Grafer. i-120 : H Grafer: 1. En graf G

Transkript

1 Grr I. GRF inisjon trminologi II. GRF TRVERSERING FS FS III.GRF T OG IMPLEMENTSJON Knt-List og No-List No-Mtris IV. RETTEE GRFER (IGRPHS) V. VEKTEE GRFER Kp. 9 (kursorisk 9.4.5) Kp.10 (unttt , , 10.3) i-120 : H Grr: 1 En gr G r gitt to mngr (E,V) V nor E kntr r n knt ε E r t (uornt) pr (u,) nor u, ε V V = {,,,,, } E = { (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,) } { (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,) } En gr r rttt (igr) rsom i trktr hr knt (u,) som ornt pr u E = { (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,) } E = { (,), (,), (,s), (,), (,), (,), (,) } (En (ikk-rttt) gr kn ss som n rttt gr r or hrt pr u, ε V: his u ε E, så også u ε E.) En mng V m n inær rlsjon E tilsrr n (rttt) gr (V,E) r rlsjonn E symmtrisk, kn i trkt n som n ikk-rttt gr. i-120 : H Grr: 2

2 nnlsr... I. INÆRE RELSJONER II. TRÆR III. NETTVERK IV. PLNLEGGING stå opp spis ls gå tnk so orl. spis rikk so V. FORINELSER n m w F E X s E F X... i-120 : H Grr: 3 Gr trminologi no nor : orunt m n knt -, - grn til n no : ntll no nor (kntr) g()=3, g()=0 g( ) = 2( # kntr ) V inngr/utgr : ntll innkommn/utgån kntr (rtt grr) sti: n skns n 1, n 2... n k nor slik t (n i,n i+1 ) ε E,,, nkl sti : ingn no orkommr 2 gngr sykl : nkl sti mn n 1 =n k smmnhngn gr : t inns n sti mllom ll pr nor lgr : n lmng V og E som r n gr smmnhngn komponnt : n mksiml smmnhngn lgr kompltt gr : or hr pr nor u, ε V, inns t n knt (u,) ε E g h (ikk-rott) tr : smmnhngn gr utn syklr utspnnn tr or n gr G : n lgr G som r t tr og innholr ll G s nor skog : smling trær G : rttt gr utn syklr (irt yli grph) i-120 : H Grr: 4

3 n = # nor, k = # kntr 1. Tlling nor og kntr ) Litt om smmnhngr... G r kompltt his og r his hr no hr (n-1) nor : s. k = 1/2 * V g( ) = 1/2 * n * (n-1) n =5 k =10 G ikk kompltt hiss k < 1/2 * n * (n-1) His G r t tr så k = n-1 n =5 k =4 - t minimlt ntll kntr som kn lg n smmnhngn gr n nor - jrning n ilkårlig knt, gjør grn usmmnhngn His k < n-1 så r ikk G smmnhngn mn ikk omnt!!! n =10 k =20 > 9 i-120 : H Grr: 5 1.) Knts spsring og Eulrs tur Königsrg Prgl Knt : Kn jg kryss hr ro nøyktig én gng og rturnr til utgngspunktt? Eulr (1736) : Ni og jg kn is t.hj.. grr! Tilltt grr m lr kntr mllom to nor. (multigrr) Eulrs tur : n sti som trrsrr hr knt nøyktig én gng og rturnrr til strtno Eulrs torm : En gr G hr n Eulrs tur his og r his grn til nhr no r t prtll O(n+k) Hmiltonsk : n nkl sykl som trrsrr hr no sykl nøyktig n gng O(n!) i-120 : H Grr: 6

4 rins (t)rå Minos : Fin, Thsus, ut you must irst in n kill Minotur hiing in th Lirynth. Thsus : I m goo t killing ut how th hk m I going to in it n thn gt out o thr? rin : (sh lt in lo with Thsus in th mntim...) T nn trån og st n inngngn til Liryntn. (k) Hr gng u kommr til t kryss u, mrk u isit. (r) Vlg n ilkårlig i mrk n og ølg mn r trån ttr g Når u så kommr til t nytt kryss : rsom t r n lin gt, gå tilk lngs trån (nøst n igjn) t kryss mrkt isit, gå tilk lngs trån (nøst n igjn) t umrkt kryss, gjnt t hl (k) Ettr hrt il ll ir (r) r krysst u li mrkt gå tilk lngs trån til orrig krysst og ortstt å utorsk umrk ir rr. u il på n måtn kunn utorsk hl liryntn og rturnr til inngngn horus : Smrt Girl! i-120 : H Grr: 7 2.) Gr trrsring ) FS ) FS T1 T2 Tn T1 T2 Tn x y z E E u w ø F y w F z u x ø y w E F z u x ø FS(u) mrk u or hr knt =(u,) i (! mrkt ) //! r rø mrk rø FS() ls mrk srt x y z u w ø F Kntr mrkt m rø unr FS trrsring gir t utspnnn tr or grn rotn til trt kn lgs ilkårlig! i-120 : H Grr: 8

5 FS gr trrsring 9.12 FS trrsring n ikk-rttt gr G r n no s: ) søkr ll nor i n smmnhngn komponnt til s ) rø kntr gir t utspnnn tr, klt FS tr, or smmnhngn komponntn til s grunnls : ) nt, kontrpositit, t t inns n usøkt no. Sin komponntn r smmnhngn, inns t n sti r s til nhr nnn no, så nt t r n ørst usøkt non på n sti : FS(u) mrk u or hr knt =(u,) i (! mrk-t ) mrk rø FS() r n ørst slik, inns t n no no u ( lik ør ) som l søkt Mn mns i søkt u mått i også h stt på kntn (u,) og, sin ikk r mrkt, mått n h litt søkt. ) Vi mrkr kntr (u,) kun når i går til nnon or ørst gng ror nnr i lri n sykl i årn syklisk gr, s. t tr Trt r utspnnn ori ll komponntns nor r m () Kjørti FS: FS klls 1 gng or hr no og sr hr knt 2 gngr: O(n s +k s ) his gitt n knt, kn mn ksssr ns n-nor i mrking nor/kntr og sjkking om r mrkt tr or hr no, kn ll ns kntr ksssr 1 gng i O(k()) FS kn ruks or å lg O(n+k) lgoritmr or å : sjkk om G r smmnhngn og inn smmnhngn komponntr inn utspnnn tr or G sjkk om t inns n sti mllom to nor; sjkk om G innholr syklr i-120 : H Grr: 9 2.) FS gr trrsring H r lngn kortst i r til P? ) ) ) ) ) i-120 : H Grr: 10

6 Tr FS /*FS(Tr T, Position ) * Stk S = nw Stk() * S.push() * whil (!S.isEmpty()) * p= S.pop() * or h p s hil * S.push() */ Tr FS /*FS(Tr T, Position ) * Quu S = nw Quu() * S.nquu() * whil (!S.isEmpty()) * p= S.quu() * or h p s hil * S.nquu() */ Grph FS // initilt r ll nor umrkt FS trrsring n ikk-rttt gr G r n no s: ) søkr ll nor i n smmnhngn komponnt til s ) rø kntr nnr t utspnnn tr, så klt FS tr, or G ) kortst stin r s til hr no på niå i hr i kntr og nhr nnn sti hr minst i kntr ) r ikk knt (u,) m i FS tr, så r niå orskjlln mllom u og høyst 1 2.) FS gr trrsring FS(Grph G, Position ) Quu S = nw Quu() mrk(, 0) mrkr m niå S.nquu() whil (!S.isEmpty()) p= S.quu() or h knt =(p,) i (! mrk()) mrk(, p.mrk+1) mrk(, rø) S.nquu() FS gir opph til O(n+k) lgoritmr or å sjkk om G r smmnhngn inn smmnhngn komponntr i G inn utspnnn tr or G rgn minimlt ntll kntr mllom to nor (kortst sti) i-120 : H Grr: 11 // Nor og kntr r Position puli intr Grph xtns PosSmling { int numvrtis(); int numegs(); Enumrtion rtis(); Enumrtion gs(); int gr(position ); n no-position no nor */ PosSqun jntv(position ); // Enumrtion int siz(); ooln isempty(); Enumrtion lmnts(); Gr T Enumrtion positions(); oi swp(position p, Position q); Ojt rpl(position p, Ojt o); n no-position kntr til/r non */ PosSqun ininte(position ); // Enumrtion n no-position n knt-position non i motstt nn */ Position opposit(position, Position ); n knt-position rry m to nor i nn */ Position[] nv(position ); to no-position tru hiss t inns n knt (,u) */ ooln rjnt(position, Position u); // Opptring: /** stt inn og rturnr n ny knt (,u) m Ojt o;, u r i no-mng r ør */ Position insrte(position, Position u, Ojt o); /** stt inn og rturnr n ny isolrt no m Ojt o */ Position insrtv(ojt o); /** rturnr ojktt lgrt i no ; jrn smt ll kntr til nn*/ Ojt rmov(position ); Ojt rmoe(position ); } i-120 : H Grr: 12

7 Implmntsjon Grph 1) Knt-List nv(), opposit(,), gr()... insrtv(o), insrte(o,,u), rmoe()... ininte(), jnt(), rjnt(,u)... rmov()... Smling kntr Smling nor plss orruk O(k+n) PosSmling kntr PosSmling nor i-120 : H Grr: 13 1) Knt-List S lss KLNo implmnts Position { prott Ojt lm; prott Smling s; prott int gr=0; puli KLNo(Ojt o, Smling ns) { lm = o; s= ns;} puli int gr() { rturn gr; } puli oi ingr() { gr++; }... } lss KLEg implmnts Position { prott Ojt lm; prott Smling s; prott KLNo[] ns=nw KLNo[2]; puli KLEg(Ojt o,klno,klno,smling n) { lm=o; ns[0]=; ns[1]=; s=n; } puli Position[] nv() { rturn ns; } puli ooln hs(position ) { rturn (ns[0]== ns[1]==) ; }... } lss GrphKL implmnts Grph { prit PosSmling nor= nw???, PosSqun kntr= nw???; RnkSqun numrrt prit int non= 0, noe= 0; itionry signiiknt nøkkl puli Position insrtv(ojt o) { KLNo n= nw KLNo(o, nor); ((???)nor).insrt(n); non++; rturn n; } puli Position insrte(position, Position u, Ojt o) { KLEg = nw KLEg(o, (KLNo), (KLNo)u, kntr); ((KLNo)).ingr(); ((KLNo)u).ingr(); ((???)kntr).insrt(); noe++; rturn ; } puli Ojt rmov(position ) { gå gjnnom kntr og jrn hr knt slik t.hs() ((???)nor).rmo(); nov--; } puli PosSqun jntv(position ) { gå gjnnom kntr og t m hr kt slik t.hs()} puli int gr(position ) {rturn ((KLNo)).gr();}... } i-120 : H Grr: 14

8 puli lss GrphKL implmnts Grph { prit PosSqun kntr = nw??? ; prit int noe = 0; puli int numegs() { rturn noe; } lss KLEg implmnts Position { prott Ojt lm; prott Smling s; prott KLNo[] ns=nw KLNo[2]; puli KLEg (Ojt o,klno,klno,smling n) { lm=o; ns[0]=; ns[1]=; s=n; } puli Position[] nv() { rturn ns; } puli ooln hs(position ) { rturn (ns[0]== ns[1]==) ; }... } prit PosSqun nor = nw??? ; prit int nov = 0; puli int numvrtis() { rturn nov; } lss KLNo implmnts Position { prott Ojt lm; prott Smling s; prott int gr=0; puli KLNo(Ojt o, Smling ns) { lm = o; s= ns;} puli int gr() { rturn gr; } puli oi ingr() { gr++; }... } i-120 : H Grr: 15 Position p KLEg lm() KLNo Position p lm() prit ooln rno(position ) { i (==null) rturn ls; ls i ( instno KLNo) rturn.smling() == nor; ls rturn ls; } // p r n Position r skns nor prit KLNo not(position p) { rturn (KLNo)p.lm(); } // r n KLNo prit Position nisq(position ) { Position p = nor. irst(); ooln nt = ls; whil (!nt) { i (p.lm() == ) nt=tru; ls p = nor. tr(p); } th(lstpos x) { p= null; } rturn p; } O(n)/ prit ooln rknt(position ) { i (==null) rturn ls; ls i ( instno KLEg) rturn.smling() == kntr; ls rturn ls; } // p r n Position r skns kntr prit KLEg gt(position p) { rturn (KLEg)p.lm(); } // r n KLEg prit Position isq(position ) { Position p = kntr. irst(); ooln nt = ls; whil (!nt) { i (p.lm() == ) nt=tru; ls p = kntr. tr(p); } th(lstpos x) { p= null; } rturn p; } / i-120 : H Grr: 16

9 ... puli Position insrtv(ojt o) { nov++; rturn not( nor. insrtfirst(nw KLNo(o, nor)) ) ; } puli Position insrte(position, Position u, Ojt o) throws InliPos, EgExists { i (!rno()!rno(u)) throw nw InliPos( nor ikk i grn ); i (rjnt(, u)) throw nw EgExists( nor hr n knt ); ls { KLEg = nw KLEg(o, (KLNo), (KLNo)u, kntr); ((KLNo)).ingr(); ((KLNo)u).ingr(); kntr. insrtfirst(); noe++; rturn ; } puli Ojt rmoe(position ) { i (rknt()) { Ojt r =.lm(); noe--; kntr.rmo(isq()); rturn r; } ls rturn null; } puli Ojt rmov(position ) { i (!rno()) rturn null; ls { Ojt r =.lm(); Position p = kntr. irst() ; whil (tru) { KLEg = gt(p); i (.hs()) { ((KLNo) opposit(,)). gr(); kntr.rmo(p); } ls p = kntr.tr(p) ; } th(lstpos ) { nor. rmo(nisq()); nov--; } rturn r; } } puli Position opposit(position, Position ) { i (!rno()!rknt()) throw nw InliPos( ikk i grn ); KLEg = (KLEg) ; Position r = null; i (.nv[0]==) r =.nv[1]; ls i (.nv[1]==) r =.nv[0]; rturn r; }!!!! O(n) i-120 : H Grr: 17 puli PosSqun ininte(position ) { i (rno()) { PosSqun S = nw??? ; Position p = kntr. irst() ; whil (tru) { KLEg = gt(p); i (.hs()) S.insrtLst(); p = kntr. tr(p) ; } th(lstpos x) { } rturn S; } ls throw nw InliPos( ikk i grn ); } puli PosSqun jntv(position ) { i (rno()) { PosSqun S = nw??? ; Position p = kntr. irst() ; whil (tru) { KLEg = gt(p); i (.hs()) S.insrtLst(opposit(,)); p = kntr. tr(p) ; } th(lstpos x) { } rturn S; } ls throw nw InliPos( ikk i grn ); } puli ooln rjnt(position, Position u) { i (rno() && rno(u)) { ooln r = ls; Position p = kntr.irst() ; whil (!r) { KLEg = gt(p); i (.hs() &&.hs(u)) { r= tru; } ls p = kntr.tr(p) ; } th(lstpos x) { } rturn r; } ls throw nw InliPos( ikk i grn ); } puli Position[] nv(position ) { i (rknt()) rturn ((KLEg)).nV(); ls throw nw InliPos( ); } puli int gr(position ) { i (rno()) rturn ((KLNo)).gr(); ls throw nw InliPos( ); } i-120 : H Grr: 18

10 Implmntsjon Grph 2) No-List S r som Knt-List mn i tillgg hr no hr n smling I() m sin (inint) kntr ( hr knt (u,) holr n rrns til sin posisjon i I() og I(u) ) Smling kntr Smling nor nv(), opposit(,), gr()... insrtv(o), insrte(o,,u), rmoe()... ininte(), jnt()... O(g()) rjnt(,u)... O(min{g(),g(u)}) rmov()... O(g()) plss orruk O(k+n) I() r typisk implmntrt som Squn (ot innholr n r nor, r t ikk trngs nnn knt-inormsjon) i-120 : H Grr: 19 Implmntsjon Grph 3) No-Mtris S Enumrr ll nor r 0...n-1: i n n x n mtris [i][j] == (tru) hiss G hr n knt =(i,j) [i][j] == null (ls) hiss G ikk hr n knt (i,j) Smling kntr Smling nor 7 nv(), opposit(,), gr()... insrte(o,,u), rmoe()... rmoe(,u) ininte(), jnt()... O(n) O(g()) rjnt(,u)... O(g(,u)) insrtv(o), rmov()... O(n 2 ) O(g()) plss orruk O(n 2 ) Utmrkt or stil, nstn kompltt grr (ikk or trrsring)! i-120 : H Grr: 20