Størrelse: px
Begynne med side:

Download ""

Transkript

1

2

3

4

5

6 Forord Denne maseroppgaven er skreve ved Norges eknisk-naurvienskapelige universie, våren 2006, ved insiu for indusriell økonomi og eknologiledelse. Denne oppgaven ble ufør i samarbeid med Trondheim Energiverk Kraf AS. Jeg vil ree en sor akk il Sein-Erik Fleen for god veiledning og verdifulle innspill gjennom hele semesere. Takk il Erling Kylling ved Trondheim Energiverk Kraf AS for god søe, raske og konsrukive ilbakemeldinger, og ilgang il vikige daa. Anders Gjelsvik ved Sinef Energiforskning forjener også en akk for diskusjoner rund eksiserende meoder og innfallsvinkler. Trondheim, 25. juni 2006 Marin Geving Pedersen I

7 Sammendrag Vannkrafprodusenens hovedufordring er å ilsrebe opimal forvalning av vanne i magasiner. Sor usikkerhe i framidig srømpris og ilsig kompliserer besluningsprosessen. Denne maseroppgaven vedrører hvordan den deerminisiske ekvivalenen il de sokasiske probleme, i form av scenariorær, kan anvendes for å analysere og løse produksjonsplanleggingsprobleme. Eer dereguleringen av de norske krafmarkede i 1991 har norske vannkrafprodusener vær nød il å forholde seg il en svær volail srømpris. Som handelsvare er srøm spesiell, siden lagringsmuligheene er svær begrensede. Sandard arbirasjeargumener kan derfor ikke brukes for å prise framidige leveranser. I 1993 ble den fellesnordiske krafbørsen Nord Pool ASA eabler og i eerid har de uvikle seg e relaiv likvid marked for ulike konraker. Spoprisen uviser imidlerid av fundamenale grunner forsa spesielle egenskaper som mange og høye spisser, sesongavhengighe og mean reversion (Lucia og Schwarz, 2002). Lucia og Schwarz (2002) påviser også unge haler og posiiv skjevhe i fordelingen for avkasningen il spoprisen. For å maksimere markedsverdien bør produsenen il ross for dee unye ilgjengelig informasjon i erminmarkede under produksjonsplanleggingen. I rapporen preseneres en sokasisk opimeringsformulering for produksjonsplanleggingsprobleme. Modellen gjelder for e sysem med flere magasiner og sasjoner. De anas også a produsenen er prisaker og a måle for planleggingen er å maksimere markedsverdien av produksjonen. Den sokasiske formuleringen er bli implemener som e lineær program i Malab, Scenred og Mosel Xpress. Prisbeskrivelsen som er bruk er baser på Ornsein-Uhlenbeckprosessen, og er kalibrer il erminsrukuren for fuure- og forwardkonraker. Ved å kjøre modellen for mange ulike scenarier for pris og ilsig finnes en forvenningsverdi av produksjonen og e forløp for opimal forvene produksjonssraegi og magasinforvalning. Verdien av den forvenede produksjonen konvergerer for økende anall noder i de generere scenarioræne. Løsningsiden anas aksepabel for e vannkrafverk besående av 14 magasiner og 10 sasjoner. Sensiivieen il de periodevise konansrømmene finnes ved å forea e II

8 parallel skif i forwardkurven, men for hedging anbefales de en prismodell baser på andre ordens markedsinformasjon. Løsningsmeoden bruk i oppgaven virker lovende med anke på konvergens av verdi og løsningsid, men en mer dealjer modell anbefales for en evenuell esing mo kommersielle produksjonsplanleggingsverkøy. III

9 Innholdsforegnelse 1 INNLEDNING PRODUKSJONSPLANLEGGINGSPROBLEMET VANNVERDIKRITERIET KLASSISK PLANLEGGINGSHIERARKI Langidsplanlegging Sesongplanlegging Koridsplanlegging Koblinger mellom de ulike nivåene i planleggingshierarkie Analysehorison og reguleringsgrad Kommersielle løsninger for produksjonsplanlegging PRODUKSJONSPLANLEGGING I ET FINANSIELT PERSPEKTIV ANTAGELSER Vannmagasine som opphav il merverdi Vannkraf som spread opsjon KRAFTMARKEDET DET FYSISKE MARKEDET DET FINANSIELLE MARKEDET SAMMENHENG MELLOM SPOT OG FORWARDPRIS STRØMPRISENS OPPFØRSEL Sprang i pris Mean reversion Tunge haler i prisfordelingen Sesongavhengighe HEDGING AV KRAFTPRODUKSJON IKKE-KOMPLETT MARKED MARKEDSPRIS PÅ TILSIGSRISIKO POTENSIELLE HEDGEPRODUKTER OG FORVENTEDE POSISJONER DELTAHEDGING MODELLER STOKASTISKE MODELLER Vikige fakorer ved valg av prismodell for bruk i produksjonsplanlegging Prismodell Esimering av parameere i prismodellen Tilsigsmodell Esimering av parameere i ilsigsmodellene MODELLERING AV SCENARIOTRÆR RESTRIKSJONER I SYSTEMET Magasinnivå Vannføring Vannbalanse Rampingresriksjoner Begrense overføringskapasise Kosnader Topologi Ska DETERMINISTISK OPTIMERINGSMODELL STOKASTISK OPTIMERINGSMODELL DETERMINISTISK EKVIVALENT IMPLEMENTERING AV MODELLEN IV

10 7.1 SKALERING AV ANALYSEPERIODEN KALIBRERING AV PRISMODELL SIMULERING AV PRIS OG TILSIG SCENARIOTREGENERERING BRUK AV ENERGIEKVIVALENTER DISKONTERINGSFAKTOR TOPOLOGI I NEA-NIDELVVASSDRAGET VERDI AV SLUTTMAGASIN VED ANALYSEHORISONTEN PRESENTASJON AV RESULTATER SCENARIOTREGENERERING OPTIMERINGSANALYSE VERDI AV PRODUKSJON FORVENTET PRODUKSJONSSTRATEGI FORVENTET KONTANTSTRØM SENSITIVITET DISKUSJON ANBEFALING TIL VIDERE ARBEIDE REFERANSELISTE VEDLEGG 1: ALGORITMER FOR SCENARIOREDUKSJON OG GENERERING AV SCENARIOTRÆR VEDLEGG 2: NEA-NIDELVVASSDRAGET...64 VEDLEGG 3: VASSDRAGSSKJEMA VEDLEGG 4: GRAFER AV FORVENTET PRODUKSJON OG TOTALT MAGASININNHOLD VEDLEGG 5: GRAF AV FORVENTEDE KONTANTSTRØMMER VEDLEGG 6: DIAGRAMMER FRA ANALYSE AV TILSIGSDATA FOR AUNE VANNMERKE VEDLEGG 7: DIAGRAMMER FRA ANALYSE AV TILSIGSDATA FOR RATHE VANNMERKE VEDLEGG 8: RESULTATER FRA SPOTPRISANALYSE VEDLEGG 9: SCENARIOTRÆR VEDLEGG 10: PROGRAMSTRUKTUR...77 V

11 1 Innledning Eer dereguleringen av de nordiske krafmarkede er siuasjonen for norske vannkrafprodusener berakelig endre. Omsillingen har medfør a akørene må a hensyn il e kompliser og volail marked under produksjonsplanleggingen. Både framidig pris og ilsig er forbunde med høy grad av usikkerhe. Generel er modellene som brukes for produksjonsplanlegging likevel baser på deerminisiske formuleringer. Dee skyldes a sokasiske opimeringsmodeller er mer krevende å løse. Kommersialisere modeller for produksjonsplanlegging, som Samkjøringsmodellen og Vansimap, baserer seg videre på fundamenalmodeller for å beskrive uviklingen il srømprisen. De kan imidlerid argumeneres for a måle bør være å maksimere markedsverdien av produksjonen. Med e finansiel forankre ugangspunk vil derfor en ideell modell for produksjonsplanlegging basere seg på en sokasisk opimeringsmodell med en prisbeskrivelse som beinger på ilgjengelig markedsinformasjon. I maseroppgaven er de a ugangspunk i e krafverk dreve av Trondheim Energiverk Kraf AS. En sokasisk modell preseneres, og er implemener for de akuelle syseme. Prisbeskrivelsen i modellen beinger på informasjon i erminsrukuren for fuure- og forwardkonraker. Rapporens srukur er som følger: I kapiel 2 analyseres og drøfes produksjonsplanleggingsprobleme generel og i kapiel 3 i e finansiel perspekiv. Dereer følger i kapiel 4 en beskrivelse av de nordiske krafmarkede, egenskaper ved srømprisen og de ulike konrakene som handles. I kapiel 5 diskueres hedging av vannkrafproduksjon generel og pris på ilsigsrisiko. Modeller for pris og ilsig, en beskrivelse av de konkree syseme og opimeringsmodeller preseneres i kapiel 6. Implemeneringen av den deeminisiske ekvivalenen er beskreve i kapiel 7, og resulaene fra den deerminisiske modellen preseneres i kapiel 8 før diskusjonen i kapiel 9. I kapiel 10 foreslås de anbefalinger il uvidelser av modellen. 1

12 2 Produksjonsplanleggingsprobleme Forvalning av vanne i magasiner er vannkrafprodusenens 1 ulimae ufordring. Generel ønsker produsenen å besemme opimal mengde vann som skal slippes gjennom syseme il enhver id. Dee er ekvivalen med a produsenen må besemme hvor mye vann som skal lagres il e senere idspunk. Planlegging av produksjonen er avgjørende i denne sammenheng. For å komme fram il en bes mulig produksjonsplan er de nødvendig å a hensyn il usikkerheen i probleme. Sokasikken knyer seg hovedsakelig il usikkerhe i krafpriser og ilsig 2. Måle for opimaliseringen avhenger imidlerid av i hvilken grad krafmarkede er reguler. I e reguler marked gir produksjonsplanleggingen opphav il e kosnadsminimaliseringsproblem med gie eerspørselsresriksjoner (Wallace og Fleen, 2003). Når produsenen er forplike il å møe en prisuelasisk eerspørsel, vil ikke krafprisen inngå i opimeringsprobleme. De bese produsenen kan oppnå er å minimere kosnader. Dee var ilnærme siuasjonen for norske vannkrafprodusener idligere. Eer dereguleringen av de norske krafmarkede i 1991 og oppreelsen av krafbørsen Nord Pool i 1993 er produksjonsplanleggingsprobleme endre. Produsenen kan nå gjøre ransaksjoner i markede, for å møe forplikelser, som alernaiv il egen produksjon. Wallace og Fleen (2003) gir e formel argumen for a eerspørselsresriksjonene blir overflødige i e dereguler marked. Måle i dagens siuasjon bør dermed være å maksimere forvene markedsverdi av produksjonen (Wallace og Fleen, 2003). 2.1 Vannverdikrierie For å vise konkre hvordan avveiningen mellom å lagre vanne og å produsere umiddelbar gir føringer for produksjonsplanen er de hensiksmessig å innføre en formell noasjon for verdien av anlegge. La V være markedsverdien av anlegge på idspunk. Vi kan da skrive: 1 Hereer kun referer il som produsenen. 2 De vil også være usikkerhe knye il forhold som uforuse havari. 2

13 V Π i wm ( i, qi) = max E, (2.1) i i= ( 1+ r) der Π er den sokasiske srømprisen, w er srømproduksjon som funksjon av magasinnivå, m, og vannsrøm, q 3, og r er en passende diskoneringsrene. Verdien av anlegge er alså en sum av de neddiskonere innekene fra hver periode. De vil si a alle kosnader ved drifen er neglisjer, sam a de er gjor en diskreisering av den i ugangspunke koninuerlige besluningsprosessen. Verdien av anlegge kan åpenbar også formuleres rekursiv: [ ] EV V = max E[ Π w( m, q) ] + q, m 1+ r + 1. (2.2) Gi a vi sår i saren av periode og anar a ufalle for prisen, π, dermed er kjen så blir (2.2): [ ] EV V = max π w( m, q) + q, m 1+ r + 1. (2.3) De er ønskelig å finne e krierium for opimal forvalning av vanne, og urykke som maksimeres i (2.3) deriveres derfor med hensyn på vannsrømmen: [ ] d EV μv 1 (, ) ( (, )) m + π wm q + = π wm q + dq r q m q (2.4) μ V+1 = μ V+1 (m +1, ψ, π ) er forvene verdi av anlegge i periode +1 neddiskoner og ψ er ufalle for ilsige. Den derivere av magasinnivåe med hensyn på vannsrømmen må være lik -1. Dee gjenspeiler direke flybalansen i den maemaiske formuleringen av 3 [q ] = m 3 3

14 produksjonsplanleggingsprobleme 4. Ved å kreve førseordensbeingelsene for opimalie oppfyl får vi dermed: μ m wm (, q). (2.5) V + 1 = π + 1 q Ligning (2.5) beyr i økonomisk forsand a produsenen i enhver periode bør produsere innil den marginale endringen av den forvenede verdien av anlegge i den påfølgende periode neddiskoner blir lik den marginale innjeningen fra produksjonen i inneværende periode. De er denne sørrelsen, μ V+1 / m +1, som omales som marginal vannverdi. I resen av oppgaven vil vi referere il denne sørrelsen kun som vannverdi. I den forugående analysen er de ikke a hensyn il a de kan være resriksjoner på vannsrømmen, q, eller på magasinnivåe, m. Hvis magasine er full, og ilsige er sørre enn maksimal vannsrøm, vil de oppså overløp. m +1 / q vil bli null og vannverdien er følgelig null. E anne spesialilfelle som kan oppså er a prisen i en periode er så høy a de er opimal å produsere så mye som mulig, selv om de ikke er fare for overløp. (2.5) vil da ikke nødvendigvis kunne oppfylles som likhe. Dee er illusrer i figur 2.1, hvor Q max er maksimal vannsrøm. Mer generel vil dermed krierie for opimal produksjon være på formen: max q s.. μ m V wm (, q) π q (2.6) 4 Se kapiel 6.4, 6.5 og

15 π wm (, q) + μ V + 1 lav høy Q max Q max q Figur 2.1: Illusrasjon av verdi av produksjon som funksjon av q. 2.2 Klassisk planleggingshierarki 5 Vannverdikrierie gir oss e formel vilkår for hvordan vi bør uforme produksjonsplanen. Imidlerid er kompleksieen i produksjonsplanleggingsprobleme forsa beydelig. De er usikkerhe i priser og ilsig, de fysiske syseme kan beså av flere magasiner med ulike koblinger og flere sasjoner, deler av probleme er ulineær og mange ulike resriksjoner og føringer spiller inn. Samidig er de nødvendig med en lang analysehorison for å fange opp langsikige render og sesongvariasjoner. En enkel modell med ilsrekkelig dealjeringsgrad og horison vil bli uhånderbar regnemessig. De har derfor vær vanlig å dele opp planleggingen ved å bruke flere modeller med ulik dealjeringsgrad for ulike idshorisoner. Tabell 2.1 angir omrenlige idshorisoner og ilsvarende meoder som er i bruk for planleggingen. 5 Delkapiele er baser på noae Produksjonsplanlegging i vannkrafbasere sysemer, Insiu for elkrafeknikk, NTNU,

16 Horison Langidsplanlegging (1-5 år) Sesongplanlegging (3-18 måneder) Koridsplanlegging (1-2 uker) Meode Sokasiske modeller for opimalisering og simulering Muli-scenario deerminisiske opimeringsmodeller Deerminisiske opimaliseringsmodeller Tabell 2.1: Meoder bruk for ulike idshorisoner Langidsplanlegging I langidsanalysen vil en søke å fange opp langsikige svingninger i pris og ilsig. Med en lang analysehorison er de vanlig å gjøre en rekke forenklinger. Eksempelvis aggregeres reservoarene i syseme il e magasin. Resulaene fra langidsplanleggingen gir syringssignaler il nese seg i planleggingshierarkie Sesongplanlegging Hensiken med sesongplanleggingen er å øke dealjeringsgraden og gi yerligere signaler il koridsplanleggingen. Analysen må samidig kobles opp mo resulaene fra langidsplanleggingen. Koblingen mellom de ulike rinnene er diskuer under. Gi ilsrekkelig regnekraf vil sesongplanleggingen kunne bli overflødig (Fosso, 2005) Koridsplanlegging For de nærmese dagene og ukene forusees prisuvikling og ilsig kjen. Modellene bør være en ilsrekkelig realisisk beskrivelse av syseme il a kjøreplaner kan genereres med idsoppløsning på en ime eller korere. Kjøreplanene fra koridsplanleggingen må i illegg simuleres for å sikre a de ikke oppsår konfliker med regler og føringer som ikke fanges opp av modellene. 6

17 2.2.4 Koblinger mellom de ulike nivåene i planleggingshierarkie Hensiksmessige koblinger mellom de ulike planleggingsnivåene er svær vikig for å skape konsisens i analysen. Ulike løsninger er skisser i abell 2.2. Type kobling Volumkobling Volumkobling med sraff Vannverdikobling Karakerisikk Nivåene kobles gjennom e fassa magasinnivå på e gi idspunk. Dee er en enkel løsning, men gir lie fleksibilie. Avvik fra gi volum illaes, men gir en sraff i målfunksjonen. Dee gir sørre fleksibilie, men de kan være problemaisk å besemme en hensiksmessig sraff. Nivåene kobles ved å sike mo en gi vannverdi på koblingsidspunke. Dee gir sørre fleksibilie, og gjør de enklere å oppnå konsisens når eksempelvis magasiner er aggreger i langidsmodellen. Tabell 2.2: Koblinger mellom planleggingsnivåer. Tidspunke for kobling mellom nivåene kan også være av sor beydning. Deler av åre vil koblingene være forbunde med sørre usikkerhe enn andre. Eksempelvis er de vanlig å koble langidsanalysen og sesonganalysen under vårflommen eller på høsen når snøen legger seg Analysehorison og reguleringsgrad Inervallene som er indiker for analysehorisonen har e relaiv sor spenn, særlig for sesong- og langidsplanleggingen. En av grunnene il dee er a de er sor variasjon i hvor god ulike sysem er reguler. I den forbindelse innfører vi begrepe reguleringsgrad. La U være midlere årsilsig og M max og M min være henholdsvis maksimal og minse magasinnivå. Reguleringsgrad for e vannmagasin er da definer som følger: R M M U max min =. (2.7) 7

18 Når produsenen forear e valg av analysehorison, bør reguleringsgraden aes i berakning (Gjelsvik, 2006). Med e god reguler 6 magasin er de mulig å forea disponeringer som er mer langsikige enn med en lavere reguleringsgrad. Generel vil dermed en høy reguleringsgrad ilsi en lang analysehorison. Grunnen il dee er a analysen er endelig, og vi må dermed gjøre beseme anagelser med hensyn il grensebeingelser i sise periode. Hvis reguleringsgraden eksempelvis er så lav a vi forvener flom hver vår, uavhengig av produksjonsplan, renger vi ikke å planlegge lenger enn il vårflommen, siden vi kan ana a vannverdien er lik null. For e sysem med høy reguleringsgrad vil feilakige grensebeingelser kunne gi sore uslag dersom analysehorisonen velges for kor Kommersielle løsninger for produksjonsplanlegging De mes anvende planleggingsmodellene i bruk i Norden er de SINTEF-uviklede verkøyene Samkjøringsmodellen og Vansimap (sinef.no, 2005). Samkjøringsmodellen er beregne for analyse av sørre sysem og gir blan anne spoprisprognoser. Vansimap er beregne for sesong- og langidsplanlegging for den enkele produsen. SHOP er e anne SINTEF-produk som er spesiel ilpasse koridsplanlegging av vannkraf. 6 Med god reguler menes høy reguleringsgrad. 8

19 3 Produksjonsplanlegging i e finansiel perspekiv Srømpriser og ilsig har som idligere nevn en høy grad av sokasikk, og de grunnleggende probleme i produksjonsplanleggingen er å besemme hvordan fleksibilieen bes kan unyes. I e finansperspekiv er de derfor nærliggende å vurdere realopsjonsanalyse som ilnærming for å prise produksjonen. Dee kapiele vil see fokus på hva opsjonalieen i produksjonsplanleggingsprobleme innebærer. For øvrig gir Dixi og Pindyck (1994) og Trigeorgis (1996) helhelige innføringer i realopsjonsanalyse generel. Eydeland og Wolyniec (2003) presenerer meoder for realopsjonsanalyse ree mo energibransjen. Davison, Rasmussen og Thompson (2004) og Tseng og Barz (2002) er represenaner for nyere uvikling av realopsjonsmeoder anvend på krafproduksjon. 3.1 Anagelser I den videre analysen ligger flere anagelser il grunn. Anagelsene er som følger: 1. Kapialmarkedene er velfungerende og komplee i den forsand a måle for produsenen allid vil være å maksimere markedsverdien av produksjonen. 2. Produsenens disposisjoner påvirker ikke priser eller andre akørers disposisjoner. 3. Produksjonskosnader neglisjeres. Anagelse 1 vil ikke være oppfyl i praksis for e vannkrafverk. Hovedgrunnen il de er a de ikke eksiserer noe marked for ilsigsrisiko. Hvorvid krafmarkede er ilnærme komple er også diskuabel. Dee er nærmere diskuer i 5.1. For mindre akører er de grunn il å ro a anagelse 2 holder. For sore produsener, eksempelvis Sakraf, vil rolig anagelsen ikke holde. En sor akør vil kunne gjøre nye av spilleoreiske ilnærminger for å løse probleme. Dee vil ikke bli nærmere diskuer i denne oppgaven. 9

20 3.1.1 Vannmagasine som opphav il merverdi E elvekrafverk uen magasin har ingen lagringsmuligheer for vanne. Produsenen har i denne siuasjonen ingen muligheer il å gjøre disposisjoner vedrørende produksjonen i forskjellige perioder. 7 Å finne verdien av krafverke reduseres da il å forså og modellere ilsigs- og prisprosessene (Eydeland & Wolyniec, 2003). Verdien av e magasin i ilknyning il e krafverk er en følge av a magasine gir muligheer for arbirasje i id. Srømpriser uviser sore og delvis forusigbare sesongvariasjoner 8. Magasine gir da muligheer for å lagre vann fra perioder med lav pris il perioder med høy pris. Følgende eksempel søker å illusrere hvordan magasine gir opphav il merverdi, og hvordan denne verdien er e resula av en opsjon med amerikansk karaker: Berak en diskre siuasjon med kun o perioder og null ilsig. Prisen i periode 0 er kjen og k er en konsan. La videre: l h {, } Π Π Π Π = n π l 1 0 Π = u π h 1 0 wmq (, ) = kq n 1+ r u Produsenen har i denne siuasjonen en amerikansk opsjon på å produsere nå eller i nese periode, gi a muligheen for produksjon er begrense il disse o periodene. Merk a den lineære produksjonsfunksjonen fører il a de aldri vil være opimal å produsere i begge perioder. Teorien for binom opsjonsprising (se for eksempel McDonald (2003)) gir da verdien, V 0, som følger: 7 Vedlikehold kan imidlerid legges il perioder med lav srømpris / lav vannføring. 8 Se

21 p V 0 ( 1 r) + n = u n = km max π0, ( ( ) ) * h * l p Π + 1 p Π r Eksempele over er svær forenkle. I realieen vil drifsbesluningen være av koninuerlig karaker, de vil være e sokasisk ilsig, fysiske resriksjoner på magasinnivå og vannføring og en ulineær produksjonsfunksjon. Opsjonalieen i probleme vil like full være ilsede, men i en lang mer kompleks form Vannkraf som spread opsjon I avsni 2.1 ble de vis a opimal produksjon er gi ved vannverdikrierie. Davison, Rasmussen og Thompson (2004) uleder e alernaiv krierium i koninuerlig id. Krierie gjelder i e relaiv generel univers med hensyn il pris- og ilsigsprosess. Gi a vi sår i gir krierie a opimal vannsrøm ilfredssiller urykke V max π wm (, q ) q, (3.1) q m der w er produser effek som funksjon av magasinnivå og momenan vannsrøm, q. Hvis vi går over il diskre id ved å gjøre ilnærmingen V m μ m V (3.2) og lar wm (, q ) wm (, q), (3.3) så får vi følgende urykk: 11

22 μv + 1 max π hm (, q) q. (3.4) q m + 1 (3.4) gir oss ikke ubealingssrukuren fra opsjonen direke, men viser a vanne har en verdi og hvordan denne verdien er med på å besemme opimal produksjon. Hvis vi olker μ V+1 / m +1 som enheskosnaden for vanne, så gir (3.4) a opimal produksjonssraegi maksimerer differansen mellom innjeningen og alernaivkosnadene il vanne. I en siuasjon der de kun er mulig å enen forbruke e konsan volum eller ikke produsere ar (3.4) form av en spread opsjon med differansen mellom markedsverdien av produser kraf og verdien av vanne som underliggende. La q * benevne opimal produksjonsvolum. Verdien av produksjonen kan da ved (2.3) urykkes som følger: V * h( m, q ) V + 1 =Π +μ. (3.5) For å undersøke feilen i (3.2) deriverer vi (3.5) med hensyn på magasinnivåe: V h( m, q ) μ m m m m m * V + 1 =Π (3.6) Gi a de ikke oppsår overløp så vil m +1 / m = 1, og feilen i (3.4) vil avhenge av hvor bra produksjonsfunksjonen er i m-reningen. Hvis de oppsår overløp vil ikke lenger m +1 / m være definer. Vi har imidlerid idligere argumener for a vannverdien i denne siuasjonen er lik null. (3.4) fører da il a produksjonen vil gå il maksimal produksjon, som er e fornufig resula. De presiseres a innføringen av (3.4) er gjor for å illusrere dynamikken i probleme, og ikke er e resula av en sringen maemaisk analyse. For å oppsummere så har produsenen i hver periode en opsjon på å løse inn vann for å produsere kraf. Opsjonen er som idligere diskuer av amerikansk karaker. Yerligere 12

23 forhold som kompliserer prisingen er a innløsningskursen er en sokasisk funksjon av ilsandsvariablene. Framidig innløsningskurs påvirkes videre av de disposisjoner vi gjør i dag og e sokasisk ilsig. Verdien på underliggende avhenger heller ikke kun av srømprisen, men også av magasinnivå og hvor mye vann vi velger å løse inn. 13

24 4 Krafmarkede I 1991 ble de forea en deregulering av de norske markede for elekrisk kraf. I kjølvanne av dee ble den fellesnordiske krafbørsen Nord Pool oppree. Denne krafbørsen har øk i omfang eer hver som de andre nordiske landene også har åpne for å deregulere markedene. Nord Pools oppgaver er å drife de fysiske markede (Elspo) og adminisrere de finansielle (Elermin og Elopion). Nord Pool garanerer også for enighe og leveranse, ved å være en nøyral mopar for både kjøper og selger. 4.1 De fysiske markede Elspo er e marked hvor de blir handle krafkonraker for fysisk leveranse for hver av de 24 imene de påfølgende døgne. Markede fungerer på den måen a de som ønsker å kjøpe eller selge kraf angir pris og kvanum for de de vil handle i de ulike imene. For hver ime i de nese døgne får man da en sysempris, som kommer frem av krysningen mellom den oale ilbuds- og eerspørselskurven for alle delakerne i markede (se figur 4.1). Dersom de ikke er begrensninger i overføringskapasie blir spoprisen lik sysemprisen. Figur 4.1: Sammenheng mellom sysempris og ilbud/eerspørsel i markede. 14

25 Fakorer som påvirker sysemprisen er i særlig grad sesong (emperaur) og periode på døgne (Lucia & Schwarz, 2002). Ved lave emperaurer vil eerspørselen øke og sysemprisen gå opp. I Norge kommer 99% av elkrafen fra vannkrafverk og i Norden 55% (nordpool.no, 2006). På grunn av dee vil sysemprisen være svær avhengig av fyllingsgraden i magasinene. Variasjonene kan observeres i figur 4.2, der sysemprisen er ypisk høy i vinermånedene og lav om sommeren. De er også verd å merke seg hvordan sysemprisen blir påvirke av perioder med lie nedbør slik som i vineren 2002/2003. Figur 4.2: Sysempris i NOK pr MWh fra 1992 il 2004, (Nordpool.no). 4.2 De finansielle markede På markede Elermin blir de handle forskjellige yper fuure- og forwardkonraker oppdel u ifra ulike leveringsperioder. De handles i dag fuurekonraker for dager og uker og forwardkonraker for måneder, kvaraler og år. Konrakene er sandardisere og er på 1 MW, innenfor sine respekive leveringsperioder. I 2004 ble de omsa for 148,5 Mrd NOK noe som ilsvare 590 TWh (se figur 4.3). Hovedforskjellen på fuures og forwards ligger i a førsnevne har mark-o-marke oppgjør, mens sisnevne har akkumuler oppgjør eer sise leveringsdag. De handles konraker med levering oppil re år frem i id. Ingen av forwardkonrakene på Nord Pool innebærer fakisk fysisk leveranse, men blir gjor opp mo sysemprisen i spomarkede. Elekrisie er en bulkvare og må i praksis brukes samidig som den lages. Forwardkonrakene er derfor en ype swaps. Prisene blir besem u ifra en forvene gjennomsnilig pris over en periode og ikke for e viss leveringsidspunk. 15

26 Siden høsen 1999 har de også vær mulig å handle europeiske opsjoner eller swapions på markede Elopion. Dersom en kjøps- swapion er lønnsom ved innløsningsidspunk vil man inna en posisjon i den underliggende swap mo en innløsningspris. Ubealingen fra å inneha en posisjon i opsjonen vil skje i løpe av leveranseperioden il den underliggende swap, og følgelig ikke ved innløsning av opsjonen (Gaarder Haug, 2005). For en vannkrafprodusen vil informasjonen som ligger i de finansielle markede være nyig når den opimale ressursunyelsen skal avgjøres. Eersom prisene på de ulike konrakene er offenlige, kan de være med og hjelpe vannkrafprodusenen il å besemme sannsynlig risikopremie (Eydeland & Wolyniec, 2003). Figur 4.3: Omsening i TWh pr uke på Elermin (Nordpool.no) 4.3 Sammenheng mellom spo og forwardpris En forward skal eer prinsippe om nullarbirasje være prise lik spoprisen ved leveringsidspunk, T, diskoner med en risikofri rene r subraher med dividenden δ: F = Se T, ( r δ )( T ). (4.1) For handelsvarer er de ofe snakk om lagringskosnader og convenience yield. Convenience yield er verdien av å holde en fysisk vare i erminmarkede. Eersom de er svær begrensede muligheer for fysisk lagring av elekrisie er de vanlig å neglisjere lagringskosnadene og convenience yield. Arbirasjemuligheer i id og rom blir derfor svær 16

27 begrense. Sammenhengen mellom spo- og forwardpris blir som følge av dee ikke like enkel som beskreve i grunnleggende finansiell eori Forvene spopris i idspunk T er spopris i med en forvene avkasning α: E[ S ] = Se α ( T ) T. (4.2) For å unngå risikofri profiering er de nødvendig a forwardkonraken prises slik a verdien av å holde en konrak og eie en andel i underliggende blir den samme i en risikonøyral vurdering: FT, = E[ ST] e ( r α )( T ). (4.3) I e elkrafmarked er de ikke nødvendigvis sammenheng mellom eerspørsel i dag og i fremiden. De er derfor vanlig å se på elkraf handle på o ulike idspunk som o forskjellige varer. Sammenhengen i ligning (4.3) holder likevel også i elkrafmarkeder (McDonald, 2003). 4.4 Srømprisens oppførsel Deregulere markeder for elekrisk kraf er relaiv nye. De finnes derfor begrensede mengder hisoriske daa for likvide spopriser og derivaer. De er likevel gjor flere sudier vedrørende egenskapene il srømprisen (Lucia & Scwarz, 2002). Vikige observere egenskaper ved srømprisen er sprang i pris, mean reversion, unge haler i prisfordelingen og sesongavhengighe Sprang i pris Prisen på elekrisk kraf kan være mege volail eer sandard mål på volailie (Lucia & Schwarz, 2002). De kan ofe forekomme pluselige, uvenede og diskoninuerlige forandringer i spoprisen. Figur 4.4 er e plo av spoprisen på Nord Pool fra januar 2005 il mai

28 Figur 4.4: Spopriser fra Nord Pool fra Januar 2005 om. Mai 2006 (nordpool.no). En sannsynlig forklaring er a disse sprangene kommer av sor variasjon i eerspørselen og lav elasisie i ilbude. Den lave elasisieen kommer av begrense overføringskapasie og små muligheer for lagring av elekrisie Mean reversion En annen veldokumener egenskap ved råvarepriser er mean reversion. Denne egenskapen kan illusreres med følgende modell (Clewlow & Srickland, 2000): ( ) ds = κ μ Π Π d +Πσ dz. (4.4) Her vil spoprisen rekkes ilbake il de langsikige nivåe Π = e μ med en hasighe som er gi av mean reversion raen κ. Denne raen er besandig posiiv. Dersom spoprisen ligger over de langsikige nivåe Π så vil drifen μ i spoprisen være negaiv, og prisen vil ha en endens il å gå ilbake il de langsikige nivåe. På samme måe vil drifen være posiiv dersom spoprisen ligger under de langsikige nivåe. Spoprisen renger ikke nødvendigvis vende ilbake il de langsikige nivåe ved ehver idspunk. Den ilfeldige endringen i spoprisen kan være sørre enn drifen og inneha mosa foregn. 18

29 Teser for ilsedeværelse av mean reversion hos srømpriser har ikke gi enydige resulaer. Dee skyldes a de er vanskelig å skille mellom mean reversion som følge av prishopp i srømdaaene de eses på og fakisk mean reversion. (Eydeland & Wolyniec, 2003) Tunge haler i prisfordelingen En konsekvens av sprang i spoprisen og høy sokasisk volailie er jukke haler i prisfordelingen. Dee kommer av a sannsynligheen for sore uslag fra empiriske daa ypisk vil overgå de eoreiske sannsynlighesfordelingene som spoprismodellene baseres på. E esima av kurosen hos spoprisfordelingen i de nordiske krafmarkede har gi verdier som ligger berakelig høyere enn kurose for sandard normalfordeling (Lucia & Schwarz, 2002). Forekoms av høy og lav avkasning vil følgelig ha sørre sannsynlighe enn for en normalfordeling med samme varians. De er også påvis en posiiv skjevhe i avkasningen hos spoprisen, som ilsier høyere sannsynlighe for høy enn for lav avkasning (Lucia & Schwarz, 2002) Sesongavhengighe Srømpriser i Norden er påvis å være avhengig av sesong (Clewlow & Srickland, 2000). Sysemprisen for vinersesongen har median, middel-, maksimum- og minimumverdier som ligger over den varme sesongen. Den midlere prisen for kalde sesonger er 28% høyere enn for varme (Lucia & Schwarz, 2002). En nøyakig esimering av de årlige sesongavhengige mønsere krever derimo e høy anall år. I Norge er 70% av oppvarmingsbehove dekke med elekrisie (Olje- og energideparemene, 2005). Dee fører il a klima i sor grad er med og besemmer konsume av elekrisk kraf. Korere dager i vinerhalvåre fører også il øk bruk av kunsig lys, som igjen øker srømforbruke. Sesongavhengigheen er inkluder i verdiseingen hos delakere i markede (Lucia & Schwarz, 2002). Formen på fuure-kurven viser a de er en opp og en bunn for hver år noe som er i samsvar med oppførselen il spoprisen. Den midlere spoprisen for helge- og helligdager ligger også under den midlere spoprisen for vanlige ukedager (Lucia & Schwarz, 2002). 19

30 5 Hedging av krafproduksjon Gjennombrudde for moderne opsjonsprisingseori regnes for å være arikkelen The Pricing of Opions and Corporae Liabiliies (Black og Scholes, 1973). Fundamene for eorien er a de er mulig å see sammen andre finansielle produker som, uavhengig av prisuviklingen på underliggende, gir den samme ubealingssrukuren som derivae. Dee alernaive see med produker kalles hedgeporeføljen. I kapiel 3 ble de illusrer hvordan e vannkrafverk kan berakes som e kompleks deriva på krafpris og ilsig. For å kunne hedge krafproduksjonen ønsker vi analog med Black- Scholes-eorien å finne e se av produker som bes mulig replikerer konansrømmene fra krafverke. De kan være flere grunner il a produsenen ønsker å hedge produksjonen. Wallace og Fleen (2003) poengerer a friksjon i markede kan føre il a de vil være skalaøkonomi i risikosyring; de kan være billigere for produsenen å hedge enn for individuelle invesorer i selskape. En annen grunn il å hedge kan oppså, som illusrer i figur 5.1, dersom resulae fra produksjonen som funksjon av innekene har negaiv andrederiver. Resula Innek Figur 5.1: Illusrasjon av resula som funksjon av innek. Wallace og Fleen (2003) presenerer e argumen for a hedging kun bør gjøres ved ransaksjoner i markede og ikke ved å endre produksjonsplanen. Argumene går kor som følger: Markedsverdien av en finansiell konrak i e likvid marked er null i de den inngås og vil derfor ikke endre markedsverdien av produksjonen. En endring av produksjonsplanen fører imidlerid il en endring av markedsverdien il produksjonen. Derfor bør 20

31 produksjonsplanen uformes for å maksimere markedsverdien il produksjonen, og dereer kan en gjøre ransaksjoner i markede for å begrense risikoen. Dee argumene vil være ugangspunke for resen av diskusjonen. 5.1 Ikke-komple marked Som idligere nevn finnes de ikke noe marked for ilsigsrisiko. De vil dermed allid være en viss basisrisiko forbunde med produksjonen. Elkrafmarkede er rolig heller ikke komple i den forsand a de er mulig å kvie seg med all prisrisiko. Tidsoppløsningen for produksjonsplanleggingen er ypisk korere enn de ilgjengelige konrakene på lang og mellomlang sik. Hvis de enese ilgjengelige insrumene er en årskonrak, kan ikke risiko på ukesbasis hedges, siden insrumene kun avspeiler gjennomsnilig risiko over hele perioden. I illegg er de nødvendig å gjøre en anakelse om verdien av slumagasine 9. Analysehorisonen som er anvend i kapiel 7 srekker seg ikke il sluen av sise erminkonrak. Prisrisiko forbunde med slumagasine kan dermed hedges il en viss grad. I de videre forusees imidlerid likevel e ilnærme komple krafmarked. 5.2 Markedspris på ilsigsrisiko A vi ikke kan hedge all risiko forbunde med krafproduksjonen kompliserer framgangsmåen for risikonøyral prising og dermed også hedging. Eydeland og Wolyniec (2003) påpeker a en bør finne markedsprisen på den risikoen som ikke kan hedges og bruke den i sede for den risikofrie renen. La α være forvene avkasning, σ volailie og r f risikofri rene. Pris på risiko per volailiesenhe, λ, kan da defineres som α r λ= f σ. (5.1) 9 Selv om e modellen fordrer e fas slumagasin vil de innebære en implisi verdivurdering av resmagasine. 21

32 (5.1) kalles også Sharpe-forhold (McDonald, 2003). Hvis en ror a risikopremien på vannkrafaksjer i hovedsak skyldes ilsigsrisiko kan kapialverdimodellen forslagsvis benyes for å finne risikopremien for en porefølje av rene vannkrafaksjer 10 : ( r ) α r =β α. (5.2) vannkraf vannkraf marked f For o eiendeler som er idenisk korreler med markede forøvrig vil Sharpe-forholde være de samme (McDonald, 2003). Ana a markedsverdien av egen produksjon er lik korreler med markede som poreføljen av vannkrafaksjer, og videre a risikopremien for vannkrafaksjer kun skyldes ilsigsrisiko. Risikopremien for ege ilsig blir da: σ α r = α ( r ) produksjon ilsig f vannkraf f σvannkraf, (5.3) der σ produksjon er volailieen il markedsverdien av egen produksjon. Eydeland og Wolyniec (2003) foreslår også å bruke selskapes generelle avkasningskrav i lignende siuasjoner. Evenuel kan en vurdere hvorvid ilsigsrisiko er en sysemaisk eller usysemaisk risiko. Hvis ilsigsrisiko er usysemaisk innebærer de a invesorene kan eliminere risikoen ved å holde en veldiversifiser porefølje. I e ilsrekkelig likvid marked vil en premie for ilsigsrisiko da innebære en arbirasjemulighe, som ikke kan vedvare. Risikopremien bør i denne siuasjonen være lik null. 10 Aksjer på selskaper som hovedsakelig er vannkrafprodusener. 22

33 5.3 Poensielle hedgeproduker og forvenede posisjoner Selv om de er høys usannsynlig å finne en perfek hedge for vannkrafproduksjonen kan likevel variansen i konansrømmene begrenses, ved å a posisjoner i de produker som fakisk handles. For å låse inn framidig pris kan produsenen ypisk inngå kore posisjoner i fuure- og forwardkonraker. De er imidlerid usikkerhe knye ikke bare il prisen, men også il produser kvanum. For å oppnå e konsisen resula er produsenen derfor avhengig av å planlegge og prise produksjonen på en måe som gir sensiivieer for produksjonsvolum i forhold il de ilgjengelige fuure- og forwardkonrakene. Eydeland og Wolyniec (2003) diskuerer prising og hedging av gasslagre og hevder a de samme eknikkene, med modifikasjoner, kan brukes il å prise og hedge vannkrafproduksjon. De resulerende hedgene for gasslagere besår av opsjoner. Dee kan yde på a opsjoner kan være egne også il å hedge vannkrafproduksjon. 5.4 Delahedging Delahedging innebærer å inneha både en posisjon og en opsjon i den samme underliggende konraken. Prosessen fører il en dynamisk rading av posisjonen i den underliggende energikonraken slik a for alle idsinervaller mellom rading, vil en endring i opsjonsprisen ilsvares av en lik og mosa endring i verdien av posisjonen i den underliggende. På denne måen vil ikke poreføljen endre verdi, og akøren er derfor immun mo risiko fra endringer i pris på underliggende. For å kunne hedge perfek må ΔF 0. Dee fører il definisjonen av dela: ΔC C = = dela ΔF F ΔF 0 (5.4) Enhver forandring i den underliggende forwardprisen fører il en forandring i dela. Dee fører il en koninuerlig rading i den underliggende konraken for å holde posisjonen i 23

34 underliggende lik dela, og holde poreføljen hedge. I praksis er de verken mulig eller nødvendig å rade den underliggende koninuerlig, men kun når den underliggende har forandre seg nevneverdig (Clewlow & Srickland, 2001). Glassermann (2003) beskriver en esimaor for å finne den ilnærmede forandringen i opsjonverdier med hensyn på forandring i underliggende. Denne esimaoren kaller han cenral-difference esimaor (se figur z.zz). V Δ+ V Δ- Δ - Pris på underliggende Δ + Figur 5.2: Illusrasjon av den ilnærmede angenen il prisen på underliggende ved bruk av cenraldifference esimaor. Dersom de anas a de opimal forvenede konansrømmene fra vannkrafproduksjonen er en opsjon som beinger på forwardkurven, vil dela kunne urykkes som: - Δ F 2 Δ+ Δ V V V kurve, der er e idsinervall. (5.5) 24

35 6 Modeller For å være i sand il å finne en adveka løsning på produksjonsplanleggingsprobleme er de nødvendig med beskrivelser av srømpris, ilsig og produksjonssyseme. Når forunevne er eabler, er de videre nødvendig å formulere probleme maemaisk. Dee kapile vedrører disse forholdene. 6.1 Sokasiske modeller Både pris og ilsigsprosessen er uforusigbare i den grad a en modell som ikke ar hensyn il sokasikken vil være urealisisk. For å kunne oppnå en fornufig hedgesraegi er de videre ønskelig med en prismodell i produksjonsplanleggingen som beinger på markedsinformasjon. I denne oppgaven er de valg idskoninuerlige sokasiske prosesser baser på Brownsk bevegelse for både pris og ilsig. Varianer av Brownsk bevegelse er hyppig bruk som modell innen finans og er inngående suder. For en analyse av egenskapene il Brownsk bevegelse se for eksempel Ross (2003). McDonald (2003) gir en innføring i anvendelsen av Brownsk bevegelse som byggesein for modeller i finans Vikige fakorer ved valg av prismodell for bruk i produksjonsplanlegging Produksjonsplanlegging av vannkraf er påvirke av den korsikige dynamikken hos spoprisen, men også av den langsikige dynamikken hos forward-kurven. I sysemer med høy reguleringsgrad kan ilsanden og dynamikken i den lange enden av forward-kurven ha sor påvirkning på produksjonsplanleggingen. E vannkrafverk kan berakes som e kompleks deriva il spoprisen, men dee umuliggjør hedging da spoprisen ikke kan lagres. De er derfor hensiksmessig å bruke en modell som baseres på eksiserende finansielle konraker, sam dynamikken i de finansielle markede. En prismodell som ar hensyn il alle egenskaper ved srømprisen ville vær en sor oppgave i seg selv, med anke på avvikene il anagelsene 25

36 om sandard normalfordeling (som diskuer i avsni 4.4). De er derfor a forenklede anagelser med hensyn på spoprisen i denne oppgaven Prismodell Som diskuer i 4.4 har srømprisprosessen en rekke særegenheer. Kor oppsummer uviser srømpriser en ydelig sesongvariasjon og mean reversion. Samidig har fordelingen unge haler og sore sprang i prisen forekommer ofe. En modell som ar hensyn il alle forhold blir relaiv kompliser og vil ha mange parameere som må esimeres. Fokuse for denne oppgaven er ikke å foreslå en bes mulig modell for srømpriser. Likevel er de nødvendig å benye en modell som er i en viss overensemmelse med markede, for å oppnå fornufige resulaer. For en sudie av ulike modeller som kan være akuelle i krafmarkeder se Clewlow og Srickland (2000) eller Eydeland og Wolyniec (2003). Schwarz (1997) regnes forøvrig å være e vikig bidrag il modellering av råvarepriser. Prismodellen som er valg i denne oppgaven er en varian av Ornsein-Uhlenbeck prosessen med idsavhengig forvenning. Modellen er beskreve i de re referansene nevn over og urykkes generel: d Π Π = κ( θ ln Π ) d + σdz (6.1) der dz er e inkremen il en sandard brownsk bevegelse, κ er mean reversion parameeren, θ er idsvarierende forvenning og σ er sandardavvike il den brownske bevegelsen. For å simulere denne modellen er de hensiksmessig å gjøre ransformasjonen f = ln Π (6.2) Iôs formel gir da 2 ( ), ˆ σ df = κ θ f d + σdz θ = θ (6.3) 2κ 26

37 For å simulere modellen gjøres diskreiseringen ( ˆ ) Δ f =κ θ f Δ +σ Δ N (6.4) der N er en sandard normalfordel variabel. Clewlow og Srickland (2000) påpeker a f inngår i drifen, og a diskreiseringen derfor kun er eksak i grensen Δf df. Tidssegene bør derfor velges kore relaive il mean reversion hasigheen. For å gjøre prisprosessen risikonøyral kan drifen kalibreres ved hjelp av erminsrukuren. Clewlow og Srickland (2000) viser da a 1 dln F σ θ = +κ + κ d 4κ 2 0, T ln F 2 0, T 1 κt ( e ) (6.5) der F 0,T er erminprisen for srøm lever i idspunk T på nåidspunk. Modellen er per definisjon kalibrer il erminsrukuren i forvenning, men beinger ikke på andre ordens markedsinformasjon. Modellen kan derfor ikke venes å gi korreke opsjonspriser Esimering av parameere i prismodellen Esimering av paramerene il prismodellen er gjor i Excel. Daagrunnlage for analysen er ukenlige spopriser i Trondheim i idsromme Paramerene i srømprismodellen er esimer med ugangspunk i a Ornsein-Uhlenbeck (Schwarz) prosessen har felles fordeling med en AR(1)-prosess, der paramerene er gi som funksjoner av paramerene il ohrnsein-uhlenbeck prosessen, når observasjonene har lik avsand. 2 2κ κ κ ˆ σ (1 e ) 1 e B Yn = 1 e B θ + ξn, ξn N 0, (6.6) 2κ ( ) ( ) Her er B en back shif operaor (Brockwell & Davis, 2002). 27

38 Dikreiseringen i (6.5) ble bruk il å esimere σ og κ samidig ved å minimere de midlere kvadraiske feilene. Esimere parameere og deskripiv saisikk fra analysen av de hisoriske prisene finnes i vedlegg Tilsigsmodell Modellen for ilsige er også modeller som en Ornsein-Uhlenbeck prosess. Tilsigsmodellen har i illegg il sesongavhengig forvenning også sesongavhengig varians. I følge Gjelsvik(1992) er auokorrelasjon ofe en signifikan fakor i ilsigsserier. Ornsein-Uhlenbeck prosessen er den idskoninuerlige versjonen av en AR(1)-prosess. AR(1)-prosessen er auokorreler ved lag 1 (Brockwell og Davis, 2002) Esimering av parameere i ilsigsmodellene Esimering av parameerne il ilsigsmodellen er gjor i Excel. Analysegrunnlage er observere ukenlige ilsig fra vassmerkene Aune og Rahe i Nea/Nidelvvassdrage i idsromme Esimeringen av mean-reversion koeffesienene og de ukenlige volailieene er gjor ved bruk av minse kvadraers meode. Esimere parameere og resulaer fra ilsigsanalysen il henholdsvis Aune og Rahe vannmerke finnes i vedlegg 6 og 7. 28

39 6.2 Modellering av scenariorær En vannkrafprodusen er som nevn i kapiel 3, vunge il å a avgjørelser under usikkerhe. Presenasjon av fremidige hendelser i form av scenarier kan være en vikig besluningsøe, der hver scenario samsvarer med e enkel ufall av en ilfeldig mengde. Sampling fra hisoriske idsrekker eller fra saisiske modeller er de mes anvend meodene for å lage scenarier. Scenariene og de ilhørende sannsynligheene blir da en ilnærme beskrivelse av den sokasiske prosessen. Dersom man anar a førse periode i en sokasisk prosess er kjen (deerminisisk), vil generere scenarier a form som en vife, der alle scenariene har samme sarverdier. En slik vife kan være en god beskrivelse av den underliggende sokasiske prosessen, men er ikke anvendelig i rinnvise besluningsprosesser. E vikig hjelpemiddel i å løse flerrinns sokasiske programmer er en ilnærme fremsilling av den underliggende sokasiske prosessen i form av e scenariore. E scenariore kan fremsilles ved e endelig se med noder. Scenarioree sarer i ronoden i den førse perioden og forgreiner seg il noder i nese periode. Hver node har en enkel forgjengernode, men kan ha flere eerfølgere. E enkel eksempel er illusrer i figur 6.1 Hver si fra ronoden n1 il en av dens endeilsander n6,,n10 er e scenario. Figur 6.1: Eksempel på scenariore, med 10 noder og 5 scenarier. 29

40 Å lage scenariorær som beskriver den sokasiske prosessen på en ilfredssillende måe er en ufordring. E gi anall forgreininger i hver node vil gi en eksponeniell økning i anall noder for hver diskree idsseg. Dee vil føre il dimensjonsproblemer ved mange forgreiningsperioder. I illegg vil e forenkle scenariore kunne gi en svær misvisende ilnærming il den underliggende sokasiske prosessen. Heisch og Römisch (2003 & 2005) har beskreve meoder for å konsruere scenariorær baser på scenariovifer, slik a sannsynlighesfordelingen og filreringssrukuren hos daaene i scenariene ilnærmelsesvis gjenopprees. Algorimene reduserer den opprinnelige vifen il e scenariore ved å modifisere resrukuren og bune lignende scenarier. Flying av øvre grenser for sannsynlighe- og filreringsavsand gir mulighe il å påvirke prosessen for rekursiv scenarioreduksjon og forgreining, og dermed indireke besemme anall scenarier og noder i de resulerende ree. Heisch og Römisch presenerer o algorimer for scenarioregenerering i sine arikler; forover- og baklengs redusering av scenariovifer. Begge reduseringsmeodene ar ugangspunk i vilkårene for sabilie hos opimale verdier for flersegs sokasiske programmer. Dee er gjennomgående beskreve i Heisch og Römisch (2003). Figur 6.2 viser rinn i genereringen av e scenariore ved bruk av algorimen beskreve i appendix zz for foroverredusering av en scenariovife. Figur 6.2: Illusrajon av en rinnvis generering av e scenariore med T = 5 idsperioder og med ugangspunk i en scenariovife med N = 58 scenarier. 30

41 6.3 Resriksjoner i syseme Produksjonsplanleggingsprobleme innbefaer en rekke resriksjoner. Beskrankninger oppsår i hovedsak av ekniske, miljømessige og fysiske årsaker. Her gir vi en oversik over de vikigse resriksjonene og redegjør for hvilke som er uela fra de maemaiske formuleringene i 6.4, 6.5 og Magasinnivå Alle vannmagasiner har en øvre og nedre grense for vannsand. De er opplag a ehver magasin vil ha e endelig maksimal volum og heller ikke kan ha e negaiv volum. Om den nedre grensen er null eller om e minse volum er påkrevd vil ikke påvirke analysen. Resriksjonen på magasinnivå og vannføring kan enkes å være forskjellig på ulike ider av åre, eksempelvis av hensyn il gyeforhold i vassdrage. I denne oppgaven anas disse grensene imidlerid konsane Vannføring I de flese ilfeller vil de være en øvre og nedre grense på hvor mye vann som kan slippes u av magasine il enhver id. I modellen presener i 6.4 er de en øvre grense på produksjonsvolume, men imidlerid ingen grense for hvor sor overløpe eller forbiappingen kan være Vannbalanse Al vann som kommer inn i magasine må enen lagres eller srømme videre. Uen en vannbalanse vil problemformuleringen få e åpen løsningsrom. Modellmessig blir da resulae a vann srømmer u av magasine uen a de påvirker magasinnivåe. 31

42 6.3.4 Rampingresriksjoner Ramping indikerer endring i produksjonshasighe. Ved vannkrafproduksjon vil de i de aller flese ilfeller være en begrensning på hvor rask gjennomsrømningsvolume og dermed produksjonshasigheen kan endres. Dee skyldes både ekniske, miljømessige og sikkerhesmessige forhold. Innvirkningen av rampingresriksjoner på løsningen vil rolig være lie uale ved en idsoppløsning som er berakelig lengre enn iden for å gå fra maksimum il minimum volumsrøm indiker av resriksjonen. Vi velger derfor å neglisjere rampingresriksjoner med bakgrunn i idsoppløsning på en uke i vår problem Begrense overføringskapasise I realieen er de begrensninger på overføringskapasie for elekrisk kraf både innen og mellom delområder. Begrense overføringskapasie kan føre il flaskehalser i syseme og er en direke årsak il a de oppsår områdepriser. I oppgaven anar vi ubegrense overføringskapasie med de resula a områdeprisen blir lik sysemprisen Kosnader Kosnader er i seg selv ikke en resriksjon, men bør inngå i målfunksjonen. I denne oppgaven er kosnader valg uela fra den maemaiske formuleringen av probleme. Anagelsen er a kosnadene er så små a de ikke vil påvirke drifsbesluningene. 11 Nilsson og Sjelvgren (1997) hevder a kosnader knye il oppsar av vannkrafproduksjon hovedsakelig er knye il vedlikehold, men a ap av vann også er e problem. De påpeker a dee kan være av beydning ved koridsplanlegging. Ved langidsplanlegging, med idsoppløsning på en uke, er rolig probleme mindre ual. I følge Fosso (2005) er kosnader knye il en oppsar i sørrelsesorden NOK 2,500. Sar- og soppkosnader er derfor uela av den maemaiske problemformuleringen. 11 Med kosnader menes de her kosnader som medfører ubealinger, og alså ikke alernaivkosnaden il vanne. 32

43 6.3.7 Topologi E vassdrag kan beså av mange magasiner og sasjoner. Topologien beskriver hvilke koblinger som finnes mellom enheene i vassdragssyseme. Vann som er lagre i magasiner høy oppe i syseme kan ha sørre verdi enn vann som ligger lenger nede 12. Dee skyldes a vann som er lagre høy oppe i opologien kan kjøres gjennom flere urbiner før de når havnivå Ska De eksiserer lover og regler som vedrører unying av naurressurser i Norge. For vannkrafproduksjon regnes de med en grunnrene fordi nedbør, magasiner og vannfall har en implisi verdi som innsasfakor. Grunnrenen er den delen av overskudde som oversiger normal avkasning på realkapialen som er inveser i selskape. De er dog ikke a hensyn il beskaning i modellene presener her. 12 Gi a de ikke oppsår overløp. 33

Finansielle metoder for produksjonsplanlegging av vannkraft

Finansielle metoder for produksjonsplanlegging av vannkraft Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf Forord Denne rapporen er skreve ved Norges eknisk-naurvienskapelige universie, høsen 2005, i forbindelse med fordypningsemne Invesering, finans

Detaljer

Et samarbeid mellom kollektivtrafikkforeningen og NHO Transport. Indeksveileder 2014. Indeksregulering av busskontrakter. Indeksgruppe 05.08.

Et samarbeid mellom kollektivtrafikkforeningen og NHO Transport. Indeksveileder 2014. Indeksregulering av busskontrakter. Indeksgruppe 05.08. E samarbeid mellom kollekivrafikkforeningen og NHO Transpor Indeksveileder 2014 Indeksregulering av busskonraker Indeksgruppe 05.08.2015 Innhold 1. Innledning...2 1.1 Bakgrunn...2 2 Anbefal reguleringsmodell

Detaljer

Prising av Kraftderivater SIS 1101

Prising av Kraftderivater SIS 1101 Prising av Krafderivaer SIS 1101 I Prising av Krafderivaer SIS 1101 Forord Denne prosekoppgaven er uarbeide av o sudener fra Insiu for indusriell økonomi og eknologiledelse høssemesere år 001. Rapporen

Detaljer

Driftsplanlegging i vannkraftproduksjon en realopsjonstilnærming

Driftsplanlegging i vannkraftproduksjon en realopsjonstilnærming Drifsplanlegging i vannkrafproduksjon en realopsjonsilnærming Hovedoppgave for sud.echn Gunnar Aronsen Faggruppe for invesering, finansiering og økonomisyring Insiu for indusriell økonomi og eknologiledelse

Detaljer

Opsjoner i kraftmarkedet

Opsjoner i kraftmarkedet SIS 1101 Invesering, finans og økonomisyring Opsjoner i krafmarkede NTNU Insiu for indusriell økonomi og eknologiledelse November 00 Roald Maudal Krisian Solum Forord Denne prosjekoppgaven har bli ufør

Detaljer

MAT1030 Forelesning 26

MAT1030 Forelesning 26 MAT030 Forelesning 26 Trær Roger Anonsen - 5. mai 2009 (Sis oppdaer: 2009-05-06 22:27) Forelesning 26 Li repeisjon Prims algorime finne de minse uspennende ree i en veke graf en grådig algorime i den forsand

Detaljer

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011. c) Hva er kritisk verdi for testen dersom vi hadde valgt et signifikansnivå på 10%?

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011. c) Hva er kritisk verdi for testen dersom vi hadde valgt et signifikansnivå på 10%? Forelesning 4 og 5 MET59 Økonomeri ved David Kreiberg Vår 011 Diverse oppgaver Oppgave 1. Ana modellen: Y β + β X + β X + β X + u i 1 i i 4 4 i i Du esimerer modellen og oppnår følgende resulaer ( n 6

Detaljer

Betydning av feilspesifisert underliggende hasard for estimering av regresjonskoeffisienter og avhengighet i frailty-modeller

Betydning av feilspesifisert underliggende hasard for estimering av regresjonskoeffisienter og avhengighet i frailty-modeller Beydning av feilspesifiser underliggende hasard for esimering av regresjonskoeffisiener og avhengighe i fraily-modeller Bjørnar Tumanjan Morensen Maser i fysikk og maemaikk Oppgaven lever: Mai 2007 Hovedveileder:

Detaljer

Levetid og restverdi i samfunnsøkonomisk analyse

Levetid og restverdi i samfunnsøkonomisk analyse Visa Analyse AS Rappor 35/11 Leveid og resverdi i samfunnsøkonomisk analyse Haakon Vennemo Visa Analyse 5. januar 2012 Dokumendealjer Visa Analyse AS Rapporiel Rappor nummer xxxx/xx Leveid og resverdi

Detaljer

Pengemengdevekst og inflasjon

Pengemengdevekst og inflasjon Pengemengdeveks og inflasjon - en empirisk analyse og eoreiske berakninger Hovedfagsoppgave i samfunnsøkonomi av Sian Brundland Berge Insiu for økonomi Universiee i Bergen Våren 2004 KAPITTEL 1 INNLEDNING...

Detaljer

Spesialisering: Anvendt makro 5. Modul

Spesialisering: Anvendt makro 5. Modul Spesialisering: Anvend makro 5. Modul 1.B Lineære regresjonsmodeller og minse kvadraers meode (MKM) Drago Berghol Norwegian Business School (BI) 10. november 2011 Oversik I. Inroduksjon il økonomeri II.

Detaljer

SNF-arbeidsnotat nr. 06/11. Verdsetting av langsiktige infrastrukturprosjekter. Kåre P. Hagen

SNF-arbeidsnotat nr. 06/11. Verdsetting av langsiktige infrastrukturprosjekter. Kåre P. Hagen SNF-arbeidsnoa nr. 06/11 Verdseing av langsikige infrasrukurprosjeker av Kåre P. Hagen SNF Prosjek nr. 2437 Prinsipiell vurdering av mernye av sore infrasrukurilak Prosjeke er finansier av Kysverke SAMFUNNS-

Detaljer

Beskjeder. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering

Beskjeder. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering Beskjeder MAT1030 Diskre maemaikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Maemaisk Insiu, Universiee i Oslo 23. april 2008 Roger har bed meg gi følgende beskjeder: 1 De mese av plenumsregningen i morgen, 24/4,

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk øvelsesoppgave i ECON 1210 høsten 06

Løsningsforslag til obligatorisk øvelsesoppgave i ECON 1210 høsten 06 Løsningsforslag il obligaorisk øvelsesoppgave i ECON 0 høsen 06 Oppgave (vek 50%) (a) Definisjon komparaive forrinn: Den ene yrkesgruppen produserer e gode relaiv mer effekiv enn den andre yrkesgruppen.

Detaljer

Forelesning 25. Trær. Dag Normann april Beskjeder. Oppsummering. Oppsummering

Forelesning 25. Trær. Dag Normann april Beskjeder. Oppsummering. Oppsummering Forelesning 25 Trær Dag Normann - 23. april 2008 Beskjeder Roger har bed meg gi følgende beskjeder: 1 De mese av plenumsregningen i morgen, 24/4, blir avleregning, slik a sudenene ikke kan belage seg på

Detaljer

Rundskriv EØ 1/2011 - Om beregning av inntektsrammer og kostnadsnorm i vedtak om inntektsramme for 2010

Rundskriv EØ 1/2011 - Om beregning av inntektsrammer og kostnadsnorm i vedtak om inntektsramme for 2010 Noa Til: Fra: Ansvarlig: Omseningskonsesjonærer med inneksramme NVE - Seksjon for økonomisk regulering Tore Langse Dao: 1.2.2011 Vår ref.: NVE Arkiv: 200904925 Kopi: Rundskriv EØ 1/2011 - Om beregning

Detaljer

Boligprisvekst og markedsstruktur i Danmark og Norge

Boligprisvekst og markedsstruktur i Danmark og Norge NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, våren 2007 Boligprisveks og markedssrukur i Danmark og Norge Philip Harreschou og Sig Økland Veiledere: Frode Seen og Guorm Schjelderup Maseruredning ved foreaks- og samfunnsøkonomisk

Detaljer

Prising av opsjoner på OBXindeksen

Prising av opsjoner på OBXindeksen NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, 0..006 Prising av opsjoner på OBXindeksen Evaluering av ulike volailiesmodeller Av Jan-Ivar Kemi og Rune Bråen Lihol Veileder: Førseamanuensis Jonas Andersson Maseruredning

Detaljer

Forelesning nr.9 INF 1410

Forelesning nr.9 INF 1410 Forelesning nr.9 INF 141 29 espons il generelle C- og -kreser 3.3.29 INF 141 1 Oversik dagens emaer Naurlig espons respons il generelle C- og -kreser på uni-sep funksjonen Naurlig og vungen respons for

Detaljer

CDO-er: Nye muligheter for å investere i kredittmarkedet

CDO-er: Nye muligheter for å investere i kredittmarkedet CDO-er: Nye muligheer for å invesere i kredimarkede Keil Johan Rakkesad og Sindre Weme rådgiver og spesialrådgiver i Finansmarkedsavdelingen i Norges Bank 1 Omseelige insrumener for overføring av og handel

Detaljer

1. Betrakt følgende modell: Y = C + I + G C = c 0 + c(y T ), c 0 > 0, 0 < c < 1 T = t 0 + ty, 0 < t < 1

1. Betrakt følgende modell: Y = C + I + G C = c 0 + c(y T ), c 0 > 0, 0 < c < 1 T = t 0 + ty, 0 < t < 1 . Berak følgende modell: Y = C + I + G C = c 0 + c(y T ), c 0 > 0, 0 < c < T = 0 + Y, 0 < < Hvor Y er BNP, C er priva konsum, I er privae realinveseringer, G er offenlig kjøp av varer og jeneser, T er

Detaljer

VISTA ANALYSE AS RAPPORT. Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver. Oljedirektoratet 2015/61

VISTA ANALYSE AS RAPPORT. Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver. Oljedirektoratet 2015/61 VISTA ANALYSE AS RAPPORT 15/61 Økonomiske parameere og forvenee verdier av peroleumsressurser og reserver Seinar Srøm, Michael Hoel og Pernille Parmer Oljedirekorae Dokumendealjer Visa Analyse AS Rappor

Detaljer

Eksamen i STK4060/STK9060 Tidsrekker, våren 2006

Eksamen i STK4060/STK9060 Tidsrekker, våren 2006 Eksamen i STK4060/STK9060 Tidsrekker, våren 2006 Besvarelsen av oppgavene nedenfor vil ugjøre de vesenlige grunnlage for karakergivningen, og ugangspunke for den munlige eksaminasjonen. De er meningen

Detaljer

Bankers utlånspolitikk over konjunkturene

Bankers utlånspolitikk over konjunkturene Bankers ulånspoliikk over konjunkurene en analyse av opimalie fra e foreaksøkonomisk synspunk av irik Fjellså Hærem Maseroppgave Maseroppgaven er lever for å fullføre graden Maser i samfunnsøkonomi (Profesjonssudium

Detaljer

Internasjonale prisimpulser til importerte konsumvarer

Internasjonale prisimpulser til importerte konsumvarer Inernasjonale prisimpulser il imporere konsumvarer Johan Øverseh Røsøen, konsulen i Økonomisk avdeling 1 Den lave konsumprisveksen i Norge kan i sor grad forklares ved krafig prisfall på imporere varer,

Detaljer

Bør sentralbanken ta mer hensyn til boligprisene?

Bør sentralbanken ta mer hensyn til boligprisene? UNIVERSITETET I STAVANGER Savanger, våren 2011 Bør senralbanken a mer hensyn il boligprisene? En sudie av de norske boligmarkede Av Marie Sjursen Uredning i spesialiseringen Samfunnsøkonomi DET SAMFUNNSVITENSKAPELIGE

Detaljer

SNF-rapport nr. 21/04

SNF-rapport nr. 21/04 SNF-rappor nr. /04 PRISIN V FORSIKRINSKONRKER MED RENERNI av Roger F. Peersen Eirik M. Samnøy SNF-Prosjek nr. 7000 SMFUNNS- O NÆRINSLIVSFORSKNIN S Bergen, November 004 Dee eksemplar er fremsil eer avale

Detaljer

Rapport 4/2003. Utnyttelse av vannkraftmagasiner. Finn R. Førsund Rolf Golombek Michael Hoel Sverre A.C. Kittelsen

Rapport 4/2003. Utnyttelse av vannkraftmagasiner. Finn R. Førsund Rolf Golombek Michael Hoel Sverre A.C. Kittelsen Rappor 4/2003 Unyelse av vannkrafmagasiner Finn R. Førsund Rolf Golombek Michael Hoel Sverre A.C. Kielsen Sifelsen Frischsenere for samfunnsøkonomisk forskning Ragnar Frisch Cenre for Economic Research

Detaljer

Working Paper 1996:3. Kortere arbeidstid og miljøproblemer - noen regneeksempler for å illustrere mulige kortsiktige og langsiktige sammenhenger

Working Paper 1996:3. Kortere arbeidstid og miljøproblemer - noen regneeksempler for å illustrere mulige kortsiktige og langsiktige sammenhenger Working Paper 1996:3 Korere arbeidsid og miljøproblemer - noen regneeksempler for å illusrere mulige korsikige og langsikige sammenhenger av Bjar Holsmark Sepember 1996 ISSN: 84-452X 1 2 sammendrag De

Detaljer

Infoskriv ETØ-1/2016 Om beregning av inntektsrammer og kostnadsnorm for 2015

Infoskriv ETØ-1/2016 Om beregning av inntektsrammer og kostnadsnorm for 2015 Infoskriv Til: Fra: Ansvarlig: Omseningskonsesjonærer med inneksramme Seksjon for økonomisk regulering Tore Langse Dao: 1.2.2016 Vår ref.: 201403906 Arkiv: Kopi: Infoskriv ETØ-1/2016 Om beregning av inneksrammer

Detaljer

Dato: 15.september Seksjonssjef studier og etter utdanning Arkivnr 375/2008

Dato: 15.september Seksjonssjef studier og etter utdanning Arkivnr 375/2008 S TYRES AK Syremøe 07 23.sepember Syresak 53/2008 MÅLTALL framidig uvikling av sudenall og sudieprogrammer KONTAKTINFORMASJON POSTBOKS 6853, ST. OLAVS PLASS NO-0130 OSLO TLF: (+47) 22 99 55 00 FAKS: (+47)

Detaljer

Ukemønsteret i bensinmarkedet

Ukemønsteret i bensinmarkedet NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, høsen 2006 Ukemønsere i bensinmarkede en empirisk analyse Elisabeh Flasnes Veileder: Professor Frode Seen Uredning i fordypnings-/spesialfagsområde: Markedsføring og konkurranse

Detaljer

Infoskriv ETØ-4/2015 Om beregning av inntektsrammer og kostnadsnorm for 2016

Infoskriv ETØ-4/2015 Om beregning av inntektsrammer og kostnadsnorm for 2016 Infoskriv Til: Fra: Ansvarlig: Omseningskonsesjonærer med inneksramme Seksjon for økonomisk regulering Tore Langse Dao: 4.12.2015 Vår ref.: NVE 201500380-10 Arkiv: Kopi: Infoskriv ETØ-4/2015 Om beregning

Detaljer

Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. ECON 1310 Obligatorisk øvelsesoppgave våren 2012

Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. ECON 1310 Obligatorisk øvelsesoppgave våren 2012 Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT ECON 3 Obligaorisk øvelsesoppgave våren 22 Ved sensuren illegges alle oppgavene lik vek For å få godkjen besvarelsen må den i hver fall: gi mins

Detaljer

Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. ECON 1310 Eksamensoppgave høsten 2011

Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. ECON 1310 Eksamensoppgave høsten 2011 Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT ECON 3 Eksamensoppgave høsen 2 Ved sensuren illegges alle oppgavene lik vek For å beså eksamen, må besvarelsen i hver fall: gi mins re rikige svar

Detaljer

Skjulte Markov Modeller

Skjulte Markov Modeller CpG øy Skjule Markov Modeller år CG er eer hverandre i en DA sekvens vil C ofe muere il T ved meylase. (kalles ofe CpG for å ikke forveksles med pare C-G i o DA råder). CpG dinukleoiden forekommer mye

Detaljer

BNkreditt AS. Årsrapport 2011

BNkreditt AS. Årsrapport 2011 BNkredi AS Årsrappor 2011 Innhold Nøkkelall...3 Syres berening...4 Resularegnskap... 10 Balanse pr. 31.12... 11 Endring i egenkapial i 2010 og 2011... 12 Konansrømoppsilling... 13 Noer... 14 Noe 1. Regnskapsprinsipper

Detaljer

Produksjonsgapet i Norge en sammenlikning av beregningsmetoder

Produksjonsgapet i Norge en sammenlikning av beregningsmetoder Produksjonsgape i Norge en sammenlikning av beregningsmeoder Hilde C. Bjørnland, posdokor ved Økonomisk Insiu, Universiee i Oslo, Leif Brubakk og Anne Sofie Jore, seniorrådgivere i Økonomisk avdeling,

Detaljer

Indikatorer for underliggende inflasjon,

Indikatorer for underliggende inflasjon, Indikaorer for underliggende inflasjon i Norge Moren Jonassen, assiserende direkør i Pengepoliisk avdeling, og Einar Wøien Nordbø, konsulen i Økonomisk avdeling i Norges Bank 1 En senralbank som skal syre

Detaljer

Faktor - en eksamensavis utgitt av ECONnect

Faktor - en eksamensavis utgitt av ECONnect Fakor - en eksamensavis ugi av ECONnec Pensumsammendrag: FIN3005 Makrofinans Forfaer: Marin Frøland E-pos: marinom@sud.nnu.no Skreve: Høsen 009 Anall sider: 41 FIN3005 - Pensumsammendrag Om ECONnec: ECONnec

Detaljer

Klimaendringer gir lavere elektrisitetspriser og høyere forbruk i Norden Karina Gabrielsen og Torstein Bye

Klimaendringer gir lavere elektrisitetspriser og høyere forbruk i Norden Karina Gabrielsen og Torstein Bye Økonomiske analyser 3/2005 Klimaendringer gir lavere elekrisiespriser og høyere forbruk Klimaendringer gir lavere elekrisiespriser og høyere forbruk i Norden Karina Gabrielsen og Torsein Bye Bruk av fossil

Detaljer

RAPPORT. Kalkulasjonsrenten 2012/44. Michael Hoel og Steinar Strøm

RAPPORT. Kalkulasjonsrenten 2012/44. Michael Hoel og Steinar Strøm RAPPORT 01/44 Kalkulasjonsrenen Michael Hoel og Seinar Srøm Dokumendealjer Visa Analyse AS Rappornummer 01/44 Rapporiel Kalkulasjonsrenen ISBN 978-8-816-093-1 Forfaer Michael Hoel og Seinar Srøm Dao for

Detaljer

Humankapitalens rolle for den økonomiske veksten i Norden

Humankapitalens rolle for den økonomiske veksten i Norden Humankapialens rolle for den økonomiske veksen i Norden Achraf Bougroug Masergradsoppgave i Samfunnsøkonomi Ved økonomisk insiu UNIVERSITETET I OSLO 18. augus 2008 i Forord Arbeide med denne oppgaven

Detaljer

En sammenligning av økonomiske teorier for regional vekst

En sammenligning av økonomiske teorier for regional vekst En sammenligning av økonomiske eorier for regional veks av Grehe Lunde Masergradsoppgave i samfunnsøkonomi 30 sudiepoeng Insiu for økonomi Norges fiskerihøgskole Universiee i Tromsø Mai 2008 I Forord Arbeide

Detaljer

Harald Bjørnestad: Variasjonsregning en enkel innføring.

Harald Bjørnestad: Variasjonsregning en enkel innføring. Haral Bjørnesa: Variasjonsregning en enkel innføring. Tiligere har vi løs oppgaven me å finne eksremalveriene ( maks./min. veriene) av en gi funksjon f () når enne funksjonen oppfyller beseme krav. Vi

Detaljer

CO 2 -kvotenes innvirkning på den nordiske kraftprisen

CO 2 -kvotenes innvirkning på den nordiske kraftprisen NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, høsen 2005 Uredning i fordypnings-/spesialfagsområde: Samfunnsøkonomi Veiledere: Professor Lars Mahiesen og professor Frode Seen CO 2 -kvoenes innvirkning på den nordiske

Detaljer

Teknologisk utvikling og flytende naturgass Vil kostnadene ved nye LNG anlegg falle ytterligere i fremtiden?

Teknologisk utvikling og flytende naturgass Vil kostnadene ved nye LNG anlegg falle ytterligere i fremtiden? Økonomiske analyser 6/2004 Teknologisk uvikling og flyende naurgass Teknologisk uvikling og flyende naurgass Vil kosnadene ved nye LNG anlegg falle yerligere i fremiden? Mads Greaker og Eirik Lund Sagen

Detaljer

og ledelse av forsyningskjeder Kapittel 4 Del A - Prognoser SCM200 Innføring i Supply Chain Management

og ledelse av forsyningskjeder Kapittel 4 Del A - Prognoser SCM200 Innføring i Supply Chain Management Logisikk og ledelse av forsyningskjeder Kapiel 4 Del A - Prognoser M200 Innføring i Suin Man Rasmus Rasmussen PREDIKSJON En prediksjon (forecas forecas) er en prognose over hva som vil skje i framiden.

Detaljer

SAMSPILLET MELLOM PENGE- OG FINANSPOLITIKKEN UNDER ET UNDERLIGGENDE INFLASJONSMÅL FOR EN LITEN ÅPEN ØKONOMI 1

SAMSPILLET MELLOM PENGE- OG FINANSPOLITIKKEN UNDER ET UNDERLIGGENDE INFLASJONSMÅL FOR EN LITEN ÅPEN ØKONOMI 1 SAMSPILLET MELLOM PENGE- OG FINANSPOLITIKKEN UNDER ET UNDERLIGGENDE INFLASJONSMÅL FOR EN LITEN ÅPEN ØKONOMI 1 av Kai Leiemo 2 Forskningsavdelingen Norges Bank Desember 1999 I en modell for en åpen økonomi

Detaljer

SAKSFRAMLEGG. Saksbehandler: Anne Marie Lobben Arkiv: 040 H40 Arkivsaksnr.: 12/422

SAKSFRAMLEGG. Saksbehandler: Anne Marie Lobben Arkiv: 040 H40 Arkivsaksnr.: 12/422 SAKSFRAMLEGG Saksbehandler: Anne Marie Lobben Arkiv: 040 H40 Arkivsaksnr.: 12/422 OMSORGSBOLIGER I PRESTFOSS Rådmannens forslag il vedak: Budsjerammen il prosjek 030030 Omsorgsboliger i Presfoss økes.

Detaljer

System 2000 HLK-Relais-Einsatz Bruksanvisning

System 2000 HLK-Relais-Einsatz Bruksanvisning Sysem 2000 HLK-Relais-Einsaz Sysem 2000 HLK-Relais-Einsaz Ar. Nr.: 0303 00 Innholdsforegnelse 1. rmasjon om farer 2 2. Funksjonsprinsipp 2 3. onasje 3 4. Elekrisk ilkopling 3 4.1 Korsluningsvern 3 4.2

Detaljer

Styring av romfartøy STE6122

Styring av romfartøy STE6122 Syring av romfarøy STE6122 3HU -. 1LFNODVVRQ Høgskolen i Narvik Høs 2000 Forelesningsnoa 8 1 6W\ULQJ RJ UHJXOHULQJ DY RULHQWHULQJ,, Nødvendig med nøyakig syring og/eller regulering av orienering i en rekke

Detaljer

2006/2 Notater 2006. Håvard Hungnes. Notater. Hvitevarer 2006. Modell og prognose. Gruppe for Makroøkonomi

2006/2 Notater 2006. Håvard Hungnes. Notater. Hvitevarer 2006. Modell og prognose. Gruppe for Makroøkonomi 006/ Noaer 006 Håvard Hungnes Noaer Hvievarer 006. Modell og prognose Gruppe for Makroøkonomi I. Innledning og konklusjon 1 På oppdrag fra norske elekroleverandørers landsforening (NEL) har vi uarbeide

Detaljer

YF kapittel 3 Formler Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 3 Formler Løsninger til oppgavene i læreboka YF kapiel 3 Formler Løsninger il oppgavene i læreoka Oppgave 301 a E 0,15 l 0,15 50 375 Den årlige energiproduksjonen er 375 kwh. E 0,15 l 0,15 70 735 Den årlige energiproduksjonen er 735 kwh. Oppgave

Detaljer

Magne Holstad og Finn Erik L. Pettersen Hvordan reagerer strømforbruket i alminnelig forsyning på endringer i spotpris?

Magne Holstad og Finn Erik L. Pettersen Hvordan reagerer strømforbruket i alminnelig forsyning på endringer i spotpris? Rapporer 15/2011 Magne Holsad og Finn Erik L. Peersen Hvordan reagerer srømforbruke i alminnelig forsyning på endringer i spopris? Saisisk senralbyrå Saisics Norway Oslo Kongsvinger Rapporer I denne serien

Detaljer

Øving 1: Bevegelse. Vektorer. Enheter.

Øving 1: Bevegelse. Vektorer. Enheter. Lørdagsverksed i fysikk. Insiu for fysikk, NTNU. Høsen 007. Veiledning: 8. sepember kl :5 5:00. Øving : evegelse. Vekorer. Enheer. Oppgave a) Per løper 800 m på minuer og 40 sekunder. Hvor sor gjennomsnisfar

Detaljer

Løsningsforslag. Fag 6027 VVS-teknikk. Oppgave 1 (10%) Oppgave 2 (15%)

Løsningsforslag. Fag 6027 VVS-teknikk. Oppgave 1 (10%) Oppgave 2 (15%) Fag 67 VVS-eknikk Eksamen 8. mai 998 Løsningsforslag Oppgave (%) (NR = Normalreglemene, ekniske besemmelser,.ugave, 99) Nødvendig akareal som skal dreneres pr. aksluk faslegges, ofe avhengig av akes fallforhold.

Detaljer

Påvirker flytting boligprisene?

Påvirker flytting boligprisene? Påvirker flying boligprisene? Trond-Arne Borgersen Jørund Greibrokk Dag Einar Sommervoll Høgskolen i Øsfold Arbeidsrappor 2008:3 Online-versjon (pdf) Ugivelsessed: Halden De må ikke kopieres fra rapporen

Detaljer

t [0, t ]. Den er i bevegelse langs en bane. Med origo menes her nullpunktet

t [0, t ]. Den er i bevegelse langs en bane. Med origo menes her nullpunktet FAO 9 Forberedelse il skoleprøve Del Prakisk bruk av inegral Oppgave parikkelfar Hasigheen il en parikkel ved iden er gi ved v () = i m/min. Tiden er ( + ) + regne i min, for angivelse av posisjon. [,

Detaljer

Alkoholpolitikk. Samfunnsøkonomiske perspektiver på bruk av avgifter og reguleringstiltak, anvendt på Norge. Patrick B Ranheim.

Alkoholpolitikk. Samfunnsøkonomiske perspektiver på bruk av avgifter og reguleringstiltak, anvendt på Norge. Patrick B Ranheim. Alkoholpoliikk Samfunnsøkonomiske perspekiver på bruk av avgifer og reguleringsilak, anvend på Norge Parick B Ranheim Maseroppgave Maser of Philosophy in Environmenal and Developmen Economics UNIVERSITETET

Detaljer

Dokumentasjon av en ny relasjon for rammelånsrenten i KVARTS og MODAG

Dokumentasjon av en ny relasjon for rammelånsrenten i KVARTS og MODAG Noaer Documens 65/2012 Håvard Hungnes Dokumenasjon av en ny relasjon for rammelånsrenen i KVARTS og MODAG Noaer 65/2012 Håvard Hungnes Dokumenasjon av en ny relasjon for rammelånsrenen i KVARTS og MODAG

Detaljer

1 Innledning. 2 Organisering av kontantforsyningen. 3 Behov for å holde lager

1 Innledning. 2 Organisering av kontantforsyningen. 3 Behov for å holde lager Norges Banks lagersyring av konaner Knu Are Aasvei, konsulen i Finansmarkedsavdelingen, og Thomas Kjørsad, konsulen i Avdeling for konane bealingsmidler 1 For å kunne ivarea sin seddel- og mynforsyningsplik,

Detaljer

SNF-RAPPORT NR. 24/02. Strukturfond, strukturavgift og verdsetting av fartøy. Torbjørn Lorentzen Stein Ivar Steinshamn

SNF-RAPPORT NR. 24/02. Strukturfond, strukturavgift og verdsetting av fartøy. Torbjørn Lorentzen Stein Ivar Steinshamn SNF-RAPPORT NR. 24/2 Srukurfond, srukuravgif og verdseing av farøy av Torbjørn Lorenzen Sein Ivar Seinshamn SNF prosjek nr. 5638: Uredning av srukuravgif for fiskeflåen Prosjeke er finansier av Fiskerideparemene

Detaljer

Elgbeiteregistrering i Trysil og omegn 2005

Elgbeiteregistrering i Trysil og omegn 2005 Elgbeieregisrering i Trysil og omegn 2005 Fyresdal Næringshage 3870 Fyresdal Tlf: 35 06 77 00 Fax: 35 06 77 09 Epos: pos@fna.no Oppdragsgiver: Trysil og Engerdal Umarksråd Uarbeide av: -Lars Erik Gangsei

Detaljer

Styringsteknikk. Kraner med karakter. ABUS kransystemer målrettet krankjøring. setter ting i bevegelse. Kransystemer. t t v. max.

Styringsteknikk. Kraner med karakter. ABUS kransystemer målrettet krankjøring. setter ting i bevegelse. Kransystemer. t t v. max. Kraner med karaker max. 0 ABUS kransysemer målree krankjøring Syringseknikk Kransysemer seer ing i beegelse Konakorsyre moorer den raskese eien fra A il B Erfarne kranførere er forrolig med oppførselen

Detaljer

Om muligheten for å predikere norsk inflasjon ved hjelp av ARIMA-modeller

Om muligheten for å predikere norsk inflasjon ved hjelp av ARIMA-modeller Om muligheen for å predikere norsk inflasjon ved hjelp av ARIMA-modeller av Kjell-Arild Rein Hovedfagsoppgave i samfunnsøkonomi Våren Insiu for økonomi Universiee i Bergen . INNLEDNING.. LITTERATUR 3.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO De maemaisk-naurvienskapelige fakule Eksamen i INF3320 Meoder i grafisk daabehandling og diskre geomeri Eksamensdag: 2. desember 2009 Tid for eksamen: 14.30 17.30 Oppgavesee er på

Detaljer

Jernbaneverket. OVERBYGNING Kap.: 8 t Regler for prosjektering Utgitt:

Jernbaneverket. OVERBYGNING Kap.: 8 t Regler for prosjektering Utgitt: e Hovedkonore Helsveis spor Side: 1 av 5 1 HENSIKT OG OMFANG... 2 2 KRAV... 3 2.1 Hovedspor... 3 2.1.1 Varig ufesing... 3 2.1.2 Minse kurveradius... 3 2.1.3 Ballas... 3 2.1.4 Sviller... 3 2.1.4.1 Svilleype...

Detaljer

Valuta og valutamarked 1. Innhold

Valuta og valutamarked 1. Innhold Forelesningsnoa 12, 20. mars 2015 Valua og valuamarked 1 Innhold Valua og valuamarked...1 Valua og valuakurs...1 Realvaluakurs...2 Valuamarked og valuakursregimer...6 Eerspørsel og ilbud eer valua...7

Detaljer

Realkostnadsvekst i Forsvaret betydningen av innsatsfaktorenes substitusjonsmulighet

Realkostnadsvekst i Forsvaret betydningen av innsatsfaktorenes substitusjonsmulighet FFI-rappor 2011/02404 Realkosnadsveks i Forsvare beydningen av innsasfakorenes subsiusjonsmulighe Seinar Gulichsen og Karl R. Pedersen (SNF) Forsvares forskningsinsiu (FFI) 1. mars 2012 FFI-rappor 2011/02404

Detaljer

ARBEIDSGIVERPOLITISK PLATTFORM ÅS KOMMUNE

ARBEIDSGIVERPOLITISK PLATTFORM ÅS KOMMUNE RBEIDSGIVERPOLITISK PLTTFORM ÅS KOMMUNE MÅL, VERDIER OG STSNINGSOMRÅDER I ÅS KOMMUNES RBEIDSGIVERPOLITIKK 200 3 200 6 Dok ID Side av dminisrer av Godkjen av Dao Versjon 1 13 Brynhild Hovde Kommunesyre

Detaljer

En regnskapsbasert verdsettelse av Kongsberg Automotive

En regnskapsbasert verdsettelse av Kongsberg Automotive NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, høs 2007 Uredning i fordypnings-/spesialfagområde: Regnskap og økonomisk syring Veileder: Kjell Henry Knivsflå En regnskapsbaser verdseelse av Kongsberg Auomoive av Denne

Detaljer

Kredittilbudseffekter i boligettespørselen

Kredittilbudseffekter i boligettespørselen Krediilbudseffeker i boligeespørselen Trond Arne orgersen Karl Robersen Høgskolen i Øsfold Arbeidsrappor 2007:6 Online-versjon (pdf) Ugivelsessed: Halden De må ikke kopieres fra rapporen i srid med åndsverkloven

Detaljer

Bevegelse i én dimensjon

Bevegelse i én dimensjon Beegelse i én dimensjon 21.1.215 FYS-MEK 111 21.1.215 1 Lærebok kan henes på ekspedisjonskonore. Lenke il bealingsside: hp://www.uio.no/sudier/emner/mana/fys/fys-mek111/15/bok.hml FYS-MEK 111 21.1.215

Detaljer

Rundskriv 1/ Om beregning av inntektsrammer og kostnadsnorm til vedtak om inntektsramme 2011

Rundskriv 1/ Om beregning av inntektsrammer og kostnadsnorm til vedtak om inntektsramme 2011 Rundskriv 1/2012 bokmål Til: Omseningskonsesjonærer med inneksramme Fra: Seksjon for økonomisk regulering Ansvarlig: Tore Langse Dao: 1.2.2012 Saksnr.: NVE 201004797-13 Arkiv: Kopi: Middelhuns gae 29 Posboks

Detaljer

Ordrestrømsanalyse av valutakurser

Ordrestrømsanalyse av valutakurser Ordresrømsanalyse av valuakurser Dagfinn Rime, seniorrådgiver i Forskningsavdelingen i Norges Bank, og Elvira Sojli, dokorgradssuden ved Warwick Business School 1 Norges Bank har nylig sare innsamling

Detaljer

WORKING PAPER SERIES

WORKING PAPER SERIES ISSN 1503-299X WORKING PAPER SERIES No. 9/2003 SPORTSFISKE ETTER LAKS. EN BIOØKONOMISK ANALYSE. Rune Logsein Anders Skonhof Deparmen of Economics N-7491 Trondheim, Norway www.sv.nnu.no/iso/wp/wp.hm Laks0503

Detaljer

Verdsetting av fremtiden. Tidshorisont og diskonteringsrenter

Verdsetting av fremtiden. Tidshorisont og diskonteringsrenter concep Kåre P. Hagen Verdseing av fremiden. Tidshorison og diskoneringsrener Concep rappor Nr 27 concep concep Kåre P. Hagen Verdseing av fremiden. Tidshorison og diskoneringsrener Concep rappor Nr 27

Detaljer

Faktorer bak bankenes problemlån

Faktorer bak bankenes problemlån Fakorer bak bankenes problemlån Tor Oddvar Berge, seniorrådgiver, og Karine Godding Boye, konsulen, begge i Finansmarkedsavdelingen i Norges Bank 1 I denne analysen ser vi på hvilke makroøkonomiske fakorer

Detaljer

Ådne Cappelen, Arvid Raknerud og Marina Rybalka

Ådne Cappelen, Arvid Raknerud og Marina Rybalka 2007/36 Rapporer Repors Ådne Cappelen, Arvid Raknerud og Marina Rybalka Resulaer av SkaeFUNN paenering og innovasjoner Saisisk senralbyrå Saisics Norway Oslo Kongsvinger Rapporer Repors I denne serien

Detaljer

Vedlegg 1. Utledning av utbyttebrøken Eksempler på egenkapitaltransaksjoner med utbyttebrøk Tilbakeholdelse av overskudd

Vedlegg 1. Utledning av utbyttebrøken Eksempler på egenkapitaltransaksjoner med utbyttebrøk Tilbakeholdelse av overskudd Vedlegg. ledning av ubyebrøken...2 2. Eksempler på egenkapialransaksjoner med ubyebrøk...5 2. Tilbakeholdelse av overskudd...7 2.2 Emisjon...2 2.3 Erverv av egne grunnfondsbevis...6 2.4 Donasjon il grunnfonde

Detaljer

Newtons lover i to og tre dimensjoner 09.02.2015

Newtons lover i to og tre dimensjoner 09.02.2015 Newons loer i o og re dimensjoner 9..5 FYS-MEK 3..4 Innleering Oblig : på grunn a forsinkelse med deilry er frisen usa il onsdag,.., kl. Innleering Oblig : fris: mandag, 6.., kl. Mideiseksamen: 6. mars

Detaljer

Valuta og valutamarked 1

Valuta og valutamarked 1 Kapiel 14, sepember 2015 Valua og valuamarked 1 De flese land har sin egen pengeenhe, som norske kroner i Norge. Valua er penger fra e anne land, og valuakursen er prisen på valua mål i vår pengeenhe.

Detaljer

Infoskriv ETØ-4/2015 Om utrekning av inntektsrammer og kostnadsnorm for 2016

Infoskriv ETØ-4/2015 Om utrekning av inntektsrammer og kostnadsnorm for 2016 Infoskriv Til: Frå: Ansvarleg: Omsejingskonsesjonærar med inneksramme Seksjon for økonomisk regulering. Tore Langse Dao: Saksnr.: NVE 201500380-10 Arkiv: Kopi: Infoskriv ETØ-4/2015 Om urekning av inneksrammer

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4160 BØLGEFYSIKK Torsdag 9. august 2007 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4160 BØLGEFYSIKK Torsdag 9. august 2007 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig konak under eksamen: Jon Andreas Søvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4160 BØLGEFYSIKK

Detaljer

Funksjonslære Derivasjon Matematikk 2

Funksjonslære Derivasjon Matematikk 2 Funksjonslære Derivasjon Maemaikk 2 Avdeling for lærerudanning, Høgskolen i Vesfold 19 mars 2009 1 Innledning La f(x) være en funksjon, alså, en sørrelse som er avhengig av x De kan ofe være hensiksmessig

Detaljer

Marte Taylor Bye, og likestilling. Senter for kunnskap

Marte Taylor Bye, og likestilling. Senter for kunnskap Mare Taylor Bye, KUN Sener for kunnskap og likesilling 'i Sener for kunnskap og likesilling Prosjeke 'Familiegjenforene kvinner i disrike' har karlag siuasjonen for familiegjenforene kvinner i Namdalseid

Detaljer

Krefter og betinget bevegelser Arbeid og kinetisk energi 19.02.2013

Krefter og betinget bevegelser Arbeid og kinetisk energi 19.02.2013 Krefer og beinge beegelser Arbeid og kineisk energi 9..3 YS-MEK 9..3 obligaoriske innleeringer programmering er en esenlig del a oppgaen i kan ikke godkjenne en innleering uen programmering analyiske beregninger

Detaljer

Enkle kretser med kapasitans og spole- bruk av datalogging.

Enkle kretser med kapasitans og spole- bruk av datalogging. Laboraorieøvelse i FY3-Elekrisie og magneisme år 7 Fysisk Insiu, NTNU Enkle kreser med kapasians og spole- bruk av daalogging. Laboraorieoppgaver Oppgave -Spenning i kres a: Mål inngangsspenningen og spenningsfalle

Detaljer

Newtons lover i to og tre dimensjoner

Newtons lover i to og tre dimensjoner Newons loer i o og re dimensjoner 3..4 Innleering: på papir på ekspedisjonskonore: bruk forsiden elekronisk på froner én pdf fil nan på førse side egenerklæring med signaur innleeringsboks på ekspedisjon

Detaljer

Regnskapsanalyse og verdsettelse av Gresvig ASA

Regnskapsanalyse og verdsettelse av Gresvig ASA NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, høsen 2005 Siviløkonomuredning i fordypningsområde: Økonomisk Syring (BUS) Veileder: Knu Boye Regnskapsanalyse og verdseelse av Gresvig ASA Av Roger Linnerud Denne uredningen

Detaljer

Endringene i det norske pensjonssystemet, konsekvensene og den stille pensjonsreformen.

Endringene i det norske pensjonssystemet, konsekvensene og den stille pensjonsreformen. NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, vår 2007 Endringene i de norske pensjonssyseme, konsekvensene og den sille pensjonsreformen. Eer innføringen av obligaorisk jenesepensjon har anall omdanninger fra yelsespensjon

Detaljer

Bevegelse i én dimensjon

Bevegelse i én dimensjon Beegelse i én dimensjon 17.1.213 Forelesningsplan: hp://www.uio.no/sudier/emner/mana/fys/fys-mek111/13/plan213.hm FYS-MEK 111 17.1.213 1 Mekanikk Kinemaikk Dynamikk læren om beegelser uen å a hensyn il

Detaljer

Fører høy oljepris til økt oljeboring? * Guro Børnes Ringlund, Knut Einar Rosendahl og Terje Skjerpen

Fører høy oljepris til økt oljeboring? * Guro Børnes Ringlund, Knut Einar Rosendahl og Terje Skjerpen Økonomisk analyser 2/2004 Fører høy oljepris il øk oljeboring? Fører høy oljepris il øk oljeboring? * Guro Børnes Ringlund, Knu Einar Rosendahl og Terje Skjerpen Hvor lenge vil OPEC se seg jen med høye

Detaljer

Distriktsrådsmøte nr 1/10-11

Distriktsrådsmøte nr 1/10-11 1 c Ledermøe - Roarydisrik 2260 Disriksrådsmøe nr 1/10-11 19.8.2010 kl 1815-21.10 Sed: Mjerskaug, Enebakk Innkal av: DG Lena J. Mjerskaug Ordsyrer: DG Lena J. Mjerskaug Delakere: Forfall: Referen: Jan

Detaljer

Kromatografisk separasjon bygger på stoffers likevektsfordeling mellom en stasjonær fase og en mobil fase. A MP A SP. Likevektskoeffisienten er:

Kromatografisk separasjon bygger på stoffers likevektsfordeling mellom en stasjonær fase og en mobil fase. A MP A SP. Likevektskoeffisienten er: OPPSUEING FOELESNINGE UKE 35 Kromaografisk separasjon bygger på soffers likeveksfordeling mellom en sasjonær fase og en mobil fase. A P Likevekskoeffisienen er: A SP K = [ A] [ ] SP A Likeveksfordelingen

Detaljer

Er en Pareto-forbedrende pensjonsreform mulig?

Er en Pareto-forbedrende pensjonsreform mulig? i Maseroppgave for profesjonssudie Er en Pareo-forbedrende pensjonsreform mulig? Sigbjørn Aabø 9. november 2007 Økonomisk Insiu Universiee i Oslo ii Forord Jeg vil benye anledningen il å ree en sor akk

Detaljer

Bevegelse i én dimensjon (2)

Bevegelse i én dimensjon (2) Beegelse i én dimensjon () 5..6 Daa-lab i dag: Hjelp med Pyhon / Malab insallasjon Førse skri Oblig er lag u: hp://www.uio.no/sudier/emner/mana/fys/fys-mek/6/maeriale/maeriale6.hml Innleeringsfris: Tirsdag,

Detaljer

Spesiell relativitetsteori

Spesiell relativitetsteori Spesiell relaivieseori 6.05.06 FYS-MEK 0 6.05.06 Einseins posulaene. Fysikkens lover er de samme i alle inerialsysemer.. Lyshasigheen er den samme i alle inerialsysemer, og er uavhengig av observaørens

Detaljer

SNF-rapport nr. 12/05. Identifisering av realopsjonselementer innen UMTS markedet og irreversible investeringer under asymmetrisk duopol

SNF-rapport nr. 12/05. Identifisering av realopsjonselementer innen UMTS markedet og irreversible investeringer under asymmetrisk duopol Idenifisering av realopsjonselemener innen UMTS markede og irreversible inveseringer under asymmerisk duopol av Tor Olav Gabrielsen Eivind Thorseinsen SN-prosjek nr. 730 Verdseing med realopsjoner POGAMOMÅDET

Detaljer