"Matematikk med TI-83 på AF/ØKAD/VKI" Eksempler som oppfyller målene i "Læreplan for 2MY etter R`94"

Transkript

1 1 "Matematikk med TI-83 på AF/ØKAD/VKI" Eksempler som oppfyller målene i "Læreplan for 2MY etter R`94" Arbeidet bygger på Matematikk med TI-83 for GK og 2MX av samme forfatter. Mål og hovedmomenter. 1

2 2 Mye av lærestoffet er felles for 2MX og 2My. I de tilfellene dette gjelder, vil jeg henvise til: Eksempler som oppfyller målene i "Læreplan for 2MX etter R`94" ( ) Mål 3: Algebra ( ) Mål 4: Rekker ( ) Eksempel 1. «Hanne kjøper flygel.» Flygelet Hanne har sett seg ut koster kroner. Hun får tilbud om 5.4% rente p.a. og en nedbetalingsstid på 10 år. Hun kan velge mellom serie- eller annuitetslån. Vi skal se på hva hun må betale det andre året dersom hun har serielån i forhold til annuitetslån. Serielån. Vi kan f.eks. benytter oss av Sekvensiell graftegning. Trykk på MODE. På fjerde linje ytterst til høyre aktiviserer vi Seq. Da ser skjermen slik ut: Deretter velger vi [2nd]FORMAT TIME og ExprOn: Nå går vi til [Y = ] hvor vi skriver inn uttrykket for betaling, etterskuddsvis, på serielånet: u( η) = ( ( η 1) ) Den miste verdien på η er 1. Etter ett år skal første avbetaling skje, og det blir 23100, som vi setter inn i TI-83. Bildet blir: Vi justerer våre grenser i WINDOW: 2

3 3 og videre nedover Nå trykker vi TRACE og bruker piltasten for å kunne lese av resultatene grafisk: Dette kan generaliseres etter behov. Annuitetslån. Låneordninger på VK. I 2MY er dette et tema. I MX kan vi bruke det som et eksempel på anvendelser. Metoden med sekvensiell graftegning kan videreføres innen serielånsproblematikken. Etter at elevene har regnet ut annuiteten, f.eks. ved «MATH 0: Solver» kan vi gå inn på å finne et uttrykk for avdragene ved de ulike tidspunkter. n= n 1 n I vårt eksempel får vi uttrykket n= 0 Vi benytter nå [2nd]LIST MATH 5: sum( [2nd]LIST OPS 5 : seq( Dersom vi ønsker oss avdraget det 2.året må vi ta med leddene 1 og fra første summeuttrykk og og 0.054^2 fra det andre. Det gir oss følgende innskriftsprosedyre: n= n n= 1 n Vi fikk altså kroner. Vi har vært borti «Seq» tidligere, men i dette tilfelle må vi huske på å fortelle «maskinen» hvilken variabel vi bruker, fra hvilken verdi vi starer, hvor vi ender og hva «skrittlengden» er: [2nd] LIST OPS 5 : seq( 0.054^N, N, 0,1,1), i vårt tilfelle. Eksempel 2. En student får et rentefritt lån på kroner hos en rik onkel. Studenten forplikter seg til å betale første avdrag på kroner ett år etter låneopptak. Deretter skal de årlige avdragene økes med 12% for hvert år. 3

4 4 a) Hvor stort blir det 10.avdraget? Det allmenne avdraget blir: A Det 10. avdraget blir da: n 12 n 1 = A0 ( 1+ ), der n 0,1, 2, 3, , avrundet til kroner. b) Hvor mye blir tilbakebetalt til sammen i løpet av de 10 første avdragene? Vi benytter [2nd] LIST MATH 5: sum ( [2nd] LIST OPS 5: seq ( pg skriver inn det allmenne leddet i tallfølgen, se pkt.a). (X er den variable, startverdien er 0, sluttverdien er 9, økningen er 1 fra ledd til ledd) ENTER gir: c) Hvor mange år tar det før hele lånet er tilbakebetalt? Vi benytter MATH 0: Solver... (Vi har satt TI-83 i «MODE Float 0») Vi trykker ALPHA SOLVE og venter...(ikke særlig lenge) 4

5 5 Det tar ca. 18 år. d) Hvor stort er det siste avdraget? Fra a) får vi: Eksempel 3. Jens kjøper moped og tar opp et annuitetslån på kroner til 8.6% årlig rente. Lånet tilbakebetales med fem like store, årlige beløp, det første av disse ett år etter låneopptaket. 1) Vis at annuiteten er 2544 kroner. Vi benytter MATH 0: Solver...: ENTER og ALPHA SOLVE gir: Vi har summert en geometrisk rekke, nemlig: og dette gir da 5

6 6 som skulle vises. 2) Hvor mye utgjør rentene den 5.te og siste gangen Jens betaler? Vi bruker MATH 0: Solver... Avdragsdelen ved siste betaling er x. Rentedelen er.086x, og summen er 2544 kroner:. ENTER og ALPHA SOLVE gir: Rentedelen er 2544 kroner minus 2343 kroner, dvs. 201 kroner. Økonomi på TI-83: [2nd] FINANCE: Annuitetslån. Etter at elevene har fordøyet og fordypet seg i annuitetslånets hemmeligheter, lar vi TI-83 med sitt FINANCE-program regne for oss: Eksempel. Vi tar opp et lån på kroner, får en årlig rente på 5.85% og en avdragstid på 20 år. Vi ønsker først å beregne annuiteten. Trykk på [2nd] FINANCE: Vi skal bruke penge-tids-verdiløseren 1: TMV Solver... 6

7 7 Her står N for antall terminer. Vi ønsker månedlige amorteringer, så N = 20 12=240 I% er rentefoten, PV er nåverdien, dvs kroner. Vi skal la maskinen finne terminbeløpet PMT, så der setter vi 0. Sluttverdien, FV, er null. Vi betaler 12 ganger per år, defor P/Y = 12. Renten beregnes også 12 ganger per år, C/Y = 12. Vi trykker på END fordi vi skal betale renten etterskuddsvis! Vi flytter nå markøren tilbake til PMT og trykker på ALPH SOLVE:. Det gir oss den utgående annuitet per måned: kroner per måned. Renter og avdrag er tilsammen kroner per måned. La oss finne rentebeløpet betalt inn det tredje året, fra og med den 25. til og med den 36.terminen. Vi går til [2nd] FINANCE A: ΣInt ( og skriver inn månednummerene og trykker ENTER: 7

8 8 renter. Vi ser at vi det tredje året må betale kroner i Hva må vi betale i renter siste gang? Effektiv rente finner vi ved [2nd] FINANCE C: Eff ( : Avdraget blir da:. Her skriver vi inn nominell rente og antall terminer: Utestående lånesaldo etter hver betaling. Vi går inn i MODE og velger FLOAT 2 og Par: 8

9 9 Vi går inn i [2nd] FINANCE CALC 1: TMV Solver... og skriver inn det månedlige beløpet vi fant tidligere: Vi går ned til END og trykker ENTER. Flytt markøren ved PV= og trykk ALPHA SOLVE for å løse for nåverdien: Nå går vi inn i Y= og trykker på X, T, Θ,η: 9: X, T, Θ,η:. Vi går ned til neste funksjon og trykker på [2nd] FINANCE. Nå må vi sette inn grensene for definisjons- og verdimengdene: og videre Vi vil ha tabell og graf ved siden av hverandre. Vi går derfor inn i [2nd] TABLE og skriver inn verdiene: 9

10 10. For å få graf og tabell sammen, velger vi G-T i MODE: Nå trykker vi på TRACE og følger forløpet:.. Bruk deretter og og se Vi ser her at etter 192ter miner 12ter min erperå r 16år = er utestående saldo kroner. 10

11 11 Eksempel 4. Olje skal pumpes fra en oljerigg som står på havbunnen. Ved starten av oljeutvinningen ligger produksjonsdekket H meter over havflaten ved høgvann. I bestemte tilfelle viser modellberegninger at etter 4 års produksjon vil havbunnen under oljeriggen begynne å synke. Ifølge modellen synker havbunnen i en periode på 30 år slik som tabellen viser: År meter H 1 H 1 H På grunn av hundreårsbølgen må produksjonsdekket ligge minst 35 meter over høgvann i hele produksjonsperioden. Regn ut hvor stor H minst må være for at feltet skal kunne nyttes i 30 år? Vi setter opp en likning: H 1 ( sum( seq(, N,, 1261,)))= 35. På lommeregneren bruker vi MATH 30 N 0: Solver... ENTER,ALPHA og SOLVE gir H må minst være 273 meter. 11

12 12 Mål 5 Funksjonslære ( ) Mål 6 Funksjoner i samfunnsliv og økonomi. Elevene skal være fortrolige med bruken av funksjoner innenfor samfunnsliv og økonomi Eksempel 1. I en bedrift har en funnet ut at ukentlig produksjonskostnader for en vare tilnærmet kan beskrives ved funksjonen 2 Kx ( ) = 01. x + 10x x [ 0,1000] K er gitt i kroner og x er antall enheter som produseres per uke. Prisen på varen som selges, kan uttrykkes ved funksjonen der P er målt i kroner. Px ( ) = x x [ 0,1000] 1) Finn et uttrykk for overskuddet og finn for hvilke verdier av x bedriften går med overskudd. 2) Hvor stor må produksjonen være for at overskuddet skal bli størst mulig? og hvor stort er overskuddet da? På grunn av økt konkurranse velger bedriften å gå over til en fast pris på 80 kroner per enhet. 3) Hvor stort overskudd kan bedriften oppnå ved å velge denne fastprisordningen? Vi skriver inn fuksjonene i Y=: Y 3 er uttrykket for overskuddet. 12

13 13 Vi legger ut K(x) først, vha ZOOM 0: ZoomFit: På samme måte overskuddet, O(x): 1) Ved hjelp av [2nd] CALC 2: zero finner vi intervallet for overskudd:. og 2) Vi skriver inn i Y= at TI-83 skal tegne den deriverte til O(x):. Mellom 148 og 453 enheter har bedriften overskudd. og bruker også nå ZOOM 0: ZoomFit: 13

14 14 Ved hjelp av «zero» finner vi svaret på den verdien for x som gir størst overskudd, og ved å sette denne verdien inn i uttrykket for O(x) finner vi overskuddet: 3) Vi får en ny funksjon, Y 5 : og. og denne har sin maksimale verdi når: CALC 4: maximum.. Her har vi igjen gått veien om ZOOM 0: ZoomFit og [2nd] Eksempel 2. En kommune planlegger ny badeplass og må først rense vannet. Kostnadene (i kroner) ved å fjerne x prosent av forurensningene kan beskrives av funksjonen K x Kx ( ) =, x, x a) Finn den vertikale asymptoten, og tegn grafen til funksjonen. 14

15 15 Vi skriver inn funksjonen i Y=: Vi setter starverdien i tabellen til x = 99.9 og skrittlengden til 0.01, for på denne måten å se hvor bruddet i grafen befinner seg: Velg ZOOM 0: ZoomFit: Vi ser at den loddrette asymptote er x = 100. b) Bestem hva det vil koste å fjerne 60% av forurensningene: [2nd] CALC 1: value gir oss, dvs kroner. c) Finn grensekostnaden ved fjerning av 1% mer av forurensningene, når 1) 20% er fjernet Den deriverte er K Den deriverte i x = 1 gir ' ( x) = ( x 100) 2 og 15

16 16 2) 80% fjernet: d) Er det mulig å fjerne alle forurensninge fra dammen? Se tabellen over! og vurder! Mål 7 Kombinatorikk og sannsynlighetsregning ( ) Mål 8 Statistikk Elevene skal kjenne til grunnleggende statistiske begreper og kunne bruke statistikk som et redskap til å vurdere utsagn og hypoteser Eksempel 1. Statistisk årbok fra 1991 gir følgende fylkesvise oversikt over hvor mange prosent av elevene i niende klasse som gikk over i vg utdanning samme høst. Fylke Østfold 88,4 93,7 Akershus 88,2 94,1 Oslo 88,6 92,6 Hedmark 85,6 92,6 Oppland 91,1 96,3 Buskerud 86,5 92,1 Vestfold 91,9 95,6 Telemark 90,6 91,6 Aust-Agder 91,5 94,5 Vest-Agder 89,9 94,6 Rogaland 88,9 93,3 Hordaland 87,3 94,6 Sogn og Fjordane 90,8 97,1 Møre og Romsdal 87,0 94,8 Sør - Trøndelag 90,3 95,7 Nord - Trøndelag 90,1 95,0 Nordland 88,3 91,8 Troms 82,8 91,2 Finnmark 78,6 86,6 Vi laster tallene inn i lister i STAT 1: Edit på TI-83: 16

17 17 Vi skal finne: gjennomsnittet, medianen, variasjonsbredden og standardavvikene for tallmaterialene. Vi går inn i STAT CALC 1: 1-Var Stats: og trykker ENTER:. Vi skriver nå L1 og trykker ENTER og ser videre: Standardavviket er her: σ x. Svarene er gitt: 88,23%, 88,60%, 91,90-78,60 = 13,30% og 3,16%. Vi gjør det samme for L2: 17

18 18 94,10%, 10,50% og 2,30%. og, med svarene 93,57%, Eksempel 2. En gruppe på 300 elever i den vgs er med på en undersøkelse om kinovaner. Data fra undersøkelsen er samlet i tabellen nedenfor: Antall kinobesøk per år Hyppighet Vi skal finne gjennomsnittet og medianen for tallmaterialet: Først skriver vi inn intervallgrensene i L1 og L2: maskinen finne klassemidtpunktene ved å skrive, i «hodet» på L3:. I L3 lar vi 18

19 19 vi hyppighetene:. ENTER gir:. I L4 skriver I L5 legger vi inn produktet av L3 og L4: Var Stats, L4,L5:. Vi beregner de ønskede verdier ved hjelp av STAT CALC 1: 1 - og Kvartilene heter Q1ogQ3. 19