INF 3/ oktober Fra kap 10 : Dybde-først og branch-and-bound søk Fra kap 23: A*-søk

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "INF 3/ oktober Fra kap 10 : Dybde-først og branch-and-bound søk Fra kap 23: A*-søk"

Transkript

1 INF 3/ oktor 2006 Dgns: Kpittl 10 og 23 i hovok Fr kp 10 : Dy-først og rnh-n-oun søk Fr kp 23: A*-søk Olig 2 hr liggt ut n stun. Frist 27 oktor. Konkurrns: Kommr i løpt v n uk (15-spill?) Frist. 20 novmr Forlsning nst uk: Dino Krg strtr om NP-komplttht, uvgjørrht, t. NB: På rommt Alf-Omg i 4. tsj (NR) 1 Søk i tilstnsrom Kp 10: Hrfr skl vi minn om (fr INF 1020) Bktring lgorithms y først søk i tilstnsrommt Trngr lit lgrplss Brnh n oun (l knskj ikk klt t i INF 1020?) Br først søk, m vrintr Trngr my plss: Må hol i lgrt ll nor (tilstnr) som r stt, mn som ikk r sturt Vrintr: Kn f.ks. gi hvr no n lovn-ht, og gå vir lngs n non som r mst lovn (huristikk). Dtstruktur: Priorittskø, liknr på Dijkstrs kortst vi Et ltrntiv til å gjør rnt r-først-søk (ikk i ok): Gjør y-først-søk til nivå 1, så nytt søk til nivå 2, osv. Om t r stor forgrningsfktor tr ikk tt så my mr ti nn vnlig r-først Og t krvr my minr plss Kp 23: Hrfr skl vi t om A*-søk. Liknr my på rnh-n-oun m priorittskø Mn om vi sttr viss krv til huristikkn, så får vi n lgoritm lis Dijkstrs Kortst vi -lgoritm

2 Mollr for vgjørlssskvnsr Dt r flr måtr å mollr vgjørlssskvnsr for t gitt prolm Gitt mollringsmåt: D mulig skvnsn nnr t tr Eksmpl, finn mulig Hmiltonin Cyl (innom ll non én og r én gng): Hmiltonin Cyl Hr opplgt ingn Hmiltonin Cyl To måtr å mollr tt på: Strt vi i tilflig no og forlng vin på ll mulig måtr Mulig vlg i stgt i lgoritmn: All kntr (ut fr sist vi-no så lngt) som ikk går tilk til llr rukt no. Strt m n knt, og lgg stig til n knt til: Mulig vlg i stgt i lgoritmn: All ikkvlgt kntr som gjør t ll smmnhngn komponntn v vlgt kntr frmls forlir nkl vir Førr til forskjllig stt sp tr = tilstnsrom-trt Prolm stt : Tilstnr r n l vlg r gjort Gol stts : Dt gjort t ntll vlg, og vi står m n løsning. Mollr for vgjørlssskvnsr Tr-struktur ut fr først moll: Vlg n no og forlng vin fr nn på ll mulig måtr Mulig vlg i stgt i lgoritmn: All kntr (ut fr sist vi-no så lngt) som ikk går tilk til llr rukt no. -

3 Mollr for vgjørlssskvnsr Tilstns-tr ut fr nr molln: Strt m n knt, og lgg stig til n knt til: Mulig vlg i stgt i lgoritmn: All ikkvlgt kntr som gjør t ll smmnhngn komponntn v vlgt kntr frmls forlir nkl vir C B D F G A E B C G D A E F G - B C D E F G E Forskjllig mollr kn gi r/årligr mulightr for vskjæring. Eksmplr fr ok: Figur 10.3 og 10.4 (Sust sum) Si 719 (8-spill, litn utgv v 15-spill) Dy-først søk/tilksporing Gjnnomsøkr tilstnsroms-trt y-først, til vi kommr til n måltilstn Brukr grist n rkursiv prosyr, som hr slv prolmstillingn som glol t. Tr litn plss: Holr r non mllom rotn og n non mn r i Kn ruk huristikk til å først vlg mst lovn vi ut v n non vi nå står i (f.ks. nærmst-knt-først, om mn vil finn kortst Hm. Cyl). Må ruk vskjæring så got som mulig (pruning, ouning): Ikk gå n i sutrær som umulig kn innhol n mål-tilstn. Hr: Kn vær lur F.ks.: Når mn hr vlgt, og, kn mn s t ll tilk-kntr til r sprrt, og t tt ikk kn før til n Hm. Cyl.

4 Brnh n oun Brukr n llr nnn form for r-først-søk Blir n mng v nor som ok kllr Liv Nos Dtt r som r stt, mn ikk fulgt opp. NB: Kn li stor! Liv nos vil vær t snitt gjnnom tilstnsrom-trt (grønn) All ovr (nærmr rotn) r mn frig m (lå) All unr r ikk stt n (gul) Stgt: Vlg n no N fr mngn LivNos Er N n mål-no? Om j: Frig! Om ni: T N ut v livnos -køn Stt ll N s rn inn i Liv Nos -køn Tr strtgir: LN-mngn r n FIFO-kø Ekt r først LN-mngn r n LIFO-kø Liknr på y-først LN-mngn r prioritskø, m n psslig huristikk som prioritt (hvor lovn r non) Liknr my på A*-søk (kommr) Kn slvfølglig også ruk trisjonll vskjæring (ouning, pruning) Søk ttr st løsning, ié 1 For nklhts skyl: Bst løsning r n mål-non som r nærmst rotn, rgnt i ntll kntr (mn lr sg ltt gnrlisr) D måvi ikk tnk på Hm. Cyl som ksmpl (ll mål-nor lik yp) Ié1: Bruk y først, og ruk ll vnlig vskjæring slik som før Hol n glol vril hittil kortst lng : HKL Gå lri ypr n t st vi hr stt til nå, s tgning Om vi også kn rgn t minstmål for hvor lngt t r til nærmst mål-no får vi n r vskjæring Kn oft på forhån rgn n øvr grns for hvor lngt unn st målno r. Stts som strtvri for HKL. - HKL z x y x x

5 Søk ttr st løsning, ié2 Litt fornrt fr forlsningn SOM FØR: Bst løsning r n mål-non som r nærmst rotn, rgnt i ntll kntr. Ié 2: Bruk rn r først. Dtt vil hlt rtt frm gi st løsning utn non gng å gå for ypt Altrntiv, om optimlittskritrit r litt mr komplisrt nn r nærmst mulig rotn : Bruk prioritrt r-først søk. Prioritt: Estimt for hvor snnsynlig t r t st no liggr i mitt sutr. Også hr: Hol n glol vril hittil st no : HBN Om u kommr til n no r t r sikkrt t ingn i hl nons sutr r r nn HBN, så skjær v. MEN: Mn må gnrlt fortstt søkt inntil ll grnr r vskårt som skrvt i forrig punkt, ltså til prioritskøn v stt, mn ikk hnl nor r tom. Hr vil A*-søk gi r løsning. - z x y HBN x x Itrtiv r først (ikk i ok) Et ltrntiv om mn vil gjør rnt r-først-søk Brukr lik lit plss som y først søk Mn må gjør litt ri om igjn Ié: Gjør y-først-søk til nivå 1, så t hlt nytt søk til nivå 2, osv. Om t r stor forgrningsfktor tr ikk tt så my mr ti nn vnlig r-først Og t krvr ltså my minr plss Kn også ruks m priorittr/huristikkr t.

6 A*-søk Ellr: Dijkstrs kortst vi lgoritm, m huristikk! A*-søk gnr sg for prolmr r vi hr n (ksplisitt llr implisitt) grf v tilstnr, M n strt-tilstn, og t ntll mål-tilstnr Mulig tilstns-ovrgngr (rtt kntr) m n gitt kost. Og: Skl finn n vi fr strt til n mål-tilstn m, m miniml kost. Altså logisk stt: kortst-vi-prolmt r S si 728/29, figurr Hr r h(x) = vstnn i rtt linj Strtgin r t r-først-søk, m huristikk Vi rukr n huristikk-funksjon h(x) for stig å vlg mst lovn vi Altså r-først-søk m n priorits-kø for vlg v nst fr LivNos Mn: Må h spsill krv på h(x) for t lgoritmn skl li lik nkl som Dijkstr Finns vrintr til fullt A*-søk (A-søk, A*-søk utn ll h(x)-krv oppfylt) PQ Krv (monotonitt): Krv til h(x) 1. Huristikk-funkjsonn h(x) r minr-llr-lik lngn v fktisk kortst vi fr x til nærmst mål-no 2. Om t r knt fr x til y m vkt w(x,y), så skl gjl: h(x) <= h(y)+w(x,y) 3. All mål-nor m hr h(m) = 0, og llrs må vi h h(m)>= 0. Om h(x) llti r 0, så r iss oppfylt. D får vi Dijkstrs lgoritm. Dt fin r t krv 2 og 3 mførr krv 1, så vi slippr å tnk på krv 1. Bvis: Vi ntr t x -> y -> z -> mål-no r kortst vi fr x til nærmst mål-no: x h(x) <= h(y) + w(x,y) Nærmst mål-no m z y h(y) <= h(z) + w(y,z) h(z) <= h(mål) + w(z,mål) = w(z,mål) Kominrr vi iss får vi: h(x) <= w(x,y) + w(y,z) + w(z, m) Altså: h(x) <= kortst vi til nærmst målno.

7 Om A-søk og vrintr v A*-søk Om u hr n huristikk h(v) for hvor lngt t r til n mål-no Og h(v) kn vær å litt for stor og litt for litn D klls tt A-søk (vlig likt prioritrt r-først-søk) Om vi vt t h(x) lri vil vær størr nn n virklig kortst vi til målt Mn ikk tilfrstillr t full monotonitskrv Og vi rukr n Dijkstr-liknn lgoritm, m psslig ruk v h(x) D vil vi llti til slutt få riktig rsultt (kortst vi fr strt til nærmst mål) Mn vi må stig gå tilk til nor vi tro vi vr frig m og opptr lngn, og rm få my kstr-ri! Hr r ok ssvrr ikk hlt go hr (s trykkfil-listn). Vi tr rfor ikk tt m som pnsum Dt for slv A* lgoritmn (si 725/726) Vi hr n rttt grf G m kntvktr w(x,y), n strtno og t ntll målnor, smt n monoton huristikk-funksjon h(x). Hvr no x hr i tillgg følgn vril: g(x) = forløpig kortst vi fr strtnon. Dnn vil stig fornr sg unr lgoritmn, mn vil til slutt få lngn v kortst vi fr strtnon til x. prnt(x) som skl li forlr-pkr i t tr v kortst vir fr strt-non f(x) som hl tin r lik g(x)+h(x), ltså t stimt v vilngn fr strt til t mål gjnnom x. Vi hr n prioritts-kø PQ v nor, r priorittn går på vrin v f(x) Dnn initilisrs m r strt-non s, m g(s)=0, og h(s) vilkårlig. (Dtt mnglr i slv prosyr-skrivlsn i ok, si 725) D non som for øylikkt ikk r i PQ ls i to typr Tr-nor: Diss hr n forlr-pkr i t tr m strtnon som rot (kortst vi til rotn-trt). Diss hr ll vært i PQ, og v strtn r t ingn slik tr-nor. Ustt nor ( vi ikk hr kommt orti så lngt)

8 Figur for A* lgoritmn Tr-nor: Blå PQ-nor: Grønn Ustt nor: Gul All nor v hr: h(v): En fst huristikk-vri for hvr no g(v): Forløpig kortst vi fr r (fornrr sg) forlrpkr: Visr vi tilk til r, ut fr nåværn g-vri) f(v): g(v) + h(v) r All nor m pkr fr lå nor, må vær grønn llr lå PQ Slv lgoritmn PQ initilisrs ltså m r strt-non, m g(s) = 0 (ll nr r ustt) Stgt, som gjnts så lng PQ ikk r tom llr vi trffr n mål-no: Plukk n st prioritrt non x ut fr PQ (m minst f-vri) Drsom x r n mål-no, sluttr hrv lgoritmn g(x) og prnt(x) ngir kortst vi fr strtnon og n ktull vin (klngs). T ny mist ut v PQ, kll n x, og l n li n tr-no Dn hr ll nå sin forlr-pkr og g(x) stt riktig, vis kommr S på ll nor til x lnt ustt nor, og for hvr slik y: Stt g(y) = g(x) + w(x,y), f(y) = g(y) + h(y) smt prnt(y) = x og stt y inn i PQ S på ll nor til x i PQ, og for hvr slik y: Drsom g(y) > g(x) + w(x,y) så stt g(y) = g(x) + w(x,y) og prnt(y)= x Vi sr ltså ikk på non til x som r tr-nor! At t går r krvr t vis som kommr på nst foiln. Algoritmn kn ltså slutt på to måtr: V t PQ lir tom. Dt tyr t t ikk går non vi fr strtnon til n mål-no V t vi kommr til n mål-no m, og r g(m) lngn v kortst vi fr strtnon til m og prnt(m) ngir slv vin. Om h(x) = 0 for ll nor, så lir tt ltså Dijkstrs kortst-vi-lgoritm

9 A*-søk går utn tilklgging m monoton h(x) Om vi rukr h(x) = 0 for ll nor, så lir tt Dijkstrs kortst-vilgoritm. V å ruk huristikkn håpr vi å konsntrr oss mr om vin som førr til t mål, slik t lgoritmn går rskr. Mn, vi tr non ut v PQ i n nnn rkkfølg nn i Dijkstr-lgoritmn Dtt kunn før til t riktig vilng ikk r kommt inn i n no x når n ts ut v PQ og ovr i trt (slik t vi stig mått gå tilk og opptr g(v) og prnt(v) for nor y i trt (som hr forltt PQ) Hligvis gjlr (proposition i ok): Om h(x) r monoton, så vil vrin v g(x) og prnt(x) llti h litt riktig i t øylikk x ts ut v PQ ovr i trt. Drm høvr vi lri gå tilk i trt og opptr no. Og lgoritmn lir v smm orn som Dijkstr-lgoritmn Bvis på nst foil. Mrk: Dt r n viktig trykkfil på si 724, forml : Dr t står: h(v) + h(v) skl t stå h(v) <= g(v) + h(v) Figur til vist for t nor hr fått riktig g-vri når ts ut v PQ r=v 0 x lir nå vlgt som nst no som skl ut PQ, og x kn rfor ikk h størr f-vri nn v k+1 v k Tr-nor PQ og ustt nor v k+1 x=v j Vi visr ssnsilt t ll iss må h smm f- vri, og rm også smm g-vri

10 Bvis: Jg mnr vi må ruk inuksjon (ikk i ok): Inuksjonshypots: Stningn gjlr for ll y som r flyttt fr PQ til trt før x. Vi visr t gjlr n også for x. Vi lr gnrlt g*(v) vær lngn v kortst vi fr strt-non til non v. Vi sr på situsjonn når x ts ut v PQ, og vi sr på n noskvns P: strt-non = v 0, v 1, v 2,, v j = x som r n kortst vi fr strt-non til x (m lng g*(x) ) Vi ntr t v 0, v 1,, v k (mn ikk v k+1 ) r litt tr-nor når x ts ut v PQ. Non v k+1 r ltså i PQ når x lir ttt ut v køn. Ut fr monotonittn vt vi (for i = 0, 1,, j-1) g*(v i ) + h(v i ) <= g*(v i ) + h(v i+1 ) + w(v i, v i+1 ) Sin kntn fr v i til v i+1 r m i n kortst til v i+1, gjlr g*(v i+1 ) = g*(v i ) + w(v i, v i+1 ) Til smmn gir to sist: g*(v i ) + h(v i ) <= g*(v i+1 ) + h(v i+1 ) som så gir, v å l i vær k+1, k+2,, j-1 g*(v k+1 ) + h(v k+1 ) <= g*(v j ) + h(v j ) = g*(x) + h(x ) Ut fr inuksjonshypotsn vt vi t g(v k ) = g*(v k ), og rm må også (ut fr ksjonn når v k l ttt ut v PQ) g(v k+1 ) = g*(v k+1 ), slv om n liggr i PQ Drv hr vi: f(v k+1 ) = g(v k+1 )+h(v k+1 ) = g*(v k+1 )+h(v k+1 ) <= g*(x)+h(x ) <= g(x)+h(x) = f(x) Hr må imilrti ll <= vær likhtr, llrs vill f(v k+1 ) < f(x), og vill ikk x litt ttt ut v køn før v k+1. Drv r g*(x)+h(x ) = g(x)+h(x) og ltså g*(x) = g(x). Eksmplr på A*-søk (kopirt opp på tr. foil) Eksmpl i kp : Finn kortst løsning i 8-spill Figurr si 719 og 727

INF 3/ oktober Søk i tilstandsrom. Modeller for avgjørelsessekvenser. Modeller for avgjørelsessekvenser

INF 3/ oktober Søk i tilstandsrom. Modeller for avgjørelsessekvenser. Modeller for avgjørelsessekvenser INF 3/4130 19. oktor 2006 Dgns: Kpittl 10 og 23 i hovok Fr kp 10 : Dyførst og rnhnoun søk Fr kp 23: A*søk Olig 2 hr liggt ut n stun. Frist 27 oktor. Konkurrns: Kommr i løpt v n uk (15spill? Frist. 20 novmr

Detaljer

INF oktober Fra kap 10 : Dybde-først og branch-and-bound søk Fra kap 23: A*-søk

INF oktober Fra kap 10 : Dybde-først og branch-and-bound søk Fra kap 23: A*-søk INF 4130 15. oktobr 2008 Dgns tmr: Kpittl 10 og 23 i hovbok Fr kp 10 : Dyb-først og brnh-n-boun søk Fr kp 23: A*-søk Oblig 2 hr liggt ut n stun. Frist 24 oktobr. Dt r lov å iskutr n m grupplærr! Forlsning

Detaljer

MAYERS LIVSSITUASJONS-SKJEMA (3) Er du i stand til å: På egenhånd Vanskelig Svært vanskelig

MAYERS LIVSSITUASJONS-SKJEMA (3) Er du i stand til å: På egenhånd Vanskelig Svært vanskelig Nvn: MAYERS LIVSSITUASJONS-SKJEMA (3) Dto: Vnnligst svr på spørsmåln som r rlvnt for g, v å stt t i ktull rurikk. 1. TA VARE PÅ DEG SELV Er u i stn til å: På gnhån Vnsklig Svært vnsklig f g h i j k l m

Detaljer

MAYERS LIVSSITUASJONS - SKJEMA (1)

MAYERS LIVSSITUASJONS - SKJEMA (1) Nvn: MAYERS LIVSSITUASJONS - SKJEMA (1) Dto: Vnnligst svr på spørsmåln som r rlvnt for g, v å stt t i n ktull rurikkn. 1. TA VARE PÅ DEG SELV: f g h i j k l m n o p q r s t u Er u i stn til å: - komm g

Detaljer

MAYERS LIVSSITUASJONS-SKJEMA (2) Er du i stand til å: På egenhånd Vanskelig Svært vanskelig

MAYERS LIVSSITUASJONS-SKJEMA (2) Er du i stand til å: På egenhånd Vanskelig Svært vanskelig Nvn: MAYERS LIVSSITUASJONS-SKJEMA (2) Dto: Vnnligst svr på spørsmåln som r rlvnt for g, v å stt t i ktull rurikk. 1. TA VARE PÅ DEG SELV Er u i stn til å: På gnhån Vnsklig Svært vnsklig f g h i j k l m

Detaljer

Spørreskjema: Hvordan bedre kvaliteten på allemennlegens tilbud til pasienter med spiseforstyrrelse

Spørreskjema: Hvordan bedre kvaliteten på allemennlegens tilbud til pasienter med spiseforstyrrelse Appniks til Tori Flttn Hlvorsn, Ol Rikr Hvt, Birgit Johnn Ryså, Tov Skrø, Elin Olug Rosvol. Psintrfringr m llmnnlgrs oppfølging v lvorlig spisforstyrrls. Tisskr Nor Lgforn 2014; 134: 2047-51. Dtt ppnikst

Detaljer

Next Generation Plattformen Quick guide

Next Generation Plattformen Quick guide Nxt Gnrtion Plttformn Quik gui Dnn kortftt guin hr litt stt smmn for å hjlp g å rskt li kjnt m mngfolig funskjonn og vrktøy som r tilgjnglig på Nxt Gnrtion Plttformn. Finn frm til prouktr å hnl og mrksnyhtr,

Detaljer

Grunntall 10 Kapittel 2 Algebra Fordypning

Grunntall 10 Kapittel 2 Algebra Fordypning Grunntll 0 Kpittl Algr Forypning Kvrtstningn Fsit: I t kvrt r ll sin lik lng. Vi innr rlt v kvrtt v å multiplisr n si m sg slv. Dtt r t smm som å opphøy t tll i nr potns. Å opphøy t tll i nr potns klls

Detaljer

ny student06 Published from to responses (10 unique) 1. Din alder 2. Kjønn Current filter (SAMFØK_MASTER) a b c d e f

ny student06 Published from to responses (10 unique) 1. Din alder 2. Kjønn Current filter (SAMFØK_MASTER) a b c d e f ..6 :: QustBk xport - ny stunt6 ny stunt6 Pulish rom..6 to 8..6 rsponss ( uniqu) Currnt iltr (SAMFØK_MASTER) "Hvilkt stuiprorm sturr u v? (Du kn inn inormsjon om hvilkt stuiprorm u hr ått opptk til i tilut

Detaljer

ny student06 Published from to responses (29 unique) 1. Din alder 2. Kjønn Current filter (SAMFØK_BA) a b c d e f 37,9 %

ny student06 Published from to responses (29 unique) 1. Din alder 2. Kjønn Current filter (SAMFØK_BA) a b c d e f 37,9 % .. 9:: QustBk xport - ny stunt ny stunt Pulish rom.9. to.9. 9 rsponss (9 uniqu) Currnt iltr (SAMFØK_BA) "Hvilkt stuiprorm sturr u v? (Du kn inn inormsjon om hvilkt stuiprorm u hr ått opptk til i tilut

Detaljer

Mer øving til kapittel 1

Mer øving til kapittel 1 Mr øving til kpittl 1 KAPITTEL 1 ALGEBRA Oppgv 1 Rgn ut når =, = 5 og c = 10 + c c c + c + + c + c d + c + c Oppgv Rgn ut når t = 5, s = 10 og v = st c st + sv (t + v)s d v(s + t ) Oppgv Rgn ut når = 4,

Detaljer

Ved å prøve lykkehjulet 1000 ganger har vi funnet ut at sannsynligheten for at pila stopper på de ulike fargene er slik du ser i tabellen nedenfor.

Ved å prøve lykkehjulet 1000 ganger har vi funnet ut at sannsynligheten for at pila stopper på de ulike fargene er slik du ser i tabellen nedenfor. Mtmtikk for ungomstrinnt KAPITTEL 5 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHET FLERE UTFORDRINGER Oppgv 1 Osr h htt tr ulik mtmtikkprøvr. Hn h rgnt riktig 90 % på n først prøvn, 80 % på n nr prøvn og 75 % på n trj prøvn.

Detaljer

Mer øving til kapittel 1

Mer øving til kapittel 1 Mr øving til kpittl 1 KAPITTEL 1 ALGEBRA Oppgv 1 Rgn ut når =, = 5 og = 10 + + + + + d + + Oppgv Rgn ut når t = 5, s = 10 og v = st st + sv (t + v)s d v(s + t ) Oppgv Rgn ut når = 4, = 5, z = og w =. zw

Detaljer

Evaluering av NGU-dagen

Evaluering av NGU-dagen .. :: QustBk xport - Evlurin v NGU-n Evlurin v NGU-n Pulis rom.. to.. rsponss ( uniqu). Forrn på NGU-n vr li rlvnt 9 9,9 %, %,8 %,8 %, %, % Avr,9,,. Tmn or rupprit vr o, % %, % 8, %, %, %, % Avr, 9,8,

Detaljer

Next Generation Plattformen Quick guide

Next Generation Plattformen Quick guide Nxt Gnrtion Plttformn Quik gui Dnn kortftt guin hr litt stt smmn for å hjlp g å rskt li kjnt m mngfolig funskjonn og vrktøy som r tilgjnglig på Nxt Gnrtion Plttformn. Finn frm til prouktr å hnl og mrksnyhtr,

Detaljer

Kompetansevurdering av MTS utøver

Kompetansevurdering av MTS utøver Norwgin Mnhstr Trig Group Komptnsvurring v MTS utøvr Tortisk l Hvrt spørsmål i tt skjm står v t utsgn ttrfulgt v fm yttrligr uttllsr. Hvr v uttllsn kn vær snn llr usnn. Kryss v snn / usnn for hvr uttlls.

Detaljer

(urettede) Grafer. Sterke og 2-sammenhengende komponeneter, DFS. Rettede grafer. Sammenhengende grafer

(urettede) Grafer. Sterke og 2-sammenhengende komponeneter, DFS. Rettede grafer. Sammenhengende grafer Strk o -smmnnn komponntr, DFS Grr (urtt o rtt) Dy Først-Søk (DFS) Smmnnn komponntr.. DFS Topolosk sortrn / Løkkr.. DFS Strkt smmnnn komponntr... DFS -smmnnn komponntr... DFS (urtt) Grr En r G=(V,E) står

Detaljer

Tilkobling. Windows-instruksjoner for en lokalt tilkoblet skriver. Hva er lokal utskrift? Installere programvare ved hjelp av CDen

Tilkobling. Windows-instruksjoner for en lokalt tilkoblet skriver. Hva er lokal utskrift? Installere programvare ved hjelp av CDen Si 1 av 6 Tilkobling Winows-instruksjonr or n lokalt tilkoblt skrivr Mrk: Når u installrr n lokalt tilkoblt skrivr og oprativsystmt ikk støtts av CDn Programvar og okumntasjon, må u bruk Vivisr or skrivrinstallasjon.

Detaljer

med en mengde korrelasjoner mellom delmengdene. Det er her viktig a fa med

med en mengde korrelasjoner mellom delmengdene. Det er her viktig a fa med Lsningsantydning til kontinuasjonsksamn i 45060 Systmring Tirsdag 23. august 994 Kl. 0900 { 300 3. august 994 Oppgav, 5% S sidn 346 og 349: Dlsystmstruktur En oppdling av systmt i n mngd dlsystmr, sammn

Detaljer

Fagevaluering FYS Klassisk mekanikk og elektrodynamikk

Fagevaluering FYS Klassisk mekanikk og elektrodynamikk Fgvluring FYS3120 - Klssisk mknikk og lktroynmikk vår/høst 2009 Forlsr: Jon Mgn Lins Rgnøvlsr: Pr Øyvin Solli Fysisk Fgutvlg 1. mi 2009 Bsvrlsn r nonym, mn vi gjør oppmrksom på t orlsr hr tilgng til ll

Detaljer

Høring- Forslag til forskrift om evakuerings- og redningsredskaper på flyttbare innretninger

Høring- Forslag til forskrift om evakuerings- og redningsredskaper på flyttbare innretninger Vår to Vår rfrns Vår skshnlr 23.10.2015 2015/65015 Nin Hnssn Ås Drs rfrns Arkivko Dirkt tlfon 33-16 52 74 52 51 Høringsinstnsr iht. list Høring- Forslg til forskrift om vkurings- og rningsrskpr på flyttr

Detaljer

Flere utfordringer til kapittel 1

Flere utfordringer til kapittel 1 KAPITTEL 1 ALGERBA Oppgav 1 Rgn ut uttrykkn. a 6 (4 2) c 6 4 6 2 b 5 (10 7) d 5 10 5 7 Oppgav 2 Rgn ut uttrykkn. a 2 (3 4) c (2 3) 4 b 5 (6 7) d (5 6) 7 Oppgav 3 Rgn ut uttrykkn. a 25 (3 + 7) c 25 3 7

Detaljer

Periodisk emne-evaluering FYS Relativistisk kvantefetteori

Periodisk emne-evaluering FYS Relativistisk kvantefetteori Prioisk mn-vluring FYS4170 - Rltivistisk kvntttori høst 2009 Forlsr: Jn Olv Eg Forlsr r nsvrlig or skjmt 23. novmr 2009 Svr på tt skjmt r nonym, mn orlsr, SUFU og stuimonistrsjonn v Fysisk institutt hr

Detaljer

Tillatt utvendig overtrykk/innvendig undertrykk

Tillatt utvendig overtrykk/innvendig undertrykk Tillatt utvndig ovrtrykk/innvndig undrtrykk For t uffrør vil ttningsringns vn til å tål undrtrykk oft vær dinsjonrnd. I t rør so blasts d t jvnt utvndig trykk llr innvndig undrtrykk vil dt oppstå spnningr,

Detaljer

Tidstypiske bygninger og bygningsdetaljer i Norge

Tidstypiske bygninger og bygningsdetaljer i Norge DEN SIST DTALjn DEKOR REKKVERK & Stolpr, DEKOR, Imprgnrt Tistypisk ygningr og ygningstaljr i Norg M Olavsrosa og portaln til Storgarn Bjørnsta på Maihaugn ønskr vi vlkommn til Söra sin Dkorkatalog. 1800

Detaljer

Dans i Midsund. Danseprosjektet i. Midsund kommune. Våren 2007. Dans i skolene Dans i klubbene Dans i fritida Dans i hverdagen

Dans i Midsund. Danseprosjektet i. Midsund kommune. Våren 2007. Dans i skolene Dans i klubbene Dans i fritida Dans i hverdagen Dans i Midsund Dansprosjktt i Midsund kommun Vårn 2007 Dans i skoln Dans i klubbn Dans i fritida Dans i hvrdagn Dans for barn Dans for ungdom Dans dg glad Dans dg i form Jan Risbakkn Jan Risbakkn Parkvin

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG for EKSAMEN i INF110 H 2002:

LØSNINGSFORSLAG for EKSAMEN i INF110 H 2002: LØSNINGSFORSLAG for EKSAMEN i INF110 H 2002: Løsningsforslg 1.1: Hvis nod i r forldr j, så rprsntrs dt vd forldr[i] = j. Hvis nod i r n rotnod, så rprsntrs dt vd forldr[i] = -1. Innoldt v forldr i ksmplt:

Detaljer

Dans Dans Dans. Danseprosjektet i. Midsund kommune. Våren 2007. Dans i skolene Dans i klubbene Dans i fritida Dans i hverdagen

Dans Dans Dans. Danseprosjektet i. Midsund kommune. Våren 2007. Dans i skolene Dans i klubbene Dans i fritida Dans i hverdagen Dans Dans Dans Dansprosjktt i Midsund kommun Vårn 2007 Dans i skoln Dans i klubbn Dans i fritida Dans i hvrdagn Dans for barn Dans for ungdom Dans for voksn Dans dg glad Dans dg i form Jan Risbakkn Jan

Detaljer

ENKELT, TRYGT OG LØNNSOMT!

ENKELT, TRYGT OG LØNNSOMT! Utli av fritidsindom: ENKELT, TRYGT OG LØNNSOMT! NYTT GRAM O R P S L E D FOR E R E: FOR UTLEI ort r på ssongk s ri p d o g Svært gsstdr n ri rv s å p t Rabat ulightr m s g in n j t n God in g rkdsavdlin

Detaljer

ARSPLAN. Stavsberg barnehage

ARSPLAN. Stavsberg barnehage ARSPLAN Stavsbrg barnhag 2015 2016 ! a urr H Vi blir 20 år i dtt barnhagårt! Stavsbrg barnhag Vi r n hldagsbarnhag, som bl byggt høstn/vintrn 1995! Barnhagn åpnt 28.12.95. Fra august 2015 r dt 51 barn(andlr)

Detaljer

Langnes barnehage 2a rsavdelinga. Ma nedsbrev & plan for april 2016.

Langnes barnehage 2a rsavdelinga. Ma nedsbrev & plan for april 2016. Langns barnhag 2a rsavdlinga. Ma ndsbrv & plan for april 206. Barngruppa i måndn som har gått. Vi har hatt n jmpfin månd md my godt vær ndlig har vi bgynt å s t hint av vår, no som har gjort dt mulig for

Detaljer

LANDSOMFATTENDE UNDERSØKELSE 22. JANUAR - 6. FEBRUAR 2015. ============================= ------------------------------------------------- Respons

LANDSOMFATTENDE UNDERSØKELSE 22. JANUAR - 6. FEBRUAR 2015. ============================= ------------------------------------------------- Respons LANDSOMFATTENDE UNDERSØKELSE 22. JANUAR - 6. Frkvnstabll for spørsmål 1 Hvilkt mdium r dt som dk din intrssr bst? D trykt mdin Etrmdin Nttmdin Andr mdir 18% 29% 49% 1% 3% Hvilkt mdium r dt som dk din intrssr

Detaljer

Snarveien til. Photoshop CS6. Extended. Oppgaver

Snarveien til. Photoshop CS6. Extended. Oppgaver Snrvin til Photoshop CS6 Extn Oppgvr Kpittl 2 Arisområt Oppgv 1 Arisområt i Photoshop står v ulik nvngitt lmntr som or ksmpl mnylinj. Bruk skjrmumpn unr og påør tgnlsn som ruks på ulik lmntn. Oppgv 2 Tnk

Detaljer

Convex hull. Konveks innhylling. La P være en mengde punkter i et k-dimensjonalt rom, P R k. (Vi skal for enkelthets skyld bare se på k = 2.

Convex hull. Konveks innhylling. La P være en mengde punkter i et k-dimensjonalt rom, P R k. (Vi skal for enkelthets skyld bare se på k = 2. Conv ull La P vær n mn punktr t k-mnsjonalt rom, P R k. (V skal or nkltts skl bar s på k.) Dnsjon En mn Q R k r konvks rsom or all punktr q, Q lnjsmntt q lr Q. Dnsjon Dn konvks nnllnn tl n mn punktr P

Detaljer

PEDAL. Trykksaker. Nr. 4/2011. Organ for NORSK T-FORD KLUBB NORSK T-FORD KLUBB BOKS 91 LILLEAKER, N-0216 OSLO

PEDAL. Trykksaker. Nr. 4/2011. Organ for NORSK T-FORD KLUBB NORSK T-FORD KLUBB BOKS 91 LILLEAKER, N-0216 OSLO PEDAL Nr. 4/2011 Organ for NORSK T-FORD KLUBB Trykksakr A NORSK T-FORD KLUBB BOKS 91 LILLEAKER, N-0216 OSLO FORMANNENS ORD: Årts løpsssong r på hll. Vi har omtalt non vtranbilarrangmntr i Pdal Ford n,

Detaljer

Vi feirer med 20-års jubileumspakker på flere av våre mest populære modeller

Vi feirer med 20-års jubileumspakker på flere av våre mest populære modeller r d i v r Vi klatr Vi firr md 20-års jubilumspakkr på flr av vår mst populær modllr Hyundai i40 stolt vinnr av EuroCarBody 2011 Fra 113g/km 0,43 l/mil Utdrag av utstyrsnivå i40 Prmium: Hyundai i40 I dn

Detaljer

Butikkstekte brød. grove, stort utvalg, 50-100% grovhet. Tilbudet gjelder man-ons. ord.pris 169,00/kg. Lettsaltet torskefilet SPAR 47-49% SPAR 25-32%

Butikkstekte brød. grove, stort utvalg, 50-100% grovhet. Tilbudet gjelder man-ons. ord.pris 169,00/kg. Lettsaltet torskefilet SPAR 47-49% SPAR 25-32% Hvragn grov, tort utvalg, 50-100% grovht Tlbut gjlr man-on 29% 39 Tlbut gjlr man-on Vår Butkktkt brø gn nytkt 52% 45-47% 79 or.pr 56,/tk brø r br m mny or.pr 169,00/kg or.pr 27,50/ 28,50/pk Nygrllt kyllng

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100, 8/12-04 Del 1

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100, 8/12-04 Del 1 Løsningsforslag til ksamn i MAT, 8/- Dl. (3 pong) Intgralt x x dx r lik: x x x + C x x + C x 3 3 x + C x / + C x x x3 3 x + C Riktig svar: a) x x x + C. Bgrunnls: Brukr dlvis intgrasjon md u = x, v = x.

Detaljer

Testgrunnlag: VDE 0660 del 500/IEC Gjennomført test: Driftsstøtstrømfasthet I pk. lp Støtkortslutningsstrøm [ka] Samleskinneholderavstand [mm]

Testgrunnlag: VDE 0660 del 500/IEC Gjennomført test: Driftsstøtstrømfasthet I pk. lp Støtkortslutningsstrøm [ka] Samleskinneholderavstand [mm] Kortslutningsigrr iht. DN EN 439-1/EC 439-1 Typgokjnning iht. DN EN 439-1 løpt v n systm-typgokjnning l følgn tstr m Rittl smlskinnsystmr og rprsnttiv Rittl RiLin oppyggingskomponntr gjnnomført: Bvis på

Detaljer

HJEMMEEKSAMEN FYS2160 HØSTEN Kortfattet løsning. Oppgave 1

HJEMMEEKSAMEN FYS2160 HØSTEN Kortfattet løsning. Oppgave 1 HJEMMEEKSAMEN FYS16 HØSTEN Kortfttt løsning Oppgv 1 ) b = P b =P T b = P /Nk = T T c =T (isotrm) Adibtligningn P CP = P, = = C c c b b c = 1 P c c = Nc = N Pc = P 1 b) Forndring i indr nrgi: U = Nk( T

Detaljer

Referanseguide for montører og brukere

Referanseguide for montører og brukere Rrnsgui or montørr og rukr Lutkonisjonringsnlgg i VRV IV systm RYYQ8T7Y1B RYYQ10T7Y1B RYYQ12T7Y1B RYYQ14T7Y1B RYYQ16T7Y1B RYYQ18T7Y1B RYYQ20T7Y1B RYMQ8T7Y1B RYMQ10T7Y1B RYMQ12T7Y1B RYMQ14T7Y1B RYMQ16T7Y1B

Detaljer

Tjen penger til klubbkassen.

Tjen penger til klubbkassen. DEL UT TIL LAGLEDEREN Tjn pngr til klubbkassn Slg kakr, llr, kjkssjokolad og knkkbrød! Total fortjnst: 35000 kr Vårn 2015 God og lttsolgt! Vi tjnt 32000,- Ls mr! En nkl måt å tjn 1000-vis av kronr Hvrt

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014 Norgs tkiskaturvitskaplig uivrsitt Istitutt for matmatisk fag MA Grukurs i aalys II Vår 4 Løsigsforslag Øvig 8.8. a) Vi har fuksjo f(). Vi skal taylorrkk til f i puktt, kovrgsitrvallt til d rkk, og vis

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) 100 e = 98.02. = 0.9802 R = ln 0.9802. R = 0.020, dvs. spotrenten for 1 år er 2,0 % 100 e = 95.89. e e

Oppgave 1 (25 %) 100 e = 98.02. = 0.9802 R = ln 0.9802. R = 0.020, dvs. spotrenten for 1 år er 2,0 % 100 e = 95.89. e e Oppgav 1 (5 %) Vi har følgnd: Obligasjon Pålydnd Tid til forfall Kupong Kurs A 1 1 % 98, B 1 % 95,89 C 1 3 5 % 17,99 D 1 4 6 % 113,93 a) Vi finnr nullkupongrntn slik: R 1 = 98. R 1 = 95.89 =.98 R = ln.98

Detaljer

Generelt format på fil ved innsending av eksamensresultater og emner til Eksamensdatabasen

Generelt format på fil ved innsending av eksamensresultater og emner til Eksamensdatabasen Gnrlt format på fil vd innsnding av ksamnsrsultatr og mnr til Eksamnsdatabasn Til: Lærstdr som skal rapportr ksamnsrsultatr på fil 1 Bakgrunn Gjnnom Stortingsvdtak r samtlig norsk lærstdr pålagt å rapportr

Detaljer

Grafer og trær. MAT1030 Diskret matematikk. Eksempel. Eksempel. Forelesning 28: Grafer og trær, eksempler

Grafer og trær. MAT1030 Diskret matematikk. Eksempel. Eksempel. Forelesning 28: Grafer og trær, eksempler MAT1030 Diskrt matmatikk Forlsning 28:, ksmplr Dag Normann Matmatisk Institutt, Univrsittt i Oslo 5. mai 2008 I dag skal vi s på n rkk ksmploppgavr, og gjnnomgå løsningn på tavla. All ksmpln r oppgavr

Detaljer

Referanseguide for montører og brukere

Referanseguide for montører og brukere Rrnsgui or montørr og rukr Lutkonisjonringsnlgg i VRV IV systm REYQ8T7Y1B REYQ10T7Y1B REYQ12T7Y1B REYQ14T7Y1B REYQ16T7Y1B REYQ18T7Y1B REYQ20T7Y1B REMQ5T7Y1B Rrnsgui or montørr og rukr Lutkonisjonringsnlgg

Detaljer

Referanseguide for montører og brukere

Referanseguide for montører og brukere Rrnsgui or montørr og rukr Lutkonisjonringsnlgg i VRV IV systm REYQ8T7Y1B REYQ10T7Y1B REYQ12T7Y1B REYQ14T7Y1B REYQ16T7Y1B REYQ18T7Y1B REYQ20T7Y1B REMQ5T7Y1B Rrnsgui or montørr og rukr Lutkonisjonringsnlgg

Detaljer

Tjen penger til klubbkassen.

Tjen penger til klubbkassen. DEL UT TIL LAGLEDEREN Tjn pngr til klubbkassn Slg kakr, llr, kjkssjokolad og knkkbrød! Antall salgspriodr: 3 Total fortjnst: 32000 kr Høstn 2014 God og lttsolgt! Vi tjnt 25000,- Ls mr! En nkl måt å tjn

Detaljer

ISE matavfallskverner

ISE matavfallskverner ISE matavfallskvrnr ... dn nklst vin til t praktisk og hyginisk kjøkkn l t h y h i l n k l h t h y g i n m i l j ø h y g i n m n k l h t i l j ø n k l h y g i n h t h y g m i l j i n ø k m n k i n l j

Detaljer

Retningslinjer for klart og tydelig språk i Statens vegvesen

Retningslinjer for klart og tydelig språk i Statens vegvesen Rtningslinjr for klart og tydlig språk i Statns vgvsn vgvsn.no EN KLAR TEKST Slik skrivr vi klar og tydlig tkstr: 1. Vi sørgr for at lsrn får dn informasjonn d trngr ikk mr, ikk mindr. 2. Vi startr tkstn

Detaljer

Snarveien til. Photoshop CS5. Extended. Oppgaver

Snarveien til. Photoshop CS5. Extended. Oppgaver Snrvin til Photoshop CS5 Extn Oppgvr Kpittl 4 Lg Oppgv 1 Bruk t u hr lært om lg og gjør nringr i oppgvil slik t rsulttt lir som nnor. Åpn il månsklnr.ps Sltt lg som orkommr to gngr Enr rkkølg på lg Kopl

Detaljer

Søknad om Grønt Flagg på Østbyen skole

Søknad om Grønt Flagg på Østbyen skole Søknad om på Østbyn skol Østbyn skol startt opp md i 2007, og har sidn da vært n Grønt Flagg-skol som r opptatt av miljø Skoln hatt n dl utfordringr dt sist årt, som har gjort dt vansklig å følg opp intnsjonn

Detaljer

Tjen penger til klassekassen.

Tjen penger til klassekassen. DEL UT TIL KLASSEREPRESENTANTEN Tjn pngr til klasskassn Slg kakr, llr, kjkssjokolad og knkkbrød! Høstn 2014 Antall salgspriodr: 3 Total fortjnst: 67500 kr God og lttsolgt! Vi tjnt 20000,- Ls mr! En nkl

Detaljer

Generell info vedr. avfallshåndtering ved skipsanløp til Alta Havn

Generell info vedr. avfallshåndtering ved skipsanløp til Alta Havn Gnrll info vdr. avfallshåndtring vd skipsanløp til Alta Havn Vdlgg 0 Forskrift om lvring og mottak av avfall og lastrstr fra skip trådt i kraft 12.10.03. Formålt r å vrn dt ytr miljø vd å sikr tablring

Detaljer

Fagevaluering FYS Kvantefeltteori

Fagevaluering FYS Kvantefeltteori Fvlurin FYS4170 - Kvntlttori høst 05 Forlsr: Jn Olv E Fysisk Futvl 22. novmr 2005 Bsvrlsn r nonym, mn vi jør oppmrksom på t orlsr hr tiln til ll skjmn. Evlurinn lir orttt v Fysisk Futvl, som slv vlr hvilk

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen

Løsningsforslag til eksamen 8. januar 6 Løsningsforslag til ksamn Emnkod: ITD Dato: 7. dsmbr Hjlpmidlr: Emn: Matmatikk først dlksamn Eksamnstid: 9.. Faglærr: To -ark md valgfritt innhold på bgg sidr. Formlhft. Kalkulator r ikk tillatt.

Detaljer

Eldre i Verdal Muligheter Rettigheter Aktiviteter/tilbud

Eldre i Verdal Muligheter Rettigheter Aktiviteter/tilbud Eldr i Vrdal Mulightr Rttightr Aktivittr/tilbud Eldrrådt Omsorg og vlfrd Omsorg og vlfrd i Vrdal r dlt inn i to virksomhtsområdr: Øra omsorg-og vlfrdsdistrikt Vinn og Vuku omsorg-og vlfrdsdistrikt Hva

Detaljer

Våre Vakreste # & Q Q Q A & Q Q Q - & Q Q Q.# arr:panæss 2016 E A A 9 A - - Gla- ned. skjul F Q m. ler. jul. eng- da- jul. ler.

Våre Vakreste # & Q Q Q A & Q Q Q - & Q Q Q.# arr:panæss 2016 E A A 9 A - - Gla- ned. skjul F Q m. ler. jul. eng- da- jul. ler. Vå Vks rr:pnæss 06 Kor L JUL Q Q Q ^\ # Q Q Q ht Q Q Q # 6 Q Q Q # Q Q Q # Ju lg u u Q Q Q # # v blnt # LL: u # mj # # # # d fly p r ds Q Q m # # år lønn Ju v g v g # jul # grønt 6 # # u Lønn gå # hvor

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302

LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Sie 1 v 6 LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302 12. esemer 2006 Oppgve 1 ) Skriv ne efinisjonen på en tutologi. Svr: En tutologi

Detaljer

Bioberegninger - notat 3: Anvendelser av Newton s metode

Bioberegninger - notat 3: Anvendelser av Newton s metode Bioberegninger - nott 3: Anvendelser v Newton s metode 20. februr 2004 1 Euler-Lotk ligningen L oss tenke oss en populsjon bestående v individer v ulik lder. L n være mksiml lder. L m i være ntll vkom

Detaljer

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003.

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003. Løsningsforslg til vsluttende eksmen i HUMIT1750 høsten 2003. Teksten under hr litt litt prtsom fordi jeg hr villet forklre hvordn jeg gikk frm. Fr en studentesvrelse le det ikke forventet nnet enn sluttresulttene.

Detaljer

Konkurransen starter i august og avsluttes i månedsskiftet mai/juni hvert år.

Konkurransen starter i august og avsluttes i månedsskiftet mai/juni hvert år. Lærrvildning: Aksjon boligbrann Konkurrans for all skolklassr på llotrinnt: Saarbidsgruppa for brannvrn i skoln invitrr d dtt all skolklassr på llotrinnt til å bli d på konkurransn "Aksjon boligbrann".

Detaljer

Øvinger uke 42 løsninger

Øvinger uke 42 løsninger Øvingr u løsningr Oppgav Når n potnsr r gomtris finnr u summn og onvrgnsområt irt fra forml. Når ra i r gomtris lønnr t sg å ta utgangspunt i n nærliggn gomtris r og tn lvis rivasjon llr intgrasjon av

Detaljer

PLANTEGNINGER FOR PROFESSOR DAHLS GATE 1

PLANTEGNINGER FOR PROFESSOR DAHLS GATE 1 PLNTGNINGR OR HLS GT 1 SI 2. PLN KJLLR SI 3. PLN UNRTSJ SI 4. PLN 1. TSJ SI 5. PLN 2. TSJ SI 6. PLN 3. TSJ SI 7. PLN 4. TSJ SI 8. PLN LOTTSJ SI 8. SNITT 1 SI 8. SNITT 2 1K02.1 60S 1K08.1 60S 1K01.1 60S

Detaljer

Oppgaver fra boka: Oppgave 12.1 (utg. 9) Y n 1 x 1n x 2n. og y =

Oppgaver fra boka: Oppgave 12.1 (utg. 9) Y n 1 x 1n x 2n. og y = MOT30 Statistisk mtodr, høstn 20 Løsningr til rgnøving nr. 8 (s. ) Oppgavr fra boka: Oppgav 2. (utg. 9) Modll: Y = µ Y x,x 2 + ε = β 0 + β x + β 2 x 2 + ε, dvs md n obsrvasjonr får vi n ligningr Y = β

Detaljer

KRAVFIL TIL KREDITORFORENINGEN [Spesialrapport]

KRAVFIL TIL KREDITORFORENINGEN [Spesialrapport] KRAVFIL TIL KREDITORFORENINGEN [Spsialrapport] - Sid 1 / 5 IS Doc. Sit Bildr Rapportr Ordlist R124 KRAVFIL TIL KREDITORFORENINGEN [Spsialrapport] Bskrivls sist rvidrt: År: 2008. Månd: 10. Dag: 01. KRAVFIL

Detaljer

KRAVFIL TIL KREDINOR [Spesialrapport]

KRAVFIL TIL KREDINOR [Spesialrapport] KRAVFIL TIL KREDINOR [Spsialrapport] - Sid 1 / 5 IS Doc. Sit Bildr Rapportr Ordlist R104 KRAVFIL TIL KREDINOR [Spsialrapport] Bskrivls sist rvidrt: År: 2009. Månd: 10. Dag: 05. KRAVFIL TIL KREDINOR [Spsialrapport]

Detaljer

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve.

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 5 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHET MER ØVING Oppgve 1 Digrmmet neenfor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4?

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

GRAFER. Dobbeltsammenheng (biconnectivity) Dagens plan: Dobbeltsammenhengende grafer (Kapittel 9.6.2) Å finne ledd-noder (articulation points)

GRAFER. Dobbeltsammenheng (biconnectivity) Dagens plan: Dobbeltsammenhengende grafer (Kapittel 9.6.2) Å finne ledd-noder (articulation points) F oltsmmnn (onntvty) RFR nln: oltsmmnnn rr (Kpttl 9.6.2) Å nn l-nor (rtulton ponts) vsluttn om rå lortmr Humn-kon (Kpttl 10.1.2) Fur 9.60, s 357 MW ynmsk prormmrn Floys lortm or kortst v ll-tl-ll (Kpttl

Detaljer

Tjen penger til klassekassen.

Tjen penger til klassekassen. DEL UT TIL KLASSEREPRESENTANTEN Tjn pngr til klasskassn Slg kakr, llr, kjkssjokolad og knkkbrød! Antall salgspriodr: 4 Total fortjnst: 94000 kr Vårn 2015 God og lttsolgt! Vi tjnt 67500,- Ls mr! En nkl

Detaljer

FORELESNINGSNOTATER I INFORMASJONSØKONOMI Geir B. Asheim, våren 2001 (oppdatert 2001.03.27). 3. UGUNSTIG UTVALG

FORELESNINGSNOTATER I INFORMASJONSØKONOMI Geir B. Asheim, våren 2001 (oppdatert 2001.03.27). 3. UGUNSTIG UTVALG OREENINGNOAER I INORMAJONØKONOMI Gir B. Ashim, vårn 2001 (oppdatrt 2001.03.27. 3. UGUNIG UVAG Agntn har privat informasjon om rlvant forhold før kontrakt inngås. Undr symmtrisk informasjon vill kontraktn

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014 Terminprøve våren 014 Tll i rei Påygging terminprøve våren 014 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1 Skriv tllet Skriv tllet 6 3,15

Detaljer

TDT4195 Bildeteknikk

TDT4195 Bildeteknikk D495 Bildtknikk Grafikk Vår 9 Forlsning 6 Jo Skjrmo Jo.skjrmo@idi.ntn.no Dpartmnt of Comptr And Information Scinc Jo Skjrmo D495 Bildtknikk D495 Forrig gang Gomtrisk transformasjonr dl Basistransformasjonr

Detaljer

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving Kpittel 5 Sttistikk og snnsynlighet Mer øving Oppgve 1 Digrmmet nefor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4? Hvor mnge elever er et i klssen?

Detaljer

Visma Flyt skole. Foresatte

Visma Flyt skole. Foresatte Visma Flyt sol Forsatt 1 Forsatt Visma Flyt Sol sist ndrt: 30.11.2015 Innhold Vitig informasjon til Innlogging:... 3 all forsatt Ovrsitsbildt... 4 Forløpig i tilgjnglig Samty... for forsatt 5 Info/forsatt...

Detaljer

Håndbok 014 Laboratorieundersøkelser

Håndbok 014 Laboratorieundersøkelser Vdlgg 1 sid 1 av 5 Hådbok Vdlgg 1 Jordartsklassifisrig Vdlgg 1 Jordartsklassifisrig Vrsjo mars 2005 rstattr vrsjo juli 1997 Omfag Jord ka bstå av t miralsk matrial, orgaisk matrial llr bladig av diss.

Detaljer

VT 261 www.whirlpool.com

VT 261 www.whirlpool.com VT 261.hirlpool.com NO 1 INSTALLASJON FØR TILKOPLING SJEKK AT SPENNINGEN på typplatn korrspondrr md spnningn dr du bor. DU MÅ IKKE FJERNE BESKYTTELSESDEKSLENE FOR MIK- ROBØLGEOVNENS luftinntak som r plassrt

Detaljer

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok. 8 ( ) 5 9. e = = 9 = = 8 5 = = 0 = 0 0 0 = 000 =. e Ashehoug www.lokus.no Sie v Løsninger til oppgvene i ok..5..7 = = + 5 =

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) 100 e = 97.53. = 0.9753 R = ln 0.9753. R = 0.025, dvs. spotrenten for 1 år er 2,5 % e e. 100 e = 94.74

Oppgave 1 (25 %) 100 e = 97.53. = 0.9753 R = ln 0.9753. R = 0.025, dvs. spotrenten for 1 år er 2,5 % e e. 100 e = 94.74 Oppgav 1 (5 %) Vi har følgnd: Obligasjon Pålydnd Tid til forfall Kupong Kurs A 1 1 % 97,53 B 1 % 94,74 C 1 3 3 % 1,19 D 1 4 4 % 13,3 a) Vi finnr nullkupongrntn slik: R 1 = 97.53 R 1 = 94.74 =.9753 R =

Detaljer

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra Bsisoppgver til P kp. Tll og lger. Potenser. Nye potenser. Store og små tll. Stnrform. Tllsystemer. Femtllsystemet. Totllsystemet.7 Prosentregning me vekstfktor.8 Renteregning Ashehoug www.lokus.no Ashehoug

Detaljer

Påskestemningen. Frokosten. Din lokale gartner. Plukk & den gode. er servert! Gjør deg klar for våren se side 6. finner du hos Bogrønt TILBULD!

Påskestemningen. Frokosten. Din lokale gartner. Plukk & den gode. er servert! Gjør deg klar for våren se side 6. finner du hos Bogrønt TILBULD! Påskstmningn dn god finnr du hos Bogrønt Plukk & Mix lj, TILBUD! Påskli Tt à Tt/ Prlblomst, mon Muscari/An Frokostn r o f 5 s sid 3, 5 7 strt Småblom Stmorrgr 19,- i rn fa 10 pk nd rtt pr ku Max 4 b r srvrt!

Detaljer

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen

Detaljer

Klart vi skal debattere om skum!!

Klart vi skal debattere om skum!! Klart vi skal dbattr om skum Mn basrt på fakta og ikk fantasi. Danil Apland, daglig ldr/vd Nordic Fir & Rscu Srvic, AS Bo Andrsson og Ptr Brgh har fått boltr sg fritt i Swdish Firfightr Magasin ovr hl

Detaljer

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014 Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013 Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer

Detaljer

Mundell-Fleming modellen ved perfekt kapitalmobilitet 1

Mundell-Fleming modellen ved perfekt kapitalmobilitet 1 Mundll-Flming modlln vd prfkt kapitalmobilitt 1 Stinar Holdn, 4. august 03 Kommntarr r vlkomn stinar.holdn@con.uio.no Mundll-Flming modlln vd prfkt kapitalmobilitt... 1 Kapitalmobilitt og rntparitt...

Detaljer

VT 265 VT 295. www.whirlpool.com

VT 265 VT 295. www.whirlpool.com VT 265 VT 295.hirlpool.com 1 INSTALLASJON FØR TILKOPLING SJEKK AT SPENNINGEN på typplatn korrspondrr md spnningn dr du bor. DU MÅ IKKE FJERNE BESKYTTELSESDEKSLENE FOR MIK- ROBØLGEOVNENS luftinntak som

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 10. Sindre Rannem Bilden,Gruppe 4

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 10. Sindre Rannem Bilden,Gruppe 4 FYS2140 Kvantfysikk, Oblig 10 Sindr Rannm Bildn,Grupp 4 23. april 2015 Obligr i FYS2140 mrks md navn og gruppnummr! Dtt r nok n oblig som drir sg om hydrognatomt og r n dl av n tidligr ksamnsoppgav. Oppgav

Detaljer

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis

Detaljer

Christiania Spigerverk AS, Postboks 4397 Nydalen, 0402 Oslo BYGNINGSBESLAG

Christiania Spigerverk AS, Postboks 4397 Nydalen, 0402 Oslo BYGNINGSBESLAG Christiania Spigrvrk AS, Postboks 4397 Nydaln, 0402 Oslo BYGNINGSBESLAG www.spigrvrkt.no www.gunnbofastning.com Bygningsbslag fra Christiania Spigrvrk AS Dimnsjonringsundrlag Bygningsbslag r produsrt av

Detaljer

Vernerunde sjekkliste og oppfølging

Vernerunde sjekkliste og oppfølging Si 1 av 6 Vrnrun sjlist g ppfølging Ml virgån sl Gjnt av: AMU Dat: Vrnmrå:Ml vg sl Dltar : Hvvrnmbu Arn Brvi, vatmstr Olav Mrstøl, Pr Arnt Harns ATV Elvråslr Juli Riis g Fungrn HMS-ansvarlig: Kirsti M

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Optimalitetsprinsippet. Overlappende delproblemer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Optimalitetsprinsippet. Overlappende delproblemer ysk progrrg Mtod bl forlsrt v Rchrd Bll (RAN Corporto på -tllt. Progrrg btydg pllgg, t bslutgr. (Hr kk o d kod llr å skrv kod å gør. ysk for å dkr t dt r stgvs prosss. M også t pytord. Hvlk problr? ysk

Detaljer

Notater. Anne Sofie Abrahamsen. Analyse av revisjon Feilkoder og endringer i utenrikshandelsstatistikken. 2005/10 Notater 2005

Notater. Anne Sofie Abrahamsen. Analyse av revisjon Feilkoder og endringer i utenrikshandelsstatistikken. 2005/10 Notater 2005 2005/10 Notatr 2005 Ann Sofi Abrahamsn Notatr Analys av rvisjon Filkodr og ndringr i utnrikshandlsstatistikkn Sksjon for utnrikshandl Innhold 1. Innldning... 2 2. Filkodr... 2 3. Analys av filkodr - original

Detaljer

«hudøy er nok verdens beste sted! man får nye venner og minner for livet!» Sitat fra en av gutta på Hudøy. Har du

«hudøy er nok verdens beste sted! man får nye venner og minner for livet!» Sitat fra en av gutta på Hudøy. Har du «hudøy r nok vrdns bst std man får ny vnnr og minnr for livt» 2018 Sitat fra n av gutta på Hudøy Har du h ø r t om.. Dau Kjærligh mannsbukta, S y g i l d En r m m so i fr d Øy, Lag tsstin, Brattfj spissn,

Detaljer

JT 366 www.whirlpool.com

JT 366 www.whirlpool.com JT 366.hirlpool.com NO 1 INSTALLASJON FØR TILKOPLING KONTROLLER AT SPENNINGEN på typplatn stmmr md spnningn i strømnttt ditt hjmm. DU MÅ IKKE FJERNE BESKYTTELSESDEKSLENE for mikrobølgovnns luftinntak som

Detaljer

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

Tilkoblingsveiledning

Tilkoblingsveiledning Sid 1 av 6 Tilkoblingsvildning Windows-instruksjonr for n lokalt tilkoblt skrivr Mrk: Når du installrr n lokalt tilkoblt skrivr og oprativsystmt ikk støtts av CDn Programvar og dokumntasjon, må du bruk

Detaljer