Funksjonslære Derivasjon Matematikk 2

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Funksjonslære Derivasjon Matematikk 2"

Transkript

1 Funksjonslære Derivasjon Maemaikk 2 Avdeling for lærerudanning, Høgskolen i Vesfold 19 mars Innledning La f(x) være en funksjon, alså, en sørrelse som er avhengig av x De kan ofe være hensiksmessig å sille spørsmåle hvor for vokser eller avar f(x) i e viss punk? E grunnleggende eksempel er: Tenk om vi kjører en bilur, og lar f(x) være srekningen som vi har ilbakelag oss eer x minuer Å spørre hvor for srekningen vokser i e idspunk er re og sle å spørre hvor for vi kjører i de idspunke 11 Lineære funksjoner Dersom funksjonen vår er lineær, er de e kjen begrep som beregner hvor for den vokser/avar: signingsalle il grafen For eksempel, enk om vi kjører en bilur på 20km i en halv ime med hel jevn far Vi lar x være iden og f(x) være ilbakelag srekning eer iden x Grafen av f(x) (figur 1) er ei re linje gjennom origoen og (1/2ime, 20km) Dens signingsall er 20km 0 1/2 ime 0 = 40km/ime som er bare faren Med andre ord: Vi husker a signingsalle il linja er disansen som y- verdien (alså, f(x)-verdien) siger dersom x-verdien øker med 1 Til gjengjeld, i virkeligheen, er hasigheen (i km/ime) lik veksen i srekning dersom iden øker med 1 ime Så svarer signingsalle il hasigheen i vår geomerisk fremsilling av siuasjonen 1

2 Eller, vi kunne også ha bruk formelen som gir faren = ilbakelag srekning, id ilbakelag srekning = faren id som blir f(x) = (40km/ime) x i vår noasjon Slik ser vi igjen forbindelsen mellom faren og signingsalle 12 Veks av ikke-lineære funksjoner Hvis funksjonen vår ikke er lineær, kommer vi ikke umiddelbar på e begrep, ilsvarende signingsalle, som gir informasjon om hvor for funksjonen vokser il enhver id I virkeligheen er de flese funksjoner ikke lineære; for eksempel er de lie sannsynlig a vi kjører med hel jevn far i en halv ime Kanskje kjøre vi gjennom en by i de førse i minuer, og da kom vi u på lande der vi kunne kjøre forere, og da kom vi il en ny by og måe lee eer parkeringsplass, slik a vi kjøre sakere i de sise i minuer (fig 2) Her er de vanskeligere å si akkura hvor for vi kjøre il enhver id ; de er kanskje vanskelig engang å si hva dee beyr Men som førse anslag, kan vi a dele srekningen med iden for hele reisen Da får vi igjen 40km/ime Slik får vi fakisk gjennomsnishasigheen for uren Dee er e anslag il hasigheen il enhver id, men e veldig grov e Kan vi forbedre de, på noen vis? Jo, vi legger merke il a uren besod sor se av re bier der hasigheen variere mindre enn de variere over hele uren Hver bi vare omren 10 minuer Hvis vi da deler idsramme i re bier på 10 minuer, da går de an å beregne gjennomsnishasigheen i hver av disse korere periodene (fig 3) U ifra grafen leser vi de følgende punkene: (0, 0), (10 min, 4km), (20 min, 18km) og (30 min, 20km) Derfor er gjennomsnishasigheen i den førse 10 minuersperioden lik 4km 10 min den i den andre 10 minuersperioden er 18km 4km 20 min 10 min = 14km 10 min = 0, 4km/min = 24km/ime, = 1, 4km/min = 78km/ime 2

3 og den i den sise er 20km 18km 30 min 20 min = 2km 10 min = 0, 2km/min = 12km/ime Nå har vi få ak i e bedre anslag il hasigheen i hver idspunk av uren De vi har gjor er å lae som om funksjonen var lineær i hver iminuersperiode, slik a dens graf på hver inervall er linjesykke mellom endpunkene av grafen på inervalle Da har vi bruk den spesielle egenskapen av lineære funksjoner som vi diskuere ovenfor: a signingalle kan beregnes og gir funksjonens vekshasigheen il enhver id Men dee er forse kun e anslag Vi kan forbedre de ved å dele opp videre på grafen: isedenfor å dele i re inervall på 10 minuer, ar vi seks sykker på 5 minuer hver På hver av disse, beregner vi gjennomsnishasigheen som signingsalle il linjesykke mellom endpunkene av grafen på inervalle (den såkale sekanen il grafen i de o punkene) Ved å gjena denne prosedyren mange ganger, kan vi få il e veldig god anslag il hasigheen i hver idspunk Men hvor nøyakig kan vi få de il å være? La oss enke a vi kjøre forbi en farskonroll når vi var akkura 18 minuer ue på veien og hadde kjør 17km, og vil vie akkura hva sod på speedomeeren i de idspunke Vi kan gjøre som før, og se på e lie sykke av grafen, som sarer i punke (18 min, 17km) og sreker li u il høyre Vi velger e punk i dee inervalle, og beregner signingsalle il sekanen mellom de o punkene (fig 4) Dee er e anslag il hasigheen i akkura 18 minuer Ved å velge e punk nærmere il (18, 17), får vi e bedre anslag Og nå kommer e nøkkelpoeng: jo nærmere de andre punke kommer il (18, 17), deso nærmere kommer sekanen mellom de o punkene il angenen il grafen i (18, 17) Derfor er de rimelig å si a hasigheen i idspunke 18 minuer er lik signingsalle il den angenen Denne moiverer en definisjon: Definisjon 11 La f være en funksjon av en variabel x som er definer i e punk c Dersom de eksiserer, kalles signingsalle il angenen il grafen av f i punke c for den derivere il f i punke c med hensyn il x Vi noerer den f (c) (ual f derivere av c ) Den derivere måler hvor for funksjonen vokser i punke c I vår eksempel sår x for iden, og funksjonens verdi i e (ids)punk er lik srekningen ilbakelag i de idspunke Å spørre hvor for denne srekningen vokser i e idspunk er ikke anne enn å spørre hvor for vi kjøre i de idspunke I 3

4 vår nye erminologi, er hasigheen den derivere av srekningen med hensyn il id La oss se på e par andre eksempel: Eksempel 12 La f(x) = 34x 5 og c = 5 Grafen er ei re linje, og angenen il grafen i 5 er ikke anne enn den samme linja Derfor er f (5) lik signingsalle il selve linja, som er 34 Fakisk gjelder de samme for alle punker: f (x) = 34 for alle x Eksempel 13 La f(x) = x og c = 0 Grafen har ingen god definer angen i punke (0, 0): alle sekaner gjennom (0, 0) og e punk il vensre av (0, 0) har signingsall 1, og alle sekaner gjennom (0, 0) og e punk il høyre av (0, 0) har signingsall +1 Derfor enderer signingsallene ikke il e besem all når de andre punke forflyer seg mo (0, 0) Se fig 5 Derfor kan vi ikke snakke om den derivere i x = 0 I alle andre punker kan vi de, akkura som vi gjorde med den lineære funksjonen i de forrige eksempele For eksempel, f (2) = 1 og f ( 3) = 1 Nå ve vi hva den derivere er, og vi har se hvordan de kan beregnes eller anslås i e par ilfelle De nese vi skal a oss av, er å beregne den derivere il en funksjon hivs grafen ikke er sa sammen av linjesykker 2 Den derivere med grenseverdier Vi egner grafen il funksjonen f(x) = x 2 La oss si a vi vil beregne den derivere il f(x) i 1, alså f (1) Hva er egenlig angenen il grafen i 1? De er uanse ei linje gjennom punke (1, f(1)) For å besemme de, renger vi derfor bare e signingsall, og da kan vi bruke epunksformelen For hver all som ikke er null, kan vi rekke sekanen il grafen gjennom punkene (1, f(1)) og (1 +, f(1 + )) Alle sekanene er linjer gjennom vår punk (1, f(1)) Når blir veldig lie, så nærmer sekanene seg il angenen il grafen i (1, f(1)) ((fig 6) Signingsalle il denne linja er da grenseverdien av signingsallene il sekanene dersom går mo null La oss se om vi kan bruke denne idéen i praksis Signingsalle il sekanen gjennom (1, 1) og (1 +, f(1 + )) er lik f(1 + ) f(1) (1 + ) 1 4

5 Nå rekker vi grenseverdien: ( ) ( ) f() f(1) ( ) 1 = (1 + ) 1 ( ) = = (2 + ) (som vi kan gjøre fordi a aldri blir null) = 2 Ved hjelp av Excel kan vi se på noen verdier: f(1+) f(1) 0, 5 1, 5 0, 25 1, 75 0, 1 1, 9 0, 01 1, , , f(1+) f(1) 0, 5 2, 5 0, 25 2, 25 0, 1 2, 1 0, 01 2, , , Bemerkning 21 De er naurlig å bruke grenseverdier for å modellere denne prosessen De er en konkre geomerisk grunn il a blir vilkårlig lie med aldri lik null: Vi vil ha en sekan som ligger veldig nær il angenen, men for å rekke en sekan renger vi o punker og ikke bare e Derfor kan ikke 1 + være lik 1, alsa kan ikke være lik 0 Disse berakninger moiverer en ny definisjon av den derivere: Definisjon 22 La f(x) være en funksjon som er definer i e punk c Den derivere il f i punke c med hensyn il x er grenseverdien ( ) f(c + ) f(c) dersom denne eksiserer Obs: Vi inkluderer med hensyn il x i definisjonen fordi a hvis f hadde vær en funksjon av o eller flere variabler, da kunne vi ha undersøk den derivere med hensyn il noen av dem Men siden de flese av våre funksjoner er avhengig bare av én variabel, skal vi som regel ikke bry oss om å presisere de 5

6 Eksempel 23 La f(x) = x 3 Vi vil undersøke hvor for f(x) vokser i punke 2 Eer den vi så ovenfor, kan vi si a denne svarer il verdien av den derivere f i 2 Vi beregner (2 + ) 3 ( 2 3 ) = = ( = ) = 12 A den derivere er negaiv, beyr a funksjonen avar i punke 2 isedenfor å vokse Vi opplevde akkura samme med signingsalle il ei linje Skisserer vi grafen, så ser vi a 12 ser u som e rimelig anslag il signingsalle il angenen (fig 7) Eksempel 24 La f(x) være lik x 2 2x, og la oss beregne den derivere il f i punke 1 Vi har f(1 + ) f(1) = ( (1 + ) 2 2(1 + ) ) ( 1) = = 2 og derfor er den derivere i 1 lik ( ) 2 = = 0 Her er signingsalle il angenen lik null, alså angenen er vannre i punke 1 (fig 8) Dee skjer gjerne (men ikke bare!) når funksjonen har en opp- eller bunnpunk, og dee er en enorm nyig egenskap av den derivere Dee kommer vi ilbake il Bemerkning 25 Vi beregne idligere a den derivere il x 2 i punke 1 var lik 2 Dessuen kan vi se, på samme måen som i Eksempel 12, a den derivere il den lineære funksjonen 2x er 2 overal Derfor, i dee ilfelle er den derivere il summen x 2 2x i punke 1 lik summen av de derivere: 0 = 2 + ( 2) Dee gjelder fakisk generel, og vi kommer ilbake il de Eksempel 26 La f(x) = 1/x og c = 1 Dersom den eksiserer, er den 6

7 derivere f (1) lik ( ) = = = = 1 ( ) 1 (1+) 1+ (1 + ) Derfor har angenen il grafen av f(x) = 1/x i punke (1, 1) signingsall 1 Se fig 9 I mosening, hadde vi sa x = 0 i de sise eksempele, da hadde vi ikke kunne beregne den derivere (Hvorfor de?) Også kunne ikke funksjonen x deriveres i alle punker La oss nå se nærmere på problemsillingen gi en funksjon f og e punk c, når går de an å finne den derivere f (c)? 3 Deriverbarhe Definisjon 31 Vi sier a en funksjon f er deriverbar i e punk c dersom grenseverdien ( ) f(c + ) f(c) (1) eksiserer Geomerisk, beyr dee a grafen har en veldefiner angen i punke (c, f(c)), som ikke er loddre 1 Av ulike grunner kan de hende a den derivere ikke finnes Her undersøker hva som skal il Førs, selvfølgelig, må funksjonen være definer i c, ellers har vi ikke engang punke (c, f(c)) som vi renger for å skrive opp formelen (1) Nå ualer vi en nyig resula: Sening 32 Hvis f er deriverbar i c, så må de være koninuerlig i c 1 Hvis denne grenseverdien ikke eksiserer, da bør vi sjekke om de er fordi angenen eksiserer men er loddre (som f eks f(x) = 3 x i punke 0), eller om grafen virkelig ikke har en veldefiner angen, på grunn av noe anne 7

8 Bevis Ikke vanskelig, men dessverre har vi ikke id il de her Derfor, hvis en funksjon ikke er koninuerlig i c, kan den heller ikke være deriverbar i c Dee gir for eksempel en levin måe å se a 1/x ikke er deriverbar i 0 Men de finnes koninuerlige funksjoner som ikke er deriverbare, som for eksempel absoluverdifunksjonen x, og disse må vi kunne a oss av Nå minner vi om a den derivere er en grenseverdi Derfor, for a den skal eksisere, må vi få samme svar om vi lar gå mo null enen nedenfra eller ovenfra Eksempel 33 Absoluverdifunksjonen f(x) = x er koninuerlig overal Vi undersøker den derivere i c = 0 Vi beregner førs = Siden de er den vensre grenseverdien som vi undersøker, er negaiv Derfor får vi = 1 = 1 Til gjengjeld, hvis går mo 0 ovenfra, da er > 0, og vi har = + = + 1 = 1 + Den vensre grenseverdien er forskjellig fra den høyre, så eksiserer ikke selve grenseverdien Denne bekrefer a funksjonen x ikke kan deriveres i punke 0 Ser vi på grafen (fig 5), så legger vi merke il a grafen ikke er gla i 0, men har e hjørne eller knekkpunk Inuiiv virker de rimelig a de er ingen besem angen il grafen i knekkpunke: de er mange linjer som reffer grafen i (0, 0 ), men, for å bruke eknisk erminologi, ingen av dem kysser både den vensre og den høyre delene av grafen 2 Eksempel 34 Er funksjonen { x 2 hvis x 1 f(x) = 2x 1 hvis x 1 2 De finnes en generalisering av angenbegrepe som kalles for oskulerende rom Dee navne kommer fra de lainske orde osculum, som beyr kyss Maemaikk er spennende! 8

9 deriverbar i punke 1? Siden funksjonen er sa sammen av o forskjellige formler, må vi være eksra sikker på a vi sjekker både de høyre og vensre grenseverdiene Vi har og f(1 + ) f(1) f(1 + ) f(1) + ( ) 1 = ( ) = = (2 + ) = 2 (2(1 + ) 1) 1 = = + = + 2 = 2 Da de vensre og høyre grenseverdiene er like, er funksjonen deriverbar i punke 1, il ross for a de er e slags overgangspunk Se fig 10 Men hvis funksjonen hadde vær { x 2 hvis x 1 f(x) = 3x 2 hvis x 1 da hadde vi funne u på samme måe a f(1 + ) f(1) = 2, men + f(1 + ) f(1) = 3 Derfor er ikke denne funksjonen deriverbar i punke 1 hvor vi går fra én formel il den andre Se fig 11 4 Den derivere som en funksjon Hiil har vi berake den derivere som noe vi assosierer il en funksjon i e punk Men i Eksempel 12 og 13 var de e vink på a vi kan fakisk enke på den derivere som en funksjon i seg selv I og med a signingsalle av angenen il en graf i e punk x er e all som varierer med x, så kan vi i prinsipp lage en funksjon av de 9

10 Definisjon 41 La f være en funksjon av x Den derivere av f er den følgende funksjonen x signingsalle av angenen il grafen av f i punke x dersom den eksiserer Vi noerer den f eller f (x) De vi gjør er å berake angenene i e generel punk, isedenfor kun e besem punk Eksempel 42 La f(x) = 34x 5 Vi så a for hver x var signingsalle av angenen i x il grafen av f lik 34 Funksjonen f (x) er derfor en konsanfunksjon, med verdi 34 overal Bemerkning 43 Hadde f(x) vær lik 34x 6 eller 34x + 55, da hadde f (x) likevel vær de samme Denne kan forklares geomerisk: de å legge en konsan il en funksjon bare flyer grafen opp eller ned i den verikale reningen Denne påvirker ikke signingsallene il angenene; se fig 12 De er ikke vanskelig å bevise a dee gjelder for alle funksjoner, ikke bare de lineære Eksempel 44 La f(x) = x Eer de vi så i Eksempel 13 kan vi si med en gang a { 1 hvis x < 0 f (x) = 1 hvis x > 0 Siden den derivere eksiserer ikke i x = 0, så er funksjonen f (x) ikke definer i x = 0 Å beregne den derivere La f(x) være en funksjon Her skal vi bruke akkura samme eknikken som i 2 for å finne en formel for den derivere f (x) Som før, finner vi u a signingsalle av angenen il grafen av f i (de generelle) punke (x, f(x)) kan anslås med signingsall il en sekan gjennom punke (x, f(x)) og e anne punk (x +, f(x + )) på grafen som ligger (x, f(x)) nær Dee blir f(x + ) f(x) (x + ) x Signingsalle il angenen blir grenseverdien = f(x + ) f(x) f(x + ) f(x), (2) 10

11 dersom de eksiserer Dee likner veldig på de vi gjorde i 2 Forskjellen er a (1) gir u bare e all mens (2) gir u en ny funksjon, som er avhengig av x Eksempel 45 La oss finne den derivere il f(x) = x 2 2x Vi beregner f(x + ) f(x) (x + ) 2 2(x + ) x 2 + 2x = x 2 + 2x + 2 2x 2 x 2 + 2x = 2x = = (2x + 2) = 2x 2 Denne funksjonen er definer for alle x, så er f(x) deriverbar overal Seer vi inn x = 1, så får vi igjen f (1) = 0, som vi fan u i Eksempel 24 I fig 13 har vi fremsil f(x) sammen men sin derivere De er noe ineressan å hene her: f (x) har e nullpunk i bunnpunke il grafen il f(x) Ifølge definisjonen av den derivere, har angenen i dee punke signingsall 0, alså, den er vannre Til vensre av bunnpunke peker angenene nedover, alså har negaive signingsall, som svarer il de a f (x) < 0 for x < 1 På samme måe, il høyre av bunnpunke peker angenene oppover, alså har posiive signingsall, som svarer il de a f (x) > 0 for x > 1 Slike samspill mellom geomeri på grafene av f(x) og f (x) kan bli veldig spennende Eksempel 46 La f(x) = 1/x Dersom den eksiserer, er den derivere f (x) lik ( 1 ) 1 x+ x Vi har 1 x + 1 x Den derivere f (x) er da lik ( ) x(x+) = x (x + ) (x + )x = (x + )x = ( ) 1 = 1 x(x + ) x 2 11

12 Denne eksiserer i alle punker unna x = 0, som svarer il de a grafen, som er hyperbelen xy = 1, har ingen angen i x = 0 Fakisk er ikke funksjonen engang definer i 0, så forvener vi ikke å kunne derivere de der 5 Noen formler 51 Summer Vi så i Eksempel 24 a den derivere il x 2 2x i punke 0 var ikke anne enn summen av de derivere av x 2 og 2x i 0 De er ikke vanskelig å se a dee gjelder veldig generel Sening 51 Hvis f(x) er en summe g(x) + h(x), og hvis g (x) og h (x) eksiserer, da eksiserer f (x) og den er lik g (x) + h (x) Bevis Vi har f(x + ) f(x) (g(x + ) + h(x + )) (g(x) + h(x)) = (g(x + ) g(x)) + (h(x + ) h(x)) = ( ) ( ) g(x + ) g(x) h(x + ) + h(x) = + som vi renge = g (x) + h (x) Oppgave: La f(x) være en funksjon med derivere f (x) La α være e vilkårlig réel all Vis a den derivere il α f eksiserer og lik α f 52 Monomer og polynomer I Eksempel 23 og 24 så vi på de derivere av ulike poenser av x Her gir vi en generell regel for derivering av slike monomfunksjoner Sening 52 La n være e posiiv helall Da er den derivere av x n lik n x n 1 Bevis Vi må beregne grenseverdien (x + ) n x n 12 (3)

13 Ved bruk av Den binomiske seningen har vi ( n (x + ) n = x n + nx n Derfor blir (3) lik ( nx n 1 + ) x n ( ) n x n 1 + n n 1 ( ) ( ) n n n n )x n 1 + n 2 n 1 Siden alle leddene borse fra de førse inneholder en, så forsvinner de når går mo 0 Derfor får vi a den derivere er lik nx n 1, som vi skulle Bemerkning 53 Fakisk gjelder denne enda mer generel: for hver poense x s der s er e ikke-null réel all (posiiv eller negaiv helall, rasjonalall eller vilkårlig réelall), så er den derivere il x s lik sx s 1 Vi minner nå om a en polynomfunksjon er en sum av konsanmulipler av monomfunksjoner Ved hjelp av seninger 51 og oppgaven eer den, sammen med sening 52, ser vi a for å derivere en polynomfunksjon, kan vi derivere hver ledd for seg og så legge resulaene sammen Eksempel 54 La f(x) = x 4 + 2x 3 5x 2 + 5x 4 Da er den derivere f (x) = 4x 3 + 2(3x 2 ) 5(2x) + 5 = 4x 3 + 6x 2 10x Produkregelen Vi så i sening 51 a den derivere il en summe er bare summen av de derivere il summandene Den derivere il en produk eller e forhold er li mer kompliser, og disse skal vi nå beregne Den følgende formelen kalles også for produkregelen eller Leibnizregelen, il ære for G W Leibniz, som spile en sor rolle i uviklingen av grenseverdier, derivasjon og inegrasjon Sening 55 La f(x) være en produk g(x)h(x) Dersom g (x) og h (x) eksiserer, så gjelder f (x) = g(x)h (x) + g (x)h(x) Bevis Vi må undersøke grenseverdien g(x + )h(x + ) g(x)h(x) 13

14 Vi bruker en lien ricks: vi legger noe il urykke som er null: ( g(x + )h(x + ) g(x + )h(x) + g(x + )h(x) g(x)h(x) Nå skiller vi urykke i o: ( ) g(x + )h(x + ) g(x + )h(x) Denne kan vi fakorisere slik: ( ( )) h(x + ) h(x) g(x + ) + ) ( g(x + )h(x) g(x)h(x) ( ) g(x + ) g(x) + h(x) Ved sening 32, ve vi a g er en koninuerlig funksjon Derfor, når går mo null, så går g(x + ) mo g(x) Derfor er grenseverdien vi suderer lik g(x)h (x) + g (x)h(x), ) som er de vi renge Eksempel 56 Dee gir for eksempel e ny bevis for a den derivere av f(x) = x 3 er lik 3x 2 Vi seer g(x) = x 2 og h(x) = x, slik a f(x) = g(x) h(x) Da har vi f (x) = g(x)h (x) + g (x)h(x) = x x 2x = 3x 2 54 Å derivere e forhold Sening 57 La f(x) være e forhold g(x)/h(x) Dersom g(x) og h(x) er deriverbare, så gjelder Bevis Vi må undersøke grenseverdien f (x) = h(x)g (x) g(x)h (x) h(x) 2 g(x+) g(x) h(x+) h(x) Vi finner felles nevner for brøkene over sreken, og får ( g(x + )h(x) h(x + )g(x) h(x)h(x + ) 14 )

15 Nå bruker vi en ricks som vi gjorde i sening 55: vi legger noe il som ikke endrer verdien av de hele: ( ) g(x + )h(x) g(x)h(x) + g(x)h(x) h(x + )g(x) Nå blir urykke lik ( ) g(x + )h(x) g(x)h(x) h(x)h(x + ) Vi fakoriserer og omskriver li: h(x) ( g(x + ) g(x) h(x)h(x + ) + ( g(x)h(x) h(x + )g(x) h(x)h(x + ) ) 1 h(x)h(x + ) ( h(x + ) h(x) g(x) ) ) 1 h(x)h(x + ) Siden h(x) er koninuerlig, så går h(x + ) mo h(x) når går mo null Urykke er derfor lik h(x)g (x) 1 h(x) 1 2 g(x)h (x) h(x) = h(x)g (x) g(x)h (x) 2 h(x) 2 som er de vi renge Med forholdregelen kan vi finne den derivere il en rasjonal funksjon La oss se på noen eksempler Eksempel 58 Vi så i Eksempel 26 a den derivere av 1/x i punke 1 er lik 1 Her skal vi bruke de vi har funne il å beregne den derivere i e vilkårlig punk, med foruseningen a x 0 Vi seer g(x) = 1 (en konsanfunksjon) og h(x) = x Ved sening 57, ve vi a den derivere av g(x)/h(x) er lik x x 2 = 1 x 2 Eksempel 59 Hva er den derivere av f(x) = 3x+2 x 2 +1? Som før, seer vi g(x) = 3x + 2 og h(x) = x Ved sening 57, ve vi a den derivere av f(x) er lik (x 2 + 1) 3 (3x + 2) 2x = 3x x 2 4 (x 2 + 1) 2 x 4 + 2x = 3x2 1 x 4 + 2x 2 + 1

16 6 Problemsillinger i hverdagslive De er mange problemer som oppsår i hverdagslive som har å gjøre med å maksimere eller å minimere en sørrelse Dee svarer ofe il å finne oppeller bunnpunker på en graf Derfor er de hensiksmessig å prøve å bruke derivasjon for å finne maksimum eller minimum Vi diskuerer e eksempel: Eksempel 61 Vi har 200m med neinggjære som skal brukes il å avsenge e rekangular areal Hva er de sørse slike areale som vi kan få il? Vi skriver x for lengden på én side av rekangele Da blir en annen side 100 x (hvor vi forsår a denne er en lengde i meer) Areale blir da x(100 x), eller 100x x 2 Vi definerer f(x) := 100x x 2 De vi må gjøre er å finne den xen som gir sørs mulig verdi av f(x) På grafen (fig 14), ser den maksimale verdien u il å være i x = 50, alså når rekangele er fakisk e kvadra Dee skal vi nå bevise, ved hjelp av eknikkene som vi nå kan i derivasjon Hva er de som danner e opppunk på grafen? Jo, de finnes e område rund punke slik a alle verdier av funksjonen i dee område er mindre enn verdien i vår punk (fig 15) Dee beyr a grafen siger opp il den når den maksimale verdien, og da begynner å ava Derfor, il vensre av den maksimale verdien er signingsallene av angenene il grafen (alså de derivere) posiive, og il høyre er de negaive Og i selve maksimumpunke er angenen vannre, som vi så i Eksempel 24, så har signingsall null Derfor, hvis vi vil finne en maksimumverdi il funksjonen, alså e opppunk på grafen, må vi prøve å finne e punk der den derivere er null I vår ilfelle er f(x) = 100x x 2, så er f (x) = 100 2x Dee er null hvis og bare hvis x = 50, akkura som vi enke Vi ar e eksempel il: Eksempel 62 Tenk om vi har e kvadra med papp, 40cm på siden som vi skal bree i en esk (uen lokk) Vi skal skjære u e lie kvadra fra hver hjørne og da bree opp, som i fig 16 Hva er den sørse volumen som vi kan få il slik? De vi må besemme oss for, er hvor høy opp vi skal bree sidene Vi skriver f(x) for volumen av esken vi får hvis vi breer en lengde x opp Vi har f(x) = x (40 2x) 2 = 1600x 160x 2 + 4x 3 16

17 Som forklar ovenfor, må vi finne de x-verdiene der den derivere er null Førs beregner vi f (x) = x + 12x 2 Dee forsvinner hvis og bare hvis 3x 2 80x = 0 Nullpunkene er x = 80 ± = 80 ± 40, 6 alså x = 20/3 eller x = 20 Hva har skjedd her? Vi får o punker der den derivere er null De enese vi kan gjøre er å see inn verdiene og finne u hvor sor volum vi får i hver punk Vi har f ( ) 20 = , 74cm 3 mens f(20) = 0, som vi kunne uanse se: hvis vi skjærer u e kvadra på 20cm 20cm fra hver hjørne, da er de ingen ing igjen Derfor, hvis de er en opppunk, må de være i x = 20/3, og dee kan vi sjekke ved å kikke på funksjonens graf Generel, hvis de oppsår flere enn én mulighe for opppunke, er de bare å see inn hver x-verdi og se hvilken virkelig gir oss funksjonens sørse verdi Se også Obs 1 nedenfor Bunnpunker: Ved e liknende vis ser vi a i e bunnpunk må den derivere også være lik null Derfor kan vi bruke samme sraegi for å løse problemer der en sørrelse må minimeres Obs: De vi her har skisser er lang fra omfaende To ing å passe på: 1 Funksjoner som oppsår på denne måen er ofe ikke definer på den hele linja For eksempel, den i Eksempel 62 var bare definer på [0, 20] på grunn av de fysiske begrensningene på pappsykke, selv om de maemaiske urykke 1600x 160x 2 + 4x 3 har mening for alle x De kan hende i virkeligheen a opppunke på grafen befinner seg uenfor definisjonsområde som vi disponerer I så fall kan den prakiske måen å maksimere sørrelsen være å velge en x som ligger på e eller de andre endpunke på definisjonsområde Dee er noen som må sjekkes ved hver problemsilling for seg Som regel kan vi få fin oversik fra en graf 2 De er ikke allid a e nullpunk av den derivere svarer il e opp- eller bunnpunk For eksempel, den derivere av x 3 er 3x 2, som forsvinner i 0, men (0, 0) er hverken e opppunk eller e bunnpunk 17

18 Hisorien om slike og andre kriiske punker er veldig ineressan, men dessverre lang mer omfaende enn vi her har plass il Oppgave: La f(x) = ax 2 + bx + c være en vilkårlig annengradsfunksjon Bruk derivasjon for å bevise a opp- eller bunnpunke på grafen har x- koordina b/2a 7 Den andrederivere I begynnelsen enke vi på en bilur, og vi rakk en graf av ilbakelag srekning som funksjon av iden Den derivere il srekningen med hensyn il id, fan vi u var faren Men faren er e kjen begrep i seg selv, som også endrer over id Derfor er de hensiksmessig å derivere faren Den derivere il faren, alså hvor for faren endrer seg, kalles for akselerasjon, e anne kjen begrep Siden vi har deriver o ganger, sier vi a akselerasjon er den andrederivere av srekningen med hensyn il id I fig 17 har vi grafene av srekning mo id, faren mo id og akselerasjon mo id Bemerkning 71 Selv om srekningen og hasigheen aldri var negaive, kan akselerasjonen være negaiv, fordi a hasigheen kan ava De går selvfølgelig an å prøve å derivere en vilkårlig funksjon f(x) o ganger (eller flere!) Derfor lager vi en definisjon: Definisjon 72 La f(x) være en funksjon som er deriverbar Dersom f (x) også er deriverbar, skriver vi f (x) for den derivere il f (x) Vi kaller f (x) for den andrederivere av f(x) Dersom funksjonen vår modellerer e fysisk begrep, har den andrederivere ofe en ineressan olkning, som var ilfelle ovenfor der f(x) var srekningen ilbakelag eer id x Referanser [A] F Ayres: Calculus, 2 ugave, Schaum s Ouline Series, McGraw Hill, UK, 1972 [BV] T Breieig, R Venheim: Maemaikk for Lærere 2, 4 ugave, Universiesforlage, Oslo, 2005 [SH] S L Salas, E Hille: Calculus, 7h ediion, John Wiley & Sons Inc, USA,

19 [SRH] B K Selvik, R Rinvold, M Johnsen Høines: Algebra og funksjonslære, Maemaiske sammenhenger, Caspar Forlag, Bergen, 1999 Avdeling for Lærerudanning Høgskolen i Vesfold Grenaderveien Tønsberg georgehhiching@hiveno 19

t [0, t ]. Den er i bevegelse langs en bane. Med origo menes her nullpunktet

t [0, t ]. Den er i bevegelse langs en bane. Med origo menes her nullpunktet FAO 9 Forberedelse il skoleprøve Del Prakisk bruk av inegral Oppgave parikkelfar Hasigheen il en parikkel ved iden er gi ved v () = i m/min. Tiden er ( + ) + regne i min, for angivelse av posisjon. [,

Detaljer

Bevegelse i én dimensjon

Bevegelse i én dimensjon Bevegelse i én dimensjon 15.1.214 FYS-MEK 111 15.1.214 1 Malab: mulig å bruke på egen PC med UiO lisens hjelp med insallasjon på daa-verksed eller i forkurs Forsa ledige plasser i forkurs: Fredag kl.1-13

Detaljer

Kontinuitet og grenseverdier

Kontinuitet og grenseverdier Kontinuitet og grenseverdier Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold 5. januar 2009 1 Innledning Kontinuitetsbegrepet For å motivere og innlede til kontinuitetsbegrep skal vi først undersøke

Detaljer

av Erik Bédos, Matematisk Institutt, UiO, 25. mai 2007.

av Erik Bédos, Matematisk Institutt, UiO, 25. mai 2007. Om den diskree Fourier ransformen av Erik Bédos, Maemaisk Insiu, UiO,. mai 7. Vi lar H beegne indreproduk romme som besår av alle koninuerlige komplekse funksjoner definer på inervalle [, π] med indreproduke

Detaljer

Bevegelse i én dimensjon

Bevegelse i én dimensjon Beegelse i én dimensjon 17.1.213 Forelesningsplan: hp://www.uio.no/sudier/emner/mana/fys/fys-mek111/13/plan213.hm FYS-MEK 111 17.1.213 1 Mekanikk Kinemaikk Dynamikk læren om beegelser uen å a hensyn il

Detaljer

Eksamen R2, Hausten 2009

Eksamen R2, Hausten 2009 Eksamen R, Hausen 009 Del Tid: imar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, passar, linjal med cenimeermål og vinkelmålar er illane. Oppgåve a) Deriver funksjonen f x x sinx Vi bruker produkregelen for derivasjon

Detaljer

Harald Bjørnestad: Variasjonsregning en enkel innføring.

Harald Bjørnestad: Variasjonsregning en enkel innføring. Haral Bjørnesa: Variasjonsregning en enkel innføring. Tiligere har vi løs oppgaven me å finne eksremalveriene ( maks./min. veriene) av en gi funksjon f () når enne funksjonen oppfyller beseme krav. Vi

Detaljer

, og dropper benevninger for enkelhets skyld: ( ) ( ) L = 432L L = L = 1750 m. = 0m/s, og a = 4.00 m/s.

, og dropper benevninger for enkelhets skyld: ( ) ( ) L = 432L L = L = 1750 m. = 0m/s, og a = 4.00 m/s. eegelse øsninger på blandede oppgaer Side - Oppgae Vi kaller lengden a en runde for Faren il joggerne er da: A = m/s = m/s 6 6 + 48 48 = m/s = m/s 7 6 + 4 Når de møes, ar de løp like lenge Da er + 5 m

Detaljer

Øving 1: Bevegelse. Vektorer. Enheter.

Øving 1: Bevegelse. Vektorer. Enheter. Lørdagsverksed i fysikk. Insiu for fysikk, NTNU. Høsen 007. Veiledning: 8. sepember kl :5 5:00. Øving : evegelse. Vekorer. Enheer. Oppgave a) Per løper 800 m på minuer og 40 sekunder. Hvor sor gjennomsnisfar

Detaljer

Bevegelse i én dimensjon

Bevegelse i én dimensjon Beegelse i én dimensjon 21.1.215 FYS-MEK 111 21.1.215 1 Lærebok kan henes på ekspedisjonskonore. Lenke il bealingsside: hp://www.uio.no/sudier/emner/mana/fys/fys-mek111/15/bok.hml FYS-MEK 111 21.1.215

Detaljer

YF kapittel 3 Formler Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 3 Formler Løsninger til oppgavene i læreboka YF kapiel 3 Formler Løsninger il oppgavene i læreoka Oppgave 301 a E 0,15 l 0,15 50 375 Den årlige energiproduksjonen er 375 kwh. E 0,15 l 0,15 70 735 Den årlige energiproduksjonen er 735 kwh. Oppgave

Detaljer

Forelesning nr.9 INF 1410

Forelesning nr.9 INF 1410 Forelesning nr.9 INF 141 29 espons il generelle C- og -kreser 3.3.29 INF 141 1 Oversik dagens emaer Naurlig espons respons il generelle C- og -kreser på uni-sep funksjonen Naurlig og vungen respons for

Detaljer

Beskjeder. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering

Beskjeder. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering Beskjeder MAT1030 Diskre maemaikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Maemaisk Insiu, Universiee i Oslo 23. april 2008 Roger har bed meg gi følgende beskjeder: 1 De mese av plenumsregningen i morgen, 24/4,

Detaljer

Forelesning 26. MAT1030 Diskret Matematikk. Trær med rot. Litt repetisjon. Definisjon. Forelesning 26: Trær. Roger Antonsen

Forelesning 26. MAT1030 Diskret Matematikk. Trær med rot. Litt repetisjon. Definisjon. Forelesning 26: Trær. Roger Antonsen MAT1030 Diskre Maemaikk Forelesning 26: Trær Roger Anonsen Insiu for informaikk, Universiee i Oslo Forelesning 26 5. mai 2009 (Sis oppdaer: 2009-05-06 22:27) MAT1030 Diskre Maemaikk 5. mai 2009 2 Li repeisjon

Detaljer

MAT1030 Forelesning 26

MAT1030 Forelesning 26 MAT030 Forelesning 26 Trær Roger Anonsen - 5. mai 2009 (Sis oppdaer: 2009-05-06 22:27) Forelesning 26 Li repeisjon Prims algorime finne de minse uspennende ree i en veke graf en grådig algorime i den forsand

Detaljer

Bevegelse i én dimensjon (2)

Bevegelse i én dimensjon (2) Beegelse i én dimensjon () 5..6 Daa-lab i dag: Hjelp med Pyhon / Malab insallasjon Førse skri Oblig er lag u: hp://www.uio.no/sudier/emner/mana/fys/fys-mek/6/maeriale/maeriale6.hml Innleeringsfris: Tirsdag,

Detaljer

Go to and use the code Hva var viktig i siste forelesning? FYS-MEK

Go to   and use the code Hva var viktig i siste forelesning? FYS-MEK Go o www.meni.com and use he code 65 37 7 Ha ar ikig i sise forelesning? FYS-MEK 111.1.18 1 FYS-MEK 111.1.18 Beegelse i én dimensjon ().1.18 Ukesoppgaer og oblig 1 er lag u: hp://www.uio.no/sudier/emner/mana/fys/fys-mek111/18/maeriale/maeriale18.hml

Detaljer

Fy1 - Prøve i kapittel 5: Bevegelse

Fy1 - Prøve i kapittel 5: Bevegelse Fy1 - Prøve i kapiel 5: Bevegelse Løsningsskisser Oppgave 1 En lekebil sarer med å rille oppover e skråplan med faren -1.6m/s. 1.5 sekunder eer saridspunke har lekebilen en far på.4 m/s nedover skråplane.

Detaljer

Forelesning 25. Trær. Dag Normann april Beskjeder. Oppsummering. Oppsummering

Forelesning 25. Trær. Dag Normann april Beskjeder. Oppsummering. Oppsummering Forelesning 25 Trær Dag Normann - 23. april 2008 Beskjeder Roger har bed meg gi følgende beskjeder: 1 De mese av plenumsregningen i morgen, 24/4, blir avleregning, slik a sudenene ikke kan belage seg på

Detaljer

Kort om ny reguleringskurvelogikk. Trond Reitan 19/8-2013

Kort om ny reguleringskurvelogikk. Trond Reitan 19/8-2013 Kor om ny reguleringskurvelogikk Trond Reian 19/8-2013 Hensik Hensiken med en reguleringskurver er å angi sammenhengen mellom en angi minimumsvannføring (apping) og nødvendig magasinvolum på årlig basis.

Detaljer

Spesiell relativitetsteori

Spesiell relativitetsteori Spesiell relaivieseori 6.05.06 FYS-MEK 0 6.05.06 Einseins posulaene. Fysikkens lover er de samme i alle inerialsysemer.. Lyshasigheen er den samme i alle inerialsysemer, og er uavhengig av observaørens

Detaljer

Funksjoner, M1 høst 2007 Fasit til skriftlige oppgavene

Funksjoner, M1 høst 2007 Fasit til skriftlige oppgavene Funksjoner, M1 høst 2007 Fasit til skriftlige oppgavene Avdeling for Lærerutdanning Høgskolen i Vestfold M1 høst 2007 5. oktober 2007 Legger du merke til noen feil, vennligst send beskjed til george.h.hitching@hive.no.

Detaljer

FYS3220 Oppgaver om Fourieranalyse

FYS3220 Oppgaver om Fourieranalyse FYS3220 Oppgaver om Fourieranalyse Innhold Enkle fourieranalyse oppgaver... 1 1) egn frekvensspeker for e sammensa sinus signal... 1 2) Fra a n og b n il c n og θ... 2 Fourier serieanalyse... 2 3) Analyse

Detaljer

Newtons lover i to og tre dimensjoner 09.02.2015

Newtons lover i to og tre dimensjoner 09.02.2015 Newons loer i o og re dimensjoner 9..5 FYS-MEK 3..4 Innleering Oblig : på grunn a forsinkelse med deilry er frisen usa il onsdag,.., kl. Innleering Oblig : fris: mandag, 6.., kl. Mideiseksamen: 6. mars

Detaljer

Styring av romfartøy STE6122

Styring av romfartøy STE6122 Syring av romfarøy STE6122 3HU -. 1LFNODVVRQ Høgskolen i Narvik Høs 2000 Forelesningsnoa 8 1 6W\ULQJ RJ UHJXOHULQJ DY RULHQWHULQJ,, Nødvendig med nøyakig syring og/eller regulering av orienering i en rekke

Detaljer

1. Betrakt følgende modell: Y = C + I + G C = c 0 + c(y T ), c 0 > 0, 0 < c < 1 T = t 0 + ty, 0 < t < 1

1. Betrakt følgende modell: Y = C + I + G C = c 0 + c(y T ), c 0 > 0, 0 < c < 1 T = t 0 + ty, 0 < t < 1 . Berak følgende modell: Y = C + I + G C = c 0 + c(y T ), c 0 > 0, 0 < c < T = 0 + Y, 0 < < Hvor Y er BNP, C er priva konsum, I er privae realinveseringer, G er offenlig kjøp av varer og jeneser, T er

Detaljer

Levetid og restverdi i samfunnsøkonomisk analyse

Levetid og restverdi i samfunnsøkonomisk analyse Visa Analyse AS Rappor 35/11 Leveid og resverdi i samfunnsøkonomisk analyse Haakon Vennemo Visa Analyse 5. januar 2012 Dokumendealjer Visa Analyse AS Rapporiel Rappor nummer xxxx/xx Leveid og resverdi

Detaljer

Løsning: V = Ed og C = Q/V. Spenningen ved maksimalt elektrisk felt er

Løsning: V = Ed og C = Q/V. Spenningen ved maksimalt elektrisk felt er Gruppeøving 6 Elekrisie og magneisme Flervalgsoppgaver 1. Dersom en kondensaor har en kapasians på på 7.28 µf, hvor mye må plaene lades opp for a poensialdifferansen mellom plaene skal bli 25.0 V?. 15

Detaljer

Virkninger av ubalansert produktivitetsvekst («Baumols sykdom»)

Virkninger av ubalansert produktivitetsvekst («Baumols sykdom») 1 Jon Vislie; februar 2018 ECON 3735 vår 2018 Forelesningsnoa #2 Virkninger av ubalanser produkiviesveks («Baumols sykdom») I Forelesningsnoa #1 så vi på generelle likevekseffeker i en o-sekor-økonomi,

Detaljer

Obligatorisk oppgave ECON 1310 høsten 2014

Obligatorisk oppgave ECON 1310 høsten 2014 Obligaorisk oppgave EON 30 høsen 204 Ved sensuren vil oppgave elle 20 prosen, oppgave 2 elle 50 prosen, og oppgave 3 elle 30 prosen. For å få godkjen må besvarelsen i hver fall: gi mins re nesen rikige

Detaljer

2. Bevegelse. Fysikk for ingeniører. Klassisk mekanikk. 2. Bevegelse. Side 2-1.

2. Bevegelse. Fysikk for ingeniører. Klassisk mekanikk. 2. Bevegelse. Side 2-1. Beegelse Side - Beegelse Vi skal nå a for oss beegelse Vi skal definere de grunnleggende begrepene posisjon, hasighe (og far), og akselerasjon Dee er begrep som du benyer il daglig, men i må presisere

Detaljer

Krefter og betinget bevegelser Arbeid og kinetisk energi 19.02.2013

Krefter og betinget bevegelser Arbeid og kinetisk energi 19.02.2013 Krefer og beinge beegelser Arbeid og kineisk energi 9..3 YS-MEK 9..3 obligaoriske innleeringer programmering er en esenlig del a oppgaen i kan ikke godkjenne en innleering uen programmering analyiske beregninger

Detaljer

6. mai 2018 MAT Obligatorisk oppgave 2 av 2 - Løsningsforslag

6. mai 2018 MAT Obligatorisk oppgave 2 av 2 - Løsningsforslag 6. mai 218 MAT 24 Obligaoris oppgave 2 av 2 - Løsningsforslag Oppgave 1. La X være veorromme X = C([ 1, 1], R usyr med sup-norm. For j = 1,..., n, la a j R og la x j [ 1, 1]. La F : X R være definer ved

Detaljer

1 Trigonometriske Funksjoner Vekt: 1. 2 Trigonometriske Funksjoner Vekt: 1

1 Trigonometriske Funksjoner Vekt: 1. 2 Trigonometriske Funksjoner Vekt: 1 OPPGAVER TIL FORELESNINGSUKE NUMMER Ukeoppgavene skal leveres som selvsendige arbeider. De forvenes a alle har sa seg inn i insiues krav il innlevere oppgaver: Norsk versjon: hp://www.ifi.uio.no/sudinf/skjemaer/erklaring.pdf

Detaljer

Oppgave 1. = 2(1 4) = 6. Vi regner også ut de andre indreproduktene:

Oppgave 1. = 2(1 4) = 6. Vi regner også ut de andre indreproduktene: Løsning Eksamen i ELE 379 Maemaikk Valgfag Dao 7. juni 26 kl 9-4 Dee e e foreløpig løsningsforslag som ikke er komple. De skal ikke publiseres i denne form. Oppgave. (a) Vi ve a kolonnevekorene il A er

Detaljer

Newtons lover i to og tre dimensjoner

Newtons lover i to og tre dimensjoner Newons loer i o og re dimensjoner 3..4 Innleering: på papir på ekspedisjonskonore: bruk forsiden elekronisk på froner én pdf fil nan på førse side egenerklæring med signaur innleeringsboks på ekspedisjon

Detaljer

Matematikk 1P-Y. Teknikk og industriell produksjon

Matematikk 1P-Y. Teknikk og industriell produksjon Maemaikk 1P-Y Teknikk og indusriell produksjon «Å kunne regne i eknikk og indusriell produksjon innebærer å forea innsillinger på maskiner og å uføre beregning av rykk og emperaur og blandingsforhold i

Detaljer

Oppgaveverksted 3, ECON 1310, h14

Oppgaveverksted 3, ECON 1310, h14 Oppgaveverksed 3, ECON 30, h4 Oppgave I denne oppgaven skal du forklare de økonomiske mekanismene i hver deloppgave, men de er ikke men a du skal bruke id på å forklare modellen uover de som blir spur

Detaljer

Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. ECON 1310 Obligatorisk øvelsesoppgave våren 2012

Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. ECON 1310 Obligatorisk øvelsesoppgave våren 2012 Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT ECON 3 Obligaorisk øvelsesoppgave våren 22 Ved sensuren illegges alle oppgavene lik vek For å få godkjen besvarelsen må den i hver fall: gi mins

Detaljer

Løsningsforslag øving 6, ST1301

Løsningsforslag øving 6, ST1301 Løsningsforslag øving 6, ST1301 Oppgave 1 Løse Euler-Loka ligningen ved ruk av Newon's meode. Ana a vi har en organisme med maksimal alder lik n år. Vi ser kun på hunnene i populasjonen. La m i være anall

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk øvelsesoppgave i ECON 1210 høsten 06

Løsningsforslag til obligatorisk øvelsesoppgave i ECON 1210 høsten 06 Løsningsforslag il obligaorisk øvelsesoppgave i ECON 0 høsen 06 Oppgave (vek 50%) (a) Definisjon komparaive forrinn: Den ene yrkesgruppen produserer e gode relaiv mer effekiv enn den andre yrkesgruppen.

Detaljer

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011. c) Hva er kritisk verdi for testen dersom vi hadde valgt et signifikansnivå på 10%?

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011. c) Hva er kritisk verdi for testen dersom vi hadde valgt et signifikansnivå på 10%? Forelesning 4 og 5 MET59 Økonomeri ved David Kreiberg Vår 011 Diverse oppgaver Oppgave 1. Ana modellen: Y β + β X + β X + β X + u i 1 i i 4 4 i i Du esimerer modellen og oppnår følgende resulaer ( n 6

Detaljer

Løysingsforslag for oppgåvene veke 17.

Løysingsforslag for oppgåvene veke 17. Løysingsforslag for oppgåvene veke 17. Oppgåve 1 Reningsfel for differensiallikningar gi i oppg. 12.6.3 med numeriske løysingar for gi inialkrav (og ei par il). a) b) c) d) Oppgåve 2 a) c) b) Reningsfele

Detaljer

Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler

Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler UNIVERSITETET I BERGEN De maemaisk-naurvienskapelige fakule Eksamen i emne MT11 Brukerkurs i maemaikk Mandag 15. desember 8, kl. 9-14 BOKMÅL Tillae hjelpemidler: Lærebok og kalkulaor i samsvar med fakulee

Detaljer

3. Beregning av Fourier-rekker.

3. Beregning av Fourier-rekker. Forelesigsoaer i maemaikk. 3. Beregig av 3.. Formlee for Fourier-koeffisieee. Vi går re på sak: a f være e sykkevis koiuerlig fuksjo med periode p. De uedelige rigoomeriske rekka cos( ) si ( ) a + a +

Detaljer

Et samarbeid mellom kollektivtrafikkforeningen og NHO Transport. Indeksveileder 2014. Indeksregulering av busskontrakter. Indeksgruppe 05.08.

Et samarbeid mellom kollektivtrafikkforeningen og NHO Transport. Indeksveileder 2014. Indeksregulering av busskontrakter. Indeksgruppe 05.08. E samarbeid mellom kollekivrafikkforeningen og NHO Transpor Indeksveileder 2014 Indeksregulering av busskonraker Indeksgruppe 05.08.2015 Innhold 1. Innledning...2 1.1 Bakgrunn...2 2 Anbefal reguleringsmodell

Detaljer

~/stat230/teori/bonus08.tex TN. V2008 Introduksjon til bonus og overskudd

~/stat230/teori/bonus08.tex TN. V2008 Introduksjon til bonus og overskudd ~/sa23/eori/bonus8.ex TN STAT 23 V28 Inrodukson il bonus og overskudd Bankinnskudd Ana a vi ønsker å see e viss beløp y i banken ved id = for å ha y n ved id = n. Med en reneinensie δ må vi see inn y =

Detaljer

Dato: 15.september Seksjonssjef studier og etter utdanning Arkivnr 375/2008

Dato: 15.september Seksjonssjef studier og etter utdanning Arkivnr 375/2008 S TYRES AK Syremøe 07 23.sepember Syresak 53/2008 MÅLTALL framidig uvikling av sudenall og sudieprogrammer KONTAKTINFORMASJON POSTBOKS 6853, ST. OLAVS PLASS NO-0130 OSLO TLF: (+47) 22 99 55 00 FAKS: (+47)

Detaljer

Styringsteknikk. Kraner med karakter. ABUS kransystemer målrettet krankjøring. setter ting i bevegelse. Kransystemer. t t v. max.

Styringsteknikk. Kraner med karakter. ABUS kransystemer målrettet krankjøring. setter ting i bevegelse. Kransystemer. t t v. max. Kraner med karaker max. 0 ABUS kransysemer målree krankjøring Syringseknikk Kransysemer seer ing i beegelse Konakorsyre moorer den raskese eien fra A il B Erfarne kranførere er forrolig med oppførselen

Detaljer

Ved opp -og utladning av kondensatorer varierer strøm og spenning. Det er vanlig å bruke små bokstaver for å angi øyeblikksverdier av størrelser.

Ved opp -og utladning av kondensatorer varierer strøm og spenning. Det er vanlig å bruke små bokstaver for å angi øyeblikksverdier av størrelser. 4.4 INNE- OG TKOPLING AV EN KONDENSATO 1 4.4 INN- OG TKOPLING AV EN KONDENSATO Ved opp -og uladning av kondensaorer varierer srøm og spenning. De er vanlig å bruke små boksaver for å angi øyeblikksverdier

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO De maemaisk-naurvienskapelige fakule Eksamen i INF3320 Meoder i grafisk daabehandling og diskre geomeri Eksamensdag: 2. desember 2009 Tid for eksamen: 14.30 17.30 Oppgavesee er på

Detaljer

E K S A M E N S O P P G A V E : FAG: FYS105 Fysikk LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG

E K S A M E N S O P P G A V E : FAG: FYS105 Fysikk LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG HØGSKOLEN I GDER Grisad E K S M E N S O P P G V E : FG: FYS05 Fysikk LÆRER: Per Henrik Hogsad Klasser: Dao:.09.08 Eksaensid, fra-il: 09.00 4.00 Eksaensoppgaen besår a følgende nall sider: 5 inkl forside

Detaljer

Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler. 2 2x

Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler. 2 2x UNIVERSITETET I BERGEN De maemaisk-naurvienskapelige fakule Eksamen i emne MT11 Brukerkurs i maemaikk Mandag 15. desember 8, kl. 9-14 BOKMÅL Tillae hjelpemidler: Lærebok og kalkulaor i samsvar med fakulee

Detaljer

Newtons lover i to og tre dimensjoner

Newtons lover i to og tre dimensjoner Newons loer i o og re dimensjoner 8..16 Innleeringsfris oblig 1: Tirsdag, 9.Feb. kl.18 Innleering kun ia: hps://deilry.ifi.uio.no/ Fellesinnleeringer (N 3): Alle må bidra il besarelsen i sin helhe. Definer

Detaljer

(x 0,y 0,0) α. Oppgave 3. Ved tiden t har vi følgende situasjon: α = ω1t β = ω2t

(x 0,y 0,0) α. Oppgave 3. Ved tiden t har vi følgende situasjon: α = ω1t β = ω2t Oppgave 3 Ve ien har vi følgene siuasjon: oer vinkel om aksen parallell me -aksen: oer vinkel om aksen l: β l,, Punkes koorinaer ve ien kan besemmes ve hjelp av følgene serie av basisransformasjoner. ransformasjonene

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 OpenGL (vekt 1 5 )

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 OpenGL (vekt 1 5 ) UNIVERSITETET I OSLO De maemaisk-naurvienskapelige fakule Eksamen i INF3320/INF4320 Meoder i grask daabehandling og diskre geomeri Eksamensdag: 7. desember 2007 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesee

Detaljer

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved

Detaljer

Løsningsforslag til regneøving 5. Oppgave 1: a) Tegn tegningen for en eksklusiv eller port ved hjelp av NOG «NAND» porter.

Løsningsforslag til regneøving 5. Oppgave 1: a) Tegn tegningen for en eksklusiv eller port ved hjelp av NOG «NAND» porter. TFE4110 Digialeknikk med kreseknikk Løsningsforslag il regneøving 5 vårsemeser 2008 Løsningsforslag il regneøving 5 Ulever: irsdag 29. april 2008 Oppgave 1: a) Tegn egningen for en eksklusiv eller por

Detaljer

Betydning av feilspesifisert underliggende hasard for estimering av regresjonskoeffisienter og avhengighet i frailty-modeller

Betydning av feilspesifisert underliggende hasard for estimering av regresjonskoeffisienter og avhengighet i frailty-modeller Beydning av feilspesifiser underliggende hasard for esimering av regresjonskoeffisiener og avhengighe i fraily-modeller Bjørnar Tumanjan Morensen Maser i fysikk og maemaikk Oppgaven lever: Mai 2007 Hovedveileder:

Detaljer

Løsningsforslag for regneøving 3

Løsningsforslag for regneøving 3 Ulever: 3.mars 7 Løsningsforslag for regneøving 3 Oppgave : a Se opp ligning for spenningen over som funksjon av id, for. R v + - Kres Løsning: Beraker kresen førs: I iden før null vil spenningen over

Detaljer

MAT jan jan jan MAT Våren 2010

MAT jan jan jan MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive

Detaljer

Fart. Eksempel: Gjennomsnittsfart

Fart. Eksempel: Gjennomsnittsfart Far ALV EGELAND, NAROM Når vi ilbakelegger 100 km i løpe av 2 imer uavhengig av om vi opper unervei har vi en gjennomnifar på 50 km/h. Vi ville ha bruk like lang i erom vi hae kjør me konan far på 50 km/h.

Detaljer

Arbeid og potensiell energi

Arbeid og potensiell energi Areid og poensiell energi 3.3.4 olig 5: midveis hjemmeeksamen forusening for å a slueksamen kreves individuell innlevering lir lag u mandag 3. mars innleveringsfris mandag. mars YS-ME 3.3.4 Areid-energi

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.

Detaljer

Mot3.: Støy i forsterkere med tilbakekobling

Mot3.: Støy i forsterkere med tilbakekobling Mo3.: Søy i forserkere med ilbakekoblig Hiil har vi diskuer forserkere ue ilbakekoblig ("ope-loop"). Nå vil vi diskuere virkige av ilbakekoblig. Geerel beyes ilbakekoblig for å... edre forserkig, edre

Detaljer

Oppgaver i funksjonslære A2A/A2B, høst 2009

Oppgaver i funksjonslære A2A/A2B, høst 2009 Oppgaver i funksjonslære A2A/A2B, høst 2009 Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold 21. august 2009 Blant disse oppgavene er følgende utvalgt for mappen: 1, 3(i) (iii) og (ix) (x), 5(viii) (ix),

Detaljer

Oppsummering matematikkdel ECON 2200

Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke 7. mai 2008 1 Innledning En rask oppsummering av hele kurset vil ikke kunne dekke alt vi har gjennomgått. Men alt er pensum, selv om det ikke blir

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 215 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 217 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 3 + 2x. Formelen vi må bruke er (x n ) =

Detaljer

Enkle kretser med kapasitans og spole- bruk av datalogging.

Enkle kretser med kapasitans og spole- bruk av datalogging. Laboraorieøvelse i FY3-Elekrisie og magneisme år 7 Fysisk Insiu, NTNU Enkle kreser med kapasians og spole- bruk av daalogging. Laboraorieoppgaver Oppgave -Spenning i kres a: Mål inngangsspenningen og spenningsfalle

Detaljer

Algebra R2, Prøve 1 løsning

Algebra R2, Prøve 1 løsning Algebra R, Prøve løsig Del Tid: 70 mi Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave E rekke er gi ved a og a Du skal ) udersøke hva slags rekke de er Vi fier de førse leddee: a a a a, 6, 3 0, 4 4 3 4 De ser u som

Detaljer

Arbeid og potensiell energi

Arbeid og potensiell energi Areid og poensiell energi 7..7 YS-MEK 7..7 Areid-energi eorem areid:, v ne d kineisk energi K, K K, ne v d ne dr d d C ne dr kurveinegral langs en kurve C sar i r, slu i r uˆ N uˆ N v vuˆ v uˆ N uˆ N vuˆ

Detaljer

Eksamen i STK4060/STK9060 Tidsrekker, våren 2006

Eksamen i STK4060/STK9060 Tidsrekker, våren 2006 Eksamen i STK4060/STK9060 Tidsrekker, våren 2006 Besvarelsen av oppgavene nedenfor vil ugjøre de vesenlige grunnlage for karakergivningen, og ugangspunke for den munlige eksaminasjonen. De er meningen

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner

Detaljer

Sensorveiledning ECON2200 Våren 2014

Sensorveiledning ECON2200 Våren 2014 Oppgave a) Sensorveiledning ECON00 Våren 04 f( ) + ln f ( ) 6 b) ( ) ( ) f( ) + f ( ) + + + De er ikke krav om å forenkle il en besem form, alle svar er ree. c) f( ) ln g ( ) g ( ) f ( ) g ( ) d) e) f)

Detaljer

Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon

Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Marie Vaksvik Draagen, Anne Line Kjærgård og Cecilie Anine Thorsen 20. mars 2014 1 Innhold 1 Introduksjon 3 1.1 Oppgavebeskrivelse................................. 3

Detaljer

Flere anvendelser av derivasjon

Flere anvendelser av derivasjon Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:

Detaljer

Påvirker flytting boligprisene?

Påvirker flytting boligprisene? Påvirker flying boligprisene? Trond-Arne Borgersen Jørund Greibrokk Dag Einar Sommervoll Høgskolen i Øsfold Arbeidsrappor 2008:3 Online-versjon (pdf) Ugivelsessed: Halden De må ikke kopieres fra rapporen

Detaljer

Den deriverte og derivasjonsregler

Den deriverte og derivasjonsregler Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)

Detaljer

Oppgave 1. (a) Vi utvikler determinanten langs første kolonne og dette gir. (b) Med utgangspunkt i de tre datapunktene denerer vi X og y ved

Oppgave 1. (a) Vi utvikler determinanten langs første kolonne og dette gir. (b) Med utgangspunkt i de tre datapunktene denerer vi X og y ved Sensorveiledning: ELE 37191 Maemaikk valgfag Eksamensdao: 13.06.2012 09:00 1:00 Toal anall sider: 5 Anall vedlegg: 0 Tillae hjelpemidler: BI-dener eksamenskalkulaor TEXAS INSTRUMENTS BA II Plus Innføringsark:

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx

Detaljer

Bevegelse i én dimensjon

Bevegelse i én dimensjon Beegelse én dmensjon 16.1.218 FYS-MEK 111 16.1.218 1 Gruppeundersnng begynner rsdag, 23.januar. hp://www.uo.no/suder/emner/mana/fys/fys-mek111/18/plan218.hm Oppgaer og forelesnngene legges u på semesersden.

Detaljer

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom

Detaljer

Pengemengdevekst og inflasjon

Pengemengdevekst og inflasjon Pengemengdeveks og inflasjon - en empirisk analyse og eoreiske berakninger Hovedfagsoppgave i samfunnsøkonomi av Sian Brundland Berge Insiu for økonomi Universiee i Bergen Våren 2004 KAPITTEL 1 INNLEDNING...

Detaljer

Systemutviklingsprosessen

Systemutviklingsprosessen Figur 1-3. E sysems livssyklus Sysemuviklingsprosessen Jfr. Fra kjernen og u, fra skalle og inn kapiel 3 (og 11) Idé Krav og ønsker Uforming Realisering Ny idé Syseme sees i drif... Iniiell uvikling og

Detaljer

Hovedtema: Virkninger av offentlige inngrep (S & W kapittel 5 og 10 i 3. utgave og kapittel 4 og 10 i 4. utgave)

Hovedtema: Virkninger av offentlige inngrep (S & W kapittel 5 og 10 i 3. utgave og kapittel 4 og 10 i 4. utgave) Økonomisk Insiu, okober 2006 Rober G. Hansen, rom 207 Osummering av forelesningen 06.0 Hovedema: Virkninger av offenlige inngre (S & W kaiel 5 og 0 i 3. ugave og kaiel 4 og 0 i 4. ugave) Virkninger av

Detaljer

Kredittilbudseffekter i boligettespørselen

Kredittilbudseffekter i boligettespørselen Krediilbudseffeker i boligeespørselen Trond Arne orgersen Karl Robersen Høgskolen i Øsfold Arbeidsrappor 2007:6 Online-versjon (pdf) Ugivelsessed: Halden De må ikke kopieres fra rapporen i srid med åndsverkloven

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Trafikktellinger mai 2013 i vegkrysset Nygårdsvikveien/ Johan Berentsens vei.

Trafikktellinger mai 2013 i vegkrysset Nygårdsvikveien/ Johan Berentsens vei. INNHOLD. Dags siuasjon..... Resula fra rafikkellinger..... ÅDT i dag... 4. midig siuasjon... 4 3. Kilder... 5 4. Vedlegg: Trafikkellinger og kar over ellepunk... 6 Trafikkellinger mai 03 i vegkrysse /

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3 Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2

Detaljer

Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler Oppgave 1 En funksjon f er gitt ved f ( x) ( x 2) e x.

Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler Oppgave 1 En funksjon f er gitt ved f ( x) ( x 2) e x. UNIVERSITETET I BERGEN De maemaisk-nauvienskapelige fakule Eksamen i emne MAT Bukekus i maemaikk Fedag 8 febua, kl 9-4 BOKMÅL Tillae hjelpemidle: Læebok og kalkulao i samsva med fakulee sine egle Oppgave

Detaljer

Rundskriv EØ 1/2011 - Om beregning av inntektsrammer og kostnadsnorm i vedtak om inntektsramme for 2010

Rundskriv EØ 1/2011 - Om beregning av inntektsrammer og kostnadsnorm i vedtak om inntektsramme for 2010 Noa Til: Fra: Ansvarlig: Omseningskonsesjonærer med inneksramme NVE - Seksjon for økonomisk regulering Tore Langse Dao: 1.2.2011 Vår ref.: NVE Arkiv: 200904925 Kopi: Rundskriv EØ 1/2011 - Om beregning

Detaljer

H Ø G S K O L E N I B E R G E N Avdeling for lærerutdanning

H Ø G S K O L E N I B E R G E N Avdeling for lærerutdanning H Ø G S K O L E N I B E R G E N Avdeling for lærerudanning Eksamensoppgave Ny/usa eksamen høs 004 Eksamensdao: 07--004 Fag: NAT0-FY Naur og miljøfag 60sp. ALN modul fysikk 5 sp. Klasse/gruppe: UTS/NY/ALN

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Arbeid og kinetisk energi

Arbeid og kinetisk energi Arbeid og kiisk energi..8 FYS-MEK..8 hp://pingo.upb.de/ access number: 63473 To isbåer, en med masse m og en med masse m, kjører på en friksjonsfri, horisonal, frossen innsjø. Begge båene sarer fra ro,

Detaljer

Bevegelse i én dimensjon

Bevegelse i én dimensjon Beegelse én dmensjon 19.1.217 FYS-MEK 111 19.1.217 1 Gruppeundersnng begynner onsdag, 25.januar. hp://www.uo.no/suder/emner/mana/fys/fys-mek111/17/plan217.hm Oppgaer og forelesnngene legges u på semesersden.

Detaljer

Bevegelse i én dimensjon

Bevegelse i én dimensjon Beegelse én dmensjon 21.1.215 FYS-MEK 111 21.1.216 1 Gruppeundersnng og daalab begynner mandag, 25.januar. hp://www.uo.no/suder/emner/mana/fys/fys-mek111/16/plan216web.hm Oppgaer og forelesnngene legges

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Løsningsforslag midtveiseksamen Mat 1100

Løsningsforslag midtveiseksamen Mat 1100 Løsningsforslag midtveiseksamen Mat 00 Høsten 202 Oppgave : Riktig svaralternativ er C Vi får r = 2 2 +( 2 3) 2 = 4+4 3= 6 = 4. Videre ser vi (tegn figur) at argumentet til z vil være 60 mer enn 80, dvs.

Detaljer

Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 13. september 2011 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen

Detaljer