bort ikonet øverst til venstre i grafvinduet. Fortegnslinja nederst på side 261 stemmer med verdiene vi observerer for stigningstallet i grafvinduet. Side 58 av 61

59 Kontroll av fortegnslinja for f (x) sidene 262 og 263 I kalkulatorapplikasjonen og kalkulatorverktøylinja. Alternativ 1: Klikk og velg 1:Derivert, tast x, skriv inn x^2 4x+5 x={0,2,10}. -tasten gir verdiene for den deriverte når x {0, 2, 10}. Fortegnet for den deriverte skifter fra til + når x passerer 2 fra venstre. Alternativ 2: Aktiver i venstre panel, bruk Touchpad-tasta-turet, klikk t og dobbeltklikk sjablonen for den førstederiverte. Deretter taster du x, skriver inn funksjonsuttrykket som i Alternativ 1 og tast. Uttrykket for den deriverte kommer fram i vinduet. NB! Du kan også ta fram sjablonen ved å høyreklikke på den tomme plassen i kalkulatorvinduet, velge Matematiske sjabloner og til slutt dobbelklikke korrekt sjablon. Fortegnet for den deriverte skifter fra til + når x passerer 2 fra venstre. Alternativ 3: Klikk k, tast 1N x^2 4x+5 x={0,2,10}. -tasten gir verdiene for den deriverte når x {0, 2, 10}. Fortegnet for den deriverte skifter fra til + når x passerer 2 fra venstre. Alternativ 4: Klikk k, tast 1N x^2 4x+5, x={0,2,10}. -tasten gir verdiene for den deriverte når x {0, 2, 10}. Fortegnet for den deriverte skifter fra til + når x passerer 2 fra venstre. I grafapplikasjonen Klikk. Vi legger inn grafen for den deriverte til funksjonen f1. På kommandolinja i grafvinduet legger du inn den deriverte som f2. Etter =-tegnet taster du k 1N og skriver inn f2(x,x. Kalkulatoren tegner grafen for den deriverte i samme vindu som grafen for selve funksjonen. Til slutt legger du inn skjæringspunktet mellom grafen for den deriverte og førsteaksen. Fortegnet for den deriverte skifter fra til +, det vil si under og over x-aksen, når x passerer 2 fra venstre. Side 59 av 61

60 Kalkulatoren TI-Nspire CAS Touchpad Tast c og velg applikasjonen Kalkulator ved for eksempel å klikke på ikonet. Alternativ 1: Tast b41x og skriv inn funksjonsuttrykket x 2 4x+5. Tast /= X=/)0,2,10. gir verdiene for den deriverte når x {0, 2, 10}. Fortegnet for den deriverte skifter fra til + når x passerer 2 fra venstre. Alternativ 2: Tast t og bruk symbolet for den førstederiverte ved først å merke det. Deretter taster du X og skriver inn funksjonsuttrykket x 2 4x+5. Tast /= X=/)0,2,10. gir verdiene for den deriverte når x {0, 2, 10}. Fortegnet for den deriverte skifter fra til + når x passerer 2 fra venstre. Alternativ 3: Tast k1n og skriv inn funksjonsuttrykket x 2 4x+5. Tast,X=/)0,2,10. gir verdiene for den deriverte når x {0, 2, 10}. Fortegnet for den deriverte skifter fra til + når x passerer 2 fra venstre. Alternativ 4: Tast k1n og skriv inn funksjonsuttrykket x 2 4x+5. Tast,X /= X=/)0,2,10. gir verdiene for den deriverte når x {0, 2, 10}. Fortegnet for den deriverte skifter fra til + når x passerer 2 fra venstre. Side 60 av 61

61 I grafapplikasjonen Tast c og velg applikasjonen Grafer ved for eksempel å klikke på ikonet. Vi legger inn grafen for den deriverte til funksjonen f1. På kommandolinja i grafvinduet legger du inn den deriverte som f2. Etter =-tegnet taster du k1n og taster/klikker F1(X,X. Kalkulatoren tegner grafen for den deriverte inn i samme vindu som grafen for selve funksjonen. Til slutt legger du inn skjæringspunktet mellom grafen for den deriverte og førsteaksen. Fortegnet for den deriverte skifter fra til + når x passerer 2 fra venstre Drøfting av funksjoner Eksempel 2 Vi drøfter en tredjegradsfunksjon I eksemplet finner du 1. nullpunktene til funksjonen 2. nullpunktene til den deriverte 3. en funksjonsverdi til hver side for hvert av nullpunktene til funksjonen 4. en verdi for den deriverte til hver side for hvert av nullpunktene til den deriverte De fire punktene ovenfor gir nå grunnlag for å tegne ei skisse for funksjonen. Side 61 av 61