Matematikk 1T. det digitale verktøyet. Kristen Nastad. Aschehoug Undervisning

Transkript

1 Matematikk 1T og det digitale verktøyet Kristen Nastad Aschehoug Undervisning

2 Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Operating System Software for CAS-kalkulatoren og Aschehougs lærebok Matematikk 1T, studieforberedende utdanningsprogram. Kalkulatoren inneholder applikasjonene (noen funksjoner i parentes) Kalkulator (algebra, funksjonsanalyse, sannsynlighet, statistikk og vektor) Grafer & geometri (graf- og tegneverktøy, geometri og analyseverktøy) Lister & regneark (regresjon, fordeling, test, konfidensintervall og tabell) Notes (tekstredigering) Data & statistikk (plott, diagram, regresjon) I heftet finner du forklaringer på bruk av kalkulatoren TI-nspire CAS i alle eksemplene der tastetastene for TEXAS er tatt med i læreboka. Du finner også forklaringer på hvordan du kan bruke kalkulatoren i noen andre eksempler. Side 3 og 4 finner du innholdsfortegnelsen med sidehenvisningene til læreboka lengst til venstre. Korte beskrivelser av noen taster finner du side 5. Forklaringer til hurtigtaster finner du side 6. Sett deg godt inn i informasjonen som fulgte med kalkulatoren. På nettstedet Atomic Learning finner du animerte opplæringssekvenser på norsk. Se også Digitale verktøy i Lenkesamling på Lokus. Den norske sida til Texas Instruments: gir mye informasjon om kalkulatoren. Lykke til med bruken av heftet! Kristen Nastad Aschehoug Undervisning Side 2 av 47

3 Innhold Tastene på TI-nspire CAS... 5 Hurtigtaster : Tall og algebra Regning med hele tall Brøk Store og små tall Bokstavuttrykk Likninger Formler Potenser n-terøtter Andregradslikninger : Trigonometri Forhold og formlikhet Rettvinklede trekanter. Pytagorassetningen Tangens Sinus og cosinus Sinus og cosinus for vinkler i intervallet [0, 180 ] Arealformelen og sinussetningen Cosinussetningen : Funksjoner Førstegradsfunksjoner Praktisk bruk av førstegradsfunksjoner Polynomfunksjoner Rasjonale funksjoner Prosentvis vekst Eksponentialfunksjoner og potensfunksjoner : Sannsynlighet Sannsynlighet og relativ frekvens Binomiske sannsynligheter Aschehoug Undervisning Side 3 av 47

4 5: Mer om algebra Faktorisering og forkorting Kvadratsetningene Likninger med brøkuttrykk Likningssett Ulikheter Eksponentiallikninger Logaritmelikninger : Derivasjon Gjennomsnittlig vekstfart Momentan vekstfart Derivasjonsregler Fortegnslinje for den deriverte Drøfting av funksjoner Aschehoug Undervisning Side 4 av 47

5 Tastene på TI-nspire CAS d fjerner menyer eller dialogbokser fra skjermen c viser startmenyen e flytter til neste innleggingsområde b viserser applikasjonseller kontekstmenyen / gir tilgang til funksjoner eller tegn som vises øverst på hver tast g skriver det neste tegnet som stor bokstav w slår på lommeregneren. sletter kommandolinja eller valgt objekt k viser kommandokatalogen behandler et uttrykk, utfører en instruksjon eller velger et menyemne NavPad Markøren flyttes ved å taste på,, eller x Klikk-knapp. Velger et objekt på skjermen. /+x griper et objekt på skjermen. Du kan også gripe et objekt ved å taste og holde inne x. Aschehoug Undervisning Side 5 av 47

6 Hurtigtaster Redigere tekst Navigasjon Klipp ut / X Hjem / 7 Kopier / C Slutt / 1 Lim inn / V Side opp / 9 Angre / Z Side ned / 3 Gjør om / Y Opp et nivå i hierarkiet / Sett inn tegn, symboler Ned et nivå i hierarkiet / Visning av tegn, symboler / k Navigere i dokumenter Ikke lik / = Vis forrige side / Senket strek / _ Vis neste side / / > Vis sidesortering / / < Veivisere og sjabloner Semikolon / : Legge til en kolonne i en matrise Matematisk sjablonpalett / r Legge til en rad i en / j Sjablon for integrasjon g + $ / " Sjablon for den deriverte g - Symbol for grader / ' Endre displayet Dokumentstyring Øke kontrast / + Opprette nytt dokument / N Redusere kontrast / - Sette inn ny side / I Slå av / w Velg applikasjon / K Lagre aktuelt dokument / S Aschehoug Undervisning Side 6 av 47

7 9 15 Regning med hele tall 1: Tall og algebra Eksempel 1 Addisjon og subtraksjon med negative tall Vi skiller mellom regneminus - og fortegnsminus v. Første eksempel i ramma: Tast 5+v3. Siste eksempel: Tast v5-v3. Eksempel 2 Multiplikasjon med negative tall Vi skiller mellom regneminus - og fortegnsminus v. Første eksempel i ramma: Tast 6rv3. Siste eksempel: Tast v1v2v3v4. Eksempel 3 Potenser og fortegn Vi skiller mellom regneminus - og fortegnsminus v. Første eksempel i ramma: Tast (v2eq. Siste eksempel: Tast (v2el5. Eksempel 4 Regnerekkefølge Vi skiller mellom regneminus - og fortegnsminus v. Tast 8-2r3+(5-7el4ep 8. Eksempel 5 Regnerekkefølge og digitale verktøy Vi skiller mellom regneminus - og fortegnsminus v. Første eksempel i ramma: Tast (v3el6. Andre eksempel: Tast 23( Det tredje eksemplet er Eksempel 4 Regnerekkefølge. Aschehoug Undervisning Side 7 av 47

8 15 19 Brøk Eksempel 1 Utviding og forkorting Kalkulatoren forkorter automatisk. Forkorting: Tast Eksempel 2 Fra desimaltall til brøk Skriv 1,3 som brøk: Tast 1^3b22. Skriv 1,06 som brøk: Tast 1^06b22. Eksempel 6 Brøkregning med digitale verktøy Alternativ 1: Tast /p5+9e6e/p3e7r2. Alternativ 2: Tast (5+9ep6+3p(7r2. Du kan slette loggen (beregninger som allerede fyller kalkulatorvinduet): Tast b Store og små tall I vinduet kan du skifte tallformatet: Tast #, det vil si /c, 16. I Eksponentsielt format: velger du enten Normal (Desimalform) eller Vitenskapelig (Standardform). Eksempel Skrive tall på standardform 1) Tast 7^2r10l11 2) Tast 7^2s11 3) Tast 7^2i11 Aschehoug Undervisning Side 8 av 47

9 Eksempel 2 Omforming til standardform I Eksponentsielt format: velger du Vitenskapelig (Standardform). Bruk desimalpunktum i tallene du vil skrive om til standardform. Eksempel 3 Regning med tall på standardform I Eksponentsielt format: velger du Vitenskapelig (Standardform). Bruk desimalpunktum i minst et av tallene du vil skrive om til standardform. Det siste produktet taster du inn i kalkulatorvinduet slik: 3^5i10^2i5. Svaret får du ved Bokstavuttrykk Eksempel 1 Innsetting av tall i bokstavuttrykk Skriv inn uttrykket og tast videre: *A=3k1A B=4. Symbolet betyr forutsatt eller gitt. Tasten finner du nede til høyre for /-tasten. Deretter kan du kopiere det du skrev/tastet inn ved å taste ``. Bytt ut 3 med 2, 7 med 6 og tast. Eksempel 2 Sammentrekking av ledd av samme type Skriv inn uttrykkene og tast etter hvert av dem. Eksempel 3 Regning med parenteser Skriv inn de to første uttrykkene og tast etter hvert av dem. Framfor hvert av de to siste uttrykkene bruker du expandfunksjonen. Tast b. Velg 33, skriv inn uttrykket og tast. Aschehoug Undervisning Side 9 av 47

10 28 34 Likninger Eksempel 1 x-ledd og tall på hver sin side! I kalkulatorvinduet skriver du inn likningen og taster. Du vil kanskje flytte 5 over på høyre side og 2x over på venstre side. Dette kan du gjøre ved å taste +5-2X. Til slutt forkorter du med 4 på begge sider ved p4. Du får selve svaret direkte ved å taste b31. Skriv inn likningen. Tast,X. Eksempel 4 Å løse likninger med digitalt verktøy Tast b31. Skriv inn likningen. Tast,X. Dersom du vil ha svaret på desimalform, kan du taste / rett etter at du fikk svaret som en brøk. Du kan bruke andre symboler for den ukjente enn x, for eksempel k. Du får svaret direkte som et desimaltall dersom du legger inn et desimalpunktum rett etter et av tallene i likningen. Eksempel 5 Kryssmultiplikasjon Skriv inn likningen. Tast. Deretter taster du r5x. Tast p3 til slutt. Legg merke til at kryssmultiplikasjonen gir samme resultat som når du multipliserer med fellesnevneren 5x Formler Eksempel 1 Innsetting I lommeregnervinduet kan du først slette loggen. Skriv inn formelen for kroppsmasseindeksen BMI. Tast deretter *M=114k1A H=1^75. Eksempel 3 Omforming av en formel Du får m uttrykt ved h og i ved å taste b31. Skriv inn likningen. Tast,M. Aschehoug Undervisning Side 10 av 47

11 41 45 Potenser Eksempel 1 Multiplikasjon og divisjon med potenser I tredje eksempel taster du: Xl6eXqXp(Xl3eXl4. I fjerde eksempel taster du: XrYl5eXl4eYl3eXl8. Legg merke til varslet som kommer fram nederst i kalkulatorvinduet. Hele teksten kommer fram ved først å flytte markøren opp til svaret x 2. Deretter taster du /b1. Eksempel 4 Grunntallet er en potens I siste eksempel taster du: (Xl6ep5el3. Eksempel 5 Negative eksponenter I første eksempel taster du: Xl5eXlv4. I siste eksempel taster du: (2rXlv3eelv2. Eksempel 6 Sammensatte eksempler I det andre eksempel taster du: (Xl5ep(4rYl3eelv2e r2lv n-terøtter Eksempel 6-teroten av et tall Tast: /l6e32. Et desimaltall får du ved å taste / dersom du først fikk det eksakte svaret. Desimaltallet får du direkte ved å taste ^ bak 32. Aschehoug Undervisning Side 11 av 47

12 Eksempel 1 Potenser med brøkeksponenter og n-terøtter Første eksempel: Tast 8l2p3. Andre eksempel: Tast /l4e2l12 Tredje eksempel: Tast (/l8e2xeel 40 Eksempel 3 Potenslikninger Første eksempel: Tast b31xl3e=409 6,X Andre eksempel: Tast b31xl6e=409 6,X Tredje eksempel: Tast b312^3rxl4. 5e=678,X Andregradslikninger Eksempel 2 To løsninger Tast b31xq+8x+15=0,x. Prøve: Tast Xq+8X+15*X=v5. Svaret 0 får du også når du setter inn betingelsen x = 3. Eksempel 4 Ingen løsning Tast b31xq-2x+6=0,x. Meldingen false betyr at likningen ikke har løsning. Eksempel 5 Eksakte og tilnærmede løsninger Tast b31xq-5x-2=0,x. Du får to eksakte løsninger. De to tilnærmede løsningene får du ved å taste /. Eksempel 8 Stopplengde Tast b31100=0^016vq +0^27V,VeV>0. Løsningen v = 71,0684 betyr at farten er ca. 71 km/h. Aschehoug Undervisning Side 12 av 47

13 2: Trigonometri Forhold og formlikhet Eksempel 3 Forhold mellom farger Tast b31xp10=2p7,xn. Den eksakte løsningen gjør du om til desimaltall ved å taste /. Det må tilsettes i underkant av 3 liter hvit beis Rettvinklede trekanter. Pytagorassetningen Eksempel 1 Vi bruker pytagorassetningen Tast b31xq+5^0q=6^0q,x e*x>0n. AB = 3,3 cm Tangens Pass på at det står GRA for grader øverst i lommeregnervinduet. Du kan endre dokumentinnstillinger ved å taste #(/c). Velg 1:Fil og 6:Dokumentinnstillinger. Bruk e og/eller piltastene,, og etter behov når du flytter fram og tilbake i dialog-boksen Dokumentinnstillinger. Bekreft valgene med. Eksempel 3 Admirs metode Tast 20o og skriv inn 31. gir svaret. Dersom du ikke får desimaltallet, taster du /. Høyden var 12,0 m. Aschehoug Undervisning Side 13 av 47

14 Eksempel 5 Vi finner hosliggende katet med tangens Tast b31o28^2 =12^5pX,X. AB = 23,3 Du kan få tilnærmede svar som standard ved først å taste #(/c). Deretter velger du 1: Fil og 6:Dokumentinnstillinger. I Automatisk eller tilnærmet: velger du Tilnærmet. Bekreft valget med. Som standard kan det være bedre å bruke som fast innstilling Auto. Dette gjør du slik det beskrives ovenfor. Tilnærmede svar får du ved enten å taste / eller ^ til slutt i minst ett av tallene. Tast etter at du har skrevet uttrykket. Eksempel 6 Vi finner vinkelen med tangens Tast /o5^0p8^0. A = 32, Sinus og cosinus Eksempel 3 Vi finner hypotenusen med sinus Tast b31m32 =5^3pX,X. AC = 10 cm Eksempel 6 Vi finner vinkelen med cosinus Tast /n4^4p4^8. B = 23, Sinus og cosinus for vinkler i intervallet [0, 180 ] Eksempel 2 Vi finner vinklene når sinus er gitt Tast b31mv =0^451,Ve *V>=0_AND_V<=180. v= 26,8 eller v= 153, 2 Aschehoug Undervisning Side 14 av 47

15 Eksempel 3 Vi finner vinklene når cosinus er gitt Tast b31nv =v0^6088,ve *V>=0_AND_V<=180. v = 127, Arealformelen og sinussetningen Eksempel 3 Vi finner vinkelen med arealformelen Tast b311p2r10r8rmv =36,Ve*V>=0_AND_V<=180/. Løsningen på desimalform får du ved å taste / før eller ved å legge inn et desimalpunktum (^) etter et av tallene i likningen. v= 64, 2 eller v= 115,8 Eksempel 6 To sider og den motstående vinkelen til den korteste Tast b31mb p12^0=m31 p8^ 0,Be*B>=0_AND_B<=180/. B= 50, 6 eller B= 129, Cosinussetningen Eksempel 1 To sider og mellomliggende vinkel Tast b31slq=16q+13q-2r 16r13n104,SLe*SL>0/. SL = 22,9 Eksempel 2 Tre sider og ingen vinkler Tast b3110^0q=5^0q+8^0q -2r5^0r8^0nB,Be*B>=0 _AND_B<=180. B = 97,9. Aschehoug Undervisning Side 15 av 47

16 3: Funksjoner Førstegradsfunksjoner Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62 dersom du ikke får noen beskjed. Dokumentinnstillinger Du kan endre dokumentinnstillinger ved: Tast #(/c). Velg 1:Fil og 6:Dokumentinnstillinger. Tast e og/eller,, og/eller etter behov når du flytter fram og tilbake i dialogboksen Dokumentinnstillinger. Bekreft valgene med. Grafer med digitalt verktøy På kommandolinja blinker markøren bak =. Skriv inn funksjonsuttrykket 2x + 1 til høyre for f1(x)=. Husk at tasten for desimalkomma er ^. Tast, og grafen legges inn i koordinatsystemet. Flytt å bort til grafen, og den går over til é eller ö. Med é kan du rotere grafen og med ö kan du forskyve horisontalt eller vertikalt. Hold x nede, og etter kort tid kommer ei ramme fram som forteller hvordan du kan flytte grafen. Du kan også, ved hjelp av,, og/eller, flytte/rotere grafen uten å holde nede g-tasten. Legg merke til at funksjonsuttrykket dukker opp i grafvinduet når du klikker på grafen. Kommandolinja kan du aktivere eller skjule ved å taste /G. Funksjonsnavnet f2(x) kommer fram på kommandolinja når du aktiverer den. Tast $(/b) og velg 7:Utvid kommandolinje. Tast `. Linja for f1(x) blir aktivert, og du kan navigere på den ved å bruke eller. Grafen kan skjules ved å merke og deretter taste. bruker du når etikett- eller grafstilen skal endres. Da kommer det opp en søyle med ikoner, og på en merkelapp står det stikkord om det aktive ikonet. Lag verditabell med digitalt verktøy I grafvinduet skriver du inn funksjonsuttrykket 2,5x + 0,5. Tast, og grafen legges inn i koordinatsystemet. Tast b. Velg 2:Vis og 9:Legg til funksjonstabell (/T). La funksjonstabellen være aktiv. Med e-tasten merker du det øverste området i tabellen. Nederst i tabellen kommer tallverdien fram når du merker ei celle. Aschehoug Undervisning Side 16 av 47

17 Tabelloppsettet kan du endre ved først å hente dialogboksen Funksjonstabell. Dette gjør du ved å taste b og deretter velge: 5:Funksjonstabell og 3:Rediger funksjonsinnstillinger. Velg verdiene som figuren til høyre viser. Bekreft valgene med. Still inn ytterverdier for aksene Du kan nå stille inn ytterverdiene for y. Gå nedover i funksjonstabellen, og innenfor definisjonsmengden, for eksempel 0 til 12, finner du at den minste y-verdien er 0,50 og den største er 30,5. Ta nå bort funksjonstabellen ved å bruke angretasten! (/d) noen ganger. Nå ser du grafvinduet i skjermbildet. Tast b, velg 4:Vindu og 1:Vindusinnstillinger, og legg inn verdiene som vist i dialogboksen Vindusinnstillinger. Bekreft valgene med. Grafen til funksjonen kommer fram i kalkulatorvinduet. Skalaverdiene styres automatisk. Kommandolinja kan du deaktivere/aktivere ved å taste /G. Automatisk innstilling av ytterverdiene for y Legg inn funksjonsuttrykket 2,50x + 0,50 for f1(x) på kommandolinja. Tast og b, velg 4:Vindu og 1:Vindusinnstillinger, og legg inn verdiene 0 og 12 for henholdsvis XMin og XMak. i dialogboksen Vindusinnstillinger. Tast og grafen kommer fram. Ved hjelp av b, 2:Vis og 8:Sjul aksenes endeverdier kan du skjule eller vise aksenes endeverdier. Passende ytterverdier for y får du ved først å taste b. Så velger du 4:Vindu og A:Zoom - Tilpasning. Grafen tegnes på nytt, og nå fyller den grafvinduet. Kommandolinja kan du deaktivere/aktivere ved å taste /G. Aschehoug Undervisning Side 17 av 47

18 Konstantledd og stigningstall Legg inn funksjonsuttrykket 2x 3 for f1(x) på kommandolinja. Tast og b, velg 6: Punkter & linjer og 2: Punkt på. Flytt å bort til grafen der du vil at punktet skal være. è peker på grafen. Bekreft valget med. Tast d, og ikonet for Punkt på øverst til venstre i grafvinduet forsvinner. Klikk et par ganger på førstekoordinaten til punktet. Sett inn verdien 0 for førstekoordinaten og bekreft valget med. Konstantleddet 3 viser hvor linja skjærer y-aksen. Tast b, velg 7: Måling og 3: Stigningstall. Flytt å bort til grafen slik at ø kommer fram, avslutt med. Stigningstallet 2 viser at y øker med 2 når x øker med 1. Rotere linja: Flytt å til øvre eller nedre del av linja. Da kommer é fram. Hold nede x inntil du ser {. Ved hjelp av,, og/eller kan du nå rotere linja. Se side 16 i dette heftet. Skyve linja: Flytt å til midtre del av linja. Da kommer ö fram. Hold nede x inntil du ser {. Ved hjelp av,, og/eller kan du nå skyve linja. Se side 16 i dette heftet. Den opprinnelige linja y = 2x 3 ser du er rotert og forskjøvet slik at konstantleddet nå er 2,17 og stigningstallet er 0,59. Nullpunkt Legg inn funksjonsuttrykket 2x 3 for f1(x) på kommandolinja. Tast og b, velg 6: Punkter & linjer og 2: Punkt på. Flytt pila bort til grafen der du vil at punktet skal være. è peker på grafen. Bekreft valget med. Tast d, og ikonet for Punkt på øverst til venstre i grafvinduet forsvinner. Grip tak i punktet og hold x nede inntil { dukker opp. Flytt punktet bort til nullpunktet du ønsker å finne. En liten ramme med null kommer fram. Punktet med koordinater plasseres etter at du taster Praktisk bruk av førstegradsfunksjoner Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62 dersom du ikke får noen beskjed. Eksempel 2 Å finne y eller x med digitalt verktøy Vi tegner grafen til funksjonen P(x) = 25x + 50 for XMin = 0, XMax = 12, YMin = 0 og YMax = 350. Bekreft valgene med. Aschehoug Undervisning Side 18 av 47

19 Du kan nå merke et punkt på grafen ved først å klikke på b. Så velger du 6:Punkter & linjer og 2:Punkt på. Flytt å bort til grafen. èpeker på grafen. Bekreft valget med. Tast d, og ikonet for Punkt på øverst til venstre i grafvinduet forsvinner. Flytt å og/eller til førstekoordinaten, klikk et par ganger med x, skriv inn 9^6 og tast. Punktet (9,6, 290) legges på linja. Prisen for en tur på 9,6 km er 290 kr Legge et annet punkt på den rette linja. Bruk samme metode som ovenfor. Denne gangen flytter du å og/eller til andrekoordinaten, klikke et par ganger med x, skriver inn 147 og tast. Punktet (3,88, 147) legges på linja. Som alternativ kan du legge inn funksjonsuttrykket 147 for f2(x). Etter at grafen for funksjonen kommer fram i vinduet, bestemmer du skjæringspunktet mellom f1 og f2. Vi kan kjøre 3,88 km for 147 kr Proporsjonalitet Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62 dersom du ikke får noen beskjed. Et eksempel i tillegg til eksemplet sidene 123 og 124: I tabellen til høyre finner du hva Maria må betale i kassa i en forretning når hun kjøper elgkjøtt på tilbud. Legg tallene inn i et regneark:legg inn en ny side: Tast #(/c). Velg 4:sett inn og 5:Lister & regneark. Legg inn i regnearket tallene fra tabellen til høyre. Flytt markøren til det hvite feltet øverst i hver av tallkolonnene og skriv inn listenavnene kr og kg. Flytt over til grafvinduet: Tast (/ ) og b. Velg 3:Graftype og 4:Spredningsdiagram. Tast og velg fra lista nederst i grafvinduet kg for x og kr for y. y-lista får du fram ved e tasten. Flytt over til koordinatsystemet ved å taste noen ganger på e. Tast b. Velg 4:Vindu og 9:Zoom Stat. De seks punktene legges inn i koordinatsystemet. Grafen gjennom punktene får du ved å gå til regnearket. Tast deretter på b. Velg 4:Statistikk, 1:Stat beregning og 3:Lineær regresjon (mx+b). I X-liste velger du kg og i Y-liste kr. Tast, x og e etter behov Tast til slutt. I regnearket kommer det fram en oversikt over beregningene. Aschehoug Undervisning Side 19 av 47

20 Flytt over til grafvinduet ved hjelp av (/ ). Tast b. Velg 3:Graftype og 1:Funksjon. På kommandolinja velger du, ved hjelp av, funksjonen f1. Tast. Nå ser du både punktene og grafen i koordinatsystemet. Tallet 4.E 13 er så lite at du kan ta det bort på kommandolinja. Kommandolinja deaktiverer/aktiverer du ved å taste /G. Begge aksene kan du starte i origo: Tast b. Velg 4:Vindu og 1:Vindusinnstillinger, XMin lik 0 og YMin lik 0. Tast. Grafen er ei rett linje som starter i origo. Aksenes endeverdier kommer fram ved å taste b og velge 2:Vis og 8:Vis aksenes endeverdier. Forholdet y/x kan vi bestemme i regnearket på denne måten: Gå til celle C1. Tast =B1pA1. Tast b. Velg 3:Data og 3:Fyll ned. Tast inntil celle C6. Formelen i celle C1 kopieres nå inn i de fem cellene nedenfor celle C1. Se figuren ovenfor og den til høyre. Er x og y proporsjonale? Eksemplet foran kan vi også gjennomføre ved hjelp av grafvinduet med tabell: Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62 dersom du ikke får noen beskjed. På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykket 120x for f1(x), tast /G og f1(x)/x for f2(x). Tast /G, $(/b) og velg 7:Utvid kommandolinje. Tast `. Linja for f2(x) blir aktivert, bruk, uthev og tast. Grafen til f2(x) blir deaktivert. Tast e inntil å kommer fram i vinduet. Tast b. Velg 4:Vindu, 1:Vindusinnstillinger, XMin = 0, XMax = 10,, b, 4:Vindu og A:Zoom Tilpasning. Vi skal nå opprette en funksjonstabell ved siden av grafvinduet. La grafvinduet være aktivt. Tast b. Velg 2:Vis og 9:Legg til funksjonstabell (Ctrl+T). Tast z(/e). Tast /G. Etter at kommandolinja er deaktivert holder du nede x inntil ù dukker opp. Tast noen ganger, og grafen med origo kommer fram. Flytt å bort til grafen. Funksjonsuttrykket kommer fram øverst til venstre i grafvinduet. Aschehoug Undervisning Side 20 av 47

21 Gå nå over til tabellvinduet: Tast z(/e). Aktiver det øverste hovedfeltet i tabellen: Tast e. Cellene i tabellkolonnen for y/x fylles opp. Tast z(/e). I grafvinduet kan du nå skyve og/eller dreie på den rette linja samtidig som du kan følge med på verdiene for forholdet y/x i funksjonstabellen. Dette kan du gjøre på denne måten: Flytt å bort til linja, og å går over til é eller ö. Du kan rotere linja med det første alternativet; med den andre forskyve linja horisontalt eller vertikalt. Du kan endre markøren ved å flytte den langs linja. Flyttingen kan du gjennomføre etter at du har holdt nede x inntil { dukker opp. Ved hjelp av,, og/eller kan du nå rotere/skyve linja. Se side 16 i dette heftet. Øverst i grafvinduet endres funksjonsuttrykket. Funksjonsuttrykket og tabellkolonnen viser deg om linja akkurat eller tilnærmet går gjennom origo. Dersom dette skjer kan en si at y og x er proporsjonale størrelser. En kan avgjøre om to størrelser er omvendt proporsjonale ved å gjennomføre tilsvarende undersøkelse som for proporsjonale størrelser. Eksempel Skjæringspunkt mellom grafer Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62 dersom du ikke får noen beskjed. På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykket f1(x) = x og f2(x) = x. Tast, og ikke noe av grafene kommer fram i vinduet. Tast b. Velg 4:Vindu og 1:Vindusinnstillinger, XMin = 0, XMax = 1000, YMin = 0 og YMax = Bekreft valgene med. Grafene tegnes på nytt og du ser skjæringspunktet. Vi skal nå bestemme koordinatene til skjæringspunktet. Tast b. Velg 6:Punkter & linjer og 3:Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grafen inntil den blinker. Tast x eller. Flytt så å til den andre grafen, tast x eller, og skjæringspunktet med koordinater blir lagt inn i grafvinduet. Prisen er den samme etter de to tilbudene når kjørelengden er 500 km. Prisen er da 9500 kr. Aschehoug Undervisning Side 21 av 47

22 Eksempel Lineær regresjon Tast c6e 3 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c63 dersom du ikke får noen beskjed. Legg inn i regnearket tallene fra tabellen på side 126. Flytt markøren til det lyse feltet øverst i hver av tallkolonnene og skriv inn listenavnene måneder og kg. Bokstaven å legger du inn ved å hente den fra tabellen som kommer fram etter at du taster /k eller taster A og ; inntil bokstaven å dukker opp. Klikk b. Velg 4:Statistikk, 1:Stat beregning og 3:Lineær regresjon (mx+b). I X-liste velger du måneder og i Y-liste kg. I dialogboksen kommer du til neste felt ved å bruke e-tasten. Bekreft til slutt valgene med. I to regnearkkolonner kommer det fram en oversikt over beregningene. I den ene kolonnen finner du verdiene for m og b. Hele innholdet i den merkede cella ser du nederst i regnearket. Vi skal nå sette inn ei ny side i dokumentet. Tast #(/c), velg 4:Sett inn og 4:Grafer & geometri, tast b og velg 3:Graftype og 4:Spredningsdiagram. Tast x eller, velg nederst i grafvinduet fra lista måneder for x og kg for y. Pass på at det da står riktig sidetall, for eksempel s1, på kommandolinja. Du kommer til riktig sidetall ved først å gå til den doble pila lengst til høyre på kommandolinja. Deretter taster du ` eller. Flytt over til koordinatsystemet ved å taste e. Tast b, velg 4:Vindu og 9:Zoom Stat, og de fire punktene kommer fram i koordinatsystemet. Bruk e-tasten så mange ganger at dobbelpila nede til høyre får svart bakgrunn. Pass på riktig sidetall. Tast $(/b) og velg 7:Utvid kommandolinje.på kommandolinja kan du velge punkttype ved å klikke på til høyre for. Det kommer opp ei søyle med ikoner, og på en merkelapp står det noen stikkord om det aktive ikonet. Bruk,, eller, og velg punkttype ved å taste på x eller. Du kan nå tegne regresjonslinja sammen med punktene. Tast b, velg 3:Graftype og 1:Funksjon, og på kommandolinja velger du ved hjelp av eller funksjonen f1(x). Tast. Nå ser du både punktene og grafen i koordinatsystemet. Linja y = 0,61x + 3,68 passer best til punktene. Flytt å bort til grafen. Funksjonsuttrykket kommer fram øverst til venstre i grafvinduet. Aschehoug Undervisning Side 22 av 47

23 Polynomfunksjoner Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62 dersom du ikke får noen beskjed. Andregrasfunksjoner På kommandolinja blinker markøren bak =. Skriv inn funksjonsuttrykket x 2 2x 3. Tast, og grafen legges inn i koordinatsystemet. Flytt å bort til grafen og navnet graf f1 merkes ved siden av grafen. I tillegg kommer funksjonsuttrykket fram oppe til venstre i vinduet. Tast b, velg 6: Punkter & linjer og 2: Punkt på. Flytt å bort til grafen der du vil at punktet skal være. è peker på grafen. Bekreft valget med. Tast d, og ikonet for Punkt på øverst til venstre i grafvinduet forsvinner. Grip tak i punktet og hold x nede inntil { dukker opp. Flytt punktet bort til et av punktene du ønsker å finne. En liten ramme, med for eksempel minimum, kommer fram når punktet nærmer seg bunnen. Punktet med koordinater plasseres etter at du taster. Grafisk løsning av andregraslikninger Skriv inn funksjonsuttrykket 4x 2 7x 2 på kommandolinja. Tast, og grafen legges inn i koordinatsystemet. Tast e. Funksjonsnavnet f2(x) kommer fram på kommandolinja. Legg inn 0 bak =. Tast, og linja y = 0 legges inn i koordinatsystemet. Tast b, velg 6: Punkter & linjer og 3:Skjæringspunkt(er). Flytt å bort til parabelen, klikk på den når ø kommer fram, flytt til linja y = 0 og klikk på den når ø kommer fram. Førstekoordinatene til skjæringspunktene gir løsningene: 0,25 og 2 Aschehoug Undervisning Side 23 av 47

24 Eksempel 3 To skjæringspunkter. Inntekten er lik kostnaden På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykket f1(x) = 0,2x og f2(x) = 12x. Tast. Litt av grafen til f2(x) kommer fram i vinduet. Tast b. Velg 4: Vindu og 1: Vindusinnstillinger, XMin = 0, XMax = 70, YMin = 0 og YMax = 900. Bekreft valgene med. Grafene tegnes på nytt og du ser to skjæringspunkter. Vi skal nå bestemme de to skjæringspunktene. Tast b. Velg 6:Punkter & linjer og 3:Skjæringspunkt(er). Flytt å bort til den ene grafen inntil den blinker. Tast x eller. Flytt så pila til den andre grafen, tast x eller, og de to skjæringspunktene med koordinater legges inn i grafvinduet. Inntektene er lik kostnadene når produksjonen er 10 eller 5o enheter per dag. Det blir overskudd der grafen til f1(x) ligger under grafen til f2(x), altså når det produseres mellom 10 og 50 enheter per dag Rasjonale funksjoner Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62 dersom du ikke får noen beskjed. På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykket f1(x) = (3x+3)/(2x 4). Tast, og grafen til f1(x) kommer fram i vinduet. Velg XMin = 20, XMax = 20, YMin = 10 og YMax = 10. Tast b. Velg 2:Vis og 9:Legg til funksjonstabell(ctrl+t). Tabellen legges ved siden av grafen, og ytterverdiene på x- aksen justeres. La funksjonstabellen være aktiv. Du forandrer tabelloppsettet ved først å hente dialogboksen Funksjonstabell. Tast b. Velg 5:Funksjonstabell og 3:Rediger funksjonsinnstillinger. Fyll inn i dialogboksen som figuren viser. Bekreft valgene med. Flytt markøren til den første cella i x-kolonna. Ved å flytte cellemarkøren nedover i tabellen ser du tydelig at f1(x) nærmer seg 1,5 når x blir større. Aschehoug Undervisning Side 24 av 47

25 Hva skjer når x er negativ og blir stadig mindre? Bruk samme metode som ovenfor, men nå legger du inn 3000 i feltet Tabelltrinn:. Det er tydelig at f1(x) nærmer seg 1,5 når x blir mindre. Dette viser at f1(x) nærmer seg 1,5 når x går mot eller når x går mot. Hva skjer med funksjonsverdien når x kommer stadig nærmere 2? Sett inn i dokumentet en regnearkside. Tast #(/c) når du står i grafvinduet. Velg 4:Sett inn og 5: Lister & regneark. Pass på at det står RAD TILNRM REELL øverst i regnearkvinduet. Du kan endre dokumentinnstillinger ved først å taste #(/c). Velg deretter 1:Fil og 6:Dokumentinnstillinger. Bruk,, eller når du flytter fram og tilbake i dialogboksen Dokumentinnstillinger. Bekreft valgene med. Skriv først inn tallene 1, 2 og 3 i kolonne A som den første figuren til høyre viser. Stå i celle A3, hold nede g og tast. Du skal nå sette inn tallene 4, 5 og 6 i de tre første cellene nedenfor A3. Tast b. Velg 3:Data og 3:Fyll ned. Tast. I kolonne A er nå de første seks cellene fylt opp med tallene 1 til 6. Gå til celle B1 og skriv inn =2+1/10 A1 for x-verdier større enn, men nær 2. I celle C1 skriver du inn =(3B1+3)/(2B1-4). Merk cellene B1 og C1 ved å holde nede g når du står i B1, og tast så. Tast b, velg 3:Data og 3:Fyll ned, tast og så. Kolonnebredden til kolonne B utvider du på denne måten: Gå til celle B1, tast b, velg 1:Handlinger og 2:Skaler, og tast så mange ganger at du ser tallene i hver av cellene. Avslutt med. Utvid også kolonnebredden for kolonne C. Vi skal nå lage en tabell for x-verdier mindre enn, men nær 2. Da går du til celle B1, tast, bruker og, tast., erstatt + med og tast. Den nye formelen kopierer du nedover i kolonne B på samme måte som foran i eksemplet. Den første av de to tabellene til høyre tyder på at f1(x) går mot når x er større enn 2, men nærmer seg 2. Den andre tabellen tyder på at f1(x) går mot når x er mindre enn 2, men nærmer seg 2. Aschehoug Undervisning Side 25 av 47

26 Prosentvis vekst Eksempel 20 % av 800 Tast 800r20/k. I symboloversikten finner du prosentsymbolet. Merk symbolet og tast. 20 % av 800 er 160. Eksempel 2 Prosent og lønnsøkning Her kan du beregne forholdet mellom ny lønn og gammel lønn: Trekk deretter fra 1 og multipliser svaret med 100: 125p115-1 r100 Lønna gikk opp 8,7 %. Eksempel 3 Prisen blir satt opp Bestem vekstfaktoren for 20 % prisøkning. Multipliser resultatet med 800. Eksempel 4 Prisen blir satt ned Bestem vekstfaktoren for 20 % prisfall. Multipliser resultatet med Eksempel 5 Opprinnelig pris Bestem vekstfaktoren for 20 % prisfall. Divider den nye prisen med resultatet. Ny verdi, gammel verdi og vekstfaktoren Sammenhengen mellom ny verdi n, gammel verdi g og vekstfaktoren v, n = g n, kan du bestemme i kalkulatorvinduet. Aschehoug Undervisning Side 26 av 47

27 Eksponentialfunksjoner og potensfunksjoner Eksempel 1 Sparing. Positiv eksponentiell vekst Vi bestemmer først vekstfaktoren: Tast 1+3p100. Deretter multipliserer du kapitalen med vekstfaktoren opphøyd i x og velger betingelsen x = 5. Tast 2000r1^03lX*X=5. Det er kr på kontoen etter fem år. Eksempel 2 Temperaturen avtar. Negativ eksponentiell vekst Vi bestemmer først vekstfaktoren. Tast 1-8p100. Deretter multipliserer du starttemperaturen med vekstfaktoren opphøyd i x og velger betingelsen x = 3. Tast 85^0r0^92lX*X=3. Temperaturen er ca. 66,2 C etter tre timer. Eksempel 3 Vi finner likningen for en eksponentialfunksjon Tast b rbl5e= ,B. Vekstfaktoren er 0,885. Etter t år er bilens verdi gitt ved: Vt ( ) = ,885 t Aschehoug Undervisning Side 27 av 47

28 4: Sannsynlighet Sannsynlighet og relativ frekvens Tast c6e 3 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c63 dersom du ikke får noen beskjed. Eksempel: Terningkast med regnearket Skriv Øyne terning i celle A1. Teksten i cella skriver du inn ved først å taste "(i den grå tastekolonnen ytterst til høyre på kalkulatortastaturet). Bokstaven Ø skriver du inn ved å taste go;, eller ved å hente den fra tabellen som kommer fram etter at du taster /k. Mellomromstasten _ finner du nede til venstre for. Avslutt innskrivingen i cella ved å taste. Gå til celle B1, bruk tasten = øverst i den grå tasekolonnen ytterst til venstre på kalkulatortastaturet, tast k, bruk fane nummer 2 og hent formelen for Tilfeldig heltall fra underkatalogen Tilfeldig til katalogen Sannsynlighet. I parentesen skriver du inn tallene 1 og 6 for minste og høyeste antall øyne. Tast. Kolonnebredden til kolonne A utvider du på denne måten: Gå til celle A1, tast b, velg 1:Handlinger, 2:Skaler, 1:Kolonnebredde og bruk så mange ganger at du ser hele teksten i cella. Avslutt med. Du skal nå kopiere cellene A1 og B1 til de fem radene nedenfor. Stå i celle A1, hold nede g og tast. Tast $(/b), velg 4:Fyll ned, tast fem ganger og deretter. I kolonne B står nå resultatet av seks terningkast. Resultatet av seks nye terningkast får du ved å stå i celle B1 og taste fortløpende seks ganger. Eksempel: Terningkast med kalkulator Du skal nå skrive inn teksten 10 terningkast. Tast b, velg 1:Handlinger og 6:Sett inn kommentar, skriv inn teksten og avslutt med. Du skal nå skrive inn formelen for Tilfeldig heltall. Tast b, velg 5:Sannsynlighet, 4:Tilfeldig og 2:Heltall. Aschehoug Undervisning Side 28 av 47

29 I parentesen skriver du 1,6,10 for minste og høyeste antall øyne, og deretter antall kast, for eksempel 10. Tast. Resultatet legges inn i ei mengdeklamme, for eksempel {2,5,6,5,1,3,4,4,3,2}. De neste ti kastene får du ved å taste. Ett og ett kast kan du utføre ved å sløyfe antall kast i parentesen. Du finner rekkefølgen til de enkelte tallene i formelen ved å taste k, velge fane nummer 1, taste R for første bokstav i randint( og så mange ganger at formelen kommer fram i kalkulatorvinduet. Nederst i vinduet finner du rekkefølgen Binomiske sannsynligheter Eksempel: Binomialkoeffisienter s. 187 og 188 Tast b, velg 5:Sannsynlighet og 3:Kombinasjoner. I parentesen skriver du inn 5,2 for n, r. Tast. Du finner rekkefølgen til de enkelte tallene i formelen ved å taste k, velge fane nummer 1 og taste N for første bokstav i ncr(. Nederst i vinduet finner du rekkefølgen. Eksempel 2 Ti terningkast Tast b5310,3 og deretter b55d10e1p6e3. Dette betyr at du kan få nøyaktig tre seksere på 120 måter når du kaster én terning ti ganger. Sannsynligheten er 0,155 = 15,5 % for å få tre seksere når vi kaster én terning ti ganger. Aschehoug Undervisning Side 29 av 47

30 Eksempel 3 Flervalgsprøve Tast b55d10e1p3e4. Sannsynligheten er 0,155 = 15,5 % for at Eldrid får fire riktige svar ved ren tipping. Eksempel Flervalgsprøve s. 192 og 193 Vi finner sannsynligheten for at Eldrid får høyst fire riktige svar: Tast b. Velg 5:Sannsynlighet, 5:Fordelinger og E:Binomisk Cdf. I dialogboksen skriver du inn de aktuelle tallene. Bekreft valgene med. Sannsynligheten er 0,787 = 78,7 % for at Eldrid får høyst fire riktige svar. Sannsynligheten for at Eldrid får minst fem riktige svar finner du ved først å taste 1 på ei ny linje i Kalkulator-vinduet. Deretter går du opp på forrige linje, merker uttrykket ved å taste, og taster deretter. Svaret får du direkte ved å taste b55e10e1p 3e5e10. Sannsynligheten er 0,213 = 21,3 % for at Eldrid får minst fem riktige svar. Eksempel 5 Tusen terningkast Tast b55e1000e1p6e150, 180. Sannsynligheten er 0,808 = 80,8 % for å få minst 150 og høyst 180 seksere når vi kaster én terning 1000 ganger. Eksempel 6 Politisk meningsmåling Tast b55e1000e0^3e315e Sannsynligheten er 0,159 = 15,9 % for at Arbeiderpartiets oppslutning på meningsmålingen er minst 31,5 %. Aschehoug Undervisning Side 30 av 47

31 5: Mer om algebra Faktorisering og forkorting Eksempel 1 Vi faktoriserer enkle uttrykk b 3:Algebra, 2:Faktor, uttrykket og. Primtallsfaktorene for 12 får du fram ved å bruke factorfunksjonen på 12. Dette viser: ab= 2 3 a b= a ab Eksempel 2 Faktorisering av flerleddet uttrykk b 3:Algebra, 2:Faktor, uttrykket og. Primtallsfaktorene for 4 får du fram ved å bruke factorfunksjonen på 4. Eksempel 3 Negativt tall utenfor en parentes b 3:Algebra, 2:Faktor, uttrykket og. Eksempel 4 Vi forkorter brøker Uttrykket og. NB! Parentes om nevneren og multiplikasjonstegn mellom a og b i nevneren i det første eksemplet. I det fjerde eksemplet må du sette parentes om telleren og om nevneren. Legg merke til varslet som kommer fram nederst i kalkulatorvinduet. Hele teksten kommer fram ved først å flytte markøren opp til svaret. Deretter taster du /b1. Eksempel 5 Vi multipliserer brøker Uttrykket og. NB! Parentes om den andre brøken i hvert av uttrykkene og i tillegg parentes om nevneren i den første brøken i det andre uttrykket. Aschehoug Undervisning Side 31 av 47

32 Eksempel 6 Vi dividerer brøker Uttrykket og. NB! Parentes om tellerne a 2 og 3a 6 i hver av småbrøkene og i tillegg parentes om den nederste småbrøken. Eksempel 7 og 8 Vi subtraherer brøker b 3:Algebra, 7:Brøkverktøy, 4:Fellesnevner, Uttrykket og. NB! Husk parenteser om flerleddede nevnere og tellere. Eksempel 9 Fra brudne brøker til vanlige brøker Tast uttrykket vad hjelp av 4p9p(5p12 og avslutt med. NB! Parentes om den andre brøken Kvadratsetningene Eksempel 1 og 2 Første og andre kvadratsetning b, 3:Algebra, 3:Utvid, uttrykket og. Eksempel 3 Tredje kvadratsetning b, 3:Algebra, 3:Utvid, uttrykket og. Eksempel 4 Faktorisering med tredje kvadratsetning b, 3:Algebra, 2:Faktor, uttrykket og. Eksempel 5 Setter felles faktor utenfor en parentes b, 3:Algebra, 2:Faktor, uttrykket og. Eksempel 6 Et av kvadratene er et flerleddet uttrykk b, 3:Algebra, 2:Faktor, uttrykket og. Aschehoug Undervisning Side 32 av 47

33 Eksempel 7 Vi bruker første kvadratsetning baklengs b, 3:Algebra, 2:Faktor, uttrykket og. Eksempel 8 Vi bruker andre kvadratsetning baklengs b, 3:Algebra, 2:Faktor, uttrykket og. Eksempel 9 Vi faktoriserer og forkorter med tredje kvadratsetning Enten Uttrykket og eller b, 3:Algebra, 3:Utvid, uttrykket og eller b, 3:Algebra, 7:Brøkverktøy, 4:Fellesnevner og. Eksempel 10 Vi finner fellesnevneren med tredje kvadratsetning Uttrykket og Eksempel 11 Faktorisering med nullpunktmetoden b, 3:Algebra, 2:Faktor, uttrykket og. Eksempel 12 Hva når det ikke står x 2? b, 3:Algebra, 2:Faktor, uttrykket og. NB! Her legger du inn desimaltall ved å taste punktum bak minst et av tallene i uttrykket Likninger med brøkuttrykk Eksempel 1 Likning med flerleddet teller b, 3:Algebra, 1:Løs, likningen og,x. Eksempel 2 Likning med brøker og parenteser b, 3:Algebra, 1:Løs, likningen og,x. Eksempel 3 og 4 Likning med x i nevner b, 3:Algebra, 1:Løs, likningen og,x. Aschehoug Undervisning Side 33 av 47

34 Likningssett Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62 dersom du ikke får noen beskjed. Eksempel Grafisk løsning side 216 På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykket f1(x) = 7-x og f2(x) = -2+x. Tast b. Velg 4:Vindu og 1:Vindusinnstillinger, XMin = -1, XMax = 10, YMin = -2 og YMax = 8. Bekreft valgene med. Grafene tegnes på nytt og du ser skjæringspunktet. Vi skal nå bestemme koordinatene til skjæringspunktet. Tast b. Velg 6:Punkter & linjer og 3:Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grafen inntil den blinker. Tast x eller. Flytt så å til den andre grafen, tast x eller, og skjæringspunktet med koordinater blir lagt inn i grafvinduet. Avlesning: x = 4,5 og y = 2,5 Eksempel 1 Hva koster én softis og én cola? I kalkulatorapplikasjonen Tast c og velg 1:Legg til kalkulator. Tast b, velg 3:Algebra og 1:Løs, tast k og 5, velg sjablonen system av to likninger, skriv inn likningene og,x,y til slutt i parentesen. gir svaret. NB! Bruk e-tasten etter hver av de to likningene. Sjablon-paletten kan du åpne direkte ved å taste /r. Likningssettet har løsningen x = 15 og y = 12. En cola kostet 15 kr, og en softis kostet 12 kr. Eksempel 2 Et likningssett uten løsning I kalkulatorapplikasjonen Tast b, velg 3:Algebra og 1:Løs, tast k og 5, velg sjablonen system av to likninger, skriv inn likningene og,x,y til slutt i parentesen. gir svaret. Meldingen false betyr at likningen ikke har løsning. Aschehoug Undervisning Side 34 av 47

35 Eksempel 3 Likningssett av første og andre grad I kalkulatorapplikasjonen Tast b, velg 3:Algebra og 1:Løs, tast k og 5, velg sjablonen system av to likninger, skriv inn likningene og,x,y til slutt i parentesen. gir svaret. Løsningen: x = 4 og y = 4 eller x = 3 og y = 4 Eksempel 4 Grafisk løsning I grafapplikasjonen På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykket f1(x) = -x 2 +5 og f2(x) = -2x+2. Bekreft funksjonene med. Grafene tegnes, og du ser skjæringspunktene. Vi skal nå bestemme koordinatene til skjæringspunktet. Tast b. Velg 6:Punkter & linjer og 3:Skjæringspunkt(er). Flytt å bort til den ene grafen inntil den blir uthevet. Tast x eller. Flytt så å bort til den andre grafen, tast x eller, og skjæringspunktet med koordinater blir lagt inn i grafvinduet. Avlesning: x = 1 og y = 4 eller x = 3 og y = Ulikheter Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62 dersom du ikke får noen beskjed. Eksempel Ulikheter av første grad side 221 og 222 Alternativ 1: På kommandolinja legger du inn ulikhetene y<80x 5600 og y>7000. Tast. når markøren står til høyre for f1(x)=. Tast >, skriv inn 7000 og tast. Tast.<, skriv inn 80x 5600 og tast. Ingen graf eller markering kommer fram i vinduet. Vi lar definisjonsområdet være mellom 0 og 200. Tast b, velg 4:Vindu, 1:Vindusinnstillinger, og legg inn verdiene for XMin og XMaks som dialogboksen Vindusinnstillinger viser. Bekreft valgene med. Aschehoug Undervisning Side 35 av 47

36 Noe av grafen til den ene ulikheten kommer fram i lommeregnervinduet. Passende ytterverdier for y får du ved først å taste b. Så velger du 4:Vindu og A:Zoom - Tilpasning. Hver av ulikhetene blir skyggelagt, og nå fyller de grafvinduet. En mørkere skyggetone markerer området der begge ulikheten gjelder. Vi skal nå bestemme skjæringspunktet mellom grenselinjene til de to skyggelagte områdene. Tast b. Velg 6:Punkter & linjer og 3:Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grenselinja inntil den blinker. Tast x eller. Flytt så pila til den andre grenselinja, tast x eller, og skjærings-punktet med koordinater blir lagt inn i grafvinduet. Ulikheten stemmer i det mørkere området. Ulikheten har løsningen x > 157,5. Alternativ 2: På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykket f1(x) = 80x 5600 og f2(x) = Tast. Ingen graf kommer fram i vinduet. Vi lar definisjonsområdet være mellom 0 og 200. Tast b, velg 4:Vindu, 1:Vindusinnstillinger, og legg inn verdiene for XMin og XMaks som dialogboksen Vindusinnstillinger viser. Bekreft valgene med. Passende ytterverdier for y får du ved først å klikke b. Så velger du 4:Vindu og A:Zoom - Tilpasning. Grafene tegnes på nytt, og nå fyller de grafvinduet. Vi skal nå bestemme skjæringspunktet. Tast b. Velg 6:Punkter & linjer og 3:Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grafen inntil den blinker. Tast x eller. Flytt så pila til den andre grafen, tast x eller, og skjæringspunktet med koordinater blir lagt inn i grafvinduet. Ulikheten stemmer når grafen til f1 ligger over grafen til f2. Ulikheten har løsningen x > 157,5. I kalkulatorapplikasjonen Tast c, velg 6:Nytt dokum, Nei og 1:Legg til kalkulator. Tast b, velg 3:Algebra og 1:Løs. Tast inn ulikheten 80X-5600>7000, og,x gir svaret. Svaret får du på desimalform ved å taste /. Ulikheten har løsningen x > 157,5. Det må komme minst 158 elever Aschehoug Undervisning Side 36 av 47

37 Eksempel Ulikheter av andre grad side 225 I grafapplikasjonen Tast c, velg 6:Nytt dokum, Nei og 2:Legg til Grafer & geometri. Alternativ 1: På kommandolinja legger du inn ulikhetene y< 0,8x x 3280 og y>2000. Tast. når markøren står til høyre for f1(x)=. Tast >, skriv inn 2000 og tast. Tast.<, skriv inn 0,8x x 3280 og tast. Husk v framfor 0.8x 2. Ingen graf eller markering kommer fram i vinduet. Vi lar definisjonsområdet være mellom 0 og 200. Tast b, velg 4:Vindu, 1:Vindusinnstillinger, og legg inn verdiene for XMin og XMaks som dialogboksen Vindusinnstillinger viser. Bekreft valgene med. Noe av grafen til den ene ulikheten kommer fram i lommeregnervinduet. Passende ytterverdier for y får du ved først å taste b. Så velger du 4:Vindu og A:Zoom - Tilpasning. Hver av ulikhetene blir skyggelagt, og nå fyller de grafvinduet. En mørkere skyggetone markerer området der begge ulikheten gjelder. Vi skal nå bestemme skjæringspunktet mellom grenselinjene til de to skyggelagte områdene. Tast b. Velg 6:Punkter & linjer og 3:Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grenselinja inntil den blinker. Tast x eller. Flytt så pila til den andre grenselinja, tast x eller, og skjæringspunktet med koordinater legges inn i grafvinduet. Ulikheten stemmer i det mørkere området. Ulikheten har løsningen x > 60 og x <110; altså: Alternativ 2: L = < 60,110 >. På kommandolinja legger du inn funksjonsuttrykket f1(x) = 0,8x x 3280 og f2(x) = Husk v framfor 0.8x 2. Tast. Ingen graf kommer fram i vinduet. Vi lar definisjonsområdet være mellom 0 og 200. Tast b, velg 4:Vindu, 1:Vindusinnstillinger, og legg inn verdiene for XMin og XMaks som dialogboksen Vindusinnstillinger viser. Bekreft valgene med. Aschehoug Undervisning Side 37 av 47

38 Noe av grafen til den ene funksjonen kommer fram i lommeregnervinduet.. Passende ytterverdier for y får du ved først å taste b. Så velger du 4:Vindu og A:Zoom - Tilpasning. Grafene tegnes på nytt, og nå fyller de grafvinduet. Vi skal nå bestemme skjæringspunktene. Tast b. Velg 6:Punkter & linjer og 3:Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grafen inntil den blinker. Tast x eller. Flytt så pila til den andre grafen, tast x eller, og skjæringspunktene med koordinater blir lagt inn i grafvinduet. Ulikheten stemmer når grafen til f1(x) ligger over grafen til f2(x). Ulikheten har løsningen x > 60 og x <110; altså: L = < 60,110 >. I kalkulatorapplikasjonen Tast c, velg 6:Nytt dokum, Nei og 1:Legg til kalkulator. Tast b, velg 3:Algebra og 1:Løs. Skriv inn ulikheten vxq+136x-3280>2000, og,x til slutt i parentesen. Husk v framfor 0.8x 2. gir svaret. Ulikheten har løsningen 60 < x < 110; altså: L = < 60,110 >. Eksempel 7 Vi løser en andregradsulikhet Tast c, velg 6:Nytt dokum, Nei og 1:Legg til kalkulator. Tast b, velg 3:Algebra og 1:Løs. Skriv inn ulikheten 6- X<=Xq, og,x til slutt i parentesen. gir svaret. Ulikheten har løsningen x 3 eller x 2; altså: L = <, 3] [2, >. Eksempel 9 Andregradsulikhet uten løsning Tast c, velg 6:Nytt dokum, Nei og 1:Legg til kalkulator. Tast b, velg 3:Algebra og 1:Løs. Skriv inn ulikheten vxq+2x-2>=0, og,x til slutt i parentesen. gir svaret. Meldingen false betyr at likningen ikke har løsning. Aschehoug Undervisning Side 38 av 47

39 Eksponentiallikninger 1T og TI-nspire CAS Eksempel Grafisk løsning av eksponentiallikninger Tast c, velg 6:Nytt dokum, Nei og 2:Legg til Grafer & geometri. Legg inn på kommandolinja funksjonsuttrykkene f1(x) = x og f2(x) = 50. Tast. Ingen graf kommer fram i vinduet. Vi lar definisjonsområdet være mellom 0 og 10. Tast b, velg 4:Vindu, 1: Vindusinnstillinger, og legg inn verdiene for XMin og XMaks som dialogboksen Vindusinnstillinger viser. Bekreft valgene med. Passende ytterverdier for y får du ved først å taste b. Så velger du 4:Vindu og A:Zoom - Tilpasning. Grafene tegnes på nytt, og nå fyller de grafvinduet. Vi skal nå bestemme skjæringspunktet. Tast b. Velg 6:Punkter & linjer og 3:Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grafen inntil den blir uthevet. Tast x eller. Flytt så pila til den andre grafen, tast x eller, og skjæringspunktet med koordinater blir lagt inn i grafvinduet. Det tar ca. 6,4 timer før temperaturen har sunket til 50 ºC. Eksempel Løsning av eksponentiallikninger med kalkulatorapplikasjonen Tast c, velg 6:Nytt dokum, Nei og 1:Legg til kalkulator. Tast b, velg 3:Algebra og 1:Løs, skriv inn likningen 85r0^92lX =50 og,x til slutt i parentesen. gir svaret. Det tar ca. 6,4 timer før temperaturen har sunket til 50 ºC Logaritmelikninger Tast c, velg 6:Nytt dokum, Nei og 2:Legg til Grafer & geometri. Eksempel Logaritmelikninger side 235 Legg inn på kommandolinja funksjonsuttrykkene f1(x) = log 10 x og f2(x) = 1.8. Du kan taste /s10e eller hente log( fra katalogen ved å taste k1l. Deretter taster du 18 ganger på slik at log( utheves. Tast X. Du kan også taste /se eller LOG( direkte. Vi velger definisjonsområdet mellom 0 og 100. Tast b, velg 4:Vindu, 1: Vindusinnstillinger, og legg inn verdiene for XMin og XMaks. Passende ytterverdier for y får du ved først å taste b. Så velger du 4:Vindu og A:Zoom - Tilpasning. Grafene tegnes på nytt, og nå fyller de grafvinduet. Aschehoug Undervisning Side 39 av 47

40 Vi skal nå bestemme skjæringspunktet: Tast b. Velg 6:Punkter & linjer og 3:Skjæringspunkt(er). Flytt pila bort til den ene grafen inntil den blir uthevet. Tast x eller. Flytt så pila til den andre grafen, tast x eller, og skjæringspunktet med koordinater blir lagt inn i grafvinduet. Likningen log x = 1,8 har løsningen x = 63,1. I kalkulatorapplikasjonen Tast c, velg 6:Nytt doku, Nei og 1:Legg til kalkulator. Tast b, velg 4:Algebra og 1:Løs, tast likningen og,x til slutt i parentesen. gir svaret. Likningen log x = 1,8 har løsningen: x = 63,1 Aschehoug Undervisning Side 40 av 47