Rettede og Vektede Grafer. Rettede grafer (digraphs)

Transkript

1 Rtt o Vkt Grr I. GRAF II. GRAF TRAVERSERING III.GRAF ADT OG IMPLEMENTASJON IV. RETTEDE GRAFER (DIGRAPHS) trminoloi DiGrph ADT o implmntsjon DFS v igrph trnsitiv tillukkin DAG o topoloisk sortrin V. VEKTEDE GRAFER kortst sti minimlt utspnnn tr Kp. 9 (kursorisk 9.4.) Kp. (unttt..,....4,.) i-0 : H-9. Rtt o Vkt Grr: Rtt rr (igrphs) hvr knt (u, v) trkts som ornt (rttt) pr u v. (n ikk-rttt knt (u,v) = to rtt kntr u v o v u) smmnhnn r : t inns n sti mllom ll pr v nor sti: n skvns n, n... n k v nor slik t (n i,n i+) ε E sykl : nkl sti (hvr no n) mn n =n k kil / sluk : n no utn non innån / utån kntr oppnåli : n no v kn nås r u rsom t inns n rttt sti m n =u o n k =v (ikk ) strkt smmnhnn : hvr no u r oppnåli r hvr nnn no v rttt sykl : rttt nkl sti (hvr no n) m n =n k DAG : rttt, syklisk r inn (rtt) syklr trnsitiv tillukin G* v G : V*=V o n knt u v hvis G hr n sti r u til v Er v oppnåli r u? Finn ll v oppnåli r u. Er G strkt smmnhnn? Er G syklisk? Finn trnsitiv tillukin til G. i-0 : H-9. Rtt o Vkt Grr:

2 DiGr ADT // hr kun rtt kntr puli intr DiGrph xtns Grph { // int numes(); // int numvrtis(); /** hvr no hr å inn- o utkntr */ int indr(position v); int outdr(position v); PosSqun inininte(position v); PosSqun outininte(position v); /** no nor til v kn li på inn- llr utkntr */ PosSqun inajntv(position v); PosSqun outajntv(position v); /** kntr hr mål o kil nor */ Position stintion(position ); Position oriin(position ); // Opptrin: /** n ny knt rttt r v til u, m Ojt o */ // Position insrte(position v, Position u, Ojt o); // Position insrtv(ojt o); // Ojt rmove(position ); /** jrn v o ll ns ut-/innkntr */ // Ojt rmovv(position v); /** rtt kntn mot v */ voi stdirtionto(position, Position v); /** snu kntn i motstt rtnin */ voi rvrs(position ); } //r(v) //ininte(v) //jntv(v) //nv() //opposit(v,) i-0 : H-9. Rtt o Vkt Grr: Implmntsjon v DiGrph Knt-List k m k m k m k m k m k m k m Smlin kntr No-List Smlin nor k m 4 7 Smlin kntr Smlin nor No-Mtris x Smlin kntr 4 4 Smlin nor 7 i-0 : H-9. Rtt o Vkt Grr: 4

3 DFS på rttt r DFS(u) mrk u or hvr knt =(u,v) // rttt! i (! mrk-t v ) mrk rø DFS(v) 9. (9.) DFS trvrsrin v n rttt r G r n no s: ) søkr ll nor oppnåli r s ) ir t utspnnn, så klt DFS, tr or ln oppnåli r s Kntr r G som ikk r m i DFS kn ls i tr ruppr: rm-kntr r v til n ttrølr no i DFS k-kntr r v til n orjnr no i DFS kryss-kntr r v til n urltrt no i DFS Kn i n sko slv om rn r smmnhnn DFS på rttt r ir opphv til O(n+k) loritm or å : inn n lr oppnåli r n itt no smt, v itrsjon ovr ll nor, O(n(n+k)) loritmr or å : vjør om G r strkt smmnhnn; (muli oså i O(n+k)) l trnsitiv tillukin G* v G k (BFS or rtt rr hr tilsvrn nskpr til BFS or ikk-rtt rr (ttrltr kun k- o kryss-kntr)) i-0 : H-9. Rtt o Vkt Grr: O(DFS) oprsjon Knt-List No-List No-Mtris PosSmlin siz isempty lmnts n+k n+k n+k positions n+k n+k n+k rpl, swp (i)grph vrtis/s n/k n/k n/k nv, opposit, r... ininte, jntv k (v) n rajnt k min (v, u) insrte insrtv n rmove rmovv k (v) n DFS(u) // mulins n rkursiv kll mrk u or hvr knt ε ininte(u) v = opposit(u,) i (! mrkt(v) )... DFS(v) DFS n * k n + k n * n hvis G r ttt: k = O(n ) n n n i-0 : H-9. Rtt o Vkt Grr:

4 Trnsitiv tillukin TC(Grph G) O(n * DFS) or hvr no v ε V DFS (v) l til knt (v,u) or hvr søkt no no knt til lt til Knt List O(n * k) No List O(n + nk) No Mtris O(n ) FloyWrshll(Grph G) O(n * rajnt) numrr V : v,v,...,v n (vilkårli) G 0 = G or i =,,...,n G k = G k- or hvr,, i i G k-.rajnt(v,v i )og k-.rajnt(v i,v ) l (v,v ) til G k 4 G = G 0 = {,,,,,, } G = G {, } G = G { } () G = G { } G = G {,, } () G = G Knt List O(n * k) No List O(n * ) No Mtris O(n ) i-0 : H-9. Rtt o Vkt Grr: 7 DAG rttt syklisk r rv i t OO-språk orkrv til kurs plnlin v vhni ktivittr Topoloisk ornin v n DiGrph G r n numrrin v nor v,v...v n slik t hvis (v i,v j ) ε E så i < j. (rm, hvis t inns n sti v i... v j så i < j) DiGrph kn sortrs topoloisk hvis o r hvis n r syklisk. Quu TS(DiGrph G) Q, R = mpty Quu or hvr no v ε V in(v) = G.inDr(v) i (in(v)==0) Q.nquu(v) whil (! Q.isEmpty() ) h = Q.quu() or hvr v ε G.outAjntV(h) in(v) = in(v) i (in(v)==0) Q.nquu(v) R.nquu(h) rturn R 0 R Q ø 0 x 0 0 x 0 x 0 x x x 0 0 x x x x 0 0 O(nk), O(n+k), O(n ) plss-hov O(n) 9. Er rn syklisk vil TS rturnr n kt lmn v nor. -> TS ir n O(n+k) loritm or å s om n DiGrph r syklisk i-0 : H-9. Rtt o Vkt Grr:

5 Vkt Grr n r r hvr knt hr t vkt-ttriutt vktr skl vær TO (typisk hltll) o mn sinr n Comprtor or smmnliknin v kntr mht. vkt NETTVERK KAPASITET 4 AVSTAND I till til vnli r-prolmr, spør mn i orinls m vkt rr hv r kortst sti r u til v? hv r minst utspnnn tr?... minst/kortst/illist...? n m 7 w s puli intr VGrph xtns Grph // puli intr ViGrph xtns DiGrph { Ojt vkt(position ); voi stvkt(position, Ojkt k); } Implmntsjon r n rtt-rm utvils v tilsv. implmntsjon v (i)grph r Knt-Posisjonr lrr vkt-ojktr i-0 : H-9. Rtt o Vkt Grr: 9 Kortst sti (sinl-sour shortst-pths) : vkt() 0...BFS Finn kortst sti r til ll / n no(r) initilisr D()=0 o D(v)= or ll v stt ll nor i n PrQuu Q mht. D whil (! Q.isEmpty() ) v = Q.rmMin() // Gry or hvr z ε G.outAjntV(v) i ( D(v)+vkt(v,z) < D(z) ) D(z)= D(v) + vkt(v,z) opptr Q (z kn å ny plss) i-0 : H-9. Rtt o Vkt Grr:

6 Dijkstr s SS-SP. initilisr D()=0 o D(v)= or ll v. stt ll nor i n PrQuu Q mht. D // LI. whil (! Q.isEmpty() ) // LI 4. v = Q.rmMin(). or hvr z ε G.outAjntV(v) // N-L. i ( D(v)+vkt(v,z) < D(z) ) D(z)= D(v) + vkt(v,z) 7. opptr Q (z kn å ny plss) // LI // hp+ LI : ll nor x som hr litt jrnt r Q hr D(x) = (,x) holr ør innnn sin inn no l jrnt. or å vis t n opprtthols i løkkn, må vis t n holr ttr 4.. V 4. r D(v) = (,v) lnn v kortst sti r til v. ) Ant ikk o l v vær n ørst no or hvilkn D(v) > (,v) v 4. ) Dvs. kortst sti P v r kortr nn D(v) ) L z vær ørst non på P som ortstt r i Q ((,v) = (,z)+(z,v)) ) o l y vær z s umilr orjnr på P m k = (y,z) ) ) D(y) = (,y) 4. k z Q y ) ) D(z) D(y) + vkt(k) = (,y) + vkt(k) sin k=(y,z) r m i kortst sti P v, inns t ikk n kortr sti z nn h) (,z) = D(y) + vkt(k) = D(z) Mn : D(v) D(z) = h (,z) (,z) + (z,v) = (,v) motsir ) D(v) > (,v) P v 4. ) D(v) D(z) or N-L/hp hr vi totlt n+k itrsjonr á lo n opptrin (inn i hp!): O((n+k)lo n) i-0 : H-9. Rtt o Vkt Grr: MST Gitt vstnr mllom orskjlli yr, strk lninn slik t. hvr pr v yr r kolt smmn (n sti) o. totl ln v rukt lnin r miniml 9. utspnnn tr: DFS llr BFS (O(n+k))....? Finn ll muli o smmnlikn rs vktr on t vn think out it!. L G=(V,E) vær vktt o smmnhnn o V, V vær n prtisjonrin v V (V V = Ø o V V = V). L M vær n lmn v E v ll kntr m n n i V o nr i V o l = min(m). Dt inns n MST som innholr. Brunnls : En MST må in smmn V o V m n knt k : v() v(k). Lr vi til n knt, år vi n sykl mn kun på ormn k V V. Fjrnr vi k år vi t tr m høyst smm vkt, vs t MST. Drm: hr ll kntr orskjlli vktr, r MST ntyi stmt 9 V M V i-0 : H-9. Rtt o Vkt Grr:

7 Kruskl(Grph G=(V,E)) // smmnhnn, vktt or hvr v ε V : C(v) = {v} Q = PrQuu m ll kntr mht. vkt T = Ø // LI whil (! Q.isEmpty() ) // LI (v,u) = Q.rmMin(); // Gry i C(v)!= C(u) l (v,u) til T C(v) = C(u) = C(v) C(u) // LI LI: T innholr nøykti MST v or hvr C(v) ør innnn i løkk - trivilt runn hvis C(v) == C(u) : vkt(v,u) vkt(k) or ll k i C(v) hvis C(v)!= C(u) :. O(n + k lo k + k *( lo k + C(v)!= C(u) + C(v) C(u) ) ) Kruskl loritm MST i-0 : H-9. Rtt o Vkt Grr: Q= (,) Q= (,) Q= (,) Q= (,) Q= (,) Q= (,) Implmntsjon v Kruskl Kruskl(Grph G=(V,E)) or hvr v ε V C(v) = {v} n + Q = PrQuu m ll kntr mht. vkt k * lo k T = Ø + whil (! Q.isEmpty() ) k * ( (v,u) = Q.rmMin(); lo k + i C(v)!= C(u).??? l (v,u) til T + C(v) = C(u) = C(v) C(u).??? ) Hvr C(v) r n skvns hvrt lmnt hr n pkr til ns ho : A C() = C() = C(). C() == C() r O() B. C() C() A r O(min(C(),C()) O(n + k * lo k + k * lo(k + n)) = O(n + k* lo(k+n) ) (C(v) C(u)) utørs inntil ll n nor r i smm C(i) O(n + k * lo k + k * lo k + n) = O( n + k * lo k ).. k (n n)/ n : lo k lo n = O(lo n)... O(k lo n) i-0 : H-9. Rtt o Vkt Grr: 4