Matematikk X. det digitale verktøyet. Kristen Nastad. Aschehoug Undervisning

Transkript

1 Matematikk X og det digitale verktøyet Kristen Nastad Aschehoug Undervisning

2 Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Operating System Software for CASkalkulatoren og Aschehougs lærebok Matematikk X, studieforberedende utdanningsprogram. Kalkulatoren inneholder applikasjonene (noen funksjoner i parentes) Kalkulator (algebra, funksjonsanalyse, sannsynlighet, statistikk og vektor) Grafer & geometri (graf- og tegneverktøy, geometri og analyseverktøy) Lister & regneark (regresjon, fordeling, test, konfidensintervall og tabell) Notes (tekstredigering) Data & statistikk (plott, diagram, regresjon) I heftet finner du forklaringer på bruk av kalkulatoren TI-nspire CAS i alle eksemplene der tastetrykkene for TEXAS er tatt med i læreboka. Du finner også forklaringer på hvordan du kan bruke kalkulatoren i noen andre eksempler. Side 3 finner du innholdsfortegnelsen med sidehenvisningene til læreboka lengst til venstre. Korte beskrivelser av noen taster finner du på side 4. Forklaringer til hurtigtaster finner du på side 5. Sett deg godt inn i informasjonen som fulgte med kalkulatoren. På nettstedet Atomic Learning finner du animerte opplæringssekvenser på norsk. Se også Digitale verktøy i Lenkesamling på Lokus. Den norske sida til Texas Instruments: gir mye informasjon om kalkulatoren. Lykke til med bruken av heftet! Kristen Nastad Aschehoug Undervisning Side 2 av 15

3 Innhold Tastene på TI-nspire CAS... 4 Hurtigtaster : Komplekse tall Regneregler for komplekse tall Konjugasjon og divisjon Polar form Eksponentiell form Komplekse n-terøtter Likninger med komplekse koeffisienter : Tallteori Euklids bevis og Eratostenes sold Største felles faktor Euklids algoritme Primtallsfaktorisering og diofantiske likninger Restregning og delbarhetskriteriet Kongruensregning : Sannsynlighet Stokastiske variabler Forventningsverdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrensesetningen Litt om statistiske metoder Aschehoug Undervisning Side 3 av 15

4 Tastene på TI-nspire CAS d fjerner menyer eller dialogbokser fra skjermen c viser startmenyen e flytter til neste innleggingsområde b viser applikasjons- eller kontekstmenyen / gir tilgang til funksjoner eller tegn som vises øverst på hver tast g skriver det neste tegnet som stor bokstav w slår på lommeregneren. sletter kommandolinja eller valgt objekt k viser kommandokatalogen behandler et uttrykk, utfører en instruksjon eller velger et menyemne NavPad Markøren flyttes ved å trykke på,, eller x Klikk-knapp. Velger et objekt på skjermen. /+x griper et objekt på skjermen. Du kan også gripe et objekt ved å trykke og holde inne x. Aschehoug Undervisning Side 4 av 15

5 Hurtigtaster Redigere tekst Navigasjon Klipp ut / X Hjem / 7 Kopier / C Slutt / 1 Lim inn / V Side opp / 9 Angre / Z Side ned / 3 Gjør om / Y Opp et nivå i hierarkiet / Sett inn tegn, symboler Ned et nivå i hierarkiet / Visning av tegn, symboler / k Navigere i dokumenter Ikke lik / = Vis forrige side / Senket strek / _ Vis neste side / / > Vis sidesortering / / < Veivisere og sjabloner Semikolon / : Legge til en kolonne i en matrise Matematisk sjablonpalett / r Legge til en rad i en / j Sjablon for integrasjon g + $ / " Sjablon for den deriverte g - Symbol for grader / ' Endre displayet Dokumentstyring Øke kontrast / + Opprette nytt dokument / N Redusere kontrast / - Sette inn ny side / I Slå av / w Velg applikasjon / K Lagre aktuelt dokument / S Aschehoug Undervisning Side 5 av 15

6 1: Komplekse tall Regneregler for komplekse tall Eksempel 1 og 2 I eksempel 1 taster du 2+3j-(v5-4j når differansen mellom z 1 og z 2 skal beregnes. På tilsvarende måte finner du produktet i eksempel 2. Eksempel 4 Potensen i 12 finner du ved å taste jl12. På tilsvarende måte finner du de andre potensene av i Konjugasjon og divisjon Eksempel side 18 Tast b281, skriv inn uttrykket og tast. Eksempel 2 Tast inn brøken med parenteser om telleren og om nevneren. Avslutt med Polar form Pass på at du bruker grader i Dokumentinnstillinger. Eksempel 1 Tast (3-4j)b286/. Nå kommer absoluttverdien og argumentet fram i kalkulatorvinduet. Argumentet velger du i første omløp. Dermed kan du skrive det komplekse tallet 3 4i på polar form. Kontroller svaret ved å taste. Se nederste linje til høyre. Aschehoug Undervisning Side 6 av 15

7 Eksempel 2 Tast inn uttrykket for det komplekse tallet på polarform. Avslutt med. Svaret med desimaler får du ved å taste /. Alternativt kan du taste (4/k, velg og avslutt med 30). Eksempel nederst side 22 Tast b29, velg 2: Reell del, 3: Imaginær del, 4: Polar vinkel eller 5:Størrelse. Avslutt med eller /. / gir desimaler. Eksempel 3 og 4 Skriv inn produktet av de to komplekse tallene i Eksempel 3 på samme måte som i alternativ metode i Eksempel 2. Avslutt med b296/. På tilsvarende måte gjennomfører du divisjonen av de to komplekse tallene i Eksempel 4. Kontroller svarene ved å bruke reglene for multiplikasjon og divisjon på polar form. Eksempel 5 Skriv inn potensen av det komplekse tallet i Eksempel 5 og avslutt med /. Gjør om det komplekse tallet til polar form på samme måte som i Eksempel 1. Deretter opphøyer du svaret på polar form i 5-te og taster b296. Vi ser at de Moivres formel er brukt her. Til slutt kan du kontrollere svaret ved å gjøre om til vanlig form Eksponentiell form Eksempel 1 Vi gjør om 150 til en vinkel i radianer. Tast 150. Deretter taster du /k, velger symbolet for grader ytterst til høyre på den første symbolraden og taster k1r. Tast /, og du får vinkelen som et desimaltall. Eksempel 2 Vi gjør om 2 til grader. Tast 2k1D. Du får svaret på desimalform ved å taste /. Aschehoug Undervisning Side 7 av 15

8 Eksempel 3 Skriv inn tallet på polar form. Deretter taster du k1p. Du får svaret på desimalform ved å taste /. Eksempel 4 Skriv inn tallet på vanlig form. Deretter taster du k1p. Du får svaret på desimalform ved å taste /. Eksempel 5 Skriv inn tallet på eksponentiell form. Deretter taster du. Du får svaret på vanlig form Komplekse n-terøtter Eksempel 5 Vi finner den ene 5-teroten direkte ved å taste /l5e243j/. De andre løsningene finner vi ved først å bestemme absoluttverdien for z = 243i: Tast b285/l5e243j/. Argumentet finner vi ved å taste b284/l5e243j k1d /. Deretter deler du 360 med 5. Argumentene for z er derfor gitt ved: 18 + k 72. Nå kan du finne alle 5-terøttene. Eksempel 6 Vi finner den ene kvadratroten direkte ved å taste /q/q12 +2j/. De andre løsningene finner vi ved først å bestemme absoluttverdien og argumentet på samme måte som i Eksempel 5. Deretter deler du 360 med 2. Argumentene for z er derfor gitt ved: 15 + k 180. Nå finner du den andre kvadratroten Likninger med komplekse koeffisienter Eksempel 1 og 2 I hvert av eksemplene taster du først b3a1. Deretter skriver du inn likningen og avslutter med,z/. Aschehoug Undervisning Side 8 av 15

9 2: Tallteori Euklids bevis og Eratostenes sold Eksempel 3 Vi velger tallet 37 og divisoren 2. Heltallskvotienten finner vi ved å taste b28237p2. Resten finner vi ved å taste b2637, Største felles faktor Eksempel 1 Tast b2428,70. Eksempel 5 Vi finner primfaktorene i hvert av tallene 798 og 910. Tast b23/)798, og 7 er felles primfaktorer. På samme måte som i Eksempel 1 finner du største felles faktor som har primfaktorene 2 og Euklids algoritme Eksempel 1 Vi bruker kalkulatoren, beregner 188:138, tar bort desimalene og beregner Deretter deler vi138 med 50, tar bort desimalene og fortsetter på samme måte helt til vi kommer til null. Dette gir sff(188, 138) = 2. Aschehoug Undervisning Side 9 av 15

10 71 81 Primtallsfaktorisering og diofantiske likninger Eksempel 4 Tast b23, skriv tallet og avslutt med Restregning og delbarhetskriteriet Eksempel 2 Tast b26, skriv inn 117,7 og avslutt med. Alternativ: Tast b285, skriv inn 117,7 og avslutt med. Eksempel 3 Tast b285, skriv inn ,9 og avslutt med. På tilsvarende måte finner du resultatene på de tre neste linjene. Du ser at resultatene stemmer med addisjons- og multiplikasjonsregelen for rester Kongruensregning Eksempel 5 Tast b31, skriv inn likningen og avslutt med,x. Aschehoug Undervisning Side 10 av 15

11 Stokastiske variabler 3: Sannsynlighet Eksempel 2 Tast b55d. I dialogboksen skriver du inn de aktuelle tallene. Sannsynligheten er 17,9 % for at akkurat 15 frø vil spire. Utvidelse av eksempel 2 Vi finner sannsynligheten for at minst 15 frø vil spire. Alternativ1: Tast b44xe15e20eb5320,x r0^7lxe(1-0^7 l20- X. Sannsynligheten er 41,6 % for at minst 15 frø vil spire. Alternativ 2: Tast b44xe15e20eb55d. I dialogboksen skriver du inn de aktuelle tallene. Sannsynligheten er 41,6 % for at minst 15 frø vil spire. Alternativ 3: Tast b55e. I dialogboksen skriver du inn de aktuelle tallene. Sannsynligheten er 41,6 % for at minst 15 frø vil spire. Aschehoug Undervisning Side 11 av 15

12 Forventningsverdi Eksempel side 141 og 142 Alternativ 1: Tast b44xe0e20exrb55d. I dialogboksen fyller du ut de aktuelle feltene. Forventningsverdien for den stokastisk variable er 14; altså: E(X) = n p = 20 0,70 = 14 Alternativ 2: Tast b44xe0e20exrb53 20,X r0^7lxe(1-0^7 l20-x. Forventningsverdien for den stokastisk variable er 14; altså: E(X) = n p = 20 0,70 = Varians og standardavvik Eksempel side 148 Tast b44xe0e20e(x- 14 l2erb55d. I dialogboksen fyller du de aktuelle feltene. Forventningsverdien for den stokastisk variable er 14; altså: Var(X) = n p (1 p) = 20 0,70 0,30 = 4,20 Aschehoug Undervisning Side 12 av 15

13 Normalfordelingen Tast c6e 2 dersom du ikke vil lagre ulagret dokument. Tast c62 dersom du ikke får noen beskjed. Tast c61. Nå kan du veksle mellom graf- og kalkulatorapplikasjonen. NB! eksempel side 154 I kalkulatorapplikasjonen får du fram normalfordelingsfunksjonen ved å taste b551. I dialogboksen fyller du ut de aktuelle feltene. Merk normpdf(x,0,2), kopier (/C) funksjonen og lim (/V) den inn på kommandolinja i grafapplikasjonen. Kommandolinja kan du skjule eller vise ved å taste /G Velg x-verdier mellom 5 og 5. Tilpass vinduet (b4a) til grafen. Eksempel 4 og side 161 Punkt 1, alternativ 1: I kalkulatorapplikasjonen taster du b552. I dialogboksen fyller du ut de aktuelle feltene. Sannsynligheten er 39,3 % for at en nyfødt gutt er mellom 2,5 og 3,5 kg. Punkt 1, alternativ 2: I kalkulatorapplikasjonen taster du b551. I dialogboksen fyller du ut de aktuelle feltene. Bekreft valgene med. Merk normpdf(x,3.62,0.5), kopiér (/C) funksjonen og lim (/V) den inn på kommandolinja i grafapplikasjonen. Aschehoug Undervisning Side 13 av 15

14 Kommandolinja kan du skjule eller vise ved å taste /G. Velg x-verdier mellom 0 og 7. Tilpass vinduet (b4a) til grafen. I grafapplikasjonen taster du b75, flytter musemarkøren bort til grafen, klikker a eller taster, taster 2^5 3^5 og avslutter med. Arealet av det skyggelagte området er 0,393. Sannsynligheten er 39,3 % for at en nyfødt gutt er mellom 2,5 og 3,5 kg. Punkt 2 I kalkulatorapplikasjonen taster du b553. I dialogboksen fyller du ut de aktuelle feltene. Sannsynligheten er 90 % for at en nyfødt gutt vil veie høyst 4,26 kg Sentralgrensesetningen Eksempel 3 I kalkulatorapplikasjonen taster du b552. I dialogboksen fyller du ut de aktuelle feltene. Sannsynligheten er 4,2 % for at høyst 675 frø vil spire. Eksempel 5 I kalkulatorapplikasjonen taster du b55e. I dialogboksen fyller du ut de aktuelle feltene. Sannsynligheten er 28,6 % for at hun får høyst 8 riktige svar. Aschehoug Undervisning Side 14 av 15

15 Alternativ: Antall riktige svar, X, er tilnærmet normalfordelt med 1 forventningsverdien np = 30 og standardavviket np(1 p) = 30. I kalkulatorapplikasjonen taster du 3 3 b552. I dialogboksen fyller du ut de aktuelle feltene. Sannsynligheten er 21,9 % for at hun får høyst 8 riktige svar. Med halvkorreksjon får du 28,1 %. Vi ser at sannsynligheten med halvkorreksjon er nesten det samme som det vi får uten tilnærming Litt om statistiske metoder Eksempel 1 og 2 I kalkulatorapplikasjonen taster du b665. I dialogboksen fyller du ut de aktuelle feltene. I kalkulatorvinduet leser du nå av estimatet 0,196 og standardfeilen 0,028987/1,96 = 0,0148 til estimatet. Et 95 % konfidensintervall er 0,167, 0,225. Altså: På grunnlag av et 95 % konfidensintervall er Fremskrittspartiets oppslutning mellom 16,7 % og 22,5 % på det aktuelle tidspunktet meningsmålingen ble gjennomført. Eksempel sidene 174 og 175 I kalkulatorapplikasjonen taster du b55e. I dialogboksen fyller du ut de aktuelle feltene. Sannsynligheten er 1,8 % for at den nye salven vil bli best for minst 61 pasienter, hvis de to salvene er like gode. Aschehoug Undervisning Side 15 av 15