MATEMATIKK MED TI-83. GrunnKurs på AF/ØK/ADstudieretning.

Transkript

1 TEXAS INSTRUMENTS Eystein Raude, EMC MATEMATIKK MED TI-83 GrunnKurs på AF/ØK/ADstudieretning. Eystein Raude Texas Instruments

2 Kjære bruker av TI-83. Matematikk er både en vitenskap i seg selv og et utsøkt verktøy for beskriving av virkeligheten. Virkeligheten er her ment å være den fysiske verden! En lommeregner som TI-83 f.eks. er ett hjelpemiddel når vi anvender matematikken som verktøy. Vi skal i MATEMATIKK MED TI-83 se på bruken av dette hjelpemidlet. Eksemplene i denne beskrivingen oppfyller læreplanens mål. Vi følger læreplanen punkt for punkt. 2

3 Læreplanen. Modul 1. Mål 10: Modellbygging og problemløsing. Elevene skal... kunne benytte IT-hjelpemidler til å løse og besvare enkle oppgaver. Mål 1: Praktisk regning og enkle likninger. Elevene skal 1a kunne regne med desimaltall, brøker, [...] og bokstavuttrykk Lommeregneren gir svar med et stort antall desimaler. Da kan vi sette TI-83 i modusinnstillingen FLOAT: Her kan du velge antall desimaler, f.eks. 2 og trykke ENTER. Eksempel l: Regn ut arealet av en sirkel med radius 4.35 m med to desimaler: Skriv inn: [2nd]π Brøker. TI-83 regner ikke med symboler, bare med tall, men den regner med brøk! Eksempel 2: Regn ut Skriv inn i lommeregneren (husk at er symbolet for divisjon og brøkstrek) 3

4 For å få svaret i brøk trykker du på MATH 1: Frac ENTER gir svaret Bokstavuttrykk. Du må kunne regne med bokstavuttrykk, men TI-83 kan regne ut verdier av bokstavuttrykk når du gir bokstavene forskjellige verdier. Eksempel 3: La oss si at du skal beregne volumet av en sylinder. Formler for overflaten og volum 2 av ulike legemer finns i formelsamlinger. Volumet av en sylinder er V = π R h, der R og h er hhv. radius i grunnflaten og h er høyden. Vi velger først R = 10 cm og h = 25 cm. Skriv da 10 STO ALPHA R ENTER og 25 STO ALPHA H ENTER 4

5 2 Nå skriver du inn uttrykket for volumet [2nd]π R H og trykk ENTER: Eksempel 4: La oss si du vil regne ut flere verdier for volumet med ulike verdier på R og h. Da bruker vi LISTER. Vi velger f.eks. verdiene for R i LISTE 1 og korresponderende verdier på h i LISTE 2. På TI-83 finner du listene ved de tilsvarende tallene; du må bare huske på å bruke [2nd]-tasten først. Skriv f.eks. {1,2,3,4,5,6}STO [2nd]L1 ENTER og {.5,.6,.7,.8,.9.1.0}STO L2 ENTER: Formelen for volumet blir nå der L1 2 L2 har erstattet R 2 h. Trykk ENTER: Volumene ligger nå i den nye lista som du godt kan kalle nr.3, dvs. STO L3. 5

6 Dersom du vil slette listene, gjør du følgende: trykk [2nd]MEM 2: Delete og 4: List.. Trykk ENTER inntil listene er fjernet. Eksempel 5: 2 3 2xy 5x y Anta at du skal sette inn negative tall i et algebraisk uttrykk, f.eks. xy + 3y 7x y Dersom du bare skal regne det ut for x = 2 og y = 1, skriver du dette direkte inn i lommeregneren. Glem ikke parentes rundt negative tall og parentes rundt teller og nevner: Dette er en oppgave som krever trening! Men: det gjelder her som ellers: øvelse gjør mester! Legg merke til symbolet ^ som brukes når eksponenten er ulik 2! 6

7 Du kan også bruke teknikken med å lagre verdiene for x og y. Da bruker du STO på lommeregneren: Nå skriver du inn uttrykket som du skal beregne verdien av: Deretter trykker du ENTER: 1e kunne bruke lommeregneren og kontrollere svarene ved overslagsregning Med de kunnskaper, og ferdigheter på lommeregneren som du nå har, burde dette punktet falle enkelt. 1h kunne løse likninger av første grad Eksempel 6: 2x 3 19 Løs likningen 2x =. Du kan løse den på to tilnærmet like måter vha TI a) Trykk på [2nd] CATALOG og bokstaven S 7

8 Gå med til SOLVE( og trykk ENTER: Skriv inn likningen, men pass på at alle ledd står på en side: Legg merke til hvor x befinner seg på lommeregneren, nemlig på tasten med symbolene Χ,Τ,θ,η. Trykk nå ENTER: 8

9 Pass på at du har skrevet hele likningen på en linje, at du passer på å skifte fortegn og skriver, X, X). Du må nemlig gi TI-83 beskjed om hvilken variabel den skal løse med hensyn på, og velge en vilkårlig x. (Du kunne godt ha gitt maskinen et forslag isteden for denne x-en, f.eks. 1.) b) Nå skal vi gå inn i MATH 0: Solver: Trykk ENTER. Dersom det står ett eller annet der, bruk da og trykk CLEAR. Da vil du se dette vinduet: Skriv inn likningen som forrige gang: Trykk ENTER: Denne verdien på x er ikke den riktige. Du trykker nå på tastene ALPHA og SOLVE (ved ENTER): 9

10 Svaret er Du kan få det som rasjonelt tall ved å skrive på vanlig måte 10

11 MÅL 2: Statistikk. Elevene skal 2c kunne begrepene hyppighet, variasjonsbredde, gjennomsnitt og median Eksempel 1. Fartsgrensen på en skolevei er 50 km/h. De som bor i området, mener at bilistene kjører for fort. For å underbygge sine krav om fartsdempere, ber de politiet foreta fartskontroller. En onsdag morgen var det 40 biler som passerte en bestemt strekning i tidsrommet kl Her er registreringen av farten, målt i km/h: a) Hvor stor prosentdel av bilene kjørte for fort? Løsning: La oss først laste alle tallene inn i LISTE 1, L1. Trykk på [2nd] { og skriv inn tallene, med, mellom hvert innslag. Avslutt deretter med }STO [2nd]L1: Trykk ENTER: 11

12 Nå ligger L1 inne med { osv}. La oss sortere etter størrelse: trykk [2nd]LIST OPS 1: SortA([2nd]L1) ENTER: Skriv [2nd]Rcl [2nd]L1: ENTER: 12

13 Nå har du fartene etter økende verdi. Du kan telle opp de som ikke kjørte for fort: 12. Det betyr at 28/40 eller 70% kjørte for fort. b) Beregn gjennomsnittsfarten til bilene. Trykk på STAT CALC 1: 1-Var Stats og skriv inn [2nd]L1: Trykk ENTER: 1-Var Stats betyr at vi beregner for en variabel, dette tilfellet farten. Vi kan nå lese at 1. gjennomsnittsfarten er x =57.5 km/ h. 2. antall observasjoner er medianen er 55 km/h 4. variasjonsbredden er max X - min X = = 35 km/h. 2d kunne klassedele et statistisk materiale, beregne gjennomsnitt og tegne histogram Eksempel 2. Vi fortsetter med vårt eksempel. Vi skal nå bruke statistikkprogrammet, men først sletter vi innholdet i L1. 13

14 Trykk på [2nd]MEM 2: Delete 4: List ENTER: L1 slettes ved ENTER: Trykk nå på STAT 1: Edit og ENTER: c) Grupper fartstallene i klasser slik at klasse 1 er fra og med 46 km/h til 51 km/h, klasse 2 fra og med 51 km/h til 56 km/h osv. og lag en hyppighetstabell (frekvenstabell). I L! skriver du da 46 ENTER, 51 ENTER, 56 ENTER, osv. og i L2 51 ENTER, 56 ENTER, 61 ENTER, osv. Du kommer fra L1 til L2 ved å bruke. Nå lar vi TI-83 beregne klassemidtpunktene ved å skrive ( L1+ L2) / 2 i hodet på L3: ([2nd]L1+[2nd]L2)/2: 14

15 Trykk ENTER og lommeregneren regner ut disse: I L4 skriver du nå inn antall observasjoner i de forskjellige klassene: I L5 skriver du nå L3 L4 og ENTER: Nå overtar STAT CALC 1: 1- Var Stats ENTER [2nd]L3, [2nd]L4 ENTER: Her ser du at et klassedelt materiale gir en gjennomsnittsverdi på farten som er noe forskjellig fra det aritmetiske gjennomsnitt. 15

16 Du kunne også ha funnet gjennomsnittet ved å summere L5 og dividere med 40: [2nd]LIST MATH 5: sum([l5])/40 ENTER: d) Lag et histogram som viser resultatet av trafikkundersøkelsen. Først trykker du på [2nd]STAT PLOT. Deretter på 1: Plot 1...On og ENTER. Aktiver On med ENTER: Flytt markøren med piltastene og aktiver symbolet for histogram/søylediagram (TI-83 tegner kun søylediagrammer!). Flytt markøren ned til X list: og skriv inn [2nd]L3. Flytt deretter ned til Freq: og skriv [2nd]L4. Aktiver med ENTER. Nå må du bestemme definisjonsmengde og verdimengde ved hjelp av WINDOW: Trykk på GRAPH: 16

17 Bruk TRACE og følg grafbildet: Her leser du f.eks. at mellom 61 og 66 km/h var det n = 2 biler! Mål 3: Geometriske beregninger og trigonometri. Elevene skal 3a kunne regne ut areal og omkrets av sirkler, kvadrater, rektangler, parallellogrammer, trapeser og trekanter Eksempel 1. I et trapes er arealet 84 cm 2, den ene av de parallelle sidene er 12 cm og avstanden mellom de parallelle sidene er 8.0 cm. Finn lengden av den andre parallelle siden. Du får oppgitt at arealet av et trapes er ( a + b) 2 h. Dette gir likningen ( 12 + b) 84 = Med dine kunnskaper vil dette se slik ut på lommeregneren: 17

18 Her ser du TI-83 i praksis! Den andre siden er 9.0 cm. Eksempel 2. Kildesortering av avfall er etterhvert innført i de fleste kommuner i landet. Beholdere for innsamling av brukt glass er plassert i over 400 kommuner. Beholderne for innsamling av glass har form som en sylinder med en halvkule oppå. Diameteren i sylinderen og halvkule er 110 cm og høyden i sylinderen er 90 cm. a) Vis at en slik beholder har et volum på 1.2 m 3. Volumet av beholderen har uttrykket V = π R + π R H: dette er ei halv kule 3 pluss en sylinder. Vi lagrer verdiene for radien og høyden i lommeregneren og lar den regne ut volumet: Trykk ENTER: Vi runder av til 1.2 m 3. b) Kommunen disponerer et lite område der de ønsker å plassere slike beholdere. Området er kvadratisk med areal 4.0 m 2. Vis [ ] at det er plass til minst 2 beholdere på området. Når beholderne står oppreist tar de en plass på 18

19 Dersom de står oppreist burde det bli plass til 4 stykker. Dersom de ligger får vi: Det arealet som beholderen opptar blir: Det vil si at det er minst plass til 2 beholdere. 19

20 3b kunne bruke formler for volum og overflate av kule,...og pyramide. Eksempel 3. En sandhaug har form som en kjegle med diameter på 2.6 m og høyde på 1.8 m. a) Finn volumet av kjeglen. 1 2 Volumet er V = π R H. Vi lagrer verdiene og får: 3 som er ca. 1.0 m 3. Sanden skal legges på en rett vei som er 3.0 m bred. b) Hvor lang veistrekning kan dekkes når sandlaget skal være 2 cm tykt? Volumet av sandlaget blir V = l b h. Dette gir oss likningen 10. = l På TI-83 blir dette: som gir løsningen Veistrekningen er ca. 17 m lang. 3f kunne beregne sinus, cosinus og tangens til vinkler mellom 0 og 90. Eksempel 4. 20

21 Beregn sinus, cosinus og tangens til vinklene i tabellen funksjon vinkler i grader verdier sinus 30, 45, 60, , 0.707, cosinus samme vikler 0.866, 0.707, 0.5 tangens samme vinkler 0.577, 1, Du skal nå bruke tastene merket SIN, COS og TAN. Først må du forsikre deg om at lommeregneren bare bruker grader. Trykk på MODE og Degree: Deretter skriver du SIN og lommeregneren viser sin(. Skriv inn f.eks. 30 og avslutt med ). Tilsvarende gjør du for COS og TAN. 3g kunne gjøre beregninger i rettvinklete trekanter ved hjelp av trigonometriske funksjoner, [ ] og Pythagora`s setning, 3h kunne løse praktiske problemer ved hjelp av geometri og trigonometri. Eksempel 5. En telefonstolpe er sikret ved hjelp av en vaier. Høyden på stolpen er 8.0 m. Vaieren går fra toppen og festes i bakken 3.0 m fra bunnen av stolpen. Stolpen står loddrett. Hvor stor blir vinkelen mellom vaieren og bakken? Vinkelen mellom vaieren og bakken kaller vi α. Vi må bruke TAN her, fordi vi kjenner bare katetene. Dette gir tanα = 8.0/3.0. Vi benytter deretter [2nd] TAN 1 (8.0/3.0): 21

22 Dette ga vinkelen α = b) En stolpe skal sikres på samme måte. Hvor lang må vaieren være dersom høyden på stolpen er 10.0 m og vaieren skal danne samme vinkel med bakken? Da vinkelen skal være den samme, må tangensverdien være den samme. Det betyr at forholdet mellom høyden og avstanden langs bakken skal være 8.0/3.0. Vi får likningen =, der x er den søkte avstanden langs bakken. TI-83 gir svaret: 30. x som gir I følge Pythagora`s setning blir da vaierens lengde y: y 2 = TI-83 gir også her svaret: og 22

23 Vaierens lengde må være ca.10.7 m. Modul 2B Mål 6: Algebra Eleven skal 6b kunne regne sikkert med tall [] som inneholder brøker, parenteser, potenser og n-te røtter. Eksempel 1. Regn ut På lommeregneren blir dette (husk å benytte ^ når eksponenten er større enn to ): 23

24 og ENTER 6c kjenne begrepet eksponentiell vekst og noen anvendelser i økonomi og naturfag Eksempel 2. Et bolighus i Oslo hadde en verditakst på 1,2 millioner kroner i To år seinere var verdien 1,0 millioner kroner. a) Hva er den årlige verdinedgangen i prosent for dette bolighuset? Vi benytter uttrykket for eksponentiell vekst: A = A k n 0 der A 0 er startverdien og k er vekstfaktoren. n står for antall perioder. I dette tilfelle er det to perioder eller år Vi skriver: = k. Vi skal altså løse likningen med hensyn på k. Dette bruker vi SOLVER til: MATH 0: Solver: Vi ser at vekstfaktoren er ca Det betyr at den årlige verdinedgangen er = eller 8.7%. b) Den samme verditaksten fortsatte i ytterligere to år. Hva var verditaksten i 1992? Vi kan nå skrive likningen 24

25 og vi får ved å bruke ENTER, ALPHA SOLVE: Verditaksten i 1992 var ca kr. 6d kunne løse lineære likningssystemer med to ukjente Eksempel 3. Løs likningssettet y = 1 3x y = 05. x Vi skal øse likningssettet på to måter. 1) Ved hjelp av matriser. Trykk på MATRX: Gå med markøren til EDIT: Trykk ENTER: 25

26 Nå er det slik at dersom vi skriver om likningene våre på standardform, får vi 3x+ y = x+ y = 0 Da er det slik at tallene foran x og y og tallene etter likhetstegnet er elementene i en 2 x 3 matrise. Det betyr at vi må skrive 2 og 3 øverst i vinduet: Deretter skriver du 3 i første kolonne, første rad, 1 i andre kolonne, første rad og 1 i tredje kolonne, første rad. Husk å trykke ENTER etter hvert innslag. Tilsvarende skiver du inn tallene 0.5, 1 og 0 på de neste plassene: Når vi nå skal finne svarene, trykker du først [2nd]QUIT: Trykk MATRX og gå til MATH: 26

27 Gå til B ref( og trykk ENTER: Trykk på MATRX 1: [A] og skriv inn venstre parentes: Nå kan du trykke ENTER: Svarene er x = 0.4 og y = b) Vi skal løse likningssettet ved å sette de to utrykkene lik hverandre: 1 3x = 05. x. Deretter bruker vi SOLVER. Husk å føre alt over på en side av likhetstegnet: Dette gir oss 27

28 Denne verdien for x setter vi inn i et av uttrykkene. Vi velger det andre: Da er løsningen x = 0.4 og y = Vi kommer tilbake til den grafiske under punktet 7b. 6f kunne løse ulikheter av første og andre grad TI-83 løser ikke oppgaver på symbolsk form, som f.eks. denne ulikheten av første grad x 24 ( x)>5x+ 2 2 eller denne ulikheten av andre grad x + x 3< 3x+ 5. (Vi skal imidlertid løse disse grafisk når vi kommer til Mål 7: Funksjonslære) Mål 7: Funksjonslære Elevene skal 7a bli vant til koordinatsystemet og kunne tegne grafer med og uten tekniske hjelpemidler Eksempel 1. En funksjon g er gitt ved 28

29 3 2 gx ( ) = x 2x 4x+ 4. Tegn grafen til g. Vi går inn på Y =: Ved Y1 skriver vi inn funksjonen: Da det ikke er noen antydning om definisjonsmengden kan vi like godt velge ZOOM 6: ZStandard: Før markøren ned til 6 og vi får: Trykk på TRACE for å se et koordinatpar, [x,y]: 29

30 Tabellverdiene finner vi ved først å bruke [2nd]TBLSET og velge f.eks. at x skal starte med x = -6 og intervallengde Tbl = 1: Vi lar TI-83 stå i uavhengig: Auto og trykket [2nd]TABLE: Nå kan vi lese av koordinatene. Vi kan godt velge andre verdier på Tbl, og vi kan benytte Ask isteden. Da får vi dette bildet: Dersom det er en bestemt verdi du skal regne ut, f.eks. når x = -15, da skriver vi tallet: og trykker ENTER: 30

31 7b..., og kunne finne likningen til en rett linje når enten to punkter eller ett punkt og stigningstallet er kjent Vi kan skrive likningen for en rett linje i disse to tilfellene slik: y2 y1 1) y y1 = ( x x1) x2 x1 2) y = a ( x x1) + y1. x, y og x, y de to punktene og a stigningstallet. Her er ( ) ( ) Eksempel Finn likningen til de rette linjene som går gjennom punktene (3,-2)og(5,2); og (-1,3) og (5,-4). Vi skal bruke Lineær regresjon, dvs. bruke et meget effektivt hjelpemiddel på TI-83. Trykk på STAT 1: Edit og skriv inn koordinatene i liste 1 og liste 2, L1 og L2: Trykk igjen på STAT, men denne gangen velger vi CALC: og Vi går ned til 4: LinReg( ax + b ). Her har vi likningen til den rette linjen. Nå skriver vi hvilke lister vi skal bruke og at vi vil lagrer resultatet som en funksjon: L1, L2, VARS Y-VARS 1: Function 1: Y 1 : 31

32 ENTER gir resultatet Den ene likningen heter: y= 2x 8. På samme måte skriver vi for den andre linjen: og ENTER: 5 Den andre linjen heter: y= x La oss se på resultatet. Vi trykker på ZOOM 6: Zstandard: Vi ser at aksene har fått navn. Det får vi til ved å gjøre følgende: [2nd] FORMAT og aktivere RectGC CoordOn GridOff AxesOn LabelOn og ExprOff: 32

33 Nå skal vi finne skjæringspunktet mellom linjene ved 1) avlesning: trykk på [2nd] CALC 5: intersect gang: og svar på spørsmålene ved å trykke ENTER hver Skjæringspunktet er (3.1, -1.8). 2) Ved hjelp av likningsløseren SOLVER. Tast inn i rekkefølge: MATH 0: Solver og etter eqn: 0= Vi måtte bruke VARS Y - VARS 1: Function 1: Y1 og Y2. Trykk ENTER: 33

34 og ALPHA SOLVE For å finne y - koordinaten til skjæringspunktet skriver vi [2nd] CALC 1: Value og trykker ENTER: Vi skriver inn 3.1 og trykker ENTER: 7c kunne finne skjæringspunktene til kurver [...] gjennom grafisk framstilling Eksempel 3. 2 La funksjonen f være gitt ved f ( x) = 2x + 16x+ 32. La funksjonen g være gitt ved gx ( ) = x+6 a) Hva er den største definisjonsmengden g kan ha? gx ( ) 0 x Da må x 6. b) Bruk lommeregneren til å finne skjæringspunktene mellom grafene til f og g. Skriv inn f og g i Y=: 34

35 Trykk på ZOOM 6: ZStandard: Bruk ZOOM 1: ZBox og flytt markøren til x = -6.6 omtrent og y = 2.9. Trykk ENTER: Flytt markøren først til høyre og så nedover: Trykk ENTER: Bruk nå enten TRACE eller [2nd]CALC 5: intersect: Flytt markøren f.eks. til venstre for første skjæringspunkt og gjør som TI-83 sier: First curve? 35

36 Trykk ENTER. Second curve? (se at markøren flytter seg til den nedre kurven). Trykk ENTER og trykk ENTER igjen på spørsmålet Guess?: Gjør tilsvarende for det andre skjæringspunktet: Svarene er altså: ( -4.7, 1.1) og ( -3.1, 1.7). 7d [ ] bruk av funksjoner i naturfag og økonomi Eksempel 4. For å spare elektrisitet, blir strømmen på en skole skrudd av etter skoletid. Temperaturen i bygningen kan bestemmes ved funksjonen f gitt ved x f ( x) = , der f(x) er temperaturen i C og x er antall timer strømmen har vært skrudd av. Strømmen blir skrudd av kl.1600 Tegn grafen til f i intervallet x [ 016, ]. Skriv inn f i Y=: Gå til WINDOW: 36

37 For å finne de passende y-verdier kan du gjøre følgende: Ved Ymin trykker du på VARS og flytter markøren til Y - VARS: Trykk ENTER og ENTER igjen: Der skriver du: og trykker ENTER: På samme måte for Ymax: 37

38 Trykk på ZOOM 0: ZoomFit: Eksempel 5. Rabattreiser med tog. Folk som reiser mye med jernbanen, kan kjøpe kundekort. Kundekortet gjelder ikke som billett, men den som har kundekort, kan få kjøpt billetter til redusert pris. Lise reiser ofte med toget mellom Stavanger og Kristiansand. Ordinær pris for en reise er 275 kroner. For å få rabatt på reisen kan Lise kjøpe kundekort til 380 kroner. Kundekortet er gyldig i ett år. Med kundekort koster billetten 193 kroner. 380 Prisen per reise med kundekort er gitt ved funksjonen f ( x) = x a) Tegn grafen til f. Skriv inn f(x) i Y=: Trykk på ZOOM 0: ZoomFit: 38

39 b) Hva blir prisen per reise hvis Lise reiser fire ganger? Bruk [2nd]CALC 1: Value: Skriv inn x = 4: Prisen blir 288 kroner. Hvor mange ganger må Lise reise for at prisen skal bli mindre enn 250 kroner? Bruk TRACE og følg grafen til Y-verdien kommer under 250 kroner. Da får vi ca. 7 reiser: c) Lag to funksjoner g og h der: g(x) gir totalkostnadene for x reiser uten kundekort og h(x) gir totalkostnadene for x reiser med kundekort. Vi skriver inn i Y=: Her har vi deaktivert Y1 ved å plassere markøren over = og trykket ENTER. Vi bruker ZOOM 0: ZoomFit: 39

40 Ved å benytte [2nd]CALC 5: Intersect og svare på spørsmålene TI-83 stiller: Lise må reise 5 ganger for at det skal lønne seg å kjøpe kundekortet. 7g bruke derivasjon til å bestemme bunnpunkter, toppunkter og tangenter til enkle kurver Eksempel En funksjon f er gitt ved f ( x) = x 2x 4x+ 4. a) Finn, vha den deriverte f `(x), koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. Vi skriver inn f(x) i Y=: For Y2 skal vi skrive inn den deriverte for f. Det gjør vi på følgende måte: Flytt markøren til Y2 og bruk MATH 8: nderive(. Trykk ENTER og deretter VARS Y - VARS 1: Function 1: Y1, X, og avslutt med ) : 40

41 Bruk ZOOM 6: Zstandard: Her ser vi både f og dens deriverte. Vi vet at når grafen til den deriverte passerer x - aksen ovenfra, har grafen til f et toppunkt, og når grafen til den deriverte til f passerer x - aksen nedenfra, har grafen til et bunnpunkt. Vi deaktiverer Y1 først. Deretter benytter vi [2nd]CALC 2: Zero: Vi flytter markøren og besvarer spørsmålene: og får toppunktet: Koordinatene til toppunktet blir ( - 2/3, f( - 2/3)) = ( - 2/3, 5.5). Her benyttet vi [2nd]CALC 1: Value: 41

42 På tilsvarende måte for bunnpunktet: og. b) Finn likningen for tangenten til f i punktet på grafen der x = - 1. Vi benytter [2nd]DRAW 5: Tangent ( Skriv inn - 1: og ENTER: Når vi nå trykker ENTER vil tangenten og dens likning komme opp: Likningen til tangenten er y = 3x

43 c) Tangenten vil skjære grafen til f i et annet punkt. Finn koordinatene til dette andre punktet. Vi skriver inn y = 3x + 8 i Y=: Vi endrer på skalaene ved å gå inn i WINDOW: GRAPH gir: Ved å benytte [2nd]CALC 5: Intersect får vi: og koordinatene er altså ( 4, 20). 43

44 Modul 2A Mål 4: Matematikk i dagliglivet Elevene skal 4a kunne regne med potenser med heltallige eksponenter Eksempel 1 Regn ut Vi benytter ^ tasten på TI-83 når eksponenten er over 2 og MATH 1: Frac for å få svaret på brøkform: Trykk MATH 1: Frac og ENTER: 4c kunne regne med rente og rentesrente Eksempel 2 44

45 Anne har begynt på et studium som varer i 6 år. I begynnelsen av det første året tar hun opp lån på kroner. Rentefoten er 8.5% p.a. Hva har dette lånet vokst til i løpet av studietiden? n Vi benytter formelen An = A0 ( 1+ p/ 100) der n står for antall år og p er rentefoten. På TI-83 vil det se slikt ut: der er startverdien, A 0. ENTER gir For å slippe siffer etter desimaltegnet har vi gått via MODE FLOAT 0 4d kunne... forskjellige låne - og spareordninger Eksempel 3 Hanne skal kjøpe seg et flygel. Instrumentet hun har sett seg ut koster kroner. Hun vil låne penger til flygelet. Hun går til et par banker for å finne ut hva bankene kan tilby, for å vurdere ulike låneordninger. Hun finner ut at rentenivået er ganske jevnt, så hun bruker 5.4% rente per år i sine beregninger. Hun regner renter etterskuddsvis. Gebyrene varierer lite, så de ser hun bort fra. Hanne har i løpet av de siste 5 årene spart i alt kroner. Hun kan låne fire ganger oppspart kapital. 45

46 Hanne finner ut at hun kan velge mellom serielån og annuitetslån. Ved serielån er avdragsbeløpet like stort hvert år, mens rentebeløpet blir mindre for hvert år. Ved annuitetslån er summen av renter og avdrag like stort hvert år. Avdraget er derfor minst i begynnelsen, men øker etter hvert. Hanne låner kroner med nedbetalingstid på 10 år. a) Hvor stort vil det årlige avdraget bli ved serielån? b) Hva må hun i alt betale det andre året om hun velger serielån? Først lagrer vi lånesummen, S, avdragene A og rentefoten R ved hjelp av STO ALPHA: ( Husk å trykke ENTER hver gang du lagrer ) Vi vil nå sette opp en liste over de 10 årene hun skal nedbetale lånet. Da benytter vi [2nd] LIST OPS 5: seq( : Vi skriver inn: 46

47 Det vi nå har gjort er å fortelle TI-83 at vi skal liste opp de hele tall fra 0 til 10, X, X, fra 0 til 10, med en økning på 1 hver gang. Dette laster vi inn i [2nd]L1: ved STO : Trykk ENTER: Her er tallene fra 1 til 10! Så setter vi opp formelen for hva hun må betale det året vi ønsker: A+ ( S L1 A) R, der A står for avdraget, S for lånesummen og R for rentefoten. Vi må først lagre startverdiene. Det gjør vi ved beløpet STO ALPHA bokstavsymbol, slik: 47

48 Nå skriver vi inn formelen i vinduet og trykker ENTER: Når du nå bruker høyre piltast vil du se hva hun må betale hvert år. Det andre året er: kroner. Ved annuitetslån vil den årlige innbetaling av renter og avdrag til sammen være kroner. c) Hvor stort blir avdraget det andre året ved annuitetslån? Det første året blir bare avdraget = Det andre året blir bare avdraget ( ( )) = 48

49 kroner. d) Hva ville du råde Hanne til å velge? 4h kunne løse andregradslikninger... Eksempel 4 2 Løs likningen 6x 17x+ 12 = 0. Vi benytter MATH 0: Solver... Trykk ENTER: Dersom det tilfeldigvis skulle være noe i solveren, gå opp med og trykk CLEAR. Vi skriver: og trykker ENTER: 49

50 Vi trykker nå ALPHA SOLVE: Den ene løsningen er x = 3/2. Hva med eventuelt den andre? Vi går tilbake til likningen i solveren vha : Vi trykker ENTER og gjetter deretter en negativ løsning: Vi bruker nå ALPHA SOLVE: Det andre svaret var altså 4/3. 50

51 Vi kunne også ha brukt de kjente løsningene b± b 2 4 ac. Vi måtte da først lagret 2a verdiene til koeffisientene a, b og c: Så måtte vi skrive inn løsningene, denne gangen hver for seg: Løsningene ble det samme: x = 3/2 eller x = 4/3. Mål 5: Praktisk funksjonslære. Elevene skal kjenne funksjonsbegrepet og kunne tegne og tolke grafene til enkle funksjoner. De skal kjenne til praktisk bruk av funksjoner. Eksempel 1 En bedrift skal produsere postkasser. Det kalkuleres med faste utgifter på kroner, og variable utgifter er 50 kroner per kasse. 51

52 De totale kostnadene Kx ( ) er gitt ved Kx ( ) = 50x når det produseres x kasser. a) Bedriften regner med å selge kassene for 110 kroner stykke. Hva vil inntektene være hvis de selger x kasser? Framstille inntektene og utgiftene, I( x) ogk( x), i samme koordinatsystem. La x variere mellom 0 og Vi sletter først alle funksjoner i TI-83. Trykk på [2nd] MEM og 6: Y - Vars: Velg 2: Delete: Med ENTER er alle funksjonsuttrykk slettet. Åpne med Y=: og skriv inn uttrykkene for inntekter og utgifter: 52

53 Velg WINDOW og skriv inn grensene for x. Skalaen på x-aksen har vi valgt til Når vi skal regne ut hva minste og største y - verdier blir, velger vi å gjøre følgende: VARS Y - VARS 1: Function 1: Y1: og og og Skriv deretter inn Y1(0): og for Ymax: Vi velger skala: 53

54 Vi bruker nå ZOOM 0: ZoomFit: og ENTER: b) Bestem grafisk hvor mange postkasser som må produseres og selges for at kostnader og inntekter skal bli like store. Vi velger ZOOM 3: Zoom Out: og flytter krysset i nærheten av origo: ENTER gir oss: Vi velger nå [2nd] CALC: 54

55 for å finne skjæringspunktet mellom I(x) og K(x): Vi besvarer lommeregnerens spørsmål med ENTER tre ganger og får: Bedriften måtte altså produsere og selge 250 kasser. c) Bestem grafisk hvilken x - verdi som gir et overskudd på kroner. Et overskudd får vi ved å ta I(x) - K(x). Vi skriver derfor inn i Y-skriveren: VARS Y - VARS 1: Function 1: Y1 - VARS Y - VARS 1: Function 2: Y2: og ved Y4 skriver vi : Vi deaktiverer Y1 og Y2 ved å plassere markøren over = og trykke ENTER hver gang. Vi bruker ZOOM 0: ZoomFit og [2nd]CALC 5: intersect og svarer på spørsmålene: 55

56 Svaret er 750 kasser. Eksempel 2 Et gartneri blander oppmalt torv med kunstgjødsel. Gartneriet gjør forsøk for å finne ut hvor mye kunstgjødsel de må sette til for å få størst mulig avling. De varierte blandingen fra 0 til 5 kg gjødsel per kubikkmeter torv, og dyrket grønnsaker på like store jordstykker. Tabellen nedenfor viser resultatene. Antall kg gjødsel per kubikkmete r torv Antall kg grønnsaker på jordstykket Gartneriet satte opp to forskjellige matematiske modeller f og g for å beskrive denne sammenhengen, f ( x) = 15. x+ 3 2 gx ( ) = 02. x + 2x+ 37. der f(x) og g(x) er antall kg grønnsaker og x er antall kg gjødsel per kubikkmeter torv. a) Framstille resultatene i tabellen ovenfor grafisk ved å markere av punkter i et koordinatsystem. La 2 cm på x - aksen svare til 1 kg gjødsel per kubikkmeter torv, og la 1 cm på y - aksen svare til 1 kg grønnsaker. Vi skal nå benytter STATistikkeditoren. Trykk på STAT og velg 1: Edit: 56

57 Dersom editoren ikke er tom, må vi gjøre følgende tastetrykk: [2nd] MEM 4: ClrAllLists ENTER. I L1 skriver vi inn: (husk ENTER mellom hvert innslag) I L2 skriver vi inn: Vi velger [2nd] STAT PLOT (ENTER) 1: Plot 1...Off (ENTER) On (ENTER) Type: velg (ENTER) Xlist: L1 (ENTER) Ylist: L2 (ENTER) Mark: velg (ENTER) og WINDOW: 57

58 b) Tegn grafene til f og g i samme koordinatsystemet. Vi skriver inn i Y= editoren: GRAPH gir oss: c) Hvilken av modellene beskriver forsøket best? d) Hverken f eller g stemmer helt med resultatet av forsøket. Sammenlikne avlingene i tabellen med de avlingene som f gir. Hvilken x - verdi gir størst avvik fra forsøket? Gå inn i STAT 1: Edit igjen: 58

59 Flytt markøren opp i hodet på L3 og skriv: VARS Y - VARS 1: Function 1: Y1( [2nd] L1: Trykk ENTER: Gå til L4 og skriv inn i hodet på listen: ENTER gir svaret: 59

60 x = 5 gir størst avvik! Kjære bruker. Kom gjerne med spørsmål og innspill! 60