Driftsplanlegging i vannkraftproduksjon en realopsjonstilnærming

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Driftsplanlegging i vannkraftproduksjon en realopsjonstilnærming"

Transkript

1 Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Hovedoppgave for sud.echn Gunnar Aronsen Faggruppe for invesering, finansiering og økonomisyring Insiu for indusriell økonomi og eknologiledelse Fakule for samfunnsvienskap og eknologiledelse Norges naurvienskaplige ekniske universie

2 Forord Denne rapporen er skreve som hovedoppgave ved Insiu for indusriell økonomi og eknologiledelse ved Norges eknisk-naurvienskaplige universie i Trondheim våren Jeg vil gjerne ree en akk il alle som har bidra il a denne oppgaven, enen de er i form av daa eller faglige innspill. Særlig vil jeg akke min veileder Sein- Erik Fleen for mange og gode innspill i arbeide med denne oppgaven. Trondheim, 18. Juni 2002 Gunnar Aronsen, sud. ech aronsen@sud.io.nnu.no Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side I

3 Sammrag I denne rapporen er de gjor e forsøk på ilpasse en prismodell som skulle ivarea hensyne il korrelasjon mellom oal ilsig i lande og pris. Som e mål på oal ilsig har avvik fra middelverdien på magasinfylling i Norge vær benye. Dee fordi daaene er ilgjengelig for alle akører i markede, og a de er signifikan korreler med forwardprisen ble en modell forsøk ilpasse med de som inndaa. Prismodellen som ble forsøk ilpasse ok ugangspunk i en kjen enfakor modell og ble dereer forsøk modifiser slik a vi fikk en prismodell som ok hensyn il korrelasjon mellom pris og ilsig. Dee lykes ikke og de er derfor lage en diskre prismodell som kan markedsjuseres. Basisen for denne modellen er Hull & Whie's [Hull, John C. (1993)] renemodell og en korreksjon algorime som for markedsjusering fra Clewlow og Srickland (April 1999). Varianssrukuren il denne modellen viser seg å være fleksibel og kan i prinsipp ilpasse hvilken som hel varians modell. Fordi den er markedsjuser ivareaes også hensyne sesongsvingninger. Modellen gir også som udaa som kan benyes il å lage overgangsmariser, og prismodellen kan derfor berakes som en markovmodell. Tilsigsmodellen som er ilpasse bygger på en prismodell fra SEFas [Mo & Green m.flere (2000)], og er også en markovmodell. Modellen er ilpasse uen korreksjoner av meodikken og med mindre juseringer av daase som kommer fra e konkre krafverk. Med de pris og ilsigmodellene på plass ble vannkrafsprodusens drifsplanleggingsproblem formuler som e lineær opimeringsproblem. Som opimering algorime for å løse probleme ble SDP forsøk benye. Denne algorimen krever bruk av inerpolering og de ble skreve en algorime for dee. Probleme ble forsøk løs i Malab, og hvilke ikke gikk fordi inerpolasjonsalgorimen ikke kunne benyes med sammen med den lineære solveren i Malab. Probleme ble også forsøk løs som ikke linær og lo seg løse for mindre esse. Fordi den esimere løsningsiden for de fulle probleme var ca 90 imer ble dee aldri løs. Hypoesen om a bruken av forwardpriser i drifsplanlegging gir bedre resulaer en ved bruk av forvene spopriser er derfor ikke analyser. Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side II

4 Forord...I Sammrag... II Innledning Daagrunnlag forward- og fuures priser Terminsrukur Glaing av daa Meodikk for glaing Sensurering Daauvalg Deskripiv saisikk og konroll av prisdaa Signifikans i korrelasjon Daarepresenasjon av ilsig Tilsigsdaa Informasjon i magasindaa Magasinfyllingsdaa Deskripiv saisikk Sjekk av fordelingsegenskaper il daaene Valg av forwardpris modell Innledning Meodikk Teoreisk grunnlag Overgang fra spopris il log spopris modell Valg av førse deerminisisk funksjon Esimering av den sokasiske prosessen for enfakormodellen Bruk av forwardpriser konra spopris i ilpassning Esimering av sandard avvik og risikopremie Esimering av sandard avvike Esimering av markedsprisen for risiko Tilpassning av modeller Paramerene i basismodellen Alernaiv beregning markedspris for risiko Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side III

5 4.2. Hvor bra ilpasse er basis modellen Anagelsen om normalie Tilpassning av full modell Beregning av korrelasjon mellom forwardpris og magasinnivå Korrelasjon mellom forwardpriser og ilsig Modeller som er prøvd ilpasse Hvorfor kan ikke korrelasjon mellom ilsig og pris modelleres her? Hvordan kan ilsige inkluderes i andre modeller? Ved bruk av en ofakor modell? Valg av pris modell Generel om rinomiske rær Hvorfor bruke dem her Oppbyggingen av de rinomisk ree Beregning overgangssannsynligheer Forskjellige modeller for rinomiske reer Trinomisk re for Hull og Whie modellen Beingelse for Hull og Whie modellen Trees form Seg 1 i rebyggingen Overgangssannsynligheer i modellen Seg 2 i rebyggingen Beregning av ilsandspriser Beregning av korreksjonledd Tidsavhengig varians Implemenering av rinomisk re Generel om drifsplanleggingsprobleme Innledning Hva øker kompleksieen Formulering av opimeringsprobleme Maemaisk formulering av drifsplanleggingsprobleme Hva inngår i ICF og FCF Faskrafforplikelsens virkning på drifsplanleggingen Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side IV

6 8. Implemenering av algorime Hvorfor velg SDP Framgangs måe ved SDP rekursjon Seriekorrelasjon i ilsandsvariable Generel Seriekorrelasjon i pris Seriekorrelasjon i ilsig Inerpolering Forenklinger i prismodellen Eksplisi formulering av opimeringsprobleme Løsning av opimeringsprobleme Anbefalinger il videre arbeid Oppsummering Referanse- og lieraurlise Vedlegg FIGUR 1.2-1: PRISKURVER FRA TERMINMARKEDET... 3 FIGUR 1.5-1: Z-VERDIER I KORRELASJON... 7 FIGUR 1.5-2: TIDSREKKEPLOT FORWARDPRISER... 8 FIGUR AVVIK FRA GJENNOMSNITTLIG MAGASINFYLLING FIGUR HISTOGRAM, BOKS, TETTHET OG QQ-PLOTT FIGUR 4.1-1: MARKEDSPRISEN FOR RISIKO SOM FUNKSJON AV MODNINGSTID FIGUR 4.1-2: RISIKOPREMIE SOM FUNKSJON AV MODNINGSTID FIGUR 4.2-1: DIVERSE PLOT VED SJEKK AV NORMALITETSANTAGELSEN FIGUR 4.2-2: OBSERVERT FORWARDPRISER PLOTTET MOT PREDIKERTE FIGUR KORRELASJON FORWARDPRIS OG TILSIG FIGUR 4.3-2: Z-VERDIER I TESTEN AV OM KORRELASJON ER SIGNIFIKANT FIGUR KORRELASJONSPLOTT FIGUR 5.2-1: TRINOMISK TRE FIGUR 6.2-1: TRINOMISK TRE I HULL & WHITE MODELLEN FIGUR 6.3-1: FORGRENINGS MØNSTER FRA NODE I HULL & WHITE MODELLEN FIGUR 6.6-1: OBSERVERT STANDARDAVVIK PLOTTET MOT MODELLERT FIGUR 7.3-1: SAMMENHENG MELLOM ICF OG FCF FIGUR 8.2-1: DEFINISJON PÅ SYSTEMTILSTANDER FIGUR 8.3-1: OVERGANGER I TRINOMISK TRE Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side V

7 TABELL 1.1-1: TIDSPUNKT FOR LEVERING FORWARDER... 2 TABELL DESKRIPTIV STATISTIKK FORWARDPRISER... 6 TABELL KORRELASJON MELLOM FORWARDPRISER... 7 TABELL DESKRIPTIV STATISTIKK MAGASINDATA TABELL PARAMETER VERDIER Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side VI

8 Innledning Drifsplanlegging i hos vannkrafprodusener skjer i dag med bruke av forskjellige meoder. Felles for alle er hvordan pris hånderes, og i dag er de vanlig å bruke den forvenede spopris som inndaa il disse meodene. Denne prisen er ikke risikojuser og de fører ikke il en opimal løsning av planleggingsprobleme il vannkrafprodusenen. Ved å bruke risikojusere priser i denne sammenhengen kan man finne en mer opimal løsning og markedsverdien drifskonansrømmene il vannkrafprodusenen maksimeres [Fleen S.-E (2000) ]. A så er ilfelle er ikke en allmen goda oppfaning, og hensik med oppgaven er å uvikle e modellrammeverk for å kunne sudere ovenfor nevne påsand. Forvene spoprisprognoser kommer i dag normal fra boom-up modeller som Samkjøringsmodellen og brukes som inndaa i drifsplanleggingen av vannkrafverk. I de flese miljø som jobber med drifsplanlegging av vannkrafverk er bruken av forvene spopris en eabler praksis i denne sammenheng. Erfaringsdaa fra drifsplanlegging gjor med risikojusere priser, de vil si forwardpriser, er derfor ikke allmen ilgjengelig. Følgen av eabler praksis i bransjen er de kun finnes planleggingsmodeller som bruker forvene spopris som inndaa. For å kunne sudere påsanden ovenfor, må de uvikles eller ilpasses modeller for forwardpris, forvene spopris, ilsig og en opimeringsmodell som bruker pris og ilsigsmodellene som inpu. Resulae fra opimeringen skal danne grunnlage for sudier av påsanden om bruken av forwardpriser er mer opimal enn forvene spopris i drifsplanlegging for en vannkrafprodusen. Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 1

9 1. Daagrunnlag forward- og fuures priser 1.1. Terminsrukur Daasee som vil bli bruk il å ilpasse en modell for forwardprisene er hene fra Nordpool og dekker idsromme fra uke 40 i 1995 og fram il uke 4 i Grunnlagsdaaene er hene fra forward- og fuures priser på krafbørsen Nordpool. I mosening il andre børser har erminsrukuren her en annen oppbygging. Forwarder og fuures handles i blokker og gir derfor opphav il en priskurve som ikke er gla. Fuuresproduker handles innvære år og omfaer ukes og blokkproduker. E år er del i 13 blokker av 4 uker. Blokk 1 har levering i uke 1-4 og blokk 2 i uke 5-8 og så videre. Blokkene løses opp fredag før førse uke i en blokken har levering. Eer a en blokk er løs opp, handles ukene i den blokken som ukes produker. Forwardproduker handles i blokker som dekker sesonger og år. Sesongene er viner 1, sommer og viner 2. Årsproduker selges i blokker som har levering for innil fire år fram i id. Leveringsidsrom for disse produkene er angi i Tabell Sesong Viner 1 Sommer Viner 2 År Tid 1. Januar- 30. April 1. Mai- 30. Sepember 1. Okober- 31. Desember 1. Januar- 31. Desember Tabell 1.1-1: Tidspunk for levering forwarder Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 2

10 1.2. Glaing av daa Den beskrevne erminsrukuren gir en priskurve som illusrer i Figur nedenfor. Figur 1.2-1: Priskurver fra erminmarkede Terminsrukuren fører også il a prisene som kan observeres markede i enkele ilfeller bygger på få observasjoner. Særlig gjelder dee for produker med lang modningsid. Dee er e kjen fenomen også i marked med en høyere likvidie en de nordiske krafmarkede [Fleen & Lemming, 2001]. Enkele handledager kan de også skje a noen erminkonraker ikke er omsa, og dermed vil daamaeriale være diskoninuerlig. Særlig gjelder dee konraker med lang modningsid. I noen ilfeller vil de være behov for andre modningsidspunk enn de som kan observeres i markede il inveseringsbesluinger eller andre formål. I så ilfelle må prisene glaes for a de skal kunne brukes, og meoder for å gjøre dee er vanligvis regresjon eller glaingsfunksjoner. Foruseningen for a disse meodene skal gi gode resula er a markede er både moden og likvid. Disse beingelsen er ikke ilsede i krafmarkede, og meodene lar seg derfor ikke bruk her [Fleen & Lemming, 2001]. En annen meodikk for å glae priskurver fra krafmarkede er derfor nødvig. Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 3

11 Meodikk for glaing Fordi ordinære meoder ikke, som idligere nevn, kan brukes il å skape e glae daase, er de uvikle andre meoder for dee formåle. Fleen & Lemming (2001) har lage en hel ny meode for dee formåle som er kal Term Srucure Generaion (TSG). Som navne ilsier er dee en meode for å konsruere prisdaa for ikke observerbare modingsidspunk. I TSG minimeres en veke sum av kvadraisk avvik og en glaingsfunksjon ved bruk av opimering slik a en gla forwardkurve ilpasses. Som inndaa il TSG kreves bese pris kjøper er villig il å beale og lavese pris de selges for alle modningsidspunk som finnes i perioden som de skal lages en forwardkurve. Disse o prisene gir nedre og øvre grenses i resriksjonen som inngår i opimeringsprobleme som løses i TSG. I illegg inngår også en prisprognose i samme periode fra en eller annen boom-up 1 modell, for yerligere dealjer se [ Fleen & Lemming, 2001]. Ved bruk av meoden kan du for en handledag konsruere e glae daase med daglig eller ukenlig oppløsning på forwardpris relaiv il dagen eller uken. Her brukes de ukenlig oppløsning og forwardprisen for følge uker er baser på markedsdaa for sise handeldag uken før. Konkre innebære dee a om sise handeldag er orsdag i denne uken så vil en ukes forwardprisen gjelde for kraf lever fra og med førs komme mandag. Å konsruere daasee på denne måen fører også il a de kan være mer eller mindre enn en uke mellom observasjons idspunkene. Grunnen er a Nordpool åpner senere og senger idligere noen uker. I slike ilfeller kan iden mellom observasjonene være mindre eller lengre enn en uke. Daasee inneholder derfor uker med usynkron handel som gir opphav il skjevheer i fordelingen il daaene[ Solibakke, 2001b]. Fordi daaene kommer fra en konsruere forwardkurve og dermed har i boe unøyakigheer er effeken av dee vanskelig å påvise. Nøyakigheen il modellen som blir ilpasse vil normal ikke være god, og slik effeker forusees absorber i den feilmarginen som en slik modell vil ha. 1 Samkjøringsmodellen er en ypisk boom-up modell som kan generere slik prisprognoser. Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 4

12 1.3. Sensurering På Nordpool handles de erminkonraker med modningsidspunk oppil 3 år. Srukuren som brukes på konrakene gjør a 3 års modningsid kun oppnåes ved kjøpe i begynnelsen av åre. Ved sluen av åre er modningsid på 2 år den høyes oppnåelige, og grunnen er a for år re selges de kun en forward for hele åre. Dermed er de i sise uke i 2001 kun 105 uker il en års konrak i 2004 har modningsidspunk. Følgene av dee er a daasee som blir generer av TSG besår av daa for 156 uker når forwardpriser genereres i uke 1 og avar der eer il 104 uker mo sluen av åre. For å skape e daase egne for saisisk analyse fjernes forwardpriser med modningsid over 104 uker fra daasee. I illegg fjernes de 10 førse ukene fra daasee fordi maksimal modningsid er mindre enn 104 uker for disse ukene. De gjenvære daasee innholder nå alle generere forwardprisene med oppil 104 ukers modningsid fra og med uke 50 i 1995 fram il uke 4 i 2002, oal 319 uker Daauvalg De oal daasee besår nå av en marise med dimensjonene 319 x 104. For å lage en modell som beskriver forwardprisen god nok, er de ikke nødvig å bruke alle daapunkene for å fange opp hvordan risikopremien er i markede. Velger derfor å bruke samme daauvalg som Koekebakker & Ollmar (2001), og disse er valg slik a de reflekerer fakiske handlede konraker. Analle modningsidspunk som velges er 21, og med verdien T m i uker fram il modningsidspunk. Valge modningsidspunk er da T 1,..,T M =[ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 70, 88, 104]. Hvor de 7 førse represenerer ukeskonraker og de 11 nese månedskonraker og de sise 3 er sesongkonraker. Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 5

13 1.5. Deskripiv saisikk og konroll av prisdaa Fra de valge modningsidspunkene er deskripiv saisikk beregne for noen få idspunk i abellen nedenfor. En komple abell med deskripiv saisikk for alle idspunk finnes i vedlegg 1. Uke 1 Uke 7 Uke 12 Uke 24 Uke 52 Uke 70 Uke 104 Minimum 45,3 70,0 69,8 72,2 104,8 104,7 115,6 Førse kv. 107,3 109,9 113,3 130,2 137,2 136,8 146,4 Middelverdi 153,3 157,5 159,4 161,7 162,0 161,8 164,2 Median 138,5 149,8 152,7 147,1 157,4 155,8 162,3 Tredje kv. 193,3 189,7 183,7 174,0 180,5 183,7 177,9 Maximum 352,8 354,6 369,2 383,5 260,5 299,9 267,3 Sandaravvik 62,3 61,8 61,6 59,4 33,8 37,0 29,1 Skeivhe 0,8 1,1 1,3 1,7 0,7 1,2 0,8 Kurosis 0,3 1,0 1,7 3,1 0,2 1,9 1,0 Tabell Deskripiv saisikk forwardpriser Hvor skeivhe og kurosis er definer som følger, øvrige ing anas kjen: f( X) : Fordelingens funksjonen il x. µ = EX [ ] = x f( x) dx (Likning 1.5-1) 2 2 σ = E[( X µ ) ] Variansen il en variabel. (Likning 1.5-2) α α µ σ 4 E[( X µ ) ] = σ 3 E[( X ) ] 3 = Skeivheen il fordelingen. (Likning 1.5-3) Kurosis il fordelingen. (Likning 1.5-4) Verdiene på skeivhe angir i hvilken rening fordelingen er forskjøve og kurosis beskriver hvor spiss peaken er i fordelingen er. Alle normalfordele variable har α 3 = 0 og α 4 =3. I Tabell er skeivhe og kurosis ikke nær disse verdiene i de flese ilfellene, noe som indikerer a prisene ikke er normalfordele. Skeivheene er posiive og innbærer a fordelingen er forskjøve il høyre. De flese kurosisverdiene er mindre en 3 og innbærer en ykkhale fordeling og fla fordeling av prisen. En vanlig anakelse er a ved kuosisen α 4 = 3 ±0.5 så kan de anas normalfordeling, en anakelse som kun holder for 4 verdier i hele daasee(se vedlegg 1). Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 6

14 Korrelasjon mellom forwardprisen disse ukene er presener i abellen nedenfor. Uke 1 Uke 7 Uke 12 Uke 24 Uke 52 Uke 70 Uke 104 Uke 1 1,00 0,93 0,87 0,74 0,83 0,60 0,70 Uke 7 0,93 1,00 0,97 0,82 0,79 0,79 0,67 Uke 12 0,87 0,97 1,00 0,89 0,71 0,88 0,58 Uke 24 0,74 0,82 0,89 1,00 0,51 0,86 0,32 Uke 52 0,83 0,79 0,71 0,51 1,00 0,43 0,94 Uke 70 0,60 0,79 0,88 0,86 0,43 1,00 0,34 Uke 104 0,70 0,67 0,58 0,32 0,94 0,34 1,00 Tabell Korrelasjon mellom forwardpriser Nedenfor er prisen for forwarder medmodningsid på henholdsvis 1 uke, 52 uker og 104 uker ploe i samme diagram. Verdiene fra og med uke 50 i 1995 il og med uke 4 i Signifikans i korrelasjon For å sjekke om korrelasjon er signifikan brukes Kall es (se vedlegg 5), esen foruseer ikke a daaene ilhører en besem fordeling. De sjekkes kun om korrelasjon mellom priser i uke 1 og øvrige uker er signifikan. Verdien av essaisikken z~n(0,1) er ploe som en funksjon av modningsid i Figur Z-verdier som funksjon av korrelasjon mellom pris i uke 1 og ukene z-verdi Modningsid i uker Figur 1.5-1: z-verdier i korrelasjon Som Figur viser, er de få lave z-verdier og den lavese verdiene observere verdien er z = De kan derfor konkluderes med a alle priser er signifikan korreler med prisen i uke 1. Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 7

15 Forwardpriser ,00 350,00 300,00 Pris i NOK/MWh 250,00 200,00 150,00 100,00 50,00 0,00 des. 95 jun. 96 des. 96 jun. 97 des. 97 jun. 98 des. 98 jun. 99 des. 99 jun. 00 des. 00 jun. 01 des. 01 Tidspunk Uke1 Uke52 Uke104 Figur 1.5-2: Tidsrekkeplo forwardpriser Inngangsverdiene som brukes i TSG modellen er bid- og askpriser fra Nordpool og prisprognoser fra en boom-up modell. Med disse verdiene ilgjengelig, genereres de en fil for hver handledag/uke av TSG med forwardpriser. I dee ilfelle ble de 329 filer som daa skulle henes fra. Fordi analle prosesser som daaene går gjennom er mange, er sjansene for feil i daasee høy. For å verifiserer a så ikke er ilfelle, er de lage 3 scaerplo 2 av daasee, og disse vise ikke noen indikasjoner på a daasee innhold eksremverdier. En visuell sammenlikning med ilsvare diagram i [Koekebakker & Ollmar, 2001, side 7] viser a daasee har likheer som forvene. U fra dee sam den deskripive saisikken 3 og scaerploene, konkluderer jeg derfor med a daasee ikke innholder eksremverdier og er derfor egne il videre bruk. 2 Se vedlegg nr 2 3 Se også vedlegg nr 1 Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 8

16 2. Daarepresenasjon av ilsig 2.1. Tilsigsdaa For å kunne lage en modell som fanger opp korrelasjon mellom forwardprisen og ilsige, bør informasjon om dee inkluderes når i modellen ilpasses. Å finne enkle modeller som gir e enkel mål på ilsig i form av regn og akkumuler nedbør i form av snø eller grunnvann for hele lande er vanskelig. I bransjen er de vanlig å berake den hydrologiske balansen for hele lande, som ar hensyn il grunnvannsand, magasinnivå og snømagasin. Hvordan denne balansen framkommer, kjenner jeg ikke il, men de er grunn il å ro a anall inpuparameere er høy fordi den dekker hele lande. På lokal nivå brukes andre modeller, også disse svær komplisere fordi anall inpuparameere er høy og kalibreringen disse omfae. Andre grunner finnes også, og uen å begrunne disse her kan korrelasjon og daamengde nevnes som noen av de vikigse. Innvirkningen av korrelasjon og daamengde er grundig beskreve i [Gjelsvik, A. (1992)], og aes også opp i [Aronsen & Dybdahl 2001, kap 6 ]. E se av ilgjengelige daa som gir en indikasjon på ilsige er fyllingsgraden 4 på vannmagasinene i Norge, og disse kan inn henes fra [SSB 1]. Daaene er gi som oal fyllingsgrad for hele lande og fyllingsgrad for hver av de 3 delområdene. Saisikken dekker 97,1 % av landes oal magasinkapasie og publiseres hver onsdag. Daa som publiseres onsdager er akuell magasinfylling mandag samme uke. For yerligere dealjer om område inndeling m.m. se [SSB 1]. 4 Fyllingsgrad = [Magasinnivå (MWh)]*100 %/[Toal magasinkapasie(mwh)] Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 9

17 Informasjon i magasindaa Informasjon som kan finnes direke eller indireke fra magasinfyllingen er blan anne ukenlig forbruk, ukenlig ilsig og energi ilgjengelig for framidig bruk. De ukenlige ilsige av vann il magasine finnes ved å rekke fra de ukenlige forbruke fra fyllingsmengde(gi i GWh). Hvor sor ilsig som finnes ilgjengelig i snø magasiner i nedbørsfelene rund krafverkene ikke angi. Informasjonene om fyllingsgrad er ilgjengelig for alle og inngår rolig som e av mange informasjonselemen som påvirker forwardprisen. I hvilken grad de er sammenheng mellom forwardprisen og magasinfylling kan bes beskrives med korrelasjon. Om de finnes en signifikan korrelasjon mellom magasinfylling og forwardpriser kan informasjonen om magasinfylling brukes i en forwardprismodell. En korrek modellen vil gi prediksjon/simuleringsverdier som er korreler med magasinfyllingen. Om de er korrelasjon eller ikke mellom magasinfylling og forwardpriser vil bli analyser senere Magasinfyllingsdaa Som idligere nevn, er frekvensen i magasindaaene publiser med uker, og dee passer mege bra i forhold il forwardprisen som også er generer med TSG med ukesfrekvens. Magasinfyllingsdaa er derfor hene fra uke 50 i 1995 il og med uke 4 i 2002 (319 uker), og dee er samme idsrom som forwardprisen er generer for. Daasee er komple for denne perioden og er derfor ikke manipuler på noen måe. Opprinnelig besår daasee av magasinfyllingsgrad angi i prosen. See besår av en kolonne for oal fyllingsgrad for lande og 3 kolonner som gir fyllingsgrad i hver del område 5. 5 Andelen av oal magasinkapasie for hver av del områdene 1-3 er henholdsvis 36, 28 og 36 %. Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 10

18 2.3. Deskripiv saisikk Som nevn besår daaene opprinnelig av 4 kolonner med prosenvis fyllingsgrad på magasin. I illegg il disse er de også lag il 4 kolonner med avvik i prosen regne fra gjennomsnilig fyllingsgrad for hver opprinnelige kolonne. Gjennomsnie for hver kolonne er regne over alle observasjonen i idsperioden daaene dekker. I abellen nedenfor er deskripiv saisikk regne u for magasindaaene, alle verdier gi i prosen. Kolonneoverskrif TH er magasinfylling for hele lande, og O1-O3 er for delområdene i lande. Avvik fra gjennomsnilig fylling i disse områdene er indekser med ATH-AO3. TH O1 O2 O3 ATH AO1 AO2 AO3 Minimum 23,50 16,70 27,60 25,40-41,56-46,14-38,43-41,95 Førse kv. 48,95 43,70 52,50 51,90-16,11-19,14-13,53-15,45 Middelverdi 65,35 62,79 66,43 68,03 0,29-0,04 0,41 0,67 Median 66,40 63,80 67,50 71,00 1,34 0,96 1,47 3,65 Tredje kv. 84,15 84,85 83,30 85,75 19,09 22,01 17,27 18,40 Maximum 94,60 96,10 94,90 96,50 29,54 33,26 28,87 29,15 Sandaravvik 20,17 22,82 18,37 19,23 20,17 22,82 18,37 19,23 Skevhe -0,28-0,25-0,28-0,40-0,28-0,25-0,28-0,40 Kurosis -1,09-1,22-1,03-0,95-1,09-1,22-1,03-0,95 LCL 62,43 59,48 63,77 65,24-2,63-3,36-2,26-2,12 UCL 68,28 66,10 69,10 70,82 3,22 3,27 3,07 3,46 Tabell Deskripiv saisikk magasindaa Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 11

19 I Tabell er verdiene som måles uenom LCL og UCL selvforklare eller beskreve idligere i kapiel 1.5. LCL er nedre grense på e 99 % konfidensinervall for middelverdien og UCL de øvre med samme signifikans. Disse verdiene indikerer a middelverdien for alle ligger innenfor e smal område. En naurlig sjekk er om disse verdien kommer fra en normalfordeling eller fra en annen fordeling i ilfelle de skal simuleres forwardpriser. Sjekk av normalie vil bli ufør i nese avsni. Velger å bruke avvik fra gjennomsnisverdien for hele lande som mål på ilsig. Denne verdien ser vi a har middelverdi veldig nær null, selv om den er under påvirkning fra eksremåre Nedenfor er en idsserie plo av verdien. Avvik fra gjennomsnilig magasinfylling i perioden ,0 30,0 20,0 10,0 Avvik i prosen 0,0-10,0-20,0-30,0-40,0-50,0 des. 95 jun. 96 des. 96 jun. 97 des. 97 jun. 98 des. 98 jun. 99 des. 99 jun. 00 des. 00 jun. 01 des. 01 Tidspunk Figur Avvik fra gjennomsnilig magasinfylling Når en ser bor fra åre 1996 svinger verdiene omkring null. Beraker vi kurven for forwardprisene i 1996 har denne også e beydelig avvik fra øvrige år. Noe som yder på a korrelasjonen mellom ilsig og pris kan ivareaes ved å bruke magasinfylling som en indikasjon på ilsige. Om så er ilfelle blir eses i kapiel Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 12

20 2.4. Sjekk av fordelingsegenskaper il daaene En førse sjekk på om daaene er normalfordel er å berake hisogram, boks, ehe og qq-plo i Figur Avvik fra gjennomsnilig magasinfylling Verdi Verdi Hisogram observere verdier Boksplo Sannsynlighe Tehesplo for observere verdier Verdi QQ-plo for observer verdier Figur Hisogram, boks, ehe og qq-plo. Tehesploe viser a daaene kanskje er normalfordel, men øvrige plo viser dee hel åpenbar ikke er ilfelle. Fordi daaene er påvirke av både naurlige fenomen og menneskelig handlinger kan ikke hisoriske all maeriale som sammer fra før forwardmarkede brukes il å ilpasse fordelingen. Årsaken er a drifsplanlegging av krafverkene il en viss grad syr av markedes forvenning il priser og sesong. I bruke av ordinære fordelinger skaper dee e problem om vi ikke bruker en beinge fordeling. Dee skjer fordi a iden påvirker sannsynligheen for en posiiv eller negaiv ring i magasinfyllingsgraden. I vårflommen er de åpenbar a den mes sannsynlige ringen er posiiv og en fordeling må a hensyn il dee. Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 13

21 3. Valg av forwardpris modell 3.1. Innledning De er gjor mange sudier av egenskapene il forwardpriser i de nordiske krafmarkede og omren like mange modeller for spo- og forwardpriser er foreslå. Ikke noen av modellene som er foreslå har a hensyn il korrelasjonene mellom spo- /forwardpris og ilsig. Derfor er de forsøk ilpasse flere modeller som ar hensyn il dee. Ugangspunke for modellene som er forsøk ilpasse her er hene fra [Lucia & Schwarz 2001]. I denne arikkelen er de ilpasse flere modellyper, blan anne er enog ofakormodeller ilpasse. Av hensyn il kompleksieen i ilpassning er ikke ofakormodeller berake, selv om resulaene fra [Lucia & Schwarz 2001] yder på a disse kan være bedre. Enfakormodellene som er ilpasse har bruk henholdsvis spopris og log spopris som ugangspunk. Funn yder på a modeller baser på spopris er omren like bra som de som bruker log spopris. Her velges de å bruke en log spoprismodell for å unngå probleme med negaive priser. Årsaken er a en ordinær spoprismodell kan gi negaiver priser når den brukes på noen av modellene som brukes for å lage diskree priser Meodikk For å bli kjen med meoden som er bruk i [Lucia &Schwarz 2001], vil førs en modell som er veldig lik modellene i samme arikkel ilpasses. Paramerene i en slik modell bør ikke være så veldig forskjellig, og vil dermed gi en indikasjon på om dee er gjor rikig. Når førse del av ilpassningen er gjennomfør, vil de eses flere varianer av den deerminisiske funksjonen der hensyne il magasinnivå aes med. A denne sammenhengen aes inn i de deerminisiske ledde skyldes a denne informasjonen er ilgjengelig når forwardprisen besemmes, og dermed pr. definisjon deerminisisk på dee idspunke. Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 14

22 Magasinnivåe, eller avvik som brukes her er selvfølgelig ikke en deerminisisk variabel, men den kan behandles slik i ilpassningen av forwardprismodellen, på samme måe spoprisen brukes. Om forwardprismodellen blir bra ilpasse når avvike fra magasinnivå er a inn i modellen, så kan de være hensiksmessig å ilpasse en modell for denne variabelen(avvike fra normal nivå). Forwardprisbaner kan da simuleres ved å rekke ufall fra avviksmodellen og de sokasiske ledde i den opprinnelige forwardpris modellen. I daagrunnlage finnes de en periode hvor avvike i magasinnivå og priser var ganske sor, og prisene svinge veldig i dee idsromme. En modell som fanger opp korrelasjonen mellom pris og ilsig vil fange opp disse svingningen og avvike fra observer pris og modeller pris vil ikke være sor. Hvordan dee avvike arer seg i en modell som ikke ar hensyn il korrelasjon mellom ilsig og pris vil bli illusrer i den førse modellen som ilpasses. E mål på hvor god modellen som ar hensyn il korrelasjon mellom ilsig og pris er ilpasse, er å sammenlikne denne med en som ikke gjør de. Inuiiv vil enn forvene a modeller som ikke ivarear hensyne il korrelasjon mellom pris og ilsig vil ha sørre avvik i ilpassningen. Noe som vil skje i de perioder hvor de opprer eksrem priser som følge eksra ordinære ilsigsforhold. Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 15

23 3.3. Teoreisk grunnlag Prisen kan beskrives slik a den besår av e deerminisisk og e sokasisk ledd. Følge urykk for prisen kan da sees opp: P = f( ) + X (Likning 3.3-1) f( ) : Deerminisisk ledd som er predikerbar. De anaes videre a X dx = κ X d + σ dz 0 følger en sokaisk prosess av formen: (Likning 3.3-2) κ > 0, X(0) = x og hvor dz represener e inkremen i en sandard Brownsk bevegelse Z. Derfor følger X en sasjonær middelreur prosess, eller en Orsein-Uhlenbeck prosess med 0 som forvenningsverdi i de lange løp og med e middelreur rae lik κ. Ved å omskrive (3.3-1) il X = P f( ) kan vi skrive (3.3-1) og (3.3-2) slik: dp ( f ( )) = κ ( f ( ) P) d+ σ dz (Likning 3.3-3) Dee urykke viser a dersom P avviker fra de deerminisiske ledde f( ) så rekkes de ilbake med en rae som er proposjonal med avvike. Den enese variabelen som har sokasiske egenskaper er da X og vi kan derfor kalle X for ilsandsvariabel. Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 16

24 Hvor a ( ) er den deerminisiske funksjonen av definer ved: 1 df () a ( ) f( ) (Likning 3.3-5) κ d + En eksplisi løsning av (3.3-2) kan finnes og gir sammen med (3.3-1) denne løsningen: κ κ ( s ) P = f( ) + X0e + σ e dz( s) (Likning 3.3-6) 0 Ved å see X = P f(0) kan vi see opp disse urykkene for beinge varians og forvenning 0 o under for usening om a prisen er normalfordel. κ E(P) 0 E(P 0 X0) = f() + ( P0 f(0)) e 2 σ 2 κ Var 0(P ) Var 0(P X0) = (1 e ), κ > 0 2 κ (Likning 3.3-6) Fordi vi ønsker å bruke de risikojusere prisene i produksjonsplanleggingen må vi risikojusere prisen for ilsandsvariabelen X isedenfor den virkelige gi av (3.3-2). Ved å a hensyn il den ikke handlbare nauren il X, så vil sandard arbirasjeargumener med o derivaer illae oss å oppnå den risikonøyrale prosessen for X. dx = κα X d + dz α * λ σ κ Hvor dz * * * ( ) σ (Likning 3.3-8) (Likning 3.3-9) sår for e inkremen il Z *, en sandard brownsk bevegelse under risikonøyral sannsynlighesmål. λ sår for pris pr enhe risiko og er knye il ilsandsvariabelen X. Vi anar λ konsan, men generel er λ en funksjon av X og. Ved å følge de samme segene som idligere, kan den eksplisie løsningen av den sokasiske differensiallikningen (3.3-8) finnes ved bruk av Io's lemma og denne er gi ved: κ * κ κ ( s ) * P = f( ) + X0e + α (1 e ) + σ e dz ( s) (Likning ) 0 Hvor α * er som definer i (3.3-9). Fra dee har vi a P er beinge normal under risikonøyral mål, med forvenningsverdi: κ E (P ) = f( ) + X e + α (1 e ) (Likning ) * κ * 0 Verdien av e hver deriva må være lik den forvenede verdien, under risikonøyral verdiseing, diskoner med risiko fri rene. Den risiko frie renen anas konsan. Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 17

25 Verdiene av en forward eller fuureskonrak baser på spoprisen med modningsid T må da være: v ( X, T) = e E [ P F ( P, T)] (Likning ) rt 0 T 0 T 0 0 Hvor F 0 (P 0,T) er forwardprisen ved inngåelse av en konrak med modningsidspunk T, og r er den risiko frie renen. Fordi verdien av en slik konrak må være lik null når den inngåes, oppnår vi følge løsning på forward og fuuresprisen ved å bruke (11) og (1) for =0: κ T * κ T F 0(P 0, T) E0( PT ) f( T) ( P0 f(0)) e (1 e ) (Likning ) med α * = = + + α λ σ = κ 3.4. Overgang fra spopris il log spopris modell En overgang fra en modell baser på spopris il en modell baser på log spopris skjer ved å jobbe med den naurlige logarimen il spoprisen. De anas da a prosessen som log spoprisen følger er denne. ln( P ) = f( ) + Y (Likning 3.4-1) Hvor f() er som idligere definer. Den sokasiske prosessen som Y følger er gi ved: dy = κ Y d + σ dz (Likning 3.4-2) Ved hjelp av en rekke omskrivninger ilsvare de bruk for å ulede likning (3.3-4) kan prisprosessen urykkes med denne likningen. dp = κ( b( ) ln( P )) P d + σ P dz (Likning 3.4-3) Med 2 1 σ df b () + () + f() κ 2 d Ved å ana a Y følger prosessen gi i (3.4-2), forusees log spoprisen å være beinge normalfordel med beinge forvenningsverdi og varians gi ved: κ E0(ln( P )) = f( ) + (ln( P0) f(0)) e 2 σ (Likning 3.4-4) 2 κ Var0(ln( P )) = (1 e ) κ > 0 2 κ Dermed har log spoprisen de samme egenskapene som er ulede i forrige avsni. Spoprisen P har da beinge log normal fordeling, som leder ilfølge urykk for forvene spopris og varians for denne: Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 18

26 σ E P f P f e e 2 κ 2 κ 2 κ 0 ( ) = exp ( ) + (ln( ) (0)) + (1 ) (Likning 3.4-5) og 2 2 σ 2κ Var0( P) = E0( P) exp (1 e ) 1 (Likning 3.4-6) 2 κ Disse finnes ved å bruke sandard likninger for forvenning og varians il en log normal variabel. Overgangen il risikojusere priser skjer ved a prosessen for Y defineres som i (3.3-8) og ved å bruke (3.4-1) og (3.4-2) kan den risikojusere log spoprisen urykkes slik: κ * κ κ ( s ) * ln(p ) = f( ) + Y0e + α (1 e ) + σ e dz ( s) (Likning 3.4-7) 0 Den risikojusere forvenningsverdien og variansen er da gi ved: * κ * κ E0(ln( P )) = f( ) + (ln( P0) f(0)) e + α (1 e ) 2 * σ 2κ Var0 (ln( P )) = (1 e ) κ > 0 2 κ (Likning 3.4-8) Ved å bruke samme argumenasjon som for uledningen av likning (3.3-13) kan følge urykk for forward/fuuresprisen sees opp: 2 κ T * κ T σ 2 κ T F 0(P 0, T) = E0( PT ) = exp f( T) + ( P0 f(0)) e + α (1 e ) + (1 e ) (Likning 3.4-9) 4 κ * λ σ med α = : som er risikopremien (Likning ) κ 3.5. Valg av førse deerminisisk funksjon Funksjonen F = f(t), som er de deerminisiske idsfunksjonen i forwardprismodellen, er ikke lik de som er bruk i [Lucia &Schwarz 2001], og årsaken il dee er flere. Hovedgrunnen er a de ønskes en enkel modell og derfor droppes dummyvariablene som brukes for å definere sesongledd, se [Lucia & Schwarz 2001 side 18] for flere dealjer om disse. De kunne også vær bruk en dummyvariabel for de åre som har 53 uker(1998), men også dee uelaes fordi de kun gjelder for e år. Følge deerminisisk funksjon velges bruk i likningen som ilpasses førs, og denne vil også være ugangspunke for senere funksjoner: Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 19

27 2 π F = f( T) = α + γ cos( ( a + τ)) (Likning 3.5-1) 52 T = Modningsid for forwarden a α = (Dagens dao + Modningsid) : Middelverdien il sesongfunksjonen. γ : Ampliudeverdi, uslage fra middelverdiene. τ : Fase forskyvningen av oppverdi, om denne er lik null oppnåes maks verdien i uke 52. Som sesongledd er de valg å bruk en cosinusfunksjon fordi denne har sin maksimale verdi når vinkelen er lik 2 π n, n = 0,1,2,3,,N. Når τ = 0 beyr dee a sesongfunksjonen har sin maksimale verdi ved =52. Erfaringsmessing oppnåes maksimalpris i perioden januar-februar, og valge av cosinusfunksjonene som sesongledd er derfor mes hensiksmessig slik a parameeren τ innar enfornufige verdi. Merk også modningsidspunke regnes om il absolu id i sesongfunksjonen. Sørrelses av dee ledde blir derfor avhengig av når på åre forwarden modnes og ikke hvor lenge de er il modningsidspunke ved inngåelse av konraken Esimering av den sokasiske prosessen for enfakormodellen I den likning (3.4-9) som er gjengi neden for er den en rekke parameere som skal besemmes for a likningen skal kunne brukes. Den enklese og raskese meoden er å bruke ulineær minse kvadraers meode for å besemme disse samidig. Her brukes saisikkprogramme S-Plus fordi -verdier og andre ineressane saisiske sørrelser beregnes samidig. U fra disse verdiene kan en besemme hvilke parameere som er signifikane i likningen. Løsningen på den sokasiske differensial likningen (3.4-9) som parameeren skal besemmes for er gi ved : 2 κ T * κ T σ 2 κ T F(P, 0 0 T) = E0( PT ) = exp f( T) + ( P0 f(0)) e + α (1 e ) + (1 e ) 4 κ * λ σ med α = κ Med sesongledde fra gi av (3.5-1): 2 π f( T) = α + γ cos( ( a + τ)) 52 Ved å see inn for (3.5-1) i (3.4-9) framkommer denne likningen: Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 20

28 π κ * 2 cos( ( )) ( 0 ( 0)) T κ a P f e (1 e T σ κ α γ τ α ) (1 e T ) 52 4 κ F (P, T) = e (Likning 3.6-1) Merk a f(0) ikke beyr a innverdien i funksjonen er null, men a f(0) er lik verdien på sesongfunksjonen for de idspunke som legges il grunn for prisingen av forward eller fuuresproduke. Paramerene i denne likningen kan ikke besemmes simulan, men finnes segvis. I førse sege løses likningen for prisprosessen uen risikojusering. Likningen som paramerene skal besemmes for er da denne: F (ln( P ), T) = f( ) + (ln( P ) f(0)) (Likning 3.6-2) 0 0 Dee foruseer a følge gjelder for prisen. ln( P) = f( ) + Y (Likning 3.6-3) Y = (1 κ) Y + ξ (Likning 3.6-4) 1 2 = 0,1, 2,..., N, ξ N(0, σ ) og φ=1- κ. Med disse beingelsene oppfyl kan følge sammenheng formuleres: z = f( θ, T) + Y (Likning 3.6-5) Y = φy + ξ 1 (Likning 3.6-6) θ = [ α, γ, τ] : Vekor av parameere som skal besemmes. Ved å omskrive Y og see den inn (3.6-5) får vi likningen (3.6-8) som brukes i regresjonen der verdien på paramerene i førse seg finnes eer : Y = ln( P ) f( 1) = φ z φ f( θ,( 1)) (Likning 3.6-7) z = φ z + f( θ, T) φ f( θ,( T 1)) + ξ (Likning 3.6-8) 1 Eller om vi skriver (3.6-8) hel u får vi denne likningen hvor paramerene besemmes ved bruk av ikke lineære minse kvadraes meode: 2 π 2 π ln( P ) = φ ln( P 1) cos( ( )) cos( ( 1 )) + (3.6-9) a α γ a + + a + τ φ α γ a τ ξ Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 21

29 3.7. Bruk av forwardpriser konra spopris i ilpassning Likningen i [Lucia & Schwarz 2001] ilpasses ved bruk av en spoprisrekke. I vår ilfelle har vi flere prisrekker som skal brukes i ilpassningen, og ugangspunk er dermed ikke de samme som [Lucia & Schwarz 2001]. Som e esima på spoprisen brukes 1-ukes forwardprisen [Bessembinder m.fl. 1996], og alle parameere uenom risikopremien besemmes ved bruk av dee daasee. Risikopremien besemmes ved å bruke øvrige forwardpriser i daasee og de vil si for ukene j=2,,7,12,16,,52,.72,88,104 og hvor valge av j nesen er de samme som i Koekebakker & Ollmar (2001) som idligere nevn. Forskjellen er a vi ikke bruker førse uken il å besemme gjennomsnilig risikopremie, fordi dee er bruk il å besemme øvrige parameere i daasee Esimering av sandard avvik og risikopremie Som idligere nevn vil paramerene som finnes i likning (3.6-9) besemmes ved bruke av ikke-lineær mins kvadraers meode. Konkre innebærer de a paramerene som inngår i θ = [ α, γ, τ] og ϕ vil bli besem med denne meoden. Ved a ϕ er besem så er også κ gi gjennom sammenhengen κ=1-ϕ. Øvrige parameere finnes gjennom beregninger som bruker resulaer fra disse beregningen Esimering av sandard avvike Som e esima på sandard avvike brukes sandardfeilen il regresjonen. Denne verdien er definer som sandardavvike il residuale ξ. Esimer verdi av sandard avvik finnes da ved bruke å bruke sandard formelen: σ = n N N ( ξ ξ ) i R 2 (Likning ) I de flese saisikkprogram oppgies denne verdien som e av paramerene i oupuen fra en regresjonen. Verdien er juser for anall frihesgrader og juseringsledde R er i vår ilfelle lik 4, de samme som anall parameere som er besem i regresjonen. Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 22

30 Esimering av markedsprisen for risiko For å kunne esimere risikopremien over alle observasjoner må vi benye oss av den ilpassede funksjonen (likning 3.6-1). I denne funksjonen er de kun en verdi som er ukjen (λ, markedsprisen for en enhe risiko) og denne skal finnes ved å bruke observasjoner av forwardprisen som ikke er bruk i ilpassningen av øvrige parameere. Definer da følge likning. 2 2 π κ 2 cos( ( )) (ln( 0 ) ( 0)) T λσ κ a P f e (1 e T σ κ α γ τ ) (1 e T ) 52 κ 4 κ P( λ ) = e ( ) Verdi av øvrige parameere inngår som konsaner og verdien av λ finnes ved bruk av ikke lineær minse kvadraers meode når de minimeres over daasee fra følge uker ukene j=2,,7,12,16,,52,.72,88,104. Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 23

31 4. Tilpassning av modeller 4.1. Paramerene i basismodellen En ilpassning av likning (24) gir følge parameere når modellen ilpasses. Parameer Verdi Sandard feil T-verdi α γ τ ϕ Tabell Parameer verdier Sammenligne med verdiene fra [ Lucia & Schwarz 2001], virker disse fornufig. I ilpassningen som er gjor av Lucia og Schwarz er [α,ϕ,τ] = [4.938, 0.986, 0.836] i den modellene som de er relevan å sammenligne med. Ser også a alle paramerene uenom τ er signifikane, med relaiv høye -verdier. Anar u fra dee a ilpassningen er korrek gjennomfør og beregner øvrige verdier som inngår i forwardpris modellen. Sandard avvike som inngår i forwardprismodellen beregnes som beskreve i ( ) og er σ = Verdien er i samme sørrelses orden som den funne i [Lucia og Schwarz 2001] hvor σ Markedsprisen for risiko(λ) finnes ved bruk av likning ( ) og er e gjennomsni over alle modningsidspunk. Verdien av λ= og denne er signifikan med en - verdi lik -20. I mosening il Lucia & Schwarz (2001) så er verdien her negaiv, og dermed er forwardprisen høyere en forvene spopris. Årsaken er a med λ < 0, blir risikopremien (α * =-λσ/κ) posiiv. Med en posiiv α* vil forwardprisen ligge over forvene spopris, og dee er ikke konsisen med markede Alernaiv beregning markedspris for risiko Fordi en negaiv verdi på λ er høys uvene ble de gjor yerligere analyser av markedsprisen for risiko. Isedenfor å beregne en gjennomsnilig λ, ble λ verdien for alle modningsidspunk fra uker ble funne ved hjelp av ( ). Verdiene som ble funne i denne analysen er framsil i Figur Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 24

32 Lamda som funksjon av modningsid Markedspris for en enhe risiko Modningsid i uker Figur 4.1-1: Markedsprisen for risiko som funksjon av modningsid Resulaene fra den sise analysen er konsisen med hva som observeres i markede og viser dermed a bruken av en gjennomsnilig markedspris for risiko ikke gir noen god modell for forwardprisen. Gi disse lamdaverdien kan risikopremien regnes u som en funksjon av modningsiden. Risikopremien i prosen er gi ved denne likningen: λσ κ (1 e T ) κ risikopremie( T ) = (1 e ) * 100% (Likning ) Risikopremie som funksjon av modningsid for forwarderkonrak Risikopremie i prosen av pris Modningsid i uker Figur 4.1-2: Risikopremie som funksjon av modningsid Disse verdiene er noe i overkan med hva som kan observeres i markede, og skyldes rolig dårlig meodikk for å besemme lamda. Meoden som brukes her gir rom for å velge en sørre lamda for å minke de kvadraiske avvike som skal minimeres i algorimen. Algorimen korrigere derfor for dårlig ilpassning av basismodellen ved å velge en høyere lamdaverdi under opimeringen. Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 25

33 4.2. Hvor bra ilpasse er basis modellen Anagelsen om normalie Krave il normalfordele residualer ved ilpassningen av (30) (dvs. om ξ ~N(0,σ 2 ) er basisen som modellen bygger på. Verdi Verdi Hisogram observere verdier Boksplo Sannsynlighe Verdi Tehesplo for observere verdier QQ-plo for observer verdier Figur 4.2-1: Diverse plo ved sjekk av normaliesanagelsen Anagelsen om a residualene er normalfordel blir ikke syrke ved en sudie av ploene ovenfor. Avvike som vi observerer i qq-ploe med a punkene i en av daasee ikke ligger på den ree linjen yder på a anagelsen om normalie er svak. E slik avvik anyder a vi har en ykkhale fordeling og kan være en indikasjon på a residualene ikke er normalfordel. Om så er ilfelle, er bruken av verdier fra modellen høys vilsom, og derfor gjøres de en hypoese es om dee holder med en meoder fra Johnson & Wichern (1998), s 193. Tes saisikk er r Q og denne er gi ved følge likning: r Q = n j = 1 ( x x) ( q q) ( j) ( j) n n 2 2 ( x( j) x) ( q( j) q) j= 1 j= 1 (36) Kriisk verdi finnes i abell 4-2 [ Johnson & Wichern (1998)]: Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 26

34 Hvor: x q ( j ) ( j ) : De ordnede observasjoner av residualene. : De ordnede observasjoner av sandard normal kvanilene. n : Anall observasjoner i daasee. n = 318 rq(318,0.01) = Kriisk verdi. α = 0.01 Seer da opp følge hypoese: H H 0 1 : Daaene er normalfordel. : Daaene er ikke normalfordel. Forkas H når : rq < rq 0 ( 318,0.01) Beregne r Q = 1.00 og vi beholder dermed H 0 og foruseer a residualene er normalfordel, og implisi av a prismodellen er lognormal Tilpassning av full modell Ved beregningen av markedsprisen for risiko ble de bruk o framgangsmåer. I den førse meoden ble de beregne en gjennomsnilig verdi over alle modningsidspunkene. For de andre ilfelle ble de beregne en markedspris for risiko for hver enese modningsidspunk. Verdien som ble funne i de førse ilfelle gav en negaiv markedspris for risiko. En negaiv markedspris for risiko innbærer a forwardprisen forvenes å være høyere en spopris ved innløsning, noe som ikke samsvarer hva som er observer i markede. Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 27

35 Observere forwardpriser med ukers 2 modningsid ploe mo ilpasse forwardpris NOK/MWh Observasjon nr. Observere forwardpriser med ukers 26 modningsid ploe mo ilpasse forwardpris NOK/MWh Observasjon nr. Observere forwardpriser med ukers 52 modningsid ploe mo ilpasse forwardpris NOK/MWh Observasjon nr. Figur 4.2-2: Observer forwardpriser ploe mo predikere Som de førse øverse av de re ploe viser er ilpassningen mege god når modningsiden er kor. Med øke modningsid ser vi a ilpassningen blir dårligere som vene, og en del av årsaken kan kanskje ilskrives mangle hensyn il ilsig- /magasinnivå. Særlig sees dee god i ploe hvor modningsiden er 52 uker, og hvor observasjonene 0-70 er en ørr periode og er en vå periode. Effeken av den ørre perioden er en underesimering av forwardprisen, og følgelig en overesimering i den fukige perioden. I en modell hvor korrelasjon mellom pris og ilsig aes hensyn il, vil ilpassningen kanskje kunne bli bedre enn her. Fordi usikkerheen i esimaer av framidig nedbør og eerspørsel med mer er øke med iden, gir dee en øvre grense på hvor god en slik modell kan ilpasses. Om en bruker e av de vanligse målene for ilpassing, de vil si R 2, finner vi a denne er lik 0.977for denne modellen, og denne er regne u over alle modningsiden dvs fra uker. Den høye verdien som er funne på R 2 indikerer a de å ilpasse en modell som ar hensyn il ilsig/magasinnivå med basis i denne modellen kan bli vanskelig. Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 28

36 4.3. Beregning av korrelasjon mellom forwardpris og magasinnivå Korrelasjon mellom forwardpriser og ilsig Før en sarer å velge en modell som ar hensyn il korrelasjon mellom ilsige og forwardprisene vil de være naurlig å sudere denne korrelasjonen. I figuren nedenfor er korrelasjon mellom pris og ilsigs ploe. Med ilsig menes fyllingsgraden i alle norske magasinene 6. Korrelasjon som funksjon av modningsid Korrelasjon Modningsid i uker Figur Korrelasjon forwardpris og ilsig Korrelasjon mellom forwardprisen og ilsige følger e mønser som vise i Figur Når en suderer de komplee daasee finnes høyes negaiv korrelasjon eer 42 uker og nese nåes eer 93 uker. Lavese korrelasjon opprer eer 12 og 75 uker. Hvorvid korrelasjon er signifikan sjekkes på samme måe som i kapiel Disse magasinene ugjøre 97,1 % av de samlede volume i Norge Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 29

37 Tessaisikk z som funksjon av korrelasjon mellom avvik i magasinnivå og forwardpris z-verdi Modningsid i uker Figur 4.3-2: z-verdier i esen av om korrelasjon er signifikan I Figur så ser vi a signifikansnivåe på korrelasjon mellom avvik i magasinnivå og forwardpriser svinger voldsom. Z-verdien ligger i sore perioder over eller under nivåe der korrelasjon er signifikan. De er derfor grunn il å ro a avvike fra normal nivåe for magasinnivåe har en forklaringseffek på forwardprisene. En slik korrelasjon samsvarer med hva som påvis av Gjolberg & Johnsen (2002). Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Side 30

Spesialisering: Anvendt makro 5. Modul

Spesialisering: Anvendt makro 5. Modul Spesialisering: Anvend makro 5. Modul 1.B Lineære regresjonsmodeller og minse kvadraers meode (MKM) Drago Berghol Norwegian Business School (BI) 10. november 2011 Oversik I. Inroduksjon il økonomeri II.

Detaljer

Eksamen i STK4060/STK9060 Tidsrekker, våren 2006

Eksamen i STK4060/STK9060 Tidsrekker, våren 2006 Eksamen i STK4060/STK9060 Tidsrekker, våren 2006 Besvarelsen av oppgavene nedenfor vil ugjøre de vesenlige grunnlage for karakergivningen, og ugangspunke for den munlige eksaminasjonen. De er meningen

Detaljer

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011. c) Hva er kritisk verdi for testen dersom vi hadde valgt et signifikansnivå på 10%?

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011. c) Hva er kritisk verdi for testen dersom vi hadde valgt et signifikansnivå på 10%? Forelesning 4 og 5 MET59 Økonomeri ved David Kreiberg Vår 011 Diverse oppgaver Oppgave 1. Ana modellen: Y β + β X + β X + β X + u i 1 i i 4 4 i i Du esimerer modellen og oppnår følgende resulaer ( n 6

Detaljer

Kort om ny reguleringskurvelogikk. Trond Reitan 19/8-2013

Kort om ny reguleringskurvelogikk. Trond Reitan 19/8-2013 Kor om ny reguleringskurvelogikk Trond Reian 19/8-2013 Hensik Hensiken med en reguleringskurver er å angi sammenhengen mellom en angi minimumsvannføring (apping) og nødvendig magasinvolum på årlig basis.

Detaljer

Et samarbeid mellom kollektivtrafikkforeningen og NHO Transport. Indeksveileder 2014. Indeksregulering av busskontrakter. Indeksgruppe 05.08.

Et samarbeid mellom kollektivtrafikkforeningen og NHO Transport. Indeksveileder 2014. Indeksregulering av busskontrakter. Indeksgruppe 05.08. E samarbeid mellom kollekivrafikkforeningen og NHO Transpor Indeksveileder 2014 Indeksregulering av busskonraker Indeksgruppe 05.08.2015 Innhold 1. Innledning...2 1.1 Bakgrunn...2 2 Anbefal reguleringsmodell

Detaljer

og ledelse av forsyningskjeder Kapittel 4 Del A - Prognoser SCM200 Innføring i Supply Chain Management

og ledelse av forsyningskjeder Kapittel 4 Del A - Prognoser SCM200 Innføring i Supply Chain Management Logisikk og ledelse av forsyningskjeder Kapiel 4 Del A - Prognoser M200 Innføring i Suin Man Rasmus Rasmussen PREDIKSJON En prediksjon (forecas forecas) er en prognose over hva som vil skje i framiden.

Detaljer

Eksamensoppgave i SØK3001 Økonometri I

Eksamensoppgave i SØK3001 Økonometri I Insiu for samfunnsøkonomi Eksamensoppgave i SØK3001 Økonomeri I Faglig konak under eksamen: Kåre Johansen Tlf.: 73 59 19 33 Eksamensdao: 1. desember 2017 Eksamensid (fra-il): 5 imer (09.00-14.00) Sensurdao:

Detaljer

Løsningsforslag øving 6, ST1301

Løsningsforslag øving 6, ST1301 Løsningsforslag øving 6, ST1301 Oppgave 1 Løse Euler-Loka ligningen ved ruk av Newon's meode. Ana a vi har en organisme med maksimal alder lik n år. Vi ser kun på hunnene i populasjonen. La m i være anall

Detaljer

Finansielle metoder for produksjonsplanlegging av vannkraft

Finansielle metoder for produksjonsplanlegging av vannkraft Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf Forord Denne rapporen er skreve ved Norges eknisk-naurvienskapelige universie, høsen 2005, i forbindelse med fordypningsemne Invesering, finans

Detaljer

Betydning av feilspesifisert underliggende hasard for estimering av regresjonskoeffisienter og avhengighet i frailty-modeller

Betydning av feilspesifisert underliggende hasard for estimering av regresjonskoeffisienter og avhengighet i frailty-modeller Beydning av feilspesifiser underliggende hasard for esimering av regresjonskoeffisiener og avhengighe i fraily-modeller Bjørnar Tumanjan Morensen Maser i fysikk og maemaikk Oppgaven lever: Mai 2007 Hovedveileder:

Detaljer

MAT1030 Forelesning 26

MAT1030 Forelesning 26 MAT030 Forelesning 26 Trær Roger Anonsen - 5. mai 2009 (Sis oppdaer: 2009-05-06 22:27) Forelesning 26 Li repeisjon Prims algorime finne de minse uspennende ree i en veke graf en grådig algorime i den forsand

Detaljer

Forelesning 26. MAT1030 Diskret Matematikk. Trær med rot. Litt repetisjon. Definisjon. Forelesning 26: Trær. Roger Antonsen

Forelesning 26. MAT1030 Diskret Matematikk. Trær med rot. Litt repetisjon. Definisjon. Forelesning 26: Trær. Roger Antonsen MAT1030 Diskre Maemaikk Forelesning 26: Trær Roger Anonsen Insiu for informaikk, Universiee i Oslo Forelesning 26 5. mai 2009 (Sis oppdaer: 2009-05-06 22:27) MAT1030 Diskre Maemaikk 5. mai 2009 2 Li repeisjon

Detaljer

Infoskriv ETØ-1/2016 Om beregning av inntektsrammer og kostnadsnorm for 2015

Infoskriv ETØ-1/2016 Om beregning av inntektsrammer og kostnadsnorm for 2015 Infoskriv Til: Fra: Ansvarlig: Omseningskonsesjonærer med inneksramme Seksjon for økonomisk regulering Tore Langse Dao: 1.2.2016 Vår ref.: 201403906 Arkiv: Kopi: Infoskriv ETØ-1/2016 Om beregning av inneksrammer

Detaljer

Skjulte Markov Modeller

Skjulte Markov Modeller CpG øy Skjule Markov Modeller år CG er eer hverandre i en DA sekvens vil C ofe muere il T ved meylase. (kalles ofe CpG for å ikke forveksles med pare C-G i o DA råder). CpG dinukleoiden forekommer mye

Detaljer

Forord Denne maseroppgaven er skreve ved Norges eknisk-naurvienskapelige universie, våren 2006, ved insiu for indusriell økonomi og eknologiledelse. Denne oppgaven ble ufør i samarbeid med Trondheim Energiverk

Detaljer

Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. ECON 1310 Obligatorisk øvelsesoppgave våren 2012

Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. ECON 1310 Obligatorisk øvelsesoppgave våren 2012 Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT ECON 3 Obligaorisk øvelsesoppgave våren 22 Ved sensuren illegges alle oppgavene lik vek For å få godkjen besvarelsen må den i hver fall: gi mins

Detaljer

Prising av opsjoner på OBXindeksen

Prising av opsjoner på OBXindeksen NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, 0..006 Prising av opsjoner på OBXindeksen Evaluering av ulike volailiesmodeller Av Jan-Ivar Kemi og Rune Bråen Lihol Veileder: Førseamanuensis Jonas Andersson Maseruredning

Detaljer

Prising av Kraftderivater SIS 1101

Prising av Kraftderivater SIS 1101 Prising av Krafderivaer SIS 1101 I Prising av Krafderivaer SIS 1101 Forord Denne prosekoppgaven er uarbeide av o sudener fra Insiu for indusriell økonomi og eknologiledelse høssemesere år 001. Rapporen

Detaljer

av Erik Bédos, Matematisk Institutt, UiO, 25. mai 2007.

av Erik Bédos, Matematisk Institutt, UiO, 25. mai 2007. Om den diskree Fourier ransformen av Erik Bédos, Maemaisk Insiu, UiO,. mai 7. Vi lar H beegne indreproduk romme som besår av alle koninuerlige komplekse funksjoner definer på inervalle [, π] med indreproduke

Detaljer

Beskjeder. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering

Beskjeder. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering Beskjeder MAT1030 Diskre maemaikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Maemaisk Insiu, Universiee i Oslo 23. april 2008 Roger har bed meg gi følgende beskjeder: 1 De mese av plenumsregningen i morgen, 24/4,

Detaljer

Oppgaveverksted 3, ECON 1310, h14

Oppgaveverksted 3, ECON 1310, h14 Oppgaveverksed 3, ECON 30, h4 Oppgave I denne oppgaven skal du forklare de økonomiske mekanismene i hver deloppgave, men de er ikke men a du skal bruke id på å forklare modellen uover de som blir spur

Detaljer

Rundskriv EØ 1/2011 - Om beregning av inntektsrammer og kostnadsnorm i vedtak om inntektsramme for 2010

Rundskriv EØ 1/2011 - Om beregning av inntektsrammer og kostnadsnorm i vedtak om inntektsramme for 2010 Noa Til: Fra: Ansvarlig: Omseningskonsesjonærer med inneksramme NVE - Seksjon for økonomisk regulering Tore Langse Dao: 1.2.2011 Vår ref.: NVE Arkiv: 200904925 Kopi: Rundskriv EØ 1/2011 - Om beregning

Detaljer

~/stat230/teori/bonus08.tex TN. V2008 Introduksjon til bonus og overskudd

~/stat230/teori/bonus08.tex TN. V2008 Introduksjon til bonus og overskudd ~/sa23/eori/bonus8.ex TN STAT 23 V28 Inrodukson il bonus og overskudd Bankinnskudd Ana a vi ønsker å see e viss beløp y i banken ved id = for å ha y n ved id = n. Med en reneinensie δ må vi see inn y =

Detaljer

Forelesning 25. Trær. Dag Normann april Beskjeder. Oppsummering. Oppsummering

Forelesning 25. Trær. Dag Normann april Beskjeder. Oppsummering. Oppsummering Forelesning 25 Trær Dag Normann - 23. april 2008 Beskjeder Roger har bed meg gi følgende beskjeder: 1 De mese av plenumsregningen i morgen, 24/4, blir avleregning, slik a sudenene ikke kan belage seg på

Detaljer

Levetid og restverdi i samfunnsøkonomisk analyse

Levetid og restverdi i samfunnsøkonomisk analyse Visa Analyse AS Rappor 35/11 Leveid og resverdi i samfunnsøkonomisk analyse Haakon Vennemo Visa Analyse 5. januar 2012 Dokumendealjer Visa Analyse AS Rapporiel Rappor nummer xxxx/xx Leveid og resverdi

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Usa eksamen i: ECON315/415 Inroducory Economerics Eksamensdag: Fredag 11. augus 26 Tid for eksamen: kl. 9: 12: Oppgavesee er på 5 sider Tillae hjelpemidler: Alle

Detaljer

Opsjoner i kraftmarkedet

Opsjoner i kraftmarkedet SIS 1101 Invesering, finans og økonomisyring Opsjoner i krafmarkede NTNU Insiu for indusriell økonomi og eknologiledelse November 00 Roald Maudal Krisian Solum Forord Denne prosjekoppgaven har bli ufør

Detaljer

Virkninger av ubalansert produktivitetsvekst («Baumols sykdom»)

Virkninger av ubalansert produktivitetsvekst («Baumols sykdom») 1 Jon Vislie; februar 2018 ECON 3735 vår 2018 Forelesningsnoa #2 Virkninger av ubalanser produkiviesveks («Baumols sykdom») I Forelesningsnoa #1 så vi på generelle likevekseffeker i en o-sekor-økonomi,

Detaljer

Ukemønsteret i bensinmarkedet

Ukemønsteret i bensinmarkedet NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, høsen 2006 Ukemønsere i bensinmarkede en empirisk analyse Elisabeh Flasnes Veileder: Professor Frode Seen Uredning i fordypnings-/spesialfagsområde: Markedsføring og konkurranse

Detaljer

FYS3220 Oppgaver om Fourieranalyse

FYS3220 Oppgaver om Fourieranalyse FYS3220 Oppgaver om Fourieranalyse Innhold Enkle fourieranalyse oppgaver... 1 1) egn frekvensspeker for e sammensa sinus signal... 1 2) Fra a n og b n il c n og θ... 2 Fourier serieanalyse... 2 3) Analyse

Detaljer

INF april 2017

INF april 2017 IN 310 19. april 017 Segmenering ved erskling Global erskling Kap 10.3 Generelle hisogramfordelinger og klassifikasjonsfeil To populære ersklingsalgorimer ruken av kaner, og effeken av søy og glaing Lokal

Detaljer

Humankapitalens rolle for den økonomiske veksten i Norden

Humankapitalens rolle for den økonomiske veksten i Norden Humankapialens rolle for den økonomiske veksen i Norden Achraf Bougroug Masergradsoppgave i Samfunnsøkonomi Ved økonomisk insiu UNIVERSITETET I OSLO 18. augus 2008 i Forord Arbeide med denne oppgaven

Detaljer

Harald Bjørnestad: Variasjonsregning en enkel innføring.

Harald Bjørnestad: Variasjonsregning en enkel innføring. Haral Bjørnesa: Variasjonsregning en enkel innføring. Tiligere har vi løs oppgaven me å finne eksremalveriene ( maks./min. veriene) av en gi funksjon f () når enne funksjonen oppfyller beseme krav. Vi

Detaljer

Levetid (varighet av en tilstand)

Levetid (varighet av en tilstand) Leveid (varighe av en ilsand) Leveidsanalyse (survival analysis) Rosner.8-. av Sian Lydersen Forlesning 6 april 8 Eksempler: Tid il personen dør (mål fra fødsel, fra diagnose, fra behandling) Tid il en

Detaljer

Klimaendringer gir lavere elektrisitetspriser og høyere forbruk i Norden Karina Gabrielsen og Torstein Bye

Klimaendringer gir lavere elektrisitetspriser og høyere forbruk i Norden Karina Gabrielsen og Torstein Bye Økonomiske analyser 3/2005 Klimaendringer gir lavere elekrisiespriser og høyere forbruk Klimaendringer gir lavere elekrisiespriser og høyere forbruk i Norden Karina Gabrielsen og Torsein Bye Bruk av fossil

Detaljer

RAPPORT. Kalkulasjonsrenten 2012/44. Michael Hoel og Steinar Strøm

RAPPORT. Kalkulasjonsrenten 2012/44. Michael Hoel og Steinar Strøm RAPPORT 01/44 Kalkulasjonsrenen Michael Hoel og Seinar Srøm Dokumendealjer Visa Analyse AS Rappornummer 01/44 Rapporiel Kalkulasjonsrenen ISBN 978-8-816-093-1 Forfaer Michael Hoel og Seinar Srøm Dao for

Detaljer

Oppgave 1. = 2(1 4) = 6. Vi regner også ut de andre indreproduktene:

Oppgave 1. = 2(1 4) = 6. Vi regner også ut de andre indreproduktene: Løsning Eksamen i ELE 379 Maemaikk Valgfag Dao 7. juni 26 kl 9-4 Dee e e foreløpig løsningsforslag som ikke er komple. De skal ikke publiseres i denne form. Oppgave. (a) Vi ve a kolonnevekorene il A er

Detaljer

2006/2 Notater 2006. Håvard Hungnes. Notater. Hvitevarer 2006. Modell og prognose. Gruppe for Makroøkonomi

2006/2 Notater 2006. Håvard Hungnes. Notater. Hvitevarer 2006. Modell og prognose. Gruppe for Makroøkonomi 006/ Noaer 006 Håvard Hungnes Noaer Hvievarer 006. Modell og prognose Gruppe for Makroøkonomi I. Innledning og konklusjon 1 På oppdrag fra norske elekroleverandørers landsforening (NEL) har vi uarbeide

Detaljer

Forelesning 14 REGRESJONSANALYSE II. Regresjonsanalyse. Slik settes modellen opp i SPSS

Forelesning 14 REGRESJONSANALYSE II. Regresjonsanalyse. Slik settes modellen opp i SPSS Forelesning 4 REGRESJOSAALYSE II Regresjonsanalyse Saisisk meode for å forklare variansen i en avhengig variabel u fra informasjon fra en eller flere uavhengige variabler. Eksempel: Kjønn Udanning Alder

Detaljer

Ådne Cappelen, Arvid Raknerud og Marina Rybalka

Ådne Cappelen, Arvid Raknerud og Marina Rybalka 2007/36 Rapporer Repors Ådne Cappelen, Arvid Raknerud og Marina Rybalka Resulaer av SkaeFUNN paenering og innovasjoner Saisisk senralbyrå Saisics Norway Oslo Kongsvinger Rapporer Repors I denne serien

Detaljer

Internasjonale prisimpulser til importerte konsumvarer

Internasjonale prisimpulser til importerte konsumvarer Inernasjonale prisimpulser il imporere konsumvarer Johan Øverseh Røsøen, konsulen i Økonomisk avdeling 1 Den lave konsumprisveksen i Norge kan i sor grad forklares ved krafig prisfall på imporere varer,

Detaljer

Bankers utlånspolitikk over konjunkturene

Bankers utlånspolitikk over konjunkturene Bankers ulånspoliikk over konjunkurene en analyse av opimalie fra e foreaksøkonomisk synspunk av irik Fjellså Hærem Maseroppgave Maseroppgaven er lever for å fullføre graden Maser i samfunnsøkonomi (Profesjonssudium

Detaljer

1. Betrakt følgende modell: Y = C + I + G C = c 0 + c(y T ), c 0 > 0, 0 < c < 1 T = t 0 + ty, 0 < t < 1

1. Betrakt følgende modell: Y = C + I + G C = c 0 + c(y T ), c 0 > 0, 0 < c < 1 T = t 0 + ty, 0 < t < 1 . Berak følgende modell: Y = C + I + G C = c 0 + c(y T ), c 0 > 0, 0 < c < T = 0 + Y, 0 < < Hvor Y er BNP, C er priva konsum, I er privae realinveseringer, G er offenlig kjøp av varer og jeneser, T er

Detaljer

Dokumentasjon av en ny relasjon for rammelånsrenten i KVARTS og MODAG

Dokumentasjon av en ny relasjon for rammelånsrenten i KVARTS og MODAG Noaer Documens 65/2012 Håvard Hungnes Dokumenasjon av en ny relasjon for rammelånsrenen i KVARTS og MODAG Noaer 65/2012 Håvard Hungnes Dokumenasjon av en ny relasjon for rammelånsrenen i KVARTS og MODAG

Detaljer

Sensorveiledning ECON2200 Våren 2014

Sensorveiledning ECON2200 Våren 2014 Oppgave a) Sensorveiledning ECON00 Våren 04 f( ) + ln f ( ) 6 b) ( ) ( ) f( ) + f ( ) + + + De er ikke krav om å forenkle il en besem form, alle svar er ree. c) f( ) ln g ( ) g ( ) f ( ) g ( ) d) e) f)

Detaljer

Infoskriv ETØ-4/2015 Om beregning av inntektsrammer og kostnadsnorm for 2016

Infoskriv ETØ-4/2015 Om beregning av inntektsrammer og kostnadsnorm for 2016 Infoskriv Til: Fra: Ansvarlig: Omseningskonsesjonærer med inneksramme Seksjon for økonomisk regulering Tore Langse Dao: 4.12.2015 Vår ref.: NVE 201500380-10 Arkiv: Kopi: Infoskriv ETØ-4/2015 Om beregning

Detaljer

t [0, t ]. Den er i bevegelse langs en bane. Med origo menes her nullpunktet

t [0, t ]. Den er i bevegelse langs en bane. Med origo menes her nullpunktet FAO 9 Forberedelse il skoleprøve Del Prakisk bruk av inegral Oppgave parikkelfar Hasigheen il en parikkel ved iden er gi ved v () = i m/min. Tiden er ( + ) + regne i min, for angivelse av posisjon. [,

Detaljer

Effekten av endringer i lakseprisen på aksjekursen til noen utvalgte lakseselskaper på Oslo Børs.

Effekten av endringer i lakseprisen på aksjekursen til noen utvalgte lakseselskaper på Oslo Børs. Effeken av endringer i lakseprisen på aksjekursen il noen uvalge lakseselskaper på Oslo Børs. av Bri Albrigsen Masergradsoppgave i fiskerifag sudierening bedrifsøkonomi (30 sp) Insiu for økonomi Norges

Detaljer

Magne Holstad og Finn Erik L. Pettersen Hvordan reagerer strømforbruket i alminnelig forsyning på endringer i spotpris?

Magne Holstad og Finn Erik L. Pettersen Hvordan reagerer strømforbruket i alminnelig forsyning på endringer i spotpris? Rapporer 15/2011 Magne Holsad og Finn Erik L. Peersen Hvordan reagerer srømforbruke i alminnelig forsyning på endringer i spopris? Saisisk senralbyrå Saisics Norway Oslo Kongsvinger Rapporer I denne serien

Detaljer

Obligatorisk oppgave ECON 1310 høsten 2014

Obligatorisk oppgave ECON 1310 høsten 2014 Obligaorisk oppgave EON 30 høsen 204 Ved sensuren vil oppgave elle 20 prosen, oppgave 2 elle 50 prosen, og oppgave 3 elle 30 prosen. For å få godkjen må besvarelsen i hver fall: gi mins re nesen rikige

Detaljer

SNF-arbeidsnotat nr. 06/11. Verdsetting av langsiktige infrastrukturprosjekter. Kåre P. Hagen

SNF-arbeidsnotat nr. 06/11. Verdsetting av langsiktige infrastrukturprosjekter. Kåre P. Hagen SNF-arbeidsnoa nr. 06/11 Verdseing av langsikige infrasrukurprosjeker av Kåre P. Hagen SNF Prosjek nr. 2437 Prinsipiell vurdering av mernye av sore infrasrukurilak Prosjeke er finansier av Kysverke SAMFUNNS-

Detaljer

Forelesning nr.9 INF 1410

Forelesning nr.9 INF 1410 Forelesning nr.9 INF 141 29 espons il generelle C- og -kreser 3.3.29 INF 141 1 Oversik dagens emaer Naurlig espons respons il generelle C- og -kreser på uni-sep funksjonen Naurlig og vungen respons for

Detaljer

CDO-er: Nye muligheter for å investere i kredittmarkedet

CDO-er: Nye muligheter for å investere i kredittmarkedet CDO-er: Nye muligheer for å invesere i kredimarkede Keil Johan Rakkesad og Sindre Weme rådgiver og spesialrådgiver i Finansmarkedsavdelingen i Norges Bank 1 Omseelige insrumener for overføring av og handel

Detaljer

Dato: 15.september Seksjonssjef studier og etter utdanning Arkivnr 375/2008

Dato: 15.september Seksjonssjef studier og etter utdanning Arkivnr 375/2008 S TYRES AK Syremøe 07 23.sepember Syresak 53/2008 MÅLTALL framidig uvikling av sudenall og sudieprogrammer KONTAKTINFORMASJON POSTBOKS 6853, ST. OLAVS PLASS NO-0130 OSLO TLF: (+47) 22 99 55 00 FAKS: (+47)

Detaljer

2007/51. Notater. Håvard Hungnes. Notater. Hvitevarer 2008 Modell og prognose. Forskningsavdelingen/Gruppe for makroøkonomi

2007/51. Notater. Håvard Hungnes. Notater. Hvitevarer 2008 Modell og prognose. Forskningsavdelingen/Gruppe for makroøkonomi 007/51 Noaer Håvard Hungnes Noaer Hvievarer 008 Modell og prognose Forskningsavdelingen/Gruppe for makroøkonomi I. Innledning og konklusjon På oppdrag fra Sifelsen Elekronikkbransjen har vi uarbeide en

Detaljer

Eksamensoppgave i TFY4190 Instrumentering

Eksamensoppgave i TFY4190 Instrumentering Insiu for fysikk Eksamensoppgave i TFY49 Insrumenering Faglig konak under eksamen: Seinar Raaen Tlf.: 482 96 758 Eksamensdao: 6. mai 27 Eksamensid (fra-il): 9: 3: Hjelpemiddelkode/Tillae hjelpemidler:

Detaljer

Boligprisvekst og markedsstruktur i Danmark og Norge

Boligprisvekst og markedsstruktur i Danmark og Norge NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, våren 2007 Boligprisveks og markedssrukur i Danmark og Norge Philip Harreschou og Sig Økland Veiledere: Frode Seen og Guorm Schjelderup Maseruredning ved foreaks- og samfunnsøkonomisk

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk øvelsesoppgave i ECON 1210 høsten 06

Løsningsforslag til obligatorisk øvelsesoppgave i ECON 1210 høsten 06 Løsningsforslag il obligaorisk øvelsesoppgave i ECON 0 høsen 06 Oppgave (vek 50%) (a) Definisjon komparaive forrinn: Den ene yrkesgruppen produserer e gode relaiv mer effekiv enn den andre yrkesgruppen.

Detaljer

Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. ECON 1310 Eksamensoppgave høsten 2011

Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. ECON 1310 Eksamensoppgave høsten 2011 Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT ECON 3 Eksamensoppgave høsen 2 Ved sensuren illegges alle oppgavene lik vek For å beså eksamen, må besvarelsen i hver fall: gi mins re rikige svar

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO De maemaisk-naurvienskapelige fakule Eksamen i INF3320 Meoder i grafisk daabehandling og diskre geomeri Eksamensdag: 2. desember 2009 Tid for eksamen: 14.30 17.30 Oppgavesee er på

Detaljer

Eksamensoppgave i SØK3001 Økonometri I

Eksamensoppgave i SØK3001 Økonometri I Insiu for samfunnsøkonomi Eksamensoppgave i SØK300 Økonomeri I Faglig konak under eksamen: Kåre Johansen Tlf.: 7359936 Eksamensdao: 08.2.204 Eksamensid (fra-il): 5 imer (09.00 4.00) Sensurdao: 08.0.205

Detaljer

Produksjonsgapet i Norge en sammenlikning av beregningsmetoder

Produksjonsgapet i Norge en sammenlikning av beregningsmetoder Produksjonsgape i Norge en sammenlikning av beregningsmeoder Hilde C. Bjørnland, posdokor ved Økonomisk Insiu, Universiee i Oslo, Leif Brubakk og Anne Sofie Jore, seniorrådgivere i Økonomisk avdeling,

Detaljer

Teknologisk utvikling og flytende naturgass Vil kostnadene ved nye LNG anlegg falle ytterligere i fremtiden?

Teknologisk utvikling og flytende naturgass Vil kostnadene ved nye LNG anlegg falle ytterligere i fremtiden? Økonomiske analyser 6/2004 Teknologisk uvikling og flyende naurgass Teknologisk uvikling og flyende naurgass Vil kosnadene ved nye LNG anlegg falle yerligere i fremiden? Mads Greaker og Eirik Lund Sagen

Detaljer

Bør sentralbanken ta mer hensyn til boligprisene?

Bør sentralbanken ta mer hensyn til boligprisene? UNIVERSITETET I STAVANGER Savanger, våren 2011 Bør senralbanken a mer hensyn il boligprisene? En sudie av de norske boligmarkede Av Marie Sjursen Uredning i spesialiseringen Samfunnsøkonomi DET SAMFUNNSVITENSKAPELIGE

Detaljer

Eksamensoppgave i FIN3006 Anvendt tidsserieøkonometri

Eksamensoppgave i FIN3006 Anvendt tidsserieøkonometri Insiu for samfunnsøkonomi Eksamensoppgave i FIN3006 Anvend idsserieøkonomeri Faglig konak under eksamen: Kåre Johansen Tlf.: 73 59 19 36 Eksamensdao: 23. mai 2014 Eksamensid (fra-il): 6 imer (09.00 15.00)

Detaljer

Ved opp -og utladning av kondensatorer varierer strøm og spenning. Det er vanlig å bruke små bokstaver for å angi øyeblikksverdier av størrelser.

Ved opp -og utladning av kondensatorer varierer strøm og spenning. Det er vanlig å bruke små bokstaver for å angi øyeblikksverdier av størrelser. 4.4 INNE- OG TKOPLING AV EN KONDENSATO 1 4.4 INN- OG TKOPLING AV EN KONDENSATO Ved opp -og uladning av kondensaorer varierer srøm og spenning. De er vanlig å bruke små boksaver for å angi øyeblikksverdier

Detaljer

Indikatorer for underliggende inflasjon,

Indikatorer for underliggende inflasjon, Indikaorer for underliggende inflasjon i Norge Moren Jonassen, assiserende direkør i Pengepoliisk avdeling, og Einar Wøien Nordbø, konsulen i Økonomisk avdeling i Norges Bank 1 En senralbank som skal syre

Detaljer

Eksamensoppgave i FIN3006 Anvendt tidsserieøkonometri

Eksamensoppgave i FIN3006 Anvendt tidsserieøkonometri Insiu for samfunnsøkonomi Eksamensoppgave i FIN3006 Anvend idsserieøkonomeri Faglig konak under eksamen: Kåre Johansen Tlf.: 73 59 9 36 Eksamensdao: 4. juni 05 Eksamensid (frail): 6 imer (09.005.00) Sensurdao:

Detaljer

Øving 1: Bevegelse. Vektorer. Enheter.

Øving 1: Bevegelse. Vektorer. Enheter. Lørdagsverksed i fysikk. Insiu for fysikk, NTNU. Høsen 007. Veiledning: 8. sepember kl :5 5:00. Øving : evegelse. Vekorer. Enheer. Oppgave a) Per løper 800 m på minuer og 40 sekunder. Hvor sor gjennomsnisfar

Detaljer

Eksempel på beregning av satser for tilskudd til driftskostnader etter 4

Eksempel på beregning av satser for tilskudd til driftskostnader etter 4 Regneeksempel - ilskudd il privae barnehager 2013 Eksempel på beregning av ilskuddssaser. ARTIKKEL SIST ENDRET: 08.04.2014 Eksempel på beregning av saser for ilskudd il drifskosnader eer 4 Kommunens budsjeere

Detaljer

, og dropper benevninger for enkelhets skyld: ( ) ( ) L = 432L L = L = 1750 m. = 0m/s, og a = 4.00 m/s.

, og dropper benevninger for enkelhets skyld: ( ) ( ) L = 432L L = L = 1750 m. = 0m/s, og a = 4.00 m/s. eegelse øsninger på blandede oppgaer Side - Oppgae Vi kaller lengden a en runde for Faren il joggerne er da: A = m/s = m/s 6 6 + 48 48 = m/s = m/s 7 6 + 4 Når de møes, ar de løp like lenge Da er + 5 m

Detaljer

Effekten av handelsaktivitet på volatiliteten i råvarefutures. The Effect of Trading Activity on Volatility in Commodity Futures

Effekten av handelsaktivitet på volatiliteten i råvarefutures. The Effect of Trading Activity on Volatility in Commodity Futures Maseroppgave 2016 30 sp Norges miljø- og biovienskapelige universie Fakule for samfunnsvienskap Handelshøyskolen Effeken av handelsakivie på volailieen i råvarefuures The Effec of Trading Aciviy on Volailiy

Detaljer

Bevegelse i én dimensjon (2)

Bevegelse i én dimensjon (2) Beegelse i én dimensjon () 5..6 Daa-lab i dag: Hjelp med Pyhon / Malab insallasjon Førse skri Oblig er lag u: hp://www.uio.no/sudier/emner/mana/fys/fys-mek/6/maeriale/maeriale6.hml Innleeringsfris: Tirsdag,

Detaljer

Oppgave 1. (a) Vi utvikler determinanten langs første kolonne og dette gir. (b) Med utgangspunkt i de tre datapunktene denerer vi X og y ved

Oppgave 1. (a) Vi utvikler determinanten langs første kolonne og dette gir. (b) Med utgangspunkt i de tre datapunktene denerer vi X og y ved Sensorveiledning: ELE 37191 Maemaikk valgfag Eksamensdao: 13.06.2012 09:00 1:00 Toal anall sider: 5 Anall vedlegg: 0 Tillae hjelpemidler: BI-dener eksamenskalkulaor TEXAS INSTRUMENTS BA II Plus Innføringsark:

Detaljer

Enkle kretser med kapasitans og spole- bruk av datalogging.

Enkle kretser med kapasitans og spole- bruk av datalogging. Laboraorieøvelse i FY3-Elekrisie og magneisme år 7 Fysisk Insiu, NTNU Enkle kreser med kapasians og spole- bruk av daalogging. Laboraorieoppgaver Oppgave -Spenning i kres a: Mål inngangsspenningen og spenningsfalle

Detaljer

Konsekvenser ved utsettelse av klimatiltak

Konsekvenser ved utsettelse av klimatiltak Konsekvenser ved useelse av klimailak av Cecilie Skjellevik Maseroppgave Maseroppgaven er lever for å fullføre graden Maser i samfunnsøkonomi Universiee i Bergen, Insiu for økonomi Juni 2008 0BForord Forord

Detaljer

Hovedoppgave for cand.polit-graden. Industribygg. En studie av nyinvesteringer i industribygg. Kristoffer Eide Hoen. 3. mai 2004

Hovedoppgave for cand.polit-graden. Industribygg. En studie av nyinvesteringer i industribygg. Kristoffer Eide Hoen. 3. mai 2004 Hovedoppgave for cand.poli-graden Indusribygg En sudie av nyinveseringer i indusribygg risoffer Eide Hoen 3. mai 2004 Økonomisk insiu Universiee i Oslo i Forord Denne oppgaven er komme i sand som en direke

Detaljer

Faktorer bak bankenes problemlån

Faktorer bak bankenes problemlån Fakorer bak bankenes problemlån Tor Oddvar Berge, seniorrådgiver, og Karine Godding Boye, konsulen, begge i Finansmarkedsavdelingen i Norges Bank 1 I denne analysen ser vi på hvilke makroøkonomiske fakorer

Detaljer

Om muligheten for å predikere norsk inflasjon ved hjelp av ARIMA-modeller

Om muligheten for å predikere norsk inflasjon ved hjelp av ARIMA-modeller Om muligheen for å predikere norsk inflasjon ved hjelp av ARIMA-modeller av Kjell-Arild Rein Hovedfagsoppgave i samfunnsøkonomi Våren Insiu for økonomi Universiee i Bergen . INNLEDNING.. LITTERATUR 3.

Detaljer

Go to and use the code Hva var viktig i siste forelesning? FYS-MEK

Go to   and use the code Hva var viktig i siste forelesning? FYS-MEK Go o www.meni.com and use he code 65 37 7 Ha ar ikig i sise forelesning? FYS-MEK 111.1.18 1 FYS-MEK 111.1.18 Beegelse i én dimensjon ().1.18 Ukesoppgaer og oblig 1 er lag u: hp://www.uio.no/sudier/emner/mana/fys/fys-mek111/18/maeriale/maeriale18.hml

Detaljer

Styring av romfartøy STE6122

Styring av romfartøy STE6122 Syring av romfarøy STE6122 3HU -. 1LFNODVVRQ Høgskolen i Narvik Høs 2000 Forelesningsnoa 8 1 6W\ULQJ RJ UHJXOHULQJ DY RULHQWHULQJ,, Nødvendig med nøyakig syring og/eller regulering av orienering i en rekke

Detaljer

Rundskriv 1/ Om beregning av inntektsrammer og kostnadsnorm til vedtak om inntektsramme 2011

Rundskriv 1/ Om beregning av inntektsrammer og kostnadsnorm til vedtak om inntektsramme 2011 Rundskriv 1/2012 bokmål Til: Omseningskonsesjonærer med inneksramme Fra: Seksjon for økonomisk regulering Ansvarlig: Tore Langse Dao: 1.2.2012 Saksnr.: NVE 201004797-13 Arkiv: Kopi: Middelhuns gae 29 Posboks

Detaljer

Faktor - en eksamensavis utgitt av ECONnect

Faktor - en eksamensavis utgitt av ECONnect Fakor - en eksamensavis ugi av ECONnec Pensumsammendrag: FIN3005 Makrofinans Forfaer: Marin Frøland E-pos: marinom@sud.nnu.no Skreve: Høsen 009 Anall sider: 41 FIN3005 - Pensumsammendrag Om ECONnec: ECONnec

Detaljer

VISTA ANALYSE AS RAPPORT. Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver. Oljedirektoratet 2015/61

VISTA ANALYSE AS RAPPORT. Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver. Oljedirektoratet 2015/61 VISTA ANALYSE AS RAPPORT 15/61 Økonomiske parameere og forvenee verdier av peroleumsressurser og reserver Seinar Srøm, Michael Hoel og Pernille Parmer Oljedirekorae Dokumendealjer Visa Analyse AS Rappor

Detaljer

Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler. 2 2x

Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler. 2 2x UNIVERSITETET I BERGEN De maemaisk-naurvienskapelige fakule Eksamen i emne MT11 Brukerkurs i maemaikk Mandag 15. desember 8, kl. 9-14 BOKMÅL Tillae hjelpemidler: Lærebok og kalkulaor i samsvar med fakulee

Detaljer

Løsningsforslag til regneøving 5. Oppgave 1: a) Tegn tegningen for en eksklusiv eller port ved hjelp av NOG «NAND» porter.

Løsningsforslag til regneøving 5. Oppgave 1: a) Tegn tegningen for en eksklusiv eller port ved hjelp av NOG «NAND» porter. TFE4110 Digialeknikk med kreseknikk Løsningsforslag il regneøving 5 vårsemeser 2008 Løsningsforslag il regneøving 5 Ulever: irsdag 29. april 2008 Oppgave 1: a) Tegn egningen for en eksklusiv eller por

Detaljer

Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler

Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler UNIVERSITETET I BERGEN De maemaisk-naurvienskapelige fakule Eksamen i emne MT11 Brukerkurs i maemaikk Mandag 15. desember 8, kl. 9-14 BOKMÅL Tillae hjelpemidler: Lærebok og kalkulaor i samsvar med fakulee

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 OpenGL (vekt 1 5 )

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 OpenGL (vekt 1 5 ) UNIVERSITETET I OSLO De maemaisk-naurvienskapelige fakule Eksamen i INF3320/INF4320 Meoder i grask daabehandling og diskre geomeri Eksamensdag: 7. desember 2007 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesee

Detaljer

Løsning: V = Ed og C = Q/V. Spenningen ved maksimalt elektrisk felt er

Løsning: V = Ed og C = Q/V. Spenningen ved maksimalt elektrisk felt er Gruppeøving 6 Elekrisie og magneisme Flervalgsoppgaver 1. Dersom en kondensaor har en kapasians på på 7.28 µf, hvor mye må plaene lades opp for a poensialdifferansen mellom plaene skal bli 25.0 V?. 15

Detaljer

Newtons lover i to og tre dimensjoner

Newtons lover i to og tre dimensjoner Newons loer i o og re dimensjoner 3..4 Innleering: på papir på ekspedisjonskonore: bruk forsiden elekronisk på froner én pdf fil nan på førse side egenerklæring med signaur innleeringsboks på ekspedisjon

Detaljer

Pengemengdevekst og inflasjon

Pengemengdevekst og inflasjon Pengemengdeveks og inflasjon - en empirisk analyse og eoreiske berakninger Hovedfagsoppgave i samfunnsøkonomi av Sian Brundland Berge Insiu for økonomi Universiee i Bergen Våren 2004 KAPITTEL 1 INNLEDNING...

Detaljer

BNkreditt AS. Årsrapport 2011

BNkreditt AS. Årsrapport 2011 BNkredi AS Årsrappor 2011 Innhold Nøkkelall...3 Syres berening...4 Resularegnskap... 10 Balanse pr. 31.12... 11 Endring i egenkapial i 2010 og 2011... 12 Konansrømoppsilling... 13 Noer... 14 Noe 1. Regnskapsprinsipper

Detaljer

Krefter og betinget bevegelser Arbeid og kinetisk energi 19.02.2013

Krefter og betinget bevegelser Arbeid og kinetisk energi 19.02.2013 Krefer og beinge beegelser Arbeid og kineisk energi 9..3 YS-MEK 9..3 obligaoriske innleeringer programmering er en esenlig del a oppgaen i kan ikke godkjenne en innleering uen programmering analyiske beregninger

Detaljer

Bevegelse i én dimensjon

Bevegelse i én dimensjon Bevegelse i én dimensjon 15.1.214 FYS-MEK 111 15.1.214 1 Malab: mulig å bruke på egen PC med UiO lisens hjelp med insallasjon på daa-verksed eller i forkurs Forsa ledige plasser i forkurs: Fredag kl.1-13

Detaljer

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE AVDELING FO INGENIØUTDANNING EKSAENSOPPGAVE Emne: INSTUENTELL ANALYSE Emnekode: SO 458 K Faglig veileder: Per Ola ønning Gruppe(r): 3KA, 3KB Dao: 16.0.04 Eksamensid: 09.00-14.00 Eksamensoppgaven Anall

Detaljer

Newtons lover i to og tre dimensjoner 09.02.2015

Newtons lover i to og tre dimensjoner 09.02.2015 Newons loer i o og re dimensjoner 9..5 FYS-MEK 3..4 Innleering Oblig : på grunn a forsinkelse med deilry er frisen usa il onsdag,.., kl. Innleering Oblig : fris: mandag, 6.., kl. Mideiseksamen: 6. mars

Detaljer

SNF-rapport nr. 21/04

SNF-rapport nr. 21/04 SNF-rappor nr. /04 PRISIN V FORSIKRINSKONRKER MED RENERNI av Roger F. Peersen Eirik M. Samnøy SNF-Prosjek nr. 7000 SMFUNNS- O NÆRINSLIVSFORSKNIN S Bergen, November 004 Dee eksemplar er fremsil eer avale

Detaljer

Fører høy oljepris til økt oljeboring? * Guro Børnes Ringlund, Knut Einar Rosendahl og Terje Skjerpen

Fører høy oljepris til økt oljeboring? * Guro Børnes Ringlund, Knut Einar Rosendahl og Terje Skjerpen Økonomisk analyser 2/2004 Fører høy oljepris il øk oljeboring? Fører høy oljepris il øk oljeboring? * Guro Børnes Ringlund, Knu Einar Rosendahl og Terje Skjerpen Hvor lenge vil OPEC se seg jen med høye

Detaljer

Løsningsforslag for regneøving 3

Løsningsforslag for regneøving 3 Ulever: 3.mars 7 Løsningsforslag for regneøving 3 Oppgave : a Se opp ligning for spenningen over som funksjon av id, for. R v + - Kres Løsning: Beraker kresen førs: I iden før null vil spenningen over

Detaljer