Matematikk S1. det digitale verktøyet. Kristen Nastad. Aschehoug Undervisning

Transkript

1 Matematikk S1 og det digitale verktøyet Kristen Nastad Aschehoug Undervisning

2 Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Operating System Software for CAS-kalkulatoren og Aschehougs lærebok Matematikk S1, studieforberedende utdanningsprogram. Kalkulatoren inneholder applikasjonene (noen funksjoner i parentes) Kalkulator (algebra, funksjonsanalyse, sannsynlighet, statistikk og vektor) Grafer & geometri (graf- og tegneverktøy, geometri og analyseverktøy) Lister & regneark (regresjon, fordeling, test, konfidensintervall og tabell) Notes (tekstredigering) Data & statistikk (plott, diagram, regresjon) I heftet finner du forklaringer på bruk av kalkulatoren TI-nspire CAS i alle eksemplene der tastetrykkene for TEXAS er tatt med i læreboka. Du finner også forklaringer på hvordan du kan bruke kalkulatoren i noen andre eksempler. Side 3 finner du innholdsfortegnelsen med sidehenvisningene til læreboka lengst til venstre. Korte beskrivelser av noen taster finner du på side 4. Forklaringer til hurtigtaster finner du på side 5. Sett deg godt inn i informasjonen som fulgte med kalkulatoren. På nettstedet Atomic Learning finner du animerte opplæringssekvenser på norsk. Se også Digitale verktøy i Lenkesamling på Lokus. Den norske sida til Texas Instruments: gir mye informasjon om kalkulatoren. Lykke til med bruken av heftet! Kristen Nastad Aschehoug Undervisning Side 2 av 33

3 Innhold Tastene på TI-nspire CAS... 4 Hurtigtaster : Algebra Potenser Store og små tall. Standardform Førstegradslikninger Regning med bokstavuttrykk og formler Brøkregning og faktorisering Kvadratsetningene Logaritmer med 10 som grunntall Logaritmesetningene Logaritmelikninger : Likninger og ulikheter Likningssett Andregradslikninger Eksponentiallikninger og logaritmelikninger av andre grad Implikasjon og ekvivalens Ulikheter av første grad Ulikheter av andre grad : Sannsynlighet Ordnet utvalg med og uten tilbakelegging Uordnet utvalg uten tilbakelegging Binomiske sannsynligheter : Funksjoner Polynomfunksjoner Rasjonale funksjoner Regresjon Funksjoner som modeller : Derivasjon Gjennomsnittlig vekstfart Momentan vekstfart Fortegnslinje for den deriverte : Lineær optimering Lineære ulikheter med to ukjente Lineær optimering Aschehoug Undervisning Side 3 av 33

4 Tastene på TI-nspire CAS d fjerner menyer eller dialogbokser fra skjermen c viser startmenyen e flytter til neste innleggingsområde b viser applikasjonseller kontekstmenyen / gir tilgang til funksjoner eller tegn som vises øverst på hver tast g skriver det neste tegnet som stor bokstav w slår på lommeregneren. sletter kommandolinja eller valgt objekt k viser kommandokatalogen behandler et uttrykk, utfører en instruksjon eller velger et menyemne NavPad Markøren flyttes ved å trykke på,, eller x Klikk-knapp. Velger et objekt på skjermen. /+x griper et objekt på skjermen. Du kan også gripe et objekt ved å trykke og holde inne x. Aschehoug Undervisning Side 4 av 33

5 Hurtigtaster Redigere tekst Navigasjon Klipp ut / X Hjem / 7 Kopier / C Slutt / 1 Lim inn / V Side opp / 9 Angre / Z Side ned / 3 Gjør om / Y Opp et nivå i hierarkiet / Sett inn tegn, symboler Ned et nivå i hierarkiet / Visning av tegn, symboler / k Navigere i dokumenter Ikke lik / = Vis forrige side / Senket strek / _ Vis neste side / / > Vis sidesortering / / < Veivisere og sjabloner Semikolon / : Legge til en kolonne i en matrise Matematisk sjablonpalett / r Legge til en rad i en / j Sjablon for integrasjon g + $ / " Sjablon for den deriverte g - Symbol for grader / ' Endre displayet Dokumentstyring Øke kontrast / + Opprette nytt dokument / N Redusere kontrast / - Sette inn ny side / I Slå av / w Velg applikasjon Lagre aktuelt dokument / K / S Aschehoug Undervisning Side 5 av 33

6 1: Algebra 9 16 Potenser Eksempel 3 Tast 5l3. Eksempel 5 Du kan slette loggen (beregninger som allerede fyller lommeregnervinduet): Tast b15. Det andre uttrykket: Tast b222l3er2l4 br3l4ep(2l3er3l3. Eksempel 9 Du kan slette loggen (beregninger som allerede fyller lommeregnervinduet): Tast b15. Tast b22(2l3 l4 r2l5 p2l6. Eksempel 11 Du kan slette loggen (beregninger som allerede fyller lommeregnervinduet): Tast b15. I det tredje eksemplet taster du b22(4l3 lv2. NB! Grunntallet i potensen blir redusert mest mulig. 4 = Store og små tall. Standardform Eksempel 3 I vinduet kan du skifte tallformatet: Tast /c16ee. Nå har du valgt tallformatet Vitenskapelig (Standardform). Eksempel 2 Tast ^ bakerst i minst et av tallene når beregninger skal utføres på bare hele tall. Aschehoug Undervisning Side 6 av 33

7 20 24 Førstegradslikninger Eksempel 1 I lommeregnervinduet skriver du inn likningen og trykker på. Du vil kanskje flytte 6 over på høyre side og x over på venstre side. Dette kan du gjøre ved å trykke -6+X. Til slutt forkorter du med 4 på begge sider ved p4. Selve svaret får du direkte ved: Trykk b. Velg 3:Algebra og 1:Løs. Skriv inn likningen. Trykk,X. Eksempel 6 I lommeregnervinduet skriver du inn likningen og trykk. Trykk r3. Trykk pv2. Trykk +4, og du får svaret. Selve svaret får du direkte ved å trykke b, velge 3:Algebra og 1:Løs, skrive inn likningen og,x til slutt i parentesen. gir svaret Regning med bokstavuttrykk og formler Eksempel 2 og 5 I lommeregnervinduet bruker du i det første uttrykket expandfunksjonen. Trykk b. Velg 3:Algebra og 3:Utvid. Skriv inn uttrykket. Trykk. Skriv inn det andre uttrykket og trykk *A=v3k1A B=4. Symbolet betyr forutsatt eller gitt. Tasten finner du nede til høyre for /. Eksempel 6 Skriv inn formelen for volumet og trykk *R=40 /_CMk1A H=1^2/_M. Svaret får du i m 3. Se side 9 i heftet for Matematikk 1P. Eksempel 7 og 8 Trykk b. Velg 3:Algebra og 1:Løs. Skriv inn likningen. Trykk,H V=0^01k1A R=0^15. Høyden er 0,42 m = 42 cm. Snu formelen: Trykk b. Velg 3:Algebra og 1:Løs. Skriv inn likningen. Trykk,H. Aschehoug Undervisning Side 7 av 33

8 31 37 Brøkregning og faktorisering Eksempel 2 Uttrykket og. Alternativ: b, 2:Tall, 6:Brøkverktøy, 4:Fellesnevner, uttrykket og. Eksempel 5 (3/4)/(2/5) og. Eksempel 7 b, 2:Tall, 6:Brøkverktøy, 4:Fellesnevner, uttrykket og. Eksempel 9.2 b, 3:Algebra, 2:Faktor, uttrykket og. Eksempel 10.2 Eksempel 10.2: b, 3:Algebra, 2:Faktor, uttrykket og. Eksempel 11.1 Uttrykket og. (NB! Parentes om nevneren og multiplikasjonstegn mellom a og b i nevneren) Eksempel 11.4 Uttrykket og. Eksempel 12 Uttrykket og. (NB! Parentes om hver av nevnerne og telleren i den siste brøken) Eksempel 13 Uttrykket og. (NB! Parentes om hver av brøkene og hver av tellerne i småbrøkene.) Kvadratsetningene Eksempel 1.3 b, 3:Algebra, 3:Utvid, uttrykket og. Eksempel 2.1 b, 3:Algebra, 3:Utvid, uttrykket og. Aschehoug Undervisning Side 8 av 33

9 Eksempel 3.2 b, 3:Algebra, 3:Utvid, uttrykket og. Eksempel 3.4 b, 3:Algebra, 3:Utvid, uttrykket og. Eksempel 5 b, 3: Algebra, 2: Faktor, uttrykket og. Eksempel 6 b, 3: Algebra, 2: Faktor, uttrykket og. Eksempel 8 b, 3: Algebra, 2: Faktor, uttrykket og. Eksempel 10 Uttrykket og. Eksempel 12 Uttrykket og Logaritmer med 10 som grunntall Eksempel 1 og 2 NB! Kalkulatoren bruker automatisk 10-logaritmer dersom du ikke skriver inn hvilke logaritmer du bruker finner du ved å taste sv3. Tilnærmet løsning får du ved å taste /. Logaritmen til 4 finner du ved å taste /se4. Tilnærmet løsning kommer fram ved å taste /. Eksempel 3, 4 og 5 Tast b31, skriv inn likningen og tast,x til slutt inne i parentesen i eksempel 3. I eksempel 4 taster du til slutt,y. Når du flytter markøren mot høyre, inne i et uttrykk, kan det være lønnsomt å bruke e-tasten. Avslutt med. Tilnærmet løsning kommer fram ved å taste /. Aschehoug Undervisning Side 9 av 33

10 46 53 Logaritmesetningene Eksempel 2 og 3 Tast b31, skriv inn likningen og tast,x til slutt inne i den ytterste parentesen. Avslutt med. Eksempel 6 Skriv inn uttrykket. Når du flytter markøren mot høyre, inne i et uttrykk, kan det være lønnsomt å bruke e-tasten. Forutsetningen a>0 taster du ved *A>0. Avslutt med Logaritmelikninger Eksempel 2 Tast b31, skriv inn likningen og tast,x til slutt inne i parentesen. Avslutt med. Kalkulatoren bruker automatisk 10-logaritmer dersom du ikke skriver inn hvilke logaritmer du ser på. Du kan kontrollere svaret ved å sette prøve eller bruke grafer for å kontrollere at du ikke har mistet noen løsninger. På kommandolinja legger du inn f1(x) = log 10 (x 2 ) og f2(x)=3. Velg XMin: 50 og XMaks: 50. Tast b63, og du får opp koordinatene til skjæringspunktene ved å klikke på de to grafene i vinduet. Eksempel 4 Tast b31, skriv inn likningen og tast,e til slutt inne i parentesen. Avslutt med. Aschehoug Undervisning Side 10 av 33

11 61 67 Likningssett Eksempel 1 I grafapplikasjonen 2: Likninger og ulikheter Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62.dersom du ikke får noen beskjed. På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykkene f1(x) = x 5 og f2(x) = 2x+1. Husk v framfor 2x. Vi skal nå bestemme skjæringspunktet. Trykk b. Velg 6:Punkter & linjer og 3:Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grafen inntil den blinker. Trykk x eller. Flytt så pila til den andre grafen, trykk x eller, og skjæringspunktet med koordinater blir lagt inn i grafvinduet. Likningssettet har løsningen x = 2 og y = 3. I kalkulatorapplikasjonen Trykk b, velg 3:Algebra og 1:Løs, trykk k og 5, velg sjablonen system av to likninger, skriv inn likningene og,x,y til slutt i parentesen. Husk v framfor 2x. gir svaret. NB! Sjablon-paletten åpner du direkte ved å trykke /r. Likningssettet har løsningen x = 2 og y = Andregradslikninger Eksempel side 69 I grafapplikasjonen Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62.dersom du ikke får noen beskjed. På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykket f1(x) = 4x 2 7x 2. Trykk. Grafen tegnes på grunnlag av standard ytterverdier for x og y. Deretter trykker du e så mange ganger at pila kommer fram i grafvinduet. Aschehoug Undervisning Side 11 av 33

12 Alternativ 1: Vi kan velge aktuelt grafområde på denne måten: Trykk $(/b), velg 4:Zoom og 2:Zoom Boks. 1. hjørne velger du ved å flytte pila/forstørrelsesglasset litt opp til venstre for venstre nullpunkt. Trykk. 2. hjørne velger du ved å flytte forstørrelsesglasset ned til høyre slik at du får med bunnpunktet og høyre nullpunkt. Trykk d. Du kan nå merke et punkt på grafen ved først å trykke b. Så velger du 6:Punkter & linjer og 2:Punkt på. Flytt pila bort til grafen der du vil at punktet skal være. En blyant peker på grafen. Bekreft valget med. Bruk d, og ikonet for Punkt på øverst til venstre i grafvinduet forsvinner. Grip tak i punktet og hold x nede inntil sammenknepet tommel og pekefinger dukker opp. Flytt punktet til nullpunktet du ønsker å finne. En liten ramme med z (zero) kommer fram. Punktet med koordinater plasseres etter at du trykker. Det andre nullpunktet finner du på samme måte. Alternativ 2: Du kan nå merke nullpunktene ved først å trykke b. Så velger du 6:Punkter & linjer og 3:Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til grafen. En pekefinger kommer fram. Bekreft valget med. Gå til x-aksen og pekefingeren kommer fram. Bekreft valget med. De to nullpunktene merkes. Trykk b. Velg 1:Handlinger og 7:Koord. og lgn. Flytt pila bort til venstre nullpunkt, og en pekefinger peker på punktet. Dobbelklikk med. Du finner koordinatene til det andre tallparet på tilsvarende måte. Trykk d, og ikonet for Skjæringspunkt(er) øverst til venstre i grafvinduet forsvinner. Grip tak i hvert av tallparene. Flytt dem slik at du ser koordinatene. Nullpunktene til funksjonen er -0,25 og 2. I kalkulatorapplikasjonen Trykk b, velg 3:Algebra og 1:Løs. Skriv inn likningen 4x 2 7x 2=0 og,x til slutt i parentesen. gir svaret. Likningen har løsningen x = 0,25 eller x = 2. Aschehoug Undervisning Side 12 av 33

13 Eksempel 10 og 11 I grafapplikasjonen Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62.dersom du ikke får noen beskjed. Legg inn på kommandolinja funksjonsuttrykkene f1(x) = x 2 +5 og f2(x) = 2x + 2. Husk v framfor x 2 og 2x. Trykk. Vi skal nå bestemme skjæringspunktet. Trykk b. Velg 6:Punkter & linjer og 3:Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grafen inntil den blinker. Trykk x eller. Flytt så pila til den andre grafen, trykk x eller, og skjæringspunktene med koordinater blir lagt inn i grafvinduet. Likningssettet har løsningene x = 1 og y = 4 eller x = 3 og y = 4. I kalkulatorapplikasjonen Trykk b, velg 3:Algebra og 1:Løs, trykk k og 5, velg sjablonen system av to likninger, skriv inn likningene og,x til slutt i parentesen. gir svaret. NB! Sjablonpaletten åpner du direkte ved å trykke /r. Likningssettet har løsningene x = 1 og y = 4 eller x = 3 og y = Eksponentiallikninger og logaritmelikninger av andre grad Eksempel 2 Tast b31, skriv inn likningen og tast,x til slutt inne i parentesen. Avslutt med /. Eksempel 1, 3 og 4 Tast b31, skriv inn hver av likningene og tast,x til slutt i den store parentesen. Avslutt med. Aschehoug Undervisning Side 13 av 33

14 80 87 Implikasjon og ekvivalens S1 og TI-nspire CAS Eksempler side 81, 84 og 85 Tast b31, skriv inn likningen og tast,x til slutt inne i parentesen. Avslutt med. Advarselen nederst i kalkulatorvinduet får du fram - med hele teksten - ved å merke svaret og deretter taste /b Ulikheter av første grad I grafapplikasjonen Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62.dersom du ikke får noen beskjed. Alternativ 1: På kommandolinja legger du inn ulikhetene y<80x 5600 og y>7000. Trykk. når markøren står til høyre for f1(x)=. Trykk >, skriv inn 7000 og trykk. Trykk.<, skriv inn 80x 5600 og trykk. Ingen graf eller markering kommer fram i vinduet. Vi lar definisjonsområdet være mellom 0 og 200. Trykk b, velg 4:Vindu, 1:Akser innstillings dialog, og legg inn verdiene for XMin og XMaks som dialogboksen Vindusparametere viser. Bekreft valgene med. Noe av grafen til den ene ulikheten kommer fram i lommeregnervinduet.. Passende ytterverdier for y får du ved først å trykke b. Så velger du 4:Vindu og A:Zoom Tilpasning. Hver av ulikhetene blir skyggelagt, og nå fyller de grafvinduet. En mørkere skyggetone markerer området der begge ulikheten gjelder. Vi skal nå bestemme skjæringspunktet mellom grenselinjene til de to skyggelagte områdene. Trykk b. Velg 6:Punkter & linjer og 3:Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grenselinja inntil den blinker. Trykk x eller. Flytt så pila til den andre grenselinja, trykk x eller, og skjæringspunktet med koordinater blir lagt inn i grafvinduet. Ulikheten stemmer i det mørkere området. Ulikheten har løsningen x > 157,5. Aschehoug Undervisning Side 14 av 33

15 Alternativ 2: På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykket f1(x) = 80x 5600 og f2(x) = Trykk. Ingen graf kommer fram i vinduet. Vi lar definisjonsområdet være mellom 0 og 200. Trykk b, velg 4:Vindu, 1:Akser innstillings dialog, og legg inn verdiene for XMin og XMaks som dialogboksen Vindusparametere viser. Bekreft valgene med. Noe av grafen til den ene funksjonen kommer fram i lommeregnervinduet.. Passende ytterverdier for y får du ved først å klikke b. Så velger du 4:Vindu og A:Zoom Tilpasning. Grafene tegnes på nytt, og nå fyller de grafvinduet. Vi skal nå bestemme skjæringspunktet. Trykk b. Velg 6:Punkter & linjer og 3:Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grafen inntil den blinker. Trykk x eller. Flytt så pila til den andre grafen, trykk x eller, og skjæringspunktet med koordinater blir lagt inn i grafvinduet. Ulikheten stemmer når grafen til f1(x) ligger over grafen til f2(x). Ulikheten har løsningen x > 157,5. I kalkulatorapplikasjonen Trykk b, velg 4:Algebra og 1:Løs. Skriv inn ulikheten 80x 5600>7000 og,x til slutt i parentesen. gir svaret. Svaret får du på desimalform ved å trykke /. Ulikheten har løsningen x > 157,5. Eksempel 5 Tast b31. Skriv inn ulikheten. Ulikhetstegnet for større eller lik taster du ved hjelp av >=. Tast,X til slutt i den store parentesen. Avslutt med. Aschehoug Undervisning Side 15 av 33

16 92 95 Ulikheter av andre grad I grafapplikasjonen Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62.dersom du ikke får noen beskjed. Alternativ 1: På kommandolinja legger du inn ulikhetene y< 0,8x x 3280 og y>2000. Trykk. når markøren står til høyre for f1(x)=. Trykk >, skriv inn 2000 og trykk. Trykk.<, skriv inn 0,8x x 3280 og trykk. Husk v framfor 0.8x 2. Ingen graf eller markering kommer fram i vinduet. Vi lar definisjonsområdet være mellom 0 og 200. Trykk b, velg 4:Vindu, 1:Akser innstillings dialog, og legg inn verdiene for XMin og XMaks som dialogboksen Vindusparametere viser. Bekreft valgene med. Noe av grafen til den ene ulikheten kommer fram i lommeregnervinduet. Passende ytterverdier for y får du ved først å trykke b. Så velger du 4:Vindu og A:Zoom Tilpasning. Hver av ulikhetene blir skyggelagt, og nå fyller de grafvinduet. En mørkere skyggetone markerer området der begge ulikheten gjelder. Vi skal nå bestemme skjæringspunktet mellom grenselinjene til de to skyggelagte områdene. Trykk b. Velg 6:Punkter & linjer og 3:Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grenselinja inntil den blinker. Trykk x eller. Flytt så pila til den andre grenselinja, trykk x eller, og skjæringspunktet med koordinater legges inn i grafvinduet. Ulikheten stemmer i det mørkere området. Ulikheten har løsningen x > 60 og x <110; altså: L = < 60,110 >. Alternativ 2: På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykket f1(x) = 0,8x x 3280 og f2(x) = Husk v framfor 0.8x 2. Trykk. Ingen graf kommer fram i vinduet. Vi lar definisjonsområdet være mellom 0 og 200. Trykk b, velg 4:Vindu, 1:Akser innstillings dialog, og legg inn verdiene for XMin og XMaks som dialogboksen Vindusparametere viser. Bekreft valgene med. Aschehoug Undervisning Side 16 av 33

17 Noe av grafen til den ene funksjonen kommer fram i lommeregnervinduet.. Passende ytterverdier for y får du ved først å trykke b. Så velger du 4:Vindu og A:Zoom Tilpasning. Grafene tegnes på nytt, og nå fyller de grafvinduet. Vi skal nå bestemme skjæringspunktene. Trykk b. Velg 6:Punkter & linjer og 3:Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grafen inntil den blinker. Trykk x eller. Flytt så pila til den andre grafen, trykk x eller, og skjæringspunktene med koordinater blir lagt inn i grafvinduet. Ulikheten stemmer når grafen til f1(x) ligger over grafen til f2(x). Ulikheten har løsningen x > 60 og x <110; altså: L = < 60,110 >. I kalkulatorapplikasjonen Trykk b, velg 3:Algebra og 1:Løs. Skriv inn ulikheten 0.8x x 3280>2000, og,x til slutt i parentesen. Husk v framfor 0.8x 2. gir svaret. Ulikheten har løsningen 60 < x < 110; altså: L = < 60,110 >. Eksempel 2 Tast b31. Skriv inn ulikheten. Ulikhetstegnet for mindre eller lik taster du ved hjelp av <=. Tast,X til slutt i parentesen. Avslutt med. Aschehoug Undervisning Side 17 av 33

18 3: Sannsynlighet Ordnet utvalg med og uten tilbakelegging Eksempel 1 Tast 3l12. Eksempel 3 Tast b526,4. Alternativ: Tast k1n. Trykk 13 ganger på -tasten. I dialogboksen ser du hva som skal settes inn i parentesen. Tast 6,4. Eksempel 4 Trykk 4b Uordnet utvalg uten tilbakelegging Eksempel 3 Tast b5325,4. Alternativ: Tast k1n. I dialogboksen ser du hva som skal settes inn i parentesen. Tast 25,4. Aschehoug Undervisning Side 18 av 33

19 Binomiske sannsynligheter Eksempel 3 side 126 og side 129 Tast b55d10e1p3e4e. Alternativ: Du kan få hjelp til å taste inn de forskjellige tallene i riktig rekkefølge ved å bruke veiviseren. Tast k1b. Dersom det ikke er merket av for Bruk veiviser i dialogboksen, taster du ee eee eee. Når binompdf( har svart bakgrunn, og det grå området er som på figuren til høyre, taster du 10e1p3e4e. Dersom det er merket av for Bruk veiviser i dialogboksen, bruker du tastene e og inntil binompdf( har svart bakgrunn og det grå området er som på den andre figuren til høyre. Deretter taster du og får da fram den andre dialogboksen til høyre. Resultatet øverst i eksemplet kommer fram ved å taste 10e1p3e4e. Sannsynligheten for at Eldrid får høyst 4 riktige svar: Tast b55e. Du får nå fram dialogboksen til høyre. Videre taster du 10e1p3ee4e. Kalkulatoren gir nå svaret: = 78,7 % Aschehoug Undervisning Side 19 av 33

20 Polynomfunksjoner 4: Funksjoner Finne nullpunkter Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62.dersom du ikke får noen beskjed. Skriv inn funksjonsuttrykket 0,5x 3 2x Ytterverdiene for x er 2 og 5. Passende ytterverdier for y får du ved først å trykke b. Så velger du 4:Vindu og A:Zoom Tilpasning. Grafen tegnes på nytt, og nå fyller den grafvinduet. Du merker et punkt på grafen ved først å trykke b. Så velger du 6: Punkter & linjer og 2: Punkt på. Flytt pila bort til grafen der du vil at punktet skal være. En blyant peker på grafen. Bekreft valget med. Trykk d, og ikonet for Punkt på øverst til venstre i grafvinduet forsvinner. Grip tak i punktet og hold x nede inntil sammenknepet tommel og pekefinger dukker opp. Flytt punktet til nullpunktet du ønsker å finne. En liten ramme med z (zero) kommer fram. Punktet med koordinater plasseres etter at du trykker. De to andre nullpunktene finner du på samme måte som ovenfor. Nullpunktene kan du også finne ved å bestemme skjæringspunktene mellom grafen og x-aksen. Du markerer skjæringspunktene ved først å taste b63. Flytt pila bort til grafen inntil den blinker. Trykk x eller. Flytt så pila til x-aksen, trykk x eller, og skjæringspunktene merkes. Koordinatene finner du ved først å taste b17. Flytt pila bort til et av punktene og dobbelklikk. Koordinatene kommer nå fram ved punktet. Nullpunktene til funksjonen er 0,90, 1,19 og 3,71. Finne topp- og bunnpunkter Fortsett med grafen til funksjonen ovenfor. Du merker et punkt på grafen ved først å trykke b. Så velger du 6:Punkter & linjer og 2:Punkt på. Flytt pila bort til grafen der du vil at punktet skal være. En blyant peker på grafen. Bekreft valget med. Trykk d, og ikonet for Punkt på øverst til venstre i grafvinduet forsvinner. Grip tak i punktet og hold x nede inntil sammenknepet tommel og pekefinger dukker opp. Flytt punktet til toppunktet du ønsker å finne. En liten ramme med M (Maksimum) kommer fram. Punktet med koordinater plasseres etter at du trykker. Aschehoug Undervisning Side 20 av 33

21 Bunnpunktet finner du på samme måte som for toppunktet. I dette tilfellet kommer det fram en liten ramme med m (minimum). Grafen til funksjonen har toppunktet (0, 2) og bunnpunktet (2,67, 2,74 ). Eksempel 1 Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62.dersom du ikke får noen beskjed. På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykket f1(x) = x 2 +10x. Trykk, og grafen til f1(x) kommer fram i vinduet. Trykk b. Velg 4:Vindu og 1:Akser innstillings dialog, XMin = 0 og XMax = 10. Bekreft valgene med. Trykk b. Velg 4:Vindu og A:Zoom Tilpasning. Grafen tegnes på nytt, og den fyller grafvinduet. Nå skal du merke et punkt på grafen. Trykk b. Velg 6:Punkter & linjer og 2:Punkt på. Flytt pila bort til grafen der du vil at punktet skal være. En blyant peker på grafen. Bekreft valget med. Trykk d, og ikonet for Punkt på øverst til venstre i grafvinduet forsvinner. Grip tak i punktet og hold x nede inntil sammenknepet tommel og pekefinger dukker opp. Flytt punktet mot toppen av grafen. En liten ramme med M (Maksimum) kommer fram. Punktet med koordinater plasseres etter at du trykker på. Grafen til funksjonen har toppunktet (5, 25). Det største arealet er 25 m 2. Alle sidene er da 5 m lange. Rektanglet er derfor et kvadrat Rasjonale funksjoner Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62.dersom du ikke får noen beskjed. På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykket f1(x) = (3x+3)/(2x 4). Trykk, og grafen til f1(x) kommer fram i vinduet. Pass på at XMin = 20, XMax = 20, YMin = 10 og YMax = 10. Disse ytterverdiene bør komme automatisk opp i grafvinduet. Tast b29. Funksjonstabellen legges ved siden av grafen, og ytterverdiene på x-aksen justeres. La funksjonstabellen være aktiv. Du forandrer tabelloppsettet ved først å hente dialogboksen Funksjonstabell. Tast b53. Sett Tabellstart lik 0 og Tabelltrinn lik Bekreft valgene med. Aschehoug Undervisning Side 21 av 33

22 Flytt markøren til den første cella i x-kolonna. Flytt cellemarkøren nedover i tabellen, og du ser at f1(x) nærmer seg 1,5 når x blir større. Hva skjer når x er negativ og blir stadig mindre? Bruk samme metode som ovenfor, men nå legger du inn 3000 i feltet Tabelltrinn. Det er tydelig at f1(x) nærmer seg 1,5 når x blir mindre. Dette viser at f1(x) nærmer seg 1,5 når x går mot eller når x går mot. Tabellen tar du bort ved å taste!(/d) noen ganger. Hva skjer med funksjonsverdien når x kommer stadig nærmere 2? Sett inn i dokumentet en regnearkside. Tast c3når du står i grafvinduet. Pass på at det står RAD TILNRM REELL øverst i regnearkvinduet. Du kan endre dokumentinnstillinger ved først å taste #(/c). Velg deretter 1:Fil og 6:Dokumentinnstillinger. Bruk,, eller når du flytter fram og tilbake i dialogboksen Dokumentinnstillinger. Bekreft valgene med. Skriv først inn tallene 1, 2 og 3 i kolonne A som den første figuren til høyre viser. Stå i celle A3, hold nede g og trykk. Du skal nå sette inn tallene 4, 5 og 6 i de tre første cellene nedenfor A3. Trykk b. Velg 3:Data og 3:Fyll ned. Trykk. I kolonne A er nå de første seks cellene fylt opp med tallene 1 til 6. Gå til celle B1 og skriv inn =2+1/10 A1 for x-verdier større enn, men nær 2. I celle C1 skriver du inn =(3B1+3)/(2B1-4). Merk cellene B1 og C1 ved å holde nede g når du står i B1, og trykk så. Trykk b, velg 3:Data og 3:Fyll ned, trykk og så. Kolonnebredden til kolonne B utvider du på denne måten: Gå til celle B1, trykk b, velg 1:Handlinger og 2:Skaler, og trykk så mange ganger at du ser tallene i hver av cellene. Avslutt med. Utvid også kolonnebredden for kolonne C. Vi skal nå lage en tabell for x-verdier mindre enn, men nær 2. Da går du til celle B1, trykker, bruker og, trykker., erstatter + med og trykker. Den nye formelen kopierer du nedover i kolonne B på samme måte som foran i eksemplet. Den første av de to tabellene til høyre tyder på at f1(x) går mot når x er større enn 2, men nærmer seg 2. Den andre tabellen tyder på at f1(x) går mot når x er mindre enn 2, men går mot 2. Aschehoug Undervisning Side 22 av 33

23 Skyvekontroll Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62.dersom du ikke får noen beskjed. Skriv inn funksjonsuttrykket ved å taste (ArX+B)p(CrX+D). En Skyvekontroll legger du inn ved å taste b1a. Flytt markøren bort til skyvekontrollen og tast /b ($) 1. I dialogboksen legger du inn verdier og/eller tekst. Bruk e-tasten når du flytter ned til neste felt. Legg merke til at du kan forstørre eller forminske skyvekontrollen. Legg merke til at asymptotene er gitt ved y = a/c og x = -d/c Regresjon Lineær regresjon for alder og høyde Sunniva har målt høyden sin hver fødselsdag siden hun var 4 år. På deler av tabellen er det sølt noen dråper kaffe, og noen tall har blitt uleselig. Kanskje kan vi rekonstruere tallene ved å lage en lineær modell for Sunnivas høyde. Alder(år) Høyde(cm) 99,0 104, , ,5 Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62.dersom du ikke får noen beskjed. Legg inn en ny side: Trykk #(/c) 45. I regnearket setter du inn de fire aktuelle tallparene fra tabellen øverst på side 68. Flytt markøren til den lyse cella øverst i hver av tallkolonnene og skriv inn listenavnene år og cm. Bokstaven å taster du inn ved å trykke A;;. Avslutt innskrivingen i hver av cellene ved å taste. Flytt over til grafvinduet: Tast (/ ) b34 e. Du har nå lagt inn år for x og cm for y. Aschehoug Undervisning Side 23 av 33

24 Flytt over til koordinatsystemet ved å taste eeee. Tast b49. Fire punkter legges inn i koordinatsystemet. Punktet nederst til venstre kommer fram ved å skjule kommandolinja: Tast /G eller b26. Kommandolinja kommer fram igjen med de samme tastetrykkene. Grafen gjennom punktene får du ved først å gå til regnearket. Tast (/ ) b413 e. I regnearket kommer det fram en oversikt over beregningene. Flytt over til grafvinduet ved tastetrykket (/ ). Grafen kommer fram ved å taste b31. Kommandolinja skjuler du ved å taste /G eller b26. Nå ser du både punktene og grafen. Regresjonslinja er gitt ved: y = 5,52x + 76,7 Høydene for 6 og 8 år kan du finne ved først å flytte markøren bort til grafen slik at den blinker. Tast b516 og 8. Andrekoordinatene til to tallparene som kommer fram gir høyden 109,8 cm etter 6 år og høyden 120,9 cm etter 8 år. Korrelasjon for alder og makspuls Åtte fjellvandrere kjenner sin maksimalpuls. De setter opp alder og makspuls i en tabell: Alder x (år) Makspuls y De vil finne ut om det er en sammenheng mellom alder og makspuls. Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62.dersom du ikke får noen beskjed. Legg inn en ny side: Trykk #(/c) 45. I regnearket setter du inn de åtte aktuelle tallparene fra tabellen. Flytt markøren til den lyse cella øverst i hver av tallkolonnene og skriv inn listenavnene år og puls. Bokstaven å taster du inn ved å trykke A;;. Avslutt innskrivingen i hver av cellene ved å taste. Aschehoug Undervisning Side 24 av 33

25 Statistikkdata for regresjonslinja får du ved å taste (/ ) b413 e. I regnearket kommer det fram en oversikt. Korrelasjonskoeffisienten r = 0,95. Flytt over til grafvinduet: Tast (/ ). Bruk eksemplet Lineær regresjon for alder og høyde ovenfor, og sett inn punktene og regresjonslinja i koordinatsystemet. Ikke-ineær regresjon Tast c6e 3 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c63.dersom du ikke får noen beskjed. I regnearket finner du de forskjellige regresjonsalternativene. Tast b41. Lineær funksjon: Andregradsfunksjon: Tredjegradsfunksjon: Fjerdegradsfunksjon: Potensfunksjon: Eksponentialfunksjon: 3: Lineær regresjon (mx +b) 6: Kvadratisk regresjon 7: Kubisk regresjon 8: Fjerdegrads regresjon 9: Potensregresjon A:Eksponensiell regresjon Eksempel 3 Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62.dersom du ikke får noen beskjed. Legg inn en ny side: Trykk #(/c) 45. I regnearket setter du inn de to tallparene. Flytt markøren til den lyse cella øverst i hver av tallkolonnene og skriv inn listenavnene år og kr. Avslutt innskrivingen i hver av cellene ved å taste. Regresjonsfunksjonen får du ved å taste b41a e. Flytt over til grafvinduet: Tast (/ ) b34 e. Du har nå lagt inn år for x og kr for y. Flytt over til koordinatsystemet ved å taste eeee. Tast b49. De to punktene legges inn i koordinatsystemet. Punktet nederst til høyre kommer fram ved å skjule kommandolinja: Tast /G eller b26. Grafen for eksponentialfunksjonen får du fram ved å taste b31`. I kalkulatorapplikasjonen får du det årlige verditapet ved å beregne 100( ). Resultatet gir: Et årlig verditap på 23,2 % Aschehoug Undervisning Side 25 av 33

26 Funksjoner som modeller Eksempel 2 Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62.dersom du ikke får noen beskjed. Vi ser på overskuddet side 175. Legg inn funksjonsuttrykket for overskuddet. Deretter taster du b410e180 b4a. Grafen for funksjonen blir lagt inn i koordinatsystemet. Verdiene på aksenes endepunkter legger du inn ved å taste b28. Grafens toppunkt finner du ved først å legge inn et punkt på grafen: Tast b62. Flytt markøren bort til grafen slik at den begynner å blinke. Tast eller klikk a. Deretter trykker du på d-tasten. Grip tak i punktet og flytt det mot toppunktet inntil ei ramme med stor M kommer fram ved punktet. Tast eller klikk a, og koordinatene for toppunktet legges inn. Aschehoug Undervisning Side 26 av 33

27 Gjennomsnittlig vekstfart 5: Derivasjon Alternativ 1: Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62.dersom du ikke får noen beskjed. Legg inn på kommandolinja funksjonsuttrykket f1(x) = 1.1x Tast. Vi velger definisjonsområdet mellom 0 og 5: Tast b, velg 4:Vindu, 1:Akser innstillings dialog, og legg inn verdiene for XMin og XMaks. Trykk. Passende ytterverdier for y får du ved først å trykke b. Så velger du 4:Vindu og A:Zoom Tilpasning. Grafen tegnes, og nå fyller den grafvinduet, men x-aksen kommer egentlig ikke med i vinduet. Tast b. Velg 4:Vindu og 1:Akser innstillings dialog, og legg inn verdien -1 for YMin. Tast.. Nå ser du x-aksen. Ta bort kommandolinja: Tast b. Velg 2:Vis og 3:Skjul kommandolinje. Tegn et linjestykke under x-aksen: b, 6:Punkt & linjer og 5:Linjestykke. Sett et punkt på linjestykket: b, 6:Punkt & linjer og 2:Punkt på. Mål lengden fra venstre endepunkt til det bevegelige punktet: b, 7:Måling og 1:Lengde. Klikk på de to punktene på linjestykket, og deretter på måleresultatet, som dermed kommer tydelig fram. Sett av et punkt P på x-aksen (ikke på noen av aksemerkene): b, 6:Punkt & linjer og 2:Punkt på. Bruk passeren til å sette lengden/verdien for Δx fra punktet P på x-aksen: b, 9:Konstruksjon og 7:Passer. Flytt markøren til måltallet i Δx-boksen og klikk på den én gang med pekefingersymbolet. Bruk pilspissene,, og etter behov. Det dukker opp en stiplet sirkel. Flytt den til punktet P på x- aksen og klikk når punktet blinker. Sirkelen vil nå justeres etter måleenhetene på koordinataksene, og får dermed en ellipseform. Merk skjæringspunktene mellom sirkelen og x-aksen: Trykk b. Velg 6:Punkter & linjer og 3:Skjæringspunkt(er). Klikk på sirkelen og x-aksen. Tegn en normal (b, 9:Konstruksjon og 1:Vinkelrett) til x-aksen gjennom P og en normal gjennom skjæringspunktet mellom sirkelen og x-aksen til høyre for P. Merk skjæringspunktene mellom normalene og f1(x). Tegn en normal på y-aksen gjennom (x p,f1(x p )). Merk skjæringspunktet mellom denne normalen og den vertikale linjen til høyre for dette punktet. Du finner nå en trekant som du skal markere ved hjelp av trekantverktøyet: b, 8:Former og 2:Trekant. Trekanten kommer fram etter at du klikker på trekantens hjørner. Skraver trekanten: b, 1:Handlinger og 4:Attributter. Flytt pila bort til trekanten, klikk og velg en fyllfarge fra ikonsøyla som dukker opp. Skjul det du ikke trenger ved hjelp av b, 1:Handlinger og 3:Skjul/Vis (eller merk objektet slik at det blinker, tast /b og velg 3:Skjul/Vis). Aschehoug Undervisning Side 27 av 33

28 Prøv nå å endre Δx. Flytt litt på P. Legg merke til at trekanten følger med. Legg inn ei linje (b, 6:Punkter & linjer og 4:Linje) som går gjennom endepunktene på hypotenusen. Tegn en tangent i (x p,f1(x p )): Trykk b, velg 6:Punkter & linjer og 7:Tangent, flytt pila bort til venstre punkt på grafen inntil det blinker, trykk x eller, og tangenten legges inntil grafen. Trykk b, velg 7:Måling og 3:Stigningstall og finn stigningstallene til sekanten og tangenten. Trykk d. Endre igjen Δx. Legg merke til at gjennomsnittlig vekstfart nærmer seg momentan vekstfart når Δx avtar mot null. Alternativ 2: Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62.dersom du ikke får noen beskjed. Legg inn på kommandolinja funksjonsuttrykket f1(x) = 1.1x Trykk. Vi velger definisjonsområdet mellom 0 og 5. Trykk b, velg 4:Vindu, 1:Akser innstillings dialog, og legg inn verdiene for XMin og XMaks. Trykk. Passende ytterverdier for y får du ved først å trykke b. Så velger du 4:Vindu og A:Zoom Tilpasning. Grafen tegnes, og nå fyller den grafvinduet. Merk av to punkter på grafen: b, 6:Punkt & linjer og 2:Punkt på. Skjul koordinatene til punktene ved hjelp av b, 1:Handlinger og 3:Skjul/Vis (eller merk objektet slik at det blinker, trykk /b og velg 3:Skjul/Vis). Tegn sekanten ved b, 6:Punkt & linjer og 4:Linje. Klikk på de to punktene. Igjen trykker du på b. Velg 6:Punkter & linjer og 7:Tangent. Flytt pila bort til venstre punkt på grafen inntil det blinker. Trykk x eller, og tangenten legges inntil grafen. Trykk b, velg 7:Måling og 3:Stigningstall, og finn stigningstallene til sekanten og tangenten. Trykk d. Grip tak i et av punktene, flytt det mot det andre punktet og legg merke til hvordan gjennomsnittlig vekstfart nærmer seg momentan vekstfart. Aschehoug Undervisning Side 28 av 33

29 Momentan vekstfart I grafapplikasjonen Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62.dersom du ikke får noen beskjed. Legg inn på kommandolinja funksjonsuttrykket f1(x) = 1.1x Trykk. Vi velger definisjonsområdet mellom 0 og 5. Trykk b, velg 4:Vindu, 1:Akser innstillings dialog, og legg inn verdiene for XMin og XMaks. Trykk. Passende ytterverdier for y får du ved først å trykke b. Så velger du 4:Vindu og A:Zoom Tilpasning. Grafen tegnes, og nå fyller den grafvinduet. Vi skal nå bestemme likningen for tangenten i punktet på grafen for x = 2. Først legger vi inn punktet på grafen. Trykk b. Velg 6:Punkter & linjer og 2:Punkt på. Flytt pila bort til grafen inntil den blinker. Trykk x eller, klikk på punktets førstekoordinat og erstatt den med tallet 2. Trykk x eller. Punktet med koordinater legges på grafen. Trykk på b. Velg 6:Punkter & linjer og 7:Tangent. Flytt pila bort til punktet på grafen inntil det blinker. Trykk x eller, og tangenten legges inntil grafen. Igjen trykker du på b. Velg 1:Handlinger og 7:Koord. og lgn.. Flytt pila bort til tangenten inntil den blinker. Dobbelklikk med x eller, og likningen legges inn. Likningen viser at tangentens stigningstallet er 4,4 når x = 2. Den momentane vekstfarten er 4,4 liter per minutt etter to minutter. I kalkulatorapplikasjonen Alternativ 1: Trykk b, velg 4:Kalkulus og 1:Derivert, trykk X, skriv inn uttrykket ved å trykke 1^1Xq+10 *X=2. gir svaret 4,4. Den momentane vekstfarten er 4,4 liter per minutt etter to minutter. Alternativ 2: Trykk k1n 1^1Xq+10,X=2. gir svaret 4,4. Den momentane vekstfarten er 4,4 liter per minutt etter to minutter. Alternativ 3: Trykk k1n 1^1Xq+10,X *X=2. gir svaret 4,4. Den momentane vekstfarten er 4,4 liter per minutt etter to minutter. Aschehoug Undervisning Side 29 av 33

30 NB! I andre og tredje alternativ kommer skjermbildet til høyre fram i kalkulatoren. Nederst i vinduet viser den andre linja rekkefølgen og argumentene du skal legge inn. Symbolet betyr forutsatt eller gitt. Tasten for dette symbolet finner du nede til høyre for / Fortegnslinje for den deriverte I grafapplikasjonen Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62.dersom du ikke får noen beskjed. Legg inn på kommandolinja funksjonsuttrykket f1(x) = x 2 4x+5. Trykk. Vi velger definisjonsområdet mellom 1 og 5. Velg YMin= 1 og YMaks=7. Trykk b, velg 4:Vindu, 1:Akser innstillings dialog, og legg inn verdiene for XMin, XMaks, YMin og YMaks. Grafen tegnes. Vi skal nå bestemme stigningstallet for tangenten i et punkt på grafen. Først legger vi punktet på grafen. Trykk b. Velg 6:Punkter & linjer og 2:Punkt på. Flytt pila bort til grafen. Pila endres til en blyant. Trykk x eller. Punktet med koordinater legges på grafen. Igjen trykker du på b. Velg 6:Punkter & linjer og 7:Tangent. Trykk x eller, og tangenten legges inntil grafen. Igjen trykker du på b. Velg 7:Måling og 3:Stigningstall. Dobbelklikk x eller, og stigningstallet legges inntil tangenten. Trykk d. Flytt stigningstallet slik at du observerer verdien mens du drar punktet på grafen forbi bunnpunktet. Dersom du drar punktet fra venstre mot høyre, vil stigningstallet skifte fortegn fra til +. Merk deg verdien for stigningstallet når punktet passerer bunnen. Du bestemmer verdien for stigningstallet(den deriverte) for en bestemt x-verdi ved å klikke på førstekoordinaten til tangeringspunktet. Deretter skriver du inn x-verdien og trykker. Fortegnslinja på side 198 stemmer med verdiene vi observerer for stigningstallet i grafvinduet. Aschehoug Undervisning Side 30 av 33

31 I kalkulatorapplikasjonen Alternativ 1: Trykk b, velg 5:Kalkulus og 1:Derivert, trykk X, skriv inn funksjonsuttrykket x 2 4x+5, trykk *X=/)v1, osv. i klammeparentesen. gir verdiene for den deriverte når x {-1, 0, 1, 1,5, 2, 2,5, 3, 4, 5}. Fortegnet for den deriverte skifter fra til + når x passerer 2 fra venstre. Alternativ 2: Trykk k1n, skriv inn funksjonsuttrykket x 2 4x+5, trykk,x=/)v1, osv. i klammeparentesen. gir verdiene for den deriverte når x {-1, 0, 1, 1,5, 2, 2,5, 3, 4, 5}. Fortegnet for den deriverte skifter fra til + når x passerer 2 fra venstre. Alternativ 3: Trykk k1n, skriv inn funksjonsuttrykket x 2 4x+5, trykk,x *X=/)v1, osv. i klammeparentesen. gir verdiene for den deriverte når x {-1, 0, 1, 1,5, 2, 2,5, 3, 4, 5}. Fortegnet for den deriverte skifter fra til + når x passerer 2 fra venstre. Aschehoug Undervisning Side 31 av 33

32 6: Lineær optimering Lineære ulikheter med to ukjente Eksempel 2 Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62.dersom du ikke får noen beskjed. Legg inn en ny side: Trykk #(/c) 43. I kalkulatorapplikasjonen løser du ulikheten 4x 2y < 6 med hensyn på y. Etter at du har fått svaret taster du +2X. Kopier ulikheten ved å taste /C. Flytt over til grafvinduet: Tast (/ ). Deretter legger du inn ulikheten på kommandolinja ved å taste /V eller taste ulikheten y >2x 3. inn på kommandolinja etter at du har slettet =-tegnet bak funksjonsnavnet. Tast. Det mørke området er grafområdet til ulikheten. Kommandolinja kan du aktivere/deaktivere ved å taste /G. Eksempel 3 Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62.dersom du ikke får noen beskjed. Legg inn en ny side: Trykk #(/c) 43. I kalkulatorapplikasjonen løser du hver av ulikhetene med hensyn på y. Etter at du har funnet svarene legger du de inn på kommandolinja og taster etter hvert som de legges inn. Bruk framgangsmåten i Eksempel 2. De punktene som ligger på eller inne i den mørke trekanten er grafområdet som oppfyller kravet til de tre ulikhetene. Punktene med koordinater finner du ved først å taste b63. Deretter klikker du på to og to av linjene inntil du har funnet de tre skjæringspunktene. Aschehoug Undervisning Side 32 av 33

33 Lineær optimering Eksempel 3 Nivålinjemetoden Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62.dersom du ikke får noen beskjed. Legg inn en ny side: Tast #(/c) 43. Legg inn de tre ulikhetene på samme måte som i eksemplene 2 og 3 på foregående side. Ei linje er tegnet for fortjenesten Z = Den største fortjenesten får vi når Z får sin største verdi. Dette skjer når ei linje som er parallell med linja for Z = 1600, skjærer y-aksen så høyt oppe som mulig og samtidig inneholder minst et punkt fra grafområdet. Den stiplede linja inneholder punktet Q og er dessuten parallell med linja for Z = Ingen annen linje oppfyller kravet til størst mulig Z-verdi. Den største fortjenesten finner vi i kalkulatorapplikasjonen. Aschehoug Undervisning Side 33 av 33