Eksamen i STK4060/STK9060 Tidsrekker, våren 2006

Transkript

1 Eksamen i STK4060/STK9060 Tidsrekker, våren 2006 Besvarelsen av oppgavene nedenfor vil ugjøre de vesenlige grunnlage for karakergivningen, og ugangspunke for den munlige eksaminasjonen. De er meningen dere skal arbeide selvsendig med oppgavene, men de er selvfølgelig lov å snakke sammen. Frisen for innlevering er mandag 29. mai kl. 7. Besvarelsen sendes forrinnsvis som vedlegg (i.pdf forma) il en e-pos il eivind.damsleh@hydro.com, eller legges i min poshylle på vensre side i romme ved siden av Ekspedisjonen i 7. eg. N.H.Abels hus. Håndskrevene besvarelser er OK, såfrem de er grei leselige. Legg bare ved de delene av uskrifer som er nødvendig for å besvare oppgavene, og pass på a de går ydelig frem hvilke deler av uskrifene du refererer il. Lykke il! Eivind Damsleh - - Filen kpi.x inneholder 243 månedlige observasjoner av konsumprisindeksen (KP) fra Saisisk Senralbyrå (SSB), f.o.m. jan. 986.o.m. mars Daaene er også gi i vedlegg. a) denifiser en passende SAMA modell for disse daaene, og esimer modellens parameere. Argumener for de valgene som gjøres (Box-Cox ransformering, valg av differensiering, forslag il A og MA orden for de ordinære og sesongrelaere parameerne). b) Bruk modellen du har funne il å lage prognoser for KP for perioden jan mars 2006 (obs ) med ugangspunk i daaene.o.m. desember 2004 (obs. nr. 228). Finn også de ilhørende ca. 95 % konfidensinervallene for hver enkel prognoseverdi. Sammenlign med de fakiske verdiene fra samme periode. Konklusjon? Denne sammenligningen gir muligens e noe opimisisk bilde av modellens prognoseegenskaper. Hvorfor? c) KP-verdiene er gi med kun en desimal. Du kan ana a SSB benyer vanlige avrundingsregler. Ana a avrundingsfeilen er uniform fordel i inervalle <-0.05,0.05]. Hva blir da en nedre grense for sandardavvike il -skris prognosefeilen (= residual sandardavvik hvis du ikke har benye noen Box-Cox ransformasjon). X X d) En mulig definisjon av den årlige inflasjonen i Norge (i %) er: = 2 00%, hvor X 2 X er KP verdien for måned og er den prosenvise endring over de sise 2 måneder. Bemerk a såfrem den årlige inflasjonen er nær 0 gir en. ordens Taylor uvikling av X X 2 ln( ) = ln( + /00) a ln( ) 00% = ( B ) ln( X ) *00%. Vi kan berake X 2 X 2 ilnærmelsen som likhe i denne sammenheng. Dee kan være nyig i de følgende. Norges Bank har sa som si inflasjonsmål a den årlige inflasjonen skal være omlag 2.5%. den senere id har den vær beydelig lavere. Finn en passende SAMA modell for { }, enen ved å ulede den fra modellen du fan i deloppgave b) eller ved å idenifisere/esimere en egen modell for { }. Bruk daaene.o.m. mars 2006 il å lage en prognose for den årlige inflasjonen ved ugangen av desember 2006 og ved ugangen av desember 2007, med ilhørende ca. 95% konfidensinervall. Hva er (ca.) sannsynligheen for a Norges Bank når si inflasjonsmål, dvs. a inflasjonen blir > 2.5% på disse o idspunkene?

2 - 2 - en indusriell prosess blandes e anall forskjellige ørrsoffer eer en gi vekoppskrif i en blanderommel. Eer blanding ømmes rommelen, og resulae veies. Tømmeprosessen er ikke perfek, slik a de blir siende noe ørrsoff igjen i blanderommelen eer ømmingen. Denne resen blir så med i den nese fyllingen. Mengden av denne resen varierer fra fylling il fylling. Veiingen av inpumaerialene er behefe med målefeil. Måleusikkerheen (sandardavvike il målefeilen) for veieusyre er kjen. De er også målefeil i veiingen av sluproduke (resulae av blandeprosessen), også med kjen sandardavvik Bruk følgende noasjon: μ σ = Toal fakisk (korrek) vek innveid il fylling nr. (ikke observerbar) = Ønske oal innveid vek iflg. oppskrifen, slik a E = μ (kjen) = Toal veiefeil ved innveiing, slik a = μ = Sandardavvik for. (Kjen, beregne som roen av sum av varianser for de enkele veieprosessene) O = es i blanderommelen eer ømming av bach nr. (ikke observerbar) anas å følge en sasjonær A() prosess : ( μ ) = ϕ ( μ ) + hvor 2 WN(0, σ ). μ anas kjen. = Fakisk vek u fra fylling nr. (ikke observerbar), σ = Mål vek u fra fylling nr. (Observerbar). Måleprosessen er forvenningsre, slik a E( O ) = O = Målefeil ved resulamålingen, slik a = O = Sandardavvik for : σ = Sdv( O ) (kjen) Dynamikken i denne indusrielle prosessen kan da skrives: O = μ + = μ = O + + = ϕ( μ ) + + Denne indusrielle prosessen kan formuleres som en sae-space modell X = FX + V = GX + W med ilsandsvekor gi ved X =(,, O, ). () (2) a) Vis a μ F =, G = (0, 0,, 0), V = μ ( ϕ) μ 0 0 ( ϕ) ( ϕ) μ 0 0 ϕ og W =, og a (2) oppfyller kravene il en sae-space represenasjon. b) Hvilke beingelser må paramerene oppfylle for a denne sae-space represenasjonen skal være sabil (sable).

3 c) Forsøk å gi en uformell fysisk olkning av parameeren ϕ. Hva innebærer verdier nær +? Nær? Og nær 0? d) Den (uobserverbare) serien med fakisk oupu fra blandeprosessen, {O }, kan beskrives ved en AMA prosess. Finn denne prosessen, og se opp sammenhengen mellom paramerene i denne AMA prosessen og paramerene i sae-space represenasjonen. Hva skjer når ϕ? Og ϕ 0? e) Tilsvarende kan serien med de observere veiingene av resulae, { }, beskrives ved en AMA prosess. Hvilken? Og hva er nå sammenhengen mellom paramerene i denne AMA prosessen og paramerene i sae-space represenasjonen. f) Filen bach.x (innholde er også gi i vedlegg 2) inneholder 200 sekvensielle observasjoner fra { }. For disse daaene er: μ = 000, σ = 20, μ = 20 og σ = 20. denifiser en AMA modell for disse daaene, og esimer parameerne. hvilken grad er modellen konsisen med de du fan i deloppgave e)? Bruk resulaene fra e) il å finne esimaer for paramerene ϕ og σ.

4 Vedlegg : Kpi.x Konsumprisindeksen månedlig jan. 986 mars Jan Feb March April May June July Aug Sep Oc Nov Dec Jan Feb March April May June July Aug Sep Oc Nov Dec Jan Feb March April May June July Aug Sep Oc Nov Dec Jan Feb March April May June July Aug Sep Oc Nov Dec

5 Vedlegg 2: Bach.x 200 (syneiske) daa fra en indusriell blandeprosess