Dynamiske CO 2 -avgifter i en endogent bestemt avgiftsperiode. Ikke-lineære effekter *

Transkript

1 Norsk Økonomisk Tidsskrif 119 (25) s Dynamiske CO 2 -avgifer i en endogen besem avgifsperiode. Ikke-lineære effeker * Sigurd Aanesad A Leif K. Sandal B Gerhard Berge C Sammendrag I denne arikkelen preseneres og analyseres en modell for velferdsopimerende uak av fossil brensel i global målesokk. Modellen ar hensyn il forringelsen av miljøe ved bruk og uvinning. Forøvrig er velferdsmåle knye il produsen og konsumenoverskudde i markede for fossil brensel, hvor ilbud/eerspørsel påvirkes av både pris og miljø. Den sosiale planleggeren bruker avgif il å jusere omseningen av fossil brensel il e velferdsmaksimerende nivå. Med velferdsmaksierende mener vi a de as hensyn il eksernalieene i modellen. Ellers er idsperspekive uendelig, og vi anar a ren eknologi eerhver blir mer lønnsom enn radisjonell energiuvinning. Denne rene eknologien gir en alernaiv profi som øker med iden. Tidspunke for eknologiskife inngår endogen i modellen. I lignende modeller er de vanlig å bruke en lineær funksjon som represenan for naurens egen rensning av CO 2 fra amosfæren. Dee arbeide har ikke denne begrensningen. Lineær rensefunksjon overvurderer naurens egen evne il å rense opp. De viser vi ved å demonsrere a en ikke-lineær og ikke-monoon rensefunksjon gir en lang mer resrikiv miljøpoliikk. Modellen løser vi numerisk. 1 INNLEDNING I de senere iår har verdenssamfunne bli mer og mer bekymre for global oppvarming forårsake av den såkale drivhuseffeken. Kyoo-konvensjonen, som rådde i kraf fra 1994, forplike de underskrivende land å see øvre grenser for sine uslipp av CO 2. Imidlerid har flere land, deriblan Norge, vegre seg for å raifisere avalen. USA under George Bush erklære i 21 sogar å avvise den grunne konfliken med økonomisk veks. I lys av dee kan de være ineressan å undersøke nærmere hva som er de opimale uslippsnivåe av CO 2 i global målesokk se fra en sosial planleggers side. Eersom bruk og uvinning av fossil brensel ugjør den beydeligse delen av våre uslipp av CO 2, har vi valg å lage en modell der dee represenerer hele forurensningen. Vi undersøker virkningen av avgif på forurensende produksjon. Finnes de e avgifsnivå som gir en opimal * Takk il alle ved Maemaisk insiu, Universie i Bergen. A Sigurd Aanesad er cand. Scien. fra Maemaisk insiu, Universie i Bergen, og jobber som sipendia ved Norges fiskerihøgskule, Universie i Tromsø. B Leif K. Sandal er Dr. Scien fra Maemaisk insiu, Universie i Bergen, og professor ved Insiu for foreaksøkonomi, Norges Handelshøyskole. C Gerhard Berge er professor emerius ved Maemaisk insiu, Universie i Bergen. 51

2 løsning for samfunne som helhe når en veier fordeler og ulemper mo hverandre? I vår modell er dee avgifen som maksimerer summen av velferdsoverskudd når de as høyde for negaive velferdsvirkninger av fly- og oppsamlingseksernalier forbunde med uslipp av CO 2. Den sosial opimale løsningen sammenlignes med den rene markedsløsningen. På denne måen illusreres effeken av en akiv miljøbeviss poliikk. En vikig egenskap med modellen er a forurensningen ikke bare påvirker gjennom eksernalieene. Vi åpner i illegg for a ilbud og eerspørsel er direke påvirke av dens akkumulere nivå. Dermed kan vi a høyde for kundepreferanser som miljøbevisshe i markede. Likeledes enker vi oss a kosnader knye il produksjon kan endres av forurensningen. Dee kan for eksempel være kosnader grunne srengere krav il rensning. I eksiserende økonomisk lieraur anas sor se en lineær rensefunksjon. (Vellinga og Wihagen (1996) og Tahvonen (1997)). Denne anagelsen reduserer de maemaiske ufordringene når en skal finne e opimal skaenivå, men gjør også modellene mindre realisiske. Dersom rensefunksjonen virkelig var lineær, ville uendelig sor forurensning også gi uendelig renseevne. Virkeligheen er mindre rosenrød. Mye yder på a rensefunksjonen ikke bare flaer u, men også avar og går hel i null for høye forurensningsnivå. Dee beyr a scenarier med irreversibel forurensning ikke kan uelukkes. Farzin og Tahvonen (1996) modellerer rensefunksjonen ved å ana o yper karbonbeholdninger i amosfæren. En ype med lineær rensning og en ype som nauren ikke klarer å rense. På denne måen mener de å fange opp forvenede ikke-lineære egenskaper med den virkelige rensefunksjonen. Dessuen har Tahvonen og Salo (1996) gi u en arikkel der forurensningen er skap ved uak av en fornybar ressurs. Her er rensefunksjonen gjor mer realisisk ved a den er sreng økende og konkav for lave forurensningsnivåer og avagende og konveks for høye nivåer. Denne rensefunksjonen er ikke definer eksplisi. Isedenfor er den gi som en generell funksjon med de ønskede egenskaper. Foruen de allerede nevne arbeidene er Sandal og Seinshamn (1998, 2, 21) og Sandal, Seinshamn og Grafon (23) blan dem som har jobbe med modeller der de åpnes for ikkelineære ilnærminger il rensefunksjonen. Vi bruker i dee arbeide en ikke-lineær rensefunksjon. Den øker med forurensningen for lave akkumulere verdier, men når en opp og avar dereer mo null for høy verdier. Eer å ha ana en slik form kalibrerer vi rensefunksjonen baser på hisoriske daa for uslipp av CO 2 og for aggreger mengde i amosfæren. I illegg sammenligner vi med en lineær esimering baser på de samme daa. Flere har påpek a like vikig som avgifssørrelsen er uviklingen over id - om avgifen er avagende eller økende. (jfr. Ulph og Ulph (1994) og Sinclair (1994)). I denne sammenheng er en realisisk rensefunksjon avgjørende. Dessuen er de svær vikig a man ar hensyn il a fossil brensel er en ikke-fornybar ressurs som bare kan høses i e endelig idsperspekiv. Mange ar ikke dee hensyne. Da kan de ana a CO 2 -nivåe uvikler seg mo en likevek der ilførselen av ny forurensning er lik renseevnen fra nauren. (Nordhaus (1982) og Sollery (1998)). Selv om opimeringsprobleme i vår modell har e uendelig idsperspekiv, uvinnes der bare fossil brensel i e begrense idsrom. Vi enker oss a en alernaiv ren energikilde eerhver overar. Profien ved uak av denne alernaive energikilden er ikke konsan. Isedenfor åpnes de for a eknologiske fremskri gir rom for høyere og høyere profi ved bruk av ren eknologi. Vi kjenner ikke il a idsavhengig alernaiv eknologi har bli behandle i lierauren idligere. Tidspunke for eknologiskife, = T, finnes endogen i modellen vår. I T er der o muligheer. Enen har opimal poliikk vær å bruke opp hele ressursen av fossil brensel, eller så er der fremdeles mer igjen. Maemaisk vil vi behandle dee som o adskile ilfeller. I ilsvarende publisere modeller anar man ypisk T som en eksogen sørrelse fordi de gjør 52

3 modellene beydelig enklere. (Se f.eks. Ulph og Ulph (1994)). I forhold il våre resulaer kan avgifsprofil og uaksnivå av fossil brensel endres vesenlig som følge av en slik forenklingen. Relaiv små endringer i modellsørrelser, f.eks. funksjonen for eerspørsel eer fossil brensel, kan gi svær sor endring i T når denne sørrelsen finnes endogen. Dee er hovedårsaken il a vi behandler T som en endogen sørrelse. 2 MODELLEN 2.1 Generelle berakninger Nyen i modellen er knye il velferdsoverskudde i markede for fossil brensel. For å maksimere dee overskudde korrigeres markede for alle fly- og oppsamlingseksernalieer. Med flyeksernalieer mener vi i denne sammenheng de umiddelbare miljøkosnader forbunde med bruk og uvinning av fossil brensel. E eksempel kan være forringe lufkvalie i nærheen av indusriell virksomhe der de nyes fossil brensel. Oppsamlingseksernalieene represenerer de samfunnsmessige kosnader ved a uslipp i dag lagres i amosfæren og får virkninger også for fremiden. Vi lar y() være uak av fossil brensel ved idspunk, mens a() beegner akkumuler CO 2 - nivå i amosfæren og s() er den gjenværende mengden fossil brensel i nauren 1. Videre lar vi den inverse eerspørselskurven P(a,y) represenere samfunnes eerspørsel eer fossil brensel. Dee enker vi oss som en ikke-separabel funksjon på formen P(a,y) = p (a) p 1 (a)y. (Se fig. 1). Legg merke il a denne kurven har generell a-avhengighe. Dermed åpner vi for a miljøhensyn kan påvirke verdensmarkedes eerspørsel eer fossil brensel. Når de gjelder kosnadskurven/ilbudskurven har vi valg å skille mellom priva kosnad, C p (a,y), og sosial kosnad, C s (a,y). Den privae kosnadskurven omfaer bare kosnader som direke vedrører produsenen/ressursuakeren i markede, mens den sosiale kosnadskurven også inkluderer flyeksernalieene i modellen. Oppsamlingseksernalieene represeneres av skadefunksjonen D(a). (D() =, D > og D > for a > ). Uakerne av ressursen er bare oppae av å maksimere produsenoverskudde (PS ), og er derfor blinde for de velferdsdempende fakorene (uslipp/forurensning) knye il uake y. Vi kan heller ikke forvene a samfunnes eerspørsel skal gjenspeile alle de negaive sider ved bruken av ressursen. Derfor enker vi oss a en sosial planlegger juserer markedslikeveken slik a den ugjør e sosial opimum når de as hensyn il fly- og mengdeeksernalieene. Den dynamiske uviklingen av ilsandsvariablene a og s, syres av y. Vi enker oss a uslippene il amosfæren er proporsjonale med y. Dessuen påvirkes dynamikken av rensefunksjonen, f (a). Denne funksjonen kan vi se på som naurens egen neorensning av CO 2 fra amosfæren. Den skal være økende for lave a-verdier, men når en opp ved e viss nivå. For veldig høye a-verdier anar vi a rensningen avar konveks mo null. Dee åpner for scenarier med irreversibel forurensning. Tilsandsligningene er gi ved 2 (1) ȧ = µy f (a), µ > ṡ = y. Vi anar a ressursen med fossil brensel før eller siden brukes hel opp eller blir ulønnsom, og a en ny ren eknologi overar. I denne sise perioden blir ilsandsligningene våre på formen (2) ȧ = f (a) ṡ =, 1 I forseelsen vil de være underforså a a = a(), y = y() og s = s(). 2 Prikk over a og s markerer her idsderivere. 53

4 mens vi enker oss velferden som differansen mellom en kjen profifunksjon π() og skadefunksjonen D(a). 2.2 Ureguler markedsløsning I den uregulere markedsløsningen blir markedsoverskudde fordel i sin helhe mellom produsener og konsumener, og vi kan se bor ifra både fly- og oppsamlingseksernalieer. De vil si a uake y vil være besem av a i henhold il markedslikeveken P(a,y) = C p (a,y). Fig. 2(a) illusrerer denne likeveken, som er danne av den privae kosnadskurven og eerspørselskurven. Denne løsningen av modellen er ikke sosial opimerende. Oppsamlingseksernalieen, D(a), og flyeksernalieene, som inkluderes i den sosiale kosnadskurven, C s (a,y), berører ikke markedsakørene. Uen en akiv skaepoliikk er enese miljøhensyn i modellen a-avhengigheen i kosnadsog eerspørselsfunksjoner. Teknologiskife kommer enen fordi de samlede ressurser av fossil brensel er oppbruk, eller fordi markedsakørenes profi ved ren eknologi blir sørre enn ved radisjonell eknologi. Figur 1. Sosial opimum, (y, P ). Skaen τ forskyver likeveken fra (y 1, P(a,y 1 )) il (y, P ). P P P(a,y) P(a,y) C s(a,y) CS PS C p(a,y) p* τ { CS GS PS C p(a,y) (a) Ren markedsløsning y y* y 1 (b) Reguler marked y 2.3 Reguler markedsløsning Ved hjelp av ska kan den sosiale planleggeren korrigere markedslikeveken slik a den ar hensyn il både fly- og oppsamlingseksernalieer og blir sosial opimerende. Dersom markedslikeveken i ugangspunke ligger i skjæringspunke mellom P(a,y) og C p (a,y), flyer Pigouskaen (3) τ(a,y) = P(a,y) C p (a,y) likeveken mo vensre il de sosial opimale nivåe (y, P ). Vi ser av fig. 2(b) a dee punke ligger noe il vensre for skjæringspunke mellom den sosiale kosnadskurven og eerspørselskurven. Årsaken er a vi har valg å ikke a med oppsamlingseksernalieene i den sosiale kosnadskurven. Disse represeneres isedenfor av skadefunksjonen, D(a). Den sosiale kosnadskurven skiller seg bare fra den privae kosnadskurven ved a den inkluderer flyeksernalieene. På grunn av manglende vien om hvordan disse sørrelsene oppfører seg i virkeligheen, nøyer vi oss med å ilnærme dem lineær. Vi seer C p (a,y) = c p (a) + c 1p (a)y C s (a,y) = c s (a) + c 1s (a)y. 54

5 Uen skadefunksjonen ville markedslikeveken vær gi ved skjæringspunke mellom den inverse eerspørselskurven og den sosiale kosnadskurven. (Se fig.2(b)). Areale mellom P(a, y) og C s (a,y) ville da ugjor flyen av velferdsoverskudd i markede for fossil brensel. Dee areale represenerer vi som (4) hvor π(a,y) = y [ P(a, x) Cs (a, x) ] dx = β(a)y γ(a)y 2, β,γ >, (5) β(a) = p (a) c s (a) og γ(a) = 1 2[ p1 (a) + c 1s (a) ]. Den sosiale planleggeren ar hensyn il oppsamlingseksernalieer represener ved skadefunksjonen D(a). Måle er å maksimere summen av PS +CS +GS. 3 I appendiks A.1 viser vi a summen av PS +CS +GS = π(a,y ) D(a). Dersom vi lar Φ(a(T),T) T e r [ π() D(a)]d, kan vi formulere vår opimeringsproblem som e en-periode-problem med skrapverdi. Neddiskoner velferdsmaksimum er da gi ved { T (6) max e r[ π(a,y) D(a) ] } d + Φ(a(T),T) y,t under bibeingelse [ ] [ ȧ y f (a) (7) = ṡ y ], når < T. I forhold il ligning (1) har vi her skaler både y og s slik a parameeren µ får verdien 1, og kan ignoreres. Dee beyr a fossil brensel måles i hvor mye CO 2 de skaper. Skaenivåe som korresponderer med de opimale uaksnivåe y blir da τ(a,y ) = P(a,y ) C p (a,y ), mens ilhørende ad-valorem ska blir: (8) θ(a,y ) = P(a,y ) C p (a,y ) C p (a,y. ) Maksimeringsprobleme i (6) og (7) kan formuleres o-periodisk med y som enslig konrollvariabel. Nåverdi-hamilonfunksjon blir da 4 π(a,y) D(a) + m(y f (a)) ny, T (9) H(a,y,) = π() D(a) m f (a), > T, med ilhørende førse ordens beingelser: (1) (11) (12) ṁ = rm H a ṅ = rn H s H y =, der m() er skyggepris (kofakor) for a og n() er skyggepris for s. Vi refererer il (1) og (11) som henholdsvis kofakor 1 og kofakor 2, mens (12) er krave for indre opimum. 3 GS (Governmen Surplus) er noe misvisende i denne sammenheng eersom vi ser på uak av fossil brensel i global - ikke nasjonal - målesokk. PS og CS represenerer henholdsvis produsen- og konsumenoverskudd. 4 Prinsippene for opimal konrolleori kan f.eks finnes i Kamien og Schwarz (1991). 55

6 Når de gjelder ransversalieskravene il maksimeringsprobleme (6) og (7), blir ransversalieskrave svarende il a ressursen er endelig 5 (13) n(t)s(t) =, s, n(t). Filipov-Cesaris eksisenseorem 6, garanerer eksisens av en opimal løsning for probleme vår. (Se appendiks A.2). En formulering av hvordan vi har løs opimeringsprobleme vår følger i appendiks A.3. 3 NUMERISKE EKSEMPLER Før vi presenerer numeriske løsninger av modellen, skal vi gjøre noen spesifikasjoner over akuelle modellsørrelser. Forurensningen, a, måles i gigaonn CO 2, og vi har valg å gjøre skaleringen a a ã, der ã = 2187 er pre-indusriel a-nivå. Dee er fornufig fordi CO 2 -nivåe i amosfæren var relaiv sabil før den indusrielle revolusjon, iallfall mellom isidene. Dessuen er skaleringen hensiksmessig i definisjonen av rensefunksjonen. Denne er valg på en form som hovedsakelig represenerer en forskjøve normalfordeling. Vi har sa (14) f (a) = k 1 max {,e k 2( a â 1)2 e k 2 }, der â er opp-punke for f (a). Dee er gi verdien â = 625. Legg merke il a f () =. Dee oppnådde vi ved skaleringen av parameeren a. Konsanene k 1 og k 2 er funne ved kalibrering av rensefunksjonen med daa for amosfærisk CO 2 -nivå og ilsvarende uslipp. 7 Resulae ble k 1 = og k 2 = Her måles k 1 og f (a) i gigaonn CO 2 pr. år, mens k 2 er dimensjonsløs. (Se ab. 2 for en oversik over dimensjonene il alle sørrelsene i modellen). Verdien â = 625 kan kanskje kriiseres for å være noe pessimisisk eersom de følger a dagens forurensning, a = 625, ugjør maksimum for rensefunksjonen. De nyese daaene som er ilgjengelige underbygger likevel vår modellering. De viser a oppsamling av CO 2 i amosfæren har aksellerer de sise årene samidig som uslippene har flae u. Dee yder på a naurens egen rensning er svekke og passer veldig god med vår anagelse om en rensefunksjon som er avagende for forurensningsnivåer høyere enn vår a -verdi. Rensefunksjonen vi har bruk gir mindre og mindre rensning dess mer a siger når a > a. Når a passerer 2â = 125 vil den opphøre hel. Da får vi irreversibel forurensning. E slik verse ufall-scenario kan ikke avvises fra e biologisk såsed. Virkninger av den ikke-lineære rensefunksjonen skal vi i avsni 3.2 sammenligne med virkningene av en lineær ilnærming som er kalibrer med de samme daa. I de andre avsniene undersøker vi bare den ikke-lineære ilnærmingen. Vi fan følgende lineære ilnærming: (15) f lin (a) =.17a. Skadefunksjonen er i likhe med rensefunksjonen en veldig usikker sørrelse. Denne skal gi e økonomisk mål (NOK) på de negaive ringvirkninger av oppsamling av CO 2 i amosfæren. Vi har valg å følge Sandal og Seinshamn (2), som bruke (16) D(a) = a En mer generell diskusjon av ransversalieskrav finner man i Seiersad og Sydsæer (1987) og Kamien og Schwarz (1991). 6 Se Seiersad og Sydsæer (1987). 7 Daa for amosfærisk CO 2 -nivå og daa for hisoriske uslipp er ilgjengelige på henholdsvis hp://cdiac.esd.ornl.- gov/fp/maunaloa-co2/maunaloa.co2 og hp://cdiac.esd.ornl.gov/fp/ndp3/global.ems. 56

7 Denne funksjonen har de ønskelige egenskapene D() =, D når a > og D >. For den idsavhengige alernaive profien benyer vi (17) π() = 14 7 e.7. Vi enker oss dermed en alernaiv eknologi som uvikler seg veldig for i begynnelsen, men eerhver ar u hele si poensiale og sabiliserer seg mo lim π() = 14. De må undersrekes a både π() og D(a) er høys usikre sørrelser. De gjensår mye økonomeri og daaanalyse før vi får full klarhe i disse. De ligger imidlerid uenfor dee arbeide, hvor hovedfokus er å sudere mulige effeker av en ikke-lineær rensefunksjon. Man skal derfor ikke overdrive vekleggingen av parameersørrelser og enheer. A D(a) og π() måles i NOK pr. idsenhe, mens = 1 ilsvarer e år, er av mindre beydning enn modellens prinsipielle elemener. Vi har i modellen vår ana generell a-avhengighe i markede for fossil brensel. Dermed gis de rom for a miljøbevisshe blan forbrukerne kan påvirke eerspørselen. E ilfelle uen a-avhengighe og e ilfelle med a-avhengighe undersøkes. Disse sammenlignes i seksjon 3.1. I de andre seksjonene undersøker vi bare a-avhengighe. I ilfelle med a-avhengighe sae vi p (a) = a. Da er p o (a ) = 15.25, som er nesen lik verdien i ilfelle med p o konsan lik Dee er ingen serk avhengighe for den inverse eerspørselen P(a,y) = p (a) p 1 (a)y, men vi skal se a den likevel får en del å si for a og T. De kan være verd å legge merke il a vi har valg C p som en egen enhe (jfr. ab. 2) og sa C p = C s = 1 i ab. 1. Uen skaleringen µ = 1, (jfr. ligning (1) og (7)), ville enheen C p ha ilsvar prisen på den billigse oljen verdensmarkede er i sand il å produsere. Vi nøyer oss med a C p er proporsjonal med denne prisen. Vi har sa diskonering r =.5 dersom anne ikke er spesifiser. De andre paramerene for eerspørsels- og kosnadskurver finner vi i ab. 1. Disse er usikre eersom mye økonomeri og daaanalyse mangler. Tabell 1. Benyede verdier for parameerne i eerspørsels- og kosnadsfunksjonen. Markedslikevek Parameer verdi parameer verdi avhengig av a p a p 1.6 uavhengig p 15.3 p 1.6 av a c s 1 c 1s.9 c p 1 c 1p.2 Tabell 2. Enheer for parameere og funksjoner. Parameer enhe funksjon enhe [a], [s] G. CO 2 f (a) G. CO 2 /pr. år [y], [k 1 ] G. CO 2 pr./år D(a) NOK/pr. år [c p (a)], [c s (a)], [p (a)] C p (a) [π(a,y)] NOK/pr. år [c 1p (a)], [c 1s (a)], [p 1 (a)] C p år/g. CO 2 [ π()] NOK/pr. år [θ], [k 2 ] dimensjonløs [φ(a(t),y(t))] NOK 57

8 3.1 Reguler versus ureguler markedsløsning I denne seksjonen skal vi fokusere på virkningen av eksernalieene i modellen. De vil si a vi skal sammenligne den uregulere markedsløsningen med den regulere. Samidig ser vi også på virkningen av a eerspørselen gjøres negaiv korreler med akkumuler forurensning. Dee kan vi kalle idealisisk marked. La oss førs konsenrere oss om virkningen av å regulere markede med ska eller avgif. Skaen, som viser seg å ligge mellom 13 og 16 % over ureguler markedspris, får sore konsekvenser i dee numeriske eksempele. I fig. 3(a) og 3(b) gir e ureguler marked irreversibel forurensning. Dee ser vi fordi den akkumulere forurensningen ikke avar eer eknologiskife. Isedenfor sabiliseres den på e veldig høy nivå. Denne egenskapen ville modellen vår ikke fange opp dersom rensefunksjonen var lineær. De a vi har ana dagens nivå for rensning som de maksimale, gjør a virkeligheen kan komme il å se noe lysere u enn i vår numeriske beregning, men de er ikke gi a vår anslag for rensefunksjonen er for pessimisisk. Tab. 3 viser a iden frem il eknologiskife forlenges krafig når markede er ureguler. Særlig i ilfelle der eerspørselskurven ikke er a-avhengig. Da brukes ressursen av fossil brensel opp, og som en konsekvens av dee blir ikke eknologien ren før eer over 3 år. Med a- avhengighe kommer eknologiskife allerede eer 53 år. Dermed ser vi a forbrukernes miljøbevisshe kan ha veldig mye å si. Vi regisrerer også a uen a-avhengighe så er forurensningen ved eknologiskife nesen 5 ganger høyere for de uregulere ilfelle enn for de regulere. Dessuen legger vi merke il a y() = y(t) for ilfelle uen a-avhengighe i den rene markedsløsningen. For en sosial planlegger kan de på ab. 3 og fig. 2 se u som beydningen av miljøbevisshe i markede er mindre enn for de uregulere markede. Vi kan forså dee som a planleggerens skaer gjør markedes bevisshe mindre nødvendig, og de negaive konsekvensene av forurensningen blir i dee ilfelle ikke så sore fordi forurensningen begrenses av skaen som blir pålag. Suderer vi imidlerid fig. 3(a) og 3(b) nøye, ser vi a miljøbevissheen likevel har sor beydning. I de idealisiske ilfelle har a-kurven en spiss opp - de vil si a den avar for eer eknologiskife. Årsaken er a forurensningen på si høyese nivå ikke er høyere enn a naurens rensning fremdeles bidrar vesenlig. Uen a-avhengighe blir imidlerid a-kurven mye flaere. Dee fordi sor forurensning har svekke naurens egen renseevne så mye a eknologiskife i førse omgang bare uløser en beskjeden reduksjon i akkumuler forurensning. I de nese seksjonene vil vi la eerspørselen være a-avhengig. Tabell 3. Randsørrelser i reguler/ureguler marked. Konsan/a-avhengig eerspørsel. Marked eerspørsel y() y(t) a(t) s(t) T θ() θ(t) Ureguler konsan a-avhengig Reguler konsan a-avhengig Lineær versus ikke-lineær rensefunksjon I denne seksjonen skal vi se hvilken beydning formen på rensefunksjonen har for opimeringsprobleme vår. Vi eser den ikke-lineære formen (14) mo den lineære (15). Forskjellen i virkninger av lineær og ikke-lineær rensefunksjon illusreres kanskje bes i de uregulere ilfelle. Dersom vi beraker a-kurvene for dee ilfelle i fig. 3, ser vi a de ar relaiv lang id før eknologiskife finner sed slik a forurensningen er svær høy. I ilfelle med lineær rensning (fig. 4(a)) avløses skife i eknologi umiddelbar av en serk nedgang i akkumuler 58

9 Figur 2. Akkumuler forurensning. (G. CO 2 ). Reguler versus ureguler marked a() reguler marked a() ureguler marked a() reguler marked a() ureguler marked (a) Ikke-idealisisk marked (b) Idealisisk marked. forurensning. Dee fordi anagelsen om lineær rensning gir svær opimisiske renseverdier for høye forurensningsnivå. I mosening ser vi a lang lavere rensning for høye a-nivå i de ikkelineære ilfelle gir irreversibel forurensning. En ineressan egenskap ved linearie, som er særlig ydelig i de uregulere markede, er a eerhver som iden går flaer den akkumulere forurensningen u. Årsaken er a rensningen øker lineær med forurensningen. Dermed er vi i en slags likevek med svær sore uslipp og svær sor forurensning. (Se fig. 4(a)). I vår numeriske eksempel kommer eknologiskife som e resula av a den alernaive rene eknologien blir den mes lønnsomme, men dersom vi hadde endre li på modellparameerne kunne skife komme på grunn av knapphe på fossil brensel. I de regulere markede ser vi en mer modera virkning av ikke-linearie. Tendensene er likevel de samme. Ikke-linearieen fremskynder eknologiskife krafig, og de fremidige skadevirkninger av forurensningen er sørre fordi anslagene for naurens renseevne er mer pessimisiske. Når de gjelder skaerykke ser vi i fig. 4 a dee blir noe sørre i de ikke-lineære ilfelle. Forskjellene er imidlerid ikke dramaiske. Iniiel er skaen henholdsvis 138 % og 157 %, mens den for begge ilfellene er konkav frem il eknologiskife og da har gå beydelig ned. Tabell 4. Randsørrelser. Lineær versus ikke-lineær rensefunksjon. Marked Rensefunksjon y() y(t) a(t) s(t) T θ() θ(t) Ureguler Lineær Ikke-lineær Reguler Lineær Ikke-lineær Virkning av diskonering Vi skal nå se hvilken innvirkning diskoneringen, r, har for modellen vår. Dee eser vi bare u for den regulere markedsløsningen eersom diskoneringen ikke har noe å si når markede er ureguler. (Se seksjon 2.2). Særlig skal vi konsenrere oss om sammenhengen mellom diskonering og ska. Vi ser av ab. 5 a forurensning og uaksperiode siger klar med økende diskoneringer. I illegg ser vi a iniiel uak øker ydelig, mens uake like før eknologiskife er noe mindre 59

10 Figur 3. Akkumuler forurensning. (G. CO 2 ) a() reguler marked a() ureguler marked a() reguler marked a() ureguler marked (a) Lineær rensefunksjon f lin (a) (b) Ikke-lineær rensefunksjon f (a). Figur 4. Ad-valorem ska, θ(). (S kaeprosen = θ 1%) ad valorem ska ad valorem ska (a) Lineær rensefunksjon f lin (a) (b) Ikke-lineær rensefunksjon f (a). følsom. Dee er slik vi på forhånd kunne forvene eersom diskoneringen øker beydningen av umiddelbar profi. Tabell 5. Randsørrelser. Diskoneringens virkning i o yper marked. Marked Diskonering y() y(t) a(t) s(t) T θ() θ(t) reg- r = uler r = r = Akkumuler forurensning viser seg å bli en del sørre ved 5 % diskonering enn ved 1 % diskonering. (Se fig. 5). Både høyere uaksnivå og senere eknologiskife må a skylden, men forskjellene er ikke dramaiske. Når de gjelder skaerykke er ikke virkningene av diskoneringen så veldig sore. Vi ser av fig. 6 a skaen faller eerhver som vi nærmer oss eknologiskife. Ved lav diskonering er der mye høyere ska iniiel, men ved eknologiskife er forskjellene mindre. Dee er også hva vi kunne forvene eersom vi så a iniiel uak var følsom for diskonering. Ellers ser vi a skaen er konkav i iden. Fig. 7 viser også a skaen avar med øke mengder av akkumuler 6

11 forurensning. Når a-nivåene ikke er høyere enn i disse eksemplene, ser vi også a skaen er konkav i a. De a skaen avar når akkumuler forurensning øker er kanskje ikke hel inuiiv. Mange vil kanskje forvene a høy forurensning også vil gi høy ska eersom skaden av uslippene da er sørre. Men vi må også huske a når forurensningen allerede er veldig sor, så vil en lien økning være enda mindre relaiv se. En økning i skaenivå som reduserer uake kan da gi e sørre ap for markedsakørene enn den innek de gir for planleggeren. I illegg kommer a flyeksernalieenes innvirkning i noen grad kan sies å a over skaens uaksdempende funksjon i ilfelle med a-avhengig eerspørsel. Numeriske eksempler viser a skaens konkaviesegenskaper forsvinner for sore a-verdier i ilfelle uen idealisiske markedsakører. Figur 5. Akkumuler forurensning (G. CO 2 ) for ulike diskoneringsverdier. 1 a() 1 a() (a) r = (b) r =.5. Figur 6. Ad-valorem ska, θ(), for ulike diskoneringsverdier ad valorem ska ad valorem ska ad valorem ska (a) Diskonering r = (b) Diskonering r = (c) Diskonering r =.5. 4 OPPSUMMERING OG KONKLUSJONER I dee arbeide sammenligne vi førs en ureguler markedsløsning med en reguler markedsløsning. Vi såg a ska som jusere markedslikeveken il å a hensyn il oppsamlingseksernalieer fikk sore konsekvenser for akkumuler forurensningsnivå og eknologiskifeidspunk. Uen ska gav modellen en ilsand med irreversibel forurensning eersom de akkumulere CO 2 -nivå ble så høy a naurens egen rensning kollapse. 61

12 Figur 7. Ska som funksjon av forurensning (θ(a)) når r =.5. ad valorem ska ska/forurensning ad valorem ska ska/forurensning ad valorem ska ska/forurensning a (a) Diskonering r = a (b) Diskonering r = a (c) Diskonering r =.5. Modellformuleringen med eerspørsel som avok med øk forurensning virke serk inn på resulaene. Dee gav også irreversibel forurensning i den rene markedsløsningen, men hadde vi valg sørre negaiv forurensningskorrelasjon for eerspørselen kunne dee gi e anne resula. Egenskapen med irreversibel forurensning er kun e mulig scenario når der brukes en ikkelineær rensefunksjon. Dersom rensefunksjonen velges lineær, vil nauren uavhengig av forurensningsnivå rense seg selv relaiv kor id eer e eknologiskife. Dee fordi rensningen siger lineær med akkumuler forurensning. Uendelig sor forurensning gir dermed uendelig renseevne. De viser seg a anagelsen om lineær rensefunksjon resulerer i lang lavere avgifer på uak av fossil brensel enn ikke-lineære funksjon av den ypen vi har bruk. Da vi berake idshorisonen frem il eknologiskife for de o ilfellene, såg vi a forskjellene kunne bli svær sore. Lineær rensning usae eknologiskife beydelig. Sammen med lavere avgifer gav dee e mye høyere samle uak over id, og dermed ble lang mer av ressursen bruk opp. I de uregulere ilfelle ble nesen hele ressursen bruk opp. Al i al er de nærliggende å konkludere med a de å bruke en lineær ilnærming il rensefunksjonen er urealisisk og misvisende når en skal si noe om den virkelige verden. I den sise seksjonen undersøke vi hvordan diskoneringsnivåe påvirker den regulere markedsløsningen. Resulaene var svær følsomme for diskonering slik vi normal kan forvene. Høy diskonering gav sen eknologiskife og lav ska iniiel. Resulae var høyere forurensning. Skaekurvene vi observere var konkave og fallende med iden. Dessuen såg vi a de fal med forurensningsnivåe og var svak konkave også som funksjon av dee. Denne konkavieen såg u il å forsvinne for sore forurensningsverdier. I modellen vår fan vi idspunke frem il eknologiskife endogen. Den sore forskjellen i T for de ulike varianene av opimeringsprobleme vi ese u, viser hvor avgjørende de kan være å besemme T endogen. En eksogen ilnærming gir rom for sore feil. Ellers bruke vi en idsavhengig alernaiv profi, og vise a de lo seg gjøre å besemme den opimale løsning med a-avhengig eerspørsel ( idealisisk marked ). Begge deler kan være med og gjøre modellen mer realisisk. Som en avsluende konklusjon mener vi a dee arbeide demonsrerer vikigheen av en yerligere økonomerisk karlegging av modellens sørrelser. Rensefunksjonens beydning viser a å få denne ype basale elemener rikigere er bedre enn å spekulere i ulike yper sokasiske uvidelser av probleme. 62

13 A APPENDIKS A.1 Sosial opimum Vi skal her vise a PS +CS +GS = π(a,y) D(a). (Se fig. 1). Vi har (18) (19) (2) PS = y C p (a,y ) CS = y GS = y τ D(a) y C p (a, x)dx. P(a, x)dx y ( C p (a,y ) + τ(a,y ) ) y ( Cs (a, x) C p (a, x) ) dx. Dermed får vi (21) PS +CS +GS = y C p (a,y ) y C p (a, x)dx y + P(a, x)dx y ( C p (a,y) + τ(a,y ) ) y + y ( τ D(a) Cs (a, x) C p (a, x) ) dx = y ( P(a, x) Cs (a, x) ) dx D(a) = π(a,y ) D(a). A.2 Eksisensbevis Vi skal her vise a de allid eksiserer løsning for opimeringsprobleme definer i (6) og (7). I den sammenheng begrenser vi oss il å vise a beingelsene i Filipov-Cesaris eksisenseorem, som vi finner som eorem 6.18 i Seiersad og Sydsæer (1987), er oppfyle. Krave om a mengden N(a,y,) er konveks, ugjør sammen med krave om en øvre grense for ilsandsvariablene, de enese ikke-rivielle beingelser sil i dee eoreme. Når de gjelder de sise krave har vi a ȧ + ṡ = y f (a) + ( y) = f (a), slik a a + s a + s. Følgelig er dee ilfredssil. Teoreme foruseer a mengden (22) N(a,y,) = { (e r [π(a,y) D(a)] + γ,y f (a), y) : γ,y [,ŷ] } er konveks for alle (a,) R [,T]. (I (22) er ŷ gi ved π y (a,ŷ) = ). Bevis: Fikser (a,), la z i e r [π(a,y i ) D(a)] + γ for i = 1,2, og la y 3,z 3 være en konveks kombinasjon av y 1,y 2 og z 1,z 2. Vi får λ(z 1,y 1 f (a), y 1 )+(1 λ)(z 2,y 2 f (a), y 2 ) = (λz 1 +(1 λ)z 2,λy 1 +(1 λ)y 2 f (a), λy 1 (1 λ)y 2 ) = (z 3,y 3 f (a), y 3 ). Konkavieen il π(a,y) gir z 3 = e r [λπ(a,y 1 ) + (1 λ)π(a,y 2 ) D(a)] + λγ 1 + (1 λ)γ 2 e r [π(a,y 3 ) D(a)] + λγ 1 + (1 λ)γ 2 γ 3 λγ 1 + (1 λ)γ 2 (z 3,y 3 f (a), y 3 ) N(a,y,T). A.3 Formulering av modell I de følgende skisserer vi førs kor i seksjon A.3.1 hvordan vi kommer frem il en differensialligning som gir en feedback-form for den opimale konrollen, y = y(a). Dereer gjør vi i seksjon 63

14 A.3.2 rede for hvordan vi benyer oss av denne differensialligningen il å finne en numerisk løsning av modellen. Opimeringsprobleme i ligningene (6) og (7) kan formuleres slik a de srekker seg over o perioder - før og eer eknologiskife. Konrollvariabelen er uake, y, og vi har e ilpasningsproblem i idspunke T. Hamilonfunksjonen med ilsandsligninger, muliplikaorligninger og de indre opimalieskrave er oppsummer i ab. 6. Tabell 6. Førseordens beingelser. Beskrivelse Førse periode Sluperiode Tid T T < produksjon y >, y(t) = y T > y = Sosial velferd π(a, y) D(a) π() D(a) Tilsandligning 1 ȧ = y f (a) ȧ = f (a) Tilsandsligning 2 ṡ = y Hamilon H = π(a,y) D(a) + m(y f (a)) ny H = π() D(a) m f (a) Indre opimum H y = m n = π y (a,y) Kofakor 1 ṁ = (r + f (a))m π a (a,y) + D (a) ṁ = (r + f (a))m + D (a) Kofakor 2 ṅ = rn ṅ = rn,ns = og n, s Vi krever a denne Hamilon-funksjonen, ilsandsvariablene og muliplikaorene er koninuerlige i = T. Kofakor 2: Løser vi ligningen for kofakor 2 i ab. 6, får vi (23) n() = n e r, der n = n(). Dee kombinerer vi med (13) og får o muligheer for skyggeprisen n(): Tilfelle 1: s(t) > og n() = for alle. Tilfelle 2: s(t) = og n() = n e r. A.3.1 Feedback-formulering I de følgende skal vi skal vi uen å gå inn på dealjer skissere hvordan vi uleder en 1. ordens differensialligning for feedback-kurven il y for ilfelle 1 og ilfelle 2. For begge ilfellene vil den dynamiske egenskapen (24) d d H = r(h aȧ + H s ṡ) bli bruk. (En uledning av dee resulae finnes blan anne i Sandal og Berge (2)). Videre seer vi krave om indre løsning, se ab. 6, inn i Hamilon-funksjonen. Dee gir (25) H(a,y) = π(a,y) D(a) yπ y m f (a). Tilfelle 1: s() > og n() = for alle. De a n = forenkler ligningssyseme (24) og (25). Vi kommer frem il differensialligningen (26) y (a)(y f )π yy = π a D (y f )π ay + (r + f )π y ved å løse dee syseme. Dee er vis i Aanesad, Sandal og Berge (23). 64

15 Tilfelle 2: s(t) = og n() = n e r. I dee ilfelle blir feedback-formen mer kompliser. I illegg il (24) og (25) må vi rekke inn differensialligningen for kofakor m. (Se ab. 6). Da kommer vi eer noen ekniske dealjer frem il en feedback-ligning. Isedenfor å presenere denne, presenerer vi den idseksplisie versjon som er noe enklere ren noasjonsmessig. Vi har ȧ y f (a) dy (27) d = ẏ = G 1 (a,y,m)(y f (a)) ṁ (r + f (a))m + D, (a) med G 1 (a,y,m) y (a) = π a D yπ a y m f )(y f ) + r(yπ y + m f ). yπ y y(y f ) Dealjene for hvordan vi kommer frem il denne ligningen er presener i Aanesad, Sandal og Berge (23). A.3.2 To randverdiproblem I seksjon A.3.1 fan vi differensialligninger for opimale løsningskurver for hver av de o spesialilfellene av opimeringsprobleme vår. Nå skal vi finne ilhørende randbeingelser ilsrekkelige for å finne løsningskurvene for hver av ilfellene. Fremgangsmåen blir i praksis a man førs anar a der ikke er noen ressursknapphe, alså ilfelle 1. Man finner ilhørende opimale løsningskurver for dee ilfelle og konrollerer a uake gir s(t). Dereer søker man en løsning hvor ressursen brukes hel opp. (Tilfelle 2). Hvis der eksiserer poensielle løsninger for begge de o ilfeller, må man numerisk sammenligne overskudde knye il løsningene. Tilfelle 1: s T > og n() = for alle. I dee ilfelle er randkravene iniialbeingelsen a() = a, sam overgangsbeingelsene i = T. Siden n() =, er Hamilon-funksjonen vår H = π(a,y) D(a) + m(y f (a)). Ligningen for kofakor 1 sammen med beingelsen lim a() =, de indre opimalieskrave og krave om koninuerlig hamilon-funksjon gir oss følgende beingelser i eknologiskifeidspunke: (Se Aanesad, Sandal og Berge (23) for en uledning av disse beingelsene). 8 (28) (29) (3) at dm m T = m( ) + da da G(a T ), H y = π y (a T,y T ) + m T = π(t) + γ(a T )y 2 T =. T Sørrelsene som skal besemmes er T, a T, y T og m T. I illegg il de re overgangsbeingelsene i eknologiskifeidspunke, (28)-(3), krever vi a iniialbeingelsen er oppfyl. Vi har dermed fire randkrav og fire ukjene sørrelser. Siden vi har eksplisi idsavhengighe i den alernaive profifunksjonen, π(), lønner de seg å bruke eksplisi idsavhengighe også når vi skal finne de opimale løsningskurvene for y og a. Vi har (31) [ dy ȧ d = ẏ ] [ = ] (y f (a)) y (a) ( y f (a) ), 8 Vi har i de følgende bruk a(t) = a T, y(t) = y T, s(t) = s T og m(t) = m T. 65

16 der y (a) er gi ved (26) og vi har randkravene (28) - (3) sam a() = a. De viser seg a dy d er numerisk usabil når man inegrerer fra = il = T. Går man mosa vei fra = T il = blir syseme sabil. Siden man har randkrav både i = og = T, er de ikke e riviel problem å løse (31) med ilhørende randkrav. Vi ble nød for å uvikle en egen shooing-meode som kunne håndere dee randverdiprobleme numerisk. Tilfelle 2: n() = n e r og s(t) =. Vi bruker følgende randkrav: a() a = π(t) + γ(a T )y 2 T = (32) m T M(a T ) = s(t) =. Dessuen innfører vi parameeren Ω() med iniialkrav Ω() =. Denne beegner samle neddiskoner overskudd ved idspunk, og er a med fordi differensialligningene våre med ilhørende randkrav i noen ilfeller kan ha flere løsninger slik a vi må sammenligne dem numerisk for å skille u hvilken som er den bese. Anall mulige løsninger vil avhenge av a-avhengigheen i γ. (Se andre ligning i (32)). Dee vil vi imidlerid ikke komme noe mer inn på her. I illegg il de nevne randkravene har vi m T n T = π y (a T,y T ), men dee krave bidrar ikke med noe ny siden de innfører en ny ukjen, nemlig n T. Differensialligningssyem (27) uvider vi med urykk for ṡ og Ω. Dermed får vi: (33) dy d = ȧ ẏ ṁ ṡ Ω = y f (a) G 1 (a,y,m)(y f (a)) (r + f (a))m + D (a) y e r( π(a,y) D(a) ), Vi ser a vi har fem randkrav og fem differensialligninger. Dee randverdiprobleme er like kompliser som ilsvarende problem under ilfelle 1. Vi bruke en såkal kollokasjonsmeode for å løse probleme numerisk. 66

17 Referanser: Aanesad, S., Sandal, L. K. og Berge, G.(23): «Dynamiske CO 2 -avgifer. En modell med endogen besem avgifsperiode». NHH - Discussion Papers, 21. Farzin, Y. H. og Tahvonen, O. (1996): «Global Carbon Cycle and he Opimal Time Pah of a Carbon Tax». Oxford Economic Papers, 48, Kamien, M. I. og Schwarz, N. L. (1991): «Dynamic Opimizaion. The Calculus of Variaions and Opimal Conrol in Economics and Managemen». Second Ediion. Elsevier Science Publishers B.V., Amserdam. Nordhaus, W. (1982): «How Fas Should We Graze he Global Commons?». The American Economic Review, 72, Sandal, L. K. og Berge, G. (2): «A Perubaion Approach On a Class of Opimal Conrol Problems, Unifying he Ponryargin and Dynamic programming Approach». NHH - Discussion Papers, 15. Sandal, L. K. og Seinshamn, S.I. (1998): «Dynamic correcive axes wih flow and sock exernaliies: A feedback approach». Naural Resource Modelling,11, Sandal, L. K., Seinshamn, S. I. og Grafon, R. Q. (23): «More is Less: The Effecs of Ignorring Flow exernaliies». Resource an Energy Economics, 25, Sandal, L. og Seinshamn, S. I. (21): «A Simplified Feedback Approach o Opimal Resource Managemen». Naural Resource Modelling, 14, Sandal,L. K. og Seinshamn, S. I. (2): «Dynamiske adapive miljøavgifer». SNF-rappor, 84. Seiersad, A. og Sydsæer, K. (1987): «Opimal Conrol Theory wih Economic Aplicaions». Elsevier Science Publishers B. V., Amserdam,. Sinclair, P. J. N. (1994): «On he Opimum Trend of Fossil Taxaion». Oxford Economic Papers, 46, Sollery, K. R. (1998): «Consan Uiliy Pahs and Irreversible Global Warming». The Canadian Journal of Economics, 31, Tahvonen, O. (1997): «Fossil Fuels, Sock Exernaliies, and Backsop echnology». The Canadian Journal of Economics, 3, Tahvonen, O. og Salo, S. (1996): «Nonconvexiies in Opimal Polluion Accumulaion». Journal of Environmenal Economics and Managemen, 3, Ulph, A. og Ulph, D. (1994): «The opimal ime pah of a carbon ax». Oxford Economic Papers, 46, Vellinga, N. og Wihagen, C. (1996): «On he consep of green naional income». Oxford Economic Papers, 48,