(urettede) Grafer. Sterke og 2-sammenhengende komponeneter, DFS. Rettede grafer. Sammenhengende grafer

Transkript

1 Strk o -smmnnn komponntr, DFS Grr (urtt o rtt) Dy Først-Søk (DFS) Smmnnn komponntr.. DFS Topolosk sortrn / Løkkr.. DFS Strkt smmnnn komponntr... DFS -smmnnn komponntr... DFS (urtt) Grr En r G=(V,E) står n mn nor V=V(G), o n mn kntr E=E(G). Hr knt r t pr nor {u,}, slk t u, V(G). (V skrr non nr r u). En knt {u,} mollrr t non u o r rltrt tl rnr. u w x y DFS r n l nytt tknkk, nr nnlsr r l. tstn prttt o plnrtt. Rtt rr En rttt r D=(V,E) står n mn nor V=V(G), o n mn rtt kntr E=E(G). Hr knt r t ornt pr nor (u,), slk t u, V(G). (V skrr non nr r u). Smmnnn rr Grr kn ær smmnnn, llr usmmnnn (stån lr komponntr). En urttt r r smmnnn rsom t or trt pr nor u o, nns n st mllom u o. En knt (u,) mollrr t non u står rlson tl. u w y x Rtt rr kn slst oså ær usmmnnn, sr på str n unrln, urtt rn. En rttt r utn (rtt) løkkr klls ot n DAG (rt, yl rp).

2 Grr Grr r n mst lksl tstrukturn knnr ( lt kn mollrs m rr). Grr nns mn prolmr llt Dtnttrk Rutplnln VLSI (llt?) Mln or t y ørst-søk sr slk ut: DFS pro DFS() prnummr {.st=true or <r no w > o not w.st tn DFS(w) o } postnummr u w x y x u w y Smmnnn komponntr DFS kn ruks tl å skk om n r G r smmnnn llr.. Strt t y ørst-søk n no.. Mrk non når ksssrs.. Er ll non mrkt når søkt r or, r rn smmnnn.. Hs kk, nn n umrkt no o ortstt m t nytt mrk. Topolosk sortrn / løkksøk En topolosk sortrn r n ornn non n r, slk t s t nns n st r u tl, så kommr u ør sortrnn. (Ikk unk, lr mul ornnr kn ær lol.) Hr n rttt r D, kn ruk DFS tl å nn n topolosk sortrn non rn, t. rms n løkk D. (Grr m løkkr kn kk sortrs topolosk. Hlkn no sykln skull så ll komm ørst?) MA INF MA INF MA-IN INF INF INF INF IN IN IN INF MA INF MA INF MA-IN INF INF INF INF IN IN IN INF

3 Topolosk sortrn / løkksøk Topolosk sortrn / løkksøk pro TopSort(D, Sortrn[, n -]) mrk[, n -] = // Tll m nons mrkr (-,,) tllr = n - or = to n - o mrk[] = tn DFSOutTopLl(D,) nor Eksmpl pro DFSOutTopLl(D,) rurs mrk = or < r no w > o mrk[w] = tn DFSOutTopLl(D,w) ls mrk[w] = tn Output( Løkk unnt ) nor mrk[] = - Sortrn[tllr] = tllr = tllr - n pro n pro // w uutorskt, ortstt // utorskr w, løkk // r utorskt O(n+m) Sortrn Topolosk sortrn / løkksøk Topolosk sortrn / løkksøk Eksmpl Eksmpl Sortrn Sortrn

4 Topolosk sortrn / løkksøk Topolosk sortrn / løkksøk Eksmpl Eksmpl No r unr utorsknn, mrk[] =. - LØKKE! Sortrn Sortrn Strkt smmnnn komponntr Strkt smmnnn komponntr Mått ør lr DFS-søk Fkk sko DFS-trær En rttt r r strkt smmnnn rsom t år n (rttt) st r nr no tl nr nnn no. (Bå u o u.) En rttt r r skt smmnnn rsom n unrln rn r smmnnn. Strkt smmnnn Skt smmnnn (rttt) r DFS-trrsrn Klrr kk trrsr l rn n s. DFS kn ruks tl å nn ut om n rttt r r strkt smmnnn. Et. tl å nn strkt smmnnn komponntn rn. (Altrnt ormulrn: For trt pr nor, nns n rttt sykl som nnolr non.)

5 Strkt smmnnn komponntr Brukr nsonn strkt smmnnn komponntr, sr t r øln strkt smmnnn komponntr rn (s ttr sykln). Strkt smmnnn komponntr r D DFS-trrsrn D Strkt smmnnn komponntr r D DFS-trrsrn D snu r D r DFS-trrsrn D r, nor m øyst postnummr ttt ørst. Strkt smmnnn komponntr r D DFS-trrsrn D snu r D r DFS-trrsrn D r, nor m øyst postnummr ttt ørst.

6 Strkt smmnnn komponntr -smmnnn komponntr r D En DFS-trrsrn D tr m or my. En no n r G r t rtkulsonspunkt rsom rn G (rn som rmkommr å sltt r V(G) o ll kntr som r som t sn npunktr r E(G)) r usmmnnn. (V ntr t G r smmnnn tl å ynn m) snu r D r En DFS-trrsrn D r tll (rkkøln r kt) knpr t som or my. En -smmnnn komponnt n r G r n mksml sur B som kk nnolr non rtkulsonspunktr. -smmnnn komponntr -smmnnn komponntr Artkulsonspunktr En no n r G r t rtkulsonspunkt rsom rn G (rn som rmkommr å sltt r V(G) o ll kntr som r som t sn npunktr r E(G)) r usmmnnn. (V ntr t G r smmnnn tl å ynn m) En -smmnnn komponnt n r G r n mksml sur B som kk nnolr non rtkulsonspunktr. -smmnnn komponntr

7 -smmnnn komponntr Artkulsonspunktr -smmnnn komponntr DFSNum - prorr nummrrn Lowst - lst DFSNum kn komm tl å øl tr-kntr o n tlk-knt. -smmnnn komponntr -smmnnn komponntr DFSNum - prorr nummrrn Lowst - lst DFSNum kn komm tl å øl tr-kntr o n tlk-knt. DFSNum - prorr nummrrn Lowst - lst DFSNum kn komm tl å øl tr-kntr o n tlk-knt. En no t DFS-tr, orskll r rotn trt, r t rtkulsonspunkt n unrln rn s o r s r mnst t rn m Lowst[] DFSNum(). (Dtt uttrykkr t kk kommr oss opp n trt.) En no t DFS-tr, orskll r rotn trt, r t rtkulsonspunkt n unrln rn s o r s r mnst t rn m Lowst[] DFSNum(). (Dtt uttrykkr t kk kommr oss opp n trt.) Rotn DFS-trt r t spsltlll. Dnn r t rtkulsonspunkt s o r s n r to llr lr rn. Rotn DFS-trt r t spsltlll. Dnn r t rtkulsonspunkt s o r s n r to llr lr rn.

8 -smmnnn komponntr -smmnnn komponntr DFSNum - prorr nummrrn Nummrt stts ortløpn m n n kommr tl n no. Lowst - lst DFSNum kn komm tl å øl tr-kntr o n tlkknt. DFSNum[ ]. Lowst[ ] = mn mn DFSNum[ mn Lowst[ { w] }, { ] }, Følr nn kntr. w n tlkknt. Følr st tlkknt. t rn trt. Følr tr - kntr o mulns n tlkknt. pro DFSNumrns(G, ) rurs = + // Glol tllr, ntlt -, s.. år ørst n mrk[] = // Glol rry or nons mrkr, ntlt DFSNum[] = // Glol rry m DFSNum (prorr nummrrn) or < r no u > o mrk[u] = tn trdfs[u] = DFSNumrns(G,u) n nor // u uutorskt, ortstt // Golt orlr-rry, r u sn orlr DFS-trt. // Fortstt y ørst mn = {lowst[] < or rt rn >} mn = mn {DFSNum[w] < w n tlkknt (w kk orlr, skk trdfs) >} lowst[] = mn {DFSNum[], Mn, Mn} // Glolt rry m Lowst. n pro pro ArtultonPonts(G) or = to n - o mrk[] = trdfs = nor = - rt = DFSNumrns(G, ) -smmnnn komponntr // Intr rryr, tllr, lst or rtkulsonspunktr // Nummrr non, lr rotnon -smmnnn komponntr Ønskr å nn -smmnnn komponntn, olr r kk r å nn rtkulsonspunktn. Nor kn tlør lr -smmnnn komponntr. Kntr kn rmot kk tlør mr nn n -smmnnn komponnt. numr = // Skkr om rotnon r lr nn to rn = wl numr < n < n o trdfs[] = tn numr = numr + = + nwl numr = tn rt = rt {} or = to n - o // Skkr om nr non r rtkulsonspktr = trdfs[] // nn orlr, r sn orlr DFS-trt lowst[] DFSNum[] n > tn rt = rt {} nor rturn(rt) n pro For å nn -smmnnn komponntr rukr n kstr stk tl kntn, på øln måt.. Intlt r knt-stkn tom.. Hr kn ølr n knt u rn y ørst-søkt pusr u. (All kntr rn puss (sl om non r utorskt). Dt r ltså kk r tr-kntr som nr på nn knt-stkn.. Når y ørst-søkt ktrkr lns n knt u, r tl u, o lowst[] DFSNum[u], så poppr lt som lr på knt-stkn rm tl o m kntn u.. Kntn som popps n slk olk nusrr n -smmnnn komponnt.